Diffusion des Rayons X: quelques notions de base indispensables Diffusion des Rayons X: quelques...

Diffusion des Rayons X:

quelques notions de base indispensables

Diffusion des Rayons X:

quelques notions de base indispensables

1 - Interaction RX / matière

4 - Diffraction / diffusion

5 - Eléments d’un montage expérimental

2 - Production des RX

3 - Détection des RX

Références:

• P.Lorrain et D.R.Corson: champs et ondes électromagnétiques

Armand Colin_collection U (1979)

• C.Cohen-Tannoudji, B.Diu, F.Laloë, Mécanique QuantiqueEnseignement des Sciences, Herrman (1973)

• J. Als-Nielsen, D. McMorrow: elements of modern X-Ray physics

John Wiley & Sons (2000)

• Charles Kittel: introduction to solid state physics, 6th editionJohn Wiley & Sons (1986)

• Jean Protas: diffraction des rayonnementsDunod (1999)

Chapitre 1: Interaction RX / matièreChapitre 1: Interaction RX / matière

Les rayons X sont des ondes électromagnétiques:

1.1 Ondes électromagnétiques

longueur d’onde caractéristique ~ Å (10-10 m)

i.e ~ distances interatomiques

fréquence caractéristique = = ~ Å (1018 Hz)1T

c

vitesse lumière

vecteur d’onde k direction de propagation

|k| = 2/

Chapitre 1: Interaction RX / matièreChapitre 1: Interaction RX / matière

Les rayons X sont des ondes électromagnétiques:

1.1 Ondes électromagnétiques

champ électrique E créé par des « charges en mouvement »

champ magnétique B « conséquence relativiste » |B| ~|E|/c

on le néglige en première approximation

E B kE kB

Chapitre 1: Interaction RX / matièreChapitre 1: Interaction RX / matière

r = c·T =E

B k

1.1 Ondes électromagnétiques

E(r,t) = Eo · cos{ 2 · (t - k·r -

) }

= 2

r|Emax(t)

t

k

= c = =

E r

= 0 r|Emax(t)

Les rayons X sont des ondes électromagnétiques:

Chapitre 1: Interaction RX / matièreChapitre 1: Interaction RX / matière

Les rayons X vus du point de vue corpusculaire: PHOTONS

1.2 Photons

masse nulle !

énergie: E = h = h ~ 10 keV

quantité de mouvement: hk

[Å] = 12.398

E [ keV ]

>> énergie d ’ionisation et de vibrations dans la matière ( ~ eV)

Chapitre 1: Interaction RX / matièreChapitre 1: Interaction RX / matière

RX ~ champ électrique interagit avec particules chargées

1.2 Diffusion d’un photon par un électron

protons: NON car lourds et écrantés par électrons

• e- de conduction: ~ électrons libres

• e- de coeur: électrons liés ~ oscillateurs harmoniques amortis

électrons: OUI -e = -1.6 10-19 C, me = 9.1 10-31 kg

approche quantique: « Quantifier potentiel vecteur !!! »

pas traité dans ce cours, mais nécessaire

comprendre l ’origine de l ’absorption ...

Chapitre 1: Interaction RX / matièreChapitre 1: Interaction RX / matière

1.2 Diffusion cohérente d’un photon par un électron

approche quantique: garder la représentation schématique

kf f

ki i

Q = kf-ki

= f - i

transfert d’impulsion

transfert d’énergie

approximation diffusion élastique: 0 |ki | | kf |

indice de réfraction RX dans la matière très proche de 1

Chapitre 1: Interaction RX / matièreChapitre 1: Interaction RX / matière

1.2 Diffusion cohérente d’un photon par un électron

Eradiation (r,t) =

Eo

14oc2

approche classique: dipôle rayonnant

·a(0,t’)

accélération retardée:

