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DérivationChapitre 5
M. Delfour
Département de mathématiques et de statistiqueUniversité de Montréal
11 novembre 2009
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 1 / 119
Plan
1 Fonctions différentiables ou dérivables
2 Opérations sur les fonctions dérivables
3 Extrema d’une fonction - la règle de Fermat
4 Théorèmes de Rolle et de la moyenne, formule de Cauchy
5 Règle de l’Hôpital
6 Formule de Taylor
7 Extrema d’une fonction
8 Méthode de Newton
9 Références
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 2 / 119
DérivéesLe calcul différentiel et la notion de dérivée
Le calcul différentiel a été créé au XVIIe siècle.La première idée du calcul différentiel et de la règle pour le calcul des extrema 1
remontent à Pierre Fermat 2 (1637).La notion de dérivée a vu le jour dans les écrits de Leibniz 3 (1684 4) et de Newton 5
(1691) qui la nomme fluxion et qui la définit comme « le quotient ultime de deuxaccroissements évanescents ».
La condition obtenue par Fermat pour l’extremum d’une fonction algébrique est doncen même temps généralisée par Leibniz sous la forme f ′(x) = 0 en 1684.
Cette condition est utilisée en 1691 dans la démonstration du Théorème de Rolle 6
qui mène et à la règle de L’Hôpital en 1696 7.
1. Methodus ad disquirendam Maximam et Minimam, 1637.2. Pierre Fermat, 17 août 1601 (Beaumont-de-Lomagne, France) - 12 janvier 1665.3. Gottfried Wilhelm Leibniz, 1 juillet 1646 (Leipzig, Allemagne) - 14 novembre 1716.4. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates
moratur, et singulare pro illis calculi genus (Une nouvelle méthode pour les maxima et minima ainsi que lestangentes, qui ne sont limités à des expressions ni fractionnaires ni irrationnelles, et un type remarquable decalcul pour celles-ci), dans Acta Eruditorum, 1684, un journal fondé à Leipzig deux ans plus tôt.
5. Sir Isaac Newton, 4 janvier 1643 (Woolsthorpe-by-Colsterworth, Angleterre) - 31 mars 1728.6. Michel Rolle, 21 avril 1652 (Ambert, France)- 8 novembre 1719 (Paris).7. Guillaume François Antoine de l’Hôpital (1661-1704)M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 3 / 119
DérivéesGottfried Wilhelm von Leibniz
F IGURE: Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716)
est un philosophe, scientifique, mathématicien, diplomate, bibliothécaire et homme deloi allemand qui a écrit en latin, français et allemand.
ll est envoyé en 1672 à Paris, en mission diplomatique. Il y reste jusqu’en 1676 et yrencontre les grands savants de l’époque : Huygens et Malebranche, entre autres. Il seconsacre aux mathématiques et laisse à Paris son manuscrit sur la quadraturearithmétique du cercle. Il travaille également sur ce qui sera le calcul infinitésimal. Ilconçoit en 1673 une machine à calculer qui permet d’effectuer les quatre opérations, etqui inspirera bien des machines à calculer du XIXe et XXe siècle (Thomas de Colmar,Curta). Avant de rejoindre Hanovre, il se rend à Londres étudier certains écrits d’IsaacNewton, jetant, tous les deux, les bases du calcul intégral et différentiel en 1684 (Novamethodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas necirrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus).
◮ Pascaline : Blaise Pascal (1623-1662).M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 4 / 119
DérivéesSir Isaac Newton
F IGURE: Sir Isaac Newton (1643-1727)
Newton est un philosophe, mathématicien, physicien et astronome anglais. Figureemblématique des sciences, il est surtout reconnu pour sa théorie de la gravitationuniverselle et, en mathématiques, la création, en concurrence avec Leibniz, du calculinfinitésimal en 1691 (Leibniz, 1684). Il nomme fluxion ce qui deviendra la notion dedérivée et la définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».
Il est aussi connu pour la généralisation du théorème du binôme et l’invention dite dela méthode de Newton permettant de trouver des approximations d’un zéro (ou racine)d’une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 5 / 119
DérivéesFonctions différentiables ou dérivables
La notion intuitive de dérivée est celle de droite tangente à une courbe régulière enun point donné. Comme il faut approcher ce point, elle n’a de sens qu’en un pointd’accumulation du domaine de définition de la fonction et fait appel à la notion de limitedu chapitre précédent.
Définition (Notion classique)
Soient f : D → R une fonction et x0 ∈ int D un point intérieur. La fonction f est dérivableau point x0 si la limite du quotient différentiel
limx→x0
f (x) − f (x0)
x − x0existe.
On l’appelle dérivée et on la notera par
f ′(x0),ddx
f (x)
˛
˛
˛
˛
x=x0
oudfdx
(x0).
Lorsque x0 ∈ int D, il existe un voisinage V (x0, ε) de x0 contenu dans D et la dérivéene dépend que du point x0 et de f , mais pas du domaine D. Si D = [a, b], on parle dedérivée aux points de (a, b) en excluant les bords a et b qui ne peuvent être approchésqu’en venant de la droite ou de la gauche.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 6 / 119
DérivéesFonctions différentiables ou dérivables
Définition (Notion classique)
Soit f : D → R une fonction et x0 ∈ int D un point intérieur. La fonction f est dérivableau point x0 si la limite du quotient différentiel
limx→x0
f (x) − f (x0)
x − x0existe.
On l’appelle dérivée et on la notera par
f ′(x0),ddx
f (x)
˛
˛
˛
˛
x=x0
oudfdx
(x0).
Exemple
La fonction x 7→ x : R → R est différentiable et f ′(x) = 1. La fonctionx 7→ 1/x : R \{0} → R est différentiable et f ′(x) = −1/x2.La fonction x 7→ |x | : R → Rest différentiable sauf en 0 et f ′(x) = −1, si x < 0 et +1 si x > 0. En effet, les suites{1/n} et {−1/n} tendent toutes deux vers 0, mais les quotients différentiels(1/n − 0)/(1/n − 0) = 1 et (−1/n − 0)/(1/n − 0) = −1 ne convergent pas vers lamême limite.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 7 / 119
DérivéesFonctions différentiables ou dérivables
Bien que ce ne soit pas une notion vraiment naturelle pour le calcul différentiel,Labelle et Mercier introduisent une généralisation de la notion de dérivées des pointsintérieurs aux points d’accumulation.
Il faut se souvenir que int D ⊂ D′
∀x0 ∈ int D, ∃δ0 > 0 tel que V (x0, δ0) ⊂ D
∀δ > 0, V ′(x0, δ) ∩ D ⊃ V ′(x0, min{δ, δ0}) 6= ∅.
Comme D ⊂ D = int D ∪ ∂D, en généralisant à des points de D ∩ D′, on incluera despoints frontières, c’est-à-dire les points de D ∩ ∂D.
Définition (Labelle et Mercier, p. 126)
Soit f : D → R une fonction et x0 ∈ D ∩ D′ un point d’accumulation. La fonction f estdérivable au point x0 si la limite
limx→x0
x∈D
f (x) − f (x0)
x − x0existe.
On l’appelle dérivée et on la notera par
f ′(x0),ddx
f (x)
˛
˛
˛
˛
x=x0
oudfdx
(x0).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 8 / 119
DérivéesFonctions différentiables ou dérivables
Définition (Labelle et Mercier, p. 126)
Soit f : D → R une fonction et x0 ∈ D ∩ D′ un point d’accumulation. La fonction f estdérivable au point x0 si la limite
limx→x0
x∈D
f (x) − f (x0)
x − x0existe.
On l’appelle dérivée et on la notera par
f ′(x0),ddx
f (x)
˛
˛
˛
˛
x=x0
oudfdx
(x0).
Lorsque x0 n’est pas un point intérieur, alors c’est un point frontière. Pour l’exempleD = [a, b], les dérivées en ∂D = {a, b} correspondront à ce que l’on appelle plutôt ladérivée à droite f ′(a+) et la dérivée à gauche f ′(b−) :
f ′(a+) = limx→a+
f (x) − f (a)
x − a
f ′(b−) = limx→b−
f (x) − f (b)
x − b.
Ici, le domaine D = [a, b] ne permet d’approcher a ou b que d’un côté.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 9 / 119
DérivéesFonctions différentiables ou dérivables
Définition (Labelle et Mercier, p. 126)
Soit f : D → R une fonction et x0 ∈ D ∩ D′ un point d’accumulation. La fonction f estdérivable au point x0 si la limite
limx→x0
x∈D
f (x) − f (x0)
x − x0existe.
On l’appelle dérivée et on la notera par
f ′(x0),ddx
f (x)
˛
˛
˛
˛
x=x0
oudfdx
(x0).
Cette définition peut aussi être utilisée pour des fonctions définies sur des domainesdu type D = {1/n : ∀n ∈ N} ∪ {0}, où 0 est le seul point d’accumulation et toutes lessuites qui convergent vers 0 sont des sous-suites de {1/n}. Par exemple,x 7→ x2 : D → R, dont la dérivée en 0 est
f ′(0) = limn→∞
(1/n)2 − 02
1/n − 0= lim
n→∞1/n = 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 10 / 119
DérivéesFonctions différentiables ou dérivables
Définition (Labelle et Mercier, p. 126)
Soit f : D → R une fonction et x0 ∈ D ∩ D′ un point d’accumulation. La fonction f estdérivable au point x0 si la limite
limx→x0
x∈D
f (x) − f (x0)
x − x0existe.
On l’appelle dérivée et on la notera par
f ′(x0),ddx
f (x)
˛
˛
˛
˛
x=x0
oudfdx
(x0).
En invoquant la caractérisation de la limite par les suites, on a comme dans le cas dela continuité.Théorème
• Soit f : D → R une fonction et x0 ∈ D ∩ D′ un point d’accumulation.
f est dérivable au point x0
⇐⇒
∃L ∈ R, ∀{xn} ⊂ D tel que xn 6= x0 et xn → x0, limn→∞
f (xn) − f (x0)
xn − x0= L.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 11 / 119
DérivéesFonctions différentiables ou dérivables
Définition (Labelle et Mercier, p. 126)
Soit f : D → R une fonction et x0 ∈ D ∩ D′ un point d’accumulation. La fonction f estdérivable au point x0 si la limite
limx→x0
x∈D
f (x) − f (x0)
x − x0existe.
On l’appelle dérivée et on la notera par
f ′(x0),ddx
f (x)
˛
˛
˛
˛
x=x0
oudfdx
(x0).
En invoquant la caractérisation de la limite par les suites, on a comme dans le cas dela continuité.
Théorème
• Soit f : D → R une fonction et x0 ∈ D ∩ D′ un point d’accumulation.◮ f dérivable en x0 ⇒ f continue en x0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 12 / 119
DérivéesFonctions différentiables ou dérivables
Théorème
• Soit f : D → R une fonction et x0 ∈ D ∩ D′ un point d’accumulation.◮ f dérivable en x0 ⇒ f continue en x0.
Démonstration.
Pour tout x ∈ D, x 6= x0,
f (x) − f (x0) =f (x) − f (x0)
x − x0(x − x0)
=
»
f (x) − f (x0)
x − x0− f ′(x0)
–
(x − x0) + f ′(x0) (x − x0)
⇒ |f (x) − f (x0)| ≤„
˛
˛
˛
˛
f (x) − f (x0)
x − x0− f ′(x0)
˛
˛
˛
˛
+ |f ′(x0)|«
|x − x0|.
Pour tout ε > 0, il existe δ, 0 < δ ≤ ε/(ε + |f ′(x0)|), tel que
∀x ∈ D, 0 < |x − x0| < δ,
»
f (x) − f (x0)
x − x0− f ′(x0)
–
< ε
⇒ |f (x) − f (x0)| <`
ε + |f ′(x0)|´
δ< ε
et f est continue en x0.M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 13 / 119
Plan
1 Fonctions différentiables ou dérivables
2 Opérations sur les fonctions dérivables
3 Extrema d’une fonction - la règle de Fermat
4 Théorèmes de Rolle et de la moyenne, formule de Cauchy
5 Règle de l’Hôpital
6 Formule de Taylor
7 Extrema d’une fonction
8 Méthode de Newton
9 Références
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 14 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables
On retrouve les 4 opérations de base.
Théorème
• Soit f , g : D → R deux fonctions dérivables en un point d’accumulation x0 ∈ D ∩ D′.
(i) f + g est dérivable en x0 et (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0).
(ii) f g est dérivable en x0 et (f g)′(x0) = f ′(x0) g(x0) + f (x0) g′(x0).
(iii) Si, pour tout x ∈ D, g(x) 6= 0, f/g est dérivable en x0 et„
fg
«′
(x0) =f ′(x0) g(x0) − f (x0) g′(x0)
g(x0)2
Théorème
• f : Df → R et g : Dg → R tel que f (Df ) ⊂ Dg .• f dérivable en x0 et g dérivable en f (x0).
◮ La composition g ◦ f de f et g, (g ◦ f )(x)déf= g(f (x)) : Df → R est dérivable en x0 et
(g ◦ f )′(x0) = g′(f (x0)) f ′(x0).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 15 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables
Théorème
• Soit f , g : D → R deux fonctions dérivables en un point d’accumulation x0 ∈ D ∩ D′.
(i) f + g est dérivable en x0 et (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0).
(ii) f g est dérivable en x0 et (f g)′(x0) = f ′(x0) g(x0) + f (x0) g′(x0).
(iii) Si, pour tout x ∈ D, g(x) 6= 0, f/g est dérivable en x0 et„
fg
«′
(x0) =f ′(x0) g(x0) − f (x0) g′(x0)
g(x0)2
Démonstration.
On passe par les suites. (i) est évident. On démontre (ii) et on laisse (iii) commeexercice.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 16 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables
Théorème
• Soit f , g : D → R deux fonctions dérivables en un point d’accumulation x0 ∈ D ∩ D′.
(ii) f g est dérivable en x0 et (f g)′(x0) = f ′(x0) g(x0) + f (x0) g′(x0).
Démonstration.
(ii) On passe par les suites : f est dérivable au point x0 si et seulement si
∃L ∈ R, ∀{xn} ⊂ D tel que xn 6= x0 et xn → x0, limn→∞
f (xn) − f (x0)
xn − x0= L.
On a le quotient différentiel
(f g)(xn) − (f g)(x0)
xn − x0=
f (xn) g(xn) − f (x0) g(x0)
xn − x0
= f (xn)g(xn) − g(x0)
xn − x0+ g(x0)
f (xn) − f (x0)
xn − x0
Par dérivabilité, les quotients différentiels convergent vers f ′(x0) et g′(x0) et, parcontinuité, f (xn) → f (x0).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 17 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables
Exemple
On a vu que pour f (x) = x , f ′(x) = 1. Par application directe de la partie (ii) duthéorème
x2 = f (x) f (x), ⇒ ddx
x2 = f ′(x) f (x) + f (x) f ′(x) = 2x .
Par induction, on suppose que
ddx
xn = nxn−1
d’où
xn+1 = x xn ⇒ ddx
xn+1 = 1 xn + xddx
xn = xn + x nxn−1 = (n + 1)xn.
◮ Toujours en utilisant les règles d’opération sur les fonctions dérivables, la dérivéed’un polynôme d’ordre n
p(x)déf= anxn + · · · + a1x + a0, p′(x) = n anxn−1 + · · · + a1.
◮ On peut, bien sûr, continuer à dériver...
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 18 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables
Exemple
On a vu que pour f (x) = x , f ′(x) = 1. Par application directe de la partie (ii) duthéorème
x2 = f (x) f (x), ⇒ ddx
x2 = f ′(x) f (x) + f (x) f ′(x) = 2x .
Par induction, on suppose que
ddx
xn = nxn−1
d’où
xn+1 = x xn ⇒ ddx
xn+1 = 1 xn + xddx
xn = xn + x nxn−1 = (n + 1)xn.
◮ Toujours en utilisant les règles d’opération sur les fonctions dérivables, la dérivéed’un polynôme d’ordre n
p(x)déf= anxn + · · · + a1x + a0, p′(x) = n anxn−1 + · · · + a1.
◮ On peut, bien sûr, continuer à dériver...
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 18 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables
Exemple (polynômes)
Toujours en utilisant les règles d’opérations sur les fonctions dérivables, la dérivée d’unpolynôme d’ordre n
p(x)déf= an xn + · · · + a1 x + a0, p′(x) = n an xn−1 + · · · + a1.
◮ On peut, bien sûr, continuer à dériver...
p(2)(x)déf=
ddx
„
ddx
p(x)
«
et p(k+1)(x)déf=
ddx
„
dk
dxkp(x)
«
.
On obtient ainsi en adoptant la convention 0! = 1
p(k)(x) =n!
(n − k)!anxn−k +
(n − 1)!
(n − k − 1)!an−1xn−k−1 + · · · + k !
0!ak ,
⇒ p(k)(0) =k !
0!ak= k ! ak ⇒ p(x) =
nX
k=0
1k !
p(k)(0) xk ,
en posant par convention p(0)(x) = p(x).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 19 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables
Exemple (polynômes)
Toujours en utilisant les règles d’opérations sur les fonctions dérivables, la dérivée d’unpolynôme d’ordre n
p(x)déf= an xn + · · · + a1 x + a0, p′(x) = n an xn−1 + · · · + a1.
◮ On peut, bien sûr, continuer à dériver...
p(2)(x)déf=
ddx
„
ddx
p(x)
«
et p(k+1)(x)déf=
ddx
„
dk
dxkp(x)
«
.
On obtient ainsi en adoptant la convention 0! = 1
p(k)(x) =n!
(n − k)!anxn−k +
(n − 1)!
(n − k − 1)!an−1xn−k−1 + · · · + k !
0!ak ,
⇒ p(k)(0) =k !
0!ak= k ! ak ⇒ p(x) =
nX
k=0
1k !
p(k)(0) xk ,
en posant par convention p(0)(x) = p(x).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 19 / 119
DérivéesParamétrisation des polynômes
La formule
p(x) =nX
k=0
1k !
p(k)(0) xk
est une paramétrisation des polynômes d’ordre k en terme de p et de ses dérivées en0. Cependant, il y en a d’autres. Par exemple, les polynômes d’ordre un peuvents’écrire en terme de leurs valeurs aux points 0 et 1
p(x) = p(0)(1 − x) + p(1) x ,
où (1 − x) et x sont les polynômes de base en 0 et 1. De façon générale, un polynômed’ordre k peut être paramétrisé à l’aide de ses valeurs en k + 1 points distincts.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 20 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables
Théorème
• f : Df → R et g : Dg → R telles que f (Df ) ⊂ Dg .• f dérivable en x0 et g dérivable en f (x0).
◮ La composition g ◦ f de f et g, (g ◦ f )(x)déf= g(f (x)) : Df → R est dérivable en x0 et
(g ◦ f )′(x0) = g′(f (x0)) f ′(x0).
Démonstration.
Soit une suite {xn} ⊂ D, xn 6= x0, qui converge vers x0. On a le quotient
(g ◦ f )(xn) − (g ◦ f )(x0)
xn − x0=
g(f (xn)) − g(f (x0))
xn − x0
Si f (xn) 6= f (x0), → =
„
g(f (xn)) − g(f (x0))
f (xn) − f (x0)
«„
f (xn) − f (x0)
xn − x0
«
Si f (xn) = f (x0), → = 0 = g′(f (x0))
„
f (xn) − f (x0)
xn − x0
«
Par dérivabilité, le quotient différentiel de f tend vers f ′(x0) et la suite {f (xn)} tendvers f (x0) . Il reste l’autre terme qui doit tendre vers g′(f (x0)).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 21 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables
Démonstration (suite).
On voudrait donc que la suite suivante tende vers g′(f (x0))
sndéf=
8
<
:
g(f (xn)) − g(f (x0))
f (xn) − f (x0), si f (xn) 6= f (x0) et xn 6= x0
g′(f (x0)), si f (xn) = f (x0) et xn 6= x0
9
=
;
.
Soit I+ = {n ∈ N : f (xn) 6= f (x0)}. Il y a deux cas : ou bien I+ est fini et la suite estconstante et égale à g′(f (x0)) à partir d’un certain rang ; ou bien I+ est infini. Dans cedernier cas, comme g′(f (x0)) existe,
∀{yn} ⊂ Dg, yn 6= f (x0), yn → f (x0), limn→∞
g(yn) − g(f (x0))
yn − f (x0)= g′(f (x0))
et nécessairement, pour la suite convergente {f (xn) : n ∈ I+}, puisque n ∈ I+,f (xn) 6= f (x0) et f (xn) → f (x0) par continuité de f . Donc, on a
limn→∞, n∈I+
g(f (xn)) − g(f (x0))
f (xn) − f (x0)= g′(f (x0))
⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N et n ∈ I+,
˛
˛
˛
˛
g(f (xn)) − g(f (x0))
f (xn) − f (x0)− g′(f (x0))
˛
˛
˛
˛
< ε.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 22 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables
Démonstration (suite).
On voudrait donc que la suite suivante tende vers g′(f (x0))
sndéf=
8
<
:
g(f (xn)) − g(f (x0))
f (xn) − f (x0), si f (xn) 6= f (x0) et xn 6= x0
g′(f (x0)), si f (xn) = f (x0) et xn 6= x0
9
=
;
.
Soit I+ = {n ∈ N : f (xn) 6= f (x0)}. Il y a deux cas : ou bien I+ est fini et la suite estconstante et égale à g′(f (x0)) à partir d’un certain rang ; ou bien I+ est infini. Dans cedernier cas, comme g′(f (x0)) existe,
∀{yn} ⊂ Dg, yn 6= f (x0), yn → f (x0), limn→∞
g(yn) − g(f (x0))
yn − f (x0)= g′(f (x0))
et nécessairement, pour la suite convergente {f (xn) : n ∈ I+}, puisque n ∈ I+,f (xn) 6= f (x0) et f (xn) → f (x0) par continuité de f . Donc, on a
limn→∞, n∈I+
g(f (xn)) − g(f (x0))
f (xn) − f (x0)= g′(f (x0))
⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N et n ∈ I+,
˛
˛
˛
˛
g(f (xn)) − g(f (x0))
f (xn) − f (x0)− g′(f (x0))
˛
˛
˛
˛
< ε.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 22 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables
Démonstration (suite).
