Equations différentielles, DUT MP, CM1

Les équations différentiellesApplications et mises en équations

Christophe Palermo

IUT de MontpellierDépartement Mesures Physiques

&Institut d’Electronique du Sud

Université Montpellier 2Web : http://palermo.wordpress.com

e-mail : cpalermo@um2.fr

Cours du 16 novembre 2010

MONTPELLIER

1 Avant de commencer2 Introduction3 Économie4 Physique nucléaire5 Mécanique

Chûte libreL’oscillateur harmonique

6 Electricité7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement

Le pendule pesantDynamique des populations

8 Conclusion

IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 2 / 40

Avant de commencer

8 Conclusion

Avant de commencer

Fonctions et nombres #1

Soit une fonction f , fonction de la variable x

En toute rigueur :f est le nom de la fonctionf (x) est la valeur de f en x

Abus de langage :f est appelée f (x) pour monter qu’elle dépend de xExpression f (x) = 3 · x + 2 : remplacer le x pour obtenir la valeur f (x)On parlera de variation de f , de dérivée de f et de Df

Exemple plus physique v(t) = 4,9× tv est la fonction vitessemais la vitesse est une grandeur physiquev(t) est la valeur de la vitesse v à l’instant t

Avant de commencer

Fonctions et nombres #2

En info : fonction additionfloat addition (float a, float b){float r ;r=a+b ;return (r) ;}

définie comme un nombre !

ConclusionOn peut appeler la fonction f (x) au lieu de f mais il faut être conscient dela subtilité qui différencie ces deux notations !

Avant de commencer

Dérivation

La dérivée de fnotée f ′ est une fonctionf ′(x) est un nombre quand x a une valeur donnéecalcul du nombre f ′(x) : définition

f ′(x) = limdx→0

f (x + dx)− f (x)

dx = limdx→0

“Le nombre dérivé en x a pour valeur la différence de f entre x etx + dx divisée par la différence de x lorsque cette dernière est trèspetite”

Comment déterminer f ′ ? Voie possible :Pour une fonction totalement inconnueCalcul des df /dx ∀xRapprochement d’une fonction

Avant de commencer

Exemples

Représentons :

y =f (x + dx)− f (x)

dx en fonction de x pour différents dxy = f ′(x), fonction connue

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8

-3 -2 -1 0 1 2 3

cos(x)dx=10

dx=1dx=0,1

dx=0,01

f (x) = sin(x)

10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 0.5 1 1.5 2

1/xdx=10

dx=1dx=0,1

dx=0,01

f (x) = ln(x)

Avant de commencer

Exemples

0 2 4 6 8

10 12 14

0 0.5 1 1.5 2

exp(x)dx=1

dx=0,5dx=0,1

dx=0,01

f (x) = exp(x)

0 0.5 1 1.5 2

2xdx=1

dx=0,5dx=0,1

dx=0,01

f (x) = x2

Plus dx diminueet plus le taux de variation df

dx → nombre dérivé f ′(x), ∀x

Avant de commencer

Dérivées usuelles

Départ : calcul systématique∀x ∈ R, dx → 0 =⇒ sin(x+dx)−sin(x)

dx → cos(x)

∀x ∈ R, dx → 0 =⇒ ln(x+dx)−ln(x)dx → 1

x∀x ∈ R, dx → 0 =⇒ ex+dx−ex

dx → ex

∀x ∈ R, dx → 0 =⇒ (x+dx)2−x2

dx → 2 · x

Arrivée : opération pour passer d’une fonction à sa dérivéesin′(x) = cos(x)ln′(x) = 1/xexp′(x) = exp(x)(x2)′

= 2 · x

Tableau des dérivées usuelles

Avant de commencer

Quelques remarques

Il ne faut retenir que les opérations, mais se souvenir qu’elles découlentd’un calcul de taux de variation

Approche numérique mais aussi (et surtout) approches analytiques

Par la suite : dfdx ⇒ dx le plus petit possible !infinitésimalélémentaire

dfdx ⇐⇒

ddx f ⇐⇒ f ′ ⇐⇒ dérivée de f par rapport à x

Si f est fonction du temps t :On aura df

dtdérivée de f par rapport au tempsrapport de variation df pendant dtNotations : dfdt = f ′(t) = f (t)

Introduction

8 Conclusion

Introduction

Les équations différentielles

Présentes dans de nombreux domainesMathématiquesEconomie, biologie, physique, etc.

Plusieurs types :Premier et second ordrede différents degrésd’une ou plusieurs variables (espace, temps)avec ou sans second membre/membre perturbateur

Mise en équationles lois du domaineexemples : PFD, lois des noeuds et des mailles, lois de probabilités, etc.

