Diagonalisation des endomorphismes -...

Diagonalisationdes endomor-

phismes

J.M. Morvan

Rappels surles endomor-phismes

Rappels surles polynômesRacines d’unpolynôme

Polynômes scindés

Polynômes dematrices

Diagonalisationd’un endomor-phismeVecteurs propres,valeurs propres

Polynômecaractéristique

Le cas des matricessymétriques réelles

Deux remarquespour conclure

Diagonalisation des endomorphismes

Jean-Marie Morvan

Université de Lyon

Février 2012

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Généralités

E désigne un espace vectoriel sur K = R ou C dedimension finie n,

(e1, ...,ek , ...,en) une base quelconque de E .Soit f : E → E un endomorphisme de E .Posons

f (e1) = a11e1 + a21e2 + ...+ aj1ej + ...+ an1en,f (e2) = a12e1 + a22e2 + ...+ aj2ej + ...+ an2en,

......

f (en) = a1ne1 + a2ne2 + ...+ ajnej + ...+ annen.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Généralités

E désigne un espace vectoriel sur K = R ou C dedimension finie n,(e1, ...,ek , ...,en) une base quelconque de E .Soit f : E → E un endomorphisme de E .

Posons

......

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Généralités

E désigne un espace vectoriel sur K = R ou C dedimension finie n,(e1, ...,ek , ...,en) une base quelconque de E .Soit f : E → E un endomorphisme de E .Posons

......

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Généralités

La représentation matricielle de f dans la base (ei)1≤i≤n estla matrice

M(f )(ei )1≤i≤n=

a11 a12 ... a1i ... a1na21 a22 ... a2i ... a2n... ... ... ... ... ...aj1 aj2 ... aji ... ajn... ... ... ... ... ...

an1 an2 ... ani ... ann

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Généralités

Si (εj)1≤j≤n est une autre base de E ,

M(f )(εj ) = P−1M(f )(ei )P, (1)

où P est la matrice de passage de la base (ei)1≤i≤n dans labase (εj)1≤j≤n.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Généralités

Si (εj)1≤j≤n est une autre base de E ,

M(f )(εj ) = P−1M(f )(ei )P, (1)

où P est la matrice de passage de la base (ei)1≤i≤n dans labase (εj)1≤j≤n.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Généralités

Plus précisément, si

ε1 = p11e1 + p21e2 + ...+ pn1en,ε2 = p12e1 + p22e2 + ...+ pn2en,...

...εn = p1ne1 + p2ne2 + ...+ pnnen,

p11 p12 ... p1i ... p1np21 p22 ... p2i ... p2n... ... ... ... ... ...pj1 pj2 ... pji ... pjn... ... ... ... ... ...

pn1 pn2 ... pni ... pnn

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Généralités

Plus précisément, si

ε1 = p11e1 + p21e2 + ...+ pn1en,ε2 = p12e1 + p22e2 + ...+ pn2en,...

...εn = p1ne1 + p2ne2 + ...+ pnnen,

p11 p12 ... p1i ... p1np21 p22 ... p2i ... p2n... ... ... ... ... ...pj1 pj2 ... pji ... pjn... ... ... ... ... ...

pn1 pn2 ... pni ... pnn

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Généralités

Notations -• On note L(E) l’espace des endomorphismes de E .

• On noteMn(K ) l’espace des matrices carrées d’ordren, (c’est-à-dire à n lignes et n colonnes 1) à coefficientsdans K .

• On note IE l’application identique de E dans E , et In lamatrice identité, (dont les coefficients sont égaux à 1sur la diagonale et à 0 partout ailleurs).

1. On dit aussi des matrices (n, n).

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Généralités

Notations -• On note L(E) l’espace des endomorphismes de E .• On noteMn(K ) l’espace des matrices carrées d’ordre

n, (c’est-à-dire à n lignes et n colonnes 1) à coefficientsdans K .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Généralités

Notations -• On note L(E) l’espace des endomorphismes de E .• On noteMn(K ) l’espace des matrices carrées d’ordre

n, (c’est-à-dire à n lignes et n colonnes 1) à coefficientsdans K .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Généralités

DefinitionDes matrices A et B deMn(K ) sont dites semblables

s’ilexiste une matrice inversible P ∈Mn(K ) telle que

B = P−1AP.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Généralités

DefinitionDes matrices A et B deMn(K ) sont dites semblables s’ilexiste une matrice inversible P ∈Mn(K ) telle que

B = P−1AP.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Polynômes

Soit P(X ) un polynôme de degré p à coefficients dans K .Soit a ∈ K .

