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COURS DE MATHÉMATIQUESSEMESTRE 1

Jean-Marie De Conto

Université Grenoble Alpes

IUT1 – Département Mesures Physiques

1

Me contacter: sans hésiter• À l’IUT…

• Au laboratoire: Laboratoire de Physique Subatomique et de Cosmologie(LPSC), 53, avenue des Martyrs

• deconto@lpsc.in2p3.fr

• Jean-marie.de-conto@univ-Grenoble-alpes.fr

• 04 76 28 40 98

• http://jmdeconto.pagesperso-orange.fr/ pour les supports de cours

• http://maths.tetras.org/ pour les TDs (Guillaume Laget)

2

Cours à l’IUT1Maths S1, mécanique S2, métrologie S3 , chaîne de mesure S4

Autres activités• Calcul, conception, construction et mise au points d’accélérateurs de

particules: théorie, simulation, calcul numérique, instrumentation,

expérimentation.

• D’autres cours hors IUT, direction de thèses, comités scientifiques…

• Chargé de mission AHN à la COMUE (INP, Sciences-Po, ENSAG, UGA)

Conseils

• Prenez des notes en cours et arrêtez moi si je vais trop vite

• Posez des questions y compris en amphi

• Demandez au prof , pas aux voisin(e)s

• Pas de rappels de cours en TD

• Venez avec le cours, et en l’ayant regardé au préalable

• Revoyez le cours et/ou le TD avant d’y assister

• Cours et TD sont obligatoires

• Sortir de cours en n’ayant guère compris n’est pas grave: c’estla répétition qui permet d’assimiler(cours+relecture+TD+questions au prof…)

• Sachez les “formules à connaître” que je vous indique

• Demandez de l’aide si besoin (“soutien” si besoin, rattrapagepour absence etc)

3

4

Résolution d’un problème grâce aux mathématiques : un

point au milieu de plusieurs autres.

• Poser correctement le problème

• Modéliser le problème et précisant les hypothèses

• Résoudre le problème

• La connaissance du comportement physique vous guide pour trouver des solution (ex: eq. Diff avec second membre)

• Rester conscient que cette solution est dépendante du modèle

• F=ma est FAUX en physique relativiste

• Chute libre = parabole vrai pour un champ de pesanteur uniforme. Ellipse en réalité

• Vitesse relative = différence des vitesses est FAUX en physique relativiste

• Vivre sur des acquis est une erreur fondamentale

Plan du cours

• Rappels: formules usuelles de dérivation, logarithmes et

exponentielle

• Fonctions et équations trigonométriques

• Nombres complexes

• introduction aux fonctions de plusieurs variables, formes

différentielles

• Intégration

• Equations différentielles

• Vecteurs, équations linéaires

• Coordonnées polaires, cylindriques et sphériques

5

Fonctions d’une seule variable

Rappels

Continuité

Dérivation

Extrema

6

7

Continuité

• Une fonction peut être continue ou non, selon que sa courbe représentative l’est ou non.

• Exemples• f(x)=1/x est discontinue en 0 car

non définie.

• La courbe qui à x associe 0 pour x<0 et 1 sinon est définie partout et non continue en 0.

• Les fonctions polynômiales sont continues

• La fonction sin(x)/x est non définie en 0. On peut néanmoins la prolonger par continuité en lui donnant la valeur 1 en zéro.

8

Limite à droite

• On dit que +∞est la limite de f quand x tend vers x0 si pour tout A, on peut trouver η tel que

• A gauche c’est pareil avec x0-x<

A

0)( xxsiAxf

9

Limites finies

• Définitions générales et rigoureuses: cf cours

• Théorème : Quand la limite existe, elle est unique.

• Théorème : Quand une fonction admet une limite finie en un point ou elle est définie, elle y est continue. Si elle n’y est pas définie, on peut la définir en ce point en la prolongeant par continuité (exemple déjà donné : sin(x)/x en zéro).

0

0

)()(lim

petit assez que dès veut onl'

que fixé à Lde proche aussi )(

0

xxsiLxfLxf

xx

xf

xx

10

Limites infinies (un seul exemple)

• On dit que +∞est la limite

de f quand x tend vers x0

si pour tout A, on peut

trouver η tel que

• Voir cours

• L’infini a un signe!!!

0)( xxsiAxf

A

Quelques règles pour les limites à ±∞

• Toute puissance de x l’emporte sur le logarithme

• L’exponentielle l’emporte sur toute puissance de x

• La limite à ±∞ d’une fraction rationnelle (rapport de deux

polynômes) est égale à la limite du rapport des termes de

plus haut degré

11

0

0)ln(lim

0)ln(

lim

)ln(lim

)ln(lim

0

0

n

xx

x

x

x

x

n

x

nx

x

x

0)exp(lim

)exp(lim

0)exp(lim

)exp(lim

xx

x

x

x

x

n

x

nx

x

x

Exemples

• Limites en + ∞ de

2𝑥 − 𝑒𝑥

𝑥3+2

3−𝑥4et

𝑥3+2

3+𝑥3

𝑒𝑥

𝑥3 + 1

ln(𝑥2)

𝑥3

𝑒−𝑥 ∙ cos(𝑥) et 𝑒𝑥 ∙ cos(𝑥)

cos(2𝑥 + 1)

𝑥3

12

Quelques rappels (sans démonstration)

Dérivation• Le nombre dérivé, quand il existe,

caractérise la pente d’une courbe en un point

• 𝑓′ 𝑥0 = ൗsin(𝜃)cos(𝜃) = tan(𝜃) où est

« l’angle limite »

• Une fonction n’est pas nécessairementdérivable en un point (discontinuité ou point anguleux). Ex: la valeur absolue de la fonction précédente

• Si une fonction est dérivable alors elle estcontinue (dans le domaine de dérivabilité).

• Si la dérivée s’annule et change de signe, la fonction admet un extrémum

• 𝑢 + 𝑣 ′ = 𝑢′ + 𝑣′

• 𝑎𝑢 ′ = 𝑎𝑢′ pour a constant

• 𝑢𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′

•𝑢

𝑣

′=

𝑢′𝑣−𝑢𝑣′

𝑣2

• 𝑔(𝑓(𝑥) ′ = 𝑔′(𝑓 𝑥 ) ∙ 𝑓′(𝑥)

• Notation: 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓(𝑥))

13

14

Dérivation et limites• Définition : Si la limite L existe, la fonction

qui associe à x le nombre dérivé de f en x est la fonction dérivée de f par rapport à x.

• Théorème : La dérivée en un point est la pente de la courbe en ce point.

• Propriété 1: Une fonction dérivable en un point y est continue

• Propriété 2 : Une fonction impaire a pour dérivée une fonction paire et vice-versa. Preuve?

• Non dérivabilité si• Non continuité OU• Point anguleux

• Devinette. Existe-t-il• Des fonctions jamais continues• Continues mais jamais dérivables• Dérivables mais jamais continues

x

f

x

xfxxfL

xx

0

00

0lim

)()(lim

0xxdx

df

Δf

Δx

𝑓 𝑥0 + ℎ ~𝑓 𝑥0 + ℎ ∙ 𝑓′(𝑥0) quand h est petit

15

Un exemple amusant

• Pour x<=1:

• continue

• dérivable

• Pour x>1

• continue

• Pas dérivable

1

2

)sin()(

n

n

n

nxxf

Dérivées usuelles (à savoir sauf les deux dernières)

• 𝑥𝛼 → 𝛼𝑥𝛼−1

• 𝑥 = 𝑥1/2 →1

2𝑥−1/2 =

1

2 𝑥

•1

𝑥= 𝑥−1 → −𝑥−2 = −

1

𝑥2

• cos 𝑥 → −sin 𝑥

• sin(𝑥) → cos(𝑥)

• cos 𝑎𝑥 + 𝑏 → −𝑎 ∙ sin 𝑎𝑥 + 𝑏

• sin 𝑎𝑥 + 𝑏 → 𝑎 ∙ cos(𝑎𝑥 + 𝑏)

• 1 + 𝑥3 →1

2 1+𝑥3∙ 3𝑥2

• 1 + 𝑐𝑜𝑠3(𝑥) →1

2 1+𝑐𝑜𝑠3(𝑥)∙ 3𝑐𝑜𝑠2(𝑥) ∙ −sin(𝑥)

• Remarque de notation: on note également 𝑓′ 𝑥 sous la forme 𝑑𝑓

𝑑𝑥

16

17

Exemple: dériver𝑥

𝑥 + 1

cos 3𝑥 + 2

𝑠𝑖𝑛3(𝑥) et sin(𝑥3)

ln 2𝑥 − 1

ln(2𝑥)

𝑥

𝑒1/𝑥

𝑒2𝑥−3

3𝑥 + 1

18

19

Minimum – maximum - extremum

• Théorème : Pour admettre un extremum local, il est nécessaire que la dérivée s’annule. Si La dérivée s’annule et change de signe, alors on a un extremum local.

6 x5

5 x 6

6 x5

6

20

Concavité et point d’inflexion

• Si la dérivée seconde sur un intervalle est positive, alors la fonction y est dite convexe.

• Si la dérivée seconde sur un intervalle est négative, alors la fonction y est dite concave. (f concave si –f convexe)

• Si la dérivée seconde est nulle en un point et change de signe, on a un point d’inflexion.

21

Dérivation de fonctions composées

)()()(

)())(()(

xgxgfxF

xgfxgfxF

)()(11

yFxyxFF

si Fde réciproque

))((

1)(

)(

1))((1)())((

)(

1

1

11

1

yFF

yF

xFxFFxFxFF

xxFF

22

x

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2

𝑥 = 𝑦2 → 𝑦 = 𝑥

La symétrie permute x et y et inverse

les pentes

exemple

• 𝐹 𝑥 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥

2est croissante sur R (F’ >0)

• 𝐹 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝐹−1(𝑦)

• 𝐹′ 𝑥 =𝑒𝑥+𝑒−𝑥

2= 𝐺 𝑥 = 𝐺 𝐹−1(𝑦)

• 𝐺2 𝑥 − 𝐹2 𝑥 = 1

• 𝐺2 𝑥 = 1 + 𝐹2 𝑥 = 1 + 𝑦2

• 𝐺 𝑥 = 1 + 𝑦2 = F′(𝐹−1 𝑦 ) car F’>0

⇢ 𝑭−𝟏 ′ 𝒚 =𝟏

𝟏 + 𝒚𝟐

• On note F(x)=sh(x), G(x)=ch(x) (sinus et cosinus hyperboliques)

Nota: 𝐹−1 𝑦 ≝ 𝑎𝑟𝑔𝑠ℎ 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑦 + 1 + 𝑦2

23

))((

1)(

1

1

yFF

yF

24

Théorème de Rolle

• Théorème de Rolle : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [a,b]. Si f(a)=f(b) alors il existe tel que la dérivée de f en c soit nulle (f’(c)=0).

• Démonstration: Faites Belmont – Uriage – Belmont en vélo

25

Théorème des accroissements finis

• Formule des accroissements

finis : Soit f une fonction

dérivable sur [a,b]. Il existe tel

que

ab

afbfcf

)()()(

ab

afbfcf

ab

afbfxfxg

cgbac

afbg

afag

ab

afbfxaxfxg

)()()(

)()()()(

0)(],[

)()(

)()(

)()()()()(

que tel

Démonstration: Belmont Luitel OU

Belmont – Séchillienne – Luitel ??

26

Règle de l’Hopital

• Pour résoudre les indéterminations « 0/0 »

0)()()(

)(lim

agaf

xg

xf

ax quand

)(

)(lim

)()(

)()(lim

)(

)(lim

)()(

)()(

)()(

)()(

)(

)(

0

0

)(

)(lim0)()(

xg

xf

agxg

ax

ax

afxf

xg

xf

agxg

ax

ax

afxf

agxg

afxf

xg

xf

xg

xfagaf

axaxax

ax

11

coslim

sinlim

00

x

x

x

xx

2

1

2

coslim

2

sinlim

cos1lim

0020

x

x

x

x

x

xxx

Fonctions logarithmes et exponentielle

• La fonction logarithme népérien

est la fonction définie par

• Autrement dit:

• Propriété: le logarithme du

produit est égal à la somme

des logarithmes (on suppose a

et x positifs)

•𝑑

𝑑𝑥ln 𝑥 =

1

𝑥avec ln(1)=0

• ln 𝑥 = 1𝑥 𝑑𝑡

𝑡

• Soit 𝑓 𝑥 = ln(𝑎𝑥) (avec a constant)

→𝑓′ 𝑥 =1

𝑎𝑥∙ 𝑎 =

1

𝑥

→ln 𝑎𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶

→ln 𝑎 = ln 1 + 𝐶 = 𝐶

→𝐶 = ln 𝑎

→ln 𝑎𝑥 = ln 𝑎 + ln(𝑥)

27

Propriétés élémentaires

• Domaine de définition: ℝ∗+

• Fonction strictement

croissante

• lim𝑥→+∞

ln 𝑥 = +∞

• lim𝑥→0+

ln 𝑥 = −∞

• ln 1 = 0

• ln 𝑥𝑦 = ln 𝑥 + ln 𝑦

• ln𝑥

𝑦= ln 𝑥 − ln(𝑦)

• Il existe un nombre 𝑒 ≈2.718 tel que ln 𝑒 = 1

28

lim𝑥→+∞

ln(𝑥)

𝑥𝑛= 0

𝑛 > 0

Histoires de dérivées: dérivée logarithmique

• Quelle est la dérivée (si elle existe) de𝑔 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 ?

• Pour x>0, on a 𝑥 = 𝑥 donc 𝑔 𝑥 = ln 𝑥 donc 𝑔′ 𝑥 = 1/𝑥

• Pour x<0, on a 𝑥 = −𝑥 donc 𝑔 𝑥 = ln −𝑥

𝑔′ 𝑥 =1

−𝑥∙ −1 =

1

𝑥également

𝑑

𝑑𝑥ln 𝑥 =

1

𝑥pour tout x≠0

• De la même manière, pour toute fonction f, on a 𝑓(𝑥) = ±𝑓 𝑥

•𝑑

𝑑𝑥𝑙𝑛 𝑓(𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥𝑙𝑛 ±𝑓(𝑥) =

1

±𝑓(𝑥)∙ ±𝑓′(𝑥) =

𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥ln 𝑓(𝑥) =

𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)

29

Théorème

• Les primitives de 𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)sont 𝑙𝑛 𝑓(𝑥) + 𝐶 avec C une constante

réelle quelconque

• Exemple:

න

−2

−13𝑥2𝑑𝑥

𝑥3 + 2𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥3 + 2 −2

−1 = ln 1 − ln 6 = − ln 6 = ln(1

6)

• Les primitives de 1

𝑥sont 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 avec C une constante réelle

quelconque

• Exemple: 2−−1 𝑑𝑥

𝑥= ln 1 − ln 2 = − ln 2 = ln(

1

2)

30

31

La fonction exponentielle

• Def: la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction

logarithme.

• Propriété fondamentale

• exp 1 = 𝑒 car ln 𝑒 = 1 par définition

Donc exp 𝑛 = 𝑒 ∙ 𝑒 ∙ 𝑒⋯𝑒 ∙ 𝑒 = 𝑒𝑛

• On montre que pour tout x réel on a:

• On a bien sûr: exp −𝑥 = 𝑒−𝑥 = 1/𝑒𝑥

xex )exp(

)ln()ln()ln(

)exp(

abba

eeyx yx

𝑦 = exp 𝑥 ⟺ 𝑥 = ln(𝑦)

)exp()exp())exp(ln()exp()ln()ln()ln()ln(

)ln(yxababyxabbayx

by

ax

Autres propriétés

• L’exponentielle est définie sur ℝ tout entier

• Sa courbe représentative s’obtient par

symétrie de la courbe de ln par rapport à la

diagonale

𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 et

𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝑒𝑓(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑎𝑥 = 𝑎𝑒𝑎𝑥

32

baab

a

eeab

ae

)exp(

)ln(

En rouge: fonction exponentielle.

En vert: fonction ln

0)exp(lim

)exp(lim

0)exp(lim

)exp(lim

xx

x

x

x

x

n

x

nx

x

x

Un exemple: 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 = 3

• On pose 𝑒𝑥 = 𝑋

• 𝑋 +1

𝑋= 3 ⟹ 𝑋2 − 3𝑋 + 1 = 0 ⟹ 𝑋 =

3± 5

2

• Les deux valeurs trouvées pour X sont positives et correspondent à

𝑥1 = 𝑙𝑛3+ 5

2et 𝑥2 = 𝑙𝑛

3− 5

2

• Si X solution, 1/X aussi. Si x solution, -x aussi

• On a bien3+ 5

2∙3− 5

2=

9−5

4= 1 donc les solutions en X sont

inverses l’une de l’autre et les solutions en x opposées

• 𝑥1 = 𝑙𝑛3+ 5

2et 𝑥2 = −𝑥1

33

Equation différentielle associée à l’exponentielle

• La solution générale de l’équation différentielle

𝑓′ 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑓 𝑥 , 𝑎 ∈ ℝ

• Est

𝑓 𝑥 = 𝐶 ∙ 𝑒𝑎𝑥, 𝐶 ∈ ℝ

• Où C est une constante réelle qui dépend des données du problème. En fait C=f(x=0), condition dite “initiale”

34

Logarithme de base quelconque

• Soient x et b deux nombres réels positifs et non nuls. On cherche 𝛼 tel que 𝑥 =𝑏𝛼

𝑥 = 𝑒ln(𝑥) = 𝑏𝛼 = 𝑒ln(𝑏)𝛼= 𝑒𝛼∙ln(𝑏)

⟹ ln 𝑥 = 𝛼 ∙ ln 𝑏 ⟹ 𝛼 =ln(𝑥)

ln(𝑏)

• On dit que 𝛼 est le logarithme à base b de x et on le note 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥) =ln(𝑥)

ln(𝑏)

• Exemple le plus fréquent: b=10 (logarithme décimal)

• Nombre de chiffres d’un nombre entier N?