On voudrait donc que la suite suivante tende vers g′(f (x0))
sndéf=
8
<
:
g(f (xn)) − g(f (x0))
f (xn) − f (x0), si f (xn) 6= f (x0) et xn 6= x0
g′(f (x0)), si f (xn) = f (x0) et xn 6= x0
9
=
;
.
Soit I+ = {n ∈ N : f (xn) 6= f (x0)}. Il y a deux cas : ou bien I+ est fini et la suite estconstante et égale à g′(f (x0)) à partir d’un certain rang ; ou bien I+ est infini. Dans cedernier cas, on a vu que
limn→∞, n∈I+
g(f (xn)) − g(f (x0))
f (xn) − f (x0)= g′(f (x0))
⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N et n ∈ I+,
˛
˛
˛
˛
g(f (xn)) − g(f (x0))
f (xn) − f (x0)− g′(f (x0))
˛
˛
˛
˛
< ε.
◮ Mais pour les n /∈ I+, sn = g′(f (x0)). On a finalement
∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N,˛
˛sn − g′(f (x0))˛
˛ < ε
et la limite de la suite {sn} est bien g′(f (x0)).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 23 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables
Démonstration (suite).
On voudrait donc que la suite suivante tende vers g′(f (x0))
sndéf=
8
<
:
g(f (xn)) − g(f (x0))
f (xn) − f (x0), si f (xn) 6= f (x0) et xn 6= x0
g′(f (x0)), si f (xn) = f (x0) et xn 6= x0
9
=
;
.
Soit I+ = {n ∈ N : f (xn) 6= f (x0)}. Il y a deux cas : ou bien I+ est fini et la suite estconstante et égale à g′(f (x0)) à partir d’un certain rang ; ou bien I+ est infini. Dans cedernier cas, on a vu que
limn→∞, n∈I+
g(f (xn)) − g(f (x0))
f (xn) − f (x0)= g′(f (x0))
⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N et n ∈ I+,
˛
˛
˛
˛
g(f (xn)) − g(f (x0))
f (xn) − f (x0)− g′(f (x0))
˛
˛
˛
˛
< ε.
◮ Mais pour les n /∈ I+, sn = g′(f (x0)). On a finalement
∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N,˛
˛sn − g′(f (x0))˛
˛ < ε
et la limite de la suite {sn} est bien g′(f (x0)).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 23 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables
Théorème
• f : Df → R et g : Dg → R telles que f (Df ) ⊂ Dg .• f dérivable en x0 et g dérivable en f (x0).
◮ La composition g ◦ f de f et g, (g ◦ f )(x)déf= g(f (x)) : Df → R est dérivable en x0 et
(g ◦ f )′(x0) = g′(f (x0)) f ′(x0).
Remarque
(g ◦ f )′(x0) peut exister sans que les hypothèses du théorème soient vérifiées.On prend f (y) = |y | pour laquelle f ′(0) n’existe pas et g(x) = x4 ce qui donnef (g(x)) = |x4| = x4 pour laquelle (g ◦ f )′(0) = 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 24 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables : exemples
Exemple
Soit la fonction
f (x)déf=
(
x cos(1/x), si x 6= 0
0, si x = 0.
Aux points x0 6= 0, les opérations sur les fonctions dérivables donnent
f ′(x) = cos„
1x
«
+1x
sin„
1x
«
.
Au point x0 = 0, on revient à la définition de la dérivée : pour x 6= 0
f (x) − f (0)
x − 0= cos(1/x)
qui n’a pas de limite lorsque x → 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 25 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables : exemples
Exemple
Soit la fonction
f (x)déf=
(
x cos(1/x), si x 6= 0
0, si x = 0.
Aux points x0 6= 0, les opérations sur les fonctions dérivables donnent
f ′(x) = cos„
1x
«
+1x
sin„
1x
«
.
Au point x0 = 0, on revient à la définition de la dérivée : pour x 6= 0
f (x) − f (0)
x − 0= cos(1/x)
qui n’a pas de limite lorsque x → 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 25 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables : exemples
Exemple
Soit la fonction
f (x)déf=
(
x cos(1/x), si x 6= 0
0, si x = 0.
Aux points x0 6= 0, les opérations sur les fonctions dérivables donnent
f ′(x) = cos„
1x
«
+1x
sin„
1x
«
.
Au point x0 = 0, on revient à la définition de la dérivée : pour x 6= 0
f (x) − f (0)
x − 0= cos(1/x)
qui n’a pas de limite lorsque x → 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 25 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables : exemples
Exemple
La fonction log(x) pour x > 0 est dérivable et
ddx
log(x) =1x
.
La fonction log(−x) pour x < 0 est dérivable et
ddx
log(−x) =1−x
(−1) =1x
.
On a donc pour x 6= 0
ddx
log |x | =1x
.
Si f est dérivable et non-nulle, il vient par la dérivée de la composition
ddx
log |f (x)| =f ′(x)
f (x), f (x) 6= 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 26 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables : exemples
Exemple
On a donc pour x 6= 0
ddx
log |x | =1x
.
Si f est dérivable et non-nulle, il vient
ddx
log |f (x)| =f ′(x)
f (x), f (x) 6= 0.
ddx
log |f (x)| =f ′(x)
f (x), f (x) 6= 0.
◮ On applique ce résultat à la dérivée de f (x) = xa, a ∈ R et x > 0. On a
log f (x) = log xa = a log x ⇒ f ′(x)
f (x)=
ax
⇒ f ′(x) =ax
xa = a xa−1.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 27 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables : fonction réciproque
Théorème
• f : Df → R et g : Dg → R telles que f (Df ) ⊂ Dg .• f dérivable en x0 et g dérivable en f (x0).
◮ La composition g ◦ f de f et g, (g ◦ f )(x)déf= g(f (x)) : Df → R est dérivable en x0 et
(g ◦ f )′(x0) = g′(f (x0)) f ′(x0).
Corollaire
• f : Df → R une fonction bijective.• f dérivable en x0.◮ Si f ′(x0) 6= 0, la fonction réciproque f−1 est dérivable en f (x0) et
(f−1)′(f (x0)) =1
f ′(x0)ou (f−1)′(y0) =
1f ′(f−1(y0))
.
Démonstration.
On applique le théorème avec g = f−1 en notant que (f−1 ◦ f )(x) = x ce qui donne1 = (f−1)′(f (x0)) f ′(x0).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 28 / 119
DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables : fonction réciproque
Corollaire
• f : Df → R une fonction bijective.• f dérivable en x0.◮ Si f ′(x0) 6= 0, la fonction réciproque f−1 est dérivable en f (x0) et
(f−1)′(f (x0)) =1
f ′(x0)ou (f−1)′(y) =
1f ′(f−1(y))
.
Exemple
On a vu que f (x) = xn, n ∈ N, est bijective de [0,∞) à [0,∞) et f−1(y) = n√
y . Commef ′(x) = n xn−1, il vient
(f−1)′(f (x0)) =1
n xn−10
ouddy
n√
y =1
n ( n√
y)n−1=
1n
y1n −1.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 29 / 119
DérivéesFormule de Leibniz
Théorème
• f , g : D → R sont n-fois dérivables en un point d’accumulation x ∈ D ∩ D′.
◮dn
dxn(f (x) g(x)) =
nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x)g(n−k)(x).
en posant f (0)(x) = f (x) et g(0)(x) = g(x).
Démonstration.
On procède par récurrence (induction). Par un des théorèmes précédents le résultatest vrai pour n = 1. On le suppose vrai pour n et on cherche à l’établir pour n + 1 :
dn+1
dxn+1(f (x) g(x)) =
ddx
„
dn
dxn(f (x) g(x))
«
=ddx
nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x) g(n−k)(x)
!
=nX
k=0
„
nk
«
f (k+1)(x) g(n−k)(x) +nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x)
=
n+1X
k=1
„
nk − 1
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x) +
nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x)
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 30 / 119
DérivéesFormule de Leibniz
Théorème
• f , g : D → R sont n-fois dérivables en un point d’accumulation x ∈ D ∩ D′.
◮dn
dxn(f (x) g(x)) =
nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x)g(n−k)(x).
en posant f (0)(x) = f (x) et g(0)(x) = g(x).
Démonstration.
On procède par récurrence (induction). Par un des théorèmes précédents le résultatest vrai pour n = 1. On le suppose vrai pour n et on cherche à l’établir pour n + 1 :
dn+1
dxn+1(f (x) g(x)) =
ddx
„
dn
dxn(f (x) g(x))
«
=ddx
nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x) g(n−k)(x)
!
=nX
k=0
„
nk
«
f (k+1)(x) g(n−k)(x) +nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x)
=
n+1X
k=1
„
nk − 1
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x) +
nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x)
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 30 / 119
DérivéesFormule de Leibniz
Théorème
• f , g : D → R sont n-fois dérivables en un point d’accumulation x ∈ D ∩ D′.
◮dn
dxn(f (x) g(x)) =
nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x)g(n−k)(x).
en posant f (0)(x) = f (x) et g(0)(x) = g(x).
Démonstration.
On procède par récurrence (induction). Par un des théorèmes précédents le résultatest vrai pour n = 1. On le suppose vrai pour n et on cherche à l’établir pour n + 1 :
dn+1
dxn+1(f (x) g(x)) =
ddx
„
dn
dxn(f (x) g(x))
«
=ddx
nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x) g(n−k)(x)
!
=nX
k=0
„
nk
«
f (k+1)(x) g(n−k)(x) +nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x)
=
n+1X
k=1
„
nk − 1
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x) +
nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x)
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 30 / 119
DérivéesFormule de Leibniz
Théorème
• f , g : D → R sont n-fois dérivables en un point d’accumulation x ∈ D ∩ D′.
◮dn
dxn(f (x) g(x)) =
nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x)g(n−k)(x).
en posant f (0)(x) = f (x) et g(0)(x) = g(x).
Démonstration.
On procède par récurrence (induction). Par un des théorèmes précédents le résultatest vrai pour n = 1. On le suppose vrai pour n et on cherche à l’établir pour n + 1 :
dn+1
dxn+1(f (x) g(x)) =
ddx
„
dn
dxn(f (x) g(x))
«
=ddx
nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x) g(n−k)(x)
!
=nX
k=0
„
nk
«
f (k+1)(x) g(n−k)(x) +nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x)
=
n+1X
k=1
„
nk − 1
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x) +
nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x)
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 30 / 119
DérivéesFormule de Leibniz
Théorème
• f , g : D → R sont n-fois dérivables en un point d’accumulation x ∈ D ∩ D′.
◮dn
dxn(f (x) g(x)) =
nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x)g(n−k)(x).
en posant f (0)(x) = f (x) et g(0)(x) = g(x).
Démonstration.
On procède par récurrence (induction). Par un des théorèmes précédents le résultatest vrai pour n = 1. On le suppose vrai pour n et on cherche à l’établir pour n + 1 :
dn+1
dxn+1(f (x) g(x)) =
ddx
„
dn
dxn(f (x) g(x))
«
=ddx
nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x) g(n−k)(x)
!
=nX
k=0
„
nk
«
f (k+1)(x) g(n−k)(x) +nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x)
=
n+1X
k=1
„
nk − 1
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x) +
nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x)
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 30 / 119
DérivéesFormule de Leibniz
Démonstration.
dn+1
dxn+1(f (x) g(x))
=
n+1X
k=1
„
nk − 1
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x) +
nX
k=0
„
nk
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x)
=
nX
k=1
»„
nk − 1
«
+
„
nk
«–
f (k)(x) g(n+1−k)(x)
+
„
nn
«
f (n+1)(x) g(0)(x) +
„
n0
«
f (0)(x) g(n+1)(x)
=
nX
k=1
»„
nk − 1
«
+
„
nk
«–
f (k)(x) g(n+1−k)(x)
+
„
n + 1n + 1
«
f (n+1)(x) g(0)(x) +
„
n + 10
«
f (0)(x) g(n+1)(x)
=n+1X
k=0
„
n + 1k
«
f (k)(x) g(n+1−k)(x).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 31 / 119
DérivéesFormule de Leibniz
Exemple
Soit la fonction f (x) = x ex . On sait que
dk
dxkx =
(
1, k = 1
0. k > 1
)
dk
dxkex = ex .
dn
dxnx ex =
1X
k=0
„
nk
«
dk xdxk
ex = x ex|{z}
k=0
+ n 1 ex| {z }
k=1
.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 32 / 119
Plan
1 Fonctions différentiables ou dérivables
2 Opérations sur les fonctions dérivables
3 Extrema d’une fonction - la règle de Fermat
4 Théorèmes de Rolle et de la moyenne, formule de Cauchy
5 Règle de l’Hôpital
6 Formule de Taylor
7 Extrema d’une fonction
8 Méthode de Newton
9 Références
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 33 / 119
DérivéesExtrema d’une fonction et règle de Fermat
Définition
• f : Df → R et x0 ∈ Df .
(i) f possède un minimum local en x0 s’il existe un voisinage V (x0, δ) de x0 tel que
∀x ∈ V (x0, δ) ∩ Df , f (x) ≥ f (x0).
(ii) f possède un maximum local en x0 s’il existe un voisinage V (x0, δ) de x0 tel que
∀x ∈ V (x0, δ) ∩ Df , f (x) ≤ f (x0).
(iii) On appelle extremum local de f en x0 un minimum local ou un maximum local de fen x0 .
Théorème (Règle de Fermat)
• f : [a, b] → R ;• x0 ∈ (a, b) un extremum local de f en x0 ;• f dérivable en x0.Alors f ′(x0) = 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 34 / 119
DérivéesPierre de Fermat (1601-1665)
F IGURE: Pierre de Fermat, conseiller au parlement de Toulouse, (1601-1665)
La première idée du calcul différentiel et la règle pour le calcul des extrema 8
remontent à Pierre de Fermat dont les découvertes en théorie des nombres ont éclipséses contributions aux autres domaines des mathématiques.
On doit le concept de dérivée à Leibniz (1684 9) et à Newton (1691). La conditionobtenue par Fermat pour l’extremum d’une fonction algébrique est généralisée parLeibniz sous la forme f ′(x) = 0. Pendant trois siècles, la règle de Fermat seraappliquée, justifiée, adaptée, et généralisée dans le contexte de la théorie del’optimisation, du calcul des variations, et de la théorie du contrôle optimal. Il fautsignaler les travaux intensifs de Euler (XVIIIè), Lagrange et Jacobi (XIXè), et dePoincaré et Hilbert (début du XXè).
8. Methodus ad disquirendam Maximam et Minimam, 1637.9. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates
moratur, et singulare pro illis calculi genus (Une nouvelle méthode pour les maxima et minima ainsi que lestangentes, qui ne sont limités à des expressions ni fractionnaires ni irrationnelles, et un type remarquable de decalcul pour celles-ci), dans Acta Eruditorum, 1684, un journal fondé à Leipzig deux ans plus tôt.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 35 / 119
DérivéesExtrema d’une fonction et règle de Fermat
minimum local : f ′(x0) = 0
maximum local : f ′(x0) = 0
maximum global : f ′(b−) ≤ 0sup f ([a, b])
minimum global : f ′(a+) ≥ 0inf f ([a, b])
a b
Exemple d’extrema locaux et globaux
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 36 / 119
DérivéesExtrema d’une fonction et règle de Fermat
Théorème (Règle de Fermat)
• f : [a, b] → R ;• x0 ∈ (a, b) un extremum local de f en x0 ;• f dérivable en x0.Alors f ′(x0) = 0.
Il suffit de démontrer le résultat pour un minimum car un maximum de f est unminimum de −f .
Démonstration.
Par définition d’un minimum local, il existe V (x0, δ), 0 < δ ≤ min{x0 − a, b − x0} tel que
∀x ∈ V (x0, δ) = V (x0, δ) ∩ [a, b], f (x) ≥ f (x0).
En particulier,
∀x , x0 − δ < x < x0, f (x) ≥ f (x0) ⇒ f (x) − f (x0)
x − x0≤ 0 ⇒ f ′(x0) ≤ 0,
∀x , x0 < x < x0 + δ, f (x) ≥ f (x0) ⇒ f (x) − f (x0)
x − x0≥ 0 ⇒ f ′(x0) ≥ 0,
puisque f ′(x0) existe. D’où f ′(x0) = 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 37 / 119
Plan
1 Fonctions différentiables ou dérivables
2 Opérations sur les fonctions dérivables
3 Extrema d’une fonction - la règle de Fermat
4 Théorèmes de Rolle et de la moyenne, formule de Cauchy
5 Règle de l’Hôpital
6 Formule de Taylor
7 Extrema d’une fonction
8 Méthode de Newton
9 Références
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 38 / 119
DérivéesMichel Rolle (1652-1719)
F IGURE: Michel Rolle né à Ambert le 21 avril 1652 et mort à Paris le 8 novembre 1719
Michel Rolle est un mathématicien français principalement connu pour avoir établi etpublié en 1691, dans le cas particulier des polynômes réels à une variable, unepremière version du théorème qui porte maintenant son nom. En 1689, il écrit unarticle en algèbre, qui contient le théorème sur la position des zéros d’une équation.En 1675, il se relocalise à Paris où il travaille en tant que spécialiste de l’arithmétique.Rolle œuvra surtout dans l’analyse, l’algèbre, et la géométrie Diophantine. En 1685, ilest élu à l’Académie Royale des Sciences.
Rolle gagna aussi quelque notoriété en résolvant un problème posé par JacquesOzanam en 1682. Impressionné par la réalisation de Rolle, Jean-Baptiste Colbert,contrôleur général des finances sous le roi Louis XIV de France, lui fit verser unepension pour le recompenser de son travail consciencieux.
Il adopta aussi, pour désigner la racine n-ième d’un réel x , la notation normalisée :n√
x .M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 39 / 119
DérivéesMichel Rolle (1652-1719)
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 40 / 119
DérivéesThéorème de Rolle (1652-1719)
Théorème (de Rolle)
• f : [a, b] → R continue et f (a) = f (b)• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.
◮ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.
Démonstration.
Si f est constante sur [a, b], f ′(x) = 0 pour tout x ∈ (a, b). Si f n’est pas constante,alors l’image de [a, b] par la fonction continue f est
f ([a, b]) = [m, M], m déf= inf f ([a, b]) et M déf
= sup f ([a, b])
avec m < M. Dans ce cas, ou bien m < f (a) ou f (a) < M.Supposons f (a) < M. D’après le Théorème 4.28 du Chapitre 4 (puisque f (a) = f (b)),
∃c ∈ (a, b) tel que f (c) = sup f ([a, b]) = M (appliquer la règle de Fermat)
∀c < x < b,f (x) − f (c)
x − c≤ 0 ⇒ f ′(c) ≤ 0
∀a < x < c,f (x) − f (c)
x − c≥ 0 ⇒ f ′(c) ≥ 0.
9
>
>
=
>
>
;
⇒ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 41 / 119
DérivéesThéorème de Rolle (1652-1719)
Théorème (de Rolle)
• f : [a, b] → R continue et f (a) = f (b)• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.
◮ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.
Démonstration.
Si f est constante sur [a, b], f ′(x) = 0 pour tout x ∈ (a, b). Si f n’est pas constante,alors l’image de [a, b] par la fonction continue f est
f ([a, b]) = [m, M], m déf= inf f ([a, b]) et M déf
= sup f ([a, b])
avec m < M. Dans ce cas, ou bien m < f (a) ou f (a) < M.Supposons f (a) < M. D’après le Théorème 4.28 du Chapitre 4 (puisque f (a) = f (b)),
∃c ∈ (a, b) tel que f (c) = sup f ([a, b]) = M (appliquer la règle de Fermat)
∀c < x < b,f (x) − f (c)
x − c≤ 0 ⇒ f ′(c) ≤ 0
∀a < x < c,f (x) − f (c)
x − c≥ 0 ⇒ f ′(c) ≥ 0.
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>
=
>
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;
⇒ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 41 / 119
DérivéesThéorème de Rolle (1652-1719)
Théorème (de Rolle)
• f : [a, b] → R continue et f (a) = f (b)• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.
◮ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.
Démonstration.
Si f est constante sur [a, b], f ′(x) = 0 pour tout x ∈ (a, b). Si f n’est pas constante,alors l’image de [a, b] par la fonction continue f est
f ([a, b]) = [m, M], m déf= inf f ([a, b]) et M déf
= sup f ([a, b])
avec m < M. Dans ce cas, ou bien m < f (a) ou f (a) < M.Supposons f (a) < M. D’après le Théorème 4.28 du Chapitre 4 (puisque f (a) = f (b)),
∃c ∈ (a, b) tel que f (c) = sup f ([a, b]) = M (appliquer la règle de Fermat)
∀c < x < b,f (x) − f (c)
x − c≤ 0 ⇒ f ′(c) ≤ 0
∀a < x < c,f (x) − f (c)
x − c≥ 0 ⇒ f ′(c) ≥ 0.
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=
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;
⇒ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 41 / 119
DérivéesThéorème de Rolle (1652-1719)
Théorème (de Rolle)
• f : [a, b] → R continue et f (a) = f (b)• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.
◮ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.
Démonstration.
Si f est constante sur [a, b], f ′(x) = 0 pour tout x ∈ (a, b). Si f n’est pas constante,alors l’image de [a, b] par la fonction continue f est
f ([a, b]) = [m, M], m déf= inf f ([a, b]) et M déf
= sup f ([a, b])
avec m < M. Dans ce cas, ou bien m < f (a) ou f (a) < M.Supposons f (a) < M. D’après le Théorème 4.28 du Chapitre 4 (puisque f (a) = f (b)),
∃c ∈ (a, b) tel que f (c) = sup f ([a, b]) = M (appliquer la règle de Fermat)
∀c < x < b,f (x) − f (c)
x − c≤ 0 ⇒ f ′(c) ≤ 0
∀a < x < c,f (x) − f (c)
x − c≥ 0 ⇒ f ′(c) ≥ 0.
