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Démonstrations
Bloc 6
Sommaire
1. Résolution de l’équation de dispersion complexe (§4)
2. Résolution de l’équation différentielle : modèle de Drude (§5)
3. Dispersion : champ électrique pour un paquet d’ondes (§7)
4. Relation de Rayleigh (§7)5. Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h.
non magnétiques : vecteurs D et H (§1)
)zkt(jmeEE
or j²c²
²k
"k'jk2'²'k'²k²k
La solution est de la forme : k k = k’ + = k’ + jk’’jk’’
• égalité des parties réelles
• égalité des parties imaginaires
• égalité des parties réelles
• expression du module de k au carré "²k'²k²k
réelle ; = o
1 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur : résolution de l’équation de dispersion complexe
(1)
(2)
or j²c²
²k
"k'jk2'²'k'²k²k
Résolution d’un équation complexe à 2 inconnues : k’ et k’’ Il faut se ramener à 2 équations réelles.
2 méthodes proposées
Méthode A
Méthode B
2''k'k
²c²
"²k'²k
o
r
2
)²²c²
(
)²(11
²c²
'²k
2
)²()²²c²
(²c²
'²k
r
or
orr
or j²c²
²k
"k'jk2'²'k'²k²k Méthode A
'²k4)²(
"²k
²c²
"²k'²k
o
r
04
)²('²k
²c²
'k
0'²k4²c²
)²('k4
²c²
'²k4)²(
'²k
or
4
ro4
ro
Equation du 2nd ordre en k’²
Seule solution possible : pourquoi ?
)]c)²(
11(²c²
[21
"²k
)]c)²(
11(²c²
[21
'²k
2r
4
4o
r
2r
4
4o
r
Méthode A
2
)²²c²
(
)²(11
²c²
'²kr
or
2''k'k
²c²
"²k'²k
o
r
"²k'²k4"²)²k'²k("²)²k'²k("²k'²k²k
²c²
"²k'²k r
)²()²²c²
("²k'²k
²c²
"²k'²k
or
r
ror
orr
²c²
)²()²²c²
("²k2
)²()²²c²
(²c²
'²k2
)]c)²(
11(²c²
[21
"²k
)]c)²(
11(²c²
[21
'²k
2r
4
4o
r
2r
4
4o
r
or j²c²
²k
"k'jk2'²'k'²k²k Méthode B
2r
2
4o
r
2r
2
4o
r
c)²(11
c2
1"k
c)²(11
c2
1'k
22r
22r
²11
c2
1"k
²11
c2
1'k
)]c)²(
11(²c²
[21
"²k
)]c)²(
11(²c²
[21
'²k
2r
4
4o
r
2r
4
4o
rExpression de k’ et k’’ ?
"k'jk2'²'k'²kj²c²
²k or
"k'jk2'²'k'²kj²c²
²k or
22r
22r
²11
c2
1"k
²11
c2
1'k
Tan²
Simplifications possibles si tan >>1 ou <<1(on retrouve les cas 1 et 2 étudiés dans le bloc 5 :Il est plus intéressant alors de simplifier avant de
faire les calculs !!!...)Retour au sommaire
vm
Ee²dtr²d
m
vm
Ee²dtr²d
m
Emev
dtvd
)t
exp(vEme
v o
1er cas simple : on fait l’hypothèse que E est un champ constant et uniforme (indépendant de r et t)
2-a) Comportement de avec la fréquence : résolution de l’équation différentielle pour les électrons libres
La solution v est la somme de 2 termes :
• Une solution particulière de l’équation ( en général on choisit une constante : dv/dt = 0 )
• La solution générale de l’équation sans second membre :
Eme
v
)t
exp(vv o
0v
dtvd
Constante d’intégration : à déterminer avec les conditions initiales (t = 0), à
partir de la solution globale
10-14 s EEme
v
µ : Mobilité des électrons libres
)t
exp(vEme
v o
La vitesse de déplacement sous champ E des électrons libres est constante si E est uniforme
vjdtvd
tjoevv
2ème cas :
On fait l’hypothèse d’un champ E sinusoïdal progressif
Emev
vj
zkjtjm eeEE
On suppose la mise en place d’un régime d’oscillations forcéesd’oscillations forcées des e- libres sous le champ E
(ils oscillent à la même fréquence)
E)j1(m
ev
vm
Ee²dtr²d
m
vm
Ee²dtr²d
m
E
mev
dtvd
L’utilisation des nombres complexes permet de linéariser l’équation différentielle
Que traduit physiquement
cette expression complexe liant la
vitesse à E ?
