Etude de problèmes liés aux méthodes utilisées pour...

PROJET DE FIN D'ETUDES

présenté par

Olivier PONSEEL

Pour obtenir le titre d'INGENIEUR de

l'INPG / ENSHMG

Institut National Polytechnique de Grenoble

Ecole Nationale Supérieure d'Hydraulique et de Mécanique

Filière : Ressources en Eau et Aménagements

Etude de problèmes liésaux méthodes utilisées

pour interpoler les champs de pluiesdans le cadre de Epsat-Niger

Date de soutenance : 29 Juin 1992

Examinateurs : M. J.D. CREUTINM.C.OBLEDMme V. THAUVIN

Projet de Fin d'Etude préparé à l'ORSTOM-Montpellier

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Remerciements

Je tiens particulièrement à remercier:

- Michel HOEPFFNER, pour l'accueil réservé à l'ORSTOM Montpellier;

- Thierry LEBEL et Thierry VALERO, pour ce stage et le prochain VSN;

- Valérie THAUVIN, pour sa tutelle sympathique autant qu'avisée, et le temps précieuxqu'elle m'a consacré, malgré sa lourde charge de travail durant sa Thèse.

- Eric ELGUERO, pour ses conseils avisés;

- Anne CRESPY, François DELCLAUX et Thierry VALERO, pour leur assistancedans les domaines de l'informatique;

- Le Personnel du Laboratoire d'Hydrologie: mes charmantes voisines du secrétariat, ettoutes les personnes qui ont aidé à la mise en forme de ce rapport.

et enfin, les stagiaires Aïcha, Lala, GU et José, pour leur amitié.

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Table des matières 1

Sujet du stage

Rappels sur le Krigeage1. Buts du Krigeage2. Notations employées3. Hypothèse de base du Krigeage4. Equations du Krigeage simple5. Variogrammes brut et théorique6. Identification du variogramme théorique

a. Calage visuelb. Calage par les moindres carrésc. Calage par validation croisée (MSlE)

A. Données du problème

B. Les tests réalisés1. Le programme test.f2. L'inversion de la matrice de Krigeage r3. Vérification de la subroutine d'inversion4. Effets des erreurs d'arrondi sur les résultats numériques5. Application au calcul des poids d'estimation A6. Conclusion

C. Limitation du modèle Gaussien1. Effets de la cible sur les poids A

a. Etude préliminaireb. Conditionnement de rc. Conclusion

2. Recherche de solutions pratiques pour utiliser le modèle Gaussien

a. Retour sur le modèle Gaussienb. Etude d'une première solutionc. Etude d'une seconde solution

3. Conclusions et perspectives

D. Conclusion générale

Bibliographie

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Appendice: Seconde approche et principaux résultats relatifs au modèle Gaussienextraits des articles de Stein, et Stein & Handcock

1. Propriétés asymptotiques du Krigeage lorsque le variogramme estmal spécifié

a. Définition et propriétés de la compatibilitéb. Application au modèle Gaussienc. Conclusion

2. Pertes en précision des estimations par Krigeage quand levariogramme est mal spécifié

a. Théorème principalb. Application: effet du paramètre de forme sur les variogrammesc. Conclusion et solution pratique

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Annexes

Annexe Orstom

Annexe Epsat1. Notions de météorologie sahélienne

a. Le climat sahélienb. Les lignes de grains

2. Les objectüs d'Epsat

3. Epsat-Niger

a. Buts de Epsat-Nigerb. Le degré carréc. Résultats de l'expériencec. Perspectives

Annexe Ana-Num- Résolution de systèmes et inversion de matrices

- Méthode de Gauss-Jordan- Méthode de Householder

- Conditionnement des matrices

- Définition, effets, exemple et propriétés- Calcul pratique: calcul des valeurs propres d'une matrice

- méthode de la puissance itérée- méthode de Jacobi

Annexe Applications1. Sujet de l'annexe2. Construction d'un fichier des stations3. Calage d'un variogramme théorique et extraction de données4. Conclusions

Annexe Test

Sujet du stage 1

Dans le cadre de l'expérience EPSAT-Niger (Cf. Annexe Epsat), les chercheurs del'ORSTOM (Cf. Annexe ORSTOM) souhaitent améliorer leur connaissance de la vérité solafin de mettre au point des algorithmes d'estimation des pluies par radar et par satellite. Ilest donc nécessaire de bien décrire la répartition spatiale et temporelle des pluies au sol.

Or il est apparu au cours des traitements que la méthode du Krigeage avec un modèle devariogramme Gaussien fournissait des valeurs d'estimation aberrantes, vraisemblablement àla suite de l'inversion de la matrice r, et on se pose la question de savoir si c'est à la suited'une erreur de programmation, ou si le variogramme Gaussien est en cause (les notionsrelatives au Krigeage employées dans ce rapport sont définies dans les "Rappels sur leKrigeage").

Le premier objectif du stage a ainsi été de tester les programmes de reconstitution("krtest") et d'interpolation ("kriJnt") , pour déterminer la cause de ces aberrations; laroutine d'inversion de r (méthode de Gauss-Jordan) devait donc être testée afin d'enproposer éventuellement une autre mieux adaptée, ou sinon, pour définir une limited'utilisation au modèle Gaussien.

Une fois cette première partie terminée, une étude de cas a été réalisée pour la ligne degrain du 20 Août 1991: des échantillons ont été extraits à différents pas de temps à l'aide dulogiciel BADINAGE (mis au point par T. Valero); ces échantillons ont ensuite étéinterpolés par Krigeage, afin de reconstituer la ligne de grain. Cette seconde partie estrelativement indépendante de la première, et est donc intégralement présentée en AnnexeApplications.

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Rapport de stage ORSTOM Page 1

2. Notations employées

1. Buts du Krigeage

3. Hypothèse de base du Krigeage

un point de l'espace E à deux dimensions.

un vecteur de E.

les N points de mesure de la pluie.

la Fonction Aléatoire (FA) "cumul des précipitations pendantl'intervalle de temps dt" .

la Variable Aléatoire (VA) Z au point Xi'

une réalisation de la VA Zi pour l'événement k, lorsqueK événements de même durée dt se succèdent pour formerune averse.

une valeur de la VA estimée à la station XoZ*(Xo)

Zi=Z(Xi)

Zk(Xi)

Rapport de stage ORSTOM

La FA Z est stationnaire à l'ordre 2, i.e. ses deux premiers moments sont invariants partranslation:

Rappels sur le Krigeage 1

Dans le cadre de cette étude, le Krigeage est utilisé pour décrire les précipitations sous uneforme mathématique, et résoudre différents problèmes liés à l'estimation des pluies(interpolation aux noeuds d'une grille; reconstitution de données manquantes... ), à partird'un échantillonnage fragmentaire.

Hypothèse stationnaire à l'ordre 2:

3m(X) / VX de E, E[Z(X)]=m(X) pour l'espérance mathématique

3K fonction de covariance / VX,Y de E, E[(Z(X)-m(X»,(Z(Y)-m(Y»]=K(X-Y)pour la covariance centrée.

On se situe alors dans le cas du Krigeage universel, lequel permet de tenir compte desphénomènes de dérive climatologique: pluies en altitude plus importantes qu'en plaine parexemple, ou, au Niger, étalement avec la latitude pour les cumuls annuels.