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=
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;
⇒ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 41 / 119
DérivéesThéorème de Rolle (1652-1719)
Théorème (de Rolle)
• f : [a, b] → R continue et f (a) = f (b)• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.
◮ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.
Démonstration.
Si f est constante sur [a, b], f ′(x) = 0 pour tout x ∈ (a, b). Si f n’est pas constante,alors l’image de [a, b] par la fonction continue f est
f ([a, b]) = [m, M], m déf= inf f ([a, b]) et M déf
= sup f ([a, b])
avec m < M. Dans ce cas, ou bien m < f (a) ou f (a) < M.Supposons f (a) < M. D’après le Théorème 4.28 du Chapitre 4 (puisque f (a) = f (b)),
∃c ∈ (a, b) tel que f (c) = sup f ([a, b]) = M (appliquer la règle de Fermat)
∀c < x < b,f (x) − f (c)
x − c≤ 0 ⇒ f ′(c) ≤ 0
∀a < x < c,f (x) − f (c)
x − c≥ 0 ⇒ f ′(c) ≥ 0.
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=
>
>
;
⇒ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 41 / 119
DérivéesThéorème de Rolle (1652-1719)
Exemple
Soit la fonction f (x)déf= 2x4 − 3x2 + k . Montrer ∄k ∈ R pour lequel ∃ z1 et z2,
0 < z1 < z2 <√
3/2, tel que f (z1) = 0 = f (z2).Supposons le contraire, alors il existe x ∈ (0,
√3/2) tel que f ′(x) = 0, mais ceci est
impossible car
f ′(x) = 8x3 − 6x = 2x (4x2 − 3)) = 0 ⇒ x = 0 ou x = ±√
3/2
et f ′(x) n’a pas de racines dans (0,√
3/2).
-1.25 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
F IGURE: f (x) = 2x4 − 3x2 + 0.5M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 42 / 119
DérivéesThéorème de Rolle (1652-1719)
Exemple
Il existe une et une seule racine dans l’intervalle (1, 2) à l’équation
f (x)déf= x5 + 3x4 − 3x − 7 = 0.
Il y a existence dans (1, 2) par le théorème des valeurs intermédiaires, car f estcontinue, f (1) = −6 et f (2) = 67. S’il n’y avait pas unicité, on aurait f ′(x) = 0 pour unpoint x ∈ (1, 2), mais ceci est impossible carf ′(x) = 5x4 + 12x3 − 3 ≥ 5 + 12 − 3 = 14 > 0 pour x ≥ 1.
-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
-25
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
25
1 2
F IGURE: f (x) = x5 + 3x4 − 3x − 7M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 43 / 119
DérivéesThéorème de Rolle (1652-1719)
Corollaire (localisation des zéros d’une fonction dérivable)
• f : [a, b] → R continue et f (a) = f (b)• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe• ∃a < x1 < x2 < b consécutifs tels que f ′(x1) = 0 = f ′(x2).
=⇒ ∃ au plus un c ∈ (x1, x2) tel que f (c) = 0.
f (x)
x1 x2
f (x)
x1 x2
F IGURE: au plus un zéro entre (x1, x2), f ′(x1) = 0 = f ′(x2)
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 44 / 119
DérivéesThéorème de Rolle (1652-1719)
Théorème (de Rolle)
• f : [a, b] → R continue et f (a) = f (b)• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.
◮ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.
Corollaire (localisation des zéros d’une fonction dérivable)
• f : [a, b] → R continue et f (a) = f (b)• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe• ∃a < x1 < x2 < b consécutifs tels que f ′(x1) = 0 = f ′(x2).
=⇒ ∃ au plus un c ∈ (x1, x2) tel que f (c) = 0.
Démonstration.
Soient x1 < z1 < z2 < x2 tels que f (z1) = 0 = f (z2). Par le théorème, il existex1 < z1 < x < z2 < x2 tel que f ′(x) = 0 ce qui contredit notre hypothèse que x1 et x2
sont des zéros consécutiifs de f ′.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 45 / 119
DérivéesFormule de Cauchy (1789-1857) et Théorème de la moyenne
Théorème
• f , g : [a, b] → R continues• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) et g′(x) existent.
◮ ∃ c ∈ (a, b) tel que [f (b) − f (a)] g′(c) = f ′(c) [g(b) − g(a)].
Corollaire (Formule de Cauchy)
• f , g : [a, b] → R continues,• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) et g′(x) existent et ∀x ∈ (a, b), g′(x) 6= 0.
◮ ∃ c ∈ (a, b) tel quef (b) − f (a)
g(b) − g(a)=
f ′(c)
g′(c).
Corollaire (Théorème de la moyenne)
• f : [a, b] → R continue• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.
◮ ∃ c ∈ (a, b) tel quef (b) − f (a)
b − a= f ′(c) ou f (b) − f (a) = f ′(c) (b − a).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 46 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Remarque
Le second corollaire est connu sous le nom de théorème de la moyenne lorsqu’il estprésenté sous la forme
◮ ∃ c ∈ (a, b) tel quef (b) − f (a)
b − a= f ′(c).
Il est connu sous le nom de théorème des accroissement finis sous la seconde forme
◮ ∃ c ∈ (a, b) tel que f (b) − f (a) = f ′(c) (b − a).
En effet si l’on accroît a par h, on a l’accroissement correspondant de f :
∃ θ ∈ (0, 1) tel que f (a + h) − f (a) = f ′(a + θ h) h.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 47 / 119
DérivéesThéorème des accroissements finis
Corollaire (Théorème des accroissements finis)
• f : [a, b] → R continue
• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.
Alors, pour tout x0 ∈ (a, b) et tout x ∈ [a, b], x 6= x0,
∃ θ ∈ (0, 1) tel que f (x) − f (x0) = f ′(x0 + θ(x − x0)) (x − x0)
∃ θ ∈ (0, 1) tel quef (x) − f (x0)
x − x0= f ′(x0 + θ(x − x0)).
Démonstration.
On applique d’abord le corollaire dans (x , x0) pour x ∈ [a, x0) :
∃c− ∈ (x , x0) tel quef (x) − f (x0)
x − x0=
f (x0) − f (x)
x0 − x= f ′(c−) et θ− =
x0 − c−
x0 − x∈ (0, 1)
De là, c− = x0 + θ−(x − x0). On applique le corollaire dans (x0, x) pour x ∈ (x0, b) :
∃c+ ∈ (x0, x) tel quef (x) − f (x0)
x − x0= f ′(c+) θ+ =
c+ − x0
x − x0∈ (0, 1).
De là, c+ = x0 + θ+(x − x0). Dans les deux cas, nous avons la même forme.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 48 / 119
DérivéesThéorème des accroissements finis
Corollaire (Théorème des accroissements finis)
• f : [a, b] → R continue
• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.
Alors, pour tout x0 ∈ (a, b) et tout x ∈ [a, b], x 6= x0,
∃ θ ∈ (0, 1) tel que f (x) − f (x0) = f ′(x0 + θ(x − x0)) (x − x0)
∃ θ ∈ (0, 1) tel quef (x) − f (x0)
x − x0= f ′(x0 + θ(x − x0)).
Démonstration.
On applique d’abord le corollaire dans (x , x0) pour x ∈ [a, x0) :
∃c− ∈ (x , x0) tel quef (x) − f (x0)
x − x0=
f (x0) − f (x)
x0 − x= f ′(c−) et θ− =
x0 − c−
x0 − x∈ (0, 1)
De là, c− = x0 + θ−(x − x0). On applique le corollaire dans (x0, x) pour x ∈ (x0, b) :
∃c+ ∈ (x0, x) tel quef (x) − f (x0)
x − x0= f ′(c+) θ+ =
c+ − x0
x − x0∈ (0, 1).
De là, c+ = x0 + θ+(x − x0). Dans les deux cas, nous avons la même forme.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 48 / 119
DérivéesThéorème des accroissements finis
Corollaire (Théorème des accroissements finis)
• f : [a, b] → R continue
• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.
Alors, pour tout x0 ∈ (a, b) et tout x ∈ [a, b], x 6= x0,
∃ θ ∈ (0, 1) tel que f (x) − f (x0) = f ′(x0 + θ(x − x0)) (x − x0)
∃ θ ∈ (0, 1) tel quef (x) − f (x0)
x − x0= f ′(x0 + θ(x − x0)).
Démonstration.
On applique d’abord le corollaire dans (x , x0) pour x ∈ [a, x0) :
∃c− ∈ (x , x0) tel quef (x) − f (x0)
x − x0=
f (x0) − f (x)
x0 − x= f ′(c−) et θ− =
x0 − c−
x0 − x∈ (0, 1)
De là, c− = x0 + θ−(x − x0). On applique le corollaire dans (x0, x) pour x ∈ (x0, b) :
∃c+ ∈ (x0, x) tel quef (x) − f (x0)
x − x0= f ′(c+) θ+ =
c+ − x0
x − x0∈ (0, 1).
De là, c+ = x0 + θ+(x − x0). Dans les deux cas, nous avons la même forme.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 48 / 119
DérivéesThéorème des accroissements finis
Corollaire (Théorème des accroissements finis)
• f : [a, b] → R continue
• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.
Alors, pour tout x0 ∈ (a, b) et tout x ∈ [a, b], x 6= x0,
∃ θ ∈ (0, 1) tel que f (x) − f (x0) = f ′(x0 + θ(x − x0)) (x − x0)
∃ θ ∈ (0, 1) tel quef (x) − f (x0)
x − x0= f ′(x0 + θ(x − x0)).
Démonstration.
On applique d’abord le corollaire dans (x , x0) pour x ∈ [a, x0) :
∃c− ∈ (x , x0) tel quef (x) − f (x0)
x − x0=
f (x0) − f (x)
x0 − x= f ′(c−) et θ− =
x0 − c−
x0 − x∈ (0, 1)
De là, c− = x0 + θ−(x − x0). On applique le corollaire dans (x0, x) pour x ∈ (x0, b) :
∃c+ ∈ (x0, x) tel quef (x) − f (x0)
x − x0= f ′(c+) θ+ =
c+ − x0
x − x0∈ (0, 1).
De là, c+ = x0 + θ+(x − x0). Dans les deux cas, nous avons la même forme.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 48 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Exemple
(démonstration détaillée) On peut maintenant démontrer que | sin x | ≤ |x |. Par lethéorème de la moyenne,
(i) Si x > 0,
∃c+, 0 < c+ < x ,sin x − sin 0
x − 0= cos c+ et θ+ déf
=c+
x∈ (0, 1)
⇒ ∃ θ+ ∈ (0, 1) tel quesin x − sin 0
x − 0= cos θ+x ;
(ii) si x < 0,
∃c−, x < c− < 0,sin x − sin 0
x − 0= cos c− et θ− déf
=c−
x∈ (0, 1)
⇒ ∃ θ− ∈ (0, 1) tel quesin x − sin 0
x − 0= cos θ−x .
Les deux cas se résument donc en un seul, il existe θ, 0 < θ < 1, tel que
sin x − sin 0x − 0
= cos θx ⇒ | sin x | = | sin x − sin 0| ≤ |x − 0| | cos θx |≤ |x |.M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 49 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Exemple
(démonstration détaillée) On peut maintenant démontrer que | sin x | ≤ |x |. Par lethéorème de la moyenne,
(i) Si x > 0,
∃c+, 0 < c+ < x ,sin x − sin 0
x − 0= cos c+ et θ+ déf
=c+
x∈ (0, 1)
⇒ ∃ θ+ ∈ (0, 1) tel quesin x − sin 0
x − 0= cos θ+x ;
(ii) si x < 0,
∃c−, x < c− < 0,sin x − sin 0
x − 0= cos c− et θ− déf
=c−
x∈ (0, 1)
⇒ ∃ θ− ∈ (0, 1) tel quesin x − sin 0
x − 0= cos θ−x .
Les deux cas se résument donc en un seul, il existe θ, 0 < θ < 1, tel que
sin x − sin 0x − 0
= cos θx ⇒ | sin x | = | sin x − sin 0| ≤ |x − 0| | cos θx |≤ |x |.M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 49 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Exemple
(démonstration détaillée) On peut maintenant démontrer que | sin x | ≤ |x |. Par lethéorème de la moyenne,
(i) Si x > 0,
∃c+, 0 < c+ < x ,sin x − sin 0
x − 0= cos c+ et θ+ déf
=c+
x∈ (0, 1)
⇒ ∃ θ+ ∈ (0, 1) tel quesin x − sin 0
x − 0= cos θ+x ;
(ii) si x < 0,
∃c−, x < c− < 0,sin x − sin 0
x − 0= cos c− et θ− déf
=c−
x∈ (0, 1)
⇒ ∃ θ− ∈ (0, 1) tel quesin x − sin 0
x − 0= cos θ−x .
Les deux cas se résument donc en un seul, il existe θ, 0 < θ < 1, tel que
sin x − sin 0x − 0
= cos θx ⇒ | sin x | = | sin x − sin 0| ≤ |x − 0| | cos θx |≤ |x |.M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 49 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Exemple
Calcul de√
24 à partir de√
25 = 5. Soit f (x) =√
x et sa dérivée f ′(x) = 1/(2√
x). Duthéorème de la moyenne, il existe c ∈ (24, 25) tel que
f (24) − f (25) =f (24) − f (25)
24 − 25(24 − 25) = f ′(c) (24 − 25)
√24 − 5 =
√24 −
√25
24 − 25= − 1
2√
c⇒
√24 = 5 − 1
2√
c, 24 < c < 25
16 < 24 < c < 25, − 116
< −1c
< − 125
⇒ − 1
2√
16< − 1
2√
c< − 1
2√
25
⇒ 5 − 18
= 5 − 1
2√
16<
√24 < 5 − 1
2√
25= 5 − 1
10
⇒ 4.87 <√
24 < 4.90
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 50 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Corollaire (Théorème de la moyenne ou des accroissements finis)
• f : [a, b] → R continue et ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.
◮ ∃ c ∈ (a, b) tel que f (b) − f (a) = f ′(c) (b − a).
Théorème
• f : [a, b] → R continue et dérivable dans (a, b).
(i) f ′(x) = 0 dans (a, b) =⇒ f constante dans [a, b].
(ii) f ′(x) ≥ 0 dans (a, b) =⇒ f croissante dans [a, b].
(ii’) f ′(x) > 0 dans (a, b) =⇒ f strictement croissante dans [a, b].
(iii) f ′(x) ≤ 0 dans (a, b) =⇒ f décroissante dans [a, b].
(iii’) f ′(x) < 0 dans (a, b) =⇒ f strictement décroissante dans [a, b].
Démonstration.
(i) a < x ≤ b ⇒ ∃c ∈ (a, x) tel que f (x) − f (a) = f ′(c) (x − a) = 0 et f (x) = f (a)dans [a, b].
(ii) a ≤ x < y ≤ b ⇒ ∃c ∈ (x , y) tel que f (y) − f (x) = f ′(c) (y − x)≥ 0.
(ii’) a ≤ x < y ≤ b ⇒ ∃c ∈ (x , y) tel que f (y) − f (x) = f ′(c) (y − x)> 0.M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 51 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Corollaire (Théorème de la moyenne ou des accroissements finis)
• f : [a, b] → R continue et ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.
◮ ∃ c ∈ (a, b) tel que f (b) − f (a) = f ′(c) (b − a).
Théorème
• f : [a, b] → R continue et dérivable dans (a, b).
(i) f ′(x) = 0 dans (a, b) =⇒ f constante dans [a, b].
(ii) f ′(x) ≥ 0 dans (a, b) =⇒ f croissante dans [a, b].
(ii’) f ′(x) > 0 dans (a, b) =⇒ f strictement croissante dans [a, b].
(iii) f ′(x) ≤ 0 dans (a, b) =⇒ f décroissante dans [a, b].
(iii’) f ′(x) < 0 dans (a, b) =⇒ f strictement décroissante dans [a, b].
Démonstration.
(i) a < x ≤ b ⇒ ∃c ∈ (a, x) tel que f (x) − f (a) = f ′(c) (x − a) = 0 et f (x) = f (a)dans [a, b].
(ii) a ≤ x < y ≤ b ⇒ ∃c ∈ (x , y) tel que f (y) − f (x) = f ′(c) (y − x)≥ 0.
(ii’) a ≤ x < y ≤ b ⇒ ∃c ∈ (x , y) tel que f (y) − f (x) = f ′(c) (y − x)> 0.M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 51 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Théorème
• f : [a, b] → R continue et dérivable dans (a, b).
(i) f ′(x) = 0 dans (a, b) =⇒ f constante dans [a, b].
Remarque
Le théorème est vrai dans un intervalle, mais pas dans un ouvert arbitraire.
◮ Le théorème n’est pas vrai pour la fonction x/|x | pour laquelle f ′(x) = 0 dans(−∞, 0) ∪ (0, +∞) mais qui n’est pas continue en x = 0.
◮ En effet si f ′(x) = 0 dans
n[
i=0
(a2i , a2i+1), a0 < a1 < · · · < a2n < a2n+1,
alors f (x) = ci dans [a2i , a2i+1] avec des constantes possiblement différentes pourchaque i.
Attention, dans cet exemple il y a un espace entre chaque intervalle pour assurer lacontinuité sur ∪n
i=0[a2i , a2i+1].
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 52 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Théorème
• f : [a, b] → R continue et dérivable dans (a, b).
(i) f ′(x) = 0 dans (a, b) =⇒ f constante dans [a, b].
Remarque
Le théorème est vrai dans un intervalle, mais pas dans un ouvert arbitraire.
◮ Le théorème n’est pas vrai pour la fonction x/|x | pour laquelle f ′(x) = 0 dans(−∞, 0) ∪ (0, +∞) mais qui n’est pas continue en x = 0.
◮ En effet si f ′(x) = 0 dans
n[
i=0
(a2i , a2i+1), a0 < a1 < · · · < a2n < a2n+1,
alors f (x) = ci dans [a2i , a2i+1] avec des constantes possiblement différentes pourchaque i.
Attention, dans cet exemple il y a un espace entre chaque intervalle pour assurer lacontinuité sur ∪n
i=0[a2i , a2i+1].
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 52 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Théorème
• f : [a, b] → R continue et dérivable dans (a, b).
(i) f ′(x) = 0 dans (a, b) =⇒ f constante dans [a, b].
Remarque
Le théorème est vrai dans un intervalle, mais pas dans un ouvert arbitraire.
◮ Le théorème n’est pas vrai pour la fonction x/|x | pour laquelle f ′(x) = 0 dans(−∞, 0) ∪ (0, +∞) mais qui n’est pas continue en x = 0.
◮ En effet si f ′(x) = 0 dans
n[
i=0
(a2i , a2i+1), a0 < a1 < · · · < a2n < a2n+1,
alors f (x) = ci dans [a2i , a2i+1] avec des constantes possiblement différentes pourchaque i.
Attention, dans cet exemple il y a un espace entre chaque intervalle pour assurer lacontinuité sur ∪n
i=0[a2i , a2i+1].
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 52 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Exemple
Trouver les fonctions dérivables f : (0, +∞) → R tel que
∀x , y ∈ (0,+∞), f (xy) = f (x) + f (y).
Pour y = 1 on a f (x) = f (x) + f (1) et donc f (1) = 0. On peut dériver cette identité parrapport à y :
∀y ∈ (0,+∞), ∀x ∈ (0, +∞), x f ′(xy) = f ′(y)
⇒ f ′(x) =f ′(1)
x⇒
˛
˛
˛
˛
˛
˛
ddx
ˆ
f (x) − f ′(1) log x˜
= 0 dans (0,+∞)
f (1) − f ′(1) log 1 = 0.
◮ Pour tout a > 1, f (x) − f ′(1) log x est continue sur [1, a] et dérivable dans (1, a).Donc on peut appliquer le théorème précédent
∀a > 1, ∀x ∈ [1, a], f (x) − f ′(1) log x = f (1) − f ′(1) log 1 = 0
⇒ ∀x ∈ [1, +∞) =[
a>1
[1, a], f (x) = f ′(1) log x .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 53 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Exemple
Trouver les fonctions dérivables f : (0, +∞) → R tel que
∀x , y ∈ (0,+∞), f (xy) = f (x) + f (y).
Pour y = 1 on a f (x) = f (x) + f (1) et donc f (1) = 0. On peut dériver cette identité parrapport à y :
∀y ∈ (0,+∞), ∀x ∈ (0, +∞), x f ′(xy) = f ′(y)
⇒ f ′(x) =f ′(1)
x⇒
˛
˛
˛
˛
˛
˛
ddx
ˆ
f (x) − f ′(1) log x˜
= 0 dans (0,+∞)
f (1) − f ′(1) log 1 = 0.
◮ Pour tout a > 1, f (x) − f ′(1) log x est continue sur [1, a] et dérivable dans (1, a).Donc on peut appliquer le théorème précédent
∀a > 1, ∀x ∈ [1, a], f (x) − f ′(1) log x = f (1) − f ′(1) log 1 = 0
⇒ ∀x ∈ [1, +∞) =[
a>1
[1, a], f (x) = f ′(1) log x .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 53 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Exemple
Trouver les fonctions dérivables f : (0, +∞) → R tel que
∀x , y ∈ (0,+∞), f (xy) = f (x) + f (y).
Pour y = 1 on a f (x) = f (x) + f (1) et donc f (1) = 0. On peut dériver cette identité parrapport à y :
∀y ∈ (0,+∞), ∀x ∈ (0, +∞), x f ′(xy) = f ′(y)
⇒ f ′(x) =f ′(1)
x⇒
˛
˛
˛
˛
˛
˛
ddx
ˆ
f (x) − f ′(1) log x˜
= 0 dans (0,+∞)
f (1) − f ′(1) log 1 = 0.
