Convection en double diffusion dans une coque sphérique

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, Skrie I, p. 1049-1052, 1997

Probkmes mathkmatiques de la mCcanique/Mathematical Problems in Mechanics

Convection en double diffusion dans une coque sph&ique

Philippe BELTRAME, Pascal CHOSSAT et Patrice LAURE

Institut Non Li&aire de Nice, (LMR CNRS 129). Univrrsiti de Nice

Sophia-Antipolis, 06560 Vallxmne. France.

E-mail : ~hossat@inln.cnrs.fr, laur&inln.cnrs.fr

R&sum& Now Ctudions la convection dans un domaine compris entre deux sphbres concentriques d’un fluide salin soumis 2 des gradients de tempkrature et de salinitk. Les paramktres de bifurcation sont le nombre de Rayleigh thermique et son Cquivalent pour la diffusion saline. L’analyse de la stabilitk lineaire de I’tStat de conduction pure montre l’existence, dans le plan des param&tres, d’un point 00 la valeur propre critique est non semi- simple, de multiplicitk 2( 2P, + l), oti P,. est un entier non nul qui dCpend notamment de l’kpaisseur relative du domaine. Nous Ctudions ce point de bifurcation de codimension deux en exploitant les symktries et la thCorie des formes normales. Dans le cas le plus simple, c’est-g-dire quand I’, = 1, nous montrons que le problkme se ramkne au cas d’une bifurcation de codimension deux avec symktrie O(2).

Double diffusion in spherical shell

Abstract. We study the double diffkion problem of a fluid conjined between trvo spheres which are maintened at diflerent temperature and Jalinity. The bifurcation parameters are the thermal Rayleigh number and the saline Rayleigh number. The linear stability analysis of the basic state of rest shows the e.xistence, in the parameter plane, of a point at which the critical eigenvahe is non semisimple, with multiplicity 2(2P, + 1). where I, is a positiL?e integer bvhich is determined by the physical conditions on the problem, in particular the aspect ratio of the domain. We study this codimension tM’o bifurcation point by exploiting the symmetries and normal form theory. We show that in the simplest case, i.e. e,. = 1, the problem reduces to the case 6% a codimension two bifkcation with 0( 2) symmetry.

1. Introduction

L’Ctude de l’instabilit6 de convection dans un domaine sphkrique trouve sa motivation initiale en gkophysique et en astrophysique. Par exemple, la diffusion d”un ou plusieurs ClCments est B l’origine des mouvements du magma terrestre. Le cas de la convection simple a dkjh 6% trait6 en d&ails par diffkents auteurs (voir notamment [3], [4] et [7]). Nous nous indressons ici B la double diffusion (de chaleur et de salinitk) d’un fluide salin ayant une certaine viscositk dans un domaine delimit6 par

Note prCsent6e par Gerard 100s.

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deux spheres centrees. Le cas plan (double diffusion dans une cavite rectangulaire) a deja CtC ttudie dam [I]. Le fluide est soumis a un champ de gravitation g*(r) dQ a la masse du noyau et a la masse propre du fluide et aux gradients de temperature h; (r) et (de salinite hg (T). Si les deux spheres sont maintenues a des temperatures et a des concentrations de sel differentes, une double diffusion s’etablit, le fluide &ant au repos. Les equations verifiees par la vimsse, la temperature et la salinite sont les equations de Navier-Stokes dans le cadre des approximations de Boussinesq (voir [6]) et les lois de diffusion de la chaleur et de la salinite. Les equations usuelles pour les perturbations Z! 0 et s autour de la solution de conduction pure se trouvent dans ] 81 et [2]. Les parametres sont le nombre de Prandtl, P, et la racine car&e du nombre de Rayleigh, X r, et leurs equivalents pour la salinite P, et As.

Ces equations sont definies sur le domaine R = {(T, 8, $:)I7 < T < l}, oti 77 est le rapport du rayon interieur sur le rayon exterieur. Nous considerons trois types de conditions aux limites sur les bords du domaine 80 pour la vitesse : vitesse nulle (rigi&rigide), pas de contrainte tangentielle (libr&ibre), une condition rigide sur une sphere et une condition libre sur l’autre (rigide-libre). La temperature et la concentration saline sont maintenues a des valeur constantes sur 80.

