CQP 208 - Chapitre 1 Limite et continuitéinfo.usherbrooke.ca/ogodin/enseignement/cqp208/chapitres/cqp208-chap01.pdfLimite et continuité 5 / 86. La limite : une approche intuitive

CQP 208Chapitre 1

Limite et continuité

Olivier Godin

Université de Sherbrooke

18 septembre 2015

Limite et continuité 1 / 86

Plan du chapitre

1 La limite : une approche intuitive

2 Estimation d’une limite à l’aide d’un graphique ou d’un tableau de valeurs

3 Évaluation d’une limite

4 Évaluation d’une limite de la forme c0


Plan du chapitre

5 Évaluation d’une limite à l’infini

6 Évaluation de la limite d’une forme indéterminée

7 Continuité

8 Références


La limite : une approche intuitive








Vitesse moyenne

Soit s(t) la position d’une particule à l’instant t . La vitesse moyenne de cette particulesur un intervalle de temps [ti , tf ], notée v[ti ,tf ] est définie de la façon suivante :

v[ti ,tf ] =s(tf )− s(ti)

tf − ti=

∆s∆t

.

La vitesse moyenne correspond dont au quotient de la distance parcourue par la duréedu parcours.

Graphiquement, la vitesse moyenne correspond à la pente de la sécante à la courbe dela fonction position passant par le point de départ (ti , s(ti)) et le point d’arrivée (tf , s(tf ))sur le graphique position-temps.



Vitesse instantanée

Soit s(t) la position d’une particule à l’instant t . La vitesse instantanée de cette particuleau temps t = a, notée vt=a est égale à la valeur limite du rapport ∆s

∆t lorsque ∆ts’approche de 0.

On écrira alorsvt=a = lim

∆t→0

∆s∆t

= lim∆t→0

s(a + ∆t)− s(a)

∆t,

car ∆s = s(tf )− s(ti) = s(a + ∆t)− s(a).


Estimation d’une limite à l’aide d’un graphique ou d’un tableau de valeurs

Estimation d’une limite à l’aide d’un graphique ou d’un tableau devaleurs


2 Estimation d’une limite à l’aide d’un graphique ou d’un tableau de valeursEstimation d’une limite finieLimite à gauche et limite à droiteLimite infinieAsymptote verticaleLimite à l’infiniAsymptote horizontale




Estimation d’une limite à l’aide d’un graphique ou d’un tableau de valeurs Estimation d’une limite finie

Estimation d’une limite finie








Évaluer une limite, c’est étudier le comportement d’une fonction f (x) quand x devient deplus en plus proche d’une certaine valeur.

Un peu plus formellement, on dira que L est la limite d’une fonction f (x) lors que x tendvers a, si les valeurs de f (x) deviennent de plus en plus près de L lorsque les valeurs dex deviennent de plus en plus près de a, tout en restant dans le domaine de f (x), sansatteindre a. La notation à utiliser sera alors

limx→a

f (x) = L.





Estimation d’une limite à l’aide d’un graphique ou d’un tableau de valeurs Limite à gauche et limite à droite

Limite à gauche et limite à droite








Il existe parfois deux façons pour x de s’approcher de a. Cela nous amène à définir lanotion de limite à gauche et limite à droite.

Nous notons x → a− le fait que x s’approche de a par des valeurs inférieurs à a (par lagauche). De manière équivalente, nous notons x → a+ le fait que x s’approche de plusen plus près de a par des valeurs supérieures à a (par la droite)

Nous appelons limite à gauche de la fonction f (x) la limite de la fonction f (x)lorsque x s’approche de a par la gauche et on la note

limx→a−

f (x)

Nous appelons limite à droite de la fonction f (x) la limite de la fonction f (x) lorsquex s’approche de a par la droite et on la note

limx→a+

f (x)




Cette définition est très importante, car elle est à l’origine d’un théorème qui nouspermettra de déterminer l’existence et la valeur d’une limite lorsqu’il y a deux façons pourx de s’approcher de a.

