En fait, l'hypothèse de base de stationnarité d'ordre 2 est trop restrictive, puisqu'elleimplique pour X = Y que la FA a une variance finie:

Var[Z(X)] =E[(Z(X)-m)2] =K(O)

ce qui n'est pas toujours vérifié pour les champs de pluies. Aussi une hypothèse plus largeest-elle employée, l'hypothèse intrinsèque, qui est l'hypothèse de stationnarité d'ordre 2appliquée aux accroissements:

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lequel système s'écrit sous forme développée:

4. Equations du Krigeage simple

A = r-1.ro

111111111111111111111Page 3Rapport de stage ORSTOM

Note: Les problèmes de variances d'estimation U2=};Àio'YOi+P. qu'on peut aussi estimer àl'aide des équations du Krigeage, ne sont pas traités dans le présent rapport.

Dans les deux cas: 'Yij = 'Y(Xi,Xj)

Pour l'estimation ponctuelle (reconstitution de données manquantes ou interpolation auxnoeuds d'une grille), il existe autant de systèmes de Krigeage que de points Xo à estimer.Or la matrice r ne dépend pas des Xo mais des seules positions respectives des stations demesure. Lorsqu'on considère toutes ces stations (voisinage unique) seul change à chaquefois le second membre ro. Il suffit alors de calculer une fois pour toutes la matrice inverser- l pour connaître les poids d'estimation en chaque Xo par:

}; 'Yij.).j + p. = 'YOi ceci Vi=l,N

};Àj =l

où A=(Ài)i=l,N est le vecteur colonne des poids affectés à chaque station, tels que:

1 Z*(XO) = }; ÀioZ(Xi) 1

et JI. est un coefficient de Lagrange.

Deux applications ont été traitées au cours du stage, faisant appel à:

- l'estimation ponctuelle: -YOj = -y(Xo,Xj) et -Yii = 0

- l'estimation sur un domaine S : -YOj = 1/S S -y(X,Xj).dX

-yii = 1/S2 S -y(X,X').dX.dX'

ceci n'est pas vrai dans le cas du voisinage glissant, où l'on reforme à chaque fois lesystème de Krigeage en ne retenant que les 10 à 20 stations les plus proches du point àestimer.

Pour estimer la FA Z* au point Xo, la contrainte de non-biais et la minimisation de lavariance d'estimation conduisent au système d'ordre N+1 suivant:

où -y(h) est le variogramme ou fonction de structure, qui caractérise la variabilité spatialedes précipitations.

On se place donc dans le cas du Krigeage simple, qui convient pour reconstituer desaverses (en l'occurrence des lignes de grains) de trop courtes durées pour faire intervenir ladérive latitudinale.

Hypothèse intrinsèque

VX, Vh, E[Z(X +h)-Z(X)] =0 et Var[Z(X +h)-Z(X)] =2-y(h)

s. Variogrammes brut et variogramme théorique

- présence ou non d'un palier indiquant que la variance théorique du phénomène est finie;l'absence de palier peut aussi indiquer l'existence d'une dérive qu'on cherchera à éliminer,par exemple par Krigeage universel.

Variogramme à palierVariogramme non borné

où N(h) est le nombre de points appartenant à une classe d'accroissement ]h-dh,h+dh].

Note: on ne considère pas d'azimuts, et on se place dans le cas isotrope où -y( 1hl) = -y(h).

Lorsque plusieurs événements de durées identiques se succèdent, on peut supposer qu'ilssont issus du même processus aléatoire, et les comparer pour obtenir un uniquevariogramme plus robuste, dit "climatologique".

L'expression du variogramme expérimental climatologique est:

-y(h) = 1I2.K.N(h) E kEi[Zk(Xi + h)-Zk(Xi)]2

Le variogramme brut permet de mettre en évidence deux caractéristiques principales:

Il est remarquable que le système précédent rA=ro ne fasse pas intervenir les valeursexpérimentales Z(Xi). En réalité, celles-ci interviennent par l'intermédiaire de la plus oumoins bonne adéquation entre le variogramme théorique et le variogramme expérimental surlequel il est calé.

L'expression du variogramme expérimental événementiel est:

Modèles théoriques correspondants (sans pépite):

Puissance -y(h) =a.hfj (0 < fj < 2) Gaussien -y(h)=a[l-exp-(h/fj)2]

Linéaire -y(h)=a.h+fj Exponentiel -y(h)=a[l-exp-(h/fj)]

Sphérique -y(h) =a/2*[3(h/fj)-(h/fj)3]-y(h) =a pour h > fj

Rg : par abus de langage, fj sera aussi appelé "portée" pour le modèle Gaussien, alors quele palier a est atteint asymptotiquement, et que la portée réelle telle que: -y(h) = .99*a parexemple est en fait de h=2.15*fj.

- présence ou non d'une pépite C àl'origine, provoquée par le caractèrenaturellement aléatoire des précipitations, oud'éventuelles erreurs de mesures. C

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6. Identification du variogramme théorique

Il existe différentes méthodes pour caler les paramètres théoriques a et {3 sur lesvariogrammes bruts:

a. Calae:e visuel

Le calage visuel consiste à tracer à main levée sur le variogramme expérimental unecourbe approximative correspondant au modèle choisi, et à estimer a et (3 pour quelquespoints, puis à moyenner ces estimations.

E= Eei2

par rapport à A et B:

dE/dA=O ~ Eei =0 et dE/dB=O

On obtient donc un système de deux équations à deux inconnues A et B:

N.A + (EHi).B = EGi(EHi).A + (EH?).B = EHiGi

dont la solution exacte est:

A = [(EGi).(EH?)-(EHi).(EHiGj}]/n

B = [N.(EHiGi)-(EHi).(EGi)]/D

avec D = N. (EH?)-(EHi)2

Pour le modèle puissance, il faut encore calculer a =expA

En conclusion sur cette méthode, il faut noter qu'elle manque de robustesse lorsque lesdonnées sont peu nombreuses. La troisième méthode lui sera donc préférée, quoique plusdifficile à mettre en oeuvre.

111111111111111111111PageSRapport de stage ORSTOM

b. Calae:e par les moindres carrés

Cette méthode consiste à ajuster une courbe théorique f(h,a,{3) sur le variogramme brut,constitué de M points (hi, 'Yi) en cherchant à minimiser:

E = E[f(hi,a,~)-'Yi]2

par rapport à a et {3.

Un programme rudimentaire a été réalisé dans ce but; il est présenté en AnnexeApplications, avec des exemples d'utilisation, et ses limitations.

Dans le cas des modèles linéaire et puissance, des solutions exactes de a et (3 existent;le modèle puissance peut en effet se ramener à un modèle linéaire par passage enlogarithme:

ln(-y-pépite) = Ina+{3.lnh

Dans les deux cas, on a donc:

Gi = A+B.Hi+ei i=l,N

avec Gj=ln('Yj-pépite), A=lna et Hi=lnhi pour le modèle puissance, et on cherche àminimiser

c. Cala&e par validation croisée

Cette méthode consiste à reconstituer chacune des valeurs Z*(Xj) aux N stations Xj, àpartir des N-l autres stations Xj,j~j. Or z* est indépendant de cx et dépend seulement de (3;

un critère mesure donc la qualité de la reconstitution des Z*(Xj) en fonction de (3:

Crit(p) = [(};[Z(Xj)-Z(Xj,(j)]2)/N]1I2

La reconstitution est optimale quand Crit est minimal. La valeur de {3 correspondante estadoptée pour constituer le système de Krigeage.

Notel: Le calcul de cx, indifférent au niveau des résultats Z* n'est pas abordé ici.

Note2: Cette méthode, aussi appelée MSIE (Mean-Squared Interpolation Error Method) estdeveloppée dans un article de Lebel et Bastin (Cf Bibliographie).