◮ Pour tout a > 1, f (x) − f ′(1) log x est continue sur [1, a] et dérivable dans (1, a).Donc on peut appliquer le théorème précédent
∀a > 1, ∀x ∈ [1, a], f (x) − f ′(1) log x = f (1) − f ′(1) log 1 = 0
⇒ ∀x ∈ [1, +∞) =[
a>1
[1, a], f (x) = f ′(1) log x .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 53 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Exemple
Trouver les fonctions dérivables f : (0, +∞) → R tel que
∀x , y ∈ (0,+∞), f (xy) = f (x) + f (y).
Pour y = 1 on a f (x) = f (x) + f (1) et donc f (1) = 0. On peut dériver cette identité parrapport à y :
∀y ∈ (0,+∞), ∀x ∈ (0, +∞), x f ′(xy) = f ′(y)
⇒ f ′(x) =f ′(1)
x⇒
˛
˛
˛
˛
˛
˛
ddx
ˆ
f (x) − f ′(1) log x˜
= 0 dans (0,+∞)
f (1) − f ′(1) log 1 = 0.
◮ Pour tout a > 1, f (x) − f ′(1) log x est continue sur [1, a] et dérivable dans (1, a).Donc on peut appliquer le théorème précédent
∀a > 1, ∀x ∈ [1, a], f (x) − f ′(1) log x = f (1) − f ′(1) log 1 = 0
⇒ ∀x ∈ [1, +∞) =[
a>1
[1, a], f (x) = f ′(1) log x .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 53 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Exemple (suite)
Trouver les fonctions dérivables f : (0, +∞) → R tel que
∀x , y ∈ (0,+∞), f (xy) = f (x) + f (y).
On a f (1) = 0 et
ddx
ˆ
f (x) − f ′(1) log x˜
= 0 dans (0, +∞).
◮ Pour tout a > 1,
∀x ∈ [1, +∞), f (x) = f ′(1) log x .
◮ Pour tout 0 < a < 1, f (x) − f ′(1) log x est continue sur [a, 1] et dérivable dans (a, 1).Donc
∀0 < a < 1, ∀x ∈ [a, 1], f (x) − f ′(1) log x = f (1) − f ′(1) log 1 = 0
⇒ ∀x ∈ (0, 1] =[
0<a<1
[a, 1], f (x) = f ′(1) log x .
On a donc la famille de fonctions f (x) = c log x pour toute constante c ∈ R (et doncc = f ′(1)).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 54 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Exemple (suite)
Trouver les fonctions dérivables f : (0, +∞) → R tel que
∀x , y ∈ (0,+∞), f (xy) = f (x) + f (y).
On a f (1) = 0 et
ddx
ˆ
f (x) − f ′(1) log x˜
= 0 dans (0, +∞).
◮ Pour tout a > 1,
∀x ∈ [1, +∞), f (x) = f ′(1) log x .
◮ Pour tout 0 < a < 1, f (x) − f ′(1) log x est continue sur [a, 1] et dérivable dans (a, 1).Donc
∀0 < a < 1, ∀x ∈ [a, 1], f (x) − f ′(1) log x = f (1) − f ′(1) log 1 = 0
⇒ ∀x ∈ (0, 1] =[
0<a<1
[a, 1], f (x) = f ′(1) log x .
On a donc la famille de fonctions f (x) = c log x pour toute constante c ∈ R (et doncc = f ′(1)).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 54 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Exemple (suite)
Trouver les fonctions dérivables f : (0, +∞) → R tel que
∀x , y ∈ (0,+∞), f (xy) = f (x) + f (y).
On a f (1) = 0 et
ddx
ˆ
f (x) − f ′(1) log x˜
= 0 dans (0, +∞).
◮ Pour tout a > 1,
∀x ∈ [1, +∞), f (x) = f ′(1) log x .
◮ Pour tout 0 < a < 1, f (x) − f ′(1) log x est continue sur [a, 1] et dérivable dans (a, 1).Donc
∀0 < a < 1, ∀x ∈ [a, 1], f (x) − f ′(1) log x = f (1) − f ′(1) log 1 = 0
⇒ ∀x ∈ (0, 1] =[
0<a<1
[a, 1], f (x) = f ′(1) log x .
On a donc la famille de fonctions f (x) = c log x pour toute constante c ∈ R (et doncc = f ′(1)).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 54 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Exemple (suite)
Trouver les fonctions dérivables f : (0, +∞) → R tel que
∀x , y ∈ (0,+∞), f (xy) = f (x) + f (y).
On a f (1) = 0 et
ddx
ˆ
f (x) − f ′(1) log x˜
= 0 dans (0, +∞).
◮ Pour tout a > 1,
∀x ∈ [1, +∞), f (x) = f ′(1) log x .
◮ Pour tout 0 < a < 1, f (x) − f ′(1) log x est continue sur [a, 1] et dérivable dans (a, 1).Donc
∀0 < a < 1, ∀x ∈ [a, 1], f (x) − f ′(1) log x = f (1) − f ′(1) log 1 = 0
⇒ ∀x ∈ (0, 1] =[
0<a<1
[a, 1], f (x) = f ′(1) log x .
On a donc la famille de fonctions f (x) = c log x pour toute constante c ∈ R (et doncc = f ′(1)).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 54 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Théorème
• f : [a, b] → R continue et dérivable dans (a, b).
(iii) f ′(x) ≤ 0 dans (a, b) =⇒ f décroissante dans [a, b].
Exemple
On veut démontrer la double inégalité
∀x ≥ 0, x − x3
6≤ sin x ≤ x .
On sait déjà que | sin x | ≤ |x | ⇒ sin x ≤ x pour x ≥ 0. Pour la seconde, soit
f (x)déf= x − x3
6− sin x
⇒ f (0) = 0 et f ′(x) = 1 − x2
2− cos x
⇒ f ′(0) = 0 et f ′′(x) = −x + sin x ≤ 0
⇒ f ′(x) décroissante dans [0,∞) et f ′(x) ≤ f ′(0) = 0
⇒ f (x) décroissante dans [0,∞) et f (x) ≤ f (0) = 0.
D’où la seconde inégalité.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 55 / 119
DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis
Théorème
• f : [a, b] → R continue et dérivable dans (a, b).
(iii) f ′(x) ≤ 0 dans (a, b) =⇒ f décroissante dans [a, b].
Exemple
On veut démontrer la double inégalité
∀x ≥ 0, x − x3
6≤ sin x ≤ x .
On sait déjà que | sin x | ≤ |x | ⇒ sin x ≤ x pour x ≥ 0. Pour la seconde, soit
f (x)déf= x − x3
6− sin x
⇒ f (0) = 0 et f ′(x) = 1 − x2
2− cos x
⇒ f ′(0) = 0 et f ′′(x) = −x + sin x ≤ 0
⇒ f ′(x) décroissante dans [0,∞) et f ′(x) ≤ f ′(0) = 0
⇒ f (x) décroissante dans [0,∞) et f (x) ≤ f (0) = 0.
D’où la seconde inégalité.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 55 / 119
DérivéesFormule de Cauchy (1789-1857) généralisée
Théorème
• f , g : [a, b] → R continues• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) et g′(x) existent.
◮ ∃ c ∈ (a, b) tel que [f (b) − f (a)] g′(c) = f ′(c) [g(b) − g(a)].
Démonstration.
On applique le théorème de Rolle à la fonction
F (x)déf= [f (b) − f (a)] g(x) − f (x) [g(b) − g(a)].
En effet cette fonction est continue dans [a, b] et dérivable dans (a, b). De plus
F (a) = [f (b) − f (a)] g(a) − f (a) [g(b) − g(a)] = f (b) g(a) − f (a) g(b)
F (b) = [f (b) − f (a)] g(b) − f (b) [g(b) − g(a)] = −f (a) g(b) + f (b) g(a).
Comme F (a) = F (b), il existe c ∈ (a, b) tel que F ′(c) = 0 ce qui donne
0 =F ′(c) = [f (b) − f (a)] g′(c) − f ′(c) [g(b) − g(a)].
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 56 / 119
DérivéesFormule de Cauchy (1789-1857) généralisée
Théorème
• f , g : [a, b] → R continues• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) et g′(x) existent.
◮ ∃ c ∈ (a, b) tel que [f (b) − f (a)] g′(c) = f ′(c) [g(b) − g(a)].
Démonstration.
On applique le théorème de Rolle à la fonction
F (x)déf= [f (b) − f (a)] g(x) − f (x) [g(b) − g(a)].
En effet cette fonction est continue dans [a, b] et dérivable dans (a, b). De plus
F (a) = [f (b) − f (a)] g(a) − f (a) [g(b) − g(a)] = f (b) g(a) − f (a) g(b)
F (b) = [f (b) − f (a)] g(b) − f (b) [g(b) − g(a)] = −f (a) g(b) + f (b) g(a).
Comme F (a) = F (b), il existe c ∈ (a, b) tel que F ′(c) = 0 ce qui donne
0 =F ′(c) = [f (b) − f (a)] g′(c) − f ′(c) [g(b) − g(a)].
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 56 / 119
DérivéesFormule de Cauchy (1789-1857) généralisée et Théorème de la moyenne
Théorème
• f , g : [a, b] → R continues• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) et g′(x) existent.
◮ ∃ c ∈ (a, b) tel que [f (b) − f (a)] g′(c) = f ′(c) [g(b) − g(a)].
Corollaire (Théorème de la moyenne ou des accroissements finis)
• f : [a, b] → R continue• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.
◮ ∃ c ∈ (a, b) tel quef (b) − f (a)
b − a= f ′(c) ou f (b) − f (a) = f ′(c) (b − a).
Démonstration.
On fait g(x) = x et g′(x) = 1 dans le théorème.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 57 / 119
DérivéesFormule de Cauchy généralisée, Théorème de la moyenne, et formule de Cauchy (1789-1857)
Corollaire (Théorème de la moyenne ou des accroissements finis)
• f : [a, b] → R continue• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.
◮ ∃ c ∈ (a, b) tel quef (b) − f (a)
b − a= f ′(c) ou f (b) − f (a) = f ′(c) (b − a).
Corollaire (Formule de Cauchy)
• f , g : [a, b] → R continues,• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) et g′(x) existent et ∀x ∈ (a, b), g′(x) 6= 0.
◮ ∃ c ∈ (a, b) tel quef (b) − f (a)
g(b) − g(a)=
f ′(c)
g′(c).
Démonstration.
Par le théorème. Il suffit de vérifier que le dénominateur g(b) − g(a) n’est pas nul. Parle corollaire précédent, il existe c ∈ (a, b) tel que g(b) − g(a) = g′(c) (b − a) 6= 0 parhypothèse.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 58 / 119
DérivéesFormule de Cauchy (1789-1857)
Corollaire (Formule de Cauchy)
• f , g : [a, b] → R continues,• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) et g′(x) existent et ∀x ∈ (a, b), g′(x) 6= 0.
◮ ∃ c ∈ (a, b) tel quef (b) − f (a)
g(b) − g(a)=
f ′(c)
g′(c).
C’est un résultat préliminaire à la règle de l’Hôpital.
Exemple
On veut démontrer que
limx→0
sin xx
= 1.
◮ Par la formule de Cauchy, pour tout x 6= 0,
∃θ ∈ (0, 1) tel quesin x
x=
sin x − sin 0x − 0
= cos(θ x).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 59 / 119
DérivéesFormule de Cauchy (1789-1857)
Exemple (suite)
On veut démontrer que
limx→0
sin xx
= 1.
Par la formule de Cauchy, pour tout x 6= 0,
∃θ ∈ (0, 1) tel quesin x
x=
sin x − sin 0x − 0
= cos(θ (x − 0))
⇒ sin xx
= cos(θ x).
◮ Mais |θ x | ≤ |x | → 0 lorsque x → 0 et donc
limx→0
cos(θ x) = 1
On obtient alors
limx→0
sin xx
= limx→0
cos(θ x) = 1.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 60 / 119
DérivéesFormule de Cauchy (1789-1857)
Exemple (suite)
On veut démontrer que
limx→0
sin xx
= 1.
Par la formule de Cauchy, pour tout x 6= 0,
∃θ ∈ (0, 1) tel quesin x
x=
sin x − sin 0x − 0
= cos(θ (x − 0))
⇒ sin xx
= cos(θ x).
◮ Mais |θ x | ≤ |x | → 0 lorsque x → 0 et donc
limx→0
cos(θ x) = 1
On obtient alors
limx→0
sin xx
= limx→0
cos(θ x) = 1.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 60 / 119
Plan
1 Fonctions différentiables ou dérivables
2 Opérations sur les fonctions dérivables
3 Extrema d’une fonction - la règle de Fermat
4 Théorèmes de Rolle et de la moyenne, formule de Cauchy
5 Règle de l’Hôpital
6 Formule de Taylor
7 Extrema d’une fonction
8 Méthode de Newton
9 Références
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 61 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)
F IGURE: Guillaume François Antoine de l’Hôpital (1661-1704)
Guillaume François Antoine de l’Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comted’Entremont, seigneur d’Oucques, La Chaise, Le Bréau et autres lieux, était unmathématicien français. Il est sûrement le plus connu pour la règle qui porte son nom :la règle de l’Hôpital qui permet de calculer la valeur d’une limite pour une fraction où lenumérateur et le dénominateur tendent tous deux vers zéro.
Il se lia avec Christian Huygens, Leibniz, et les frères Bernoulli. Il invita JeanBernoulli dans sa résidence d’Oucques pour qu’il lui enseigne le calcul différentiel alorsnaissant. Il est aussi l’auteur du premier livre connu sur le calcul infinitésimaldifférentiel : « L’Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes »,qui connut plusieurs éditions au XVIIIe siècle. Il a joué un rôle important en Francedans la vulgarisation de cette technique. Publiés en 1696, ses textes comportent desconférences de son professeur Jean Bernoulli où Bernoulli discute de la formeindéterminée « 0/0 ». On rapporte que L’Hôpital signa avec Bernoulli un contrat qui luidonnait le droit d’utiliser les découvertes de ce dernier comme il le voulait.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 62 / 119
DérivéesGuillaume François Antoine de L’Hôpital (1661-1704)
F IGURE: Guillaume François Antoine de l’Hôpital (1661-1704)
Guillaume de L’Hôpital devint membre de l’Académie des sciences en 1693. Son Traitéanalytique des sections coniques, pensé comme un développement de la « Géométrie» de Descartes, était presque fini, lorsqu’au commencement de 1704 il fut pris d’unefièvre qui ne paraissait d’abord aucunement dangereuse, mais qui détermina uneattaque d’apoplexie dont il mourut le lendemain 2 février.
Ses proches ont attribué sa mort à une pratique excessive des mathématiques.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 63 / 119
DérivéesGuillaume François Antoine de L’Hôpital (1661-1704)
F IGURE: Guillaume François Antoine de l’Hôpital (1661-1704)
Guillaume de L’Hôpital devint membre de l’Académie des sciences en 1693. Son Traitéanalytique des sections coniques, pensé comme un développement de la « Géométrie» de Descartes, était presque fini, lorsqu’au commencement de 1704 il fut pris d’unefièvre qui ne paraissait d’abord aucunement dangereuse, mais qui détermina uneattaque d’apoplexie dont il mourut le lendemain 2 février.
Ses proches ont attribué sa mort à une pratique excessive des mathématiques.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 63 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)
Théorème (cas au centre en a)
Soient les hypothèses suivantes :
(1) −∞ < a < +∞ et f , g : V ′(a, ε) → R pour un ε > 0
(2) f , g dérivables dans V ′(a, ε)
(3) g′(x) 6= 0 dans V ′(a, ε)
(4) L déf= limx→a
f ′(x)g′(x)
∈ [−∞, +∞]
(5) (a1) ou bien limx→a f (x) = 0 et limx→a g(x) = 0(a2) ou bien limx→a g(x) = ±∞.
Alors
limx→a
f (x)
g(x)= L.
On peut itérer sur f ′(x)/g′(x). Par exemple, si
ou bien
(
limx→a
f ′(x) = 0
et limx→a
g′(x) = 0
)
ou bien limx→a
g′(x) = ±∞
⇒ limx→a
f (x)
g(x)= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)= lim
x→a
f ′′(x)
g′′(x).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 64 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)
Théorème (version à droite en a+)
Soient les hypothèses suivantes :
(1) −∞ ≤ a < b ≤ +∞(2) f , g : (a, b) → R dérivables dans (a, b)
(3) g′(x) 6= 0 dans (a, b)
(4) L déf= limx→a+
f ′(x)g′(x)
∈ [−∞, +∞]
(5) (a1) ou bien limx→a+ f (x) = 0 et limx→a+ g(x) = 0(a2) ou bien limx→a+ g(x) = ±∞.
Alors
limx→a+
f (x)
g(x)= L.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 65 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)
Théorème (version à gauche en b−)
Soient les hypothèses suivantes :
(1) −∞ ≤ a < b ≤ +∞(2) f , g : (a, b) → R dérivables dans (a, b)
(3) g′(x) 6= 0 dans (a, b)
(4) L déf= limx→b−
f ′(x)g′(x)
∈ [−∞, +∞]
(5) (b1) ou bien limx→b− f (x) = 0 et limx→b− g(x) = 0(b2) ou bien limx→b− g(x) = ±∞.
Alors
limx→b−
f (x)
g(x)= L.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 66 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)
On démontre le cas à droite.
Théorème (version à droite en a+)
Soient les hypothèses suivantes :
(1) −∞ ≤ a < b ≤ +∞(2) f , g : (a, b) → R dérivables dans (a, b)
(3) g′(x) 6= 0 dans (a, b)
(4) L déf= limx→a+
f ′(x)g′(x)
∈ [−∞, +∞]
(5) (a1) ou bien limx→a+ f (x) = 0 et limx→a+ g(x) = 0(a2) ou bien limx→a+ g(x) = ±∞.
Alors
limx→a+
f (x)
g(x)= L.
Démonstration.
(i) On établit d’abord une identité pour les cas (a) −∞ ≤ L < +∞, et (b)−∞ < L ≤ +∞.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 67 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)
Démonstration.
(a) −∞ ≤ L < +∞. On montre que
∀q ∈ R, L < q, ∃c > a tel que ∀x , a < x < c,f (x)
g(x)< q.
Soit r tel que L < r < q. Alors il existe c ∈ (a, b) tel que
∀x , a < x < c,f ′(x)
g′(x)< r < q, L déf
= limx→a+
f ′(x)
g′(x).
Par la formule de Cauchy, pour a < x < y < c, il existe t ∈ (x , y) tel que
(∗) f (y) − f (x)
g(y) − g(x)=
f ′(t)g′(t)
< r .
Dans le cas (a1), limx→a+ f (x) = 0 et limx→a+ g(x) = 0. Comme, en plus g′(x) 6= 0, ona g(x) 6= 0 dans (a, b] et ∀ y 6= x ⇒ g(y) 6= g(x). De là
∀y , a < y < c,f (y)
g(y)= lim
x→a+
f (y) − f (x)
g(y) − g(x)≤ r < q.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 68 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)
Démonstration.
(a) −∞ ≤ L < +∞. On montre que
∀q ∈ R, L < q, ∃c > a tel que ∀x , a < x < c,f (x)
g(x)< q.
Soit r tel que L < r < q. Alors il existe c ∈ (a, b) tel que
∀x , a < x < c,f ′(x)
g′(x)< r < q, L déf
= limx→a+
f ′(x)
g′(x).
Par la formule de Cauchy, pour a < x < y < c, il existe t ∈ (x , y) tel que
(∗) f (y) − f (x)
g(y) − g(x)=
f ′(t)g′(t)
< r .
Dans le cas (a1), limx→a+ f (x) = 0 et limx→a+ g(x) = 0. Comme, en plus g′(x) 6= 0, ona g(x) 6= 0 dans (a, b] et ∀ y 6= x ⇒ g(y) 6= g(x). De là
∀y , a < y < c,f (y)
g(y)= lim
x→a+
f (y) − f (x)
g(y) − g(x)≤ r < q.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 68 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)
Démonstration.
(a) −∞ ≤ L < +∞. On montre que
∀q ∈ R, L < q, ∃c > a tel que ∀x , a < x < c,f (x)
g(x)< q.
Soit r tel que L < r < q. Alors il existe c ∈ (a, b) tel que
∀x , a < x < c,f ′(x)
g′(x)< r < q, L déf
= limx→a+
f ′(x)
g′(x).
Par la formule de Cauchy, pour a < x < y < c, il existe t ∈ (x , y) tel que
(∗) f (y) − f (x)
g(y) − g(x)=
f ′(t)g′(t)
< r .
Dans le cas (a1), limx→a+ f (x) = 0 et limx→a+ g(x) = 0. Comme, en plus g′(x) 6= 0, ona g(x) 6= 0 dans (a, b] et ∀ y 6= x ⇒ g(y) 6= g(x). De là
∀y , a < y < c,f (y)
g(y)= lim
x→a+
f (y) − f (x)
g(y) − g(x)≤ r < q.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 68 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)
Démonstration.
(suite) (a) −∞ ≤ L < +∞. Soit r tel que L < r < q. On montre que
∀q ∈ R, L < q, ∃c > a tel que ∀x , a < x < c,f (x)
g(x)< q.
◮ Dans le cas (a2), limx→a+ g(x) = ±∞. Alors, il existe c1 ∈ (a, y) tel que pour tout x ,a < x < c1 < y < c,
8
<
:
g(x) > 0 et g(x) > g(y), si limx→a+
g(x) = +∞
g(x) < 0 et g(x) < g(y), si limx→a+
g(x) = −∞.
Dans les deux cas (g(x) − g(y))/g(x) > 0 pour a < x < c1 < y et par (∗)
f (x) − f (y)
g(x)=
g(x) − g(y)
g(x)
f (x) − f (y)
g(x) − g(y)≤ g(x) − g(y)
g(x)r = r − r
g(y)
g(x)
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 69 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)
Démonstration.
(suite) (a) −∞ ≤ L < +∞. Soit r tel que L < r < q. On montre que
∀q ∈ R, L < q, ∃c > a tel que ∀x , a < x < c,f (x)
g(x)< q.
