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Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
I) Rappels sur les forces
1) Force subie par une particule chargée
Force subie par une particule chargée
P
q = (P,t).d
j(P,t)M, q v(M,t)
B(M,t)F(M,t)
E(M,t)
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
I) Rappels sur les forces
1) Force subie par une particule chargée
2) Puissance reçue par les charges de la part des champs
Puissance reçue par les charges de la part des champs
La charge q, en M à la date t, reçoit de la part du champ électromagnétique [E, B] par l’intermédiaire de la force de Lorentz F une puissance algébrique instantanée définie, en M, à la date t, par :
= F.v = q[E + v x B].v = q.E.v
Puissance reçue par les charges de la part des champs
La puissance volumique algébrique instantanée vol reçue par les charges mobiles de la part du champ électromagnétique définie par d = vol.d est :
vol = j.E
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
I) Rappels sur les forces
1) Force subie par une particule chargée
2) Puissance reçue par les charges de la part des champs
3) Modèle de Drude de la conduction
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
I) Rappels sur les forces
4) L’effet Hall
a) Le modèle élémentaire
L’effet Hall
E0
a
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
I) Rappels sur les forces
4) L’effet Hall
a) Le modèle élémentaire
b) La tension de Hall
La tension de Hall
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
I) Rappels sur les forces
4) L’effet Hall
a) Le modèle élémentaire
b) La tension de Hall
c) Modèle de Hall des forces de Laplace
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
II) Les équations de Maxwell dans le vide
1) Les équations de Maxwell
Les équations de Maxwell
Postulat :
Dans un référentiel galiléen R, le champ électromagnétique en M, à la date t, [E ; B] créé par une distribution volumique de charges et de courants décrite en P, à la date t par les densités [ ; j] est solution du système d’équations en M, à la date t :
0div
EL’équation locale de Maxwell – Gauss :
L’équation locale de Maxwell – Faraday :tB
rotE
L’équation locale de Maxwell – Ampère :
μ μ ε0 0 0. . .tE
rotB j
L’équation locale du flux magnétique : divB = 0
0div
EL’équation locale de Maxwell – Gauss :
L’équation locale de Maxwell – Faraday : rotE 0
L’équation locale de Maxwell – Ampère : μ0.rotB j
L’équation locale du flux magnétique : divB = 0
On retrouve en régime stationnaire et en tout point M de l’espace :
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
II) Les équations de Maxwell dans le vide
2) Formes intégrales et conditions de passage
a) Équation de Maxwell – Gauss
Première relation de passage du champ électrique
et js
σε0
(M) (M) n2 n1 1 2E E n
(1)(2)
M
n12
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
II) Les équations de Maxwell dans le vide
2) Formes intégrales et conditions de passage
a) Équation de Maxwell – Gauss
b) Équation du flux magnétique
Flux du champ magnétique
1
2
dS2dS1
1 = 2
Première relation de passage du champ magnétique
et js
(1)(2)
M
Bn2(M) – Bn1(M) = 0
n12
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
II) Les équations de Maxwell dans le vide
2) Formes intégrales et conditions de passage
a) Équation de Maxwell – Gauss
b) Équation du flux magnétique
c) Équation de Maxwell – Ampère
d
+
P
dS
M
j(M,t)
B(P,t)
Seconde relation de passage du champ magnétique
et js
(1)(2)
M
Bt2(M) – Bt1(M) = 0.js x n12
n12
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
II) Les équations de Maxwell dans le vide
2) Formes intégrales et conditions de passage
a) Équation de Maxwell – Gauss
b) Équation du flux magnétique
c) Équation de Maxwell – Ampère
d) Équation de Maxwell – Faraday
d
+
P
dS
M
B(M,t)
E(P,t)
L’équation locale de Maxwell – Faraday :tB
rotE
L’équation locale de Maxwell – Ampère :
μ μ ε0 0 0. . .tE
rotB j
Seconde relation de passage du champ électrique
et js
(1)(2)
M
Et2(M) – Et1(M) = 0
n12
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
III) Les potentiels électromagnétiques V et A
1) Définitions
Les équations de Maxwell assurent l’existence d’un potentiel scalaire électrique V et d’un potentiel vecteur magnétique A tels qu’en M à la date t :
Le champ électromagnétique [E ; B] dérive du potentiel électromagnétique [V ; A].
VtA
E grad
B rot A
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
III) Les potentiels électromagnétiques V et A
1) Définitions
2) Propriétés
Relations de passage des deux potentiels
et js
(1)(2)
M
V2(M) – V1(M) = 0
A2(M) – A1(M) = 0
n12
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
III) Les potentiels électromagnétiques V et A
1) Définitions
2) Propriétés
3) Potentiels retardés
Potentiels retardés
ρτ
πε0 distribution
PM(P,t )1 cV(M,t) d4 PM
μτ
π0
distribution
PM(P,t )c(M,t) d
4 PM
jA
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
IV) L’A.R.Q.S.
1) Définitions
Définitions
L’A.R.Q.S. ouApproximation des Régimes Quasi Stationnaires est l’étude des phénomènes électromagnétiques
lentement variables.
Si T est la durée caractéristique de l’évolution du signal, alors l’A.R.Q.S. est applicable si P << T.
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
IV) L’A.R.Q.S.
1) Définitions2) Les équations de Maxwell en
A.R.Q.S.
0div
EL’équation locale de Maxwell – Gauss :
L’équation locale de Maxwell – Faraday :tB
rotE
L’équation locale de Maxwell – Ampère :
μ μ ε0 0 0. . .tE
rotB j
L’équation locale du flux magnétique : divB = 0
0div
EL’équation locale de Maxwell – Gauss :
L’équation locale de Maxwell – Faraday :
L’équation locale de Maxwell – Ampère : μ0.rotB j
L’équation locale du flux magnétique : divB = 0
En A.R.Q.S. et en tout point M de l’espace :
tB
rotE
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
V) L’énergie électromagnétique
1) L’équation locale de Poynting
tB
rotE
μ μ ε0 0 0 . . .tE
rotB j
μ0
tB
rotEB
μ μμ
ε0 0 00
. . .tE
rotB jE
εμ μ μ 0
0 0 0 . .
t tB E B B E
rotE rotB E E j
εμ μ
220
0 0
x div( ) .
t 2 t 2EE B B
j E
με
μ00
220div( )
x
2 2
0t
.EB
EE
jB
C’est l’équation locale de Poynting
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
V) L’énergie électromagnétique
1) L’équation locale de Poynting
2) Le vecteur et le théorème de Poynting
a) Le vecteur de Poynting
Équations locales de l’électromagnétisme dans le vide
V) L’énergie électromagnétique
1) L’équation locale de Poynting
2) Le vecteur et le théorème de Poynting
a) Le vecteur de Poynting
b) Le Théorème de Poynting
(P,t)M
uem(M)j(M,t)
VdS
P
(M,t)
Le Théorème de Poynting
τ ΣemV
dU . .d .dt P( ).dt j E
Σ
Σ ΠP( ) .dS
Le Théorème de Poynting
La diminution de l’énergie électromagnétique d’un volume (V) fixe entre les instants t et t + dt, – dUem, est égale à la somme de l’énergie cédée aux porteurs de charges, et de l’énergie électromagnétique rayonnée à travers () limitant le volume (V) de l’intérieur vers l’extérieur pendant dt.