• On dit que a est une racine de P si P(a) = 0. Dans cecas, on pourra écrire

P(X ) = (X − a)P1(X ),

où P1(X ) est un polynôme de degré p − 1.• On dit que a est une racine d’ordre k (ou de multiplicité

k ) de P si l’on peut écrire

P(X ) = (X − a)kPk (X ),

où Pk (X ) est un polynôme de degré (p − k) quin’admet pas a comme racine.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Polynômes

P(X ) = (X − a)P1(X ),

où P1(X ) est un polynôme de degré p − 1.

• On dit que a est une racine d’ordre k (ou de multipliciték ) de P si l’on peut écrire

P(X ) = (X − a)kPk (X ),

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Polynômes

P(X ) = (X − a)P1(X ),

où P1(X ) est un polynôme de degré p − 1.• On dit que a est une racine d’ordre k (ou de multiplicité

k ) de P si l’on peut écrire

P(X ) = (X − a)kPk (X ),

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Polynômes

TheoremSoit P(X ) un polynôme de degré p à coefficients dans C.Alors

• P(X ) a p racines (distinctes ou confondues) ;• on peut écrire

P(X ) = a(X − a1)α1 ...(X − ak )

αk ...(X − aq)αq ,

où a,ak ∈ C, αk ∈ N, (1 ≤ k ≤ q), avecα1 + ...+ αk + ...+ αq = p;

• en particulier, si P(X ) a p racines distinctes, alors P(X )est le produit de p facteurs de degré 1 :

P(X ) = a(X − a1)...(X − ak )...(X − ap).

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Polynômes

TheoremSoit P(X ) un polynôme de degré p à coefficients dans C.Alors• P(X ) a p racines (distinctes ou confondues) ;

• on peut écrire

P(X ) = a(X − a1)α1 ...(X − ak )

αk ...(X − aq)αq ,

P(X ) = a(X − a1)...(X − ak )...(X − ap).

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Polynômes

TheoremSoit P(X ) un polynôme de degré p à coefficients dans C.Alors• P(X ) a p racines (distinctes ou confondues) ;• on peut écrire

P(X ) = a(X − a1)α1 ...(X − ak )

αk ...(X − aq)αq ,

P(X ) = a(X − a1)...(X − ak )...(X − ap).

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Polynômes

TheoremSoit P(X ) un polynôme de degré p à coefficients dans C.Alors• P(X ) a p racines (distinctes ou confondues) ;• on peut écrire

P(X ) = a(X − a1)α1 ...(X − ak )

αk ...(X − aq)αq ,

P(X ) = a(X − a1)...(X − ak )...(X − ap).

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Polynômes

Il est bien évident que ce résultat tombe en défaut si l’onconsidère des polynômes à coefficients dans R.

Par exemple, on peut écrire

X 2 + 1 = (X − i)(X + i)

en travaillant dans C,mais on ne peut pas écrire X 2 + 1 comme produit de deuxpolynômes de degré 1 à coefficients réels.Le corps K dans lequel vivent les coefficients est donccrucial dans ce type de questions.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Polynômes

X 2 + 1 = (X − i)(X + i)

en travaillant dans C,

mais on ne peut pas écrire X 2 + 1 comme produit de deuxpolynômes de degré 1 à coefficients réels.Le corps K dans lequel vivent les coefficients est donccrucial dans ce type de questions.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Polynômes

X 2 + 1 = (X − i)(X + i)

en travaillant dans C,mais on ne peut pas écrire X 2 + 1 comme produit de deuxpolynômes de degré 1 à coefficients réels.

Le corps K dans lequel vivent les coefficients est donccrucial dans ce type de questions.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Polynômes

X 2 + 1 = (X − i)(X + i)

en travaillant dans C,mais on ne peut pas écrire X 2 + 1 comme produit de deuxpolynômes de degré 1 à coefficients réels.Le corps K dans lequel vivent les coefficients est donccrucial dans ce type de questions.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

DefinitionSoit P(X ) un polynôme à coefficients dans K . On dit queP(X ) est scindé dans K si l’on peut écrire P(X ) sous laforme :

P(X ) = a(X − a1)α1 ...(X − ak )

αk ...(X − aq)αq ,

où a,ak ∈ K , et αk ∈ N, (1 ≤ k ≤ q).