Dans la suite, on va faire varier les deux parameires XT et As, les autres Ctant fixes. Par consequent, on peut &-ire de faGon formelle l’equation aux perturbations sous la forme d’une equation d’evolution

(voir [71h

dz - = F(z, XT, As). z(0) == 20 E D: dt

oti z = (Z, 8. s) appartient a un espace fonctionel convenable D (les variables scalaires sont dans l’espace Hz(R) tandis que le champ de vitesse doit en plus, appartenir a la fermeture dans L2 (0) des champs de divergence nulle incluant les conditions aux limites). Le probleme ainsi pose ret-me dans le cadre classique de l’etude de bifurcation avec la symetrie O(3) (voiu [7]).

2. StabilitC linkaire (rhltats numkiques)

Le probleme aux valeurs propres revient a resoudre un systeme d’E.D.0. en T qui ne depend que du mode spherique 1. Pour voir l’influence des differents para.metres, on procede de la facon suivante : As &ant fix& on determine la valeur critique XT, de Xr oti la solution triviale perd sa stabilite. En faisant varier As, ceci nous permet de tracer la courbe X r = Arc (As) et d’identifier l’ensemble

des valeurs critiques dans le plan des parametres (A r, A,;). Les differentes conditions aux limites sur la vitesse n’ont pas d’influence qualitative sur les resultats (les valeurs critiques sont seulement differentes). Le rapport d’aspect 7 agit de la faGon habituelle (voir [7]) : la valeur critique de 4, depend de 17. et croit lorsque q tend vers 1.

On met en evidence deux comportements differents en fonction de la valeur du nombre de Lewis Le = P,/P :

l si Le 5 1, la valeur propre critique en chaque point de cette courbe est (7 = 0. 0 si Le > 1, il existe une valeur As,. telle que si As < Asc, la valeur propre critique est 0 = 0,

tandis que pour As > Xsc, une paire de valeurs propres critiques imaginaire pures f%wo apparait.

Le point de (XT,. ! As,.) est done un point de bifurcation de codimension 2, pour lequel deux valeurs propres se rejoignent en 0.

C’est l’etude au voisinage de cette situation degeneree obtenue pour Le > 1 qui va nous interesser dans la suite. Par exemple, si on choisit le cas Zibre-libre avec q = .2, Le = 100, y = hz&-) = l/ r3, g * (r-) = 1, une telle situation sest obtenue pour f, = 1, As<. = 4.42 et

c = 30.83. Lorsque As < As,., l’espace propre E. associe a la valeur propre critique 0 est une

representation irreductible de O(3) dans 2) et dim(.Ee) = 21’, + 1. Lorsque As = Xsc., 0 est une valeur

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propre semi-simple et il y a formation d’un bloc de Jordan : l’espace propre gCnCralisC E0 est somme directe de deux sous-espaces isomorphes 5 la reprksentation de O(3) de degrk & et dim( I&) = 4!, + 2. Pour 1’Ctude du comportement non-linkaire, on va supposer que I’on a choisi le rapport d’aspect v de man&e que !, = 1 (done dim(&) = 6).

3. Dynamiques issues de la bifurcation 21 e, = I

Au point de bifurcation, l’espace ;I) se dkcompose en somme directe, ;z) = E- $ Eo> 06 E_. est le complkmentaire de E0 engendrk par les vecteurs propres associks aux valeurs propres de partie rCelle nkgative. Si e, = 1, E,-, est la somme directe de deux sous-espaces irkductibles Eb et Ei de dimension 3 chacun. On pose 2 = X 63 Y E Eb $I Ei avec : X = ~~,=-, z,~<;, et Y = c’, y,,&.

Les composantes 2,: yrn vkrifient la condition de rCalit6 (z-, = -%m) et les vecteur <:, et <i, s’expriment B l’aide des harmoniques sphkriques gCnCralisCes (voiu [8]).

