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Cours deMaths 4:ProbabilitStatistiques
MohamedCHERFI
Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Cours de Maths 4: ProbabilitStatistiquesSance 2 - Statistique descriptive
Mohamed CHERFI
Universit Hassiba BenboualiChlef
11 dcembre 2014
Cours deMaths 4:ProbabilitStatistiques
MohamedCHERFI
Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
DfinitionQuand les valeurs dun caractre quantitatif sont ranges dans lordre croissant,
Leffectif cumul croissant dune valeur est la somme des effectifs des valeursinfrieures ou gales cette valeur ; leffectif cumul croissant de la valeur xjquon note Nj est gal Nj = n1 + n2 + + nj .La frquence cumule croissante dune valeur est la somme des des frquencesdes valeurs infrieures ou gales cette valeur ; la frquence cumule croissantede la valeur xj quon note Fj est gale Fj = f1 + f2 + + fj et on aFj = Nj N .
De la mme manire, on dfinit leffectif cumul dcroissant dune valeur comme lasomme des effectifs des valeurs suprieures ou gales cette valeur, et la frquencecumule dcroissante dune valeur comme la somme des frquences des valeurssuprieures ou gales cette valeur.
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
DfinitionQuand les valeurs dun caractre quantitatif sont ranges dans lordre croissant,
Leffectif cumul croissant dune valeur est la somme des effectifs des valeursinfrieures ou gales cette valeur ; leffectif cumul croissant de la valeur xjquon note Nj est gal Nj = n1 + n2 + + nj .La frquence cumule croissante dune valeur est la somme des des frquencesdes valeurs infrieures ou gales cette valeur ; la frquence cumule croissantede la valeur xj quon note Fj est gale Fj = f1 + f2 + + fj et on aFj = Nj N .
De la mme manire, on dfinit leffectif cumul dcroissant dune valeur comme lasomme des effectifs des valeurs suprieures ou gales cette valeur, et la frquencecumule dcroissante dune valeur comme la somme des frquences des valeurssuprieures ou gales cette valeur.
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
On construit donc un tableau de la forme :
Valeurs Effectifs Nj x1 n1 n1x2 n2 n1 + n2...
......
xp np NTotal N
Table 1: Distribution deffectifs
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
On construit donc un tableau de la forme :
Valeurs Effectifs Nj x1 n1 Nx2 n2 n2 + + np...
......
xp np npTotal N
Table 2: Distribution deffectifs
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Enfin, Lorsque le caractre tudi est quantitatif et lorsque les modalits sontregroupes en classes, on peut effectuer la courbe des frquences cumules(croissantes ou dcroissantes) appele aussi polygone des frquences cumules.
DfinitionLe polygone des effectifs cumuls ou frquences cumules est form de segments dedroite joignant les points :
dabscisses : la borne suprieure dune classe pour le polygone des effectifscumuls croissants(la borne infrieure dune classe pour le polygone des effectifscumuls dcroissants)dordonnes : leffectif cumul dune classe.
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Classes ni Nj [ 700; 740 [ 30 30[ 740; 780 [ 54 84[ 780, 820 [ 20 104[ 820, 860 [ 46 150[ 860, 900 [ 50 200Total 200
Table 3: Tableau des effectifs et effectifs cumuls
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Lhistogramme des effectifs cumuls :
Classes
700 750 800 850 900
050
100
150
200
700 750 800 850 900
050
100
150
200
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Regroupement des donnes en classes en utilisant la rgle de Sturges
La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal
k ' 1 + 3.222 log10 N.
Le choix des bornes e0 et ek doit tre fait de faon respecter une certainehomognit des largeurs de classes. Un choix frquent est
e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)ek := xmax + 0.025 (xmax xmin)
Le choix le plus frquent est celui de lhistogramme pas fixe, o les classes sontde mme largeur
a := ek e0k
.
Dans ce cas, la hauteur dun rectangle est proportionnelle leffectif de sa classe.
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Regroupement des donnes en classes en utilisant la rgle de Sturges
La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal
k ' 1 + 3.222 log10 N.
Le choix des bornes e0 et ek doit tre fait de faon respecter une certainehomognit des largeurs de classes. Un choix frquent est
e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)ek := xmax + 0.025 (xmax xmin)
Le choix le plus frquent est celui de lhistogramme pas fixe, o les classes sontde mme largeur
a := ek e0k
.