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A. Données du problème 1

Pour tester les programmes de Krigeage, un fichier provenant d'un événement réel(cumuls de la ligne de grain du 20 Août 1989 de 7h30 à 15h00) a été choisi, dont levariogramme brut présentait un caractère Gaussien. C'est le fichier test.d12 (classé parordre alphabétique) présenté en Annexe Test page 1, avec les positions des 40 stations demesure qui le constituent (Test page 2) et les valeurs à ces stations (Test page 3); Il d'entreelles forment une "cible" (Cf. Annexe Epsat), i.e. présentent des interdistances de l'ordrede 1, 3 ou 5 km, nettement inférieur à la distance moyenne entre les autres stations (environ12.5 km). .

Le variogramme brut avec son découpage est également fourni (Test pages 4 et 5).

Deux variogrammes théoriques ont été calés visuellement (donc approximativement) sur cevariogramme expérimental (Test page 4):

modèle Gaussien: portée 15 km palier 250 mm2

sphérique : portée 35 km palier 250 mm2

Les résultats de kri_int (programme d'interpolation) aux noeuds d'une grille variant de 0 à110 km sur X et de 0 à 120 km sur Y, avec un pas de 10 km, sont fournis pour les deuxmodèles (Test page 6). La représentation graphique des résultats est également fournie dansle cas du modèle sphérique pour servir de référence ultérieure (Test page 7). On voit que lemodèle sphérique fournit des résultats comparables aux données de l'échantillon qui sert àles créer, Le. que pour toute station XO où l'on estime Z*(XO), on a à peu près:

Min{Z(Xi)}i=I,40 < Z*(XO) < Max{Z(Xi)}i=I,4O

alors que le modèle Gaussien fournit des Z*(XO) négatifs, ou de valeurs absoluesincompatibles avec l'échantillon:

1Z*(XO) 1 > > Max{Z(Xi)}i= 1,40

Un programme test.f a donc été écrit en FORTRAN afin d'effectuer de multiplesvérifications des programmes de Krigeage.

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1. Le programme test.f

B. Les tests réalisés 1

2. L'inversion de la matrice de KrigeageNote: dans toutes les notions d'Analyse Numérique Matricielle mentionnées ci-aprèsf=('Yij) est désignée par A=(aij) par concordance avec toutes les subroutines de test.f où"Gamma" devient"A", et avec les développements donnés en Annexe AnaNum.

Une fois vérifié que la création de f se faisait normalement, les aberrations détectées surles résultats du modèle Gaussien ne pouvaient venir que du calcul des poids d'estimationA=(Ài)i=l,N résultant de la résolution du système fA=fo.

Comme il a été mentionné dans les rappels sur le Krigeage, deux possibilités s'offrent:résoudre le système par une méthode directe ou bien rechercher d'abord l'inverse f-l de f .

Le listing du programme sous sa version finale est présenté en Annexe Test pages 28 à 38.

Deux exemples illustratifs des possibilités de test.f sont fournis (fest pages 39 et 40), surdes matrices carrées d'ordre 3 seulement, afin de pouvoir présenter l'intégralité des résultatssur une seule feuille. En fait, vu que test.d12 contient 40 stations et que le système deKrigeage simple rajoute une ligne supplémentaire EÀj = 1, ce sont des matrices carréesd'ordre 41 qui ont été testées.

Pratiquement, certaines subroutines de la bibliothèque de subroutines de Krigeage"kri_bib" ont été modifiées pour qu'à chaque appel d'un des programmes de Krigeage("kri_int" pour l'interpolation aux noeuds d'une grille, "kri_est" pour la reconstitution dedonnées ponctuelles, ou "kri_moy" pour le calcul de valeurs moyennes sur une maille)soient générés les fichiers suivants, ensuite appelés par test. f:

- testdata.dat: contient l'ordre N de la matrice (f), et ses valeurs en doubleprécision, sous forme bande, colonne par colonne. Ce fichier n'estpas donné en annexe pour des raisons de taille (41 *41 valeurs !).L'affichage de testdata.dat a permis de vérifier que la matrice fétait correctement calculée en fonction des interdistances entre lesdifférentes stations Xi,Xj pour i,j = 1,40.

- testvectl.dat : contient le second membre f o pour le dernier noeud Xo estimé parkriJnt ou pour la dernière station Xo reconstituée par kri_est.L'affichage de testvectl.dat a permis de vérifier que f o étaitcorrectement calculé en fonction de la distance entre Xo et lesstations (Xi)i= 140. Un exemple est donné en Annexe Test page 8.,

- testvecti.dat: contient le second membre f o en double précision. C'est le vecteurutilisé pour le calcul des poids par test.f.

- testpoidi.dat : contient l'ordre du système (41), le nombre des poids d'estimations(40) et ces poids, pour les comparer avec ceux résultant de test.f,ainsi que la somme des poids (alphat = E Àj = 1?) et la somme desvaleurs absolues des poids (alphaa=E 1Àj 1).

PageSRapport de stage ORSTOM

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3. Vérification de la subroutine d'inversion

Pour vérifier que la procédure d'inversion se faisait correctement, de multiplesvérifications ont été effectuées:

- Comparaison entre les poids d'estimation obtenus par Householder, Gauss et GaussJordan pour une station donnée.

- Produit A*A-I pour retrouver l'identité I.

- Calcul de (A-I)-I pour retrouver A:

- Calcul de l'erreur absolue A-(A-I)-I, et du maximum des erreurs absolues sur i,j.

- Calcul de l'erreur relative [A-(A-I)-I]/A, et du maximum des erreurs relatives sur i,j.Cf. Annexe Test pages 10, Il et 12.

Les erreurs calculées étant supérieures pour Householder que pour Gauss-Jordan, cetteméthode est donc a priori plus efficace.

En fait, le calcul de l'inverse d'une matrice A d'ordre N équivaut à résoudre lesN systèmes linéaires suivants:

A.uj = ej j=l,N avec ej=(~ij)i=l,N

Ce qui signifie entre parenthèses, qu'en calculant r- I on remplace la résolution directe dechacun des systèmes rA = r 0 par la résolution de N systèmes linéaires, suivie de lamultiplication de la matrice r- I par ro. Le gain de temps obtenu n'est donc appréciable quesi le nombre de valeurs estimées Z*(Xo) est au moins supérieur à N (ce n'est généralementpas le cas lorsqu'on reconstitue quelques stations seulement).

Etant donnée sa forme particulière (diagonale nulle), les méthodes susceptibles de résoudrele système rA = rose sont finalement avérées très peu nombreuses; aucune des méthodesitératives (Jacobi, Gauss-Seidel, Relaxation) ne convenait, puisqu'elles exigent toutes queles termes diagonaux soient non-nuls, ou au moins que A soit à diagonale dominante. Parmiles méthodes directes de résolution, la factorisation A=LU s'avérait également impossibleà mettre en oeuvre, parce qu'elle suppose qu'on ne cherche pas à appliquer de stratégieparticulière de pivot, ce qui est difficile quand ce pivot est nul. Quant à la méthode deCholeski, elle ne fonctionne que pour les matrices définies positives; or:

A définie positive ~ chacun de ses déterminants principaux est strictement positif

donc, par contraposée:

aII ~ 0 ~ le premier déterminant principal (aII) est nul ~ A non définie positive.

Deux méthodes générales subsistent seulement, s'appliquant sans conditions particulièresà toutes les matrices de déterminants non-nuls: les méthodes de Householder et de Gauss(Gauss-Jordan pour trouver A-I); les programmes de Krigeage font appel à cette secondeméthode (Gauss-Jordan) pour inverser r (subroutine dminv de kri_bib, Cf. listing de test.!).

Les deux méthodes sont présentées en Annexe Ana-Num pages 1 et 2.