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

DefinitionSoit P(X ) un polynôme à coefficients dans K . On dit queP(X ) est scindé dans K si l’on peut écrire P(X ) sous laforme :

P(X ) = a(X − a1)α1 ...(X − ak )

αk ...(X − aq)αq ,

où a,ak ∈ K , et αk ∈ N, (1 ≤ k ≤ q).

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Polynômes de matrices

Si P(X ) est un polynôme à coefficients dans K ,l’indéterminée X peut décrire un ensemble de matrices.Ainsi, si

P(X ) = αpX p + αp−1X p−1 + ...+ α1X + α0,

où pour tout i ∈ {0, ...,p}, αi ∈ K , on pose, pour toutA ∈Mn(K ),

P(A) = αpAp + αp−1Ap−1 + ...+ α1A + α0In,

où In désigne la matrice identité.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

P(X ) = αpX p + αp−1X p−1 + ...+ α1X + α0,

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

P(X ) = αpX p + αp−1X p−1 + ...+ α1X + α0,

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

De la même façon, la variable peut aussi décrire l’ensembledes endomorphismes de E . Ainsi, si u est unendomorphisme de E ,

P(u) = αpup + αp−1up−1 + ...+ α1u + α0IE ,

où IE désigne l’endomorphisme identité.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

De la même façon, la variable peut aussi décrire l’ensembledes endomorphismes de E . Ainsi, si u est unendomorphisme de E ,

P(u) = αpup + αp−1up−1 + ...+ α1u + α0IE ,

où IE désigne l’endomorphisme identité.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Un exemple

P(X ) = X 2 + 2,

(1 20 3

alorsP(A) = A2 + 2I2,

c’est-à-dire

P(A) =(

1 20 3

)(1 20 3

(1 00 1

(3 80 11

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Un exemple

P(X ) = X 2 + 2,

(1 20 3

c’est-à-dire

P(A) =(

1 20 3

)(1 20 3

(1 00 1

(3 80 11

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Un exemple

P(X ) = X 2 + 2,

(1 20 3

c’est-à-dire

P(A) =(

1 20 3

)(1 20 3

(1 00 1

(3 80 11

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Diagonalisation

On dit que f est diagonalisable

s’il existe une base(ε1, ..., εk , ..., εn) de E dans laquelle la matrice M(f )(εi ) de fest diagonale.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Diagonalisation

On dit que f est diagonalisable s’il existe une base(ε1, ..., εk , ..., εn) de E

dans laquelle la matrice M(f )(εi ) de fest diagonale.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Diagonalisation

On dit que f est diagonalisable s’il existe une base(ε1, ..., εk , ..., εn) de E dans laquelle la matrice M(f )(εi ) de fest diagonale.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Diagonalisation

La matrice M(f )(εi ) aura alors une expression du typesuivant :

M(f )(εi ) =

λ1 0 ... 0 ... 00 λ2 ... 0 ... 0...

......

...0 0 ... λi ... 0...

......

...0 0 ... 0 ... λn

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Diagonalisation

La matrice M(f )(εi ) aura alors une expression du typesuivant :

M(f )(εi ) =

λ1 0 ... 0 ... 00 λ2 ... 0 ... 0...

......

...0 0 ... λi ... 0...

......

...0 0 ... 0 ... λn

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Diagonalisation

On dit qu’une matrice carrée M ∈Mn(K ) est diagonalisable

si elle est semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dires’il existe une matrice diagonale D ∈Mn(K ) et une matriceinversible P ∈Mn(K ) telle que

M = PDP−1.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Diagonalisation

On dit qu’une matrice carrée M ∈Mn(K ) est diagonalisablesi elle est semblable à une matrice diagonale,

c’est-à-dires’il existe une matrice diagonale D ∈Mn(K ) et une matriceinversible P ∈Mn(K ) telle que

M = PDP−1.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Diagonalisation

On dit qu’une matrice carrée M ∈Mn(K ) est diagonalisablesi elle est semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dires’il existe une matrice diagonale D ∈Mn(K ) et une matriceinversible P ∈Mn(K ) telle que

M = PDP−1.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Vecteurs propres, valeurspropres

Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C.