𝐸 𝑙𝑜𝑔10(𝑁) + 1 où E désigne la partie entière

• Décibel: mesure de la puissance relativement à une puissance de référence

𝐺𝑑𝐵 = 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔10𝑃

𝑃𝑟𝑒𝑓• Exemple: le dBm indique la puissance relativement à Pref=1mW

35

36

Pot pourri

0

0)ln(lim

0)ln(

lim

)ln(lim

)ln(lim

0

0

n

xx

x

x

x

x

n

x

nx

x

x

0,0

)ln()ln()ln(

yx

yxxy

)ln()ln(ln yxy

x

y

x

yx

e

eyx

eeyx

)exp(

)exp(

xex )exp(

)ln(

)ln()(log

)(log

)ln(

b

xx

bx

ex

b

xb

x

)(ln)( xfxG

)(

)()(

xf

xfxG

0)exp(lim

)exp(lim

0)exp(lim

)exp(lim

xx

x

x

x

x

n

x

nx

x

x

xx

xx

1)exp(

)1ln(

baab

baba

ee

eee

)(

axCexfxafxfdx

df )()()(

37

Trigonométrie – Equations trigonométriques

• Tout se fait sur le cercle

trigonométrique (rayon 1)

• Mesure et orientation des

angles

• Formules trigo simples

• Un angle est défini modulo O

M

x

y

P

Q

180deg radiansrés

k20 ]2,0[0

ou

],[0

,,,3

,2,0,2

2

sin θ =𝑄𝑀

𝑂𝑀cos θ =

𝑃𝑀

𝑂𝑀tan θ =

𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑄𝑀

𝑃𝑀

𝜃

La fonction tangente

• Domaine de définition:

ℝ\ (2𝑛 + 1)𝜋

2

• Périodique de période 𝜋

• Infinité d’asymptotes verticales

• Dérivée:

•𝑑𝑡𝑎𝑛(𝑥)

𝑑𝑥=

1

𝑐𝑜𝑠2(𝑥)= 1 + 𝑡𝑎𝑛2(𝑥)

38

39

A savoir par cœur ou à savoir retrouver

θ s i n c o s

0 0 1

6

2

1

2

3

4

2

2

2

2

3

2

3

2

1

2

1 0

?2

sin

?2

cos

?2

sin

?2

cos

?sin

?cos

?sin

?cos

?2

3sin

?2

3cos

?2

3sin

?2

3cos

40

Formules utiles

• Acheter une loupe

• Rouge: par cœur

• Vert: savoir déduire

• Orange: savoir que

cela existe et penser à

lire le formulaire

Fonctions trigonométriques réciproques

• L’équation 𝑦 = sin 𝑥 admet une solution unique dans l’intervalle [-/2, /2] notée arcsin(𝑦)

• L’équation 𝑦 = cos 𝑥 admet une solution unique dans l’intervalle [0, ] notée arc𝑜 𝑠 𝑦 .

• L’équation 𝑦 = tan(𝑥) admet une solution unique dans l’intervalle ]-/2, /2[ notée arc𝑡𝑎𝑛(𝑦).

• Nous avons ainsi défini trois fonctions• Arcsin : défini de [-1 1] sur [-/2, /2]

• Arccos défini de [-1 1] sur [0, ]

• Arctan défini de ]-∞ +∞ [ sur ]-/2, /2[

41

Propriétés

42

2/arcsinarccos

1)tan(arccos

1)tan(arcsin

)sin(arccos1)cos(arcsin

2

2

2

xx

x

xx

x

xx

xxx

2

2

2

1

1arctan

1

1arcsin

1

1arccos

xx

dx

d

xx

dx

d

xx

dx

d

• En rouge: fonction arcsin

• En vert: fonction arccos

43

Détermination de l’angle à partir de son sinus ET de son cosinus

• Dans ce cas, l’angle est unique(à 2 près)

• Une seule une valeur est solution. Laquelle ?

• La fonction arctan a ses valeurs dans le demi-cercle trigonométrique de droite ]-/2, /2[, correspondant aux cosinus positifs.

bx

ax

cos

sin

)/arctan(

)/arctan(

/)tan(

bax

OU

bax

bax

)/arctan(/)tan(0)cos( baxbaxxb

)/arctan(/)tan(0)cos( baxbaxxb

Attention: dans certains domaines, le cas +𝜋n’arrive jamais (en électricité, par exemple, une

résistance est toujours positive) mais ce n’est pas une généralité!

44

Equations angulaires

n

• Un exemple simple

• Une solution fausse

• La solution juste

• Il y a en fait (ici) 5 solutions

• Nota:

• Cas général: n solutions

??????102

5

nk

n

kn

2

2

102

105

10

10

5

8

10,

5

6

10,

5

4

10,

5

2

10,

10

5

2

10

22

5

k

k

45

Equations trigonométriques de base

il suffit de lire sur le cercle pour ne rien oublier.

nkyArc

nnx

oun

kyArcn

x

kyArcnx

ou

kyArcnx

ynx

nkyArc

nx

oun

kyArcn

x

kyArcnx

ou

kyArcnx

ynx

kyArcx

ou

kyArcx

yx

kyArcx

ou

kyArcx

yx

2)sin(1

2)sin(1

2)sin(

2)sin(

sin

2)cos(1

2)cos(1

2)cos(

2)cos(

cos

2)sin(

2)sin(

sin

2)cos(

2)cos(

cos

46

Equations trigonométriques générales

• Objectif: écrire

• Problème: a et b ne sont

pas forcément des sinus

ou cosinus

CxBxA

ba

cx

ba

bx

ba

a

sincos

sincos222222 1

2

22

2

22

22

ba

b

ba

aBA

yba

asin

22

y

ba

bcos

22

Cyxxyxy )sin(sincoscossin

cxbxa sincos

kzyx

kzyxzyx

ou

kzyx

kzyxzyx

2

2)sin()sin(

2

2)cos()cos(

yba

acos

22

y

ba

bsin

22

Cyxxyxy )cos(sinsincoscos

A et B définissent un seul angle y dont ils

sont le sinus ET le cosinus

1C

0 si )/arctan(

0 si )/arctan(

bbay

bbay

0 si )/arctan(

0 si )/arctan(

aaby

aaby

47

Procédure

• On écrit sous la forme qui nous arrange

• On s’assure qu’il y a des solutions

• On déduit y (unique) de ses sinus et cosinus A et B (pas de 2k) (je recommande arctan)

• On passe aux angles en faisant apparaître le 2k

• On résoud

• Cas où l’équation est en x: deux familles de solutions (deux points sur le cercle)

• Cas où l’équation est en nx: 2n familles de solutions (2n points sur le cercle) et du 2k/n

48

• Equation normalisée:

• Je décide de travailler avec

le sinus

222 52534

2)3sin(3)3cos(4

5

2)3sin(

5

3)3cos(

5

4

5

2)3sin()3sin()cos()3cos()sin(

5

3)cos(

5

4)sin(

Vérif: il y a des solutions

3

2)5/2arcsin(

3

13

2)5/2arcsin(

3

1

2)5/2arcsin(3

2)5/2arcsin(3

k

k

k

k

3/4arctan Car cos>0)

Pas de valeurs décimales!!!

La somme de deux fonctions sinusoïdales de même

fréquence est une fonction sinusoïdale de même fréquence

49

•

•

50

Nombres complexes

• Rotations dans le plan: la rotation d’un vecteur quelconque estdéterminée par la rotation des vecteurs de base (système rigide)

ℛ𝜃 Ԧ𝑖 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ Ԧ𝑗ℛ𝜃 Ԧ𝑗 = −𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ Ԧ𝑗

ℛ𝜃 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗 = 𝑥 ∙ ℛ𝜃 Ԧ𝑖 + 𝑦 ∙ ℛ𝜃 Ԧ𝑗ℛ𝜃 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗= 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑦 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ Ԧ𝑗

• Similitude : Rotation et homothétie 𝑆𝜌,𝜃 Ԧ𝑋 = 𝜌 ∙ ℛ𝜃Ԧ𝑋 =

𝑥 ∙ 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑦 ∙ 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑥 ∙ 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑦 ∙ 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ Ԧ𝑗

• Le vecteur𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃

≡𝑎𝑏

caractérise la similitude

𝑆𝜌,𝜃:𝑥𝑦 ↦

𝑥𝑦 ⨂

𝑎𝑏

=𝑎𝑏⨂

𝑥𝑦

51

Nombres complexes

• Au point M de coordonnées (x,y) on associe le nombre

complexe 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. M est appelé affixe de z

• La multiplication par “i” correspond à une rotation de 𝜋/2 (cf

transparent précédent)

• On a ainsi défini une opération de multiplication

• 𝑥 + 𝑖𝑦 ∙ 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑥𝑎 − 𝑦𝑏 + 𝑖(𝑥𝑏 + 𝑦𝑎)

• En particulier 𝑖2 = −1, ce qui signifie simplement que deux

quarts de tours de 90 degrés donnent un demi-tour

• On définit une addition: 𝑥 + 𝑖𝑦 + 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑥 + 𝑎 + 𝑖(𝑦 + 𝑏)

• On a étendu au plan la notion de produit

• La multiplication par un nombre complexe est une rotation

combinée à une homothétie

52

Définitions et propriétés

• Soit 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

• 𝑥 = 𝑅𝑒 𝑧 est la partie réelle

• 𝑦 = 𝐼𝑚(𝑧) est la partie imaginaire

• 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2est le module de z

• 𝜃 est son argument

• 𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝐼𝑚(𝑧)

𝑅𝑒(𝑧)→

ቐ𝜃 = arctan

𝐼𝑚 𝑧

𝑅𝑒 𝑧𝑠𝑖 𝑅𝑒 𝑧 > 0

𝜃 = arctan𝐼𝑚 𝑧

𝑅𝑒 𝑧+ 𝜋 𝑠𝑖 𝑅𝑒 𝑧 < 0

• arg −𝑧 = arg 𝑧 + 𝜋

• arg 𝑖 =𝜋

2et 𝑖 = 1

• arg −𝑖 = −𝜋

2et 𝑖 = 1

53

z

x

y

O

ҧ𝑧

Le point symétrique à l’affixe

de z, par rapport à l’axe

horizontal, définit le conjugué

de z

ҧ𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦

Propriétés

Module

• 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2

• 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑧1 ∙ 𝑧2• 𝑧1 +𝑧2 ≠ 𝑧1 + 𝑧2

• 𝑧 ∙ ҧ𝑧 = 𝑧 2

•1

𝑧=

ҧ𝑧

𝑧 2

• Remarque: 1

𝑖= − 𝑖

Argument

• Si 𝛼𝜖ℝ+, arg 𝛼 = 0

• Si 𝛼𝜖ℝ−, arg 𝛼 = 𝜋

• arg ҧ𝑧 = −arg(𝑧)

• Multiplier par 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃correspond à une rotation d’angle 𝜃

• Multiplier par 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃1 ∙𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃2 correspond donc à

une rotation d’angle 𝜃1 + 𝜃2

• Si 𝛼𝜖ℝ+, arg 𝛼𝑧 = arg(𝑧)

• arg 𝑧1 ∙ 𝑧2 = arg 𝑧1 + arg 𝑧2• arg 𝑧1/𝑧2 = arg 𝑧1 − arg 𝑧2

54

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑧 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 est la forme trigonométrique de z

Exemple: 𝑧 =1+𝑖 3

1+𝑖 3

• 1 + 𝑖 = 2 et arg 1 + 𝑖 =𝜋

4

• 1 + 𝑖 3 = 2 et arg 1 + 𝑖 3 =𝜋

3

• 𝑧 =1+𝑖 3

1+𝑖 3= 2

• arg 𝑧 = 3 ∙𝜋

4−

𝜋

3=

5𝜋

12

• Par ailleurs: 1+𝑖 3

1+𝑖 3=

1+𝑖 3

1+𝑖 3=

(−2+2𝑖)(1−𝑖 3)

4=

1

2ൣ൫−1 +

55

→ 𝒛 = 𝟐 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝟓𝝅

𝟏𝟐+ 𝒊𝒔𝒊𝒏

𝟓𝝅

𝟏𝟐

Formule de Moivre

• Soit 𝑧 = 𝜌 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 avec 𝜌 = 𝑧 et 𝜃 = arg 𝑧

• En vertu de ce qui précède

𝑧𝑛 = 𝜌𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑛 = 𝜌𝑛 ∙ cos(𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜃)

• En particulier, on a la formule de Moivre

𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑛 = cos(𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜃)

• Corollaire:

cos 𝑛𝜃 = 𝑅𝑒 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑛

sin 𝑛𝜃 = 𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑛

56

57

Module et argument de zn

• L’application directe de la formule de Moivre donne

immédiatement les deux relations :

• Exemple

)arg(arg znz

zz

n

nn

2424231 i

Application: expression de

cos 3𝜃 𝑒𝑡 𝑑𝑒 sin 3𝜃 𝑒𝑛𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜃

• On développe 𝑎 + 𝑏 𝑛 à l’aide

du triangle de Pascal.

Avec 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑏 = 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 et n=3

𝑎 + 𝑏 3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

58

cos 3𝜃 + 𝑖 ∙ sin 3𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 ∙ sin 𝜃 3

cos 3𝜃 + 𝑖 ∙ sin 3𝜃 = 𝑐𝑜𝑠3 𝜃 + 3𝑐𝑜𝑠2 𝜃 ∙ 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 − 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛2 𝜃 − 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛3(𝜃)

൝𝐜𝐨𝐬 𝟑𝜽 = 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 − 𝟑𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽

𝐬𝐢𝐧(𝟑𝜽) = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝜽 − 𝒔𝒊𝒏𝟑(𝜽)

59

La fonction exponentielle complexe

• On montre que

• On a alors

!5!4!321)exp(

!5!3sin

!6!421cos

5432

53

642

!5!4!32

1)exp(5432

iiii

)sin()cos( iei

La fonction exponentielle complexe peut donc être vue comme l’extension à tous

le plan complexe de la fonction exponentielle, compte tenu de ses relations avec

les fonctions trigonométriques circulaires.

60

• Module

• Tout nombre complexe z de

module et d’argument θ

peut s’écrire sous la forme

• Autre version de la formule

de Moivre

1ie

iez

innn ez

)sin()cos()exp( iei i

)sin()cos(sincos nini nn

1ie

i

i

i

ez

ez

ez 11

Formules d’Euler

𝑒𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑒−𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃

⟹𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃

2

𝑠𝑖𝑛𝜃 =𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃

2𝑖

Application: linéarisation (réduction d’une puissance de sinus ou cosinus à une somme de sinus et cosinus)

Exemple: calculer une primitive de 𝑐𝑜𝑠3𝜃

61

Linéarisation de 𝑐𝑜𝑠3𝜃

• On développe 𝑎 + 𝑏 𝑛 à l’aide du

triangle de Pascal.

Avec 𝑎 = 𝑒𝑖𝜃 , 𝑏 = 𝑒−𝑖𝜃et n=3

𝑎 + 𝑏 3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

62

𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃

2

𝑐𝑜𝑠3𝜃 =1

8∙ 𝑒3𝑖𝜃 + 3𝑒2𝑖𝜃𝑒−𝑖𝜃 + 3𝑒𝑖𝜃𝑒−2𝑖𝜃 + 𝑒−3𝑖𝜃

𝑐𝑜𝑠3𝜃 =1

8∙ 𝑒3𝑖𝜃 + 3𝑒𝑖𝜃 + 3𝑒−𝑖𝜃 + 𝑒−3𝑖𝜃

𝑐𝑜𝑠3𝜃 =1

8∙ 2 cos 3𝜃 + 6𝑐𝑜𝑠𝜃 =

cos 3𝜃 + 3𝑐𝑜𝑠𝜃

4

63

Remarque: racines nièmes de l’unité

• Racines carrées

• Racines cubiques

• Racines huitièmes

=1

Pour tout n entier, les n nombres

𝑧𝑘 = 𝑒𝑥𝑝𝑖2𝑘𝜋

𝑛(𝑘 = 0. . 𝑛 − 1)

Vérifient 𝑧𝑘𝑛 = 1

On les appelle racines nièmes de l’unité

Un exemple: 𝑧3 = 1

• Dans ℝ il y a une seule solution z=1

• Dans ℂ il y a 3 solutions.

1, exp 𝑖2𝜋

3, exp 𝑖

4𝜋

3= exp −𝑖

2𝜋

3

1,1

2−1 + 𝑖 3 ,

1

2−1 − 𝑖 3

Donc:

𝑥3 − 1 = 𝑥 − 1 𝑥 −1

2−1 + 𝑖 3 𝑥 −

1

2−1 − 𝑖 3

𝑥3 − 1 = 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 1

64

Equation du second degré à coefficients réels

Résoudre 𝑃 𝑧 = 𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 (avec a, b et c réels)

Soit ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 (discriminant)

• Si ∆= 0 alors il y a une solution unique 𝑧0 = −𝑏

2𝑎

𝑃 𝑧 = 𝑎 ∙ 𝑧 − 𝑧02

• Si ∆> 0 alors il y a deux solutions réelles 𝑧1,2 =−𝑏± ∆

2𝑎

• Si ∆< 0 alors il y a deux solutions conjuguées 𝑧1,2 =−𝑏±𝑖∙ ∆

2𝑎

Dans les cas ∆≠ 0 : 𝑃 𝑧 = 𝑎 ∙ 𝑧 − 𝑧1 ∙ 𝑧 − 𝑧2

65

66

Vous avez dit géométrie???

