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Démonstrations
Bloc 6
Sommaire
1. Résolution de l’équation de dispersion complexe (§4)
2. Résolution de l’équation différentielle : modèle de Drude (§5)
3. Dispersion : champ électrique pour un paquet d’ondes (§7)
4. Relation de Rayleigh (§7)5. Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h.
non magnétiques : vecteurs D et H (§1)
)zkt(jmeEE
or j²c²
²k
"k'jk2'²'k'²k²k
La solution est de la forme : k k = k’ + = k’ + jk’’jk’’
• égalité des parties réelles
• égalité des parties imaginaires
• égalité des parties réelles
• expression du module de k au carré "²k'²k²k
réelle ; = o
1 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur : résolution de l’équation de dispersion complexe
(1)
(2)
or j²c²
²k
"k'jk2'²'k'²k²k
Résolution d’un équation complexe à 2 inconnues : k’ et k’’ Il faut se ramener à 2 équations réelles.
2 méthodes proposées
Méthode A
Méthode B
2''k'k
²c²
"²k'²k
o
r
2
)²²c²
(
)²(11
²c²
'²k
2
)²()²²c²
(²c²
'²k
r
or
orr
or j²c²
²k
"k'jk2'²'k'²k²k Méthode A
'²k4)²(
"²k
²c²
"²k'²k
o
r
04
)²('²k
²c²
'k
0'²k4²c²
)²('k4
²c²
'²k4)²(
'²k
or
4
ro4
ro
Equation du 2nd ordre en k’²
Seule solution possible : pourquoi ?
)]c)²(
11(²c²
[21
"²k
)]c)²(
11(²c²
[21
'²k
2r
4
4o
r
2r
4
4o
r
Méthode A
2
)²²c²
(
)²(11
²c²
'²kr
or
2''k'k
²c²
"²k'²k
o
r
"²k'²k4"²)²k'²k("²)²k'²k("²k'²k²k
²c²
"²k'²k r
)²()²²c²
("²k'²k
²c²
"²k'²k
or
r
ror
orr
²c²
)²()²²c²
("²k2
)²()²²c²
(²c²
'²k2
)]c)²(
11(²c²
[21
"²k
)]c)²(
11(²c²
[21
'²k
2r
4
4o
r
2r
4
4o
r
or j²c²
²k
"k'jk2'²'k'²k²k Méthode B
2r
2
4o
r
2r
2
4o
r
c)²(11
c2
1"k
c)²(11
c2
1'k
22r
22r
²11
c2
1"k
²11
c2
1'k
)]c)²(
11(²c²
[21
"²k
)]c)²(
11(²c²
[21
'²k
2r
4
4o
r
2r
4
4o
rExpression de k’ et k’’ ?
"k'jk2'²'k'²kj²c²
²k or
"k'jk2'²'k'²kj²c²
²k or
22r
22r
²11
c2
1"k
²11
c2
1'k
Tan²
Simplifications possibles si tan >>1 ou <<1(on retrouve les cas 1 et 2 étudiés dans le bloc 5 :Il est plus intéressant alors de simplifier avant de
faire les calculs !!!...)Retour au sommaire
vm
Ee²dtr²d
m
vm
Ee²dtr²d
m
Emev
dtvd
)t
exp(vEme
v o
1er cas simple : on fait l’hypothèse que E est un champ constant et uniforme (indépendant de r et t)
2-a) Comportement de avec la fréquence : résolution de l’équation différentielle pour les électrons libres
La solution v est la somme de 2 termes :
• Une solution particulière de l’équation ( en général on choisit une constante : dv/dt = 0 )
• La solution générale de l’équation sans second membre :
Eme
v
)t
exp(vv o
0v
dtvd
Constante d’intégration : à déterminer avec les conditions initiales (t = 0), à
partir de la solution globale
10-14 s EEme
v
µ : Mobilité des électrons libres
)t
exp(vEme
v o
La vitesse de déplacement sous champ E des électrons libres est constante si E est uniforme
vjdtvd
tjoevv
2ème cas :
On fait l’hypothèse d’un champ E sinusoïdal progressif
Emev
vj
zkjtjm eeEE
On suppose la mise en place d’un régime d’oscillations forcéesd’oscillations forcées des e- libres sous le champ E
(ils oscillent à la même fréquence)
E)j1(m
ev
vm
Ee²dtr²d
m
vm
Ee²dtr²d
m
E
mev
dtvd
L’utilisation des nombres complexes permet de linéariser l’équation différentielle
Que traduit physiquement
cette expression complexe liant la
vitesse à E ?