Cas (a2), limx→a+ g(x) = ±∞. On a montré que pour a < x < c1 < y < c
f (x) − f (y)
g(x)≤ r − r
g(y)
g(x)⇒ f (x)
g(x)≤ r +
f (y) − r g(y)
g(x).
Comme r < q et limx→a+ g(x) = ±∞, il existe c2, a < c2 < c1 tel que
∀x , a < x < c2, r +f (y) − r g(y)
g(x)< q
∃c2 ∈ (a, b), ∀x , a < x < c2,f (x)
g(x)< q.
(b) −∞ < L ≤ +∞. Par la même technique que dans (a), on montre que
∀q′ ∈ R, q′ < L, ∃c > a tel que ∀x , a < x < c, q′ <f (x)
g(x).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 70 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)
Démonstration.
(suite) (a) −∞ ≤ L < +∞. Soit r tel que L < r < q. On montre que
∀q ∈ R, L < q, ∃c > a tel que ∀x , a < x < c,f (x)
g(x)< q.
Cas (a2), limx→a+ g(x) = ±∞. On a montré que pour a < x < c1 < y < c
f (x) − f (y)
g(x)≤ r − r
g(y)
g(x)⇒ f (x)
g(x)≤ r +
f (y) − r g(y)
g(x).
Comme r < q et limx→a+ g(x) = ±∞, il existe c2, a < c2 < c1 tel que
∀x , a < x < c2, r +f (y) − r g(y)
g(x)< q
∃c2 ∈ (a, b), ∀x , a < x < c2,f (x)
g(x)< q.
(b) −∞ < L ≤ +∞. Par la même technique que dans (a), on montre que
∀q′ ∈ R, q′ < L, ∃c > a tel que ∀x , a < x < c, q′ <f (x)
g(x).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 70 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)
Démonstration.
(suite) (a) −∞ ≤ L < +∞. Soit r tel que L < r < q. On montre que
∀q ∈ R, L < q, ∃c > a tel que ∀x , a < x < c,f (x)
g(x)< q.
Cas (a2), limx→a+ g(x) = ±∞. On a montré que pour a < x < c1 < y < c
f (x) − f (y)
g(x)≤ r − r
g(y)
g(x)⇒ f (x)
g(x)≤ r +
f (y) − r g(y)
g(x).
Comme r < q et limx→a+ g(x) = ±∞, il existe c2, a < c2 < c1 tel que
∀x , a < x < c2, r +f (y) − r g(y)
g(x)< q
∃c2 ∈ (a, b), ∀x , a < x < c2,f (x)
g(x)< q.
(b) −∞ < L ≤ +∞. Par la même technique que dans (a), on montre que
∀q′ ∈ R, q′ < L, ∃c > a tel que ∀x , a < x < c, q′ <f (x)
g(x).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 70 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)
Démonstration.
(suite) (ii) Si L = −∞, alors de (a) on prend la suite qn = −n, n ∈ N,
∀n ∈ N, ∃c(n) > a tel que ∀x , a < x < c(n),f (x)
g(x)< −n
⇒ limx→a+
f (x)
g(x)= −∞.
Si L = +∞, alors de (b) on prend la suite q′n = n, n ∈ N,
∀n ∈ N, ∃c(n) > a tel que ∀x , a < x < c(n), n <f (x)
g(x)
⇒ limx→a+
f (x)
g(x)= +∞.
Si −∞ < L < +∞, alors pour tout ε > 0, on prend de (a) on prend la suite q = L + ε,et de (b) on prend la suite q′ = L − ε. Il existe
∃c1 ∈ (a, b), ∀x , a < x < c1,f (x)
g(x)< L + ε
∃c2 ∈ (a, b), ∀x , a < x < c2, L − ε <f (x)
g(x).
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 71 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)
Démonstration.
(suite) (ii) Si −∞ < L < +∞, alors pour tout ε > 0, on prend de (a) on prend la suiteq = L + ε, et de (b) on prend la suite q′ = L − ε. Il existe
∃c1 ∈ (a, b), ∀x , a < x < c1,f (x)
g(x)< L + ε
∃c2 ∈ (a, b), ∀x , a < x < c2, L − ε <f (x)
g(x).
◮ Donc en prenant c = min{c1, c2},
∀ε > 0, ∃c ∈ (a, b), ∀x ∈ (a, c),
˛
˛
˛
˛
f (x)
g(x)− L
˛
˛
˛
˛
< ε
limx→a+
f (x)
g(x)= L.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 72 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)
Démonstration.
(cas à gauche x → b−) Ce cas s’obtient directement du cas à droite en posant
f (x)déf= f (−x), −b < x < −a
g(x)déf= g(−x), −b < x < −a
et en remarquant que
limx→b−
f ′(x)
g′(x)= lim
y→(−b)+
f′(y)
g′(y)
(cas au centre où f , g : V ′(a, ε) → R) On applique les résultats précédents sur(a − ε, a) et (a, a + ε) en tenant compte que l’hypothèse
limx→a
f ′(x)
g′(x)= L
est équivalente à
limx→a−
f ′(x)
g′(x)= L et lim
x→a+
f ′(x)
g′(x)= L.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 73 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)
Démonstration.
(cas à gauche x → b−) Ce cas s’obtient directement du cas à droite en posant
f (x)déf= f (−x), −b < x < −a
g(x)déf= g(−x), −b < x < −a
et en remarquant que
limx→b−
f ′(x)
g′(x)= lim
y→(−b)+
f′(y)
g′(y)
(cas au centre où f , g : V ′(a, ε) → R) On applique les résultats précédents sur(a − ε, a) et (a, a + ε) en tenant compte que l’hypothèse
limx→a
f ′(x)
g′(x)= L
est équivalente à
limx→a−
f ′(x)
g′(x)= L et lim
x→a+
f ′(x)
g′(x)= L.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 73 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704) : exemples
Exemple (x → 0+)
1) Soient f (x) = tan x et g(x) = x dans un voisinage V (0, π/2) de 0. On a8
<
:
limx→0
tan x = 0
limx→0
x = 0
9
=
;
et limx→0
f ′(x)
g′(x)= lim
x→0
1cos2(x)
= 1.
Par la règle de L’Hôpital
limx→0
tan(x)
x= lim
x→0
f (x)
g(x)= lim
x→0
f ′(x)
g′(x)= 1.
2) Soient f (x) = log(1 + x) et g(x) = x dans (0,∞). On a8
<
:
limx→0+
log(1 + x) = 0
limx→0+
x = 0
9
=
;
et limx→0+
f ′(x)
g′(x)= lim
x→0+
11 + x
= 1
Par la règle de L’Hôpital
limx→0+
log(1 + x)
x= lim
x→0+
f (x)
g(x)= lim
x→0+
f ′(x)
g′(x)= 1.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 74 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704) : exemples
Exemple (x → 0+)
1) Soient f (x) = tan x et g(x) = x dans un voisinage V (0, π/2) de 0. On a8
<
:
limx→0
tan x = 0
limx→0
x = 0
9
=
;
et limx→0
f ′(x)
g′(x)= lim
x→0
1cos2(x)
= 1.
Par la règle de L’Hôpital
limx→0
tan(x)
x= lim
x→0
f (x)
g(x)= lim
x→0
f ′(x)
g′(x)= 1.
2) Soient f (x) = log(1 + x) et g(x) = x dans (0,∞). On a8
<
:
limx→0+
log(1 + x) = 0
limx→0+
x = 0
9
=
;
et limx→0+
f ′(x)
g′(x)= lim
x→0+
11 + x
= 1
Par la règle de L’Hôpital
limx→0+
log(1 + x)
x= lim
x→0+
f (x)
g(x)= lim
x→0+
f ′(x)
g′(x)= 1.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 74 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704) : exemples
Exemple (x → 0+)
3) Soient f (x) = tan x − x et g(x) = x − sin x dans un voisinage V (0, π/2) de 0. On a
8
<
:
limx→0
tan x − x = 0
limx→0
x − sin x = 0
9
=
;
et
8
>
<
>
:
limx→0
f ′(x) = limx→0
1cos2(x)
− 1 = 0
limx→0
g′(x) = limx→0
1 − cos x = 0
9
>
=
>
;
Mais8
<
:
f ′′(x) = 2sin x
cos3(x)
g′′(x) = sin x
9
=
;
et limx→0+
f ′′(x)
g′′(x)= lim
x→0+
2cos3(x)
= 2
Par une double application de la règle de L’Hôpital
limx→0
tan(x) − xx − sin x
= limx→0
f (x)
g(x)= lim
x→0
f ′(x)
g′(x)= lim
x→0
f ′′(x)
g′′(x)= 2.
4) Changement de variable. Soit√
x/(1 − e2√
x ) pour x → 0+. On peut poseru =
√x → 0+ et étudier u/(1 − e2 u) lorsque u → 0+. On a alors limu→0+
1−2e2 u = − 1
2 .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 75 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704) : exemples
Exemple (x → 0+)
3) Soient f (x) = tan x − x et g(x) = x − sin x dans un voisinage V (0, π/2) de 0. On a
8
<
:
limx→0
tan x − x = 0
limx→0
x − sin x = 0
9
=
;
et
8
>
<
>
:
limx→0
f ′(x) = limx→0
1cos2(x)
− 1 = 0
limx→0
g′(x) = limx→0
1 − cos x = 0
9
>
=
>
;
Mais8
<
:
f ′′(x) = 2sin x
cos3(x)
g′′(x) = sin x
9
=
;
et limx→0+
f ′′(x)
g′′(x)= lim
x→0+
2cos3(x)
= 2
Par une double application de la règle de L’Hôpital
limx→0
tan(x) − xx − sin x
= limx→0
f (x)
g(x)= lim
x→0
f ′(x)
g′(x)= lim
x→0
f ′′(x)
g′′(x)= 2.
4) Changement de variable. Soit√
x/(1 − e2√
x ) pour x → 0+. On peut poseru =
√x → 0+ et étudier u/(1 − e2 u) lorsque u → 0+. On a alors limu→0+
1−2e2 u = − 1
2 .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 75 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704) : exemples
Exemple (x → +∞)
1) Soient f (x) = xn pour n ∈ N et g(x) = ex dans R. On a
8
<
:
limx→+∞
xn = +∞
limx→+∞
ex = +∞et
8
>
>
<
>
>
:
limx→+∞
f ′(x) = limx→+∞
n xn−1 =
(
1, si n = 1
+ ∞, si n > 1
limx→+∞
g′(x) = limx→+∞
ex = +∞
9
>
>
=
>
>
;
Il faut donc aller jusqu’à la n-ème dérivée
f (n)(x) = n! et g(n)(x) = ex .
Par la règle de L’Hôpital appliquée n fois,
limx→+∞
xn
ex= lim
x→+∞
f (n)(x)
g(n)(x)= lim
x→+∞
n!
ex= 0.
2) Soient f (x) = log x et g(x) = xa pour a > 0 dans (0,+∞). On a8
<
:
limx→+∞
log x = +∞
limx→+∞
xa = +∞
9
=
;
et limx→+∞
f ′(x)
g′(x)= lim
x→+∞
1a xa
= 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 76 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704) : exemples
Exemple (x → +∞)
1) Soient f (x) = xn pour n ∈ N et g(x) = ex dans R. On a
8
<
:
limx→+∞
xn = +∞
limx→+∞
ex = +∞et
8
>
>
<
>
>
:
limx→+∞
f ′(x) = limx→+∞
n xn−1 =
(
1, si n = 1
+ ∞, si n > 1
limx→+∞
g′(x) = limx→+∞
ex = +∞
9
>
>
=
>
>
;
Il faut donc aller jusqu’à la n-ème dérivée
f (n)(x) = n! et g(n)(x) = ex .
Par la règle de L’Hôpital appliquée n fois,
limx→+∞
xn
ex= lim
x→+∞
f (n)(x)
g(n)(x)= lim
x→+∞
n!
ex= 0.
2) Soient f (x) = log x et g(x) = xa pour a > 0 dans (0,+∞). On a8
<
:
limx→+∞
log x = +∞
limx→+∞
xa = +∞
9
=
;
et limx→+∞
f ′(x)
g′(x)= lim
x→+∞
1a xa
= 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 76 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704) : autres formes indéterminées
Les formes indéterminées suivantes se ramènent aux cas précédents 0/0 ou ∞/∞.1) f (x) − g(x) avec lim
x→af (x) = +∞ et lim
x→ag(x) = +∞
1g(x)
− 1f (x)
1g(x)
1f (x)
avec limx→a
1f (x)
= 0 et limx→a
1g(x)
= 0.
2) f (x) g(x) avec limx→a
f (x) = 0 et limx→a
g(x) = ±∞
f (x)1
g(x)
avec limx→a
f (x) = 0 et limx→a
1g(x)
= 0.
3) f (x)g(x) avec f (x) > 0 dans (a, b), limx→a+
f (x) = 0 et limx→a+
g(x) = 0.
Ici, on va utiliser l’identité
f (x)g(x) = eg(x) log f (x) = e
g(x)„
1log f (x)
«
et limx→a+
f (x) = 0 ⇐⇒ limx→a+
log f (x) = −∞.
On obtient alors la forme 0/0 dans l’exposant g(x)/(1/ log f (x)) :
f (x)g(x) = e
g(x)„
1log f (x)
«
avec limx→a+
1log f (x)
= 0 et limx→a+
g(x) = 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 77 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704) : autres formes indéterminées
Les formes indéterminées suivantes se ramènent aux cas précédents 0/0 ou ∞/∞.1) f (x) − g(x) avec lim
x→af (x) = +∞ et lim
x→ag(x) = +∞
1g(x)
− 1f (x)
1g(x)
1f (x)
avec limx→a
1f (x)
= 0 et limx→a
1g(x)
= 0.
2) f (x) g(x) avec limx→a
f (x) = 0 et limx→a
g(x) = ±∞
f (x)1
g(x)
avec limx→a
f (x) = 0 et limx→a
1g(x)
= 0.
3) f (x)g(x) avec f (x) > 0 dans (a, b), limx→a+
f (x) = 0 et limx→a+
g(x) = 0.
Ici, on va utiliser l’identité
f (x)g(x) = eg(x) log f (x) = e
g(x)„
1log f (x)
«
et limx→a+
f (x) = 0 ⇐⇒ limx→a+
log f (x) = −∞.
On obtient alors la forme 0/0 dans l’exposant g(x)/(1/ log f (x)) :
f (x)g(x) = e
g(x)„
1log f (x)
«
avec limx→a+
1log f (x)
= 0 et limx→a+
g(x) = 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 77 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704) : autres formes indéterminées
Les formes indéterminées suivantes se ramène aux cas précédents 0/0 ou ∞/∞.
3) f (x)g(x) avec f (x) > 0 dans (a, b), limx→a+
f (x) = 0 et limx→a+
g(x) = 0
f (x)g(x) = e
g(x)„
1log f (x)
«
avec limx→a+
1log f (x)
= 0 et limx→a+
g(x) = 0.
4) f (x)g(x) avec f (x) > 0 dans (a, b), limx→a+
f (x) = +∞ et limx→a+
g(x) = 0
f (x)g(x) = e
g(x)„
1log f (x)
«
avec limx→a+
1log f (x)
= 0 et limx→a+
g(x) = 0.
5) f (x)g(x) avec f (x) > 0 dans (a, b), limx→a+
f (x) = 1 et limx→a+
g(x) = ±∞
f (x)g(x) = e
log f (x)„
1g(x)
«
avec limx→a+
log f (x) = 0 et limx→a+
1g(x)
= 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 78 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704) : autres formes indéterminées
Exemple
1) Soit xx lorsque x → 0+. Alors
log xx = x log x =log x
1x
et le dénominateur tend vers +∞. De plus,
ddx
log x =1x
etddx
1x
= − 1x2
⇒ (log x)′
(1/x)′=
1x
(−x2) = −x → 0
lorsque x → 0+. Il vient donc
limx→0+
xx = e0 = 1.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 79 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704) : autres formes indéterminées
Exemple
2) On considère (1 + a/x)x pour a ∈ R lorsque x → +∞. On pose
f (x)déf= 1 +
ax
et g(x)déf= x ⇒
“
1 +ax
”x= f (x)g(x).
limx→+∞
log f (x) = limx→+∞
log“
1 +ax
”
= log 1 = 0 et limx→+∞
1g(x)
= limx→+∞
1x
= 0.
On prend alors la forme
f (x)g(x) = e
log f (x)„
1g(x)
«
⇒ (log f (x))′“
1g(x)
”′ =
11+ a
x
`
− ax2
´
− 1x2
=a
1 + ax
→ a lorsque x → +∞.
On a donc finalement
limx→+∞
(1 + a/x)x = e
0
B
B
@
limx→+∞
(log f (x))′„
1g(x)
«
′
1
C
C
A
= ea.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 80 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704) : autres formes indéterminées
Exemple
2) On considère (1 + a/x)x pour a ∈ R lorsque x → +∞. On pose
f (x)déf= 1 +
ax
et g(x)déf= x ⇒
“
1 +ax
”x= f (x)g(x).
limx→+∞
log f (x) = limx→+∞
log“
1 +ax
”
= log 1 = 0 et limx→+∞
1g(x)
= limx→+∞
1x
= 0.
On prend alors la forme
f (x)g(x) = e
log f (x)„
1g(x)
«
⇒ (log f (x))′“
1g(x)
”′ =
11+ a
x
`
− ax2
´
− 1x2
=a
1 + ax
→ a lorsque x → +∞.
On a donc finalement
limx→+∞
(1 + a/x)x = e
0
B
B
@
limx→+∞
(log f (x))′„
1g(x)
«
′
1
C
C
A
= ea.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 80 / 119
DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704) : autres formes indéterminées
Exemple
2) On considère (1 + a/x)x pour a ∈ R lorsque x → +∞. On pose
f (x)déf= 1 +
ax
et g(x)déf= x ⇒
“
1 +ax
”x= f (x)g(x).
limx→+∞
log f (x) = limx→+∞
log“
1 +ax
”
= log 1 = 0 et limx→+∞
1g(x)
= limx→+∞
1x
= 0.
On prend alors la forme
f (x)g(x) = e
log f (x)„
1g(x)
«
⇒ (log f (x))′“
1g(x)
”′ =
11+ a
x
`
− ax2
´
− 1x2
=a
1 + ax
→ a lorsque x → +∞.
On a donc finalement
limx→+∞
(1 + a/x)x = e
0
B
B
@
limx→+∞
(log f (x))′„
1g(x)
«
′
1
C
C
A
= ea.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 80 / 119
Plan
1 Fonctions différentiables ou dérivables
2 Opérations sur les fonctions dérivables
3 Extrema d’une fonction - la règle de Fermat
4 Théorèmes de Rolle et de la moyenne, formule de Cauchy
5 Règle de l’Hôpital
6 Formule de Taylor
7 Extrema d’une fonction
8 Méthode de Newton
9 Références
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 81 / 119
DérivéesFormule de Taylor (1685-1731)
F IGURE: Brook Taylor (1685-1731) est un éclectique homme de sciences anglais.
Il ajouta aux mathématiques une nouvelle branche appelée « calcul de différencesfinies », inventa l’intégration par partie, et découvrit les séries appelées «développement de Taylor ». Ses idées furent publiées dans son livre de 1715,Methodus incrementorum directa and reversed. En fait, la première mention par Taylorde ce qui est appelé aujourd’hui théorème de Taylor apparaît dans une lettre que cedernier écrivit à Machin le 26 juillet 1712. Dans cette lettre, Taylor explique clairementd’où lui est venue cette idée, c’est-à-dire d’un commentaire que fît Machin au Child’sCoffeehouse, utilisant les « séries de Sir Isaac Newton » pour résoudre un problèmede Kepler et également « les méthodes de Dr. Halley pour extraires les racines »d’équations polynomiales. En fait, il y a deux versions du théorème de Taylor donnéessur le papier de 1715.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 82 / 119
DérivéesFormule de Taylor (1685-1731)
La formule de Taylor est une généralisation du théorème de la moyenne.Théorème (version Labelle et Mercier)
• Soient une fonction f : [a, b] → R et un entier n ≥ 1,
• f est continue dans [a, b] et continûment dérivable dans [a, b] jusqu’à l’ordre n − 1,c-à-d. chaque dérivée existe et est continue dans [a, b],
• la dérivée f (n)(x) existe en tout point x de (a, b).
Alors, pour tout x ∈ (a, b], il existe c ∈ (a, x) tel que
f (x) =
n−1X
k=0
f (k)(a+)
k !(x − a)k
| {z }
polynôme d’ordre n−1
+ f (n)(c)(x − a)n
n!| {z }
reste de Lagrange
avec la convention f (0)(x)déf= f (x) et f (0)(a+)
déf= f (a).
1) Pour n = 1, on retrouve le théorème de la moyenne.2) Lorsque a = 0, on obtient la formule de MacLaurin : pour tout x > 0, il existe
c ∈ (0, x) tel que
f (x) =
n−1X
k=0
f (k)(0+)
k !xk + f (n)(c)
xn
n!.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 83 / 119
DérivéesFormule de Taylor
On peut aussi écrire la formule de Taylor sous la forme des accroissements finis enun point x . En effet, pour h on a : il existe θ ∈ (0, 1) tel que
f (x + h) =
n−1X
k=0
f (k)(x)
k !hk + f (n)(x + θ h)
hn
n!.
Démonstration.
On fixe d’abord un point x ∈ (a, b]. On introduit deux fonctions auxquelles nousappliquerons la formule de Cauchy généralisée :
F (y)déf= f (x) −
n−1X
k=0
f (k)(y)
k !(x − y)k et G(y)
déf=
(x − y)n
n!.
Comme f est dérivable et continue dans [a, b] jusqu’à l’ordre (n − 1), F est continuedans [a, b] ; comme f (k), 1 ≤ k ≤ n − 1, est dérivable dans (a, b), F est dérivable dans(a, b). G est continu et dérivable dans [a, b]. Il existe donc c ∈ (a, x) tel que
[F (x) − F (a)] G′(c) = F ′(c) [G(x) − G(a)].