r²dtrd1
Eme
²dtr²d
o
�
rjdtrd
tjo err
Emer
jr²r² o
zkjtjm ee.EE
E)j²²(m
er
o
r²²dtr²d
E)j²²(m
ejv
o
2-b) Comportement de avec la fréquence : résolution de l’équation différentielle pour les électrons liés
On fait l’hypothèse d’un champ E sinusoïdal progressif, et d’oscillations forcées des e- élastiquement liés à la même fréquence que le champ
L’utilisation des nombres complexes permet de linéariser l’équation différentielle
Retour au sommaire
Milieux dispersifs vv(()) Emetteurs réels non monochromatiques largeur de raie Onde plane progressive monochromatique : ni début, ni fin…(amplitude constante) Onde réelle : paquet d’ondes = combinaison linéaire d’OPPM (analyse de Fourier)
Se propageant dans la même direction D’amplitude donnée par une fonction f(k) De vecteurs d’onde k différents, donc de pulsations différentes, centrées sur o
3- Dispersion et vitesse de groupe pour un paquet d’ondes
Soit o la pulsation centrale associée à ko
]2k
k;2k
k[k oo
]2
;2
[ oo
o
0)oo
o
o
dkd
)kk(kkdk
d
)zkt(joo
ooe).k(f̂)k(E
2k
k
2k
k
)kzt(j
o
o
dk.e).k(f)PO(E
]dkd
)kk([jtz)kkk(j)tkz(j oooo e.ee
)tzk(j]tdkd
z).[kk(j)tkz(j ooo
e.ee
Pour le paquet d’onde
2k
k
2k
k
)kzt(j
o
o
dk.e).k(f)PO(E)tzk(j]t
dkd
z).[kk(j)tkz(j ooo
e.ee
2k
k
2k
k
)tdkd
z)(kk(j)tzk(j
o
o
ooo dk.e).k(f.e)PO(E
6 - Dispersion
Enveloppe de Enveloppe de l’amplitudel’amplitude se propage
à la vitesse vvgg = d = d/dk/dk
Vitesse de groupe : vg
6 - Dispersion
2k
k
2k
k
)t.dkd
z)(kk(j)tzk(j
o
o
ooo dk.e).k(f.e)PO(E
Terme sinusoïdal se propageant à la
vitesse de phase vv = = oo/k/koo
6 - Dispersion
animation
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Vitesse de groupe : repérer sur l’animation le maximum et regarder à quelle vitesse il se déplace
Vitesse de phase : repérer une oscillation et la suivre dans sa propagation
]n
.ddn
1[cn
v1 o
og
)dnnd(c1
dknc
k
)ddn
dd
n(c1
ddk
)²
d(c2d
c2oo
dd
.ddn
ddn
)]²c2
.(ddn
.n[c1
v1
ddk
og
)]n
(ddn
1[cn
)]nc2
(ddn
1[cn
v1 o
oog
n.
ddn
1
1.vv
o
o
g
Relation de
Rayleigh
6 - Dispersion4- Relations de Rayleigh
o : mesurée dans le videvide
et pas dans le milieu
n.
ddn
1
1.vv
o
o
g
n.
ddn
1
1.vv
o
o
g
Relation de Rayleigh
dk
dvkv
dk
)kv(d
dkd
vg
dkd
.d
dvkv
d
kdk2
k
d
dvv
kd
dvkvvg
d
dvvvg
d
dvvvg
Relation de
Rayleigh Retour au sommaire
: mesurée dans le milieu
no
5 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques (µr = 1) : vecteurs D et H
On introduit deux vecteurs qui tiennent compte des propriétés des milieux
HB
ED
• E et B sont liés à l’onde : champs électrique et magnétique
• H et D traduisent le champ total dans le milieu (réponse du milieu à l’OEM)
Induction électrique
(C/m²)Excitation
magnétique
(A/m)
et permittivité et perméabilité du milieu
HB
ED
L
L
Ddiv
tD
jHrot
Expression des équations de Maxwell constituantes du milieu en fonction de D et H ? On supposera et constantes.
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