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5.1 SYSTÈME D’ÉQUATIONS LINÉAIRES
Cours 13
Au dernier cours nous avons vus
✓ L’équations vectoriel et
l’équation normale d’un plan.
✓ L’intersection de deux plans.
✓ L’angle entre deux plans.
✓ La distance entre un point et
un plan.
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Les systèmes d’équations
linéaires.
✓ Un algorithme pour les
résoudre.
Définition: Une équation linéaire est n’importe
qu’elle expression de la forme;
où et les sont des variables.
Une solution de l’équation linéaire
est un n-plet tel que
Solutionner une équation linéaire revient à trouver l’ensemble de toutes ses solutions.
Définition:
Définition: Un système d’équations linéaires est un
ensemble d’équations linéaires. On met une accolade au début pour les délimiter.
Les indices ici servent à indiquer à quelle variable et à quelle équation un coefficient appartient.
Une solution d’un système d’équations linéaires est un n-uplet qui est solution de chaque équation du système.
Définition:
Exemple:
a comme solution
Le système d’équations linéaires suivant
car
et
On a vue comment solutionner un système d’équations linéaires de 2 équations et 2 inconnues ainsi que de
3 équations et 3 inconnues avec la méthode de Cramer.
On aimerait avoir une méthode pour solutionner des systèmes d’équations de n équations et m inconnues.
Qu’est ce qu’on peut faire avec une équation sans changer l’ensemble solution?
Pour comprendre la méthode, regardons ce qu’on peut faire à un système d’équations sans changer l’ensemble
solution.
1. Interchanger deux équations
2. Multiplier une équation par une constante
3. Additionner à une équation un multiple d’une autre.
Matrice des coefficients
Matrice augmentée
Matrice des coefficients
Matrice augmenté
( ***** )( ***** )Li-»LjLi-»Lj
Pour quelles valeurs de x et de y l’équation 0 = 8 est-t-elle vérifiée?
Donc le système d’équations linéaires n’as pas de solution.
Aucune!!!
La deuxième équation est toujours vrai donc inutile.
Donc les points de cette droite;
forment l’ensemble solution du système d’équation.
Interprétation géométrique
Deux droites dans le plan.Une solution de ce système est un point de
l’intersection de ces deux droites.
Il y a une solution unique
Il n’y a pas desolution
Il y a une infinité de solutions
Deux droites sécantesDeux droites
parallèles distinctesDeux droites
parallèles confondues
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Il y a une solution unique
Il n’y a pas desolution
Il y a une infinité de solution
Trois plans dans l’espace.
On fait quoi avec ça?
Il y a donc une infinité de solutions.
Il suffit de poser une des variables égale à un paramètre.
Prenons par exemple
Ou, si on préfère, l’intersection de ces deux plans est la droite:
d’où
Eventuellement, vous serez tenté de faire plus d’une opération ligne à la fois.
Généralement il n’y a pas de problème à faire ça, mais vous ne devez pas faire une opération ligne sur
une ligne que vous venez de changer.
Exemple:
Donc il y une infinité de solutions, mais ...
Il n’y en a qu’une!
Définition:
Un système d’équations linéaires est dit homogène si toutes les constantes sont nuls.
Les systèmes d’équations linéaires homogènes ont toujours au moins une solution.
Remarque:
Définition: Une matrice est dite échelonée réduite
ligne (ERL) si
Ex:
Le premier coefficient non nul d’une ligne est un 1 (on nomme ce coefficient le pivot).
1.
Tous les coefficients de la colonne du pivot sont nuls.
3.
Le pivot d’une ligne est toujours à droite des pivots des lignes au dessus.
2.
Définition:
En d’autre terme, toutes matrices est l-équivalente à une unique matrice ERL.
Si et avec et
des matrices ERL, alors
Deux matrices, et sont dites ligne-équivalente (l-équivalente) si peut s’obtenir de par une suites d’opérations lignes. On écrit alors;
Proposition:
Définition: Soit une matrice et sa matrice ERL
l-équivalente. Le rang de , noté est le nombre de lignes non nulles de .
Exemple:
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Les systèmes d’équations
linéaires
✓ Les trois opérations ligne.
✓ Système d’équations linéaires
homogène.
✓ Matrices ERL.
Devoir: p.172 # 1 à 14