• Circuits électriques en régime sinusoïdal (transformée de Fourier)

• Systèmes en régime quelconque (transformée de Laplace)

• Problèmes harmoniques (électrostatique, magnétostatique, hydrodynamique 2D)

• Calculs d’intégrales (méthode des résidus)

• Théorie des nombres (premiers en autres)

• Modélisation des systèmes dynamiques et fractals

Impedance complexe (régime établi)

• On applique une tension

sinusoïdale aux bornes d’un circuit

RLC. Quel est le courant qui

traverse le circuit?

• Le courant est sinusoïdal de même

fréquence mais éventuellement

déphasé

• On écrit la tension totale

• On considère la tension complexe

et le courant complexe

• On définit l’impédance complexe

(connue) notée 𝑍 (connue)

𝒁 = 𝑹 +𝟏

𝒋𝑪𝝎+ 𝒋𝑳𝝎

• On déduit le courant crête et son

déphasage

67

Ug

𝑈𝑔 = 𝑈0 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡

𝐼 = 𝐼0 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑

𝑈0 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 = RI +1

𝐶න 𝐼𝑑𝑡 + 𝐿

𝑑𝐼

𝑑𝑡

𝑈 = 𝑈0 ∙ 𝑒𝑗𝜔𝑡

𝐼 = 𝐼0 ∙ 𝑒𝑗 𝜔𝑡+𝜑

𝑈0 ∙ 𝑒𝑗𝜔𝑡 = 𝑅 +

1

𝑗𝐶𝜔+ 𝑗𝐿𝜔 ∙ 𝐼0 ∙ 𝑒

𝑗 𝜔𝑡+𝜑

𝑈0 = 𝑅 +1

𝑗𝐶𝜔+ 𝑗𝐿𝜔 ∙ 𝐼0 ∙ 𝑒

𝑗𝜑 = 𝑍 ∙ 𝐼0∙ 𝑒𝑗𝜑

𝜑 = −arg 𝑍

𝐼0 = ൘𝑈0

𝑍

Ici 𝑗2 = −1

68

Racines carrées - Compléments

• Un nombre complexe

• Admet deux racines carrées

• Preuve: il y a deux racines uniquement, et celles-ci

conviennent!

• La notation n’a de sens que pour X réel positif ou

nul

• Pourquoi? On peut définir sans ambiguité ,

pour X réel. C’est LE réel positif dont le carré est X (relation

d’ordre dans R)

Il n’est pas possible d’ordonner les complexes, donc d’en

privilégier un!

iez

2/

2,1

iez

X

X

69

Pourquoi pas ?

Nous décidons que

On a =1 et =-/2 donc

Mais on a tout autant =3/2 donc

Or

i

2/ iei

4/iei

4/3iei

4/34/ ii ee

La décision « démocratique, unanime et consensuelle » ci-dessus

conduit à une incohérence

Une autre

• Un nombre réel n’admet pas forcément de racine carrée réelle

• Tout nombre complexe admet deux racines carrées complexes.

Mais cela n’autorise pas à faire n’importe quoi.

• 1 = 1 = −1 ∙ −1 = −1 ∙ −1 = 𝑖 ∙ 𝑖 = −1

• Théorème très personnel: si z (complexe) n’est pas un réel

positif ou nul, alors 𝑧 = 0, où “0” est la note que je vous mets.

• Dit autrement: ne pas utiliser le symbole pour autre chose

qu’un nombre réel positif ou nul

70

71

Polynômes dans R et C

• Monôme de degré n (x et a réels ou complexes)

• Polynôme: somme de monômes

• Degré du polynôme: celui du monôme de degré le plus élevé

• Les monômes doivent être rangés dans l’ordre des puissances (croissantes ou décroissantes)

n

i

ii

nn xaxaxaxaaxP

0

2210)(

nax

72

Quatre résultats très élémentaires

• Théorème «évident»: Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux.

• Théorème «moins évident»: Si deux fonctions polynomiales sont égales en tout point, alors les coefficients des deux polynômes sont égaux.

• Corollaire : Un polynôme est identiquement nul si et seulement si ses coefficients sont tous nuls.

• Théorème :

• Les coefficients de la somme de deux polynômes sont obtenus en faisant la somme des coefficients de chaque polynôme.

• Le degré de la somme est le degré du polynôme de degré maximum.

),max(

000

)()()(

nm

i

iii

m

i

ii

n

i

ii xqpxqxpxQxP

73

Produit de deux polynômes

• Théorème : Le produit de deux polynômes est un polynôme de degré égal à la somme des degrés des deux polynômes. On obtient le produit par développement.

• La notation « somme » est très commode

• Calcul à la main

• Programmation

ji

jiji

m

j

jiji

n

i

m

i

ii

n

i

ii xqpxqpxqxpxQxP

,0000

)()(

74

Division de deux polynômes

selon les puissances décroissantes

• Division Soient P1(x) et P2(x) deux polynômes quelconques, P2 étant supposé non identiquement nul.

• Théorème : il existe deux polynômes uniques Q et R, tels que

• Procédure : Ecrire les polynômes de gauche à droite selon les puissances décroissantes et procéder à une division classique.

• Exemple : diviser x5+3x3-3x-2 par x3+x+1.

• Réponse : Q(x)=x2+2 et

• R(x)=-x2-5x-4

)deg()deg(

:

:

)()()()(

2

21

PR

resteR

quotientQ

xRxQxPxP

)(

)()(

)(

)(

22

1

xP

xRxQ

xP

xP

Sert au calcul de primitives…entre autres

75

Un exemple:

• Une primitive de :

• est

1

122

2

x

xx

Cxx )1ln( 2

76

Division selon les puissances croissantes

• On se fixe r entier >0

• Théorème : il existe deux polynômes uniques S et T, appelés également quotient et reste, tels que Procédure : Ecrire les polynômes de gauche à droite selon les puissances croissantes et procéder à une division classique.

• Exemple : diviser 2+x2 par 1-x+3x2 en s’arrêtant à l’ordre r=2.

• Réponse :

• S(x)=2+2x-3x2

• x3T(x)=-9x3+9x3 = x3(-9+9x)

rS

restexTx

quotientS

xTxxSxPxP

r

r

)deg(

:)(

:

)()()()(

)1(

)1(21

petit assezx pour )(

)(

)()(

)(

)( )1(

22

1

xS

xxP

xTxS

xP

xP r

Sert aux approximations

77

Remarque

• Allure à l’infini des polynômes réels.

• Théorème : Un polynôme de variable réelle et à coefficients réels

se comporte à l’infini comme son monôme de plus haut degré.

• Preuve : on met le terme de plus haut degré en facteur.

6

652

646 44

123

4

2

4

914123294 x

xxxxxxx

Propriétés générales des polynômes réels

• Tout polynôme réel est défini sur ℝ tout entier

• Il y est dérivable donc continu

• Les limites à ±∞ sont celles du terme de plus haut degré

• Conséquences: les limites à ±∞ d’une fraction rationnelle (rapport de

deux polynômes) sont celles du rapport des termes de plus haut

degré

lim𝑥→+∞

3𝑥2 + 𝑥 + 1

4𝑥2 + 2= lim

𝑥→+∞

3𝑥2

4𝑥2=3

4

lim𝑥→+∞

3𝑥2 + 𝑥 + 1

4𝑥3 + 2= lim

𝑥→+∞

3𝑥2

4𝑥3= 0

lim𝑥→−∞

3𝑥3 + 𝑥 + 1

4𝑥2 + 2= lim

𝑥→−∞

3𝑥3

4𝑥2= lim

𝑥→−∞

3𝑥

4= −∞

78

Zéros de polynômes

• Soit un polynôme P(z), de variable complexe et à coefficients

complexes.

• Définition: on appelle “zéro” ou “” racine” de P tout nombre

complexe z0 vérifiant

• 𝑃 𝑧0 = 0

• Théorème: Si P est un polynôme de degré n, alors𝑃 𝑧0 = 0 ⟺𝑃 𝑧 = 𝑧 − 𝑧0 ∙ 𝑄(𝑧) où Q est un polynôme de degré (n-1).

• Ceci permet de factoriser un polynôme

• Exemple: 𝑃 𝑋 = 𝑋3 + 𝑋2 − 5𝑋 − 2 vérifie 𝑃 2 = 0

• On procède par division. Le reste doit être NUL

• Théorème de Dalembert (forme simplifiée) : tout polynôme admet

des zéros dans ℂ

79

80

Polynômes à coefficients réels

• Théorème : Si un polynôme est à coefficients réels, le conjugué de tout zéro est un zéro.

• Preuve : Si P est à coefficients réels, alors .

• Corollaire : Un polynôme de degré 3 à coefficients réels a au moins un zéro réel.• Il a deux zéros conjugués et un troisième zéro « seul » conjugué de lui-même

donc réel

• Autre démonstration du corollaire : On suppose que le coefficient du terme de plus haut degré est positif (s’il est négatif, le raisonnement reste semblable). Alors, la limite à plus l’infini du polynôme P(x) est plus l’infini. Elle est moins l’infini quand x tend vers moins l’infini. Comme la fonction polynôme est continue, sa valeur passe au moins une fois par zéro.

00000

___

)(0)(0)(

)()(

zzzPzPzP

baabzPzP

que témultiplici même de zéro

de vertuen

81

Illustration

:= ( )P x 3 x3

2 x 4 := ( )Q x 5 x3

2 x 4

Fonction de plusieurs variables

Dérivées partielles et totalles

Différentielles

Différentielle exacte

82

Fonctions de plusieurs variables

• Un exemple𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑥 + 2𝑦

Ici, f est représentée par unesurface dans l’espace à troisdimensions

Questions:• Quelles sont les isovaleurs?

• Où sont les extrema?

• Quelles sont les lignes de plusgrande pente?

• Comment caractériser unetrajectoire qui s’inscrit sur lasurface (problème de lafourmi)?

83

Isovaleurs: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑡𝑒

• Il suffit d’écrire 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑥 + 2𝑦 = C

• Les isovaleurs sont des ellipses non centrées

• (ici) on a un minimum pour

x~-0.1 et y~-0.4

Les lignes de plus grande pente

sont perpendiculaires aux

isovaleurs

84

Isovaleurs sur quelques exemples

• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑡𝑒 ou 𝑦 = 𝑔 𝑥 définissent une courbe du plan

Ex: 𝑥2 + 𝑦2 = 2 est l’équation d’un cercle

𝑦 = 𝑥2est celle d’une parabole

• 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 défini une surface dans l’espace 3D

Ex: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2 est l’équation d’une sphère

𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 est celle d’un paraboloïde

• Isobares, isothermes, isenthalpie, équipotentielles…

85

Dérivation (sur deux variables)

• Identique quel que soit le nombre de variables

• On considère (si elles existent) les dérivées partielles

limℎ→0

𝑓 𝑥0 + ℎ, 𝑦0 − 𝑓 𝑥0, 𝑦0ℎ

=𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑥0, 𝑦0

limℎ→0

𝑓 𝑥0, 𝑦0 + ℎ − 𝑓 𝑥0, 𝑦0ℎ

=𝜕𝑓

𝜕𝑦𝑥0, 𝑦0

• Les dérivées partielles sont obtenues en considérant toutes les autre variables comme étant constantes

𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑥 + 2𝑦𝜕𝑓

𝜕𝑥= 6𝑥 + 𝑦 + 1

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 𝑥 + 4𝑦 + 2

Interprétation: 𝑓 𝑥0 + ℎ𝑥 , 𝑦0 + ℎ𝑦 ~𝑓 𝑥0, 𝑦0 + ℎ𝑥 ∙𝜕𝑓

𝜕𝑥+ ℎ𝑦 ∙

𝜕𝑓

𝜕𝑦

86

Dérivées secondes (sur deux variables)

Identique pour plus de variables

• Chaque dérivée partielle est une fonction de deux variables et possèdedes dérivées partielles. On définit:

𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑥≡𝜕2𝑓

𝜕𝑥2

𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑥≡

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑦≡𝜕2𝑓

𝜕𝑦2

𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑦≡

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦• Théorème de Schwartz:

𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒙𝝏𝒚=

𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒚𝝏𝒙

87

A connaître

Le problème de la fourmi• Une fourmi se déplace sur la surface de tout à l’heure. Sa position (x,y) est

de la forme

𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔1𝑡 𝑒𝑡 𝑦 = 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔2𝑡)

son altitude est 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑥 + 2𝑦

Courbes: w1=2 et w2=7, 7,5 et 7.56789 avec A=B=5

• Questions: quelle est sa vitesse ascentionnelle? Quelle est la vitesse

ascentionnelle d’un papillon qui l’accompagne, en étant à une altitude relative

notée 𝐻 𝑡 = 𝛼 ∙ exp cos t ????

88

89

Différentielle d’une fonction

𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0 ~ℎ ∙ 𝑓′(𝑥0) quand h est petit

Ou encore : ∆𝑓~𝑓′(𝑥) ∙ ∆𝑥 pour h petit

• En mots: l’accroissement de f est en première approximation le

produit de la dérivée par l’accroissement de la variable

• On l’écrit ainsi:

𝒅𝒇 = 𝒇′ 𝒙 ∙ 𝒅𝒙 =𝒅𝒇

𝒅𝒙∙ 𝒅𝒙

• df est la différentielle de f

• Avec une variable, ce n’est guère intéressant. Posons nous la

question suivante: comment est orientée la ligne de plus grande

pente pour la fourmi de tout à l’heure? C’est plus intéressant, c’est

plus compliqué!

90

91

Différentielle logarithmique

• Calcul de petites variation d’un produit ou d’un rapport

Si )()()( xvxuxf alors :

v

dv

u

du

uv

df

f

df

duvdvudf

Si )(

)()(

xv

xuxf alors :

v

dv

u

dudf

u

v

f

df

v

dvuduvdf

2

u

du

f

dfuaf

92

Fournit des approximations commodes pour

les variations relatives

v

v

u

u

f

f

v

dv

u

du

f

dfuvf

v

v

u

u

f

f

v

dv

u

du

f

df

v

uf

u

u

f

f

u

du

f

dfuaf

a et constantes

réelles

93

exemple

• Exemple: variation du

volume d’une sphère

quand le rayon varie peu

• Si le rayon varie de 2%, le

volume varie d’environ 6%

• Ne sert à rien dans le cas

de sommes (ne convient

que pour les produits,

puissances et rapports)

R

R

V

V

R

dR

V

dV

RV

u

du

f

dfuaf

33

3

4 3

Différentielle d’une fonction de plusieurs variables (2 ici)

• De par la construction même des dérivées partielles, on a

𝑓 𝑥0 + ℎ1, 𝑦0 + ℎ2 ~𝑓 𝑥0, 𝑦0 + ℎ1 ∙𝜕𝑓

𝜕𝑥+ ℎ2 ∙

𝜕𝑓

𝜕𝑦

∆𝑓~𝜕𝑓

𝜕𝑥∙ ∆𝑥 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦∙ ∆𝑦

• On définit la différentielle de f

d𝑓 =𝜕𝑓

𝜕𝑥∙ 𝑑𝑥 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦∙ 𝑑𝑦

94

95

dérivation d’une fonction composée (1/3)

dtdt

dydy

dtdt

dxdx

tyy

txx

dyy

fdx

x

fdf

dt

dftf

yxff

)(

)(

???)(

),( tempsdu dépendants y x,et

dtdt

dfdt

dt

dy

y

f

dt

dx

x

fdt

dt

dy

y

fdt

dt

dx

x

fdf

𝒅𝒇

𝒅𝒕=𝝏𝒇

𝝏𝒙∙𝒅𝒙

𝒅𝒕+𝝏𝒇

𝝏𝒚∙𝒅𝒚

𝒅𝒕

96

dérivation d’une fonction composée (2/3)

),(

),(

),(

vuyy

vuxx

yxff

𝝏𝒇

𝝏𝒖=𝝏𝒇

𝝏𝒙∙𝝏𝒙

𝝏𝒖+𝝏𝒇

𝝏𝒚∙𝝏𝒚

𝝏𝒖

𝝏𝒇

𝝏𝒗=𝝏𝒇

𝝏𝒙∙𝝏𝒙

𝝏𝒗+𝝏𝒇

𝝏𝒚∙𝝏𝒚

𝝏𝒗

On a deux notions: celle de dérivée partielle (avec les 𝜕) et

de dérivée totale (avec les d)

97

dérivation d’une fonction composée (3/3)

)(

)(

),,(

tyy

txx

tyxff

Bis: on a deux notions, celle de dérivée partielle (avec les 𝜕)

et de dérivée totale (avec les d)

𝒅𝒇

𝒅𝒕=𝝏𝒇

𝝏𝒙∙𝒅𝒙

𝒅𝒕+𝝏𝒇

𝝏𝒚∙𝒅𝒚

𝒅𝒕+𝝏𝒇

𝝏𝒕

Le problème de la fourmi• Une fourmi se déplace sur la surface de tout à l’heure. Sa position (x,y) est

de la forme

𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔1𝑡 𝑒𝑡 𝑦 = 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔2𝑡)

son altitude est 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑥 + 2𝑦

Courbes: w1=2 et w2=7, 7,5 et 7.56789 avec A=B=5

• Questions: quelle est sa vitesse ascentionnelle? Quelle est la vitesse

ascentionnelle d’un papillon qui l’accompagne, en étant à une altitude relative

notée 𝐻 𝑡 = 𝛼 ∙ exp cos t ????

