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Equations différentielles
ordinaires : dérivation temporelle
D5PHI2D5PHI2
… de systèmes plus ou moins complexes
codes 0D
Le logiciel (ici Trnsys) résoud des systèmes
d’équations différentielles en temps couplées.
Le couplage des méthodes de discrétisation temporelle avec différentes méthodes
de discrétisation spatiale des solutions donnent lieu à des méthodes de résolution
d’équations aux dérivées partielles.
-Différences finies
-Volumes finis
-Eléments finis
-Méthodes spectrales …
Si toutes ces méthodes diffèrent pour la représentation spatiale des solution et les
façons de poser les équations à résoudre,
elles ont toutes en commun la possibilité de mettre en œuvre
une discrétisation temporelle analogue.
Problème de Cauchy:
=
=∂
∂=
→
ℜ→ℜ×
ℜ∈≤≤
αy(a)
f(x,y(x))x
yy'(x)
xyxy
baf
bxa
:par définie )(: chercheOn
],[:
,Soient α
Condition initiale dite condition de Cauchy
4
Une solution à ce problème existe et est unique si
[ ]( )ℜ×∈ baCf ,* 0
variable2 la àrapport par ennelipschitziest f * ème
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) 2121
21
,,
/ de teindépendan 0 ..
yylx,yfx,yf
bax,y,x,y
xlei
−≤−
ℜ×∈∀
>∃
Plus pratique: si y
ff y
∂
∂= est continue et bornée, alors f est
lipschitzienne
5
Exemples : [ ]
[ ]
.ln
unique Solution
5,sur bornéeet continueest ln
1
ln
1
,ln
1
ln),(,
)(
5,,ln
1
ln'
x
xy
exxxy
f
xxx
yyxf
eey
exxxx
yy
=
−=∂
∂
+−=
=
∈+−=
[ ]
[ ]
.2
xet y 0 possibles solutions 2
1,0sur bornée nonest 2
1
,),(,0)0(
1,0,'
2
==
=∂
∂
=
=
∈=
y
yy
f
yyxfy
xyy
Systèmes d’équations différentielles du premier ordre.
[ ]
=
=
=
∈
=
=
=
nnnnn
n
n
ay
ay
ay
bax
yyxfy
yyxfy
yyxfy
α
α
α
)(
...
)(
)(
,,,
),...,,('
...
),...,,('
),...,,('
22
11
1
122
111
Le théorème d’existence et d’unicité est identique en remplaçant, dans la
condition de Lipschitz la valeur absolue dans R par une norme dans Rn.
Equations différentielles d’ordre supérieur :
(type équation des ondes)
=
=
=
β
α
)('
)(
)',,(''
ay
ay
yyxfy
=
=
' pose On
2
1
yu
yu
On obtient le système différentiel du premier ordre équivalent :
=
=
=
=
β
α
)(
)(,
),,('
'
2
1
212
21
au
au
uuxfu
uu
Approche discrète: détail des méthodes à un pas
discrétisation du ‘temps’
N
abhNnnhax
bxxxa
n
n
−==+=
=<<<=
,,...,0,
...10
définition d’une suite: ),,(, 10 hyxhyyy nnnn Φ+== +α
La méthode sera définie par le choix de Φ
Méthode d’Euler: fΦyxhfyy nnnn =+=+ soit ),,(1
h
yyxy nn
n
−′ +1par )( remplaçant en obtenue
9
Les yi sont des valeurs approchées de la solution exacte
notée y(x). En règle générale yi≠ y(xi). Pour qu’une méthode
soit jugée bonne, il faut qu’elle soit convergente :
0)(max0
,..,0 →−→= hnn
Nnxyy
x
yy(x)
h
h/2
h/4
10
Consistance:
[ ] 0)),(,()()(1
maxlim
:équation cette de exacte
solution pour toute si ),( elledifférentiéquation l' avec
econsistantest ),,( méthode La
1,...,00
1
=
Φ−−
=′
Φ+=
+=→
+
hxyxxyxyh
y
yxfy
hyxhyy
nnnnNnh
nnnn
On a consistance si le schéma représente bien l’équation différentielle:
[ ]
))(,,(
))(,()(')),(,()()(1
1
nn
nnnnnnn
xyxhR
xyxfxyhxyxxyxyh
+
−=Φ−−+
on pose
Equation différentielle:
terme nul si solution exacte
RésiduSchéma appliqué à un
champ ∞C
11
0))(,,(max:eConsistanc0
→→hnn
nxyxhR
)(!
...2
)()( 1
2
22
1
++ +
∂
∂++
∂
∂+
∂
∂+= p
nx
p
pp
nxnx
nn hOx
y
p
h
x
yh
x
yhxyxy
∞C Champ
[ ]
)(!
...2
)(')),(,()()(1
2
1
2
2
1
),h),y(xΦ(x
hOx
y
p
h
x
yh
xyhxyxxyxyh
nn
p
nx
pp
nx
nnnnn
−
+∂
∂++
∂
∂+
=Φ−−
−
+
[ ]
)(!
...2
)(
))(,()(')),(,()()(1
2
1
2
2
1
p
nx
pp
nx
nnnn
nnnnnnn
hOx
y
p
h
x
yh
),h),y(xΦ(x)x,yf(x
xyxfxyhxyxxyxyh
+∂
∂++
∂
∂+
−+
−=Φ−−
−
+
Résidu
12
Schéma d’ordre p: )())(,,(max p
nnn
hOxyxhR =
Vérifier la consistance est insuffisant pour assurer
la convergence
Condition nécessaire et suffisante de consistance:
ℜ∈∀∈∀=Φ ybaxyxfyx ],,[),,()0,,(
13
Ne pas confondre l’ordre du schéma et l’ordre de l’erreur sur
1 pas:Schéma: ),,(1 hyxhyy nnnn Φ+=+
Solution exacte sur 1 pas:
)(!