r²dtrd1
Eme
²dtr²d
o
�
rjdtrd
tjo err
Emer
jr²r² o
zkjtjm ee.EE
E)j²²(m
er
o
r²²dtr²d
E)j²²(m
ejv
o
2-b) Comportement de avec la fréquence : résolution de l’équation différentielle pour les électrons liés
On fait l’hypothèse d’un champ E sinusoïdal progressif, et d’oscillations forcées des e- élastiquement liés à la même fréquence que le champ
L’utilisation des nombres complexes permet de linéariser l’équation différentielle
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Milieux dispersifs vv(()) Emetteurs réels non monochromatiques largeur de raie Onde plane progressive monochromatique : ni début, ni fin…(amplitude constante) Onde réelle : paquet d’ondes = combinaison linéaire d’OPPM (analyse de Fourier)
Se propageant dans la même direction D’amplitude donnée par une fonction f(k) De vecteurs d’onde k différents, donc de pulsations différentes, centrées sur o
3- Dispersion et vitesse de groupe pour un paquet d’ondes
Soit o la pulsation centrale associée à ko
]2k
k;2k
k[k oo
]2
;2
[ oo
o
0)oo
o
o
dkd
)kk(kkdk
d
)zkt(joo
ooe).k(f̂)k(E
2k
k
2k
k
)kzt(j
o
o
dk.e).k(f)PO(E
]dkd
)kk([jtz)kkk(j)tkz(j oooo e.ee
)tzk(j]tdkd
z).[kk(j)tkz(j ooo
e.ee
Pour le paquet d’onde
2k
k
2k
k
)kzt(j
o
o
dk.e).k(f)PO(E)tzk(j]t
dkd
z).[kk(j)tkz(j ooo
e.ee
2k
k
2k
k
)tdkd
z)(kk(j)tzk(j
o
o
ooo dk.e).k(f.e)PO(E
6 - Dispersion
Enveloppe de Enveloppe de l’amplitudel’amplitude se propage
à la vitesse vvgg = d = d/dk/dk
Vitesse de groupe : vg
6 - Dispersion
2k
k
2k
k
)t.dkd
z)(kk(j)tzk(j
o
o
ooo dk.e).k(f.e)PO(E
Terme sinusoïdal se propageant à la
vitesse de phase vv = = oo/k/koo
6 - Dispersion
animation
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Vitesse de groupe : repérer sur l’animation le maximum et regarder à quelle vitesse il se déplace
Vitesse de phase : repérer une oscillation et la suivre dans sa propagation
]n
.ddn
1[cn
v1 o
og
)dnnd(c1
dknc
k
)ddn
dd
n(c1
ddk
)²
d(c2d
c2oo
dd
.ddn
ddn
)]²c2
.(ddn
.n[c1
v1
ddk
og
)]n
(ddn
1[cn
)]nc2
(ddn
1[cn
v1 o
oog
n.
ddn
1
1.vv
o
o
g
Relation de
Rayleigh
6 - Dispersion4- Relations de Rayleigh
o : mesurée dans le videvide
et pas dans le milieu
n.
ddn
1
1.vv
o
o
g
n.
ddn
1
1.vv
o
o
g
Relation de Rayleigh
dk
dvkv
dk
)kv(d
dkd
vg
dkd
.d
dvkv
d
kdk2
k
d
dvv
kd
dvkvvg
d
dvvvg
d
dvvvg
Relation de
Rayleigh Retour au sommaire
: mesurée dans le milieu
no
5 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques (µr = 1) : vecteurs D et H
On introduit deux vecteurs qui tiennent compte des propriétés des milieux
HB
ED
• E et B sont liés à l’onde : champs électrique et magnétique
• H et D traduisent le champ total dans le milieu (réponse du milieu à l’OEM)
Induction électrique
(C/m²)Excitation
magnétique
(A/m)
et permittivité et perméabilité du milieu
HB
ED
L
L
Ddiv
tD
jHrot
Expression des équations de Maxwell constituantes du milieu en fonction de D et H ? On supposera et constantes.
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