on perçoit en r à t, l ’état du dipôle à t’ = t - r/c

1|r| e -i(kr-t)·

conservation énergie dissipée Erad 2

déphasage

onde diffusée = onde plane à r

Chapitre 1: Interaction RX / matièreChapitre 1: Interaction RX / matière

1.2 Diffusion cohérente d’un photon par un électron

accélération retardée: électron lié ~ oscillateur harmonique

F = m·a

force appliquée

force de frottement ABSORPTION force de rappel

d2xdt2

dxdt

+

eEoe-it =

m

+ kx 1D

électron libre

alié = -eEoe-it

2 (k-m2 ) (k-m2 )2 +

22

- i

3

(k-m2 )2 + 22

Chapitre 1: Interaction RX / matièreChapitre 1: Interaction RX / matière

1.2 Diffusion cohérente d’un photon par un électron

Champ électrique diffusé pour un électron libre

alibre = Eo e-it e m

Erad = | Eradiation (r)| = -e2

4omc2

1|r| e ikr· Eo

longueur de diffusion de Thomson ro= 2.82 10-5 Å

Chapitre 1: Interaction RX / matièreChapitre 1: Interaction RX / matière

1.3 Polarisation

Puissance dissipée en faisceau non polarisé Erad(r) 2

cos2(2)2

r 2

Erad () = Erad cos(2)observation dans plan de polarisation de Eo

r

2Erad indépendant de

plan de polarisation de Eo

Chapitre 1: Interaction RX / matièreChapitre 1: Interaction RX / matière

1.4 Absorption

électron lié: travail de la force de frottement

dxdt

dW =dx

==

dWdt

dxdt

2e2Eo

2

2

Origine microscopique Méca. Q. potentiel vecteur A • effet photoélectrique• fluorescence X• émission électron Auger

approche macroscopique (N électrons absorbants) :

Intensité = oc2Eo2

N dx = dI = - I dxdWdt

N e2

2oc2

coefficient d’absorption linéaire

Chapitre 1: Interaction RX / matièreChapitre 1: Interaction RX / matière

1.5 Diffusion Compton

un exemple de diffusion inélastique

hki

hkf

hq

énergie transférée à un électron

processus incohérent

longueur de diffusion de Compton

C = = 3.86 10-3 Å

hmc

sonde pour étudier la matière dans l’espace ( r, p )

2

Ef/Ei1

50° 100°

10keV

100keV

Chapitre 1: Interaction RX / matièreChapitre 1: Interaction RX / matière

1.6 Réfraction / réflexion

indice de réfraction pour les RX dans la matière :

n = 1 - + i

10-5 dans les solides10-8 dans l’air

~

change l’angle d ’incidence en profondeur ...

perceptible si très grande résolution ...

fabrication d’optique pour les rayons X !!!

c

réflexion totale

cos( ’) < 1

 ’

réfraction : Snell-Descartes

cos() = n cos( ’)

c ~ 2

Chapitre 1: Interaction RX / matièreChapitre 1: Interaction RX / matière

1.7 Section efficace

Ao

flux o

r dS = r2d

= = 1o

dnd

Nb. part. / unité /unité tempsflux incident

= = ro2

P

|Erad |2 r2

|Eo|2

longueur diffusion Thomson

polarisation

~ |Erad |2 r2dn

d

o = ~ |Eo|2Io

Ao

Chapitre 2: Production des RXChapitre 2: Production des RX

2.1 Tube de Coolidge

électrons

HT

(kV)

courant(mA)

circulation d’eau

fenêtre Be

RX

filament Wcathode

Cu, Mo, Ag ...anode

log(I)

Energie

Chapitre 2: Production des RXChapitre 2: Production des RX

2.1 Tube de Coolidge

K

LM

KK

transitions atomiques

rayonnement de freinage

Chapitre 2: Production des RXChapitre 2: Production des RX

2.2 Anode tournante

rotation > 1000 tr/min

permet d ’augmenter la puissance et donc le flux de photons

Chapitre 2: Production des RXChapitre 2: Production des RX

2.3 Rayonnement synchrotron

conséquence relativiste du rayonnement par des particules

chargées voyageant à très grande vitesse

source de rayonnement très intense, polarisée et très de faible

divergence

orbite des e- (ou e+)

accélération champ

magnétique F = q(E + v B )

E = mv2 = mc2

12

1

superposition incohérente intensité 2N où N nombre périodes

Chapitre 2: Production des RXChapitre 2: Production des RX

2.3 Rayonnement synchrotron

élément d ’insertion : Wiggler

diminuer le rayon de courbure pour augmenter l’accélération

K

plan horizontal

1

N

S

plan vertical

1

N

superposition cohérente intensité N2 spectre discontinu

Chapitre 2: Production des RXChapitre 2: Production des RX

2.3 Rayonnement synchrotron

élément d ’insertion : Ondulateur

N

S

plan vertical

1

N

plan horizontal

Chapitre 2: Production des RXChapitre 2: Production des RX

2.4 Comparaison des diverses sources

brillance

photons/s/ mrad2 /mm2 / 0.1%flux/angle solide

/unité surface échantillon

/résolution en énergie

Chapitre 3: Détection des RXChapitre 3: Détection des RX

3.1 Films photographiques

D = KIst

• D : densité photographique

• I : intensité du faisceau X incident (sur le film)

• s : surface de pellicule exposée au rayonnement !!!

