CQP 099 - Mathématiques de base - Université de...

CQP 099 - Mathématiques de baseChapitre 11

Fonction exponentielle et fonction logarithmique

Olivier Godin

Université de Sherbrooke

22 août 2018

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 1 / 48

Introduction

Dans ce chapitre, nous nous intéresserons aux différentes caractéristiques desfonctions exponentielles et logarithmiques. Nous verrons que ces dernières sont lesréciproques des fonctions exponentielles.

Nous ferons de nouveau appel aux propriétés des exposants et nous présenterons lespropriétés des logarithmes.

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Plan du chapitre

1 Fonction exponentielle

2 Résolution d’équations exponentielles dont les deux membres peuvent s’écrire enfonction de la même base

3 Caractéristiques et applications de la fonction g(x) = a(bx)

4 Fonction logarithmique

5 Évaluation de logarithmes à l’aide de la calculatrice

6 Résolution d’équations exponentielles à l’aide d’une formule de changement de based’un logarithme

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 3 / 48

Plan du chapitre

7 Propriétés des logarithmes

8 Résolution d’équations exponentielles à l’aide des propriétés des logarithmes

9 Résolution d’équations logarithmiques

10 Caractéristiques de la fonction g(x) = a(bx−h) + k

11 Caractéristiques de la fonction g(x) = a logb(c(x − h)) + k

12 Références

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 4 / 48

Fonction exponentielle

1 Fonction exponentielle

2 Résolution d’équations exponentielles dont les deux membres peuvent s’écrire enfonction de la même base

3 Caractéristiques et applications de la fonction g(x) = a(bx)

4 Fonction logarithmique

5 Évaluation de logarithmes à l’aide de la calculatrice

6 Résolution d’équations exponentielles à l’aide d’une formule de changement de based’un logarithme

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 5 / 48

Fonction exponentielle

Une fonction exponentielle est une fonction de la forme f (x) = bx , où b est uneconstante réelle positive et différente de 1 appelée la base de la fonction.

Le domaine et l’image d’une fonction exponentielle f (x) = bx sont donnés parDomf = R et Imaf =]0,∞[.

Il faut bien distinguer les fonction exponentielles de la forme y = bx , où la base estconstante et l’exposant variable, et les fonctions polynomiales de la forme y = xb, oùl’exposant est constant.

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Fonction exponentielle

[3]

Un base particulièrement utilié est la base b = e, où e ∈ Q′ est la constante de Neper,qui vaut approximativement 2,718.

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Fonction exponentielle

Question éclair 11.1

Soit la fonction f (x) = 8x . Évaluez les quantités suivantes.

a) f (−2)

b) f (0)

c) f(1

3

)d) f (3)

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Fonction exponentielle

Question éclair 11.2

La concentration (en milligrammes par litre) d’un type de polluant rejetédans l’eau par une usine située en bordure d’une rivière est C(x) =0,5e−2x , où x est la distance (en kilomètres) par rapport à l’usine, enaval.

a) Quelle est la concentration du polluant dans l’eau à la sortie del’usine ?

b) Quelle est la concentration du polluant dans l’eau à 1 km en aval del’usine ?

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Fonction exponentielle

Exercices 11.1

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 10 / 48

Résolution d’équations exponentielles dont les deux membrespeuvent s’écrire en fonction de la même base

1 Fonction exponentielle

2 Résolution d’équations exponentielles dont les deux membres peuvent s’écrire enfonction de la même base

3 Caractéristiques et applications de la fonction g(x) = a(bx)

4 Fonction logarithmique

5 Évaluation de logarithmes à l’aide de la calculatrice

6 Résolution d’équations exponentielles à l’aide d’une formule de changement de based’un logarithme

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 11 / 48

Résolution d’équations exponentielles dont les deux membrespeuvent s’écrire en fonction de la même base

Dans une équation exponentielle, on retrouve la variable en exposant. On ne peutdonc pas isoler cette variable au moyen des opérations élémentaires (+, −, × et ÷). Onutilisera plutôt la propriété disant que

bu = bv ⇐⇒ u = v .

Pour utiliser cette propriété, il est toutefois essentiel que les deux membres de l’équationaient la même base. Il faudra parfois effectuer une transformation pour exprimer chaquemembre comme une puissance d’une base commune.