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4. Effets des erreurs d'arrondi sur les résultats numériques

Rappel: un exemple complet obtenu avec une matrice de l'Hilbert d'ordre 3 obtenu à l'aidede test.f est présenté en Annexe Test page 40.

Exemple: écriture du nombre 100.5 en Rea1*4signe positif (0)a=100.5=26 +25 +22 +2-1=(1100lool) => b=6b+ 127= 133=27 +22 +2°=(10000101)

100.5 sera donc stocké sous la forme (0100001011001001OOOOOOOOOOOOOO00)

Une telle représentation impose les limites suivantes:

* 1b 1< 128 et 2128 = 1038 donc 10-38 < real*4 < 1038

* limitation sur a: 23 puissances de 2 seulement sont prises en compte dans ledéveloppement binaire de a; on commet donc une erreur d'arrondi majorée par:

1: 2-t = 10-7 pour t=24, 00

Les real*4 ont donc 7 chiffres significatifs seulement.

Les real*8 quant à eux, sont stockés sur 64 bits, avec 11 bits pour b (1 b 1< 1024) et 52bits pour a (erreur d'arrondi sur a < 10-16); les real*8 ont donc 16 chiffres significatifs.

Les méthodes directes de résolutions de systèmes linéaires conduisent à la solution exacted'un problème en un nombre fini d'opérations élémentaires, à une erreur d'arrondi près(alors que les méthodes itératives font intervenir une erreur de troncature supplémentaire, etfournissent donc une solution approchée).

Les erreurs d'arrondi proviennent de la représentation interne des nombres sous formemantisse et exposant, dans la mémoire de l'ordinateur. En Fortran, deux types dedéclarations des réels existent, en simple ou en double précision (real*4 ou real*8). Lesreal*4 sont stockés dans 4 bytes=32 bits de mémoire sous la forme:

1 bit pour le signe (0 => positif, 1 => négatif),

8 bits pour l"'exposant" b+ 127 (l'exposant désigne ici la puissance la plus élevée dudéveloppement binaire de la mantisse a),

23 bits pour a sans le 1 principal, pris en compte dans b.

A chaque étape d'un calcul, tout résultat d'opération est à approximé par l'ordinateur:l'effet des erreurs d'arrondi sur le résultat final est donc environ proportionnel au nombred'opérations de la méthode d'inversion. Et cet effet est loin d'être négligeable: pour lesmatrices de Hilbert par exemple, qui ont servi à vérifier les résultats de test. f, l'erreurrelative max{[A-(A-l)-I]/A} en double précision atteint 339% pour la méthode de GaussJordan , pour une matrice d'ordre 20 seulement, et 1566% pour Householder!. Il est vraique ces matrices de Hilbert, qui s'expriment très simplement par:

Hij=1/(i+j-l) pour i,j=l,N

constituent un cas pathologique par excellence, sur lesquelles les effets d'arrondi prennentune ampleur toute particulière.

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6. Conclusion sur le calcul des poids d'estimation

5. Application au calcul des poids d'estimation

Les différents tests mis au point pour vérifier les programmes de Krigeage ont doncpermis d'améliorer la procédure de calcul des poids et d'établir les points suivants:

- La matrice r et le second membre r 0 sont bien construits,

- La procédure d'inversion de r par Gauss-Jordan s'effectue correctement (et mieuxque ne le ferait Householder).

Les résultats obtenus avec le modèle Gaussien pour des stations Xo différentes des Xi detest.d12 restent cependant aberrants. Le modèle Gaussien est donc en cause, et il convientmaintenant de lui trouver ses limitations.

En ce qui concerne le calcul des poids A=r-l.ro, r- l était calculée en double précision,mais le second membre roI'était en simple précision, et le résultat de la subroutine"spkripoi" de krtbib, effectuant la multiplication A=r-1*ro, était donc en simpleprécision. L'importance de cette remarque était négligeable lorsqu'on utilisait le modèlesphérique pour obtenir r, puisqu'on trouvait bien alors EÀi = 1:

ex: portée=30km, alphat=EÀi=0.9999972 alphaa=EIÀïI =1.004514 pour Xo(120,11O)

mais les répercussions pour le modèle Gaussien étaient beaucoup plus graves:

ex: portée=30km, alphat=EÀi=86.581990 alphaa=E 1Ài 1 = 14736.02 pour Xo(120, 110)

avec le résultat que la valeur Z*(Xi) reconstituée à l'une quelconque des stations Xi detest.d12, en tenant compte de toutes les stations (y compris Xi) ne correspondait pas à lavaleur Z(Xi)' Théoriquement, la solution du système de Krigeage dans un tel cas, enl'absence de pépite, est en effet:

Ài= 1 et Àj =0 pour j;Tt. i et donc Z*(Xi) =EÀj.Z(Xj) =Z(Xi)

Une modification très simple, consistant à faire passer temporairement r o et A en doubleprécision dans spkripoi a donc été effectuée avec les résultats suivants, pour le même Xo:

modèle sphérique: alphat= 1.000,000,000,000,002 et alphaa= 1.004,508,958,040,689

modèle Gaussien : alphat= 1.000,000,049,709,867 et alphaa= 14,920.562,486,947,87

et pour les valeurs reconstituées aux Xi, Z*(Xi) =Z(Xi) et Àj =10-17 pour j;Tt. i

La subroutine de calcul des poids sous sa nouvelle version est incluse dans le listing detest.f.

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a. Etude préliminaire

1. Effet de la cible sur les poids d'estimation

c. Recherche d'une limitation au modèle Gaussien

Une étude préliminaire, sur un système idéal comportant une cible, va permettre demontrer quels sont les résultats qu'on peut espérer pour le calcul des poids d'estimation duKrigeage; ces résultats seront ensuite confrontés avec ceux obtenus à partir de test.d122.

La particularité essentielle du fichier test.d 12 est la présence des Il stations formant lacible C. Pour mieux visualiser l'influence de celle-ci sur les valeurs estimées par Krigeage,un fichier test.d122 a été créé à partir de test.dI2, avec en tête les cinq stations (12, 17,22,34 et 35) les plus rapprochées, puis les six autres de la cible (2, 4, 10, 11, 19 et 38) et enfinles 29 stations extérieures à la cible.

Test.d122 est présenté en Annexe Test page 9 .

Un exemple de poids calculés à partir de test.d122 avec le modèle Gaussien pour un pointéloigné de la cible Xo(X = 120,Y= 110) est également fourni pour une portée de 15km (Testpage 11), ainsi qu'une partie des matrices r et r-1 correspondantes, pour illustration (Testpages 14 et 15).

Soient N=n+m points de l'espace tels que:

- n d'entre eux forment une cible C:V Xi, Yj E C2, 'Yij = dP < <P où P est le palier du variogramme utilisé

- m constituent les stations restantes et sont disposés à des interdistances supérieures à laportée, i.e. V Xi, Yj fl. C2, 'Yij =P

Remarquons que rigoureusement, ceci n'est possible, dans un espace à deux dimensions,que pour n et m inférieurs à 3 (triangle et triangle cible); cette limitation est supposée sansimportance.

La matrice r du système de Krigeage s'écrit alors:

10 dP ..... dP P ...... PliIdP 0 1

1:· dP 11dP dP 0 P 1

1P pol1: 0 P: 1Ip···············. pOliIl...................... 101

111111111111111111111

Conclusion2: Si le point à reconstituer est à proximité de stations particulières, celles-cidevraient particulièrement être prises en compte.

Conclusion1: Si plusieurs stations sont rapprochées, elles devraient être affectées de poidsdont la somme serait environ égale au poids qu'aurait une station isolée.

Ces résultats ont été vérifiés à l'aide de test. f: les résultats sont en parfait accord avec lescalculs théoriques ci-dessus (Annexe Test page ).