• K : constante de proportionnalité caractéristique du film

• t : temps de pose

Chapitre 3: Détection des RXChapitre 3: Détection des RX

3.2 Détecteurs ponctuels

chambre d’ionisationUn gaz (argon ou krypton sous faible pression + halogène en faible teneur) est soumis à une haute tension proche du claquage. Lorsqu’un photon X apporte un excès d ’énergie, le gaz est ionisé et une impulsion de courant produite que l ’on détecte dans circuit électronique adéquat.

Il existe plusieurs régimes de fonctionnement: proportionnel et Geiger-Muller ...

compteurs à scintillationIl s ’agit d’un compteur proportionnel où les photons X sont transformés en photons visibles par un cristal d’iodure de sodium dopé au thallium et sont ensuite détecté par une cellule photoélectrique ...

diodes PINIl s ’agit d’un compteur proportionnel où les photons X sont transformés en paires électrons trous dans un cristal de silicium ou germanium fortement dopé en lithium. Le dispositif constitue un type jonction PN qui permet de mesurer un courant...

Chapitre 3: Détection des RXChapitre 3: Détection des RX

3.3 Image Plate

fenêtre Be

“Phosphore” ( ions Eu3+)

fibre optique désexcitation par laser rouge, lecture dans le bleu par photodiode

effacement de l ’information rémanente par éclairement blanc intense

Ecriture : lorsqu’un photon X frappe le “phosphore”, des électrons sont excités sur des niveaux pièges de longue durée de vie ...

Chapitre 3: Détection des RXChapitre 3: Détection des RX

3.4 Caméras CCD

“Phosphore” (Gd2O2S) : conversion RX visiblefenêtre Be

refroidisseur à effet Peltier

condenseur à fibres optiques

matrice de capacités MOS coupléesi.e. lorsque qu’un photon frappe un pixel MOS, une

charge électrique est stockée que l ’on peut lire ensuite grâce à un processus de polarisation séquentielle des

capacité MOS ...

Chapitre 3: Détection des RXChapitre 3: Détection des RX

3.5 Caractéristiques à retenir des différents détecteurs ponctuels

• très bonne dynamique

• très bonne résolution spatiale (dépend géométrie appareillage)

• temps de comptage peut être long (pose + déplacement)

image-plate• très bonne dynamique, excellent rapport signal/bruit

• très bonne résolution spatiale: détecteur grand et distance grande

• lecture ~1 minute, temps de pose peut être long camera CCD

• bonne dynamique

• résolution spatiale moyenne

• acquisition et lecture rapides

Chapitre 4: Diffraction / DiffusionChapitre 4: Diffraction / Diffusion

4.1 Diffusion par 2 particules

kf

ki r12

1

2

kfki

r12

Q = kf - ki Q r12

différence de marche optique déphasage 1 / 2

amplitude diffusée à , avec référence en 1

A = A1 + A2 ei Q

r

12

pouvoir diffusant de la particule 1-ro pour 1 électron

I A2

densité électronique

Chapitre 4: Diffraction / DiffusionChapitre 4: Diffraction / Diffusion

4.2 Généralisation à N électrons

origine des positions arbitraire: A = Aj ei Q

r

jj=1

N

approximation cinématique pour la densité électronique:

•un élément de volume infinitésimal dV contient dn = n(r)dV électrons

•et donc un pouvoir diffusant -rodn

•l ’amplitude totale diffusée est donc de la forme:

-roEo n( r ) ei Q

r

j dV = TF[n( r

) ]

transformée de Fourier

|Q|

fj

Chapitre 4: Diffraction / DiffusionChapitre 4: Diffraction / Diffusion

4.3 Facteur de diffusion atomique

modèle d ’atome sphérique: n(r) ~ r e-

r

fj (0) = Ze

facteur de diffusion atomique: fj = n( r ) ei Q

r

j

dV

électrons de valence

électrons de coeurpetits angles

Chapitre 4: Diffraction / DiffusionChapitre 4: Diffraction / Diffusion

4.4 Diffusion par une assemblée de N atomes

modèle d’atomes sphériques indépendants

facteur de structure : F(Q) = fj ei Q

r

jj=1

N

intensité diffusée : < F(Q) F*(Q) >temps

mesure !