Dans ce cas, la hauteur dun rectangle est proportionnelle leffectif de sa classe.
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Regroupement des donnes en classes en utilisant la rgle de Sturges
La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal
k ' 1 + 3.222 log10 N.
Le choix des bornes e0 et ek doit tre fait de faon respecter une certainehomognit des largeurs de classes. Un choix frquent est
e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)ek := xmax + 0.025 (xmax xmin)
Le choix le plus frquent est celui de lhistogramme pas fixe, o les classes sontde mme largeur
a := ek e0k
.
Dans ce cas, la hauteur dun rectangle est proportionnelle leffectif de sa classe.
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Table 4: Effectif N de lchantillon et nombre k de classes10 < N < 35 35 N < 70 70 N < 90 90 N < 150 150 N < 300 300 N < 620
5 6 7 8 9 10
La premire ligne donne leffectif de lchantillon tudi et la deuxime ligne, lenombre correspondant k de classes.
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RemarqueSi au contraire, on commence par dfinir lamplitude des classes, on ne doit paschoisir cette amplitude trop faible, le nombre de classes est alors trop lev ; ni tropgrande, le nombre de classes est alors trop petit par rapport celui que donne laformule de Sturges.
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleLa srie statistique suivante, reprsente la concentrations dazote total (mg/L) dansla rivire Yamaska 19 stations diffrentes :
0.85 ; 1.35 ; 1.13 ; 0.48 ; 1.17 ; 1.55 ; 1.04 ; 1.37 ; 1.29 ; 0.87 ; 2.14 ; 1.10 ; 1.12 ; 2.43 ;1.01 ; 0.60 ; 2.02 ; 0.93 ; 1.98
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
1 La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal k ' 1 + 3.222 log10 N.
Cela donne k = 5 pour N = 19.2 Le choix des bornes e0 et ek :
e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)=
0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43
etek := xmax + 0.025 (xmax xmin)
=
2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48
3 Le choix de lamplitude
a := ek e0k
= 2.48 0.435
= 0.41
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
1 La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal k ' 1 + 3.222 log10 N.
Cela donne k = 5 pour N = 19.
2 Le choix des bornes e0 et ek :e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)
=
0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43
etek := xmax + 0.025 (xmax xmin)
=
2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48
3 Le choix de lamplitude
a := ek e0k
= 2.48 0.435
= 0.41
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
1 La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal k ' 1 + 3.222 log10 N.
Cela donne k = 5 pour N = 19.2 Le choix des bornes e0 et ek :
e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)
=
0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43
etek := xmax + 0.025 (xmax xmin)
=
2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48
3 Le choix de lamplitude
a := ek e0k
= 2.48 0.435
= 0.41
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
1 La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal k ' 1 + 3.222 log10 N.
Cela donne k = 5 pour N = 19.2 Le choix des bornes e0 et ek :
e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)= 0.48 0.025 (2.43 0.48)
= 0.43et
ek := xmax + 0.025 (xmax xmin)=
2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48
3 Le choix de lamplitude
a := ek e0k
= 2.48 0.435
= 0.41
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
1 La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal k ' 1 + 3.222 log10 N.
Cela donne k = 5 pour N = 19.2 Le choix des bornes e0 et ek :
e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)= 0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43
etek := xmax + 0.025 (xmax xmin)
=
2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48
3 Le choix de lamplitude
a := ek e0k
= 2.48 0.435
= 0.41
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
1 La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal k ' 1 + 3.222 log10 N.
Cela donne k = 5 pour N = 19.2 Le choix des bornes e0 et ek :
e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)= 0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43
etek := xmax + 0.025 (xmax xmin)
=
2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48
3 Le choix de lamplitude
a := ek e0k
= 2.48 0.435
= 0.41
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
1 La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal k ' 1 + 3.222 log10 N.
Cela donne k = 5 pour N = 19.2 Le choix des bornes e0 et ek :
e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)= 0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43
etek := xmax + 0.025 (xmax xmin)
= 2.43 + 0.025 (2.43 0.48)