98

Exemple: la fourmi et le papillon

Position de la fourmi 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔1𝑡 𝑒𝑡 𝑦 = 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔2𝑡)

Altitude de la fourmi: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑥 + 2𝑦 = 𝑧

• Vitesse ascensionnelle de la fourmi:𝜕𝑧

𝜕𝑥= 6𝑥 + 𝑦 + 1 𝑒𝑡

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 𝑥 + 4𝑦 + 2

𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝐴𝜔1𝑠𝑖𝑛 𝜔1𝑡 𝑒𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝐵𝜔2𝑐𝑜𝑠 𝜔2𝑡

𝒗𝒛 =𝒅𝒛

𝒅𝒕=𝝏𝒛

𝝏𝒙

𝒅𝒙

𝒅𝒕+𝝏𝒛

𝝏𝒚

𝒅𝒚

𝒅𝒕• Position du papillon: p t = z + 𝐻 𝑡 = 𝑧 + 𝛼 ∙ exp cos t

• Vitesse ascensionnelle du papillon:

𝒗𝒑 =𝒅𝒑

𝒅𝒕=𝝏𝒑

𝝏𝒙

𝒅𝒙

𝒅𝒕+𝝏𝒑

𝝏𝒚

𝒅𝒚

𝒅𝒕+𝝏𝒑

𝝏𝒕=𝝏𝒛

𝝏𝒙

𝒅𝒙

𝒅𝒕+𝝏𝒛

𝝏𝒚

𝒅𝒚

𝒅𝒕+𝒅𝑯

𝒅𝒕

99

La différentielle définit le plan tangent

𝒅𝒇 = 𝒇′ 𝒙 ∙ 𝒅𝒙∆𝑓~𝑓′(𝑥) ∙ ∆𝑥

• Si y=f(x)

𝑦 − 𝑦0 = 𝑓′(𝑥0) ∙ 𝑥 − 𝑥0est la droite tangente

𝒅𝒇 =𝝏𝒇

𝝏𝒙∙ 𝒅𝒙 +

𝝏𝒇

𝝏𝒚∙ 𝒅𝒚

∆𝑓~𝜕𝑓

𝜕𝑥∙ ∆𝑥 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦∙ ∆𝑦

• Si z=f(x,y)

𝑧 − 𝑧0 =𝜕𝑓

𝜕𝑥∙ 𝑥 − 𝑥0 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦∙ (𝑦 − 𝑦0)

Est le plan tangent

100

𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑥 + 2𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑥= 6𝑥 + 𝑦 + 1

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 𝑥 + 4𝑦 + 2

• Plan tangent

𝑧 − 𝑧0 =𝜕𝑓

𝜕𝑥∙ 𝑥 − 𝑥0 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦∙ (𝑦 − 𝑦0)

𝜕𝑓

𝜕𝑥∙ 𝑥 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦∙ 𝑦 − 𝑧 = 𝑥0 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦∙ 𝑦0 = 𝑐𝑡𝑒

• Vecteur normal: 𝜕𝑓

𝜕𝑥,𝜕𝑓

𝜕𝑦, −1

101

102

Notion de forme différentielle

• Loi des gaz parfaits:

𝑉 =𝑛𝑅𝑇

𝑃

𝑑𝑉 = −𝑛𝑅𝑇

𝑃2∙ 𝑑𝑃 +

𝑛𝑅

𝑃∙ 𝑑𝑇

• Cas du cylindre de section 𝑆 = 𝜋𝑅2

103

dx

Travail des forces de pression (détente selon x)

𝐹 = 𝑃𝑆 → 𝛿𝑊 = 𝐹𝑑𝑥 =𝐹

𝑆𝑆 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑃. 𝑑𝑉

Variation d’énergie interne:

𝛿𝑄 = −𝑃 ∙ 𝑑𝑉 =𝑛𝑅𝑇

𝑃∙ 𝑑𝑃 − 𝑛𝑅 ∙ 𝑑𝑇

Questions: déduire Q, énergie interne du système

En écrivant δ𝑄 =𝑛𝑅𝑇

𝑃∙ 𝑑𝑃 − 𝑛𝑅 ∙ 𝑑𝑇 ?

Formes différentielles

• On appelle forme différentielle toute quantité (ici avec troisvariables)

𝜔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 𝑑𝑦 + 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 𝑑𝑧

• Exemples:

df, la différentielle de n’importe quelle fonction

𝜔 = 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦

𝛿𝑄 =𝑛𝑅𝑇

𝑃∙ 𝑑𝑃 − 𝑛𝑅 ∙ 𝑑𝑇

104

Différentielle exacte

• Une forme différentielle sera dite exacte si elle est la différentielle d’une fonction autrement dit si:

𝜔 = 𝑃 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑄 ∙ 𝑑𝑦 + 𝑅 ∙ 𝑑𝑧 =𝜕𝑓

𝜕𝑥∙ 𝑑𝑥 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦∙ 𝑑𝑦 +

𝜕𝑓

𝜕𝑧∙ 𝑑𝑧

• U ne condition nécessaire (mais pas suffisante) est de vérifier lethéorème de Schwartz:

𝝏𝑸

𝝏𝒙=𝝏𝑷

𝝏𝒚,

𝝏𝑹

𝝏𝒙=𝝏𝑷

𝝏𝒛,

𝝏𝑸

𝝏𝒛=𝝏𝑹

𝝏𝒚• Dans le cas de deux variables x et y, on a seulement, bien sûr:

𝝏𝑸

𝝏𝒙=

𝝏𝑷

𝝏𝒚• Une forme qui vérifie le théorème de Schwartz est dite fermée

• Toute forme exacte est donc fermée

𝜔 = 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 est exacte (différentielle de f=xy)

𝛿𝑄 =𝑛𝑅𝑇

𝑃∙ 𝑑𝑃 − 𝑛𝑅 ∙ 𝑑𝑇 n’est pas exacte

𝛿𝑄

𝑃=

𝑛𝑅𝑇

𝑃2∙ 𝑑𝑃 −

𝑛𝑅

𝑃∙ 𝑑𝑇 est exacte

105

Réciproque, théorème de Poincaré

• Nous avons vu qu’une forme exacte est fermée (Schwartz)

• Une forme fermée est elle exacte?

• 𝜔 =2𝑥

𝑥2+𝑦2𝑑𝑥 +

2𝑦

𝑥2+𝑦2𝑑𝑦 vérifie le th. de Schwartz (fermée)

• Si 𝑓 = 𝑙𝑛(𝑥2 + 𝑦2) on voit que 𝜔 = 𝑑𝑓en

observant les dérivées

• Mais f n’est pas définie en (0,0) (« trou »)

• Théorème de Poincaré: si 𝜔 est fermée sur

un ensemble de définition sans trou

(domaine simplement connexe) alors elle est exacte.

106

Autres exemples

• 𝜔 = −𝑦

𝑥2+𝑦2𝑑𝑥 +

𝑥

𝑥2+𝑦2𝑑𝑦 est non exacte

Les dérivées sont celles de arctan𝑦

𝑥

• 𝜔 =𝑦

1+𝑥2𝑦2𝑑𝑥 +

𝑥

1+𝑥2𝑦2𝑑𝑦 est exacte

Les dérivées sont celles de arctan 𝑥𝑦

107

Le problème inverse

• On suppose que 𝜔 est exacte. De quelle fonction est-elle

la différentielle?

• Ex: 𝑑𝑓 = 2𝑥𝑦 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑥2 + 3𝑦2 ∙ 𝑑𝑦 ≡𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦𝑑𝑦

• On intègre les dérivées partielles en considérant l’autre

variable comme constante

• 2𝑥𝑦 =𝜕𝑓

𝜕𝑥→ 𝑓 = 2𝑥𝑦 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑦 + 𝜑(𝑦)

• 𝑥2 + 3𝑦2 =𝜕𝑓

𝜕𝑦→ 𝑓 = 𝑥2 + 3𝑦2 ∙ 𝑑𝑦 = 𝑥2𝑦 + 𝑦3 + 𝜓(𝑥)

• 𝒇 = 𝒙𝟐𝒚 + 𝒚𝟑 + 𝐂 où C est une constante

108

Notion de gradient, exprimé en coordonnées cartésiennes

• Soit 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑥 + 2𝑦 (la fourmi!)

• Les lignes de même altitude (isovaleurs, lignes de niveau), vérifient 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐶 où C est constante

• Si la fourmi, au cours du temps, se déplace à altitude constante, alors𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡) = 𝐶, et son vecteur vitesse est tangent aux lignes de niveau

𝑑𝑓

𝑑𝑡=𝜕𝑓

𝜕𝑥∙𝑑𝑥

𝑑𝑡+𝜕𝑓

𝜕𝑦∙𝑑𝑦

𝑑𝑡=𝜕𝑓

𝜕𝑥∙ 𝑣𝑥 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦∙ 𝑣𝑦 = 0

• Le vecteur

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑓

𝜕𝑦

noté 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 est perpendiculaire aux lignes de niveau. On l’appelle

le gradient de f.

• En dimension 3 on a 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 =

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑧

109

Propriété

• Le gradient définit la direction de plus grande pente.

• Si la fourmi se dáplace pendant un intervalle de temps ∆𝑡 petit POSITIF, du point 𝑥0, 𝑦0 au point 𝑥1, 𝑦1 , alors

•𝑥1𝑦1

~𝑥0𝑦0

+ 𝑡 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 →∆𝑥~𝑡

𝜕𝑓

𝜕𝑥

∆𝑦~𝑡𝜕𝑓

𝜕𝑦

• 𝑓 𝑥1, 𝑦1 ~𝑓 𝑥0, 𝑦0 + ∆𝑥𝜕𝑓

𝜕𝑥+ ∆𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 𝑓 𝑥0, 𝑦0 + 𝑡 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓

2

• Quand f(x,y)=C est une courbe, gradf est orthogonal à cette courbe et pointe vers le sens des f croissants

• Quand f(x,y,y )=C est une surface, gradf est orthogonal à cette surface et pointe vers le sens des f croissants

110

Extrema

• Une variable: 𝑓′ 𝑥0 = 0 𝑒𝑡 𝑓′′ 𝑥0 > 0 → 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚𝑓′ 𝑥0 = 0 𝑒𝑡 𝑓′′ 𝑥0 < 0 → 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑢𝑚

• Deux variables𝝏𝒇

𝝏𝒙𝒙𝟎, 𝒚𝟎 =

𝝏𝒇

𝝏𝒚𝒙𝟎, 𝒚𝟎 = 𝟎

• 𝑟 =𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝑥0, 𝑦0 , 𝑠 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2𝑥0, 𝑦0 , 𝑡 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦𝑥0, 𝑦0

• ∆= 𝑟𝑠 − 𝑡2

∆> 𝟎 𝒆𝒕 𝒓 > 𝟎 → 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒖𝒎

∆> 𝟎 𝒆𝒕 𝒓 < 𝟎 → 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒖𝒎

∆< 𝟎 → 𝒑𝒂𝒔 𝒅′𝒆𝒙𝒕𝒓𝒆𝒎𝒖𝒎

111

Exemples

• 𝑟 =𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝑥0, 𝑦0 , 𝑠 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2𝑥0, 𝑦0 , 𝑡 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦𝑥0, 𝑦0

• ∆= 𝑟𝑠 − 𝑡2

• De haut en bas:

• ∆> 0 𝑒𝑡 𝑟 > 0 → 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚

• ∆> 0 𝑒𝑡 𝑟 < 0 → 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑢𝑚

• ∆< 0 → 𝑝𝑎𝑠 𝑑′𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑢𝑚

• 𝑓 = 𝑥2 + 𝑦2 +1

2𝑥𝑦

• 𝑓 = −𝑥2 − 𝑦2 +1

2𝑥𝑦

• 𝑓 = 𝑥2 + 𝑦2 + 10𝑥𝑦

112

Intégration

primitives

intégration par parties

intégration par changement de variables

intégrales généralisées

113

114

Intégration – Intégrales généralisées

• Définition 1: Une fonction f définie de manière constante sur des intervalles (finis ou non) est dite fonction en escalier.

• Définition 2 : Soit f une fonction en escalier définie sur [a,b], l’aire I algébrique, située entre la courbe et l’axe de x est appelée intégrale de Riemann de f

b

a

dxxfI )(

Les surfaces sont comptées positivement quand: on va vers les x croissants et la

courbe est au dessus de l’axe des x ou quand on va vers les x décroissants avec

la courbe sous l’axe des x

b

a

b

a

b

a

fdttfdxxf )()(Les variables

d’intégration sont

muettes

115

Intégration des fonctions continues par morceaux

• Théorème : Une fonction

continue par morceaux sur

[a, b] peut être approchée

uniformément par des fonctions

en escalier

• L’intégrale de f est obtenue

comme limite des intégrales des

fonctions en escalier

• Elle correspond à la notion

intuitive de surface, avec un

signe

],[,)()(,0 baxxsxfs nn escalier, en

b

a

nn

b

a

dxxsdxxf )(lim)(

116

Propriétés élémentaires

• La surface sous un point est nulle

• Relation de Chasles

• Corollaire :

• Linéarité. Si α et β sont deux réels quelconques, et f deux fonctions intégrables

0)( a

a

dxxf

c

a

c

b

b

a

dttfdxxfdxxf )()()(

a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

117

Remarques et contre-remarques

• Si A est constant

A savoir!!!

• Attention

Une raison simple: une

surface n’est pas le carré

d’une surface!

)( abAAdx

b

a

a

b

b

a

a

b

a

b

b

a

dxxgx

dxxxg

dxxgdxxfdxxgxf

)(2

)(

)()()()(

2

118

Autres propriétés

• Si f(x)<g(x) pour tout x appartenant à l’intervalle [a,b],

• Inégalité triangulaire

• Conséquence

b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

BABA

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

119

Primitives et intégrales

• Définition : Une fonction F(x) dont la dérivée par rapport

à x est f(x) est appelée primitive de f.

• Propriété : la fonction nulle admet pour primitives toutes

les fonctions constantes.

• Théorème : Si F et G sont deux primitives de f, alors elles

diffèrent seulement par une constante.

• Preuve: la dérivée de F-G est nulle

120

Relation primitive/intégrale

• Théorème : La fonction F définie par

une primitive de f.

h

x x+h

f(x+h)

f(x)

)()()(

)()()(

2

)()()()(

2

)()()()()(

xhfxFhxF

xhfxFhxF

xfhxfhxFhxF

xfhxfhxhfxFhxF

x

a

dttfxF )()(

hx

x

dttfxFhxF )()()(

b

a

aFbFdttf )()()(Corollaire : Si F est une primitive

quelconque de f, donc est définie à

une constante près, on a :

Calcul d’intégrales

• Ce peut être le calcul de primitives (on ne met pas de bornes)

𝑥 ∙ 𝑑𝑥 =𝑥2

2+ 𝐶

les primitives étant à une constante additive près

• Ce peut être le calcul de valeurs (on met les bornes)

න2

3

𝑥 ∙ 𝑑𝑥 =𝑥2

22

3

=5

2

Ici, n’importe quelle primitive convient

• Ce peut être une fonction particulière

𝐹 𝑥 = න1

𝑥

𝑡 ∙ 𝑑𝑡 =𝑡2

21

𝑥

=𝑥2

2−1

2

Attention: la variable d’intégration n’a rien à voir avec les bornes, elle est dite muette, et il ne doit pas y avoir de confusion

121

Attention à que vous écrivez

• 23𝑥 ∙ 𝑑𝑥 =

𝑥2

2 2

3

=5

2

• 23𝑥 ∙ 𝑑𝑡 = 𝑥𝑡 2

3 = 3𝑥 − 2𝑥 = 𝑥 (on intègre selon t)

• 1𝑥𝑥 ∙ 𝑑𝑥 ne veut rien dire car x est, ici, à la fois variable

et constante

• 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝐶 ne pose pas de problème

122

123

Méthodes d’intégration

• Intégration à l’aide de fonctions connues

Tableaux de primitives, dérivée logarithmique etc..

Linéarisation des fontions trigonométriques (Euler)

• Intégration par parties

• Changement de variables

b

a

ba

b

a

dttvtutvtudttvtuvuvuuv )()()()()()()(

)(

)(

)()())((

bg

ag

bt

at

dfdttgtgf

Un premier exemple

• 𝑓 𝑥 =2𝑥2+2𝑥+3

𝑥2+1= 2 +

2𝑥+1

𝑥2+1= 2 +

2𝑥

𝑥2+1+

1

𝑥2+1

• Une primitive de f est donc

• 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑙𝑛 𝑥2 + 1 + arctan(𝑥)

• On a décomposé f en éléments plus simples avant de reconnaître des dérivées connues.