Estimation d’une limite à l’aide d’un graphique ou d’un tableau de valeurs Limite infinie

Limite infinie







Limite infinie

Soit f (x) une fonction définie au voisinage de a, sauf peut-être en a. Alors,

limx→a

f (x) =∞

signifie que les valeurs de f (x) deviennent de plus en plus grandes (ou augmentent sansborne) à mesure que x s’approche de a.

Attention ! Cette notation ne signifie pas que l’on considère∞ comme un nombre. Ellene fait qu’exprimer de façon particulière le fait que la limite n’existe pas.

De façon équivalente, on a que si f (x) est une fonction définie au voisinage de a, saufpeut-être en a, alors

limx→a

f (x) = −∞

signifie que les valeurs de f (x) deviennent de plus en plus petites (ou diminuent sansborne) à mesure que x s’approche de a.



Limite infinie

Silimx→a

f (x) =∞ ou limx→a

f (x) = −∞,

il sera question de limite infinie.

Notons que le théorème 1.1 continue de s’appliquer dans le cas des limites infinie. C’estdonc dire que

limx→a

f (x) =∞ ⇐⇒ limx→a−

f (x) = limx→a+

f (x) =∞

etlimx→a

f (x) = −∞ ⇐⇒ limx→a−

f (x) = limx→a+

f (x) = −∞

Notation : le symbole ⇐⇒ signifie si et seulement si.



Limite infinie


Estimation d’une limite à l’aide d’un graphique ou d’un tableau de valeurs Asymptote verticale

Asymptote verticale






Estimation d’une limite à l’aide d’un graphique ou d’un tableau de valeurs Asymptote verticale

Asymptote verticale

La droite x = a est une asymptote verticale de la fonction y = f (x) si au moins une deségalités suivantes est vraie :

limx→a

f (x) =∞ limx→a−

f (x) =∞ limx→a+

f (x) =∞

limx→a

f (x) = −∞ limx→a−

f (x) = −∞ limx→a+

f (x) = −∞


Estimation d’une limite à l’aide d’un graphique ou d’un tableau de valeurs Limite à l’infini

Limite à l’infini








On s’intéresse maintenant à l’analyse du comportement d’une fonction quand x devientde plus en plus grand (x →∞) ou de plus en plus petit (x → −∞).

Intuitivement, le calcul de la limite dans le cas où x →∞ nous indique si la fonctions’approche d’une valeur L ou si elle continue d’augmenter ou de diminuer indéfinimentlorsque x devient très grand. Il en va de même pour x → −∞.




Nous dirons que L est la limite d’une fonction f (x) lorsque x tend vers l’infini si lesvaleurs de f (x) deviennent de plus en plus près de L lorsque les valeurs de xdeviennent de plus en plus grandes. On écrira alors

limx→∞

f (x) = L

Nous dirons que L est la limite d’une fonction f (x) lorsque x tend vers moins l’infinisi les valeurs de f (x) deviennent de plus en plus près de L lorsque les valeurs de xdeviennent de plus en plus petites. On écrira alors

limx→−∞

f (x) = L


Estimation d’une limite à l’aide d’un graphique ou d’un tableau de valeurs Asymptote horizontale

Asymptote horizontale








La droite d’équation y = b, où b ∈ R, est une asymptote horizontale de la courbe f (x) siau moins une des conditions suivantes est vérifiée :

limx→∞

f (x) = b ou limx→−∞

f (x) = b











Évaluation d’une limite









Énonçons maintenant quelques propriétés sur les limites. Ces propriétés nous serviront àévaluer algébriquement des limites, plutôt que de les estimer à l’aide de tableaux devaleurs.




Toutes les propriétés précédentes sont aussi valides si x → a− ou si x → a+.

Avec ces propriétés, nous sommes maintenant en mesure de démontrer un théorèmeimportant concernant l’évaluation des limites pour des fonctions polynomiales.











