CQP 208Chapitre 4

Taux liés et différentielles

Olivier Godin

Université de Sherbrooke

13 novembre 2015

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Plan du chapitre

1 Taux liés

2 Différentielles

3 Variation absolue et variation relative

4 Approximation linéaire

5 Calcul d’incertitude

6 Références

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Taux liés

Taux liés

1 Taux liés

2 Différentielles

3 Variation absolue et variation relative

4 Approximation linéaire

5 Calcul d’incertitude

6 Références

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Taux liés

Taux liés

Lorsqu’on gonfle un ballon avec de l’air, tant le volume que le rayon du ballon augmentent,et les taux auxquels ils croissent sont liés l’un à l’autre. Il est cependant beaucoupplus facile de mesurer directement le taux d’accroissement du volume que celui du rayon.

Pour résoudre un problème de taux de variation liés, on doit calculer le taux de variationd’une grandeur en fonction de celui de l’autre (souvent plus facile à mesurer). Ladémarche consiste à trouver une équation qui lie les deux grandeurs, puis, au moyen dela règle de dérivation en chaîne, à dériver les deux membres par rapport à une mêmevariable, souvent le temps.

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Taux liés

Taux liés

Pour résoudre ce type de problème, il est judicieux d’appliquer systématiquement unestratégie rigoureuse :

1 Lire attentivement l’énoncé.

2 Si possible, dessiner un schéma.

3 Introduire une notation suggestive. Affecter des symboles à toutes les grandeurs quisont fonctions de la variable indépendante, souvent le temps.

4 Exprimer l’information donnée et le taux recherché en terme de dérivées.

5 Écrire une équation qui lie les variables du problème. Au besoin, employer lagéométrie pour éliminer une des variables par substitution.

6 Au moyen de la règle de dérivation en chaîne, dériver les deux membres del’équation par rapport à la variable indépendante.

7 Effectuer les substitutions dans l’équation résultante pour résoudre par rapport autaux inconnu.

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Taux liés

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Taux liés

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Taux liés

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Taux liés

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Taux liés

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Taux liés

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Taux liés

Taux liés

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Différentielles

Différentielles

1 Taux liés

2 Différentielles

3 Variation absolue et variation relative

4 Approximation linéaire

5 Calcul d’incertitude

6 Références

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Différentielles

Différentielles

Nous avons vu que lorsque ∆x tend vers 0, la pente de la droite tangente à la courbey = f (x) en un point (x , f (x)) est presqu’égale à la pente de la droite sécante passantpar les points (x , f (x)) et (x + ∆x , f (x + ∆x)).

On a donc f ′(x) ≈ f (x + ∆x) − f (x)

∆x.

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Différentielles

Différentielles

Par conséquent, on a quef ′(x)∆x ≈ f (x + ∆x) − f (x)︸ ︷︷ ︸

∆y

.

Ainsi, la variation ∆y de la variable dépendante peut être approximée par la valeurf ′(x)∆x . Cela nous amène à définir le concept de différentielle.

Si y = f (x), où f est une fonction dérivable, alors la différentielle dx est une variableindépendante , c’est-à-dire qu’on peut attribuer à dx la valeur de n’importe quel nomreréel. La différentielle dy est alors définie en termes de dx par l’égalité

dy = f ′(x)dx .

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Différentielles

Différentielles

dy est donc une variable dépendante, elle dépend des valeurs de x et de dx . Si l’onattribue à dx une certaine valeur et à x un certain nombre du domaine de définition de f ,la valeur numérique de dy s’en trouvera déterminée.

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Différentielles

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Différentielles

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Différentielles

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Variation absolue et variation relative

Variation absolue et variation relative

1 Taux liés

2 Différentielles

3 Variation absolue et variation relative

4 Approximation linéaire

5 Calcul d’incertitude

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Variation absolue et variation relative

Variation absolue et variation relative

Comme mentionné précédemment, on peut utiliser les différentielles pour estimer lavariation absolue (∆y ) ou la variation relative (∆y

y ) de la variable dépendante suite àune faible variation absolue (∆x = dx) ou relative (∆x

x = dxx ) de la variable indépendante.

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Variation absolue et variation relative

Variation absolue et variation relative

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Approximation linéaire

Approximation linéaire

1 Taux liés

2 Différentielles

3 Variation absolue et variation relative

4 Approximation linéaire

5 Calcul d’incertitude

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Approximation linéaire

Approximation linéaire

Soit une fonction dérivable f (x). L’expression f (x) + f ′(x)dx permet de donner uneapproximation linéaire de la valeur de f (x + ∆x). Plus ∆x = dx est de faibleamplitude, meilleure est l’approximation. On a donc que

f (x + dx) ≈ f (x) + f ′(x)dx

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Approximation linéaire

Approximation linéaire

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Calcul d’incertitude

Calcul d’incertitude

1 Taux liés

2 Différentielles

3 Variation absolue et variation relative

4 Approximation linéaire

5 Calcul d’incertitude

6 Références

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Calcul d’incertitude

Calcul d’incertitude

La lecture d’une mesure sur un instrument entraîne une incertitude sur cette mesure,puisque la précision des instruments utilisés est limitée.

On appelle incertitude absolue l’évaluation quantifiée des difficultés éprouvées lors dela prise de mesure. On la note ∆x , et elle dépend de la précision de l’instrument, demême que d’autres facteurs externes.

L’incertitude relative, notés ∆xx donne quant à elle l’importance de l’incertitude absolue

par rapport à la mesure prise sur l’instrument. On l’exprime généralement enpourcentage.

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Calcul d’incertitude

Calcul d’incertitude

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Calcul d’incertitude

Calcul d’incertitude

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Références

Références

1 Taux liés

2 Différentielles

3 Variation absolue et variation relative

4 Approximation linéaire

5 Calcul d’incertitude

6 Références

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Références

Réseau de concepts

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Références

Références

Éric Brunelle and Marc-André Désautels.Calcul différentiel.Les Éditions CEC inc., 2011.

Gilles Charron and Pierre Parent.Calcul différentiel, 6e édition.Groupe Beauchemin - Chenelière Éducation, 2007.

Josée Hamel and Luc Amyotte.Calcul différentiel, 2e édition.Éditions du renouveau pédagogique, 2014.

Stéphane Beauregard and Chantal Trudel.Calcul différentiel.Groupe Modulo, 2013.

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