Résolution de ces équations : outil important

Introduction

La mise en équation

Simple à condition de trouver la loi adéquate

On s’intéresse :aux variations de la variable recherchéeau pas temporel qui régit ces variations

La solutionfonction dépendant du tempsévolution temporelle d’une variableunité de temps = unité du pas temporel

Exemple en économie : calculer ses intérêts

Économie

8 Conclusion

Économie

Exemple en économie : calcul d’intérêts

Question :“Si je place 3000 euros au taux annuel de 3,6 % et que je ne toucheplus au livret, combien aurai-je au bout d’un an ?”Problème pas si simple !

Réponse évidente, mais fausse :3,6 % de 3000 euros ça fait 108 euros d’intérêtsJ’aurai donc 3108 euros

Pourquoi la réponse est-elle fausse ?Parce que j’aurai en fait 3110 eurosParce qu’il faut résoudre une équation différentielleParce que les intérêts sont calculés tous les 15 jours

Économie

Calcul d’intérêts

La variation dp sur une période du pécule est proportionnelle :au taux kau temps qui s’écoule dtà l’encours p

Equation : dp =k100 · p · dt

Attention :il faut choisir dt correctement (suffisamment petit)banques : dt = 1 quinzaine et donc k =

3,624 % (24 quinzaines par an)

Économie

Calcul d’intérêts

La variation dp sur une période du pécule est proportionnelle :au taux kau temps qui s’écoule dtà l’encours p

Equation : dp =k100 · p · dt

Attention :il faut choisir dt correctement (suffisamment petit)banques : dt = 1 quinzaine et donc k =

3,624 % (24 quinzaines par an)

Économie

Exemple d’économie : l’équation différentielle

dpdt −

k100 · p = 0

Deux approches de la même chose :Rapport ∆p/∆t quand ∆t devient très petitDérivée de p par rapport à t

Présence de p et de dp/dt : premier ordre

“= 0”Pas de second membrePas de perturbation (membre perturbateur)

Equation différentielledu premier ordresans second membre (⇔ membre perturbateur) : homogèneunité de temps de la solution : la quinzaine

Économie

dpdt −

k100 · p = 0

Économie

dpdt −

k100 · p = 0

Économie

dpdt −

k100 · p = 0

Économie

dpdt −

k100 · p = 0

Économie

Solution du problème

Nous verrons plus tard que p(t) = p0 · ek100 t

Condition initiale : à l’instant zéro j’ai 3000 euros

Donc p(0) = p0 = 3000

Au bout d’un an :

p(24 quinz.) = 3000 · e1,5·10−3×24 = 3110 euros

Et au bout de 10 ans ?

p(240 quinz.) = 3000 · e1,5·10−3×240 = 4300 euros

soit +43 %Calcul faux : 10× 3,6 = 36 %

Physique nucléaire

8 Conclusion

Physique nucléaire

Physique nucléaire : décroissance radioactive

Processus de PoissonProbabilité d’occurrence indépendante du passéParticule plus agée =⇒ même chance de se désintégrer

Variation du nombre de particules pendant l’instant dtnégativeproportionnelle au nombre en cours

dN(t) = −λ · N(t) · dt

équation différentielle :

dNdt + λ · N = 0

S. D. Poisson1781-1860

λ :constante de décroissance ;homogène à l’inverse d’un temps ;reliée à τ (demi-vie) ⇒ calcul plus loin

Mécanique

8 Conclusion

Mécanique Chûte libre

Mécanique : chûte d’un corps

Chute d’un corps sans forces de frottement :Satellite (naturel ou artificiel)

La loi à appliquer : le PFD (2nde loi de Newton)

Forces appliquées au mobile :Poids m~g de haut en baset rien d’autre ∑

F (= m~g) = m~a

Projection sur les ordonnées :

ma = −mg

Equation du premier ordre

Remarques :la masse n’intervient pas !il ne se passe rien en abscisse

Accélération :variation de vitesse dv pendant l’instant dtdérivée de v par rapport à t

Equation différentielle de la vitesse :

dvdt = −g

1er ordre, 1er degré et avec membre perturbateurun terme en dv/dtmais pas de membre en v(t)équation incomplète

Equation du second ordre

Vitesse :variation de position dh pendant l’instant dtdérivée de h par rapport à t

Accélération :d(

d2hdt2 = h

Equation différentielle de la position :

d2hdt2 = −g

2ème ordre, 1er degré et avec membre perturbateurun terme en d2h/dt2 mais pas de membre en h(t) ni en dh/dtéquation incomplète

Chute amortie

On rajoute des frottements

Frottements visqueux :intensité proportionnelle à la vitesse, coef. fopposés au déplacement : −f dh

Nouvelle équation :h +

fm h = −g

Remarques :influence de la massepas de terme en h : équation incomplète

Comment faire une équation complète ?

Mécanique L’oscillateur harmonique

Mécanique : pendule élastique

0On considère

un mobile de masse mun ressort de raideur kdes frottements visqueux

Forces en jeu :le poids ~Pla réaction du sol −~Pla force de rappel du ressort ~R = −k~xles frottements ~F = −f d~xdtet rien d’autre

Mécanique : pendule élastique

0PFD, projection sur x (il ne se passe rien en y)

ma = m d2xdt2 = −kx − f dx

Equation du mouvement : x +fm x +

kmx = 0

Equation différentielle2ème ordre, 1er degré, sans second membre (perturbateur)présence de x , x et x : equation complète

Oscillateur harmoniqueLa solution est une fonction sinusFréquence propre, amortissement.Masse-ressort, pendule pesant, circuit électrique, etc.