Chapitre 4: Diffraction / DiffusionChapitre 4: Diffraction / Diffusion

4.5 Cas de systèmes périodiques - loi de Bragg

périodicité: Tm tel que n( r+Tm) = n( r )

où pour un système 3D : Tm = um a + vm b + wm c u,v,w Nles vecteurs a b c définissent une maille élémentaire

Tm

l’ordre tridimensionnel est ici un ordre à longue

portée

Chapitre 4: Diffraction / DiffusionChapitre 4: Diffraction / Diffusion

4.5 Cas de systèmes périodiques - loi de Bragg

facteur de structure : F(Q) = fj ei Q

( rj

+ T

m)

m=1

M

j=1

N

somme sur les atomes de la maille

somme sur toutes les mailles

réseau réciproque : on introduit une nouvelle base a* b*

c*

a* a = b* b = c* c = 2

a* b = b* c = c* a = a* c = c* b = b* a = 0

a

b

c

b*a*

c*

Q = H a* + K b* + L c*

H K L quelconques pour l ’instant

Chapitre 4: Diffraction / DiffusionChapitre 4: Diffraction / Diffusion

4.5 Cas de systèmes périodiques - loi de Bragg

H K L entiers ? Q Tm = H um + K vm + L wm = n2

ei

Q Tm = 1 F(Q) = M fj e

i Q

rj = M

Fmaille j=1

N

interprétation géométrique :

kf

ki

d

2

différence de marche optique 2d sin()2d sin() = n

interférences constructives

sin()2

|Q|4

n2d

Chapitre 4: Diffraction / DiffusionChapitre 4: Diffraction / Diffusion

4.5 Cas de systèmes périodiques - diffraction

H K L entiers Q = H a* + K b* + L c*

les vecteurs Q forment un réseau appelé réseau réciproque !

TmQHKL

et correspondent aux seules directions pour lesquelles on observe de l ’intensité

diffractée !

Chapitre 4: Diffraction / DiffusionChapitre 4: Diffraction / Diffusion

4.6 Désordre dans des systèmes périodiques en moyenne pour chaque maille “m” il peut exister des

fluctuations :

de position, de composition, etc.

l’intensité mesurée pour un échantillon baignant

dans le

faisceau X incident devient aussi une moyenne

d’espace I(Q) < FmF*m+n >n,t e

i Q

Tmn

m n

Chapitre 4: Diffraction / DiffusionChapitre 4: Diffraction / Diffusion

4.6 Désordre dans des systèmes périodiques en moyenne

diffusion diffuse ... après quelques étapes de calcul ...

diffraction de Bragg IBragg(Q) | < Fm> |2

Idiffus(Q) < |Fm|2 > - | < Fm> |2

+

( < F0F*n > - < F0 > < F*

n > ) ei Q

Tn

n0

dépendance en Q liée uniquement au contenu d’une maille diffusion

“large”

dépendance en Q liée uniquement au contenu d’une maille diffusion

“large”

forte dépendance en Q si corrélations “maille à maille” : transitions de phase, phases

modulées, etc.

forte dépendance en Q si corrélations “maille à maille” : transitions de phase, phases

modulées, etc.

Chapitre 4: Diffraction / DiffusionChapitre 4: Diffraction / Diffusion

4.7 Agitation thermique ...

Fluctuations quadratique moyenne des atomes

autour des

positions d ’équilibre:

diffraction de Bragg IBragg(Q) Fo2 e-Q2

pour un système monoatomique avec agitation isotrope !

diffusion diffuse Idiffus(Q) 1 - e-Q2

Chapitre 4: Diffraction / DiffusionChapitre 4: Diffraction / Diffusion

4.8 Matière “molle” et auto-organisée ...

Ordre à courte et moyenne portée

Distances caractéristiques plutôt grandes

Objet des cours suivants de cette école RX ...

Chapitre 5: Eléments d’un montage expérimentalChapitre 5: Eléments d’un montage expérimental

5.1 Construction d’Ewald

Origine de l ’espace réciproque

Vecteur Q en condition de diffusionen contact avec la sphère d’Ewald

Sphère d ’Ewald: |k| = cste

Chapitre 5: Eléments d’un montage expérimentalChapitre 5: Eléments d’un montage expérimental

5.1 Construction d’Ewald

Chapitre 4: Diffraction / DiffusionChapitre 4: Diffraction / Diffusion

5.2 Exemples de Clichés de diffraction/diffusion des rayons X

Chapitre 5: Eléments d’un montage expérimentalChapitre 5: Eléments d’un montage expérimental

cristal 3Dfibres

compositeincommensurabl

e

Chapitre 5: Eléments d’un montage expérimentalChapitre 5: Eléments d’un montage expérimental

5.3 Eléments d’une chaine de mesures

optique:• miroirs• monochromateur

tête goniométriquegénérateur

détecteurenvironnement échantillon

+ informatique: interfaçage, traitement des données brutes, analyse, etc.