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 84 / 119
DérivéesFormule de Taylor
Démonstration.
(suite) On fixe d’abord un point x ∈ (a, b]. On introduit deux fonctions auxquelles nousappliquerons la formule de Cauchy généralisée :
F (y)déf= f (x) −
n−1X
k=0
f (k)(y)
k !(x − y)k et G(y)
déf=
(x − y)n
n!.
Il existe c ∈ (a, x) tel que
[F (x) − F (a)] G′(c) = F ′(c) [G(x) − G(a)].
◮ Par définition F (x) = 0 = G(x). On calcule les dérivées :
F ′(y) =
n−1X
k=1
f (k)(y)
(k)!k (x − y)k−1 −
n−1X
k=0
f (k+1)(y)
k !(x − y)k
=n−1X
k=1
f (k)(y)
(k − 1)!(x − y)k−1 −
nX
k=1
f (k)(y)
(k − 1)!(x − y)k−1 = − f (n)(y)
(n − 1)!(x − y)n−1
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 85 / 119
DérivéesFormule de Taylor
Démonstration.
(suite) On fixe d’abord un point x ∈ (a, b]. On introduit deux fonctions auxquelles nousappliquerons la formule de Cauchy généralisée :
F (y)déf= f (x) −
n−1X
k=0
f (k)(y)
k !(x − y)k et G(y)
déf=
(x − y)n
n!.
Il existe c ∈ (a, x) tel que
[F (x) − F (a)] G′(c) = F ′(c) [G(x) − G(a)].
◮ Par définition F (x) = 0 = G(x). On calcule les dérivées :
F ′(y) =
n−1X
k=1
f (k)(y)
(k)!k (x − y)k−1 −
n−1X
k=0
f (k+1)(y)
k !(x − y)k
=n−1X
k=1
f (k)(y)
(k − 1)!(x − y)k−1 −
nX
k=1
f (k)(y)
(k − 1)!(x − y)k−1 = − f (n)(y)
(n − 1)!(x − y)n−1
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 85 / 119
DérivéesFormule de Taylor
Démonstration.
(suite) On fixe d’abord un point x ∈ (a, b]. On introduit deux fonctions auxquelles nousappliquerons la formule de Cauchy généralisée :
F (y)déf= f (x) −
n−1X
k=0
f (k)(y)
k !(x − y)k et G(y)
déf=
(x − y)n
n!.
Il existe c ∈ (a, x) tel que
[F (x) − F (a)] G′(c) = F ′(c) [G(x) − G(a)].
◮ Par définition F (x) = 0 = G(x). On calcule les dérivées :
F ′(y) = − f (n)(y)
(n − 1)!(x − y)n−1
G′(y) = − (x − y)n−1
(n − 1)!
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
⇒ F ′(c)
G′(c)= f (n)(c), car a < c < x
F (a) =F ′(c)
G′(c)G(a) ⇒ f (x) −
n−1X
k=0
f (k)(a+)
k !(x − a)k = f (n)(c)
(x − a)n
n!.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 86 / 119
DérivéesFormule de Taylor
Démonstration.
(suite) On fixe d’abord un point x ∈ (a, b]. On introduit deux fonctions auxquelles nousappliquerons la formule de Cauchy généralisée :
F (y)déf= f (x) −
n−1X
k=0
f (k)(y)
k !(x − y)k et G(y)
déf=
(x − y)n
n!.
Il existe c ∈ (a, x) tel que
[F (x) − F (a)] G′(c) = F ′(c) [G(x) − G(a)].
◮ Par définition F (x) = 0 = G(x). On calcule les dérivées :
F ′(y) = − f (n)(y)
(n − 1)!(x − y)n−1
G′(y) = − (x − y)n−1
(n − 1)!
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
⇒ F ′(c)
G′(c)= f (n)(c), car a < c < x
F (a) =F ′(c)
G′(c)G(a) ⇒ f (x) −
n−1X
k=0
f (k)(a+)
k !(x − a)k = f (n)(c)
(x − a)n
n!.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 86 / 119
DérivéesFormule de Taylor (1685-1731) : version classique ou formule des accroissements finis généralisée
La version de la formule de Taylor donnée par Labelle et Mercier est basée sur leurnotion généralisée de dérivée. Les dérivées au point a sont des dérivées à droite et laformule est valable pour les x > a. On donne plus bas une version plus classique quirépond mieux aux situations rencontrées dans les problèmes.
Théorème (formule des accroissements finis généralisée)
• Soient une fonction f : [a, b] → R, x0 ∈ (a, b), et un entier n ≥ 1,
• les dérivées f (k)(x) existent en tout point x de (a, b) jusqu’à l’ordre n.
Alors, pour tout x ∈ (a, b), il existe θ ∈ (0, 1) tel que
f (x) =
n−1X
k=0
f (k)(x0)
k !(x − x0)
k
| {z }
polynôme d’ordre n−1
+ f (n)(x0 + θ(x − x0))(x − x0)
n
n!| {z }
reste de Lagrange
.
Dans ce cas, la formule des accroissements finis s’écrit de la même façon pour desh positifs ou négatifs
f (x0 + h) =
n−1X
k=0
f (k)(x0)
k !hk + f (n)(x0 + θh)
hn
n!.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 87 / 119
DérivéesFormule de Taylor (1685-1731) : version classique
Démonstration.
On considère d’abord un point x ∈ (x0, b) et on applique le théorème sur l’intervalle[x0, x], où les hypothèses sont vérifiées : il existe c1 ∈ (x0, x) tel que
f (x) =
n−1X
k=0
f (k)(x0)
k !(x − x0)
k + f (n)(c1)(x − x0)
n
n!.
On pose θ1 = (c1 − x0)/(x − x0) ∈ (0, 1). Pour tout x ∈ (x0, b), il existe donc θ1 ∈ (0, 1)tel que
f (x) =
n−1X
k=0
f (k)(x0)
k !(x − x0)
k + f (n)(x0 + θ1(x − x0))(x − x0)
n
n!.
◮ Pour x ∈ (a, x0), on introduit la nouvelle fonction x 7→ g(x)déf= f (−x) : [−b,−a] et on
applique la première partie de la démonstration à g : pour tout y ∈ (−x0,−a), il existedonc θ2 ∈ (0, 1) tel que
g(y) =
n−1X
k=0
g(k)(−x0)
k !(y − (−x0))
k + g(n)(−x0 + θ2(y − (−x0)))(y − (−x0))
n
n!.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 88 / 119
DérivéesFormule de Taylor (1685-1731) : version classique
Démonstration.
On considère d’abord un point x ∈ (x0, b) et on applique le théorème sur l’intervalle[x0, x], où les hypothèses sont vérifiées : il existe c1 ∈ (x0, x) tel que
f (x) =
n−1X
k=0
f (k)(x0)
k !(x − x0)
k + f (n)(c1)(x − x0)
n
n!.
On pose θ1 = (c1 − x0)/(x − x0) ∈ (0, 1). Pour tout x ∈ (x0, b), il existe donc θ1 ∈ (0, 1)tel que
f (x) =
n−1X
k=0
f (k)(x0)
k !(x − x0)
k + f (n)(x0 + θ1(x − x0))(x − x0)
n
n!.
◮ Pour x ∈ (a, x0), on introduit la nouvelle fonction x 7→ g(x)déf= f (−x) : [−b,−a] et on
applique la première partie de la démonstration à g : pour tout y ∈ (−x0,−a), il existedonc θ2 ∈ (0, 1) tel que
g(y) =
n−1X
k=0
g(k)(−x0)
k !(y − (−x0))
k + g(n)(−x0 + θ2(y − (−x0)))(y − (−x0))
n
n!.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 88 / 119
DérivéesFormule de Taylor (1685-1731) : version classique
Démonstration.
(suite) Pour a < x < x0, on introduit la nouvelle fonction x 7→ g(x) = f (−x) : [−x0,−a]et on applique la première partie de la démonstration à g : pour tout y ∈ (−b,−a), ilexiste donc θ2 ∈ (0, 1) tel que
g(y) =
n−1X
k=0
g(k)(−x0)
k !(y − (−x0))
k + g(n)(−x0 + θ2(y − (−x0)))(y − (−x0))
n
n!.
◮ En particulier en faisant y = −x pour x ∈ (a, x0), il existe θ2 ∈ (0, 1) tel que
g(−x) =n−1X
k=0
g(k)(−x0)
k !(−x − (−x0))
k
+ g(n)(−x0 + θ2(−x − (−x0)))(−x − (−x0))
n
n!.
En substituant f (x) = g(−x), g(k)(−x0) = (−1)k f (k)(x0) et(−x − (−x0))
k = (−1)k(x − x0)k , il vient : il existe θ2 ∈ (0, 1) tel que
f (x) =n−1X
k=0
f (k)(x0)
k !(x − x0)
k + f (n)(x0 + θ2(x − x0))(x − x0)
n
n!.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 89 / 119
DérivéesFormule de Taylor (1685-1731) : version classique
Démonstration.
(suite) Pour a < x < x0, on introduit la nouvelle fonction x 7→ g(x) = f (−x) : [−x0,−a]et on applique la première partie de la démonstration à g : pour tout y ∈ (−b,−a), ilexiste donc θ2 ∈ (0, 1) tel que
g(y) =
n−1X
k=0
g(k)(−x0)
k !(y − (−x0))
k + g(n)(−x0 + θ2(y − (−x0)))(y − (−x0))
n
n!.
◮ En particulier en faisant y = −x pour x ∈ (a, x0), il existe θ2 ∈ (0, 1) tel que
g(−x) =n−1X
k=0
g(k)(−x0)
k !(−x − (−x0))
k
+ g(n)(−x0 + θ2(−x − (−x0)))(−x − (−x0))
n
n!.
En substituant f (x) = g(−x), g(k)(−x0) = (−1)k f (k)(x0) et(−x − (−x0))
k = (−1)k(x − x0)k , il vient : il existe θ2 ∈ (0, 1) tel que
f (x) =n−1X
k=0
f (k)(x0)
k !(x − x0)
k + f (n)(x0 + θ2(x − x0))(x − x0)
n
n!.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 89 / 119
DérivéesFormule de Taylor
Exemple
1) Approximation de f (x) = ex . Pour x ∈ R, il existe θ ∈ (0, 1) tel que
f (x) =
n−1X
k=0
f (k)(0)
k !xk + f (n)(θx)
xn
n!
ex =n−1X
k=0
e0
k !xk + e(θx) xn
n!=
n−1X
k=0
1k !
xk + e(θx) xn
n!
Pour x = 1, il existe θ ∈ (0, 1) tel que
e =n−1X
k=0
1k !
+ eθ 1n!
.
De là, on peut montrer que e ∈ R \Q, c’est-à-dire e est irrationnel.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 90 / 119
DérivéesFormule de Taylor : exemples
Exemple
1) (suite) Approximation de f (x) = ex . Pour x > 0, il existe θ ∈ (0, 1) tel que
e =n−1X
k=0
1k !
+ eθ 1n!
.
De là, on peut montrer que e ∈ R \Q, c’est-à-dire e est irrationnel. En effet,
(n − 1)! e = (n − 1)!n−1X
k=0
1k !
| {z }
∈N
+eθ
n.
Si e est rationnel, alors e = p/q où (p, q) = 1 et donc pour n − 1 > q, (n − 1)! e ∈ N et
(n − 1)!pq− (n − 1)!
n−1X
k=0
1k !
| {z }
∈Z
=eθ
n.
Enfin, pour n ≥ 4, 0 < eθ/n < 1, ce qui contredit le fait que ce nombre soit un entier.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 91 / 119
DérivéesFormule de Taylor : exemples
Exemple
1) (suite) Approximation de f (x) = ex . Pour x > 0, il existe θ ∈ (0, 1) tel que
e =n−1X
k=0
1k !
+ eθ 1n!
.
De là, on peut montrer que e ∈ R \Q, c’est-à-dire e est irrationnel. En effet,
(n − 1)! e = (n − 1)!n−1X
k=0
1k !
| {z }
∈N
+eθ
n.
Si e est rationnel, alors e = p/q où (p, q) = 1 et donc pour n − 1 > q, (n − 1)! e ∈ N et
(n − 1)!pq− (n − 1)!
n−1X
k=0
1k !
| {z }
∈Z
=eθ
n.
Enfin, pour n ≥ 4, 0 < eθ/n < 1, ce qui contredit le fait que ce nombre soit un entier.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 91 / 119
DérivéesFormule de Taylor : exemples
Exemple
1) (suite) Approximation de f (x) = ex . Pour x > 0, il existe θ ∈ (0, 1) tel que
e =n−1X
k=0
1k !
+ eθ 1n!
.
De là, on peut montrer que e ∈ R \Q, c’est-à-dire e est irrationnel. En effet,
(n − 1)! e = (n − 1)!n−1X
k=0
1k !
| {z }
∈N
+eθ
n.
Si e est rationnel, alors e = p/q où (p, q) = 1 et donc pour n − 1 > q, (n − 1)! e ∈ N et
(n − 1)!pq− (n − 1)!
n−1X
k=0
1k !
| {z }
∈Z
=eθ
n.
Enfin, pour n ≥ 4, 0 < eθ/n < 1, ce qui contredit le fait que ce nombre soit un entier.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 91 / 119
DérivéesFormule de Taylor : exemples
Exemple
2) Développement de sin x par la formule de Taylor. Comme la fonction f (x) = sin x estinfiniment dérivable, on trouve d’abord la formule de la k -ième dérivée :
f ′(x) = cos x = sin(x + π/2), f ′′(x) = cos(x + π/2) = sin(x + 2(π/2))
f (k)(x) = sin(x + k(π/2)) ⇒ f (k)(0) = sin(k(π/2)) =
(
0, si k = 2ℓ
(−1)ℓ, si k = 2ℓ + 1.
Pour tout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que
sin(x) =n−1X
k=0
sin(k(π/2))
k !xk + sin(θx + n(π/2))
xn
n!.
◮ On a une sommation par rapport à des termes ak qui sont nuls pour k pair :
n−1X
k=0
ak =
[n/2]−1X
ℓ=0
a2ℓ+1
On notera que pour n = 2m et n = 2m + 1, la partie entière est [n/2] = m.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 92 / 119
DérivéesFormule de Taylor : exemples
Exemple
2) Développement de sin x par la formule de Taylor. Comme la fonction f (x) = sin x estinfiniment dérivable, on trouve d’abord la formule de la k -ième dérivée :
f ′(x) = cos x = sin(x + π/2), f ′′(x) = cos(x + π/2) = sin(x + 2(π/2))
f (k)(x) = sin(x + k(π/2)) ⇒ f (k)(0) = sin(k(π/2)) =
(
0, si k = 2ℓ
(−1)ℓ, si k = 2ℓ + 1.
Pour tout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que
sin(x) =n−1X
k=0
sin(k(π/2))
k !xk + sin(θx + n(π/2))
xn
n!.
◮ On a une sommation par rapport à des termes ak qui sont nuls pour k pair :
n−1X
k=0
ak =
[n/2]−1X
ℓ=0
a2ℓ+1
On notera que pour n = 2m et n = 2m + 1, la partie entière est [n/2] = m.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 92 / 119
DérivéesFormule de Taylor : exemples
Exemple
2) Développement de sin x par la formule de Taylor. Comme la fonction f (x) = sin x estinfiniment dérivable, on trouve d’abord la formule de la k -ième dérivée :
f ′(x) = cos x = sin(x + π/2), f ′′(x) = cos(x + π/2) = sin(x + 2(π/2))
f (k)(x) = sin(x + k(π/2)) ⇒ f (k)(0) = sin(k(π/2)) =
(
0, si k = 2ℓ
(−1)ℓ, si k = 2ℓ + 1.
Pour tout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que
sin(x) =n−1X
k=0
sin(k(π/2))
k !xk + sin(θx + n(π/2))
xn
n!.
◮ On a une sommation par rapport à des termes ak qui sont nuls pour k pair :
n−1X
k=0
ak =
[n/2]−1X
ℓ=0
a2ℓ+1
On notera que pour n = 2m et n = 2m + 1, la partie entière est [n/2] = m.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 92 / 119
DérivéesFormule de Taylor : exemples
Exemple
2) Développement de sin x par la formule de Taylor. Comme la fonction f (x) = sin x estinfiniment dérivable, on trouve d’abord la formule de la k -ième dérivée :
f ′(x) = cos x = sin(x + π/2), f ′′(x) = cos(x + π/2) = sin(x + 2(π/2))
f (k)(x) = sin(x + k(π/2)) ⇒ f (k)(0) = sin(k(π/2)) =
(
0, si k = 2ℓ
(−1)ℓ, si k = 2ℓ + 1.
Pour tout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que
sin(x) =n−1X
k=0
sin(k(π/2))
k !xk + sin(θx + n(π/2))
xn
n!.
◮ On a une sommation par rapport à des termes ak qui sont nuls pour k pair :
n−1X
k=0
ak =
[n/2]−1X
ℓ=0
a2ℓ+1
On notera que pour n = 2m et n = 2m + 1, la partie entière est [n/2] = m.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 92 / 119
DérivéesFormule de Taylor : exemples
Exemple
2) Développement de sin x par la formule de Taylor. Comme la fonction f (x) = sin x estinfiniment dérivable, on trouve d’abord la formule de la k -ième dérivée :
f ′(x) = cos x = sin(x + π/2), f ′′(x) = cos(x + π/2) = sin(x + 2(π/2))
f (k)(x) = sin(x + k(π/2)) ⇒ f (k)(0) = sin(k(π/2)) =
(
0, si k = 2ℓ
(−1)ℓ, si k = 2ℓ + 1.Pour tout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que
sin(x) =n−1X
k=0
sin(k(π/2))
k !xk + sin(θx + n(π/2))
xn
n!.
◮ Cependant, comme les termes pairs sont nuls, on ne garde que les impairs. Pourn = 2m + 1, m ≥ 1, et pour tout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que
sin(x) =
m−1X
ℓ=0
(−1)ℓ
(2ℓ + 1)!x2ℓ+1 + sin(θx + (2m + 1)(π/2))
x2m+1
(2m + 1)!.
L’erreur est donc d’au plus |x |2m+1/(2m + 1)! et non |x |2m/(2m)! si l’on avait choisitn = 2m, car la sommation va de ℓ = 0 à [n/2] = m dans les deux cas.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 93 / 119
DérivéesFormule de Taylor : exemples
Exemple
2) Développement de sin x par la formule de Taylor. Comme la fonction f (x) = sin x estinfiniment dérivable, on trouve d’abord la formule de la k -ième dérivée :
f ′(x) = cos x = sin(x + π/2), f ′′(x) = cos(x + π/2) = sin(x + 2(π/2))
f (k)(x) = sin(x + k(π/2)) ⇒ f (k)(0) = sin(k(π/2)) =
(
0, si k = 2ℓ
(−1)ℓ, si k = 2ℓ + 1.Pour tout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que
sin(x) =n−1X
k=0
sin(k(π/2))
k !xk + sin(θx + n(π/2))
xn
n!.
◮ Cependant, comme les termes pairs sont nuls, on ne garde que les impairs. Pourn = 2m + 1, m ≥ 1, et pour tout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que
sin(x) =
m−1X
ℓ=0
(−1)ℓ
(2ℓ + 1)!x2ℓ+1 + sin(θx + (2m + 1)(π/2))
x2m+1
(2m + 1)!.
L’erreur est donc d’au plus |x |2m+1/(2m + 1)! et non |x |2m/(2m)! si l’on avait choisitn = 2m, car la sommation va de ℓ = 0 à [n/2] = m dans les deux cas.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 93 / 119
DérivéesFormule de Taylor : exemples
Exemple
2) Développement de sin x par la formule de Taylor autour de 0. Cependant, commeles termes pairs sont nuls, on considère les n = 2m + 1 pour un entier m ≥ 1 : pourtout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que
sin(x) =
m−1X
ℓ=0
(−1)ℓ
(2ℓ + 1)!x2ℓ+1 + sin(θx + (2m + 1)(π/2))
x2m+1
(2m + 1)!.
◮ L’erreur est donc d’au plus |x |2m+1/(2m + 1)! et non |x |2m/(2m)! si l’on avait choisitn = 2m, car la sommation va de ℓ = 0 à [n/2] − 1 = m − 1 dans les deux cas.Pour m = 3, n = 7, il vient
sin x = x − x3
3!+
x5
5!+ sin(θx + 7(π/2))
x7
7!
Pour m = 2, n = 5, il vient
sin x = x − x3
3!+ sin(θx + 5(π/2))
x5
5!= x − x3
3!+ cos(θx))
x5
5!
et pour x 6= 0
sin x = x − x3
3!+ cos(θx))
x5
5!≤ x − x3
3!+
|x |55!
.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 94 / 119
DérivéesFormule de Taylor : exemples
Exemple
2) Développement de sin x par la formule de Taylor autour de 0. Cependant, commeles termes pairs sont nuls, on considère les n = 2m + 1 pour un entier m ≥ 1 : pourtout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que
sin(x) =
m−1X
ℓ=0
(−1)ℓ
(2ℓ + 1)!x2ℓ+1 + sin(θx + (2m + 1)(π/2))
x2m+1
(2m + 1)!.
◮ L’erreur est donc d’au plus |x |2m+1/(2m + 1)! et non |x |2m/(2m)! si l’on avait choisitn = 2m, car la sommation va de ℓ = 0 à [n/2] − 1 = m − 1 dans les deux cas.Pour m = 3, n = 7, il vient
sin x = x − x3
3!+
x5
5!+ sin(θx + 7(π/2))
x7
7!
Pour m = 2, n = 5, il vient
sin x = x − x3
3!+ sin(θx + 5(π/2))
x5
5!= x − x3
3!+ cos(θx))
x5
5!
et pour x 6= 0
sin x = x − x3
3!+ cos(θx))
x5
5!≤ x − x3
3!+
|x |55!