Note: Remarquons que l'expression [n(p-dp) ... dans (E) peut suggérer qu'il pourraitsurvenir une influence directe de l'absence de palier constant dans le modèle Gaussien; afinde vérifier que ce n'était pas le cas, la fonction calculant le variogramme a étémomentanément modifiée pour que:

')'{h)=a[1-exp-{h/I3)2] pour h<2.1513 et ')'{h)=a pour h~2.1513

Les valeurs des Z*{Xo) résultantes sont restées aberrantes.

111111111111111111111Page 13Rapport de stage ORSTOM

~: Pour un point non élément de la cible et éloigné de toute autre station, le deuxièmemembre f o' s'écrit: 1P P 11

Les équations 1 à n d'une part et n+1 à n+m sont semblables donc le système se réduit à:

Àl = ... =Àn-l =ÀnÀ.n+ 1= ... =Àn+m=ÀN

(n-1).dP.Àl +m.P.ÀN +J.'=P{l)n.P.Àl +(m-1).P.ÀN +J.'=P (2)n.Àl +m.ÀN = 1 (3)

(2)-(1) ~ n.[{P-dP)+dP].À l-P.ÀN =P.(1-n.Àl)/m(3) ~ ÀN =(1-n.Àl)/m

~ [n.{P-dP)+dP+n.P/m].Àl =P/m (E)

soit,avecdp«P: Àl =1I[n{m+1)] et ÀN =1/{m+1)

donc À1=ÀN/o

Les conclusions 1 et 2 énoncées ci-dessus se réalisent dans le cas du modèle sphérique,mais pas pour le modèle Gaussien (Cf. Test pages 10, Il et 12); pour ce dernier les poidsÀiC correspondants aux stations de la cible C, sont en effet très supérieurs en valeursabsolues aux autres Ài (Test page 11 et 12). La question se pose donc de savoir pourquoi lesystème de Krigeage fA=fo, résultant de l'utilisation d'un variogramme Gaussien, induitdes poids aussi peu en accord avec ce qu'on pourrait en attendre. La raison mathématiqueretenue initialement était le mauvais conditionnement de f pour ce modèle Gaussien.

Cas2: Pour un point reconstitué dans la cible, le vecteur du deuxième membre est tel que:

')'Oi =dP pour i= 1,n; ')'Oi =P pour i =n + 1,n+m; ')'0 N +1= 1,

et l'équation (E) est changée en:

[n.{P-dP)+dP+n.P/m].Àl =P/m+P-dP

soit en négligeant dP< < P: n{m+ l).Àl =m+ 1

et donc À1=110 et ÀN=O

b. Conditionnement de r

Définition, signification et calculs pratiques du conditionnement d'une matrice A,relativement à la résolution d'un système A.X=B, sont présentés en Annexe AnaNumpages 3 à 5.

Le résultat principal concernant le conditionnement est que des erreurs dA sur A ou dB surB entraînent des erreurs dX sur X qui ont une majoration optimale de:

IldXll/llXl1 <cond(A).8

où 8 représente les erreurs relatives Il dB11 1Il B Il ou bien Il dA Il 1Il A Il.[1 +lJ( IldA Il)].

Le conditionnement de f pour test.d12 (ou test.d122 puisque ce sont les mêmes fichiers) aété calculé pour différentes portées des modèles Gaussien et sphérique; les résultats sont lessuivants:

&9.: le signe négatif de cond(f) signifie que la valeur propre maximale et la valeur propreminimale sont de signes contraires. Ceci prouve d'une autre manière que f n'est pas définie

. positive (A définie positive ~ toutes ses valeurs propres sont positives).

Ces résultats appellent les commentaires suivants: quand la portée augmente, cond(f) resterelativement stable pour le modèle sphérique (ordre de grandeur: 2 millions) alors quecond(f) se détériore rapidement pour le modèle Gaussien: l'ordre de grandeur passe dumillion à la centaine de milliards!.

On juge ici de l'importance du passage en double précision pour la résolution du systèmefA=fo; avec des erreurs sur fou f o de l'ordre de 10-7, dues à la représentation en simpleprécision, la formule de majoration, énoncée ci-dessus, fournit une borne supérieure(optimale) sur l'erreur relative du résultat A, de 10-7*106 =10-1 quand cond(f) = 106 et de10-7*1011 =104 quand cond(f)=1011 !. Lorsque f et f o sont écrits en double précision,donc avec une erreur sur la mantisse de l'ordre de 10-16 , les erreurs relatives sur A ne sontplus majorées que par 10-16*106 = 10-10 et par 10-16*1011 = 10-5 respectivement pourcond(f) = 106 et 10lI,

Dans le cas où les calculs s'effectuent en double précision, le mauvais conditionnement def ne semble donc plus pouvoir être mis en cause quant aux écarts en valeurs absolues despoids ÀiC constatés pour les stations de la cible.

111111111111111111111

Portée cond(r) 1 Vario. Gaussien cond(f) 1 Vario. sphérique

2 -2,352,204 -2,370,0023.4 -2,331,348 15 -2,307.053 -2.34972510 -'5.669.002 -2.315.99715 -189,871,355 -2,285,52520 -3 269,692,721 -2,248,52622 -10,151,583,010 125 -136,377.297.106 -2,201,49530 -222,905,038.007 -2,145,82035 +174,775,410,889 -2,088,17140 -38,389,584,207 -2,029,28450 1 -1,902,18260 1 -1 771,92970 1 -1,635 496

a. Retour sur le modèle Gaussien

c. Conclusion sur les effets de la cible

b. Etude dlune première solution: Remplacement de la cible par sa valeur moyenne

2. Recherche de solutions pratiques pour utiliser le modèle Gaussien

111111111111111111111

Page ISRapport de stage ORSTOM

La seule raison numérique susceptible d'expliquer la divergence des À jC reste que les 'Yijsont faibles pour des stations Xi, Xj appartenant à la cible, donc les 'Yifl seront grands envaleurs absolues, induisant également de grands 1ÀiC 1 (Cf. les ordres de grandeur des Ilpremières lignes par rapport aux suivantes dans les matrices r et r-l résultants de test.d122,Annexe Test pages 14 et 15). Remarquons cependant qu'une telle explication reste endésaccord avec les résultats qu'on aurait espérés (a.), et surtout qu'elle n'apporte aucunesolution pratique pour trouver une meilleure estimation des Z*(Xo) à l'aide du modèleGaussien. Une telle solution est recherchée au II.

Pour modéliser la structure spatiale du champ des précipitations de test.d12, on a jusqu'iciutilisé un variogramme Gaussien sans pépite; or, un tel choix suppose que les précipitationssont extrêmement corrélées sur de faibles distances, alors qu'en examinant test.d122, ons'aperçoit que les Z(Xj) varient entre 40.5 et 49.0 mm pour les cinq stations les plusproches, et entre 39.5 et 53.5 mm pour les onze stations de la cible! (à comparer avec lesvaleurs extrêmes du fichier: 3.0 et 68.0 mm). Ceci a d'ailleurs déjà été confirmé lors dutracé du variogramme expérimental, lequel présentait une pépite non négligeable, supérieureà 5% du palier.

Les données de test.d12 sont donc en désaccord avec l'hypothèse du modèle Gaussiensans pépite. Le modèle sphérique en revanche comporte une "pépite interne" ('Y(h) diffèrerapidement de zéro, même pour les plus courtes interdistances de 1 Km) vraisemblablementà l'origine des meilleurs résultats obtenus en l'employant. Il semblait donc que deuxsolutions pratiques au moins permettraient d'utiliser le modèle Gaussien:

- Création d'un fichier avec des valeurs identiques pour toutes les stations de la cible.