124

Par linéarisation

• 𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃

2

• 𝑐𝑜𝑠3𝜃 =1

8∙ 𝑒3𝑖𝜃 + 3𝑒2𝑖𝜃𝑒−𝑖𝜃 + 3𝑒𝑖𝜃𝑒−2𝑖𝜃 + 𝑒−3𝑖𝜃

• 𝑐𝑜𝑠3𝜃 =1

8∙ 𝑒3𝑖𝜃 + 3𝑒𝑖𝜃 + 3𝑒−𝑖𝜃 + 𝑒−3𝑖𝜃

• 𝑐𝑜𝑠3𝜃 =1

8∙ 2 cos 3𝜃 + 6𝑐𝑜𝑠𝜃 =

cos 3𝜃 +3𝑐𝑜𝑠𝜃

4

න𝑐𝑜𝑠3𝜃 ∙ 𝑑𝜃 =1

4

1

3sin(3𝜃) + 3𝑠𝑖𝑛𝜃

125

Exemples d’intégrations par parties

න ln 𝑥 𝑑𝑥 = න1 ∙ ln(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ ln 𝑥 − න𝑥 ∙1

𝑥∙ 𝑑𝑥

ቊ𝑢 = ln 𝑥𝑣′ = 1

→ ቐ𝑢′ =

1

𝑥𝑣 = 𝑥

⟹නln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥

126

b

a

ba

b

a

dttvtutvtudttvtuvuvuuv )()()()()()()(

Exemples

න𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 − න1 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

൜𝑢 = 𝑥

𝑣′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥→ ቊ

𝑢′ = 1𝑣 = 𝑠𝑖𝑛𝑥

൜𝑢 = 𝑥𝑣′ = 𝑒𝑥

→ ቊ𝑢′ = 1𝑣 = 𝑒𝑥

• Si P est un polynôme de degré N, on calcule 𝑃(𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 par N

intégrations par parties, chacune faisant baisser d’un degré

127

b

a

ba

b

a

dttvtutvtudttvtuvuvuuv )()()()()()()(

Intégration par changement de variables

128

)(

)(

)()())((

bg

ag

bt

at

dfdttgtgf

න

𝑎

𝑏

𝑒𝑥2∙ 2𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = න

𝑎

𝑏

𝑒𝑥2∙ 𝑑𝑥2 = න

𝑎2

𝑏2

𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑏2− 𝑒𝑎

2

Un exemple simple (si l’on ne reconnaît pas la dérivée de 𝑒𝑥2)

Tout consiste à noter que 𝟐𝒙𝒅𝒙 = 𝒅𝒙𝟐 et à voir que

𝑢 = 𝑥2 est une variable plus appropriée

129

Exemple

• Calculer

• On reconnaît que 𝑡 ∙ 𝑑𝑡 =1

2𝑑𝑡2

b

a

dtttI 21

2tx

2

2

2

22/322/322/32 )1()1(

3

11

3

2

2

11

2

11

bx

ax

b

a

b

a

abxdxxdttt

2

2

1112122

212

bx

ax

b

a

b

a

dxxdttdtttI

Méthode générale pour l’intégration par

changement de variables

• 0) Trouver la bonne variable: pas de règle générale

• 1) Remplacer l’ancienne variable par la nouvelle dans la

fonction à intégrer

• 2) Remplacer la différentielle de l’ancienne variable par

celle de la nouvelle en écrivant une relation entre les deux

différentielles en question

• 3) Changer les bornes en mettant les nouvelles

130

131

Exemple: le même (méthode générale)

• Calculer

• On POSE

• On écrit l’ancienne variable en fonction de la nouvelle

• On différencie

• On reporte

• On n’a plus qu’à intégrer

b

a

dtttI 21

2tx

dxxdttt

dxt

dxx

dt

xt

12

11

2

1

2

1

2

2

2

2

22/322/322/32 )1()1(

3

11

3

2

2

11

2

11

bx

ax

b

a

b

a

abxdxxdttt

Un autre exemple: intégrer1/𝑐𝑜𝑠4𝜃

132

𝐼 = න

𝜃1

𝜃21

𝑐𝑜𝑠4𝜃𝑑𝜃

(0)1

𝑐𝑜𝑠2𝜃= 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝜃 → 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 𝜃

(1)1

𝑐𝑜𝑠4𝜃= 1 + 𝑡2 2

(2) 𝑑𝑡 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 ∙ 𝑑𝜃 = 1 + 𝑡2 ∙ 𝑑𝜃

𝑑𝜃 =1

1 + 𝑡2∙ 𝑑𝑡

1

𝑐𝑜𝑠4𝜃𝑑𝜃 = 1 + 𝑡2 2 ∙

1

1 + 𝑡2∙ 𝑑𝑡 = 1 + 𝑡2 ∙ 𝑑𝑡

𝐼 = න

𝑡𝑎𝑛𝜃1

𝑡𝑎𝑛𝜃2

1 + 𝑡2 ∙ 𝑑𝑡 = 𝑡 +𝑡3

3𝑡𝑎𝑛𝜃1

𝑡𝑎𝑛𝜃2

133

Valeur moyenne d’une fonction

• Définition : La valeur moyenne d’une fonction sur un

intervalle [a,b] est

b

a

dttfab

f )(1__

2

0

2

0

2

2

1

22

)2cos(1

2

1)(cos

2

1dt

tdtt

Application et exercice : On applique une tension sinusoïdale de

valeur crête V0 aux bornes d’une résistance R. Quelle est la valeur

de la tension Veff continue qui, placée aux bornes de R, dissiperait

en moyenne la même puissance Joule ? 2

0VVeff

134

Tension efficace

2

2)(cos

11

)(cos

)(cos)(

0

22

0

0

22

0

0

22

0

22

0

2

VV

R

V

R

Vdtt

TR

VE

TP

dttR

VE

dttR

Vdt

R

tVdE

eff

eff

T

T

135

Un exemple d’application: longueur d’un arc de courbe

• On calcule la longueur

infinitésimale d’une portion de

courbe

dxxfdxdx

dydydxds

dydxds

dxxfdfdy

)(11)()(

)()()(

0(

22

22

222

dy

dx

ds

b

a

dxxfL )(1 2

136

Application : surface d’un demi cercle

• Demi cercle supérieur de rayon R

𝑦 = 𝑅2 − 𝑥2 = 𝑅 1 − 𝑥/𝑅 2

𝑆 = න

−𝑅

𝑅

𝑦 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑅 න

−𝑅

𝑅

1 − 𝑥/𝑅 2𝑑𝑥

𝑥

𝑅= 𝑐𝑜𝑠𝜃 → 1 − 𝑥/𝑅 2 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 et 𝑑𝑥 = −𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑑𝜃

𝑆 = −𝑅2න

𝝅

𝟎

𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑑𝜃

𝑠𝑖𝑛2𝜃 =1 − cos(2𝜃)

2→ න

𝜋

0

𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑑𝜃 = −𝜋/2

𝑺 =𝝅

𝟐. 𝑹𝟐

x

y

137

Calcul numérique des intégrales: une méthode simple

• Méthode des trapèzes

• Discrétisation :

hi=(xi+1-xi) et fi=f(xi)

• Si le pas est constant (h)

iii

i hff

A2

1

N

i

iii

x

x

hff

dxxfA

N

0

1

2)(

0

N

i

NN

ii ffff

fh

ffhA

0

12101

222

627.2100

667.23

82

0

2

pas

dxx

138

Intégrales généralisées

• Intégrales où la fonction

à intégrer possède une

singularité

• Le truc: peut on passer à

la limite?

1

0x

dx

1

2x

dx

21(2lim2limlim0

1

0

1

0

x

x

dx

2lim

1

0

1

0

x

dx

x

dx

11

1limlim

1

2

1

2

Xx

dx

x

dx

X

X

X

?

139

Définitions plus précises

• Définition : I est convergente si la limite existe (f non singulière en a)

• Cas de deux singularités en A et B• F est définie en a

• Le résultat doit être indépendant de a

• La propriété « physique » à vérifier, de manière générale, est que l’aire comprise sous la courbe soit une quantité finie.

X

aAX

A

a

dxxfdxxfI )(lim)(

X

aBX

a

XAX

B

A

dxxfdxxfdxxf )(lim)(lim)(

140

Convergence absolue.

• Convergence absolue

• Si, pour x assez grand >X et s>1

• Si l’on peut définir

• Alors

• Or

•

• Donc, si x>1

econvergent econvergent

B

A

B

A

dxxfdxxf )()(

sxxf )(

X

a

dxxf )(

A

X

s

A

X

dxxdxxf )(

AXs

A

X

s xs

dxx 1

1

1

convergedxxf

X

)(

Converge si s>1

convergedxxf

X

)(

141

divergentexx

dx

x

0)ln(lim

1

econvergentee x

x

x

11lim

0

2

1

/11

[0,1]sur intégrablent parfaiteme

0

1

2

1

2

2

2

2

2

dxe

econvergentdxx

dxe

xexSi

e

x

x

x

x

142

Application: série de Fourier

• Décomposer un signal périodique f(t) en somme de

signaux périodiques

i

ii

T

i

T

i

tT

ibtT

iaa

tf

idttT

itfT

b

dtT

titf

Ta

2sin

2cos

2)(

~

)0(2

sin)(1

2cos)(

1

0

0

0

.......

??????)(~

)(??????

dépendça

tftf

143

Premier essai: degré 10 – Super!

1-1

1

:= ( )g t 1

4

2 ( )cos t

2

2

9

( )cos 3 t

2

2

25

( )cos 5 t

2

2

49

( )cos 7 t

2

2

81

( )cos 9 t

2

144

Ordre 10 ou 100: le phénomène de Gibbs

( )g t 0.25000 0.31831 ( )cos t 0.11310 10-14

( )cos 2 t 0.10610 ( )cos 3 t 0.68870 10-14

( )cos 4 t 0.063660 ( )cos 5 t 0.64155 10-14

( )cos 6 t :=

0.045473 ( )cos 7 t 0.69075 10-14

( )cos 8 t 0.035368 ( )cos 9 t 0.11233 10-14

( )cos 10 t

145

Un autre exemple avec les mains: la transformée de

Fourier

• Connaître le contenu

fréquentiel d’un signal

• Mal défini pour un

cosinus. On considère

seulement

• Que vaut la limite quand

N tend vers l’infini?

dtetff tj )()(ˆ

N

N

tjN dtetC 0cos)(ˆ

2 ( )-1( )1 N~

sin

N~

2

2

146

• N=10..100..1000, ω0=7

)(ˆlim NN

C On a fabriqué un pic de largeur

nulle et d’intégrale !

Théorie des distributions

(Laurent Schwartz, Médaille

Fields)

)7cos( t

147

• Raies à ω0=7 et ω1=21 – Intégrale

•

)21cos(5)7cos( tt

148

Equations différentielles

• Relation entre une fonction et ses dérivées• Equations du premier ou du second ordre

• Equations d’ordre supérieur

• Equa. Diff. = Equation + conditions aux limites (ou conditions initiales)

• Equations du premier ordre• Zoologie (à variable separables etc…)

• Méthodes de résolution

• Equations du second ordre• Linéaires avec ou sans second membre

• Méthode de variation des constantes

• Applications• Systèmes dynamiques (oscillateur, mécanique du point …)

• Thermique, vibrations, électromagnétisme (EDP)

• Hypothèse: une solution unique une fois les conditions initiales données• 1 C.I. pour le premier ordre

• N C.I.pour l’ordre N

• Remarque: équation du mouvement = du second ordre (force versus position

149

Exemple: chute d’un corps

Facile – no comments

• Equation fondamentale

de la dynamique

• Conditions initiales

• Solution

• Trajectoire parabolique

mgym

xmjmg

dt

Xdm

jyixy

xX

0

2

2

00

00

)0()0(

)0()0(

y

x

vyyy

vxxx

et

et

002

00

2

2

1)(

)(

2

1)(

)(0

ytvgtty

xtvtx

dctgtty

battx

mgym

xm

y

x

Devinette: un satellite suit une ellipse.

Où est la différence?

Une autre: la Lune ne tombe pas,

mais le stylo tombe. Qu’est ce qui

cloche?

150

Second exemple pour comprendre la signification

physique des termes: oscillateur forcé

)()(

)()(

1

)()(

)()(1

)(

202

2

2

2

2

2

ttidt

di

L

R

dt

id

L

tvti

LCdt

di

L

R

dt

id

dt

diR

C

ti

dt

idLtv

tRidttiCdt

diLtv

g

g

g

Excitation

(extérieure)

Résonance

(intérieure)Pertes (facteur

de qualité)

Comment l’oscillateur se comporte t’il

pour un générateur sinusoïdal

quelconque?

Combinaison du mode propre

d’oscillation (eq. Sans second

membre) et du terme forcé (le

second membre)

Le équations les plus fréquentes: systèmes du premier et

du second ordre (mais ce ne sont pas les seules)

• Système linéaires

• Systèmes régis par une équation différentielle du type (à coefficients constants réels)

• A, B et C sont les constantes du système (résistances, masse, capacitécalorifique…)

• e(t) est la grandeur d’entrée (tension, position, température…)

• s(t) est la grandeur de sortie (tension relevée sur oscilloscope…)

)()()()()()(

)()(2121

22

11tststete

tste

tste

)()()()(

)()()(

2

2

tetCsdt

tdsB

dt

tsdA

tetBsdt

tdsA

152

Equations du premier ordre à variables séparables

• Séparation de x et y

→intégration séparée

• Equation de départ

• Résolution

• Cas particulier

x

dfyxyyy

dfxydxxfdy

xfyxfdx

dy

0

00 )()()0(

)()()(

)()(

Notation: x = variable, y = fonction recherchée

153

Une autre….y est la fonction cherchée

• Equation type)(ygy

)()()()(

)(1

xGyyGyg

dyxdx

yg

dyyg

dx

dy

122

)(1211

1

2

cxy

yGcycy

dyx

y

dydx

dx

dyyy

On vérifie?

C. limites

154

Une dernière, mais le principe est le même

• Equation type

)(

)(

yg

xfy

cxFGycyGxF

cdyygdxxfdyygdxxfdx

dy

yg

xfy

)()()(

)()()()()(

)(

1

3/14

433232

2

3

4

3

43

dx

y

cxy

dxxdyyxyyy

xy

Conditions initiales

4

3)(

)0(

43

300

TydyTy

ydyy

TT

Exemples

155

Equations homogènes du premier ordre

• Equation type

• Changement « naturel » de

fonction

x

yfy

x

yxt )(

)(tftxtytxy

ttf

dt

x

dx

dx

dtxttf

)()(

CxFxy

x

yFCx

x

yFtF

ttf

dt

x

dx

)ln(

)ln(

)()(

1

La solution

156

Un exemple

• On divise tout par x

0222 xyyyx

x

yf

xy

xyy

x

yy

x

y222

2

1

2021

x

yxt )(

ttf

dt

x

dx

dx

dtxttf

)()(

22222

2

2

23

2

/1

/

1

1ln1lnlnln

1

211

)(

yx

yx

xy

xy

t

t

ct

tcttx

dtt

t

tdt

tt

t

ttf

dt

x

dx

022

22

Cyyx

yx

xykx

157

La solution: des cercles

Equation sans second membre et à coefficients constants

158

𝐴𝑦′ + 𝐵𝑦 = 0• Il suffit d’écrire

𝑦′

𝑦= −

𝐵

𝐴= 𝛼 → 𝑙𝑛 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝐾1

𝑦 = ±𝑒𝐾1 ∙ 𝑒𝛼𝑥 = 𝐾 ∙ 𝑒𝛼𝑥 , 𝐾 ∈ ℝ

• Formellement, K est non nul, mais on voit que K=0 donne également

une solution.

• Par identification, K=y(0), correspondant à une condition initiale

𝒚(𝒙) = 𝒚(𝟎) ∙ 𝒆−𝑩𝒙/𝑨

Equation sans second membre et à coefficients non constants

159

𝐴(𝑥)𝑦′ + 𝐵(𝑥)𝑦 = 0• Il suffit d’écrire

𝑦′

𝑦= −

𝐵 𝑥

𝐴 𝑥= 𝛼(𝑥) → 𝑙𝑛 𝑦 = න𝛼 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐾1

𝑦 = ±𝑒𝐾1 ∙ 𝑒 𝛼 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐾 ∙ 𝑒 𝛼 𝑡 𝑑𝑡 , 𝐾 ∈ ℝ

• Formellement, K est non nul, mais on voit que K=0 donne également

une solution.

• Par identification, K=y(0), correspondant à une condition initiale

𝒚(𝒙) = 𝒚(𝟎) ∙ 𝒆− 𝑩 𝒕 /𝑨(𝒕)∙𝒅𝒕

Equation à coefficients non constants, cas général

160

𝐴(𝑥)𝑦′ + 𝐵(𝑥)𝑦 = 𝜑(𝑥)Théorème: la solution générale de cette équation est la somme de la

solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution

particulière de l’équation complète

𝒚 𝒙 = 𝑲 ∙ 𝒆−

𝑩 𝒕𝑨 𝒕

∙𝒅𝒕+ 𝒚𝒑(𝒙)

On détermine yp par divination quand c’est facile, par méthode de la

variation de la constante quand c’est plus difficile

Attention: Ici, 𝐾 ≠ 𝑦(0). On détermine K à partir des conditions initiales

une fois que l’on a l’expression de la solution complète

161

Equations linéaires et combinaison linéaire de solution (marche

aussi pour les équations linéaires du second ordre)

• Théorème : si F et G sont deux solutions de l’équation sans second membre alors 𝐾 𝑥 = 𝜆𝐹 𝑥 + 𝜇𝐺 𝑥 l’est aussi

• .