.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 94 / 119
Plan
1 Fonctions différentiables ou dérivables
2 Opérations sur les fonctions dérivables
3 Extrema d’une fonction - la règle de Fermat
4 Théorèmes de Rolle et de la moyenne, formule de Cauchy
5 Règle de l’Hôpital
6 Formule de Taylor
7 Extrema d’une fonction
8 Méthode de Newton
9 Références
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 95 / 119
DérivéesExtrema d’une fonction
Définition
• f : Df → R et x0 ∈ Df .
(i) f possède un minimum local en x0 s’il existe un voisinage V (x0, δ) de x0 tel que
∀x ∈ V (x0, δ) ∩ Df , f (x) ≥ f (x0).
(ii) f possède un maximum local en x0 s’il existe un voisinage V (x0, δ) de x0 tel que
∀x ∈ V (x0, δ) ∩ Df , f (x) ≤ f (x0).
(iii) On appelle extremum local de f en x0 un minimum local ou un maximum local de fen x0 .
Théorème (Règle de Fermat)
• f : [a, b] → R ;• x0 ∈ (a, b) un extremum local de f en x0 ;• f dérivable en x0.Alors f ′(x0) = 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 96 / 119
DérivéesPierre de Fermat (1601-1665)
F IGURE: Pierre de Fermat, conseiller au parlement de Toulouse, (1601-1665)
La première idée du calcul différentiel et la règle pour le calcul des extrema 10
remontent à Pierre de Fermat dont les découvertes en théorie des nombres ont éclipséses contributions aux autres domaines des mathématiques.
On doit le concept de dérivée à Leibniz (1684 11) et à Newton (1691). La conditionobtenue par Fermat pour l’extremum d’une fonction algébrique est généralisée parLeibniz sous la forme f ′(x) = 0. Pendant trois siècles, la règle de Fermat seraappliquée, justifiée, adaptée, et généralisée dans le contexte de la théorie del’optimisation, du calcul des variations, et de la théorie du contrôle optimal. Il fautsignaler les travaux intensifs de Euler (XVIIIè), Lagrange et Jacobi (XIXè), et dePoincaré et Hilbert (début du XXè).
10. Methodus ad disquirendam Maximam et Minimam, 1637.11. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates
moratur, et singulare pro illis calculi genus (Une nouvelle méthode pour les maxima et minima ainsi que lestangentes, qui ne sont limités à des expressions ni fractionnaires ni irrationnelles, et un type remarquable de decalcul pour celles-ci), dans Acta Eruditorum, 1684, un journal fondé à Leipzig deux ans plus tôt.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 97 / 119
DérivéesExtrema d’une fonction
minimum local : f ′(x0) = 0
maximum local : f ′(x0) = 0
maximum global : f ′(b−) ≤ 0sup f ([a, b])
minimum global : f ′(a+) ≥ 0inf f ([a, b])
a b
Exemple d’extrema locaux et globaux
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 98 / 119
DérivéesExtrema d’une fonction
Théorème (Règle de Fermat)
• f : [a, b] → R ;• x0 ∈ (a, b) un extremum local de f en x0 ;• f dérivable en x0.Alors f ′(x0) = 0.
Il suffit de démontrer le résultat pour un minimum car un maximum de f est unminimum de −f .
Démonstration.
Par définition d’un minimum local, il existe V (x0, δ), 0 < δ ≤ min{x0 − a, b − x0} tel que
∀x ∈ V (x0, δ) ∩ [a, b], f (x) ≥ f (x0).
En particulier,
∀x , a < x < x0, f (x) ≥ f (x0) ⇒ f (x) − f (x0)
x − x0≤ 0 ⇒ f ′(x0) ≤ 0,
∀x , x0 < x < b, f (x) ≥ f (x0) ⇒ f (x) − f (x0)
x − x0≥ 0 ⇒ f ′(x0) ≥ 0,
puisque f ′(x0) existe. D’où f ′(x0) = 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 99 / 119
DérivéesExtrema d’une fonction
Remarque
1) f ′(x0) = 0 6=⇒ x0 minimum local de f . On prend f (x) = x3 et x0 = 0 où f ′(0) = 0mais ∀δ > 0, ∃x ∈ V (0, δ) et x3 < 0 en posant x(δ) = δ/2. On peut aussi observer quela fonction est strictement croissante.2) f (x) = |x | a un minimum en x0 = 0, mais f ′(0) ∄.
Remarque
En fait, la démonstration du théorème permet aussi de dire quelque chose lorsque lepoint minimisant ou maximisant est x0 = a ou x0 = b :
(
a minimum local f ′(a+) ≥ 0
a maximum local f ′(a+) ≤ 0
(
b minimum local f ′(b−) ≤ 0
b maximum local f ′(b+) ≥ 0
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 100 / 119
DérivéesExtrema d’une fonction
Théorème
• f : [a, b] → R, x0 ∈ (a, b), et n ≥ 2 un entier
• les dérivées f (k)(x) existent en tout point de (a, b) jusqu’à l’ordre n et
f ′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0.
Alors(i) S’il existe un voisinage V (x0, δ) ⊂ (a, b) dans lequel f (n)(x) ≥ 0, alors
a) n pair ⇒ x0 minimum localb) n impair ⇒ f est croissante dans V (x0, δ) .
(ii) S’il existe un voisinage V (x0, δ) ⊂ (a, b) dans lequel f (n)(x) ≤ 0, alorsa) n pair ⇒ x0 maximum localb) n impair ⇒ f est décroissante dans V (x0, δ) .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 101 / 119
DérivéesNature des extrema d’une fonction
Démonstration.
Il suffit de démontrer la partie (i) . La partie (ii) s’obtient de (i) appliqué à la fonction −f .La formule de Taylor donne : pour tout x ∈ (a, b), il existe θ ∈ (0, 1) tel que
f (x) =
n−1X
k=0
f (k)(x0)
k !(x − x0)
k + f (n)(x0 + θ(x − x0))(x − x0)
n
n!.
Par hypothèse, il ne reste que le premier et le dernier terme et
f (x) − f (x0) = f (n)(x0 + θ(x − x0))(x − x0)
n
n!.
Si x ∈ V (x0, δ), alors |(x0 + θ(x − x0)) − x0| = |θ(x − x0)| ≤ |x − x0| < δ, ce quiimplique par hypothèse que f (n)(x0 + θ(x − x0)) ≥ 0.Si n est pair, (x − x0)
n ≥ 0 pour tout x ∈ [a, b] et
∀x ∈ V (x0, δ), f (x) − f (x0) = f (n)(x0 + θ(x − x0))(x − x0)
n
n!≥ 0
et x0 est un minimum local de f .Si n est impair, . . .
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 102 / 119
DérivéesNature des extrema d’une fonction
Démonstration.
La formule de Taylor donne : pour tout x ∈ (a, b), il existe θ ∈ (0, 1) tel que
f (x) =
n−1X
k=0
f (k)(x0)
k !(x − x0)
k + f (n)(x0 + θ(x − x0))(x − x0)
n
n!.
Par hypothèse, il ne reste que le premier et le dernier terme et
f (x) − f (x0) = f (n)(x0 + θ(x − x0))(x − x0)
n
n!.
Si x ∈ V (x0, δ), alors |(x0 + θ(x − x0)) − x0| = |θ(x − x0)| ≤ |x − x0| < δ, ce quiimplique par hypothèse que f (n)(x0 + θ(x − x0)) ≥ 0.◮ Si n est impair, alors pour tout x0 − δ < x < y < x0 + δ, on a (y − x)n ≥ 0 et
f (y) − f (x) = f (n)(x + θ(y − x))(y − x)n
n!≥ 0
et f est croissante.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 103 / 119
DérivéesNature des extrema d’une fonction
Corollaire
• f : [a, b] → R, x0 ∈ (a, b), et n ≥ 2 un entier,
• les dérivées f (k)(x) existent en tous points de (a, b) jusqu’à l’ordre n et
f ′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0,
• f (n)(x) est continue en x0.
Alors(i) Si f (n)(x0) > 0, alors
a) n pair ⇒ x0 minimum localb) n impair ⇒ f est strictement croissante dans un voisinage V (x0, δ).
(ii) Si f (n)x0) < 0, alorsa) n pair ⇒ x0 maximum localb) n impair ⇒ f est strictement décroissante dans un voisinage V (x0, δ).
Exemple
La fonction f (x) = x4 possède un minimum en x = 0 tel quef ′(0) = f (2)(0) = f (3)(0) = 0, et f (4)(0) = 24 > 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 104 / 119
DérivéesNature des extrema d’une fonction
Exemple
Montrer que pour tout x ∈ R, ex ≥ 1 + x . En déduire que pour tous nombres réelspositifs a1, a2, . . . , an
n√
a1a2 . . . an ≤ a1 + a2 + · · · + an
n
et que l’égalité n’est vraie que si tous les ai sont tous égaux.On pose f (x) = ex − 1 − x . Alors f (0) = 0, f ′(x) = ex − 1, f ′(0) = 0, etf ′′(x) = ex > 0. Donc, pour tout x ≥ 0, il existe θ ∈ (0, 1) tel que
f (x) = f (0) + x f ′(0) +x2
2f ′′(θx),
x2
2f ′′(θx) =
x2
2eθx
(
> 0, si x 6= 0
= 0, si x = 0
⇒ ex > 1 + x ⇐⇒ x 6= 0 et ex = 1 + x ⇐⇒ x = 0 .
On pose A = (a1 + · · · + an)/n et G = n√
a1 . . . an.◮ Si A = 0, alors tous les ai = 0 et A = G.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 105 / 119
DérivéesNature des extrema d’une fonction
Exemple
Montrer que pour tout x ∈ R, ex ≥ 1 + x . En déduire que pour tous nombres réelspositifs a1, a2, . . . , an
n√
a1a2 . . . an ≤ a1 + a2 + · · · + an
n
et que l’égalité n’est vraie que si tous les ai sont tous égaux.On pose f (x) = ex − 1 − x . Alors f (0) = 0, f ′(x) = ex − 1, f ′(0) = 0, etf ′′(x) = ex > 0. Donc, pour tout x ≥ 0, il existe θ ∈ (0, 1) tel que
f (x) = f (0) + x f ′(0) +x2
2f ′′(θx),
x2
2f ′′(θx) =
x2
2eθx
(
> 0, si x 6= 0
= 0, si x = 0
⇒ ex > 1 + x ⇐⇒ x 6= 0 et ex = 1 + x ⇐⇒ x = 0 .
On pose A = (a1 + · · · + an)/n et G = n√
a1 . . . an.◮ Si A = 0, alors tous les ai = 0 et A = G.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 105 / 119
DérivéesNature des extrema d’une fonction
Exemple
Montrer que pour tout x ∈ R, ex ≥ 1 + x . En déduire que pour tous nombres réelspositifs a1, a2, . . . , an
G déf= n
√a1a2 . . . an ≤ A déf
=a1 + a2 + · · · + an
n
et que l’égalité n’est vraie que si tous les ai sont tous égaux.On a montré que
ex > 1 + x ⇐⇒ x 6= 0 et ex = 1 + x ⇐⇒ x = 0
◮ Pour A > 0, on prend des x de la forme ak/A − 1 :
∀k , eakA −1 ≥ 1 +
“ak
A− 1”
=ak
A
1 = e
»
Pnk=1 ak
A− n–
= e
"
nX
k=1
“ak
A− 1”
#
≥nY
k=1
ak
A=
Gn
An⇒ G ≤ A.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 106 / 119
DérivéesNature des extrema d’une fonction
Exemple
(suite) Montrer que pour tout x ∈ R, ex ≥ 1 + x . En déduire que pour tous nombresréels positifs a1, a2, . . . , an
G déf= n
√a1a2 . . . an ≤ A déf
=a1 + a2 + · · · + an
n
et que l’égalité n’est vraie que si tous les ai sont tous égaux. On a montré que
ex > 1 + x ⇐⇒ x 6= 0 et ex = 1 + x = 0 ⇐⇒ x = 0 .
◮ De plus comme
∀k , eakA −1 ≥ 1 +
“ak
A− 1”
=ak
A
la seule façon dont les produits puissent être égaux est que chaque terme de droitesoit égal à chaque terme de gauche
A = G ⇐⇒ ∀k , eakA −1 = 1 +
“ak
A− 1”
⇐⇒ ∀k ,ak
A− 1 = 0.
On en conclut que A = G si et seulement si ak = A pour tout k = 1, . . . n.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 107 / 119
Plan
1 Fonctions différentiables ou dérivables
2 Opérations sur les fonctions dérivables
3 Extrema d’une fonction - la règle de Fermat
4 Théorèmes de Rolle et de la moyenne, formule de Cauchy
5 Règle de l’Hôpital
6 Formule de Taylor
7 Extrema d’une fonction
8 Méthode de Newton
9 Références
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 108 / 119
DérivéesMéthode de Newton
f (x)
xa
x3 x2 x1 b
F IGURE: Méthode de Newton
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 109 / 119
DérivéesMéthode de Newton
On se donne une fonction continue f : [a, b] → R pour laquelle f ′ et f ′′ existent dans(a, b). On cherche le ou les zéros x0 ∈ [a, b] def : [a, b] → R par une méthodeitérative : f (x0) = 0. C’est un algorithme qui converge de façon quadratique lorsqueque l’on se trouve suffisamment près d’un zéro de f .
On fait les hypothèses suivantes :(a) f (a) f (b) < 0 ce qui garantit qu’il existe x0 ∈ (a, b) tel que f (x0) = 0(b) f ′(x) 6= 0 dans [a, b] (⇒ le zéro x0 de f est unique dans [a, b])(c) f ′′(x) conserve son signe dans (a, b)
Les étapes sont les suivantes :(1) x1 ∈ [a, b] est le premier estimé (par exemple a ou b)(2) soit x2 ∈ [a, b] tel que la droite tangente en x1 intersecte l’axe des x
f (x1) + (x2 − x1) f ′(x1) = 0 ⇒ x2 = x1 −f (x1)
f ′(x1)
(3) À l’étape n
f (xn+1) + (xn+1 − xn) f ′(xn) = 0 ⇒ xn+1 = xn − f (xn)
f ′(xn)
(4) Pour assurer la convergence, il faut partir avec x1 égal à a ou b tel quef (x1) f ′′(x1) > 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 110 / 119
DérivéesMéthode de Newton
On se donne une fonction continue f : [a, b] → R pour laquelle f ′ et f ′′ existent dans(a, b). On cherche le ou les zéros x0 ∈ [a, b] def : [a, b] → R par une méthodeitérative : f (x0) = 0. C’est un algorithme qui converge de façon quadratique lorsqueque l’on se trouve suffisamment près d’un zéro de f .
On fait les hypothèses suivantes :(a) f (a) f (b) < 0 ce qui garantit qu’il existe x0 ∈ (a, b) tel que f (x0) = 0(b) f ′(x) 6= 0 dans [a, b] (⇒ le zéro x0 de f est unique dans [a, b])(c) f ′′(x) conserve son signe dans (a, b)
Les étapes sont les suivantes :(1) x1 ∈ [a, b] est le premier estimé (par exemple a ou b)(2) soit x2 ∈ [a, b] tel que la droite tangente en x1 intersecte l’axe des x
f (x1) + (x2 − x1) f ′(x1) = 0 ⇒ x2 = x1 −f (x1)
f ′(x1)
(3) À l’étape n
f (xn+1) + (xn+1 − xn) f ′(xn) = 0 ⇒ xn+1 = xn − f (xn)
f ′(xn)
(4) Pour assurer la convergence, il faut partir avec x1 égal à a ou b tel quef (x1) f ′′(x1) > 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 110 / 119
DérivéesMéthode de Newton
On se donne une fonction continue f : [a, b] → R pour laquelle f ′ et f ′′ existent dans(a, b). On cherche le ou les zéros x0 ∈ [a, b] def : [a, b] → R par une méthodeitérative : f (x0) = 0. C’est un algorithme qui converge de façon quadratique lorsqueque l’on se trouve suffisamment près d’un zéro de f .
On fait les hypothèses suivantes :(a) f (a) f (b) < 0 ce qui garantit qu’il existe x0 ∈ (a, b) tel que f (x0) = 0(b) f ′(x) 6= 0 dans [a, b] (⇒ le zéro x0 de f est unique dans [a, b])(c) f ′′(x) conserve son signe dans (a, b)
Les étapes sont les suivantes :(1) x1 ∈ [a, b] est le premier estimé (par exemple a ou b)(2) soit x2 ∈ [a, b] tel que la droite tangente en x1 intersecte l’axe des x
f (x1) + (x2 − x1) f ′(x1) = 0 ⇒ x2 = x1 −f (x1)
f ′(x1)
(3) À l’étape n
f (xn+1) + (xn+1 − xn) f ′(xn) = 0 ⇒ xn+1 = xn − f (xn)
f ′(xn)
(4) Pour assurer la convergence, il faut partir avec x1 égal à a ou b tel quef (x1) f ′′(x1) > 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 110 / 119
DérivéesMéthode de Newton
On se donne une fonction continue f : [a, b] → R pour laquelle f ′ et f ′′ existent dans(a, b). On cherche le ou les zéros x0 ∈ [a, b] def : [a, b] → R par une méthodeitérative : f (x0) = 0. C’est un algorithme qui converge de façon quadratique lorsqueque l’on se trouve suffisamment près d’un zéro de f .
On fait les hypothèses suivantes :(a) f (a) f (b) < 0 ce qui garantit qu’il existe x0 ∈ (a, b) tel que f (x0) = 0(b) f ′(x) 6= 0 dans [a, b] (⇒ le zéro x0 de f est unique dans [a, b])(c) f ′′(x) conserve son signe dans (a, b)
Les étapes sont les suivantes :(1) x1 ∈ [a, b] est le premier estimé (par exemple a ou b)(2) soit x2 ∈ [a, b] tel que la droite tangente en x1 intersecte l’axe des x
f (x1) + (x2 − x1) f ′(x1) = 0 ⇒ x2 = x1 −f (x1)
f ′(x1)
(3) À l’étape n
f (xn+1) + (xn+1 − xn) f ′(xn) = 0 ⇒ xn+1 = xn − f (xn)
f ′(xn)
(4) Pour assurer la convergence, il faut partir avec x1 égal à a ou b tel quef (x1) f ′′(x1) > 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 110 / 119
DérivéesMéthode de Newton
On se donne une fonction continue f : [a, b] → R pour laquelle f ′ et f ′′ existent dans(a, b). On cherche le ou les zéros x0 ∈ [a, b] def : [a, b] → R par une méthodeitérative : f (x0) = 0. C’est un algorithme qui converge de façon quadratique lorsqueque l’on se trouve suffisamment près d’un zéro de f .
On fait les hypothèses suivantes :(a) f (a) f (b) < 0 ce qui garantit qu’il existe x0 ∈ (a, b) tel que f (x0) = 0(b) f ′(x) 6= 0 dans [a, b] (⇒ le zéro x0 de f est unique dans [a, b])(c) f ′′(x) conserve son signe dans (a, b)
Les étapes sont les suivantes :(1) x1 ∈ [a, b] est le premier estimé (par exemple a ou b)(2) soit x2 ∈ [a, b] tel que la droite tangente en x1 intersecte l’axe des x
f (x1) + (x2 − x1) f ′(x1) = 0 ⇒ x2 = x1 −f (x1)
f ′(x1)
(3) À l’étape n
f (xn+1) + (xn+1 − xn) f ′(xn) = 0 ⇒ xn+1 = xn − f (xn)
f ′(xn)
(4) Pour assurer la convergence, il faut partir avec x1 égal à a ou b tel quef (x1) f ′′(x1) > 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 110 / 119
DérivéesMéthode de Newton
On se donne une fonction continue f : [a, b] → R pour laquelle f ′ et f ′′ existent dans(a, b). On cherche le ou les zéros x0 ∈ [a, b] def : [a, b] → R par une méthodeitérative : f (x0) = 0. C’est un algorithme qui converge de façon quadratique lorsqueque l’on se trouve suffisamment près d’un zéro de f .
On fait les hypothèses suivantes :(a) f (a) f (b) < 0 ce qui garantit qu’il existe x0 ∈ (a, b) tel que f (x0) = 0(b) f ′(x) 6= 0 dans [a, b] (⇒ le zéro x0 de f est unique dans [a, b])(c) f ′′(x) conserve son signe dans (a, b)
Les étapes sont les suivantes :(1) x1 ∈ [a, b] est le premier estimé (par exemple a ou b)(2) soit x2 ∈ [a, b] tel que la droite tangente en x1 intersecte l’axe des x
f (x1) + (x2 − x1) f ′(x1) = 0 ⇒ x2 = x1 −f (x1)
f ′(x1)
(3) À l’étape n
f (xn+1) + (xn+1 − xn) f ′(xn) = 0 ⇒ xn+1 = xn − f (xn)
f ′(xn)
(4) Pour assurer la convergence, il faut partir avec x1 égal à a ou b tel quef (x1) f ′′(x1) > 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 110 / 119
DérivéesMéthode de Newton
On se donne une fonction continue f : [a, b] → R pour laquelle f ′ et f ′′ existent dans(a, b). On cherche le ou les zéros x0 ∈ [a, b] def : [a, b] → R par une méthodeitérative : f (x0) = 0. C’est un algorithme qui converge de façon quadratique lorsqueque l’on se trouve suffisamment près d’un zéro de f .