...2
)()( 1
2
22
1
++ +
∂
∂++
∂
∂+
∂
∂+= p
nx
p
pp
nxnx
nn hOx
y
p
h
x
yh
x
yhxyxy
Erreur sur 1 pas:
),,
)(!
...2
),,()(1
2
2
11
hy-hR(x
hOx
y
p
h
x
yh
x
yhyxhxyy
nn
p
nx
p
pp
nxnx
nnnn
=
+
∂
∂−−
∂
∂−
∂
∂−Φ=−
−
++
Sur N pas, l’erreur est « multipliée par»h
abN
−=
14
La méthode est dite stable si les solutions de:
vérifient:
( )
+Φ+=
Φ+= ++
fixé
),,(et
fixé
),,(
0
1
0
1
z
hzxhzz
y
hyxhyy nnnnnnnnn ε
nNn
nnNn
MzyMzy
hMM
ε,...,1
2001,...,0
21
maxmax
/ de tesindépendan ,
==+−≤−
∃
Sensibilité aux conditions initiales
Sensibilité aux erreurs de troncatureset
bornées:
Méthode stable15
Stabilité :
Condition suffisante de stabilité:
Si Φ vérifie une condition de Lipschitz par
rapport à la 2ème variable, alors la méthode est stable:
En pratique, on vérifie que est continue et bornée.
yyMhyxhyx
hMyybax
−≤Φ−Φ
>∃ℜ∈∀∈∀
),,(),,(
/ de teindépendan 0,,],,[
yy
∂
Φ∂=Φ
16
CONSISTANCE+STABILITE=>CONVERGENCE
0max)(max0
,...,02
,...,0 →′≤−→== hn
Nnnn
NnMxyy ε
Consistance: ( )
0)max(lim avec
)),(,()()(
,...,00h
1
=′
′+Φ+=
=→
+
nNn
nnnnn hxyxhxyxy
ε
ε
stabilité consistance
0)(max0
,...,0 →−→= hnn
Nnxyy convergence
17
Méthode d’Euler:
=
+=+
α0
1 ),(
y
yxhfyy nnnn
Consistance :
Stabilité :Convergence
Ordre
)0,,(),(),,( yxyxfhyx Φ==Φ
f lipschitzienne
)()...(6
)(2
2
hOxyh
xyh
R nn =′′′+′′=1
}
18
19
Méthode de Runge-Kutta d’ordre 2
11 ),(' ++ >>+=nnnnnn
xxxxhyyy
.2/ : Améliorons
. :Euler
hxx
xx
nn
nn
+=
=
)2/),(,2/())(,(nnnnnn
yxhfyhxfxyxf ++=
α=
+++=+
0
1 )2/),(,2/(
y
yxhfyhxhfyy nnnnnn
Schéma :
Runge Kutta d’ordre 3 : voir le TD.
Méthode de Runge Kutta d’ordre 4
[ ]
( )34
23
12
1
4321
,2
,2
2,
2
),(k
226
1),,(
hkyhxfk
kh
yh
xfk
kh
yh
xfk
yxf
kkkkhyx
++=
++=
++=
=
+++=Φ
20
Programmes Matlab de mise en œuvre des formules
d’Euler et de Runge Kutta d’ordre 4.
A-stabilité
Un schéma est A-stable si, appliqué à l’équation différentielle
avec A une constante complexe de partie réelle positive, il satisfait pour
toute valeur de h :
Ayy −='
0lim =∞→
nn
y
0
1
1 )1()1(),( yhAyhAhAyyyxhfyyn
nnnnnnn
++ −=−=−=+=
Méthode d’Euler
La méthode est A-stable si 11 ≤− hA
Elle ne l’est donc pas forcément, notamment pour A imaginaire pur.
On peut montrer qu’aucune méthode à un pas n’est A-stable.
Rayon de stabilité des méthodes à un pas
Les méthodes adopteront un comportement décroissant vers 0 si Ah est inférieur
à une certaine valeur dite rayon de stabilité.
Si A est réel, la condition pour le schéma d’Euler devient :
stabilité. de rayonR,2Ahsoit ,11 =<<− Ah
Pour la méthode d’Euler améliorée, on trouve R=2 aussi.
Pour RK4, R=2,78.
Méthodes multi-pas
( )nknknknkknk ffhyyy 0011 ββααα ++=+++ +−+−+ LL
Si 0=kβ la méthode est explicite , sinon elle est implicite.
Etude de consistance : utilisation de développements de Taylor.
Etude de stabilité : hors programme.
25
Autres méthodes ),( tyft
y=
∂
∂
Adams Bashforth :
211
11
1
12
5
12
16
12
23
2
1
2
3
−−+
−+
+
+−=−
−=−
=−
nnn
nn
nnnn
nnn
fffh
yy
ffh
yy
fh
yy
( )
111
11
11
12
1
12
8
12
5
2
1
−++
++
++
−−=−
+=−
=−
nnn
nn
nnnn
nnn
fffh
yy
ffh
yy
fh
yy
Adams Moulton :
111
2
43 +−+
=+− n
nnn
fh
yyy1
11
22
43 −−+
−=+− nn
nnn
ffh
yyy
n
nn
fh
yy=
− −+
2
11
Autres formulations d’ordre 2 :
A-stable
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