= 2.48
3 Le choix de lamplitude
a := ek e0k
= 2.48 0.435
= 0.41
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
1 La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal k ' 1 + 3.222 log10 N.
Cela donne k = 5 pour N = 19.2 Le choix des bornes e0 et ek :
e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)= 0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43
etek := xmax + 0.025 (xmax xmin)
= 2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48
3 Le choix de lamplitude
a := ek e0k
= 2.48 0.435
= 0.41
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
1 La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal k ' 1 + 3.222 log10 N.
Cela donne k = 5 pour N = 19.2 Le choix des bornes e0 et ek :
e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)= 0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43
etek := xmax + 0.025 (xmax xmin)
= 2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48
3 Le choix de lamplitude
a := ek e0k
= 2.48 0.435
= 0.41
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ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
1 La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal k ' 1 + 3.222 log10 N.
Cela donne k = 5 pour N = 19.2 Le choix des bornes e0 et ek :
e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)= 0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43
etek := xmax + 0.025 (xmax xmin)
= 2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48
3 Le choix de lamplitude
a := ek e0k
= 2.48 0.435
= 0.41
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0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
1 La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal k ' 1 + 3.222 log10 N.
Cela donne k = 5 pour N = 19.2 Le choix des bornes e0 et ek :
e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)= 0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43
etek := xmax + 0.025 (xmax xmin)
= 2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48
3 Le choix de lamplitude
a := ek e0k
= 2.48 0.435
= 0.41
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0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
1 La rgle de Sturges prconise de choisir un nombre de classes gal k ' 1 + 3.222 log10 N.
Cela donne k = 5 pour N = 19.2 Le choix des bornes e0 et ek :
e0 := xmin 0.025 (xmax xmin)= 0.48 0.025 (2.43 0.48) = 0.43
etek := xmax + 0.025 (xmax xmin)
= 2.43 + 0.025 (2.43 0.48) = 2.48
3 Le choix de lamplitude
a := ek e0k
= 2.48 0.435
= 0.41
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
Classes ni
[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
Classes ni[ 0.43, 0.84 [
2
[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2
[ 0.84, 1.25 [ 9
[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [
9[ 1.25, 1.66 [ 4
[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19
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MohamedCHERFI
Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9
[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2
[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [
4[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2
Total 19
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4
[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [
2[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2
[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19
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Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [
2Total 19
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2
Total 19
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2Total
19
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
ExempleVoici la srie statistique ordonne :
0.48 ; 0.60 ; 0.85 ; 0.87 ; 0.93 ; 1.01 ; 1.04 ; 1.10 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.17 ; 1.29 ; 1.35 ; 1.37 ;1.55 ; 1.98 2.02 ; 2.14 ; 2.43
Classes ni[ 0.43, 0.84 [ 2[ 0.84, 1.25 [ 9[ 1.25, 1.66 [ 4[ 1.66, 2.07 [ 2[ 2.07, 2.48 [ 2Total 19
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Construire un tableau des frquences et frquences cumules.
Classes ni xi fi Fj [ 0.43, 0.84 [ 2 0.64 0.11 0.11[ 0.84, 1.25 [ 9 1.04 0.47 0.58[ 1.25, 1.66 [ 4 1.46 0.21 0.79[ 1.66, 2.07 [ 2 1.86 0.11 0.89[ 2.07, 2.48 [ 2 2.27 0.11 1Total 19 1
Table 5: Tableau des frquences
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Construire un tableau des frquences et frquences cumules.
Classes ni xi fi Fj [ 0.43, 0.84 [ 2 0.64 0.11 0.11[ 0.84, 1.25 [ 9 1.04 0.47 0.58[ 1.25, 1.66 [ 4 1.46 0.21 0.79[ 1.66, 2.07 [ 2 1.86 0.11 0.89[ 2.07, 2.48 [ 2 2.27 0.11 1Total 19 1
Table 5: Tableau des frquences
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Lhistogramme
Histogramme
Classes
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
02
46
810
Figure 1: Histogramme
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Caractristiques de position
Quelles soient non groupes ou au contraires groupes par valeurs ou par classes, lesvariables quantitatives peuvent tre utilement rsumes par des caractristiquesprivilgient les valeurs principales de la distribution, au dtriment par exemple de ceuxqui caractrisent la dispersion ou la concentration des valeurs dune srie.