DefinitionSoit v un vecteur de E .On dit que v est un vecteur propre def si• v n’est pas nul ;• les vecteurs v et f (v) sont proportionnels, c’est-à-dire

s’il existe λ ∈ K tel que

f (v) = λv .

L’élément λ de K s’appelle la valeur propre associée à v .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

DefinitionSoit v un vecteur de E .

On dit que v est un vecteur propre def si• v n’est pas nul ;• les vecteurs v et f (v) sont proportionnels, c’est-à-dire

f (v) = λv .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

DefinitionSoit v un vecteur de E .On dit que v est un vecteur propre def si

• v n’est pas nul ;• les vecteurs v et f (v) sont proportionnels, c’est-à-dire

f (v) = λv .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

DefinitionSoit v un vecteur de E .On dit que v est un vecteur propre def si• v n’est pas nul ;

• les vecteurs v et f (v) sont proportionnels, c’est-à-dires’il existe λ ∈ K tel que

f (v) = λv .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

f (v) = λv .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

f (v) = λv .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

DefinitionLe spectre Spec(f ) de f est l’ensemble des valeurs propresde f .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Un exemple

f de R2 défini dans la base canonique (e1,e2) par :

{f (e1) = 2e1 + e2,

f (e2) = e1 + 2e2.(2)

Alors le vecteurv = e1 + e2

vérifie

f (v) = f (e1 + e2) = f (e1) + f (e2) = 3(e1 + e2).

En définitive,f (v) = 3v ,

ce qui signifie que v est un vecteur propre de f , dont lavaleur propre associée est 3.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Un exemple

f de R2 défini dans la base canonique (e1,e2) par :{f (e1) = 2e1 + e2,

f (e2) = e1 + 2e2.(2)

vérifie

f (v) = f (e1 + e2) = f (e1) + f (e2) = 3(e1 + e2).

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Un exemple

f (e2) = e1 + 2e2.(2)

vérifie

f (v) = f (e1 + e2) = f (e1) + f (e2) = 3(e1 + e2).

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Un exemple

f (e2) = e1 + 2e2.(2)

vérifie

f (v) = f (e1 + e2) = f (e1) + f (e2) = 3(e1 + e2).

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

DefinitionSoit λ une valeur propre de f .

Le sous-espace vectoriel

Eλ = {v ∈ E : f (v) = λv}

s’appelle le sous-espace propre associé à λ.Remarquons que le sous-espace Eλ est composé desvecteurs propres associés à λ, auxquels on a ajouté 0.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

DefinitionSoit λ une valeur propre de f . Le sous-espace vectoriel

Eλ = {v ∈ E : f (v) = λv}

s’appelle le sous-espace propre associé à λ.

Remarquons que le sous-espace Eλ est composé desvecteurs propres associés à λ, auxquels on a ajouté 0.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

DefinitionSoit λ une valeur propre de f . Le sous-espace vectoriel

Eλ = {v ∈ E : f (v) = λv}

s’appelle le sous-espace propre associé à λ.Remarquons que le sous-espace Eλ est composé desvecteurs propres associés à λ, auxquels on a ajouté 0.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

TheoremSoit f un endomorphisme de E.

Alors f est diagonalisable siet seulement s’il existe une base de E composée devecteurs propres.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

TheoremSoit f un endomorphisme de E. Alors f est diagonalisable siet seulement s’il existe une base de E composée devecteurs propres.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

Reprenons l’exemple 2 :

Soit f un endomorphisme de R2

défini dans la base canonique (e1,e2) par :{f (e1) = 2e1 + e2,

f (e2) = e1 + 2e2.

nous avons vu que v = e1 + e2 est un vecteur propreassocié à la valeur propre 3.On peut également vérifier que w = e1 − e2 satisfait :

f (w) = −w ,

donc w est aussi un vecteur propre de f associé à la valeurpropre −1.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

Reprenons l’exemple 2 : Soit f un endomorphisme de R2

défini dans la base canonique (e1,e2) par :

{f (e1) = 2e1 + e2,

f (e2) = e1 + 2e2.

f (w) = −w ,

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

f (e2) = e1 + 2e2.

f (w) = −w ,

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

f (e2) = e1 + 2e2.

nous avons vu que v = e1 + e2 est un vecteur propreassocié à la valeur propre 3.