0)()(

)()()(

)()()(

BGGABFFABKKA

xGxFxK

xGxFxK

Cas particulier: équation à coefficients constants

162

𝐴𝑦′ + 𝐵𝑦 = 𝐶, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴, 𝐵 𝑒𝑡 𝐶 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑠

Théorème: la solution générale de cette équation est la somme de la

solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution

particulière de l’équation complète, et donc, de manière évidente:

𝒚 𝒙 = 𝑲 ∙ 𝒆−𝑩𝒙𝑨 + 𝑪/𝑩

Condition initiale: 𝑦 0 = 𝐾 +𝐶

𝐵→ 𝐾 = 𝑦 0 − 𝐶/𝐵

Méthode de variation de la constante. Recherche de yp

163

𝐴(𝑥)𝑦′ + 𝐵(𝑥)𝑦 = 𝜑(𝑥)

Une solution de l’équation sans second membre est

𝑦𝐺 𝑥 = 𝑒−

𝐵 𝑡𝐴 𝑡

∙𝑑𝑡

Une solution particulière de l’équation complète est

𝒚𝒑(𝒙) = 𝒚𝑮(𝒙) ∙ න𝝋(𝒕)

𝑨(𝒕) ∙ 𝒚𝑮(𝒕)∙ 𝒅𝒕

164

𝒚𝒑(𝒙) = 𝒚𝑮(𝒙) ∙ න𝝋(𝒕)

𝑨(𝒕) ∙ 𝒚𝑮(𝒕)∙ 𝒅𝒕

𝒚′𝒑(𝒙) = 𝒚′𝑮(𝒙) ∙ න𝝋(𝒕)

𝑨(𝒕) ∙ 𝒚𝑮(𝒕)∙ 𝒅𝒕 +𝒚𝑮 (𝒙) ∙

𝝋(𝒙)

𝑨(𝒙) ∙ 𝒚𝑮(𝒙)

𝐴 𝑥 ∙ 𝑦′𝑝 + 𝐵 𝑥 ∙ 𝑦𝑝 = 𝐴 𝑥 ∙ 𝑦′𝐺 + 𝐵 𝑥 ∙ 𝑦𝐺 ∙ 𝜑(𝑡)

𝐴(𝑡)∙𝑦𝐺(𝑡)∙ 𝑑𝑡 +𝜑 𝑥

𝐴 𝑥 ∙ 𝑦′𝐺 + 𝐵 𝑥 ∙ 𝑦𝐺 = 0 (définition de yg)

𝑨 𝒙 ∙ 𝒚′𝒑 +𝑩 𝒙 ∙ 𝒚𝒑 = 𝝋 𝒙

Un exemple

𝑦′ + 2𝑦 = 𝑥

𝑦𝐺 = 𝑒−2𝑥

𝑦𝑝(𝑥) = 𝑦𝐺(𝑥) ∙ න𝜑(𝑡)

𝐴(𝑡) ∙ 𝑦𝐺(𝑡)∙ 𝑑𝑡

𝑦𝑝 𝑥 = 𝑒−2𝑥 ∙ න 𝑡 ∙ 𝑒2𝑡 ∙ 𝑑𝑡

𝑢 = 𝑡, 𝑣′ = 𝑒2𝑡 → 𝑢′ = 1, 𝑣 =1

2𝑒2𝑡

න𝑡 ∙ 𝑒2𝑡 ∙ 𝑑𝑡 = 𝑥/2 ∙ 𝑒2𝑥 −1

2න𝑒2𝑡𝑑𝑡 = 𝑒2𝑥 ∙ 𝑥/2 −

1

4

𝒚𝒑 = 𝒙/𝟐 −𝟏

𝟒

165

166

Application: circuit RC forcé

t

g

g

Dei

RC

vC

iiR

tvidtC

Ri

0

1

)(1

Circuit RC fermé

sans générateur

t

gtp

R

dveei

0

)(

)0(

)(

0

iD

R

dveeDei

t

gtt

167

Exemples: C=10-6F, R=100Ω, i0=2A

• Décharge simple

• Rampe de tension (négative)

• Générateur sinusoidal

168

Equations linéaires du second ordre dans C

• LINEAIRES: si F et G solutions, alors aF+bG solution, pour a et b constantes

• Equations linéaires sans second membre: solutions générales

• Equations avec second membre (système forcé) avec variation de la constante

• Cas important: équations avec coefficients constants

initiales conditions 2

0)()()( yxcyxbyxa Equation « homogène » sans

second membre

On se donne y et y’ pour x

donné

Ou y pour deux x donnés

Ou y’ pour deux x donnés

169

Théorème, déjà vu:

• si F et G solutions, alors F+G solution, pour a et b

constantes

0))(())(())((

_______________________

0)()()(

0)()()(

GFxcGFxbGFxa

GxcGxbGxa

FxcFxbFxa

170

Théorème d’existence et d’unicité

• Théorème: Il existe deux familles de solutions linéairement

indépendantes de l’équation homogène. La solution générale est

combinaison linéaire de deux de ces solutions.

• Théorème équivalent: Il existe 2 solutions particulières

indépendantes (de rapport non constant) C et S telles que

• C(0)=1, C’(0)=0, S(0)=0, S’(0)=1

• où y0 et y’0 sont les conditions initiales (fonction et dérivée)

)()()( 00 xSyxCyxy

171

Exemple: oscillateur harmonique

)()(

1)0(

0)0()cos()()sin(

1)(

0)0(

1)0()sin()()cos()(

0

00

2

xSyxCyy

S

SxxSxxS

C

CxxCxxC

yy

172

Equations du second ordre à coefficients constants et

sans second membre

• Equations du type

• On cherche deux solutions

indépendantes de la forme

• On a

0 cyybya

tey

t

t

ey

ey

2

02 ttt ceebea

02 cba Equation caractéristique

173

Résolution de l’équation caractéristique

• Deux solutions simples réelles

• Une solution double réelle

• Deux solutions simples conjuguées

• Purement imaginaires

• Avec partie réelle non nulle

• Peut on avoir une autre situation?

02 cba

174

Théorème :

• Si les zéros de l’équation caractéristique sont tous deux réels, distincts, on a des solutions en

• Si les zéros sont égaux,donc réels on a des solutions en

• Si les zéros sont complexes, donc conjugués, les solutions sont alors :

xxeCeCy 21

21

21 CxCey x

xCxCey x sincos 21

i

175

Cas un: deux zéros réels distincts

0

0

2

cba

cyybya

2

1

013

03

1

1

2

yyy

)/( tesindépendan

esélémentair solutionset

2

2

cteee

ee

xx

xx

CIeCeCy xx 2

21

176

Les conditions initiales

002

01

021

021

0

0

2

21

2

21

2

2)0(

)0(

2

yyC

yyC

yCC

yCC

yy

yy

eCeCy

eCeCy

xx

xx

03 yyy

177

Conclusion1:

• Si les zéros de l’équation

caractéristique sont tous deux

réels, distincts, on a des

solutions en

• Conditions initiales (par

exemple)

xx

xx

eCeCy

eCeCy

21

21

2211

21

21

02211

021

0

0,

)0(

)0(CC

yCC

yCC

yy

yy

178

Cas deux: une solution double réelle

0

0

2

cba

cyybya

1

012

02

2

yyy

)/( tesindépendan

esélémentair solutionset

ctexee

xee

xx

xx

CICxeCBxeAey xxx 21

On vérifie?

179

Conditions initiales

212110

210

211

21

1

)1(

CCCCCy

CCy

eCCexCy

CxeCy

xx

x

180

Conclusion2

• Si les zéros sont égaux,donc réels on a des solutions

en

21 CxCey x

212110

210

1 CCCCCy

CCy

181

Cas 3: deux imaginaires purs (donc opposés)

0

0

2

cba

cyybya

i

yy

3

09

09

2

tesindépendan

esélémentair tionsin(3x)soluet os(3x) sc

CIxCxCy )3sin()3cos( 21

On vérifie?

182

Conditions initiales

20

10

21

21

3

)3cos(3)3sin(3

)3sin()3cos(

Cy

Cy

xCxCy

xCxCy

183

Cas 3 bis: zéros conjugués

0

0

2

cba

cyybya

i

yyy

32

0134

0134

2

ixxxi

ixxxi

eee

eee

32)32(

32)32(

)3sin()3cos()3sin()3cos( 21

22

2

2

1 xCxCexeCxeCy xxx

Amortissement oscillation

Question à 50c: où sont passés les complexes?????

184

Conclusion 3

• Si les zéros sont complexes, donc conjugués, les

solutions sont alors :

• Les solutions sont réelles car les CI le sont

xCxCey x sincos 21

i

185

Equations avec second membre – exemple: oscillateur forcé

• Théorème : La solution générale de l’équation avec second membre est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre, et d’une solution particulière de l’équation complète.

• Le hic: comment trouver la solution particulière?

• Variation des constantes!

limites conditionsdeux

)()()()( xyxcyxbyxa

186

La solution (sans démonstration). Nous ne l’utiliserons pas, mais

ceci donne la forme générales quand on veut une expression

thoérique

• Solution particulière et solution totale

xx

p dw

SxCd

w

CxSxy

00)(

)()()(

)(

)()()()(

xx

dw

SxCd

w

CxSxSyxCyxy

00

00)(

)()()(

)(

)()()()()()(

limites conditionsdeux

)()()()( xyxcyxbyxa

x

dtta

tbxw

0)(

)(exp)(

187

Interprétation physique des solutions

• La solution particulière de l’équation complète correspond

au comportement à long terme du système quand celui-ci

est amorti (coefficient en y’)

• Elle correspond à son comportement à long terme quand

on démarre le système avec une énergie interne nulle

• On peut donc la deviner (ou au moins deviner sa forme)

dans le cas d’un système physique ou technique )

188

Equations à coefficients constants

• Tous les coefficients sont

constants

• Une solution particulière

évidente est 𝑦𝑝 =Φ

𝑐

• Si Y est la solution générale

de l’équation sans second

membre, alors

cyybya

cYy

189

Exemple: circuit RLC série fermé

Tension aux bornes du condensateur

• i=Cdu/dt

• Equation:𝑈 − 𝑅𝐶 ∙ 𝑈′ + 𝐿𝐶 ∙ 𝑈′′ = 0

LCCR 422

<0 >00

nsoscillatioC

LR

iteC

LR

nsoscillatiopasdC

LR

20

lim20

'20

190

Circuit forcé – Etape 1

)4cos( tyyy

𝑦′′ + 𝑦′ + 𝑦 = 0𝛼2 + 𝛼 + 1 = 0

α =−1 ± 𝑖 3

2.

𝑦𝑠𝑠𝑚 = 𝑒−𝑥/2 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠3

2∙ 𝑥 + 𝐵 ∙ 𝑠𝑖𝑛

3

2∙ 𝑥

𝑒−𝑥/2 ∙ 𝑐𝑜𝑠3

2∙ 𝑥

191

Oscillateur forcé - finSolution particulière:

)4cos( tyyy

𝑦𝑝 = 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 + 𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛(4𝑡)

𝑦′𝑝 = −4𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛 4𝑡 + 4𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠(4𝑡)

𝑦′′𝑝 = −16𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 − 16𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛(4𝑡)

𝑦′′𝑝+𝑦′𝑝+𝑦𝑝 = −15𝑎 + 4𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 − 4𝑎 + 15𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛 4𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 4𝑡

൝−𝟏𝟓𝒂 + 𝟒𝒃 = 𝟏𝟒𝒂 + 𝟏𝟓𝒃 = 𝟎

→ ቊ𝒂 = −𝟏𝟓/𝟐𝟒𝟏𝒃 = 𝟒/𝟐𝟒𝟏

𝑦 = 𝑒−𝑥/2 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠3

2∙ 𝑥 +𝐵 ∙ 𝑠𝑖𝑛

3

2∙ 𝑥 −

15

241∙ 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 +

4

241∙ 𝑠𝑖𝑛(4𝑡)

192

On observe le régime transitoire

(éq. Sans second membre,

régime libre) et le régime à long

terme (forcé, solutionparticulière)

Calcul vectoriel

• Notion générale de vecteur, bases, norme

• Produit scalaire

• Droites et plans, vectoriels et affines

• Produit vectoriel

• Equation d’une droite, d’un plan

• Normale à une droite ou à un plan

• Applications: distance d’un point à une droite, à un plan

• Systèmes d’équations linéaires

193

Définitions générales

• Un vecteur permet de définir une direction, un sens et une intensité.

Exemple: une force de 5N dirigée verticalement vers le bas

• On peut multiplier un vecteur par un réel: trois personnes exerçant

une force de 5N de même direction et de même sens exercent au

total 15 N

• On peut ajouter des vecteurs: deux personnes qui exercent chacun

une force exercent au total une force résultante qui dépend des sens

et des intensités de deux force initiale

194

• De manière générale, un espace vectoriel réel E est un ensemble au sein duquel on sait définir une addition et une multiplication (externe) par un réel

• 𝐴 ∈ 𝐸 𝑒𝑡 𝐵 ∈ 𝐸 ⟹ 𝐴 + 𝐵 ∈ 𝐸

• 𝐴 ∈ 𝐸 𝑒𝑡 𝜆 ∈ ℝ ⟹ 𝜆𝐴 ∈ 𝐸

• Deux vecteurs A et B sont dits colinéaires s’ils sont de même direction donc si l’on peut écrire B = 𝜆𝐴, 𝜆 ∈ ℝ

• Nous indiquerons par la suite les vecteurs avec des flèches mais cen’est pas indispensable…

• L’”intensité”du vecteur s’appelle sa norme, elle est positive

• Exemples de vecteurs et norme associée

La position d’un point par rapport à une origine / la distance (m)

Une force / l’intensité de la force (N)

Une vitesse / la vitesse en m/s

La position et la vitesse (en m/s) d’une masse située au bout d’un ressort (x,v) / norme non définie…

195

Quelques questions qui demandent le calcul vectoriel

• Travail d’une force

• Calculer le champ magnétique créé par un fil parcouru

par un courant

• Calculer la force qui s’exerce sur un proton en

mouvement

• Pourquoi et comment un patineur en rotation et qui

resserre les bras accélère t’il?

• Pourquoi et comment le pendule de Foucault voit il son

plan d’oscillation varier?

196

197

Somme et produit par un réel: les deux seules choses qui

définissent des vecteurs (même pas besoin de la norme)

Y

YX

X

YX

0 avec X

0 avec X

XX

YXYX

Espaces vectoriels et affines

• Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs

• Ex: l’ensemble des vecteurs colinéaires à un vecteur donné est une droite

vectorielle, et est constitué de vecteurs uniquement

• Un espace affine est constitué de points. Deux points permettent de définir un

vecteur

• Si A et B permettent de définir un vecteur 𝐴𝐵 et si (A,B,C,D) est un

parallélogramme, alors D et C définissent le même vecteur: 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶(mêmes direction et sens, même norme)

• 𝑨𝑩 + 𝑩𝑪 = 𝑨𝑪 (𝑪𝒉𝒂𝒔𝒍𝒆𝒔)

• Deux droites affines parallèles ont le même vecteur directeur.

• Deux droites vectorielles parallèles sont…identiques

198

AB

C

D

199

Définitions/propriétés

• Combinaison linéaire (2 vecteurs ou plus)

• Définition : Deux vecteurs sont indépendants s’ils ne sont pas colinéaires.

• n vecteurs forment un système libre, par opposition à un système lié) si aucun de ses vecteurs ne peut s’écrire comme combinaison linéaire des autres.

• La dimension d’un espace vectoriel est le plus grand nombre de vecteurs qui puissent former un système libre.

• On appelle base tout système libre de n vecteurs, n étant ici la dimension de l’espace considéré.

• Théorème : Tout espace vectoriel admet des bases.

• Corolaire: tout vecteur de l’espace vectoriel peuts’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de base

• Les coefficients sont les coordonnées (oucomposantes) du vecteur

• Repère dans un espace affine: Une base + un point • Pas forcément orthonormé

• Nous noterons les vecteurs sous formecolonne sauf quand il n’y a pas d’ambiguité.

NN XX

YX

11

kji

,,

kcjbiaOM

O

i

k

j

M

Dimension = nombre de degrés de liberté

• Les trois degrés de liberté de l’espace ambiant définissent

un espace de dimension 3.

• L’espace ambiant est un espace affine de dimension 3

• L’ensemble des trajectoires d’un point dans l’espace

ambiant est déterminé par 3 coordonnées de position et 3

composantes de vitesse. C’est un espace à 6 dimensions

appelé espace des phases (6N dimensions si N points)

• L’ensemble des polynômes de degré n est un espace

vectoriel de dimension (n+1)

• L’ensemble des solutions d’une équation linéaire du

second membre et sans secon membre est un espace

vectoriel de dimension 2

200

Divers

• Combinaison linéaire de deux vecteurs (ici en dimension 2)

Si Ԧ𝐴 = 𝑥𝐴𝑦𝐴

𝑒𝑡 𝐵 = 𝑥𝐵𝑦𝐵

alors λ Ԧ𝐴 + 𝜇𝐵 = 𝜆𝑥𝐴+𝜇𝑥𝐵𝜆𝑦𝐴+𝜇𝑦𝐵

• Vecteur défini par deux points

𝑀 = 𝑥𝑀𝑦𝑀

𝑒𝑡 𝑁 = 𝑥𝑁𝑦𝑁

alors 𝑀𝑁 = 𝑥𝑁−𝑥𝑀𝑦𝑁−𝑦𝑀

• Milieu M d’un segment [A,B], O étant une origine quelconque

𝑂𝑀 =1

2∙ 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵

• Barycentre de n points Xi

𝑂Ω =1

𝜆1 +⋯𝜆𝑛∙𝜆𝑖 ∙ 𝑂𝑋𝑖

• Indépendant du point d’origine (heureusement!)

𝑂𝐴 + 𝐴Ω =1

𝜆1 +⋯𝜆𝑛∙𝜆𝑖 ∙ 𝑂𝐴 + 𝐴𝑋𝑖 = 𝑂𝐴 +

1

𝜆1 +⋯𝜆𝑛∙𝜆𝑖 ∙ 𝐴𝑋𝑖

201

Produit scalaire

• Par définition, le produit scalaire de deux vecteurs est le nombre réel

Ԧ𝑋 ∙ 𝑌 = Ԧ𝑋 ∙ 𝑌 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃

où 𝜃 est l’angle entre les deux vecteurs

• En particulier Ԧ𝑋 ∙ Ԧ𝑋 = Ԧ𝑋2

• Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produitscalaire est nul.

