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TP8: Equations différentielles II
Rappels Résolution d’équations différentielles linéaires
homogènes à coefficients constants Exemple d’enoncé: Ay’’+By’+Cy=0 Remplacer y par
Résoudre l’équation
Rechercher le delta Si delta=0=> exponentielle multipliée par un polynôme de degré égal au
degré de l’équation différentielle moins 1
Si delta>0=> somme des exponentielles des li multipliée par un coefficient constant
Si delta<0=> somme des sin et cos des parties imaginaires des racines multipliées par l’exponentielle de la partie réelle des racines et par un coefficient constant
xe
0² xxx CeeBeA 0)²( CBAe x
)( EDxey x
xx EeDey 21
)cossin( IxBIxAey Rx
Rappels
Point d’équilibre Déplacement vers la droite si est supérieur à 0,
vers la gauche sinon. Ce point est stable si lorsqu’on prend la limite de la
fonction en l’infini, on converge vers ce point, pour une condition initiale fixée en un point suffisamment proche du point d’équilibre
x
A. Exercices supplémentaires
Analyser les équations suivantes graphiquement. Déterminer tous les points fixes, classifier leur stabilité et esquisser un graphe des fonctions solution sur R+. Ne pas résoudre les équations.
tracer le graphique
16²4 xx
droite la t versdéplacemen positivefonction gauche la t versdéplacemen négativefonction
A. Exercices supplémentaires
tracer le graphique
³xxx
A. Exercices du syllabus
173 a) y’’-9y=0
c)y’’+6y’+9y=0
f) 0²
² y
dx
dy
xd
yd
09² xx ee 3 xx BeAey 33
096² xxx eee 3 xeBAxy 3)(
0² xxx eee ²3341 i2
3
2
11 i
2
3
2
12 i
2
3et
2
1
)2
3sin
2
3cos(2
1 xB
xAey
x
B. Exercices du syllabus
176
177 déterminer y tel que y(0)=0 Y’’=-y’
y’’+y’=0
Condition initiale:
ba 4² 2
|4²| baia 00
2
a
a9
²4
3
2
2
4 b
b
0² xx ee 01
12 xBeAy
BA 0xAeAy
B. Exercices du syllabus
179 a) b)
c) 182
a) b) c) condition initiale=
0)1²( xe xBxAy sincos
24
sin4
cos
10sin0cos
BA
BAxxy sincos
xBxAy cossin'
10sin0cos
00cos0sin
BA
BA xy cos (0,1)en maximum
dx
dyy
xAey 0
0xAey
00
xeyA
00
xxeyy
B. Exercices du syllabus
184 0)
1²(
LCL
Re t
CL
LCR
LCL
R
²
4²14
²
²
0²
4²
CL
LCR
0²
4²
CL
LCR
0²
4²
CL
LCR
tL
R
eBAty 2)(
)2²
²4
sin(2
tCL
CRL
AeytL
R
tCL
CRL
L
RtCL
CRL
L
R
BeAey)
2²
²4
2()
2²
²4
2(
C. Exercice supplémentaire
Equation homogène associée
Solution générale:
𝑦 ′ ′+3 𝑦 ′−4 𝑦=0
043² ttt eee 2
5325)4.(49
tt BeAey 4
C. Exercice supplémentaire
Solution particulière
Solution générale
tp ey 2
6
1
tttt eAeAeAe 2222 42.34 1464 AAA6
1 A
ttt BeAeey 42
6
1
C. Exercice supplémentaire
Equation homogène associée
Solution générale:
𝑦 ′ ′+3 𝑦 ′−4 𝑦=0
043² ttt eee 2
5325)4.(49
tt BeAey 4
C. Exercice supplémentaire
(b)Solution particulièretttt eAeAeAe 1043 10431 AAA !!!100
C. Exercice supplémentaire
(c)Solution particulière
(d) solution générale104332 AtAtAAtA
t
t
etAy
etAy
)2(''
)1('
tttt eAteetAetA 104)1(3)2( 105 A
tp tey 2
ttt BeAetey 42
C. Exercice supplémentaire
Equation homogène associée
Solution générale:
𝑦 ′ ′+8 𝑦 ′+16 𝑦=0
0168² xxx eee 4
xeBxAy 4)(
C. Exercice supplémentaire
Solution particulière
Solution générale
8
1
4
1 xy pxBAxA 4)(168 xBAAx 416816
8
14
1
B
A
0''
'
y
Ay
8
1
4
1)( 4 xeBxAy x
C. Test
1. B(977-241)/2+1
2.Dminimum de filles si tous garçons droitiers (16)22-16=6
3.D
Test
4. C Solution:
5.E A et C sont d’ordre supérieur à 1 B et D: on ne peut pas isoler x et y E: y’y² = xy³ + 1- sin²(x + y) cos²(x + y) = x y³ + 1 - 1
2
²x
Cey