On peut également vérifier que w = e1 − e2 satisfait :

f (w) = −w ,

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

f (e2) = e1 + 2e2.

f (w) = −w ,

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

f (e2) = e1 + 2e2.

f (w) = −w ,

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

Les vecteurs (v ,w) forment une base de vecteurs propresde R2, dans laquelle f est diagonalisée.

La matrice de f dans cette nouvelle base s’écrit :

M(f )(v ,w) =

(3 00 −1

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

Les vecteurs (v ,w) forment une base de vecteurs propresde R2, dans laquelle f est diagonalisée.La matrice de f dans cette nouvelle base s’écrit :

M(f )(v ,w) =

(3 00 −1

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Si λ1, ..., λp sont des valeurs propres distinctes de f , alorson montre que les sous-espaces propres

Eλ1 , ...,Eλp

sont en somme directe. On en déduit immédiatement le

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

On en déduit immédiatement le

TheoremSoit f : E → E un endomorphisme d’un espace vectoriel Ede dimension n sur K = R ou C.

Soient λ1, ..., λp les valeurs propres de f .Alors f est diagonalisable si et seulement si

E = Eλ1 ⊕ ...⊕ Eλp .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

TheoremSoit f : E → E un endomorphisme d’un espace vectoriel Ede dimension n sur K = R ou C.Soient λ1, ..., λp les valeurs propres de f .

Alors f est diagonalisable si et seulement si

E = Eλ1 ⊕ ...⊕ Eλp .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

TheoremSoit f : E → E un endomorphisme d’un espace vectoriel Ede dimension n sur K = R ou C.Soient λ1, ..., λp les valeurs propres de f .Alors f est diagonalisable si et seulement si

E = Eλ1 ⊕ ...⊕ Eλp .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

On déduit immédiatement le corollaire suivant :

CorollarySous les hypothèses du Théorème 8, f est diagonalisable siet seulement si

dim Eλ1 + ...+ dim Eλp = n.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

Reprenons encore l’exemple 2 : dans notre situation,

R2 = Rv ⊕ Rw .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

Reprenons encore l’exemple 2 : dans notre situation,

R2 = Rv ⊕ Rw .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Polynôme caractéristique

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K = R ou C.

Definition

• Soit f un endomorphisme de E . Le polynômecaractéristique de f est le polynôme Pf (X ) de degré ndéfini par

Pf (X ) = det(f − X IE).

• Soit M ∈Mn(K ). Le polynôme caractéristique de M estle polynôme PM(X ) de degré n défini par

PM(X ) = det(M − X In).

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Definition

• Soit f un endomorphisme de E .

Le polynômecaractéristique de f est le polynôme Pf (X ) de degré ndéfini par

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Definition

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Definition

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Definition

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Definition

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

Si f est un endomorphisme de R2 dont la matrice M(f ) dansune base quelconque s’écrit

M(f ) =(

1 13 2

Pf (X ) =

∣∣∣∣1− X 13 2− X

∣∣∣∣ = X 2 − 3X − 1.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

Si f est un endomorphisme de R2 dont la matrice M(f ) dansune base quelconque s’écrit

M(f ) =(

1 13 2

Pf (X ) =

∣∣∣∣1− X 13 2− X

∣∣∣∣ = X 2 − 3X − 1.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

TheoremSoit f un endomorphisme de E. Alors,

1 les valeurs propres de f sont les racines du polynômePf ;

2 f est diagonalisable si et seulement si• son polynôme caractéristique Pf est scindé :

P(X ) = (−1)n(X − λ1)α1 ...(X − λk )

αk ...(X − λp)αp ,

• pour chaque valeur propre λi , (1 ≤ i ≤ p),

dim Eλi = αi .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

P(X ) = (−1)n(X − λ1)α1 ...(X − λk )

αk ...(X − λp)αp ,

dim Eλi = αi .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

2 f est diagonalisable si et seulement si

• son polynôme caractéristique Pf est scindé :

P(X ) = (−1)n(X − λ1)α1 ...(X − λk )

αk ...(X − λp)αp ,

dim Eλi = αi .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

P(X ) = (−1)n(X − λ1)α1 ...(X − λk )

αk ...(X − λp)αp ,

dim Eλi = αi .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

P(X ) = (−1)n(X − λ1)α1 ...(X − λk )

αk ...(X − λp)αp ,

dim Eλi = αi .