L’attractivite de la variCtC centrale permet de ramener 1’Ctude de la dynamique de (l), au voisinage de la solution 2 = 0, B une E.D.O. dans Eo qui a la forme ruormale (voir [lo]) suivante :

(2) dZ - = MZ + P(X1, X2,2) + O(llZll”), Z E Eo, dt

oti k est fix6 de man&e arbitraire et P est un polyn6me de degrk k - 1 B valeurs dans E0 tel que : (i) P(O,O, 0) et DzP(O,O: 0) = 0;

(ii) M*P(Xl; X2, Z) = DzP(X1, Xz,Z)M*Z (A4* adjoint de M); (iii) T,P(X1,X2,Z) = P(X1,X2,TyZ) avec y E O(3) et T,, son action dans Eo. L’Ctude des bifurcations pour le problkme (2) nkessite la connaissance de la structure 0(3)-

Cquivariante de M et P, mais aussi celle de la gCom&rie de l’action de O(3) dans E0 (c’est-&-dire son treillis d’isotropie).

La dktermination des applications O(3)-kquivariantes est facilitke par le fait que Eo est la somme directe de deux sous-espaces isomorphes B R 3. En effet, l’action de O(3) dans ces espaces est celle des isomCtries usuelles et des arguments gComCtriques permettent de trouver la forme de ces applications (voir [2] pour la dkmonstration).

THI?OR~ME 1. - LA matrice nilpotente A4 de (a), dquivariante par O(3), a pour forme g&e’rique :

Le polynSme P : Eo H Eo O(3)-tquivariant s’tcrit :

V(X; Y) E IF!” x W3P(X, Y) = C

e(ll-q2, JIJTl13,~~ E’m + ~2(llXl12, llYl12J . Y)K P3(~\x)(qq2;x 'Y)X + P4(()xl~2.11Y((2,x~ Y)K

oti Pi. ,1 = 1, . . . . 4 de’signe un polynbme de R3 darts W et X . Y le produit scalaire euclidien.

En utilisant 1’Cquation homologique de la forme normale et l’kquivariance du polyname P, on obtient la forme normale equivariante. L’expression explicite: a l’ordre 3 des Cquations de bifurcation est donnCe dans [2].

La ditermination des sous-groupes d’isotropie dans le cas d’une interaction de deux modes en prksence de la symCtrie O(3) a 6tC obtenue, dans le cas gCn&al, par F. Guyard dans [9]. Mais on peut ici utiliser un raisonnement direct qui donne le thCor&me suivant :

TH~ORJ~ME 2. - Les sous-groupes d’isotropie et les espaces de points fixes de O(3) agissant dans Eo sont donne’s, h une conjugaison prh, par :

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Sous-groupe d’isorropir C Fix(C)

Une premihre const?quence importante de ce tableau est que l’on peut ramener compl&tement le probEme B l’espace Fix(Z,) qui est de dimension quatre. ficrivons B prCsent les Cquations de bifurcation dans chacun des sous-espaces invariants non triviaux :

l Bifurcarion duns Fix(0(2)-). - L a f orme normale est, g&&iquement, celle de Takens-Bogdanov dans le plan :

L’Ctude de cette bifurcation est classique et se trouve, par exemple, dans [13]. l Bifiwcation duns Fix(Z;). - La forme normale Cquivariante restreinte ?I cet espace s’ecrit :

Ce sont les kquations gCntriques d’une bifurcation du type Takens-Bogdanov avec la symetrie O(2) qui ont Ct6 CtudiCes dans [ 111. Ceci n’est pas Ctonnant ; en effet. la trace dans Fix(Z;) de I’action de O(3) dans Eo est isomorphe ?I une action de lVo(3,(Z;)/.Z; N O(2) (on note Nc)(3)(Z;) le normalisateur de Z; dans O(3)).

Ainsi, si le rapport d’aspect ‘rj est inf&ieur 2 une certaine valeur, alors I, = 1 et les dynamiques issues de cette bifurcation se rmni?nent ci celles e’tudie’es dans [ 111. La dynamique effectivement selectionnCe par le systtme dCpend des valeurs numCriques des differents paramktres et coefficients.

Note remise le 10 juillet 1997, acceptee le 28 juillet 1997.

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