- Introduction d'une pépite.

Un fichier test-cible.d12, présenté en Annexe Test page 17, a été créé dans lequel 10stations XjC de la cible ont été supprimées; la valeur moyenne [ECibleZ(XiC)]/ll =46.3mma été affectée à la station restante choisie arbitrairement (22: Komakoukou). Test-cible.d12ne contient donc plus que 30 stations.

Note: Une autre méthode, en apparence sensiblement équivalente, consisterait à écrire danstest.d12 que les Z(Xjd=46.3mm aux stations XiC de la cible; mais puisqu'on ôte touteinformation sur la cible, autant ne pas lui accorder trop de poids et mieux vaut travailleravec une matrice r bien conditionnée.

La plus ou moins bonne estimation à des stations Xo relativement éloignées de toutestation de mesure Xi n'est donc absolument pas prise en compte par la validation croisée. Ala limite, un critère d'estimation plus intéressant pour estimer (3 dans le cas où on interpoleaux noeuds Xj d'une grille, serait peut-être de chercher à minimiser la somme des variancesd'estimation Enoeuds<T2(Xj) par rapport à ~.

Un calage par validation croisée a été effectué à partir de test-cible.d12 (Test page 16), eton a trouvé une portée optimale ~ = 22km pour le modèle Gaussien, qui correspond trèsbien avec le variogramme brut de test.d12 (Test page 18); ce n'est pas étonnant, puisqu'enagglomérant la cible, on a simplement tronqué les 10 à 15 premiers kilomètres duvariogramme brut de test.d12. Cette même méthode MSIE donnait une portée ~=3.4km

pour test.d12, sans rapport aucun avec le variogramme expérimental et dont les résultatstotalement décorellés sont sans intérêts (Test page 20). En revanche la portée ~=53km

trouvée pour le modèle sphérique par MSIE à partir de test.d12 est très bien calée (Testpage 19).

Les champs k:rigés à partir de test-cible.d12 et du modèle Gaussien avec ~=22km, et àpartir de test.d12 avec le modèle sphérique pour ~=53km, sont présentés en Annexe Testpages 19 et 21.

Remarque: les isohyètes fournies par le modèle sphérique avec ~=35km (Test page 10)ou ~=53km sont très ressemblants; l'influence du paramètre de forme sur ce modèlesphérique semble donc beaucoup plus limitée que lorsqu'on utilise le modèle Gaussien.

Conclusions:

Contrairement à ce qu'on pouvait espérer, et alors même que le conditionnement de r aété considérablement amélioré (cond(r) =-1 ,536,524 pour test-cible.d12 et pour ~=22km),les résultats fournis par le modèle Gaussien restent aberrants: l'ordre de grandeur desvaleurs négatives est simplement passé de -10-3 pour test.d12 à -10-1 pour test-cible.d12.Ceci confirme que le mauvais conditionnement n'est pas le responsable principal de ladivergence des poids (puisqu'ici: cond(rGaussien) =cond(rsphériquJ), mais que c'est bien lemodèle Gaussien lui-même.

De toute façon, cette solution n'était qu'un pis-aller, puisqu'elle supprimait touteinformation relative à la corrélation entre les champs de pluies pour de faiblesinterdistances, alors que leur étude est un des objectifs principaux de Epsat-Niger.

Toutefois cette étude a permis de mettre en évidence un défaut majeur de la méthodeMSIE: la validation croisée fournit une valeur du critère du même ordre de grandeur dansles trois cas précités (même si le critère de reconstitution est légèrement meilleur avec lemodèle sphérique):

1111111111111111111,~

modèle portée optimale critèresphérique pour test.d12 53 km 11.540

Gaussien pour test-cible.d12 22 km 13.329Gaussien pOur test.d12 3.4 km 14.424

c. Etude d'une seconde solution: Utilisation d'un modèle Gaussien avec une pépite

13. Conclusion et perspectives

Une seconde solution possible, beaucoup plus classique, aurait pu consisté à introduire unelégère pépite de 10 à 20mm2 (pour un palier de 250mm2, soit d'environ 5 à 10%), choisieconformément aux valeurs du variogramme expérimental événementiel. Les résultatsobtenus pour un modèle Gaussien de portée 22km avec une pépite de 20mm2, sontprésentés en annexe Test page 22; ils sont comparables à ceux trouvés pour la solution1: lesvaleurs aberrantes persistent, entre autres les valeurs négatives, d'ordre -10-1 pour despépites de 10, 15 ou 20mm2 .

111111111I-I1111111~

Rapport de stage ORSI'OM

Tous les essais précédents, visant à améliorer les résultats calculés par Krigeage à l'aidedu variogramme Gaussien, sont restés infructueux. L'approche expérimentale et numériqueadoptée pour étudier le problème, a donc montré que le modèle Gaussien est inadapté pourestimer des phénomènes aussi aléatoires que les précipitations d'origine convective, et- queparadoxalement les résultats se détériorent encore plus lorsque de nombreuses stationsforment une cible locale. Le modèle Gaussien peut donc être abandonné, dans le cas del'estimation de données pluviométriques, pour d'autres modèles, sphérique, exponentiel oupuissance (fJ < 1), ne supposant pas une corrélation aussi forte entre mesures voisines.

Toutefois, ces modèles semblent présenter le défaut majeur, lorsqu'on s'éloigne desstations de mesure, de moyenner beaucoup trop rapidement le champs des précipitations(par 1: 1Ài 1=1, Le. tous les poids sont positifs); à la limite, les résultats obtenus avec lemodèle sphérique (Cf. Test pages 19 et 27) montrent que les valeurs interpolées ne diffèrentsignificativement de la moyenne, qu'à proximité immédiate des stations Xi, lesquellesauraient donc un effet de "puits" (en fait, le"puits" est situé au noeud d'interpolation le Z(x)plus proche Xi)' En revanche les matrices deKrigeage obtenues avec ces modèles sont bien_conditionnées et ils ont l'avantage d'être assez +----""'::.....-_...l...-----::::.....-_...........::::-----,-------::: =--..J........O~-

peu sensibles à une erreur d'appréciation surles paramètres Qi et {3 du variogramme.(Cf. Remarque page 16 et Appendice). Résultats supposés des modèles linéaires à l'origine

Un modèle possédant les caractéristiques positives du Gaussien (forte corrélation entrestations voisines et présence d'un palier, contrairement au modèle puissance pour fJ> 1),mais ne présentant pas ses déficiences numériques, serait donc souhaitable. Unvariogramme remplissant ces objectifs est:

-y{h) =a[l-e-(h/{3).(l + (h/P»]

correspondant au corrélogramme K(x) = C.e-a.1 x1(l+a. 1xl) suggéré par Stein.(Cf. Appendice).

Deux exemples de poids calculés avec ce modèle pour une station éloignée de la cibleXo(X= l20,Y= 110), et une station au centre de la cible Xo(X=65,Y=55), sont donnés enAnnexe Test pages 24 et 25. Ils vérifient très bien les conclusions 1 et 2 tirées dans le casidéal page 13, quoique la somme des valeurs absolues des poids (1:1Àd = 1.2) reste

supérieure à celle obtenue pour le sphérique (EIÀïI == 1). On remarquera de plus que r estbien conditionnée, ce qui laisse numériquement inexpliqué le mauvais conditionnement dansle cas du Gaussien, et suggère l'existence possible d'une relation directe entre erreursd'estimation et conditionnement (Cf. Appendice), bien que le conditionnement n'influencepas directement le calcul des poids lorsque les calculs sont effectués en double précision.