Introduction d’une perturbation

Système vertical

Projection sur x

Mise en équation :On rajoute le poids P = −mg∑

F = mx = −kx − f x −mg

Equation :x +

fm x +

kmx = −g

Equation différentielle :2ème ordre et 1er degréterme perturbateur constantcomplèteconséquence : point d’équilibre x0 < 0 (calculable)

Oscillations forcées

Ajoutons une force sinusoïdale : S(t) = A cos(ωt + ϕ)

L’équation devient :

x +fm x +

Am cos(ωt + ϕ) [ +g ]

Equation différentielle du second ordre, premier degré,avec membre perturbateur

Membre perturbateur : fonction périodique

Grandeurs (calculables) :Fréquence propre, amortissement,Régimes transitoire et permanent

Electricité

8 Conclusion

Electricité

Analogie électrique : circuit RLC

Lois du domaine :loi des mailles E = uR + uL + uloi des nœuds : conservation du courant

Mise en équationSolution : tension aux bornes de CCapacité : Q = C · u ⇒ i = Cuinductance : uL = L di

dt = LCuRésistance : uR = Ri = RCuEquation E = RCu + LCu + u

Electricité

Oscillateur harmonique électrique

Oscillateur harmonique :

u +RL u +

1LC u =

à rapprocher dex +

fm x +

kmx = −g

Equation différentielle2ème ordre et 1er degréTerme perturbateur constant =⇒ déplacement du point d’équilibreTerme perturbateur périodique : bande passante

R joue le rôle d’amortisseur (pertes Joule)

Electricité

Oscillateur harmonique électrique

Oscillateur harmonique :

u +RL u +

1LC u =

à rapprocher dex +

fm x +

kmx = −g

Equation différentielle2ème ordre et 1er degréTerme perturbateur constant =⇒ déplacement du point d’équilibreTerme perturbateur périodique : bande passante

R joue le rôle d’amortisseur (pertes Joule)

Problèmes (presque) insolubles analytiquement

8 Conclusion

Problèmes (presque) insolubles analytiquement Le pendule pesant

Le pendule pesant

Equation en θ

Mise en équation :

θ + k θ +gl sin θ = 0

Equation différentielle :Non linéaire !Résolution analytique compliquée

Solutions possibles :Si θ petit alors sin θ ' θ : oscillateurharmonique

θ + k θ +gl θ = 0

Résolution numériqueIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 34 / 40

Problèmes (presque) insolubles analytiquement Dynamique des populations

Approche simplifiée

Etude d’une population nTaux d’accroissement dnProportionnel à dt et à n lui-mêmeEquation simple :

dn = K · n · dt

et doncdndt − K · n = 0

Remarques :Approche très simplifiéeNe prend pas en compte les interactionsInfluence des prédateurs, catastrophes, vivres ?

L’approche de Lotka et Volterra (proies-prédateurs)

Une population ne dépend pas que d’elle-même

Evolution conjointe de deux populationsdes prédateurs (renards) pdes proies (lapins) n

Taux de variation ? On suppose que :les proies se nourrissent sans problème : croissance αles prédateurs meurent naturellement ( !) : décroissance −δles prédateurs ne se nourrissent que des proies : croissance desprédateurs γnseuls les prédateurs mangent ces proies : disparition des proies −βpApproche simplifiée

Les équations proies-prédateurs

Deux équations à résoudre simultanément :

dndt = (α− βp) · n

pour les proies

dpdt = (γn − δ) · p

pour les prédateurs

Résolution uniquement numérique (pas à pas)ni+1 = ni + ∆t · [(α− βpi ) · ni ] pi+1 = pi + ∆t · [(γni − δ) · pi ]

Pas de solution analytique !On ne peut pas écrire n et p sous la forme de fonctions du tempsSauf avec de grandes simplifications

Une idée de la solution

Proies

Prédateurs

1 Plus de proies =⇒ plus de prédateurs2 Plus de prédateurs =⇒ moins de proies3 Moins de proies =⇒ moins de prédateurs4 Moins de prédateurs =⇒ plus de proies

Conclusion

8 Conclusion

Conclusion

Les équations différentielles

OmniprésentesPlusieurs sortes :

1er et 2nd ordreLinéaires et non-linéaires (degré > 1 par exemple)Avec et sans membre perturbateurComplètes et incomplètes

Pour chaque sorte :une méthode différente de résolutionCette année : 1er et 2ème ordre, linéairesBac+3 : approche numérique

Prochain cours :définition rigoureuse des notions1er ordreimportance des conditions initiales

Equations différentielles, DUT MP, CM1

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