Évaluation d’une limite de la forme c0









Soit la fonction définie par f (x)g(x) . Si on évalue la limite d’un quotient et que le dénominateur

tend vers 0, mais que le numérateur est différent de 0, alors le quotient tend vers ±∞,selon le signe du numérateur et du dénominateur.

En écriture mathématique, cela revient à vouloir évaluer

limx→a

f (x)

g(x)

aveclimx→a

f (x) = c 6= 0 et limx→a

g(x) = 0.

Dans une telle situation, il faut toujours évaluer la limite à gauche et la limite à droite.




Lors de l’évaluation des limites à gauche et à droite, les différents cas possibles sont

Si c > 0 et que le quotient est de la formec

0−, le résultat de la limite est −∞.

Si c > 0 et que le quotient est de la formec

0+, le résultat de la limite est∞.

Si c < 0 et que le quotient est de la formec

0−, le résultat de la limite est∞.

Si c < 0 et que le quotient est de la formec

0+, le résultat de la limite est −∞.








Évaluation d’une limite à l’infini


5 Évaluation d’une limite à l’infiniArithmétique de l’infiniStratégies utiles à l’évaluation de limites


7 Continuité

8 Références




En plus des propriétés données précédemment, certaines s’appliquent spécifiquementaux limites à l’infini. Elles sont présentées dans le tableau suivant :


Évaluation d’une limite à l’infini Arithmétique de l’infini

Arithmétique de l’infini



7 Continuité

8 Références


Évaluation d’une limite à l’infini Arithmétique de l’infini

Arithmétique de l’infini

La manipulation d’expressions contenant le symbole∞ peut parfois porter à confusion.Le tableau suivant donne quelques règles de base sur le comportement de cesexpressions lors de l’évaluation des limites.


Évaluation d’une limite à l’infini Stratégies utiles à l’évaluation de limites

Stratégies utiles à l’évaluation de limites



7 Continuité

8 Références




L’utilisation de certaines techniques présentées au chapitre précédent (Rappels denotions mathématiques) pourront aussi grandement nous aider pour l’évaluation deslimites. La mise en évidence et la multiplication par le conjugué seront, par exemple,des outils très utiles.





Évaluation de la limite d’une forme indéterminée



6 Évaluation de la limite d’une forme indéterminéeIndétermination de la forme 0

0Indétermination de la forme ∞∞ ou de la forme∞−∞

7 Continuité

8 Références




À la section 3, nous avons vu comment évaluer un bon nombre de limites en utilisant lespropriétés ou par substitution directe. Toutefois, ces approches ne suffisent pas pourévaluer toutes les limites.

Lorsqu’on fait une substitution directe dans le calcul des limites et qu’on obtient l’une oul’autre des expressions 0

0 , ∞∞ ,∞−∞, 0×∞, 00,∞0 et 1∞, on dit que la substitutiondirecte donne une forme indéterminée.

La présente section traite de la façon de lever des indéterminations de la forme 00 , ∞∞ et

∞−∞ à l’aide de manipulations algébriques.


Évaluation de la limite d’une forme indéterminée Indétermination de la forme 00

Indétermination de la forme 00




7 Continuité

8 Références




Nous avons vu que, pour calculer limx→a f (x), il suffit souvent de remplacer x par a dansf (x). Par contre, il arrive parfois que le résultat donne 0

0 . Il faut toutefois comprendrequ’en réalité, nous ne divisons par par 0, mais plutôt par une valeur près de zéro.

Pour cette forme d’indétermination, on tente de trouver un facteur commun aunumérateur et au dénominateur de l’expression qui tend vers 0 lorsque x → a. Pour yarriver, on utilise le plus souvent un des procédés suivants :

la factorisation des polynômes et la simplification de l’expression ;

la multiplication par le conjugué de l’expression contenant une racine et quientraîne la forme 0

0 .




Pour lever une indétermination de la forme 00 , il faut parfois factoriser et simplifier la

fonction. Cette technique est habituellement utilisée lorsque f (x) est une fractionalgébrique.