Le produit scalaire commute Ԧ𝑋 ∙ 𝑌 = 𝑌 ∙ Ԧ𝑋

Il se distribue Ԧ𝑋 ∙ 𝑌 + Ԧ𝑍 = Ԧ𝑋 ∙ 𝑌 + Ԧ𝑋 ∙ Ԧ𝑍

𝛼 ∙ Ԧ𝑋 ∙ 𝑌 = 𝛼 Ԧ𝑋 ∙ 𝑌 = Ԧ𝑋 ∙ 𝛼𝑌 , 𝛼 ∈ ℝ

𝜶𝑿 = 𝜶 ∙ 𝑿

• Théorème: le vecteur 𝑛 =1

𝑋∙ Ԧ𝑋 est colinéaire à Ԧ𝑋, de même sens et

de norme 1. On a ainsi normalisé le vecteur Ԧ𝑋

202

Le produit scalaire est une projection

• 𝑛 = 1, 𝑛 vecteur directeur de la droite, O un point quelconque

• 𝑂𝐴 = 𝑂𝐻 + 𝐻𝐴

• 𝑛 ∙ 𝑂𝐴 = 𝑂𝐻 (distance algébrique, avec un signe)

203

O

A

H

𝒏 Le produit scalaire est un NOMBRE

Base orthornormée (dimension 3 pour l’exemple)

• Une base Ԧ𝑖, Ԧ𝑗, 𝑘 est une base orthonormée si et seulement si

• Ԧ𝑖 = Ԧ𝑗 = 𝑘 = 1

• Ԧ𝑖 ∙ Ԧ𝑗 = Ԧ𝑗 ∙ 𝑘 = 𝑘 ∙ Ԧ𝑖 = 0

• Théorème: Si la base est orthonormée et si Ԧ𝐴 =

𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴

et 𝐵 =

𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵

alors Ԧ𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑥𝐴 ∙ 𝑥𝐵 + 𝑦𝐴 ∙ 𝑦𝐵 + 𝑧𝐴 ∙ 𝑧𝐵

• Si la base n’est pas orthonormée, la formule est plus

compliquée

204

Démonstration

Ԧ𝐴 = 𝑥𝐴 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑦𝐴 ∙ Ԧ𝑗 + 𝑧𝐴 ∙ 𝑘

𝐵 = 𝑥𝐵 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑦𝐵 ∙ Ԧ𝑗 + 𝑧𝐵 ∙ 𝑘Ԧ𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑥𝐴 ∙ 𝑥𝐵 ∙ Ԧ𝑖 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑥𝐴 ∙ 𝑦𝐵 ∙ Ԧ𝑖 ∙ Ԧ𝑗 + ⋯

• Si la base est orthonormée, les carrés scalaires valent 1

et les produits croisés sont nuls, et alors

→ Ԧ𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑥𝐴 ∙ 𝑥𝐵 + 𝑦𝐴 ∙ 𝑦𝐵 + 𝑧𝐴 ∙ 𝑧𝐵• Sinon, le produit scalaire dépend des produits scalaires

des vecteurs de base entre eux.

• On n’a pas toujours une base orthonormée

205

Angle entre deux vecteurs

𝑋 ∙ 𝑌 = 𝑋 ∙ 𝑌 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑋∙𝑌

𝑋 ∙ 𝑌

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑋 ∙ 𝑌

𝑋 ∙ 𝑌∈ [0, 𝜋]

Angle interne

Exemple: Ԧ𝑋 = 1,2,3 𝑒𝑡 𝑌 = 2,1,0

𝑐𝑜𝑠𝜃 =4

70

206

Equation d’un plan dans un espace de dimension 3

• Les vecteurs (x,y,z) perpendiculaires à un vecteur donné 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)forment, un dimension 3, un plan vectoriel

• L’équation du plan vectoriel est donc

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0

dont 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) est un vecteur normal

• Plan affine passant par un point A fixé.

A et B (x,y,z) sont un plan perpendiculaire à 𝑛 si 𝐴𝐵 est perpendiculaire à 𝑛

𝑎 𝑥 − 𝑥𝐴 + 𝑏 𝑦 − 𝑦𝐴 + 𝑐 𝑧 − 𝑧𝐴 = 0

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑐𝑡𝑒

est l’équation d’un plan affine dont 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) est un vecteur normal

207

Exemple: distance D de M(1,2,3) au plan 3x+2y+z=7

Position du point par rapport au plan

A(1,1,2) appartient au plan et 𝐴𝑀 = (0,1,1)

𝐴𝑀 = 𝐴𝐻 + 𝐻𝑀

𝑛 = (3,2,1) est un vecteur normal

𝑛 ∙ 𝐴𝑀 = 𝑛 ∙ 𝐻𝑀 = ± 𝑛 ∙ 𝐻𝑀 = ± 𝑛 ∙ 𝐷

±𝐷 =𝑛∙𝐴𝑀

𝑛=

3

14,

positif, donc M est du côté du plan donné par le sens de 𝑛

Bis: prendre A (0,0,7)….

208

209

Produit vectoriel

• un système de trois vecteurs est dit direct si l’orientation des vecteurs, dans l’ordre indiqué, correspond à l’orientation des trois premiers doigts de la main droite, dans l’ordre (pouce, index, majeur).

• Pas forcément orthogonalité

• Correspond au sens trigonométriquedans le plan, qui n’a plus de sens en 3 dimensions ou plus

• Dans un espace, quelle que soit la dimension, il n’y a que deuxorientations possibles

ZX

,Y,

X

Z

Y

210

Plusieurs définitions: (i,j,k) direct quand

• Règle du tire-bouchon• Si l’on tourne de i vers j,

alors k est orienté dans le sens où avance le tire-bouchon

• Règle de la main droite• La main tendue donne le

sens de i

• Une balle dans la paume donne le sens de j

• Le pouce donne le sens de k

• Règle des trois doigts de la main droite

X

Z

Y

Produit vectoriel, définition:

• On définit Ԧ𝑍 = 𝑋⋀𝑌 comme étant le seul vecteur vérifiant

• 𝑿, 𝒀, 𝒁 est direct

• Z orthogonal à X et Y

• 𝒁 = 𝑿 ∙ 𝒀 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝜽 (l’angle étant compté en zéro et 𝜋)

• Propriétés• Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul

• Le produit vectoriel est anticommutatif

• Plus généralement

211

XXX

XXXX

BABXAXBAX

XXX

XX

ZYY ZZ Y

ZZ

YYY

Y YY

Y-Y

0

Le produit vectoriel

est un VECTEUR

Cas d’une base orthonormée directe

• La définition du produit vectoriel implique immédiatement que

si Ԧ𝑖, Ԧ𝑗, 𝑘 est orthonormée directe alors

Ԧ𝑖 ∧ Ԧ𝑗 = 𝑘 et Ԧ𝑗 ∧ Ԧ𝑖 = −𝑘

Ԧ𝑗 ∧ 𝑘 = Ԧ𝑖 et 𝑘 ∧ Ԧ𝑗 = −Ԧ𝑖

𝑘 ∧ Ԧ𝑖 = Ԧ𝑗 et Ԧ𝑖 ∧ 𝑘 = −Ԧ𝑗

Ԧ𝑖 ∧ Ԧ𝑖 = Ԧ𝑗 ∧ Ԧ𝑗 = 𝑘 ∧ 𝑘 = 0

• Conséquence: Si 𝑋 = 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗 + 𝑧𝑘 et 𝑌 = 𝑎Ԧ𝑖 + 𝑏Ԧ𝑗 + 𝑐𝑘

𝑋 ∧ 𝑌 = 𝑥𝑎Ԧ𝑖 ∧ Ԧ𝑖 + 𝑥𝑏Ԧ𝑖 ∧ Ԧ𝑗 + ⋯+ 𝑦𝑎Ԧ𝑗 ∧ Ԧ𝑖 + ⋯

𝑋 ∧ 𝑌 = 0 + 𝑥𝑏𝑘 +⋯− 𝑦𝑎𝑘 +⋯

𝑿 ∧ 𝒀 = 𝒚𝒄 − 𝒛𝒃 ∙ Ԧ𝒊 + 𝒛𝒂 − 𝒙𝒄 ∙ Ԧ𝒋 + 𝒙𝒃 − 𝒚𝒂 ∙ 𝒌

212

213

Cas d’une base orthonormée: calcul pratique

• Règle des déterminants

yaxb

xcza

zbyc

c

b

a

z

y

x

yaxb

xcza

zbyc

c

b

a

z

y

x

214

Un exemple avec les deux produits

deg6.24

184

49

84

35

84

49

614

7coscos7

84

35

614

35sin

6

14

359251

01*31*52*1

03*32*51*1

3

5

1

1

1

2

3

2

1

YXYX

YX

Z

Y

X

Z

ZYX

Y YY

Y)Y

)Y

,sin

(

(

XXX

X

XX

YYY

,cos XXX

Distance d’un point à une droite

• 𝑛 vecteur directeur de la droite, O un point quelconque

• 𝑂𝐴 = 𝑂𝐻 + 𝐻𝐴

• 𝑛 ∧ 𝑂𝐴 = 𝐴𝐻 ∙ 𝑛 → 𝐴𝐻 =𝑛∧𝑂𝐴

𝑛

215

O

A

H

𝒏 Le produit vectoriel est un VECTEUR

216

Problèmes de magnétisme

BvEqF

• Force électrique et force

magnétique

• Champ crée par un courant (loi de

Biot et Savart)𝑑𝐵 =

𝜇0 ∙ 𝐼

4𝜋𝑟3∙ 𝑑Ԧ𝑙 ∧ Ԧ𝑟

Champ élémentaireFil rectiligne infini Solénoïde (inductance)

217

Interaction entre deux charges en

mouvement• Champ magnétique crée

par une charge en

mouvement

• Interaction entre deux

charges en mouvement

Un peu de géométrie

• Vecteur directeur de la droite formant l’intersection de

deux plans

• 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 6

• 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3

• Vecteurs normaux: (1,2,3) et (1,-1,1)

•

123

∧1−11

=52−3

convient…..

218

C’est pas

bioutiful??

219

Une autre interprétation du produit vectoriel

• Orthogonal au plan qui

contient X et Y

Y YY

YY

Y

,sin XXX

X

XX

ammeparalélogr du aire triangledu aire*2

Y

YX

hXY

,sin

h

X

Y

220

Applications

• Moment d’un vecteur par

rapport à un point

• vecteur

• Moment d’un vecteur par

rapport à un axe

• scalaire

XABXM A

uXABuXMXM A

221

Un autre exemple: levier

• La « force qui compte » est

• L’effet est d’autant plus important que le « bras de levier » OM est grand

• La seule quantité importante est donc

• Ceci doit être indépendant de la position angulaire dans le plan

• On définit donc ainsi le moment de la force par

• La rotation, et tout ce qui entraîne une rotation, sera donc associé à la notion de moment

jFFeff

cos

sincos FOMFOM

FOMMOF

/

M

j F

O

i

222

Vecteur rotation: une façon de voir les choses

• ω: vitesse angulaire

(radians/seconde)

• Comment décrire quelque chose

qui change tout le temps?

X

O

vOXR

OX

vOX

OX

v

R

v

2

2

1

Moment cinétique (ici un seul point) analogue à la quantité de mouvement

Sytèmes d’équations linéaires

• On considère les systèmes linéaires de plusieurs

équations à plusieurs inconnues

• ቐ

𝑀11𝑥1 +⋯+𝑀1𝑛𝑥𝑛 = 𝑦1⋯

𝑀𝑝1𝑥1 +⋯+𝑀𝑝𝑛𝑥𝑛 = 𝑦𝑝

p équations à n inconnues

• Un tel système peut admettre une solution unique,

aucune solution, ou une infinité de solutions

• Quand il y a plus d’équations que d’inconnues, il n’y a en

général pas de solution stricte, mais on sait en définir au

sens des moindres carrés (exemple: déterminer

expérimentalement deux paramètres avec 20 mesures)

223

Résolution par combinaison linéaire

• Théorème: On obtient un système équivalent en remplaçant l’une des équations par une combinaison linéaire de cette équation et d’une autrequelconque (attention, il faut l’une des deux d’origine).

• On peut ainsi éliminer une inconnue de toutes les équations sauf une et réitérer le processus. On peut pour cela• échanger deux lignes.

• multiplier une ligne par un nombre non nul.

• ajouter dun multiple d'une ligne à une autre ligne.

• ቐ

2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 134𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −1𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13

→ ቐ

𝐸𝑞2 − 2 ∗ 𝐸𝑞14𝐸𝑞3 − 𝐸𝑞2

𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13→ ቐ

−7𝑦 − 𝑧 = −2715𝑦 + 7𝑧 = 53

𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13

• ൞

7𝐸𝑞1 + 𝑒𝑞215𝑦 + 7𝑧 = 53

𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13→ ቐ

−34𝑦 = −13615𝑦 + 7𝑧 = 53

𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13→ ቐ

𝑦 = 47𝑧 = −7

𝑥 = 13 − 12 + 2 = 3

224

Cas où il n’y a pas de solution unique

• Si l’une des équations est une combinaison linéaire de certaines des

autres, il y a une infinité de solutions ou aucune.

• ቐ

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 12𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 23𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 3

• L’équation 3 est la somme des deux premières, le système se ramène à deux

équations

• ቊ𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 12𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2

qui est l’équation d’une droite

• ቐ

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 12𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 23𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 4

• L’équation 3 est la somme des deux premières à gauche mais pas à droite. Il

n’y a pas de solutions, les équations étant incompatibles.

225

La méthode du pivot de Gauss

•

1𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 4𝑡 = 42𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 + 1𝑡 = 33𝑥 + 4𝑦 + 1𝑧 + 2𝑡 = 24𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 3𝑡 = 1

• On élimine x de chaque

ligne, puis y etc

• On résout le système

triangulaire obtenu de

proche en proche

• ex: -10z=-5, -y+z=0 etc

226

Un programme aisé (donne la matrice triangulaire et le

vecteur associé, il reste à résoudre

227

228

Applications linéaires et matrices

• On considère une fonction qui, à un vecteur en dimension

n, associe un vecteur en dimension p

• On part donc d’un espace donné pour arriver dans un

autre, qui n’est pas nécessairement le même

• Définition: f est linéaire si, pour tout couple de vecteurs

(X,Y) et pour tout couple de réels (a,b) on a

f(aX+bY)=af(X)+bf(Y)

• Exemple: Un circuit électrique avec 3 tensions d’entrée et

deux de sortie

229

Théorème fondamental

• Il existe np nombres, notés Mik tels que si

• Alors

• On appelle matrice de l’application f le tableau de nombres

)( avec et

11

XfY

y

y

Y

x

x

X

pn

npnppp

nn

xMxMxMy

xMxMxMy

22111

12121111

pnp

n

MM

MM

M

1

111

230

Démonstration succinte

• Si ei est un vecteur de base de l’espace de départ et si E1…Ep sont

les vecteurs de base de l’espace d’arrivée, on peut toujours

décomposer f(ei) sous la forme:

• Dans ces conditions, la colonne de rang i de la matrice M est

constituée des coordonnées de l’image du ième vecteur de la base

de départ dans la base d’arrivée.

• La linéarité de f fait le reste

• Remarque importante: La matrice dépend des bases de départ et

d’arrivée

pipii EMEMef 11)(

231

Exemple de matrice carrée 2*2

• Une rotation dans le plan, d’angle , a pour matrice

• Démonstration: que sont les images des vecteurs de base?

• Application: Comment obtenir la rotation d’un vecteur quelconque?

• L’identité f(x)=x a pour matrice un tableau où la diagonale vaut 1 et où les autres termes sont nuls, la matrice Identité

cossin

sincosR

cossin

sincos

yx

yx

Y

X

232

Addition et multiplication par un réel

• Si M est la matrice de f, la matrice de af, où a est un nombre réel, est

la matrice notée aM, dont chaque terme est obtenu en multipliant le

terme correspondant dans M par a

• Si f et g sont deux applications linéaires de matrices M et N, la

matrice de l’application f+g est égale à la somme M+N des deux

matrices, calculée en faisant la somme termes à termes

• L’addition est commutative

ijij aMaM

ijijij NMNM

233

Composition• Si f g sont deux applications linéaires de matrices respectives M et N

• Théorème: L’application f(g) est linéaire et est caractérisée par une

matrice notée MN (produit)

• Nota: le produit de matrices n’est pas commutatif. Attention aux

dimensions

mpm

ij

p

mnm

iniki

n

npnjn

kj

pj

PP

P

PP

MM

MMM

MM

NNN

N

NNN

1

111

1

1

111

1

1111

pj

ni

NMPnk

kjikij

..1

..1

..1

234

Exemple: composée de deux rotations

cossin

sincos

sinsincoscossincoscossin

sincoscossinsinsincoscos

cossin

sincos

cossin

sincos

R

R

Deux rotations successives de 90

degrés:

IRR

R

10

01*

01

10

2/2/

2/

What is it?

Was ist das?

Kecose?

Matrice identité I

235

Le produit de deux matrices n’est pas commutatif

• Un exemple suffit

1 2

3 4

2 1

4 3

5 8

13 20

1 2

3 4

2 1

4 3

10 7

22 15

236

Notion de matrice inverse

• Soit une matrice M. S’il existe une matrice (notée M-1)

telle que

Alors la matrice M-1 est appelée MATRICE INVERSE de M

• L’inverse de M-1 est M

IMMMM 11

237

Inverse d’une matrice d’ordre 2

1 2

3 4

-2 1

3

2

-1

2

1 0

0 1

-2 1

3

2

-1

2

1 2

3 4

1 0

0 1

1 2

3 4

D=4*1-3*2=-2 est le

DETERMINANT de la

matrice 2*2

•On divise chaque terme par D.

•On permute les termes diagonaux M11 et M22

•On change le signe des termes hors diagonale

Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul

Se généralise en dimension quelconque

238

Notion de matrice transposée

• Soit M une matrice n*p.