Ces valeurs centrales sont les moyennes, la mdiane et le mode. Nous exposerons leurmthode de calcul et leur signification en distinguant pour chacune delles le cas desdonnes non groupes et le cas des donnes regroupes (soit par valeurs, soit parclasses).
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Caractristiques de position
Quelles soient non groupes ou au contraires groupes par valeurs ou par classes, lesvariables quantitatives peuvent tre utilement rsumes par des caractristiquesprivilgient les valeurs principales de la distribution, au dtriment par exemple de ceuxqui caractrisent la dispersion ou la concentration des valeurs dune srie.Ces valeurs centrales sont les moyennes, la mdiane et le mode. Nous exposerons leurmthode de calcul et leur signification en distinguant pour chacune delles le cas desdonnes non groupes et le cas des donnes regroupes (soit par valeurs, soit parclasses).
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Calcul de la moyenne sur la srie brute
La moyenne est le rsum statistique le plus souvent utilis pour caractriser laposition de la variable X . On la note x . Pour calculer la moyenne, on fait la sommedes valeurs observes et on divise par leffectif total :
x := 1N
Ni=1
xi
ExempleOn a obtenu les rsultats de la rsistance la compression dun ciment (mesure surdes prismes de bton fabriqus partir dun chantillon du ciment).
273 ; 272 ; 285 ; 318 ; 311 ; 290 ; 315 ; 259 ; 300 ; 298
On trouve que la moyenne de la rsistance la compression du ciment est de :
x =
273 + 272 + + 29810
= 292.1
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Calcul de la moyenne sur la srie brute
La moyenne est le rsum statistique le plus souvent utilis pour caractriser laposition de la variable X . On la note x . Pour calculer la moyenne, on fait la sommedes valeurs observes et on divise par leffectif total :
x := 1N
Ni=1
xi
ExempleOn a obtenu les rsultats de la rsistance la compression dun ciment (mesure surdes prismes de bton fabriqus partir dun chantillon du ciment).
273 ; 272 ; 285 ; 318 ; 311 ; 290 ; 315 ; 259 ; 300 ; 298
On trouve que la moyenne de la rsistance la compression du ciment est de :
x = 273 + 272 + + 29810
= 292.1
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Calcul de la moyenne sur la srie brute
La moyenne est le rsum statistique le plus souvent utilis pour caractriser laposition de la variable X . On la note x . Pour calculer la moyenne, on fait la sommedes valeurs observes et on divise par leffectif total :
x := 1N
Ni=1
xi
ExempleOn a obtenu les rsultats de la rsistance la compression dun ciment (mesure surdes prismes de bton fabriqus partir dun chantillon du ciment).
273 ; 272 ; 285 ; 318 ; 311 ; 290 ; 315 ; 259 ; 300 ; 298
On trouve que la moyenne de la rsistance la compression du ciment est de :
x = 273 + 272 + + 29810
= 292.1
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Calcul de la moyenne dans le cas de regroupement deffectifs
On a un tableau de la forme :Intervalles
(cas continu)[ei1, ei [
Valeur(ou centre)
xi
Effectifsni
Frquencesfi
[e0, e1[ x1 n1 f1...
......
...[ei1, ei [ xi ni fi
......
......
[ek1, ek [ xk nk fkDans ce cas on effectue une moyenne pondre par les effectifs :
x = 1N
ki=1
nixi =ki=1
fixi .
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Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
PropositionSoit X une variable statistique et soient a et b deux nombres rels. Considrons lanouvelle variable Y = aX + b, on a alors
y = ax + b = ax + b
On peut utiliser cette proposition pour calculer la moyenne de X en utilisant unchangement de variable. Cela permet de simplifier les calculs.
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Effectifs etfrquencescumulsCourbe desfrquencescumules
Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Soient N valeurs de la variable. Si cette variable prend p valeurs disctinctes (p n),x1, , xp , deffectifs respectifs n1, , np alors
La moyenne gomtrique
G =
[ pi=1
xnii
] 1N
.
La moyenne harmonique
H = Npi=1
nixi
.
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Soient N valeurs de la variable. Si cette variable prend p valeurs disctinctes (p n),x1, , xp , deffectifs respectifs n1, , np alors
La moyenne gomtrique
G =
[ pi=1
xnii
] 1N
.