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Voici aussi un résultat général très utile :

TheoremSoit f un endomorphisme de E. Soit λ une racine de sonpolynôme caractéristique de multiplicité α. Alors

1 ≤ dim Eλ ≤ α. (3)

Par conséquent, le Théorème 11 signifie qu’unendomorphisme f est diagonalisable si et seulement si• son polynôme caractéristique est scindé,• et pour tout i , la double inégalité large 3 est une égalité

à droite.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

TheoremSoit f un endomorphisme de E.

Soit λ une racine de sonpolynôme caractéristique de multiplicité α. Alors

1 ≤ dim Eλ ≤ α. (3)

à droite.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

TheoremSoit f un endomorphisme de E. Soit λ une racine de sonpolynôme caractéristique de multiplicité α.

1 ≤ dim Eλ ≤ α. (3)

à droite.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

1 ≤ dim Eλ ≤ α. (3)

à droite.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

1 ≤ dim Eλ ≤ α. (3)

Par conséquent, le Théorème 11 signifie qu’unendomorphisme f est diagonalisable si et seulement si

• son polynôme caractéristique est scindé,• et pour tout i , la double inégalité large 3 est une égalité

à droite.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

1 ≤ dim Eλ ≤ α. (3)

Par conséquent, le Théorème 11 signifie qu’unendomorphisme f est diagonalisable si et seulement si• son polynôme caractéristique est scindé,

• et pour tout i , la double inégalité large 3 est une égalitéà droite.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

1 ≤ dim Eλ ≤ α. (3)

à droite.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

Considérons l’endomorphisme f de R3 dont la matrice dansla base canonique a pour expression

M(f ) =

0 1 11 0 11 1 0

Le polynôme caractéristique est :

Pf (X ) =

∣∣∣∣∣∣−X 1 11 −X 11 1 −X

∣∣∣∣∣∣ = −(X + 1)2(X − 2).

Donc les valeurs propres de f sont −1, de multiplicité 2 et 2de multiplicité 1.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

M(f ) =

0 1 11 0 11 1 0

Pf (X ) =

∣∣∣∣∣∣−X 1 11 −X 11 1 −X

∣∣∣∣∣∣ = −(X + 1)2(X − 2).

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

M(f ) =

0 1 11 0 11 1 0

Pf (X ) =

∣∣∣∣∣∣−X 1 11 −X 11 1 −X

∣∣∣∣∣∣ = −(X + 1)2(X − 2).

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

On déduit que le sous-espace propre V2 associé à la valeurpropre 2 a pour dimension 1, (c’est donc une droitevectorielle).

Pour déterminer un vecteur propre qui engendre cettedroite, on résout le système

MX = 2X , (4)

c’est-à-dire(M − 2Id)X = 0, (5)

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

On déduit que le sous-espace propre V2 associé à la valeurpropre 2 a pour dimension 1, (c’est donc une droitevectorielle).Pour déterminer un vecteur propre qui engendre cettedroite, on résout le système

MX = 2X , (4)

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

On déduit que le sous-espace propre V2 associé à la valeurpropre 2 a pour dimension 1, (c’est donc une droitevectorielle).Pour déterminer un vecteur propre qui engendre cettedroite, on résout le système

MX = 2X , (4)

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

... qui s’écrit, en posant X = (x , y , z),

−2x + y + z = 0x − 2y + z = 0x + y − 2z = 0

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

... qui s’écrit, en posant X = (x , y , z),−2x + y + z = 0x − 2y + z = 0x + y − 2z = 0

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

L’ensemble des solutions est bien une droite vectorielleengendrée par exemple par le vecteur

v1 = (1,1,1).

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

Le sous-espace propre V−1 associé à la valeur propre −1 aune dimension inférieure ou égale à 2.

Si cette dimension est 2, alors f est diagonalisable.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

Le sous-espace propre V−1 associé à la valeur propre −1 aune dimension inférieure ou égale à 2.Si cette dimension est 2, alors f est diagonalisable.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

Pour connaître cette dimension, on résout le système :

MX = −X , (7)

c’est-à-dire(M + Id)X = 0. (8)

En posant X = (x , y , z), on montre sans problème que lesystème 8 s’écrit

x + y + z = 0x + y + z = 0x + y + z = 0

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

MX = −X , (7)

x + y + z = 0x + y + z = 0x + y + z = 0

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

MX = −X , (7)

x + y + z = 0x + y + z = 0x + y + z = 0

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

Le sous-espace V−1, qui est l’ensemble des solutions dusystème 9, est le plan vectoriel de R3 d’équation

x + y + z = 0.