• La matrice transposée de M, notée Mt est la matrice p*n

telle que

Mtik = Mki

(permutation des termes, sauf la diagonale évidemment)

239

Une application: équation à deux inconnues..ou plus

• Les matrices permettent de résoudre les systèmes de n

équations à p inconnues, y compris différentiels

• Si n#p, on trouve des solutions au sens des moindres

carrés

• D’un point de vue pratique, quand n=p,on ne calcule pas

l’inverse de la matrice, mais on utilise des méthodes plus

sophistiquées issues des matrices

7/8

7/2

2

4

7/27/3

7/37/1

2

4

2

4

13

32

23

432

1YMXYMX

MXy

x

yx

yx

Coordonnées polaires (dans le plan)

• Dans un repère orthonormé(𝑂, Ԧ𝑖, Ԧ𝑗)

• 𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃

• 𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃• 𝑟 𝑒𝑡 𝜃 sont les

coordonnées polaires de M

• 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

• 𝜃 = arctan𝑦

𝑥𝑠𝑖 𝑥 > 0

• 𝜃 = arctan𝑦

𝑥+ 𝜋 𝑠𝑖 𝑥 < 0

• 𝜃 =𝜋

2𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 > 0

• 𝜃 = −𝜋

2𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 < 0

240

r

𝜃

x

y

Exemples

• 𝑟 = 3 𝑒𝑡 𝜃 =2𝜋

3→ 𝑥 = −

3

2𝑒𝑡 𝑦 =

3 3

2

• 𝑥 = 3 𝑒𝑡 𝑦 = 4 → 𝑟 = 25 = 5 𝑒𝑡 𝜃 = arctan4

3

• Attention

• Il est correct d’écrire 𝑀𝑥𝑦 en coordonnées cartésiennes

• Il n’est pas correct d’écrire 𝑀𝑟𝜃

(exemple suit)

241

Repère polaire (repère tournant)

On définit

• Le vecteur radial:𝑢𝑟 =1

𝑂𝑀∙ 𝑂𝑀

Il est colinéaire au rayon vecteur et de

norme 1

• Le vecteur orthoradial:𝑢𝜃Il est perpendiculaire à 𝑢𝑟 et obtenu en

tournant dans le sens trigonométrique

𝒖𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∙ Ԧ𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽 ∙ Ԧ𝒋

𝑢𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝜋/2 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃 +𝜋

2∙ Ԧ𝑗

𝒖𝜽 = −𝒔𝒊𝒏𝜽 ∙ Ԧ𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∙ Ԧ𝒋

242

𝑢𝑟𝑢𝜃

M

O

(𝑢𝑟 , 𝑢𝜃) est direct

Propriétés “cinématiques” (fondamentales en mécanique)

• 𝑢𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ Ԧ𝑗

• 𝑢𝜃 = −𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ Ԧ𝑗

𝑑𝑢𝑟𝑑𝜃

= 𝑢𝜃

𝑑𝑢𝜃𝑑𝜃

= −𝑢𝑟

243

La dérivation est une rotation de 𝜋/2 dans le sens

trigonométrique

Eléments de longueur et déplacement élémentaire

• On suppose un déplacement aussi petit que l’on veut

(”infiniment petit”)

• 𝑑 𝑀1,𝑀3 = 𝑑𝑟 2 + 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 2

• 𝑀1𝑀3 = 𝑀1𝑀4 +𝑀4𝑀3 = 𝑑𝑟 ∙ 𝑢𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑢𝜃(en lisant sur le dessin)

• De façon plus rigoureuse, on calcule une différentielle

• 𝑂𝑀1 = 𝑟 ∙ 𝑢𝑟 = 𝑓 𝑟, 𝜃

• 𝑑(𝑂𝑀1) =𝜕𝑓

𝜕𝑟𝑑𝑟 +

𝜕𝑓

𝜕𝜃𝑑𝜃

• 𝑑(𝑂𝑀1) = 𝑢𝑟 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑢𝜃 ∙ 𝑑𝜃

244

M1

M2

M4

M3

drd𝜃

Elément de surface

• 𝑑2𝑆 = 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑑𝜃

• Cas d’un cercle don’t le

rayon varie de dr: il faut

intégrer sur un tour

complet et dans ce cas

• 𝑑𝑆 = 2𝜋𝑟 ∙ 𝑑𝑟• La surface d’un disque

est donc, par intégration

• 𝑆 = 0𝑅2𝜋𝑟 ∙ 𝑑𝑟 = 𝜋𝑅2

245

M1

M2

M4

M3

drd𝜃

Dérivation d’un vecteur de norme constante

• Ԧ𝑟 = 𝑟 ∙ 𝑢𝑟

• Ԧ𝑟 = 𝑟 = 𝑐𝑡𝑒

• Ԧ𝑟 ∙ Ԧ𝑟 = 𝑟2 = 𝑐𝑡𝑒

•𝑑

𝑑𝜃Ԧ𝑟 ∙ Ԧ𝑟 =

𝑑 Ԧ𝑟

𝑑𝜃∙ Ԧ𝑟 + Ԧ𝑟 ∙

𝑑 Ԧ𝑟

𝑑𝜃= 2 ∙ Ԧ𝑟 ∙

𝑑 Ԧ𝑟

𝑑𝜃= 0

• La dérivée (selon 𝜃) d’un vecteur de norme constante est

perpendiculaire à ce vecteur

246

247

Coordonnées cylindriques: polaires+ 1 dimension

• Vecteur position

• Attention: les vecteurs radiaux sontdans le plan (Ԧ𝑖, Ԧ𝑗)

• 𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃

• 𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃

• 𝑧 = 𝑧

• 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

• 𝜃 = arctan𝑦

𝑥𝑠𝑖 𝑥 > 0

• 𝜃 = arctan𝑦

𝑥+ 𝜋 𝑠𝑖 𝑥 < 0

• 𝜃 =𝜋

2𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 > 0

• 𝜃 = −𝜋

2𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 < 0

kzrkzurkzjyixOM r

x

z

r

z

u

ruP

M

248

Vecteurs unitaires

• Vecteur position

• Vecteur radial

• (𝑢𝑟 , 𝑢𝜃 , 𝑘) orthonomé

direct

• Vecteur orthoradial

• 𝑢𝑟 ∧ 𝑢𝜃 = 𝑘

• 𝑢𝜃 ∧ 𝑘 = 𝑢𝑟

• 𝑘 ∧ 𝑢𝑟 = 𝑢𝜃

kzrkzurkzjyixOM r

ruku

𝑢𝑟 =1

𝑂𝑃∙ 𝑂𝑃

x

z

r

z

u

ruP

M

𝒖𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∙ Ԧ𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽 ∙ Ԧ𝒋

𝒖𝜽 = −𝒔𝒊𝒏𝜽 ∙ Ԧ𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∙ Ԧ𝒋

Dérivation: comme en polaires avec Ԧ𝑘 constant

• 𝑢𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ Ԧ𝑗

• 𝑢𝜃 = −𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ Ԧ𝑗

• 𝑘 = 𝑘

𝑑𝑢𝑟𝑑𝜃

= 𝑢𝜃

𝑑𝑢𝜃𝑑𝜃

= −𝑢𝑟

𝑑𝑘

𝑑𝜃= 0

249

Eléments de longueur et déplacement élémentaire

• On suppose un déplacement aussi petit que l’on veut

(”infiniment petit”)

• 𝑑 𝑀1,𝑀5 = 𝑑𝑟 2 + 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 2 + 𝑑𝑧 2

• 𝑀1𝑀5 = 𝑀1𝑀4 +𝑀4𝑀3 +𝑀3𝑀5 = 𝑑𝑟 ∙ 𝑢𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑢𝜃 + dz ∙ 𝑘

(en lisant sur le dessin)

• De façon plus rigoureuse, on calcule une différentielle

• 𝑂𝑀1 = 𝑟 ∙ 𝑢𝑟 + 𝑧 ∙ 𝑘 = 𝑓 𝑟, 𝜃

• 𝑑(𝑂𝑀1) =𝜕𝑓

𝜕𝑟𝑑𝑟 +

𝜕𝑓

𝜕𝜃𝑑𝜃 +

𝜕𝑓

𝜕𝑧𝑑𝑧

• 𝑑(𝑂𝑀1) = 𝑢𝑟 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑢𝜃 ∙ 𝑑𝜃 + 𝑘 ∙ dz

250

M1

M2

M4

M3

drd𝜃

M5

Elément de volume

• 𝑑(𝑂𝑀1) = 𝑢𝑟 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑢𝜃 ∙ 𝑑𝜃 + 𝑘 ∙ dz

• 𝑑3𝑉 = 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑧

• On utilise explicitement le fait que les coordonnées sont orthogonales, i.e. les vecteurstangents aux lignes d’iso-coordonnées formentune base orthonormée

• 𝑢𝑟 , 𝑢𝜃, 𝑘 est orthonormé direct

251

M1

M2

M4

M3

drd𝜃

M5

Gradient

• Le vecteur gradient

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑧

noté 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 est perpendiculaire

aux lignes de niveau.

𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 =𝝏𝒇

𝝏𝒙∙ Ԧ𝒊 +

𝝏𝒇

𝝏𝒚∙ Ԧ𝒋 +

𝝏𝒇

𝝏𝒛∙ 𝒌

• En coordonnées cylindriques

𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 =𝝏𝒇

𝝏𝒓∙ 𝒖𝒓 +

𝟏

𝒓

𝝏𝒇

𝝏𝜽∙ 𝒖𝜽 +

𝝏𝒇

𝝏𝒛∙ 𝒌

252

Une manière de comprendre

𝒅𝒇 =𝝏𝒇

𝝏𝒙∙ 𝒅𝒙 +

𝝏𝒇

𝝏𝒚∙ 𝒅𝒚 +

𝝏𝒇

𝝏𝒛∙ 𝒅𝒛

𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 =𝝏𝒇

𝝏𝒙∙ Ԧ𝒊 +

𝝏𝒇

𝝏𝒚∙ Ԧ𝒋 +

𝝏𝒇

𝝏𝒛∙ 𝒌

• En coordonnées cylindriques, il faut considérer les déplacements élémentairesdans chaque direction

• 𝒅𝒇 =𝝏𝒇

𝝏𝒓∙ 𝒅𝒓 +

𝝏𝒇

𝝏𝜽∙ 𝒅𝜽 +

𝝏𝒇

𝝏𝒛∙ 𝒅𝒛

• 𝑑(𝑂𝑀1) = 𝑢𝑟 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑢𝜃 ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 + 𝑘 ∙ dz

• 𝒅𝒇 =𝝏𝒇

𝝏𝒓∙ 𝒅𝒓 +

𝟏

𝒓∙𝝏𝒇

𝝏𝜽∙ 𝒓 ∙ 𝒅𝜽 +

𝝏𝒇

𝝏𝒛∙ 𝒅𝒛

𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 =𝝏𝒇

𝝏𝒓∙ 𝒖𝒓 +

𝟏

𝒓

𝝏𝒇

𝝏𝜽∙ 𝒖𝜽 +

𝝏𝒇

𝝏𝒛∙ 𝒌

253

Coordonnées sphériques

• 𝑂𝑀 = 𝑟, 𝜑 = Ԧ𝑖, 𝑂𝑃 ∈ 0,2𝜋 , 𝜃 = 𝑘 𝑂𝑀 ∈ 0, 𝜋

• 𝑂𝑃 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃

• 𝑂𝐻 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑧

• 𝑥 = 𝑂𝑃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑

• 𝑦 = 𝑂𝑃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑

• ቐ𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑

𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃

254

Illustration: http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_M01_G01/co/contenu_26.html

Relations réciproques

• 𝑂𝑀 = 𝑟, 𝜑 = Ԧ𝑖, 𝑂𝑃 ∈ 0,2𝜋 , 𝜃 = 𝑘 𝑂𝑃 ∈ 0, 𝜋

• ቐ𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑

𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃

• 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

• 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑧

𝑟∈ 0, 𝜋

• 𝑡𝑎𝑛𝜑 =𝑦

𝑥

• 𝜑 = arctan𝑦

𝑥𝑠𝑖 𝑥 > 0

• 𝜑 = arctan𝑦

𝑥+ 𝜋 𝑠𝑖 𝑥 < 0

• 𝜑 =𝜋

2𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 > 0

• 𝜑 = −𝜋

2𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 < 0

255

Illustration: http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_M01_G01/co/contenu_26.html

Un exemple

• 𝑟 = 2, 𝜃 =5𝜋

6, 𝜑 =

𝜋

3(emprunt G. Laget)

𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 2 ∙1

2∙1

2=1

2

𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 2 ∙1

2∙3

2=

3

2

𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2 ∙− 3

2= − 3

• 𝑥 = −1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 3

𝑟 = 14

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑧

𝑟= arccos

3

14𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −2 + 𝜋 = −arctan 2 + 𝜋

256

La base sphérique: une base orthonormée directe

• 𝑢𝑟 =1

𝑂𝑀∙ 𝑂𝑀 =

1

𝑟∙ 𝑂𝑀

• 𝑢𝜑 =1

𝑘∧𝑢𝑟∙ 𝑘 ∧ 𝑢𝑟

• 𝑢𝜃 = 𝑢𝜑 ∧ 𝑢𝑟

257

Déplacements élémentaires (transparent Guillaume Laget)

258

Eléments de surface (transparent Guillaume Laget)

259

Un dernier transparent volé à Guillaume, parce que le

point de vue est partagé

260

Complément: calcul de I = ∞−+∞

𝑒−𝑥2𝑑𝑥

261

• 𝑂𝑀1 = 𝑟 ∙ 𝑢𝑟 = 𝑓 𝑟, 𝜃

• 𝑑(𝑂𝑀1) = 𝑢𝑟 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑢𝜃 ∙ 𝑑𝜃

• 𝑆 =𝜃

2∙ 𝑟2

• 𝑑S 𝑟 = 𝑟𝜃 ∙ 𝑑𝑟

• 𝑑𝑆 = 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑟

261

Intégrale double (figure: Guillaume Laget, S2)

262

𝑋 = 𝑥, 𝑦

𝑉 = ඵ

𝐷

𝑓(𝑋) ∙ 𝑑𝑆 = ඵ

𝐷

𝑓(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒−𝑥2−𝑦2

Calcul

• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒−𝑥2−𝑦2 = 𝑒−𝑟

2

• 𝑓 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 𝑒−𝑥2∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑒−𝑦

2∙ 𝑑𝑦

• 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑓(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = ∞−

+∞𝑒−𝑥

2∙ 𝑑𝑥 ∙ ∞−

+∞𝑒−𝑦

2∙ 𝑑𝑦 = 𝐼2

𝑑𝑆 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑟

• 𝑓 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 𝑒−𝑟2∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑟

• 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑓(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 0

2𝜋𝑑𝜃 ∙ 0

+∞𝑟𝑒−𝑟

2∙ 𝑑𝑟 = 𝜋

I = න−∞

+∞

𝑒−𝑥2𝑑𝑥 = 𝜋

263

Compléments

• Question: un objet est en orbite autour de la Terre. A

l’altitude H0=10000 km sa vitesse est de 200 m/s. Quelle

est sa vitesse à H1=200 km ?

• De quoi a-t-on besoin?

𝐴 =3.982 ∙ 108

ℎ + 6370 2

264

Intégrale curviligne

• Soit 𝛾 une courbe du plan paramétrée par t

𝛾 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡)Soit 𝜔 = 𝑃 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑑𝑦

On définit l’intégrale curviligne d’un point A à un point B de 𝛾 par

ර𝐴

𝐵

𝜔 = න𝑡=𝑡𝐴

𝑡=𝑡𝐵

𝑃 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑥′(𝑡) + 𝑄 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑦′(t) ∙ 𝑑𝑡

Théorème: Si 𝜔 est exacte alors l’intégrale ne dépend que des extrémités de la trajectoire

Corollaire: l’intégrale est nulle pour un circuit fermé

Démonstration: Si 𝜔 = 𝑑𝑓 alors 𝑃 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑥′(𝑡) + 𝑄 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑦′(t)=𝑑𝑓

𝑑𝑡

Et: ׯ𝐴𝐵𝜔 = 𝑓 𝐵 − 𝑓(𝐴)

265

dtdt

dfdt

dt

dy

y

f

dt

dx

x

fdt

dt

dy

y

fdt

dt

dx

x

fdf

𝒅𝒇

𝒅𝒕=𝝏𝒇

𝝏𝒙∙𝒅𝒙

𝒅𝒕+𝝏𝒇

𝝏𝒚∙𝒅𝒚

𝒅𝒕

Travail d’une force (ici: dans le plan)

𝛿𝑊 = Ԧ𝐹 ∙ 𝑑 Ԧ𝑠 où 𝑑Ԧ𝑠 est le déplacement élémentaire

𝛿𝑊 = 𝐹𝑥 ∙ 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 ∙ 𝑑𝑦

∆𝑊 = න𝑑é𝑝𝑎𝑟𝑡

𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣é𝑒

𝛿𝑊

• Si 𝛿𝑊 est une différentielle exacte, alors le travail ne dépend que des points

de départ et d’arrivée

On note alors 𝛿𝑊 = −𝑑𝐸𝑝 (énergie potentielle).

• Cela signifie que Ԧ𝐹 =𝐹𝑥𝐹𝑦

= −𝑔𝑟𝑎𝑑(𝐸𝑝)

• Une force est dite conservative quand son travail ne dépend que des points

de départ d’arrivée. Dans ce cas, la variation d’énergie cinétique est égale à

la l’opposé de la variation d’énergie potentielle et l’énergie totale 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 est

constante

266

Cas d’une force radiale

• Ԧ𝐹 = −𝑘𝑚

𝑟2∙ 𝑢𝑟 (en sphériques, force attractive pour la gravité)

• m: masse de l’objet

• De manière évidente Ԧ𝐹 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 −𝑘𝑚

𝑟→ 𝐸𝑝 = −

𝑘𝑚

𝑟

• Quand on passe du point A au point B

• 𝐸𝑐𝐵 − 𝐸𝑐

𝐴 =1

2𝑚𝑣𝐵

2 −1

2𝑚𝑣𝐴

2 =𝑘𝑚

𝑟𝐵−

𝑘𝑚

𝑟𝐴→ 𝑣𝐵

2 = 𝑣𝐴2 + 2

𝑘

𝑟𝐵− 2

𝑘

𝑟𝐴

• Il faut connaître 𝑘 = 6.67 ∙ 10−11 ∙ 𝑀𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒

• 𝑟 = 𝑅𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 +𝐻

• 𝑀𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 = 597 ∙ 1022𝑘𝑔 𝑒𝑡 𝑅𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 = 6370 𝑘𝑚

• 𝑣𝐵 = 8519 𝑚/𝑠

267