Les résultats d'une interpolation sur le degré-carré et sur la cible sont fournis en AnnexeTest page 27, avec les résultats sur la cible du modèle sphérique, pour comparaison.

Les perspectives ouvertes par cette étude sont les suivantes:

- Rechercher la provenance numérique des poids négatifs: les hypothèses du Krigeagene supposent pas leur inexistence, mais leur apparition au cours de la résolution du systèmerA=ro reste cependant inexpliquée.

- Prouver que les poids négatifs tendraient à induire un effet de gradient.

- Etablir une fonnule majorant l'espérance des erreurs relatives d'estimation, qui fasseintervenir directement le conditionnement de la matrice de Krigeage.

~8ussi.n

Résuùats supposés des modèles "quadraliques"à l'origine, Gaussien el de remplacement.

Le modèle de remplacement du Gaussiensupprime l'effet de "puits" constaté pour lemodèle sphérique (Cf. Test page 27). Etsurtout, il semble simuler un gradient enl'absence de données proches, dû sans doute àce que El Ài 1 > 1, quoique la création des ?poids négatifs reste numériquementinexpliquée. Ce gradient reste cependant trèsinférieur à celui observé sur le modèleGaussien, qui semblerait correspondre auxvaleurs aberrantes.

En résumé, deux classes principales de fonctions de structure semblent donc exister,différentiées par leurs comportements à l'origine:

- Les variogrammes linéaires à l'origine; les estimations par Krigeage avec cesvariogrammes sont relativement peu sensibles vis-à-vis du paramètre de fonne, mais sonttrop vite moyennées lorsque les stations de mesures proches deviennent rares (la moyennereste bien sûr le meilleur estimateur de Z*(Xo) quand la distance entre Xo et les stations demesure est supérieure au palier).

- Les variogrammes "quadratiques" à l'origine, pour lesquels les résultats obtenusprésentent des pentes beaucoup plus douces, mais qui nécessitent des fichiers de mesuresparticuliers, tels que les réalisations du processus soient différentiables, i.e. tels que lesvariations entres stations voisines, et donc les gradients induits, soient très faibles.

111111111111111111111

D. conclusion générale

La partie de ce projet de fin d'études consacrée au modèle Gaussien, a permis de mefamiliariser avec différents aspects de la recherche:

- Difficulté d'établir un plan de travail précis (par opposition à mon stage précédent,beaucoup plus pratique, et où le planning était clairement défini): les solutions à apporter auproblème sont inconnues à l'avance, et les étapes de progression sont souvent accidentelles,ou résultent de l'obtention de références littéraires.

- Difficulté d'obtenir ces références bibliographiques en temps utile: les prêts interbibliothèques sont trop lents à l'échelle d'un stage; et certains articles ont été obtenus troptard pour les approfondir (Cf. perspectives page précédente, et Appendice).

- A chaque étape de la recherche, de nouvelles perspectives sont apparues: les travauxsur le modèle Gaussien restent sans conclusions définitives, mais des recherches ultérieuresseront peut-être menées à terme durant la période de VSN, qui devrait suivre le stage.

La préparation, incluse dans le stage, à ce VSN, aura consisté à me familiariser avecdifférents logiciels mis au point à l'ORSTOM, fournissant des résultats tels que ceuxrencontrés en Annexe Test et surtout en Annexe Applications. Ce sont les logiciels:

- SPATIAL, pour les programmes de Krigeage (kri_int, lai_est, kri_moy, vario_ev,vario_cl, stations, ... ),

- COURBE, pour le tracé des variogrammes,

- CARTOVL, pour le tracé d'isohyètes,

- BADINAGE, pour l'extraction des donnée pluviométriques.

Quant au logiciel BADORA, de traitement de données radar et satellite, il n'a pu êtreimplanté, si bien que la comparaison entre la représentativité de ces données, et de cellesobtenues à partir du réseau pluviographique, n'a pu être menée à bien (Cf. AnnexeApplications pour cette partie du projet).

Indépendamment du VSN et des logiciels ORSTOM, le projet de fin d'étude m'aura aussifamiliarisé avec les logiciels Norton Commander et Word sous Windows sur PC, et UNIXet le langage FORTRAN sur stations Apollo. Enfin et surtout, ce projet a établi un lienentre de nombreux enseignements reçus en Classes Préparatoires (Analyse), et àl'ENSHMG (Climatologie, Hydrologie, Statistique, Analyse Numérique...). Ce stageparachève donc de façon appropriée mes études à l'ENSHMG.

111111111111111111111 Rapport de stage ORSTOM Page 19

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Manuels utilisateur de logiciels

BADINAGE: BAnque de Données INtégrée pour 11 Analyse des Grains et Evénementspluvieux, VALERO T. (1990),ORSTOM-Niger.

CVL (Cartovl): Logiciel de tracés de fonds cartographiques et dlisovaleurs 2D/3D,CRESPY A. et DELCLAUX F. (1992),ORSTOM, Laboratoire d'Hydrologie.

SPATIAL: Logiciel d'analyse et de traitement de données spatialisées,SCHNEIDER G. (1990),ORSTOM Guadeloupe.

Matériel utilisé

- Stations de travail HP/APOLLO pour les programmes en FORTRAN (test.f, logicielsde Krigeage... ) et les utilitaires de visualisation (CVL, courbe, vario... )

- Micro-ordinateur Compaq 80386 pour BADINAGE,- Dell 486P125 pour le traitement de texte (WORD sous WINDOWS),- Imprimante à aiguille GENICOM,- Imprimante HP LaserJet Série II,- Imprimante Apple Laserwriter III.

111111111111111111111

Appendice 1

Principaux résultats relatifs au modèle Gaussienextraits des articles de Stein, et Stein & Handcock

1. Propriétés asymptotiques du Krigeage lorsque la fonction destructure est mal spécifiée

a. Définition et propriétés de la compatibilité

b. Application au modèle Gaussien

c. Conclusion

2. Pertes en précision des estimations par Krigeage lorsque lafonction de structure est mal spécifiée

a. Théorème principal

b. Application: effet du paramètre de forme sur les variogrammes

c. Conclusion et solution pratique

b. Application au modèle Gaussien

a. "Compatibilité" des fonctions de structure

1. Propriétés asymptotique du Krigeage lorsque lafonction de structure est mal spécifiée

Pratiquement, il faut au moins que les comportements à l'origine de Ka et KI soientidentiques pour que Ka et KI soient compatibles. Ce qui supporte la notion intuitive que lecomportement à l'origine de la fonction de covariance influence au premier chef lesrésultats du Krigeage, et gouverne les variations locales du champs autour de sa fonctionmoyenne.

Ainsi les fonctions de structure Gaussienne exp{-1 x12} et exponentielle exp{-1 x 1} ne sontpas compatibles car respectivement parabolique et linéaire à l'origine. Et en étudiant lesdeux dérivées premières du variogramme Gaussien 'Y(x,Œ,~)=Œ.[1-exp-(x/~)2] pour deuxvaleurs du paramètre de forme ~l et ~2' on montre qu'elles ne peuvent être égales que si~I =~2·

Conclusion: le modèle Gaussien est incompatible et peut difficilement servir d'interpolateuren présence d'un fichier de donnée comportant une cible.

Note: Le modèle sphérique, très satisfaisant pour effectuer des estimations dans le plan,devient également incompatible dans l'espace à trois dimensions.

page lAppendice

Une des particularités essentielles du fichier test.dl2 était la présence de la cible; soit Xoun point d' une région bornée R et {Xih= 1,0 une suite de points de R tendant vers Xo, maisdifférents de Xo. Quand on reconstitue Z*(Xo) par Krigeage à partir de donnéesZ(X1),... ,Z(Xo)' l'impact d'une fonction de covariance K mal spécifiée ne diminueasymptotiquement quand n-oo , que si K est "compatible". Autrement dit, la différence surles estimations quant on utilise la véritable fonction de covariance Ka ou une autre KI' estasymptotiquement négligeable si Ka et KI sont compatibles.

