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Chapitre : Développement
et factorisation.
Classe :EB8
Développements et Factorisations : Cours
Voirs cours pages 37-38-39-40.
&1 - Vocabulaire I. Addition et soustraction
- Une somme est le résultat d’une addition de deux termes.
Exemple : .
Les termes de cette somme sont 7 et 3. On dit alors que 10 est la somme
de 7 et de 3.
- Une différence est le résultat d’une soustraction de deux termes.
Exemple : .
Les termes de cette différence sont 16 et 5. On dit alors que 11 est la
différence de 16 et de 5.
II. Multiplication et division
- Le produit est le résultat de la multiplication de deux nombres. Ces
nombres sont appelés les facteurs de ce produit.
Exemple : .
L’opération utilisée est la multiplication, 32 est appelé le produit de 8 et
de 4.
8 et 4 sont les facteurs de ce produit.
- Le quotient est le résultat de la division de deux nombres.
Exemple : .
4 est le quotient de la division euclidienne de 30 par 7, 30 est le
dividende, 7 est le diviseur et 2 est le reste.
III. Commutativité
La multiplication est une opération commutative, je peux intervertir ou
commuter ou changer l’ordre des facteurs d’une multiplication sans
changer le produit.
Exemple:
L’addition est une opération commutative, je peux intervertir ou
commuter ou changer l’ordre des termes d’une somme sans changer la
valeur de cette dernière.
Exemple :
La soustraction et la division ne sont pas des opérations commutatives :
; alors que
IV. Associativité
L’addition est une opération associative, je peux choisir l’ordre des
calculs, associer ou regrouper les termes pour faciliter les calculs. Il s’agit
bien sûr de la somme de plus de deux nombres dans ce cas.
La multiplication est une opération associative, je peux choisir l’ordre
des calculs, associer ou regrouper les facteurs pour faciliter les calculs. Il
s’agit bien sûr du produit de plus de deux nombres dans ce cas.
La division et la soustraction ne sont pas associatives.
V. Somme, différence, produit et quotient.
- Dans une addition ou une soustraction, les nombres que l’on additionne ou que l’on soustrait s’appellent les termes.
- Le résultat d’une addition s’appelle une somme. - Le résultat d’une soustraction s’appelle une différence. - Des nombres que l’on multiplie s’appellent des facteurs. - Le résultat d’une multiplication s’appelle un produit. - Le résultat d’une division s’appelle un quotient.
Selon l’opération finale qu’il faut effectuer pour obtenir le résultat d’une expression, on dit que cette expression est une somme, une différence, un produit ou un quotient.
Exemple : est la somme de la différence de 7 et de 4 et du produit de 2 par 5. Page 38 Application 1 : Dans chacun des cas suivant dire s’il s’agit d’une somme ou d’un produit : Somme Produit Somme
produit
&2 - Monômes Définition 1 : Le terme monôme désigne toute expression qui peut être
obtenue par multiplication de nombres et de variables représentées par
des lettres.
Exemple: ….. sont des monômes.
Définition 2 : Un monôme réduit est un monôme où les termes sont
dans l’ordre suivant :
1) Le facteur numérique appelé coefficient
2) Les variables (lettres) dans l’ordre alphabétique appelées partie littérale.
Exemple : est un monôme réduit ; n’est pas un monôme
réduit
Définition 3 : Deux monômes sont semblables s’ils ont la même partie
littérale.
Exemple:
a) et sont des monômes semblables.
b) et ne sont pas des monômes semblables.
Propriété 1 : Pour multiplier deux monômes, on multiplie les parties
numériques (ou coefficients) et les parties variables. On applique la règle
du produit sur les puissances des variables.
Exemple :
a)
b)
Définition 4:
On appelle polynôme toute somme de monômes.
Un polynôme est réduit si tous les monômes qui le composent sont
réduits.
Exemple : est un polynôme.
Propriétés 2: Pour additionner ou soustraire des monômes ou des
polynômes, il faut trouver et regrouper les monômes semblables puis
effectuer l’opération à partir des coefficients, sans changer la partie
littérale.
Un polynôme réduit ne contient plus de monômes semblables.
Exemples :
a) .
b)
Expressions littérales
On appelle expression littérale une expression qui utilise une ou
plusieurs lettres.
Définition : Calculer la valeur d’une expression littérale, c’est attribuer
un nombre à chaque lettre de l’expression afin d’effectuer le calcul.