On fait les hypothèses suivantes :(a) f (a) f (b) < 0 ce qui garantit qu’il existe x0 ∈ (a, b) tel que f (x0) = 0(b) f ′(x) 6= 0 dans [a, b] (⇒ le zéro x0 de f est unique dans [a, b])(c) f ′′(x) conserve son signe dans (a, b)
Les étapes sont les suivantes :(1) x1 ∈ [a, b] est le premier estimé (par exemple a ou b)(2) soit x2 ∈ [a, b] tel que la droite tangente en x1 intersecte l’axe des x
f (x1) + (x2 − x1) f ′(x1) = 0 ⇒ x2 = x1 −f (x1)
f ′(x1)
(3) À l’étape n
f (xn+1) + (xn+1 − xn) f ′(xn) = 0 ⇒ xn+1 = xn − f (xn)
f ′(xn)
(4) Pour assurer la convergence, il faut partir avec x1 égal à a ou b tel quef (x1) f ′′(x1) > 0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 110 / 119
DérivéesMéthode de Newton
f (x)
xa
x3 x2 x1 b
F IGURE: Méthode de Newton
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 111 / 119
DérivéesMéthode de Newton
a
bx2x1
(a) f ′′(x) ≥ 0
b
a
(b) f ′′(x) ≤ 0
F IGURE: signes de f et f ′′.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 112 / 119
DérivéesMéthode de Newton
Exemple (Calcul de√
5)
On cherche les zéros de la fonction f (x) = x2 − 5 qui a pour dérivées f ′(x) = 2x etf ′′(x) = 2 > 0. L’algorithme pour calculer une racine carrée de a > 0 est donc de laforme
xn+1 = xn − x2n − a2xn
=12
„
xn +axn
«
.
Par encadrement, on vérifie que f (2) = −1 et f (3) = 4. Par le théorème des valeursintermédiaires, il existe donc un zéro de f dans (2, 3). On vérifie aussi que f ′(x) > 4dans (2, 3).Comme f (3) f ′′(3) > 0, on part avec x1 = 3 ce qui donne
x2 = 3 − f (3)/f ′′(3) = 3 − 4/6 = 2.333
x3 = 2.238, x4 = 2.23606, x5 = 2.236067
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 113 / 119
DérivéesMéthode de Newton
Exemple (Calcul de√
5)
On cherche les zéros de la fonction f (x) = x2 − 5 qui a pour dérivées f ′(x) = 2x etf ′′(x) = 2 > 0. L’algorithme pour calculer une racine carrée de a > 0 est donc de laforme
xn+1 = xn − x2n − a2xn
=12
„
xn +axn
«
.
Par encadrement, on vérifie que f (2) = −1 et f (3) = 4. Par le théorème des valeursintermédiaires, il existe donc un zéro de f dans (2, 3). On vérifie aussi que f ′(x) > 4dans (2, 3).Comme f (3) f ′′(3) > 0, on part avec x1 = 3 ce qui donne
x2 = 3 − f (3)/f ′′(3) = 3 − 4/6 = 2.333
x3 = 2.238, x4 = 2.23606, x5 = 2.236067
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 113 / 119
DérivéesMéthode de Newton
Exemple (Calcul de√
5)
On cherche les zéros de la fonction f (x) = x2 − 5 qui a pour dérivées f ′(x) = 2x etf ′′(x) = 2 > 0. L’algorithme pour calculer une racine carrée de a > 0 est donc de laforme
xn+1 = xn − x2n − a2xn
=12
„
xn +axn
«
.
Par encadrement, on vérifie que f (2) = −1 et f (3) = 4. Par le théorème des valeursintermédiaires, il existe donc un zéro de f dans (2, 3). On vérifie aussi que f ′(x) > 4dans (2, 3).Comme f (3) f ′′(3) > 0, on part avec x1 = 3 ce qui donne
x2 = 3 − f (3)/f ′′(3) = 3 − 4/6 = 2.333
x3 = 2.238, x4 = 2.23606, x5 = 2.236067
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 113 / 119
DérivéesMéthode de Newton
Exemple (Calcul de√
5)
On cherche les zéros de la fonction f (x) = x2 − 5 qui a pour dérivées f ′(x) = 2x etf ′′(x) = 2 > 0. L’algorithme pour calculer une racine carrée de a > 0 est donc de laforme
xn+1 = xn − x2n − a2xn
=12
„
xn +axn
«
.
Par encadrement, on vérifie que f (2) = −1 et f (3) = 4. Par le théorème des valeursintermédiaires, il existe donc un zéro de f dans (2, 3). On vérifie aussi que f ′(x) > 4dans (2, 3).Comme f (3) f ′′(3) > 0, on part avec x1 = 3 ce qui donne
x2 = 3 − f (3)/f ′′(3) = 3 − 4/6 = 2.333
x3 = 2.238, x4 = 2.23606, x5 = 2.236067
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 113 / 119
DérivéesMéthode de Newton
Théorème
• f : [a, b] → R , f ′(x) existe dans [a, b], et f ′′(x) existe dans (a, b)
• f (a) f (b) < 0
• ∃m, M tels que |f ′(x)| ≥ m > 0 et |f ′′(x)| ≤ M dans (a, b).
Alors
(i) il existe x0 ∈ (a, b) tel que f (x0) = 0
(ii) il existe un intervalle [a∗, b∗] ⊂ [a, b] tel que x0 ∈ [a∗, b∗] et pour tout point initialx1 ∈ [a∗, b∗] les points de l’algorithme
xn+1 = xn − f (xn)
f ′(xn), n ≥ 1,
possèdent les propriétés suivantes : ∀n ≥ 1
xn ∈ [a∗, b∗], |xn+1 − x0| ≤M2m
|xn − x0|2 , et xn → x0.
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 114 / 119
DérivéesMéthode de Newton
Démonstration.
(i) Puisque f (a) f (b) < 0, il existe x0 ∈ (a, b) tel que f (x0) = 0 par le théorème desvaleurs intermédiaires.(ii) Soit la suite {xn} construite par l’algorithme. Par le théorème de Taylor, il existeθn ∈ (0, 1) tel que
0 = f (x0) = f (xn) + f ′(xn) (x0 − xn) +f ′′(x0 + θn(xn − x0))
2!(x0 − xn)
2
xn+1 − x0 = xn −f (xn)
f ′(xn)− x0 =
1f ′(xn)
f ′′(x0 + θn(xn − x0))
2!(x0 − xn)
2
en divisant tous les termes de la première identité par f ′(xn).
⇒ |xn+1 − x0| ≤|f ′′(x0 + θn(xn − x0))|
|f ′(xn)||xn − x0|2
2≤ M
m|xn − x0|2
2.
On choisit δ, 0 < δ < 2m/M, tel que [x0 − δ, x0 + δ] ⊂ [a, b] et [a∗, b∗] = [x0 − δ, x0 + δ].Donc pour le premier point x1 ∈ [a∗, b∗], on a |x1 − x0| < δ et
|x2 − x0| ≤M2m
|x0 − xn|2 <Mδ
2m|x1 − x0| < 1 · δ = δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 115 / 119
DérivéesMéthode de Newton
Démonstration.
(i) Puisque f (a) f (b) < 0, il existe x0 ∈ (a, b) tel que f (x0) = 0 par le théorème desvaleurs intermédiaires.(ii) Soit la suite {xn} construite par l’algorithme. Par le théorème de Taylor, il existeθn ∈ (0, 1) tel que
0 = f (x0) = f (xn) + f ′(xn) (x0 − xn) +f ′′(x0 + θn(xn − x0))
2!(x0 − xn)
2
xn+1 − x0 = xn −f (xn)
f ′(xn)− x0 =
1f ′(xn)
f ′′(x0 + θn(xn − x0))
2!(x0 − xn)
2
en divisant tous les termes de la première identité par f ′(xn).
⇒ |xn+1 − x0| ≤|f ′′(x0 + θn(xn − x0))|
|f ′(xn)||xn − x0|2
2≤ M
m|xn − x0|2
2.
On choisit δ, 0 < δ < 2m/M, tel que [x0 − δ, x0 + δ] ⊂ [a, b] et [a∗, b∗] = [x0 − δ, x0 + δ].Donc pour le premier point x1 ∈ [a∗, b∗], on a |x1 − x0| < δ et
|x2 − x0| ≤M2m
|x0 − xn|2 <Mδ
2m|x1 − x0| < 1 · δ = δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 115 / 119
DérivéesMéthode de Newton
Démonstration.
(i) Puisque f (a) f (b) < 0, il existe x0 ∈ (a, b) tel que f (x0) = 0 par le théorème desvaleurs intermédiaires.(ii) Soit la suite {xn} construite par l’algorithme. Par le théorème de Taylor, il existeθn ∈ (0, 1) tel que
0 = f (x0) = f (xn) + f ′(xn) (x0 − xn) +f ′′(x0 + θn(xn − x0))
2!(x0 − xn)
2
xn+1 − x0 = xn −f (xn)
f ′(xn)− x0 =
1f ′(xn)
f ′′(x0 + θn(xn − x0))
2!(x0 − xn)
2
en divisant tous les termes de la première identité par f ′(xn).
⇒ |xn+1 − x0| ≤|f ′′(x0 + θn(xn − x0))|
|f ′(xn)||xn − x0|2
2≤ M
m|xn − x0|2
2.
On choisit δ, 0 < δ < 2m/M, tel que [x0 − δ, x0 + δ] ⊂ [a, b] et [a∗, b∗] = [x0 − δ, x0 + δ].Donc pour le premier point x1 ∈ [a∗, b∗], on a |x1 − x0| < δ et
|x2 − x0| ≤M2m
|x0 − xn|2 <Mδ
2m|x1 − x0| < 1 · δ = δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 115 / 119
DérivéesMéthode de Newton
Démonstration.
(i) Puisque f (a) f (b) < 0, il existe x0 ∈ (a, b) tel que f (x0) = 0 par le théorème desvaleurs intermédiaires.(ii) Soit la suite {xn} construite par l’algorithme. Par le théorème de Taylor, il existeθn ∈ (0, 1) tel que
0 = f (x0) = f (xn) + f ′(xn) (x0 − xn) +f ′′(x0 + θn(xn − x0))
2!(x0 − xn)
2
xn+1 − x0 = xn −f (xn)
f ′(xn)− x0 =
1f ′(xn)
f ′′(x0 + θn(xn − x0))
2!(x0 − xn)
2
en divisant tous les termes de la première identité par f ′(xn).
⇒ |xn+1 − x0| ≤|f ′′(x0 + θn(xn − x0))|
|f ′(xn)||xn − x0|2
2≤ M
m|xn − x0|2
2.
On choisit δ, 0 < δ < 2m/M, tel que [x0 − δ, x0 + δ] ⊂ [a, b] et [a∗, b∗] = [x0 − δ, x0 + δ].Donc pour le premier point x1 ∈ [a∗, b∗], on a |x1 − x0| < δ et
|x2 − x0| ≤M2m
|x0 − xn|2 <Mδ
2m|x1 − x0| < 1 · δ = δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 115 / 119
DérivéesMéthode de Newton
Démonstration.
(i) Puisque f (a) f (b) < 0, il existe x0 ∈ (a, b) tel que f (x0) = 0 par le théorème desvaleurs intermédiaires.(ii) Soit la suite {xn} construite par l’algorithme. Par le théorème de Taylor, il existeθn ∈ (0, 1) tel que
0 = f (x0) = f (xn) + f ′(xn) (x0 − xn) +f ′′(x0 + θn(xn − x0))
2!(x0 − xn)
2
xn+1 − x0 = xn −f (xn)
f ′(xn)− x0 =
1f ′(xn)
f ′′(x0 + θn(xn − x0))
2!(x0 − xn)
2
en divisant tous les termes de la première identité par f ′(xn).
⇒ |xn+1 − x0| ≤|f ′′(x0 + θn(xn − x0))|
|f ′(xn)||xn − x0|2
2≤ M
m|xn − x0|2
2.
On choisit δ, 0 < δ < 2m/M, tel que [x0 − δ, x0 + δ] ⊂ [a, b] et [a∗, b∗] = [x0 − δ, x0 + δ].Donc pour le premier point x1 ∈ [a∗, b∗], on a |x1 − x0| < δ et
|x2 − x0| ≤M2m
|x0 − xn|2 <Mδ
2m|x1 − x0| < 1 · δ = δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 115 / 119
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Démonstration.
(suite) On choisit δ, 0 < δ < 2m/M, tel que [x0 − δ, x0 + δ] ⊂ [a, b] et[a∗, b∗] = [x0 − δ, x0 + δ]. Donc pour le premier point x1 ∈ [a∗, b∗], on a |x1 − x0| < δ et
|x2 − x0| ≤M2m
|x0 − xn|2 <Mδ
2m|x1 − x0| < δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].
◮ De la même façon
|xn+1 − x0| ≤M2m
|xn − x0|2 <
„
Mδ
2m
«n
|x1 − x0|.
Comme Mδ/(2m) < 1, |Mδ/(2m)|n < 1, xn+1 ∈ [a∗, b∗], et xn → x0.
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Démonstration.
(suite) On choisit δ, 0 < δ < 2m/M, tel que [x0 − δ, x0 + δ] ⊂ [a, b] et[a∗, b∗] = [x0 − δ, x0 + δ]. Donc pour le premier point x1 ∈ [a∗, b∗], on a |x1 − x0| < δ et
|x2 − x0| ≤M2m
|x0 − xn|2 <Mδ
2m|x1 − x0| < δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].
◮ De la même façon
|xn+1 − x0| ≤M2m
|xn − x0|2 <
„
Mδ
2m
«n
|x1 − x0|.
Comme Mδ/(2m) < 1, |Mδ/(2m)|n < 1, xn+1 ∈ [a∗, b∗], et xn → x0.
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Démonstration.
(suite) On choisit δ, 0 < δ < 2m/M, tel que [x0 − δ, x0 + δ] ⊂ [a, b] et[a∗, b∗] = [x0 − δ, x0 + δ]. Donc pour le premier point x1 ∈ [a∗, b∗], on a |x1 − x0| < δ et
|x2 − x0| ≤M2m
|x0 − xn|2 <Mδ
2m|x1 − x0| < δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].
◮ De la même façon
|xn+1 − x0| ≤M2m
|xn − x0|2 <
„
Mδ
2m
«n
|x1 − x0|.
Comme Mδ/(2m) < 1, |Mδ/(2m)|n < 1, xn+1 ∈ [a∗, b∗], et xn → x0.
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Démonstration.
(suite) On choisit δ, 0 < δ < 2m/M, tel que [x0 − δ, x0 + δ] ⊂ [a, b] et[a∗, b∗] = [x0 − δ, x0 + δ]. Donc pour le premier point x1 ∈ [a∗, b∗], on a |x1 − x0| < δ et
|x2 − x0| ≤M2m
|x0 − xn|2 <Mδ
2m|x1 − x0| < δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].
◮ De la même façon
|xn+1 − x0| ≤M2m
|xn − x0|2 <
„
Mδ
2m
«n
|x1 − x0|.
Comme Mδ/(2m) < 1, |Mδ/(2m)|n < 1, xn+1 ∈ [a∗, b∗], et xn → x0.
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DérivéesMéthode de Newton
Exemple
Soit la fonction f (x) = x3 − 4x + 2 qui possède 3 solutions réelles distinctes. On af ′(x) = 3x2 − 4 et f ′′(x) = 6x . L’algorithme est
xn+1 = xn − x3n − 4xn + 2
3x2n − 4
.
Comme la dérivée a deux zéros distincts, ±2/√
3 = ±1.154700538, les trois zérosx1 < x2 < x3 de f se trouve intercalés entre elles : x1 < −2/
√3 < x2 < 2/
√3 < x3. On
peut ensuite identifier les intervalles appropriés pour chaque racine :f (−3) = −13,f (−2) = 2,f (−2/
√3) = 5.079201436, f (−1) = 5,
f (0) = 2,f (1) = −1,f (2/
√3) = −1.079201436,
f (1.5) = −0.625f (2) = 2.On choisit donc [−3,−2], [0, 1], et [1.5, 2] pour éviter les points où f ′(x) s’annule. Danscet exemple on peut aussi identifier les constantes m et M dans chaque intervalle etcalculer le δ associé.
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Exemple
Soit la fonction f (x) = x3 − 4x + 2 qui possède 3 solutions réelles distinctes. On af ′(x) = 3x2 − 4 et f ′′(x) = 6x . L’algorithme est
xn+1 = xn − x3n − 4xn + 2
3x2n − 4
.
Comme la dérivée a deux zéros distincts, ±2/√
3 = ±1.154700538, les trois zérosx1 < x2 < x3 de f se trouve intercalés entre elles : x1 < −2/
√3 < x2 < 2/
√3 < x3. On
peut ensuite identifier les intervalles appropriés pour chaque racine :f (−3) = −13,f (−2) = 2,f (−2/
√3) = 5.079201436, f (−1) = 5,
f (0) = 2,f (1) = −1,f (2/
√3) = −1.079201436,
f (1.5) = −0.625f (2) = 2.On choisit donc [−3,−2], [0, 1], et [1.5, 2] pour éviter les points où f ′(x) s’annule. Danscet exemple on peut aussi identifier les constantes m et M dans chaque intervalle etcalculer le δ associé.
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Exemple
Soit la fonction f (x) = x3 − 4x + 2 qui possède 3 solutions réelles distinctes. On af ′(x) = 3x2 − 4 et f ′′(x) = 6x . L’algorithme est
xn+1 = xn − x3n − 4xn + 2
3x2n − 4
.
Comme la dérivée a deux zéros distincts, ±2/√
3 = ±1.154700538, les trois zérosx1 < x2 < x3 de f se trouve intercalés entre elles : x1 < −2/
√3 < x2 < 2/
√3 < x3. On
peut ensuite identifier les intervalles appropriés pour chaque racine :f (−3) = −13,f (−2) = 2,f (−2/
√3) = 5.079201436, f (−1) = 5,
f (0) = 2,f (1) = −1,f (2/
√3) = −1.079201436,
f (1.5) = −0.625f (2) = 2.On choisit donc [−3,−2], [0, 1], et [1.5, 2] pour éviter les points où f ′(x) s’annule. Danscet exemple on peut aussi identifier les constantes m et M dans chaque intervalle etcalculer le δ associé.
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Exemple
Soit la fonction f (x) = x3 − 4x + 2 qui possède 3 solutions réelles distinctes. On af ′(x) = 3x2 − 4 et f ′′(x) = 6x . L’algorithme est
xn+1 = xn − x3n − 4xn + 2
3x2n − 4
.
Comme la dérivée a deux zéros distincts, ±2/√
3 = ±1.154700538, les trois zérosx1 < x2 < x3 de f se trouve intercalés entre elles : x1 < −2/
√3 < x2 < 2/
√3 < x3. On
peut ensuite identifier les intervalles appropriés pour chaque racine :f (−3) = −13,f (−2) = 2,f (−2/
√3) = 5.079201436, f (−1) = 5,
f (0) = 2,f (1) = −1,f (2/
√3) = −1.079201436,
f (1.5) = −0.625f (2) = 2.On choisit donc [−3,−2], [0, 1], et [1.5, 2] pour éviter les points où f ′(x) s’annule. Danscet exemple on peut aussi identifier les constantes m et M dans chaque intervalle etcalculer le δ associé.
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Exemple
Soit la fonction f (x) = x3 − 4x + 2 qui possède 3 solutions réelles distinctes. On af ′(x) = 3x2 − 4 et f ′′(x) = 6x . L’algorithme est
xn+1 = xn − x3n − 4xn + 2
3x2n − 4
.
Comme la dérivée a deux zéros distincts, ±2/√
3 = ±1.154700538, les trois zérosx1 < x2 < x3 de f se trouve intercalés entre elles : x1 < −2/
√3 < x2 < 2/
√3 < x3. On
peut ensuite identifier les intervalles appropriés pour chaque racine :f (−3) = −13,f (−2) = 2,f (−2/
√3) = 5.079201436, f (−1) = 5,
f (0) = 2,f (1) = −1,f (2/
√3) = −1.079201436,
f (1.5) = −0.625f (2) = 2.On choisit donc [−3,−2], [0, 1], et [1.5, 2] pour éviter les points où f ′(x) s’annule. Danscet exemple on peut aussi identifier les constantes m et M dans chaque intervalle etcalculer le δ associé.
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DérivéesMéthode de Newton
Exemple
Soit la fonction f (x) = x3 − 4x + 2 qui possède 3 solutions réelles distinctes. On af ′(x) = 3x2 − 4 et f ′′(x) = 6x . L’algorithme est
xn+1 = xn − x3n − 4xn + 2
3x2n − 4
.
Comme la dérivée a deux zéros distincts, ±2/√
3 = ±1.154700538, les trois zérosx1 < x2 < x3 de f se trouve intercalés entre elles : x1 < −2/
√3 < x2 < 2/
√3 < x3. On
peut ensuite identifier les intervalles appropriés pour chaque racine :f (−3) = −13,f (−2) = 2,f (−2/
√3) = 5.079201436, f (−1) = 5,
f (0) = 2,f (1) = −1,f (2/
√3) = −1.079201436,
f (1.5) = −0.625f (2) = 2.On choisit donc [−3,−2], [0, 1], et [1.5, 2] pour éviter les points où f ′(x) s’annule. Danscet exemple on peut aussi identifier les constantes m et M dans chaque intervalle etcalculer le δ associé.
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Plan
1 Fonctions différentiables ou dérivables
2 Opérations sur les fonctions dérivables
3 Extrema d’une fonction - la règle de Fermat
4 Théorèmes de Rolle et de la moyenne, formule de Cauchy
5 Règle de l’Hôpital
6 Formule de Taylor
7 Extrema d’une fonction
8 Méthode de Newton
9 Références
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Références
[1] J. Labelle et A. Mercier, Introduction à l’analyse réelle, Modulo Éditeur,Mont-Royal, Canada, 1993.
[2] Notes sur Fermat : http : //fr .wikipedia.org/wiki/Fermat
[3] Notes sur Leibniz : http : //fr .wikipedia.org/wiki/Leibniz.
[4] Notes sur L’Hôpital :http : //fr .wikipedia.org/wiki/GuillaumeFrançoisAntoine,m arquisdeL’Hôpital
[5] Notes sur Newton : http : //fr .wikipedia.org/wiki/IsaacNewton
[6] Notes sur Rolle : http : //fr .wikipedia.org/wiki/MichelRolle,http : //www .gap − system.org/ history/Biographies/Rolle.html ,
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 119 / 119
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