Cours Rdm - MS4 - Partie 3

Chapitre III

Calcul plastique des structures en flexion simple

1

mercredi 16 septembre 2009


Exemple

Mthode de calcul

2

Introduction

Le calcul plastique est abord dans ce cours dans le contexte des EC

Application au calcul des structures mtalliques :

- le rglement de calcul EC3 prvoit cette dmarche

- la loi de comportement du matriau acier est adapte

Les limitations pour nous :

on ne sintresse quau des sections sollicites en flexion simple (M et V)

Lintrt :

optimisation du rendement des structures

Hypothses et

observations



Exemple

Mthode de calcul

3

Hypothses sur le comportement du matriau

Le matriau acier admet une loi de comportement lasto-plastique

Comportement dune section en acier de construction

En traction pure (N)

En flexion simple (M)

e (fy)

u (fu)

e (fy)

Hypothses et

observations



Exemple

Mthode de calcul

4

Hypothses sur le comportement du matriau

Modle de comportement lasto-plastique parfait

En flexion simple (M)

e (fy)

En flexion simple (M)M

Mp

Modle de comportement lasto-plastique

parfait

Hypothses et

observations



Exemple

Mthode de calcul

5

Approche phnomnologique

Comportement dune section en plasticit sous M

M

MpComportement de la section S1

P

S1

G

M-

=E

M

P

Hypothses et

observations



Exemple

Mthode de calcul

6



M

Mp

P

Comportement de la section S1

S1

G

M-

=E

M

P

C

T

C

Tmax

Hypothses et

observations



Exemple

Mthode de calcul

7



M

Mp

P


S1

G

M-

M

P

C

T

=e=fy

Hypothses et

observations



Exemple

Mthode de calcul

8



M

Mp

P


S1

G

M-

M

P

C

T

=e=fy

Hypothses et

observations



Exemple

Mthode de calcul

9



M

Mp

P


S1

G

M-

M

P

C

T

=e=fy

=e=fy

Hypothses et

observations



Exemple

Mthode de calcul

10



M

Mp

P


S1

G

M-

M

P

C

T

=e=fy

=e=fy

Hypothses et

observations



Exemple

Mthode de calcul

11



M

Mp

P


S1

G

M = MP

-

M

P

C

T

=e=fy

=e=fy

La section est totalement plastifie

le moment dans la section atteint sa valeur maximale

Mp

Hypothses et

observations

Mp



Exemple

Mthode de calcul

12



M

Mp

P


S1

G

M = MP

-

M

P

C

T

=e=fy

=e=fy


la rotation devient indtermine


Mp

Hypothses et

observations



Exemple

Mthode de calcul

13



M

Mp

P


S1

G

M = MP-

M

P

C

T

=e=fy

=e=fy

La section entirement plastifie se comporte comme une articulation interne :

on dit que lon a cre une rotule plastique

la rotation devient indtermine


Mp

Hypothses et

observations

x

x



Exemple

Mthode de calcul

14

Calcul de A1 et A2


G

C

T

=e=fy

=e=fy


A1

A2

Le problme est abord en flexion simple donc N=0

N=0 dA =0 -e dA1 + e dA2 =0

-e dA1 + e dA2 =0 -e A1 + e A2 =0 A1 = A2

Conclusion : lorsque la section est totalement plastifie, elle est partage en 2 sections daires gales. Lune est tendue, lautre comprime.

Hypothses et

observations



Hypothses et

observations

Exemple

Mthode de calcul

15

Calcul de Mp


G

C

T

=e=fy

=e=fy


A1

A2

Mp =.zdA Mp =e.z dA1 + e.z dA2

S est le moment statique de la demi section calcul par rapport laxe y

Mp = e. z dA1 + e.z dA1 Mp = e. SyA1 + e.SyA1

y

z

Mp = e. 2.SyA1 Mp = 2Se

2S = Wply



Hypothses et

observations

Exemple

Mthode de calcul

16

Mthode de calcul

Une rotule plastique se comporte comme une articulation interne

Consquences :

Le degr dhyperstaticit interne et donc total est diminu de 1 chaque apparition dune rotule plastique

Si la structure est initialement isostatique totale alors lapparition dune rotule plastique entrane la ruine de la structure

Si la structure est initialement hyperstatique totale de degr n alors la ruine apparat la (n + 1)me rotule plastique par mcanisme plastique

Le calcul en plasticit (sous M) nest justifi que pour les structures hyperstatiques



Hypothses et

observations

Exemple

Mthode de calcul

17

Calcul pas pas...

Considrons une structure hyperstatique de degr n en quilibre statique sous un chargement extrieur quelconque

P

dHext = nb inconnues de liaison - 3

dHint = 3 x nb cadres ferms - relchements

dHtot = dHext + dHint = n

On cherche la charge de ruine par mcanisme plastique de cette structure

La ruine par mcanisme plastique apparat la (n+1)me rotule plastique

hyper n



Hypothses et

observations

Exemple

Mthode de calcul

18

Calcul pas pas...

Premier pas de calcul : recherche du chargement P1 qui cre la premire rotule plastique


Premier pas

On calcule le moment flchissant dans la structurepuis on rsout lquation suivante :Mmax = Mp = 2Se = Wply.fy

P M =Mmax=MpP1

hyper n

0PP1

0PP1

Mmax dpend de PP1 est la valeur particulire de P qui satisfait lquation



Hypothses et

observations

Exemple

Mthode de calcul

19

Calcul pas pas...

Second pas de calcul : recherche du chargement P2 qui cre la seconde rotule plastique

On cherche la charge de ruine par mcanisme plastique de cette structureSecond pas

P2

Le calcul est ralis en deux tapes : on cherche dabord le complment de charge P1 quil faut rajouter P1 pour obtenir la seconde rotule plastique.

P2 = P1 + P1

M=MpP1

= +

hyper n

hyper n hyper n-1

P1

Second pasPremier pas

Le problme est pos en utilisant le principe de superposition :

Mmax=M1+M2=Mp

M1M2

P1P1


Hypothses et

observations

Exemple

Mthode de calcul

20

Calcul pas pas...


On procde de cette manire jusqu obtention de la charge de ruine par mcanisme plastique

La rupture intervient au (n+1)me pas de calcul

La charge de ruine Pruine vaut :

Pruine = P1 + P1 + P2 + .... + Pn

1er pas

2me pas

3me pas (n+1)me pas

Un calcul en plasticit est donc une succession et une superposition de calculs lastiques



Hypothses et

observations

Exemple

Mthode de calcul

21

Exemple : calcul plastique dune panne sur 3 appuis

p

a b c

Structure tudierHyperstatique de degr 1

l 2l

A la premire rotule plastique la structure devient isostatique

A la seconde rotule plastique la structure devient instable (mcanisme de ruine)

pruine = p1 + p11er pas

2me pas

1er rotule plastique

2me rotule plastique



Hypothses et

observations

Exemple

Mthode de calcul

22


a b c

Structure tudierHyperstatique de degr 1

l 2lPremier pas

Recherche du chargement p1 qui cre la premire rotule plastique

0pp1

Mmax = X.p1.l 2Mmax = Mp = 2Se = Wply.fy

X.p1.l 2= Wply.fy

p1 = Wply.fy / (X.l 2 )

p

a b

l 2l

p1c



Hypothses et

observations

Exemple

Mthode de calcul

23


Second pas

Recherche du chargement p2 qui cre la seconde rotule plastique, donc la ruine de la structure : p2 = p1 + p1

Mmax = Mp = 2Se = Wply.fy

M + (p1.l 2)/2 = Wply.fy

P1P1

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