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Factorisation par la complétion du carré.
Remarque: Tu devrais visionner les présentations:
- Factorisation d’un trinôme carré parfait.ppt
- Factorisation d’une différence de carré.ppt
avant de visionner celle-ci.
La technique de la complétion du carré sert à:
- Factoriser un trinôme;
- Déterminer les zéros d’une fonction
quadratique;
- Résoudre une équation du second degré.
Exemple: (x + 2) (x + 4)x2 + 6x + 8
x2 + 2x - 44 = - 20
x1 = - 6 x2 = 4
Cette technique utilise deux autres techniques de factorisation de trinôme:
- factorisation d’un trinôme carré parfait;
- factorisation d’une différence de carré.
Factorisation d’un trinôme
Exemple 1 : x2 + 6x + 8 ce trinôme n’est pas un trinôme carré parfait.
Nous allons utiliser les 2 premiers termes pour créer un trinôme carré parfait.
x2 + 6x 1) Déplacer le 3e terme: + 8
2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule:
T2
2 X T1
2
T3 =6x
2 X x2
2
= =6x
2 X x
2
6
2
2
= =2
( 3 ) = 9
3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait:
x2 + 6x + 9 + 8
4) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant.
- 9
5) On regroupe le tout: x2 + 6x + 9 + 8 - 9
x2 + 6x + 9 - 1( )
6) On factorise le trinôme carré parfait:
( x + 3 )2 - 1
7) On factorise par une différence de carré:
( x + 3 )2 - 1
( x + 3 ) 1
en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués,
( ( x + 3 ) - 1 ) ( ( x + 3 ) + 1)
8) On complète les calculs: ( x + 3 - 1 ) ( x + 3 + 1 )
( x + 2 ) ( x + 4 )
Exemple 2 : factoriser x2 + 14x + 48
x2 + 14x 1) Déplacer le 3e terme: + 48
2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule:
T2
2 X T1
2
T3 =14x
2 X x2
2
= =14x 2 X x
2
14
2
2
= =2
( 7 ) = 49
3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait:
x2 + 14x + 49 + 48
4) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant.
- 49
5) On regroupe le tout: x2 + 14x + 49 + 48 - 49
x2 + 14x + 49 - 1( )
6) On factorise le trinôme carré parfait:
( x + 7 )2 - 1
7) On factorise par une différence de carré:
( x + 7 )2 - 1
( x + 7 ) 1
en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués,
( ( x + 7 ) - 1 ) ( ( x + 7 ) + 1)
8) On complète les calculs: ( x + 7 - 1 ) ( x + 7 + 1 )
( x + 6 ) ( x + 8 )
Exemple 3 : factoriser x2 + 8x - 9
x2 + 8x 1) Déplacer le 3e terme: - 9
2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule:
T2
2 X T1
2
T3 =8x
2 X x2
2
= =8x
2 X x
2
8
2
2
= =2
( 4 ) = 16
3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait:
x2 + 8x + 16 - 9
4) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant.
- 16
5) On regroupe le tout: x2 + 8x + 16 -9 - 16
x2 + 8x + 16 - 25( )
6) On factorise le trinôme carré parfait:
( x + 4 )2 - 25
7) On factorise par une différence de carré:
( x + 4 )2 - 25
( x + 4 ) 5
en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués,
( ( x + 4 ) - 5 ) ( ( x + 4 ) + 5)
8) On complète les calculs: ( x + 4 - 5 ) ( x + 4 + 5 )
( x - 1 ) ( x + 9 )
Exemple 4 : factoriser x2 + 58x + 672
x2 + 58x 1) Déplacer le 3e terme: + 672
2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule:
T2
2 X T1
2
T3 =58x
2 X x2
2
= =58x 2 X x
2
58
2
2
= =2
( 29 ) = 841
3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait:
x2 + 58x + 841
+ 672
4) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant.
- 841
( ) - 169x2 + 58x + 841
5) On regroupe le tout: x2 + 58x + 841
+ 672 - 841
6) On factorise le trinôme carré parfait:
( x + 29 )2 - 169
7) On factorise par une différence de carré:
( x + 29 )2 - 169
( x + 29 ) 13
en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués,
- 13( ( x + 29 ) )
8) On complète les calculs: ( x + 29 - 13 ) ( x + 29 + 13 )
( x + 16 ) ( x + 42 )
+ 13( ( x + 29 ) )
1
4
-
Exemple 5 : factoriser 2x2 – 2x - 60
Attention: il faut donc faire une simple mise enévidence comme première étape afin que ce premier terme devienne un carré.
ce terme n’est pas un carré;
2 ( x2 – x – 30 )
x2 - x 1) Déplacer le 3e terme: - 30 )
2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule:
T2
2 X T1
2
T3 =-1x
2 X x2
2
= =-1x
2 X x
2
-1
2
2
= =
3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait:
4) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant.
2 (
1
4
+
1
4
On travaille alors avec l’intérieur de la parenthèse.
2 x2 – x - 30
2 x2 – x 1
4
- 1201
4
+4
-
5) On regroupe le tout:
6) On factorise le trinôme carré parfait:
7) On factorise par une différence de carré:
1
4
-2 x2 – x - 301
4
+
11
2
x 1
2
-
en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués,
x 1
2
- - 121
4
22
x 1
2
- - 121
4
22
2
8) On complète les calculs: 2 x 1
2
-11
2
- x 1
2
-11
2
+
2 ( x – 6 ) ( x + 5 )
2 x -12
2
x 10
2
+
2 x 1
2
-11
2
- x 1
2
-11
2
+
11
2
x 1
2
- -211
2
x 1
2
- +
en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués,
La technique de complétion du carré est l’outil le plus utile avec les polynômes du second degré.
Au début, elle semble un peu lourde pour le débutant mais, avec la pratique, elle est la technique la plus rapide et la plus efficace.
Elle factorise, détermine les zéros de fonction et résout les équations du second degré de n’importe quel polynôme factorisable.