Soit P(x) et Q(x), deux polynômes, tels que

limx→a

P(x)

Q(x)

donne une forme indéterminée 00 . On a alors que (x − a) est un facteur de P(x) et de

Q(x) que nous pouvons mettre en évidence et simplifier.







Une autre stratégie que l’on peut utiliser pour lever une indétermination de la forme 00 est

la mise au même dénominateur.







La technique du conjugué permet elle aussi de lever une indétermination de la forme 00

dans le cas où celle-ci comporte des racines carrées.





Évaluation de la limite d’une forme indéterminée Indétermination de la forme ∞∞ ou de la forme∞−∞

Indétermination de la forme ∞∞ ou de la forme∞−∞




7 Continuité

8 Références




Il est aussi possible d’obtenir des indétermination de la forme ∞∞ lors du calcul decertaines limites. Pour résoudre algébriquement celles-ci, il suffit en général de mettre enévidence le terme dominant, c’est-à-dire celui qui croît vers l’infini le plus rapidement,au numérateur et au dénominateur. Dans le cas des polynômes, il s’agit de mettre enévidence la variable affectée de son plus grand exposant. Ensuite, il suffit de simplifier.




Lorsque nous calculons des limites et que nous obtenons une indétermination de laforme∞−∞, nous pouvons lever celle-ci par une mise en évidence du termedominant. Par contre, lorsque nous aurons des racines carrées, il sera préférable defaire la multiplication par la technique du conjugué.





Continuité

Continuité



7 ContinuitéTypologie des discontinuités possibles d’une fonctionDéfinition de la continuité en un pointPropriétés des fonctions continuesContinuité sur un intervalle

8 Références


Continuité Typologie des discontinuités possibles d’une fonction

Typologie des discontinuités possibles d’une fonction




8 Références




Avant de définir formellement la continuité d’une fonction en un point, nous allonsprésenter cette notion de façon intuitive.

Une fonction est dite continue lorsque la courbe qui la représente n’a pas de coupure,c’est-à-dire lorsque nous pouvons la tracer sans lever le crayon. En particulier, elle estcontinue en un point si nous pouvons tracer la courbe de la gauche du point à la droitedu point sans lever le crayon.








Continuité Définition de la continuité en un point

Définition de la continuité en un point




8 Références




La continuité d’une fonction en un point se définit de la façon suivante :

Une fonction f est continue en x = a si et seulement si

f (a) est définie, c’est à dire que a ∈ Dom (f ) ;

limx→a

f (x) existe ;

limx→a

f (x) = f (a).

Une fonction est discontinue en x = a si au moins une des trois conditions précédentesn’est pas satisfaite.











Continuité Propriétés des fonctions continues

Propriétés des fonctions continues




8 Références




Dans cette section, on s’intéresse à certaines propriétés importantes que possèdent lesfonctions continues.











Continuité Continuité sur un intervalle

Continuité sur un intervalle




8 Références




La continuité d’une fonction sur un intervalle se définit de la façon suivante :

Une fonction f est

continue sur ]a,b[ sielle est continue pour tout x ∈]a,b[.

continue sur [a,b] sielle est continue sur ]a,b[ ;lim

x→a+f (x) = f (a) ;

limx→b−

f (x) = f (b).

continue sur ]a,b] sielle est continue sur ]a,b[ ;lim

x→b−f (x) = f (b).

continue sur [a,b[ sielle est continue sur ]a,b[ ;lim

x→a+f (x) = f (a).








Références

Références



7 Continuité

8 Références


Références

Réseau de concepts


Références

Références

Éric Brunelle and Marc-André Désautels.Calcul différentiel.Les Éditions CEC inc., 2011.

Gilles Charron and Pierre Parent.Calcul différentiel, 6e édition.Groupe Beauchemin - Chenelière Éducation, 2007.

Josée Hamel and Luc Amyotte.Calcul différentiel, 2e édition.Éditions du renouveau pédagogique, 2014.

Stéphane Beauregard and Chantal Trudel.Calcul différentiel.Groupe Modulo, 2013.


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