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 12 / 48

Résolution d’équations exponentielles dont les deux membrespeuvent s’écrire en fonction de la même base

Question éclair 11.3

Résolvez les équations exponentielles suivantes.

a) 75−x = 343

b)(1

3

)3t−4= 243

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 13 / 48

Résolution d’équations exponentielles dont les deux membrespeuvent s’écrire en fonction de la même base

Exercices 11.2

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 14 / 48

Caractéristiques et applications de la fonction g(x) = a(bx)

1 Fonction exponentielle

2 Résolution d’équations exponentielles dont les deux membres peuvent s’écrire enfonction de la même base

3 Caractéristiques et applications de la fonction g(x) = a(bx)

4 Fonction logarithmique

5 Évaluation de logarithmes à l’aide de la calculatrice

6 Résolution d’équations exponentielles à l’aide d’une formule de changement de based’un logarithme

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 15 / 48

Caractéristiques et applications de la fonction g(x) = a(bx)

Exercices 11.3

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 16 / 48

Fonction logarithmique

1 Fonction exponentielle

2 Résolution d’équations exponentielles dont les deux membres peuvent s’écrire enfonction de la même base

3 Caractéristiques et applications de la fonction g(x) = a(bx)

4 Fonction logarithmique

5 Évaluation de logarithmes à l’aide de la calculatrice

6 Résolution d’équations exponentielles à l’aide d’une formule de changement de based’un logarithme

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Fonction logarithmique

Une fonction logarithmique est une fonction de la forme f (x) = logb x , où b est uneconstante (b > 0 et b 6= 1). b est la base du logarithme et y est le logarithme en base bde x . On a alors

y = logb x ⇐⇒ x = by .

[3]

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Fonction logarithmique

Une fonction logarithmique est donc la réciproque d’une fonction exponentielle. Cefaisant, le domaine et l’image d’une fonction logarithmique sont donnés parDomf =]0,∞[ et Imaf = R. On ne peut donc pas évaluer le logarithme d’un nombrenégatif ou nul.

[3]

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Fonction logarithmique

Un logarithme décimal est un logarithme en base 10 et est désigné en omettant labase : log10 x = log x .

Un logarithme en base e est quant à lui appelé logarithme naturel ou encorelogarithme népérien et est désigné par loge x = ln x .

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Fonction logarithmique

Question éclair 11.4

Écrivez les expressions suivantes sous la forme exponentielle.

a) log4 1024 = 5

b) log8 16 = 43

c) log( 1

10

)= −1

d) ln2,7183 = 1

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Fonction logarithmique

Question éclair 11.5

Écrivez les expressions suivantes sous la forme logarithmique.

a) 36 = 729

b)(1

2

)−3= 8

c) 103 = 1000

d) e12 = 1,6487

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Fonction logarithmique

Exercices 11.4

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 23 / 48

Évaluation de logarithmes à l’aide de la calculatrice

1 Fonction exponentielle

2 Résolution d’équations exponentielles dont les deux membres peuvent s’écrire enfonction de la même base

3 Caractéristiques et applications de la fonction g(x) = a(bx)

4 Fonction logarithmique

5 Évaluation de logarithmes à l’aide de la calculatrice

6 Résolution d’équations exponentielles à l’aide d’une formule de changement de based’un logarithme

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 24 / 48

Évaluation de logarithmes à l’aide de la calculatrice

Pour trouver la valeur d’un logarithme dans une base b quelconque à l’aide d’unecalculatrice, on utilise la propriété suivante :

logb x =ln xlnb

=log xlog b

.

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 25 / 48

Évaluation de logarithmes à l’aide de la calculatrice

Exercices 11.5

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 26 / 48

Résolution d’équations exponentielles à l’aide d’une formule dechangement de base d’un logarithme

1 Fonction exponentielle

2 Résolution d’équations exponentielles dont les deux membres peuvent s’écrire enfonction de la même base

3 Caractéristiques et applications de la fonction g(x) = a(bx)

4 Fonction logarithmique

5 Évaluation de logarithmes à l’aide de la calculatrice

6 Résolution d’équations exponentielles à l’aide d’une formule de changement de based’un logarithme

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 27 / 48

Résolution d’équations exponentielles à l’aide d’une formule dechangement de base d’un logarithme

À partir de la propriété disant que

bv = u ⇐⇒ v = logb u,

on peut résoudre des équations exponentielles.

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 28 / 48

Résolution d’équations exponentielles à l’aide d’une formule dechangement de base d’un logarithme

Question éclair 11.7

Résolvez les équations exponentielles suivantes.

a) 62−x = 3628

b)(3

4

)6t−1= 20

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 29 / 48

Résolution d’équations exponentielles à l’aide d’une formule dechangement de base d’un logarithme

Exercices 11.6

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 30 / 48

Propriétés des logarithmes

7 Propriétés des logarithmes

8 Résolution d’équations exponentielles à l’aide des propriétés des logarithmes

9 Résolution d’équations logarithmiques

10 Caractéristiques de la fonction g(x) = a(bx−h) + k

11 Caractéristiques de la fonction g(x) = a logb(c(x − h)) + k

12 Références

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 31 / 48

Propriétés des logarithmes

Si a et b sont des nombres réels positifs différents de 1, si u et v sont des nombresréels positifs et si n est un nombre réel, alors

1 logb 1 = 0

2 logb b = 1

3 logb(uv) = logb u + logb v

4 logb(u

v

)= logb u − logb v

5 logb un = n logb u

6 logb bn = n

7 blogb u = u

8 loga u = logb ulogb a

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 32 / 48

Propriétés des logarithmes

Question éclair 11.8

Utilisez les propriétés des logarithmes pour développer le plus possibleles expressions suivantes.