C’est donc un sous-espace vectoriel de dimension 2. Enconséquence, f est diagonalisable.Les vecteurs

v2 = (1,−1,0), v3 = (0,1,−1)

engendrent le plan V−2.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

x + y + z = 0.

C’est donc un sous-espace vectoriel de dimension 2. Enconséquence, f est diagonalisable.

Les vecteurs

v2 = (1,−1,0), v3 = (0,1,−1)

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

x + y + z = 0.

C’est donc un sous-espace vectoriel de dimension 2. Enconséquence, f est diagonalisable.Les vecteurs

v2 = (1,−1,0), v3 = (0,1,−1)

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Exemple

Dans la base (v1, v2, v3), la matrice de f est diagonale ets’écrit

M(f )(vi ) =

2 0 00 −1 00 0 −1

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

CorollarySoit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E dedimension n sur K .

Si f admet n valeurs propres deux à deux distinctes, alors fest diagonalisable.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

CorollarySoit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E dedimension n sur K .Si f admet n valeurs propres deux à deux distinctes, alors fest diagonalisable.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Matrices symétriques

Rappelons qu’une matrice carrée M = (aij)1≤i,j≤n estsymétrique si pour tout i , j ,

aij = aji .

TheoremToute matrice carrée symétrique à coefficients réels estdiagonalisable.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Rappelons qu’une matrice carrée M = (aij)1≤i,j≤n estsymétrique si pour tout i , j ,

aij = aji .

TheoremToute matrice carrée symétrique à coefficients réels estdiagonalisable.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Par exemple, sans aucun calcul, on peut affirmer que lamatrice

1 2 0 32 4 8 60 8 2 π3 6 π 7

est diagonalisable.

Attention ! ce résultat n’est plus vrai pour les matrices àcoefficients dans C.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Par exemple, sans aucun calcul, on peut affirmer que lamatrice

1 2 0 32 4 8 60 8 2 π3 6 π 7

est diagonalisable.

Attention ! ce résultat n’est plus vrai pour les matrices àcoefficients dans C.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Remarques

Attention ! lorsqu’on cherche à savoir si une matrice estdiagonalisable, il est important de préciser si l’on travailledansMn(R) ouMn(C).

Voici un exemple éclairant. Considérons l’endomorphisme fde R2 dont la matrice dans la base canonique s’écrit

M(f ) =(

0 1−1 0

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Remarques

M(f ) =(

0 1−1 0

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Remarques

M(f ) =(

0 1−1 0

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Remarques

Son polynôme caractéristique est

Pf (X ) = X 2 + 1,

qui n’a pas de racine réelle.

Donc M(f ) n’est pas diagonalisable dansMn(R).Cependant, considérons maintenant l’endomorphisme g deC2 dont la matrice dans la base canonique s’écrit encore

M(g) =(

0 1−1 0

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Remarques

Pf (X ) = X 2 + 1,

qui n’a pas de racine réelle.Donc M(f ) n’est pas diagonalisable dansMn(R).

Cependant, considérons maintenant l’endomorphisme g deC2 dont la matrice dans la base canonique s’écrit encore

M(g) =(

0 1−1 0

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Remarques

Pf (X ) = X 2 + 1,

qui n’a pas de racine réelle.Donc M(f ) n’est pas diagonalisable dansMn(R).Cependant, considérons maintenant l’endomorphisme g deC2 dont la matrice dans la base canonique s’écrit encore

M(g) =(

0 1−1 0

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Remarques

Son polynôme caractéristique est encore

Pf (X ) = X 2 + 1.

Il admet 2 racines distinctes dans C, qui sont i et −i .Donc g est diagonalisable et dans une base de vecteurspropres, la matrice de g s’écrit :(

i 00 −i

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Remarques

Pf (X ) = X 2 + 1.

Il admet 2 racines distinctes dans C, qui sont i et −i .

Donc g est diagonalisable et dans une base de vecteurspropres, la matrice de g s’écrit :(

i 00 −i

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Remarques

Pf (X ) = X 2 + 1.