Exemple :
Calculer
pour et
( )
Page 40 Application 1 :
Calculer l’expression lorsque :
On remplace par et
par en ajoutant si
besoin des parenthèses..
p
On écrit les signes sous-entendus.
On effectue les calculs en
respectant les priorités.
Page 40 Application 2 :
( )
&3 - Développement Voir cours page 43
1) Rappel :
Développer une expression littérale (contenant des lettres) revient à
transformer l’écriture (produit) en une somme (ou différence) de
plusieurs termes.
Exemples :
1) .
2)
Page 43 Application 2 : Développer les expressions suivantes :
(
)
2) Double distributivité
Règle:
Page 43 Application 3 : Développer les expressions suivantes :
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
Page 43
Compléter:
Quel est l’opposé de ?
Quel est l’opposé de ?
Quel est l’opposé de ?
Quel est l’opposé de ?
Quel est l’opposé de ?
Comparer :
On peut alors déduire que deux nombres opposés ont le même carré.
Page 44 Application 4 : Compléter :
Nombre Son opposé Egalité des carrés
Page 44 Application 5 : Compléter par ou :
; ; ;
; ;
;
; .
3) Identités remarquables :
Voir cours page 44.
Le carré de la somme de deux nombres est égal au somme des deux
carrés augmentée de leur double produit.
Règles:
.
Le carré de la différence de deux nombres est égal au somme des deux
carrés diminuée de leur double produit.
.
Exemples :
.
Page 44 Application 6 : Développer les identités remarquables suivantes :
Ouuu
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
Remarque
Au cas où on a la forme ( )
il y a un changement qu’on doit faire :
J’utilise que deux nombres opposés ont le même carré.
Je change l’ordre des places de a et b.
Exemples :
Ouuu
opposé
Changement de places
opposé
&4 - Factorisation Voir cours pages 45-46
1) Rappel
Factoriser une expression littérale (une somme ou une différence)
revient à la transformer en un produit de deux ou de plusieurs
facteurs.
Exemples :
1) .
2)
Page 45 Application 7 : Factoriser les expressions suivantes :
2) Factorisation des identités remarquables. Page 45
Forme développée Forme factorisée
Exemple :
Page 45 Application 9 : Factoriser chaque expression algébrique en
reconnaissant le développement d’une identité remarquable :
(
) (
)
(
)
Voir cours page 46
3) Factorisation
Exemple 1 :
Exemple 2 :
Page 47 Application 10 : Factoriser les expressions algébriques suivantes :
4) Changement de signe.
Page 47 Activité :
I. Déterminer le signe de :
a) positif
b) négatif
c) positif
d) . négatif
II. et sont-ils de même signe ? oui, ils sont
positifs
et sont-ils de même signe ?
Oui ,ils sont négatifs
Règle :
.
Page 47 Application 11 : Répondre par vrai ou faux.
a) . Vrai car il y a eu un
changement de signe de deux facteurs.
b) .Vrai car il y a un
changement de signe de deux facteurs.
c) .
Faux car il y a un changement de signe de
trois facteurs.
Attention :
Le carré d’un nombre n’est autre que le nombre multiplié par lui-
même.
Ou encore deux nombres opposés ont le même carré:
Page 48 Application 12 : Factoriser chaque expression algébrique en
effectuant un changement de signe :
.
.
.
.
.
.
.
.
Ouuuu
.
.
.
.
.
.
Développements et Factorisations : Exercices
Page 49 Exercice 1 : Développer et réduire les expressions suivantes :
.
Calculer (Calculer pour )
Calculer
(
)
(
)
Calculer
Page 49 Exercice 2 : Factoriser les expressions suivantes :
Page 49 Exercice 3 : On donne les expressions suivantes :
1. a. Développer .
b. Calculer et .
.
Page 50 Exercice 4 : Factoriser les expressions suivantes :
Page 50 Exercice 5 : Factoriser les expressions suivantes :
Page 50 Exercice 6 :
A- Factoriser les expressions suivantes :
B- On donne :
1. a. Développer .
b. Calculer et .
2. a. Factoriser .
b. Calculer et .
Page 51 Exercice 7 : Factoriser les expressions suivantes :
Calculer ( ) ( )
Consolidation 6 : Développement et Factorisation
Page 184 Exercice 1 : Développer les expressions suivantes :
)
Page 184 Exercice 2 : Développer les expressions suivantes :
(
)
(
)
Page 185 Exercice 5 :
1. Factoriser les expressions suivantes :
2. Développer et réduire les expressions suivantes :
(
)
(
)
(
)
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