a) logb x√

x2 + 1, où x > 0

b) log 12

x3

x−3 , où x > 3

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 33 / 48

Propriétés des logarithmes

Question éclair 11.9

Écrivez les expressions suivantes en utilisant un seul logarithme.

a) logb 9 + 3 logb 4

b) 12 log2 x − 2 log2 y , où x > 0 et y > 0

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 34 / 48

Propriétés des logarithmes

Exercices 11.7

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 35 / 48

Résolution d’équations exponentielles à l’aide des propriétés deslogarithmes

7 Propriétés des logarithmes

8 Résolution d’équations exponentielles à l’aide des propriétés des logarithmes

9 Résolution d’équations logarithmiques

10 Caractéristiques de la fonction g(x) = a(bx−h) + k

11 Caractéristiques de la fonction g(x) = a logb(c(x − h)) + k

12 Références

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 36 / 48

Résolution d’équations exponentielles à l’aide des propriétés deslogarithmes

On peut utiliser les propriétés des logarithmes pour résoudre des équations impliquantdes fonctions exponentielles.

La stratégie est alors d’isoler dans l’équation le terme sous forme exponentielle où setrouve la variable. On applique ensuite un logarithme de chaque côté de l’égalité, puison fait appel à la propriété 5 parmi les précédentes pour isoler la variable.

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 37 / 48

Résolution d’équations exponentielles à l’aide des propriétés deslogarithmes

Question éclair 11.10

Écrivez les expressions suivantes en utilisant un seul logarithme.

a) 73x−2 = 425

b) 3(41−4t) = 75

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 38 / 48

Résolution d’équations exponentielles à l’aide des propriétés deslogarithmes

Question éclair 11.11

La concentration (en milligrammes par litre) d’un type de polluant rejetédans l’eau par une usine située en bordure d’une rivière est C(x) =0,5e−2x , où x est la distance (en kilomètres) par rapport à l’usine, enaval. À quelle distance de l’usine, en aval, trouve-t-on une concentrationdu polluant dans l’eau de 0,3 mg/L?

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 39 / 48

Résolution d’équations exponentielles à l’aide des propriétés deslogarithmes

Exercices 11.8

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 40 / 48

Résolution d’équations logarithmiques

7 Propriétés des logarithmes

8 Résolution d’équations exponentielles à l’aide des propriétés des logarithmes

9 Résolution d’équations logarithmiques

10 Caractéristiques de la fonction g(x) = a(bx−h) + k

11 Caractéristiques de la fonction g(x) = a logb(c(x − h)) + k

12 Références

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 41 / 48

Résolution d’équations logarithmiques

Lorsqu’une équation comporte un ou plusieurs logarithmes, on ne peut pas la résoudreen effectuant des opérations arithmétiques ou algébriques de base. Il faut d’abord latransformer pour éliminer les logarithmes.

Si l’un des membres d’une équation est un logarithme, et l’autre, une constante, ladéfinition de logarithme permet de transformer l’équation logarithmique en une équationexponentielle :

logb M = m ⇐⇒ bm = M.

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Résolution d’équations logarithmiques

Question éclair 11.12

Résolvez les équations logarithmiques suivantes.

a) log7(5− 2x) = 3

b) log 13(t2 + 2) = −2

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 43 / 48

Résolution d’équations logarithmiques

Exercices 11.9

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 44 / 48

Caractéristiques de la fonction g(x) = a(bx−h) + k

7 Propriétés des logarithmes

8 Résolution d’équations exponentielles à l’aide des propriétés des logarithmes

9 Résolution d’équations logarithmiques

10 Caractéristiques de la fonction g(x) = a(bx−h) + k

11 Caractéristiques de la fonction g(x) = a logb(c(x − h)) + k

12 Références

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 45 / 48

Caractéristiques de la fonction g(x) = a logb(c(x − h)) + k

7 Propriétés des logarithmes

8 Résolution d’équations exponentielles à l’aide des propriétés des logarithmes

9 Résolution d’équations logarithmiques

10 Caractéristiques de la fonction g(x) = a(bx−h) + k

11 Caractéristiques de la fonction g(x) = a logb(c(x − h)) + k

12 Références

Chapitre 11 - Fonction exponentielle et fonction logarithmique 46 / 48

Références

7 Propriétés des logarithmes

8 Résolution d’équations exponentielles à l’aide des propriétés des logarithmes

9 Résolution d’équations logarithmiques

10 Caractéristiques de la fonction g(x) = a(bx−h) + k

11 Caractéristiques de la fonction g(x) = a logb(c(x − h)) + k

12 Références

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Références

A. Bolduc.Math-o-matique.Guérin, 2000.

M. Gingras.Mathématique d’appoint, 4e édition révisée.Chenelière Éducation, 2011.

J. Hamel.Mise à niveau mathématique, 2e édition.Éditions du renouveau pédagogique, 2017.

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