La moyenne harmonique
H = Npi=1
nixi
.
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Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Le Mode
Le ModeLe mode : donne qui se prsente avec la plus grande frquence, cest la valeurdistincte correspondant leffectif le plus lev.
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Le Mode
Le ModeLe mode : donne qui se prsente avec la plus grande frquence, cest la valeurdistincte correspondant leffectif le plus lev.
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Mthodede Sturges
Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Mdiane
La MdianeLa mdiane : valeur du milieu dun ensemble de donnes ordonn en ordre croissantdes grandeurs.
La mdiane Me nest pas affecte par les valeurs extrmes dun ensemble de donnes.Pour calculer la Mdiane, on commence par ordonner les valeurs prises par la variablestatistique. On note x(1) la premire valeur, x(2) la deuxime valeur, ..., x(N) la plusgrande valeur. On a donc :
x(1) x(2) . . . x(N)
Si N est pair, alors
Me :=x( N2 ) + x( N2 +1)
2.
Si N est impair,alorsMe := x( N+1
2
).
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Mdiane
La MdianeLa mdiane : valeur du milieu dun ensemble de donnes ordonn en ordre croissantdes grandeurs.
La mdiane Me nest pas affecte par les valeurs extrmes dun ensemble de donnes.
Pour calculer la Mdiane, on commence par ordonner les valeurs prises par la variablestatistique. On note x(1) la premire valeur, x(2) la deuxime valeur, ..., x(N) la plusgrande valeur. On a donc :
x(1) x(2) . . . x(N)
Si N est pair, alors
Me :=x( N2 ) + x( N2 +1)
2.
Si N est impair,alorsMe := x( N+1
2
).
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Mdiane
La MdianeLa mdiane : valeur du milieu dun ensemble de donnes ordonn en ordre croissantdes grandeurs.
La mdiane Me nest pas affecte par les valeurs extrmes dun ensemble de donnes.Pour calculer la Mdiane, on commence par ordonner les valeurs prises par la variablestatistique. On note x(1) la premire valeur, x(2) la deuxime valeur, ..., x(N) la plusgrande valeur. On a donc :
x(1) x(2) . . . x(N)
Si N est pair, alors
Me :=x( N2 ) + x( N2 +1)
2.
Si N est impair,alorsMe := x( N+1
2
).
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Mdiane
La MdianeLa mdiane : valeur du milieu dun ensemble de donnes ordonn en ordre croissantdes grandeurs.
La mdiane Me nest pas affecte par les valeurs extrmes dun ensemble de donnes.Pour calculer la Mdiane, on commence par ordonner les valeurs prises par la variablestatistique. On note x(1) la premire valeur, x(2) la deuxime valeur, ..., x(N) la plusgrande valeur. On a donc :
x(1) x(2) . . . x(N)
Si N est pair, alors
Me :=x( N2 ) + x( N2 +1)
2.
Si N est impair,alorsMe := x( N+1
2
).
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Calcul du mode pour des donnes regroupes en classes
Mo := ei1 +1
1 + 2 ai
avec
ei := Borne infrieure de la classe modale1 := ni ni12 := ni ni+1ni := Effectif de la classe modale
ni1 := Effectif de la classe prcdenteni+1 := Effectif de la classe suivanteai := Amplitude de la classe modale
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Caractristiquesde positionModeMdianeLe modeLa mdiane
Calcul de la mdiane pour des donnes regroupes en classes
Dans le cas de rpartition par classes, la mdiane peut tre value soitgraphiquement, soit par interpolation affine laide dun polygne des effectifscumuls. Par le calcul, on cherche la classe dans laquelle se trouve la mdiane. On litdans le tableau : On fait lhypothse que les effectifs sont uniformment rpartis dansles classes. On procde alors une interpolation linaire daprs le thorme de Thals.
Me := ei1 +
N2 Ni1ni
ai
avec
ei := Borne infrieure de la classe mdianeNi1 := Effectif cumul des classes prcdentes
ni := Effectif de la classe mdianeai := Amplitude de la classe mdiane
Effectifs et frquences cumulsCourbe des frquences cumules
Mthode de SturgesCaractristiques de positionModeMdianeLe modeLa mdiane
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