Équations locales de lélectromagnétisme dans le vide I) Rappels sur les forces 1) Force subie par...

Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide

I) Rappels sur les forces

1) Force subie par une particule chargée

Force subie par une particule chargée

P

q = (P,t).d

j(P,t)M, q v(M,t)

B(M,t)F(M,t)

E(M,t)

Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide

I) Rappels sur les forces

1) Force subie par une particule chargée

2) Puissance reçue par les charges de la part des champs

Puissance reçue par les charges de la part des champs

La charge q, en M à la date t, reçoit de la part du champ électromagnétique [E, B] par l’intermédiaire de la force de Lorentz F une puissance algébrique instantanée définie, en M, à la date t, par :

= F.v = q[E + v x B].v = q.E.v

Puissance reçue par les charges de la part des champs

La puissance volumique algébrique instantanée vol reçue par les charges mobiles de la part du champ électromagnétique définie par d = vol.d est :

vol = j.E

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I) Rappels sur les forces

1) Force subie par une particule chargée

2) Puissance reçue par les charges de la part des champs

3) Modèle de Drude de la conduction

Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide

I) Rappels sur les forces

4) L’effet Hall

a) Le modèle élémentaire

L’effet Hall

E0

a

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I) Rappels sur les forces

4) L’effet Hall

a) Le modèle élémentaire

b) La tension de Hall

La tension de Hall

Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide

I) Rappels sur les forces

4) L’effet Hall

a) Le modèle élémentaire

b) La tension de Hall

c) Modèle de Hall des forces de Laplace

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II) Les équations de Maxwell dans le vide

1) Les équations de Maxwell

Les équations de Maxwell

Postulat :

Dans un référentiel galiléen R, le champ électromagnétique en M, à la date t, [E ; B] créé par une distribution volumique de charges et de courants décrite en P, à la date t par les densités [ ; j] est solution du système d’équations en M, à la date t :

0div

EL’équation locale de Maxwell – Gauss :

L’équation locale de Maxwell – Faraday :tB

rotE

L’équation locale de Maxwell – Ampère :

μ μ ε0 0 0. . .tE

rotB j

L’équation locale du flux magnétique : divB = 0

0div

EL’équation locale de Maxwell – Gauss :

L’équation locale de Maxwell – Faraday : rotE 0

L’équation locale de Maxwell – Ampère : μ0.rotB j

L’équation locale du flux magnétique : divB = 0

On retrouve en régime stationnaire et en tout point M de l’espace :

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II) Les équations de Maxwell dans le vide

2) Formes intégrales et conditions de passage

a) Équation de Maxwell – Gauss

Première relation de passage du champ électrique

et js

σε0

(M) (M) n2 n1 1 2E E n

(1)(2)

M

n12

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II) Les équations de Maxwell dans le vide

2) Formes intégrales et conditions de passage

a) Équation de Maxwell – Gauss

b) Équation du flux magnétique

Flux du champ magnétique

1

2

dS2dS1

1 = 2

Première relation de passage du champ magnétique

et js

(1)(2)

M

Bn2(M) – Bn1(M) = 0

n12

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II) Les équations de Maxwell dans le vide

2) Formes intégrales et conditions de passage

a) Équation de Maxwell – Gauss

b) Équation du flux magnétique

c) Équation de Maxwell – Ampère

d

+

P

dS

M

j(M,t)

B(P,t)

Seconde relation de passage du champ magnétique

et js

(1)(2)

M

Bt2(M) – Bt1(M) = 0.js x n12

n12

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II) Les équations de Maxwell dans le vide

2) Formes intégrales et conditions de passage

a) Équation de Maxwell – Gauss

b) Équation du flux magnétique

c) Équation de Maxwell – Ampère

d) Équation de Maxwell – Faraday

d

+

P

dS

M

B(M,t)

E(P,t)

L’équation locale de Maxwell – Faraday :tB

rotE

L’équation locale de Maxwell – Ampère :

μ μ ε0 0 0. . .tE

rotB j

Seconde relation de passage du champ électrique

et js

(1)(2)

M

Et2(M) – Et1(M) = 0

n12

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III) Les potentiels électromagnétiques V et A

1) Définitions

Les équations de Maxwell assurent l’existence d’un potentiel scalaire électrique V et d’un potentiel vecteur magnétique A tels qu’en M à la date t :

Le champ électromagnétique [E ; B] dérive du potentiel électromagnétique [V ; A].

VtA

E grad

B rot A

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III) Les potentiels électromagnétiques V et A

1) Définitions

2) Propriétés

Relations de passage des deux potentiels

et js

(1)(2)

M

V2(M) – V1(M) = 0

A2(M) – A1(M) = 0

n12

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III) Les potentiels électromagnétiques V et A

1) Définitions

2) Propriétés

3) Potentiels retardés

Potentiels retardés

ρτ

πε0 distribution

PM(P,t )1 cV(M,t) d4 PM

μτ

π0

distribution

PM(P,t )c(M,t) d

4 PM

jA

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IV) L’A.R.Q.S.

1) Définitions

Définitions

L’A.R.Q.S. ouApproximation des Régimes Quasi Stationnaires est l’étude des phénomènes électromagnétiques

lentement variables.

Si T est la durée caractéristique de l’évolution du signal, alors l’A.R.Q.S. est applicable si P << T.

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IV) L’A.R.Q.S.

1) Définitions2) Les équations de Maxwell en

A.R.Q.S.

0div

EL’équation locale de Maxwell – Gauss :

L’équation locale de Maxwell – Faraday :tB

rotE

L’équation locale de Maxwell – Ampère :

μ μ ε0 0 0. . .tE

rotB j

L’équation locale du flux magnétique : divB = 0

0div

EL’équation locale de Maxwell – Gauss :

L’équation locale de Maxwell – Faraday :

L’équation locale de Maxwell – Ampère : μ0.rotB j

L’équation locale du flux magnétique : divB = 0

En A.R.Q.S. et en tout point M de l’espace :

tB

rotE

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V) L’énergie électromagnétique

1) L’équation locale de Poynting

tB

rotE

μ μ ε0 0 0 . . .tE

rotB j

μ0

tB

rotEB

μ μμ

ε0 0 00

. . .tE

rotB jE

εμ μ μ 0

0 0 0 . .

t tB E B B E

rotE rotB E E j

εμ μ

220

0 0

x div( ) .

t 2 t 2EE B B

j E

με

μ00

220div( )

x

2 2

0t

.EB

EE

jB

C’est l’équation locale de Poynting

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V) L’énergie électromagnétique

1) L’équation locale de Poynting

2) Le vecteur et le théorème de Poynting

a) Le vecteur de Poynting

Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide

V) L’énergie électromagnétique

1) L’équation locale de Poynting

2) Le vecteur et le théorème de Poynting

a) Le vecteur de Poynting

b) Le Théorème de Poynting

(P,t)M

uem(M)j(M,t)

VdS

P

(M,t)

Le Théorème de Poynting

τ ΣemV

dU . .d .dt P( ).dt j E

Σ

Σ ΠP( ) .dS

Le Théorème de Poynting

La diminution de l’énergie électromagnétique d’un volume (V) fixe entre les instants t et t + dt, – dUem, est égale à la somme de l’énergie cédée aux porteurs de charges, et de l’énergie électromagnétique rayonnée à travers () limitant le volume (V) de l’intérieur vers l’extérieur pendant dt.