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Cours RDM IUT GC MS4
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Chapitre II
Méthode des forces
1
Calcul des structures hyperstatiques
lundi 14 septembre 2009
Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
2
Introduction
C’est une méthode... pas un théorème
Il faut comprendre une démarche de calcul
Chaque problème a une seule solution mais sa résolution peut être réalisée en suivant de multiples chemins
Pas de démonstration, pas de formule magique à apprendre
Pas de difficultés particulières si l’on maîtrise bien les acquis de première année
Technique de calcul bien adaptée à la résolution «à la main» des structures faiblement hyperstatiques (degré 1 ou 2)
Technique de calcul non programmable
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
3
Pré-requis
Savoir calculer le degré d’hyperstaticité d’une structure
Savoir calculer efficacement les sollicitations M (ou N)
Savoir calculer des déplacements avec le TFu
Connaître le principe de superposition
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Principe de superposition
Exemples...
P q
dHext = 3 - 2 = 1
dHint = 3x0 - 0 = 0
dHtot = dHext + dHint = 1
=
Pq
+
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•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Principe de superposition
Exemples...
P q
dHext = 3 - 2 = 1
dHint = 3x0 - 0 = 0
dHtot = dHext + dHint = 1
=
P/2 q/2
+P/2 q/2
=P/2 q/2
x 2
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Principe de superposition
Exemples...
P q
dHext = 3 - 2 = 1
dHint = 3x0 - 0 = 0
dHtot = dHext + dHint = 1
=
P/2 q/2
+Rc
a b c
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•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Principe de superposition
Exemples...
P q
dHext = 4 - 3 = 1
dHint = 3x0 - 0 = 0
dHtot = dHext + dHint = 1
=
a b
P q
a b +Rb
a b
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•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Principe de superposition
Exemples...
P q
dHext = 4 - 3 = 1
dHint = 3x0 - 0 = 0
dHtot = dHext + dHint = 1
=
a b
+P q
a b a b
µa
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•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Calcul des déplacements TFu
Exemples...
P q
dHext = 3 - 2 = 1
dHint = 3x0 - 0 = 0
dHtot = dHext + dHint = 1
P q
1
a b c
Calcul du déplacement vertical au milieu de la travée ab :
δVab/2 =∫ M.Mu
E.Idl
M
Mu1
Mulundi 14 septembre 2009
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•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Méthode des forces
Considérons une structure hyperstatique de degré n en équilibre statique sous un chargement extérieur quelconque
P q
dHext = nb inconnues de liaison - 3
dHint = 3 x nb cadres fermés - relâchements
dHtot = dHext + dHint = n
n inconnues en trop pour réaliser un calcul avec les équations d’équilibre (interne ou externe)
Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques
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•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Méthode des forces
P q
hyper n
Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques
=
P q
Etat (0) + ?
Première structure isostatique déduite de la structure précédente sur laquelle on applique la totalité du chargement extérieur
On obtient cette structure en éliminant n inconnues sur la structure initiale
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•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Méthode des forces
P q
hyper n
Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques
=
P q
Etat (0) + ?
On obtient cette structure en éliminant n inconnues sur la structure initiale dHext = nb inconnues de liaison - 3
dHint = 3 x nb cadres fermés - relâchements
dHtot = dHext + dHint = n
On réalise donc «n coupures» pour :soit diminuer le nb d’inconnues de liaisonsoit augmenter le nb de relâchements
n coupures
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•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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a) Diminuer le nb d’inconnues de liaison
⇒ coupures au niveau des liaison extérieures donc des appuis
① appui simple 1 inconnue de liaison 1 coupure possible
② appui articulé 2 inconnues de liaison 2 coupures possibles
③ appui encastré 3 inconnues de liaison 3 coupures possibles
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•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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b) augmenter le nombre de relâchements
⇒ 1 relâchement = une articulation interne, donc une inconnue de moins (Mf = 0)
Mf = 0
Attention les coupures réalisées ne doivent pas transformer la structure en mécanisme (structure instable)
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•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Méthode des forces
P q
hyper n
Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques
=
P q
Etat (0) + ?
Première structure isostatique déduite de la structure précédente sur laquelle on applique la totalité du chargement extérieur
On obtient cette structure en éliminant n inconnues sur la structure initiale
n coupures
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Méthode des forces
P q
hyper n
Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques
=
P q
Etat (0) +n coupures
Etat (1) + Etat (n)+...
les états 1 à n correspondent à «n réparations» pour assurer la validité du principe de superposition.
x1xn
Attention le chargement extérieur n’est appliqué qu’une fois
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•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Méthode des forces
P q
hyper n
Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques
=
P q
Etat (0) +n coupures
Etat (1) + Etat (n)+...
Les états 1 à n correspondent à «n réparations» pour assurer la validité du principe de superposition. Les réparations consistent à rétablir les efforts supprimés.
x1. xn.
1 1
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•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Méthode des forces
P q
hyper n
Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques
=
P q
Etat (0) +n coupures
Etat (1) + Etat (n)+...
X1, X2, ..., Xn sont des inconnues, on a donc toujours n inconnues.
x1. xn.
1 1
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•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Méthode des forcesP q
hyper n=
P q
Etat (0) +n coupures
Etat (1) + Etat (n)+...x1. xn.
1 1
Les coupures réalisées dans l’état(0) produisent des déplacements dans la structure de l’état(0) qui étaient interdis dans la structure initiale.
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•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Méthode des forces
Coupures au niveau des liaison extérieures donc des appuis
① appui simple 1 coupure
② appui articulé 1 coupure
③ appui encastré 1 coupure
déplacement autorisé
déplacement autorisé
déplacement autorisé
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Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Méthode des forcesP q
hyper n=
P q
Etat (0) +n coupures
Etat (1) + Etat (n)+...x1. xn.
1 1
Les coupures réalisées dans l’état(0) produisent des déplacements dans la structure de l’état(0) qui étaient interdis dans la structure initiale
lundi 14 septembre 2009
Méthode des forces
•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Méthode des forcesP q
hyper n=
P q
Etat (0) +n coupures
Etat (1) + Etat (n)+...x1. xn.
1 1On peut donc écrire par exemple l’équation suivante :
0 = ∫(M0M1/EI)dl + X1. ∫(M1M1/EI)dl + X2. ∫(M2M1/EI)dl + .... + Xn. ∫(MnM1/EI)dl
0 = δ01 + X1.δ11 + X2.δ21 + ... + Xn.δn1Cette équation s’écrit plus simplement de la forme :
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•Méthode
•Principe
•Exemple
•Pré-requis
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Méthode des forcesP q
hyper n=
P q
Etat (0) +n coupures
Etat (1) + Etat (n)+...x1. xn.
1 1On peut donc écrire le système suivant :
(n déplacements autorisés dans l’état(0) et interdits dans la structure initiale)
0 = δ01 + X1.δ11 + X2.δ21 + ... + Xn.δn10 = δ02 + X1.δ12 + X2.δ22 + ... + Xn.δn2
0 = δ0n + X1.δ1n + X2.δ2n + ... + Xn.δnn... n équations⎬
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•Pré-requis
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Exemple...
P
a b c =
+
P
a b c
a b c
x11.
Etat(0)
Structure à étudierHyperstatique de degré 1
Etat(1)
l 2l-Pl/4
-2l
-
+
-
On peut donc écrire le système suivant :
0 = δ01 + X1.δ11 ici une seule équation car la structure est hyperstatique de degré 1
Le calcul des δij est réalisé avec les intégrales de Mohr
On trouve donc X1 !!!
lundi 14 septembre 2009
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