Il admet 2 racines distinctes dans C, qui sont i et −i .Donc g est diagonalisable et dans une base de vecteurspropres, la matrice de g s’écrit :(

i 00 −i

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Remarques

Il faut également se garder de croire que toutendomorphisme de Cn est diagonalisable.

Considérons par exemple l’endomorphisme h de C2 dont lamatrice dans la base canonique s’écrit :

M(h) =(

1 10 1

On aPh(X ) = (X − 1)2.

La seule valeur propre est donc 1et un calcul direct montre que le sous-espace propre V1 estengendré par le vecteur (1,0).Il n’est donc pas de dimension 2, et h n’est donc pasdiagonalisable.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Remarques

M(h) =(

1 10 1

On aPh(X ) = (X − 1)2.

La seule valeur propre est donc 1

et un calcul direct montre que le sous-espace propre V1 estengendré par le vecteur (1,0).Il n’est donc pas de dimension 2, et h n’est donc pasdiagonalisable.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Remarques

M(h) =(

1 10 1

On aPh(X ) = (X − 1)2.

La seule valeur propre est donc 1et un calcul direct montre que le sous-espace propre V1 estengendré par le vecteur (1,0).

Il n’est donc pas de dimension 2, et h n’est donc pasdiagonalisable.

phismes

J.M. Morvan

Polynômes scindés

Remarques

M(h) =(

1 10 1

On aPh(X ) = (X − 1)2.

La seule valeur propre est donc 1et un calcul direct montre que le sous-espace propre V1 estengendré par le vecteur (1,0).Il n’est donc pas de dimension 2, et h n’est donc pasdiagonalisable.

Diagonalisation des endomorphismes -...

Documents

Lyon1 - Math Algèbre

PRESENTATION CODIR 080702 - enasis.univ-lyon1.fr

Réduction des endomorphismes - Free

Chapitre 7. Diagonalisation - univ-angers.frtanlei/istia/CM7.pdfChapitre 7. Diagonalisation Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales 2) Appendre à rendre une

J. Gu erin, N. Lahrichi, S. Le Digabel Polytechnique Montr eal · 2019-11-15 · Valeurs propres Diagonalisation 11. Valeurs propres et diagonalisation Sections 6.1 et 6.2 MTH1007

Présentation au CEVU de Lyon1

Tp: Nuisances Sonores sur Lyon1

La conjugaison des endomorphismes de R - Michael … · Michaël Monerau La conjugaison des endomorphismes de Rn. 2. La classiﬁcation linéaire 2 2 La classiﬁcation linéaire

EXERCICE 3 Diagonalisation d’une matrice de M3 R Note ...membres-timc.imag.fr/Arnaud.Chauviere/mat405/distanciel/corrige_D… · EXERCICE 3 - Diagonalisation d’une matrice de

Réduction des endomorphismes et des matrices (Al4)mpstar.lamartin.free.fr/fichiers/matieres-1433-1478858318.pdfRéduction des endomorphismes et des matrices (Al4) I Exercices ccp

PetruMironescu 2005 - math.univ-lyon1.frmath.univ-lyon1.fr/~mironescu/resources/topologie_l3_2005-2006... · 6 CHAPITRE 1. ESPACES MÉTRIQUES Minkowskiprouvéeàlaﬁndecechapitre.Parconséquent,kk

SOMMAIRE & BAREME - concours.univ-lyon1.fr

Marc Bouniton GRAS asbl Infos et notes en français: lyon1.fr/lecture-critique ionsante.com lyon1.fr/lecture-critique

Algèbre linéaire Réduction des endomorphismes préparation ...math.univ-lyon1.fr/homes-www/tchoudjem/... · particulier,siEestdedimensionﬁnie,dimE=F= dimE dimF. Démonstration

Twitter lyon1

Mathématiques Informatique 2018 · Mathématiques 1 Étude de l’équation de diﬀusion. intégrales à paramètre, diagonalisation, probabilités 46 50 Mathématiques 2 Étude

CONCOURSEXTERNE - concours.univ-lyon1.fr

R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

Réduction des endomorphismes

math.univ-lyon1.frmath.univ-lyon1.fr/~pujo/FEUILLE2.pdfCreated Date 2/15/2016 12:42:36 PM