Définition: Ka et KI sont compatibles sur une région bornée R si [O,Ka] - [O,KIl

NB: P = [m,K] désigne l'unique loi de probabilité Gaussienne correspondant aux fonctionsmoyenne m(X) et de covariance K(X, y).

Po- Pl exprime que Po et Pl sont "mutuellement absolument continues",Le. en pratique que ces lois ont même support.

A est un support de la loi P si P(A) = 1.

Cette définition signifie donc que si un champs aléatoire est réalisé à partir de la loi Po oude Pl, on ne peut déterminer avec certitude laquelle des deux a servi.

111111111111111111111

a. Théorème principal

Exemple: pour ao=bO=al = 1 et bl =2, les erreurs sur les résultats n'augmenteront enespérance que de 12.5 %.

Ce résultat est indépendant du nombre des observations et de leur géométrie, ainsi que desfonctions moyenne de Z et de covariance R et S.

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Appendice

2. Perte en précision des estimations par Krigeagelorsque la fonction de structure est mal spécifiée

Une estimation fortement erronée de la fonction de covariance n'entraîne donc pastoujours une augmentation aussi importante sur les erreurs d'estimation.

Un des problème majeur du Krigeage est que la fonction de structure réelle est en généralinconnue et doit être estimée d'après les données (problèmes de calage: Cf. Rapport etAnnexe Applications); il faut donc déterminer les effets de sa plus ou moins bonneestimation sur les estimations effectuées par Krigeage. Dans certains cas particuliers, unthéorème de Stein fournit une majoration de l'augmentation relative de l'erreurd'estimation, qui apparaît lorsqu'on spécifie mal la fonction de covariance:

Soit Z(X) une fonction aléatoire de fonction de covariance:

C(Z(X),Z(X'»=a.R(X,X')+b.S(X,X')

où Ret S sont des fonctions définies positives;

exemple: R(X,X') =I(x=X') (pépite) et S(X,X') =exp-( 1X-X' 1)

et a et b des constantes positives.

Soient ao et bo les valeurs optimales de a et b, et al et bl les valeurs utilisées dans leséquations du Krigeage pour estimer Z(Xo).

Zo*(Xo) est donc le meilleur estimateur possible de Z(Xo), i.e.:

E[eI2]/E[eo2] > 1

avec ej = Zj*(Xo)-Z(Xo) pour i = 0, 1

b. Application: effet du paramètre de forme sur lesvariogrammes

Pour la fonction de covariance du modèle Gaussien R(x) =exp{-I x 12},

f(œ) =(114..-).exp{-lœI 2/4}

donc, dans le plan et pour des matrices d'anisotropie:

Ao= 1u 0 1 et Al = Il 0 1 avec u~ 1 et v~ 110 vii 0 1 1

on obtient c= 00 donc E[eI2]/E[eo2] n'est pas borné.

Ces résultats sont à comparer avec ceux obtenus pour le modèle exponentiel de densitéspectrale: f(œ) =(1/211").(1 + IwI 2)-3/2. La majoration de (1) est alors très forte.

Une application importante de ce théorème concerne les effets d'une mauvaise estimationde l'anisotropie (~étudier les effets du paramètre de forme (3).

Soit fi(u) pour i =0 ou l, la densité spectrale de la fonction de covariance généraliséeKi(X,X')=Ki(X-X')

Ki(x)= Jeiu'x.fi(u).du

On suppose que:

vu, 3co> 0, 3cI < 00 : Co < fo(u)/fi(u) < Cl (2)

et on définit R(x) et S(x) par:

R=Ko-co·K I et S=KI-Ko/ci

R et S sont définies positives car ce sont les transformées de Fourier des fonctionsintégrables positives fo-co.fI et frfo/ci. On a donc:

Ko=ao.R+bo.S et KI =aI.R+bI.S avec

ao=cI/(crco), bO=eo·cI/(crco), al = lI(cI-eo) et b i =cI/(CI-CO),

et on peut donc appliquer le théorème (1) avec: c=cI/cO (3)

En particulier quand:

Ki(x) = R(Aix) pour i =0, 1

où R est une fonction de covariance de densité spectrale f, et Ao et A1 sont des matricesd'anisotropie; alors:

Ki(x)= Jeiu'(Ai.x).fi(u).du= Jei(u'Ai).x.fj(u).du

soit, en effectuant le changement de variable w'=u'Ai ~ U=A(IW , on obtient que Ki(x) apour densité spectrale:

fi(w) = f(A(lw)/ 1Ai 1

et (2) et (3) donnent alors:

Appendice

111111111111111111111

3. Conclusions et solution pratique

1 Bibliographie

ARMSTRONG, M. & MYERS, D. (1984): Robustness of Kriging; Variogram Modelling& its applications: Technical report, Centre de Géostat., Fontainebleau.

BLOCH, D.A. & MOSES, L.E. (1988): Nonoptimally weighted least squares.Amer. Statist. 42, 50-53.

BLOOMFIELD, P. & WATSON, G.S; (1975). The inefficiency of least squares.Biometrika 62, 121-128.

DIAMOND, P. & ARMSTRONG, M. (1984): Robusteness ofvariograms and conditioningof Kriging matrices: Math. Geol., 16, 809-822.

DOOB, J.L. (1953): Stochastic Processes. John Wiley, New Yok.IBRAGIMOV, I.A. & ROZANOV, Y.A. (1978): Gaussian Random Processes.

Springer-Verlag, New York.MATHERON, G. (1973): The Intrinsic Random Functions and their aApplications.

Adv. Appl. Probab., 5. 437-468.STEIN, M. (1988): Asymptotically Efficient Spatial Interpolation with a Misspecified

Covariance Function: Ann. Stat., 16, 55-63.

Des modifications mineures de l'anisotropie (i.e. du paramètre de forme ducorrélogramme ou du variogramme) engendrent donc des prédictions très différentes dans lecas du modèle Gaussien; ceci est du au fait que la fonction de covariance Gaussiennecorrespond à un processus Z(X) très lisse. Une telle fonction devrait être considérée commeune aberration physique, puisqu'elle suppose par exemple possible la reconstitution desévénements le long d'une ligne en ne connaissant que les valeurs sur un segment (lafonction est égale à son développement en série entière).

Pour modéliser la forte corrélation existant à de faibles interdistances, une solution deremplacement du modèle Gaussien consiste donc à choisir des fonctions dont lecomportement à l'origine est également quadratique, mais telles que E[e12]/E[t1l] resteborné.

Exemple: f(w)=b.(a2+ IwI 2t(p+l) avec v> 1

soit pour v= 3/2 K(x) = C.e-a.1 x1(1+a.1 xl)

fonction de covariance correspondant au variogramme suggéré en conclusion du rapport, etdont on a vu qu'il engendrait de faibles conditionnements de la matrice de Krigeage r et desrésultats d'interpolation très intéressants. Il semble donc possible de modifier la majoration(1) pour obtenir une relation pratique faisant intervenir directement le conditionnement(pour des questions de temps cette étude n'a pas été réalisée pendant le stage; peut-êtredurant le VSN?). Dans ce but les références suivantes, fournies par Stein, pourraientapporter des lumières supplémentaires sur les problèmes apparus durant le stage:

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Appendice

••••••••••••••••••••

Annexe ORSTOM 1

Institut Français de Recherche Scientifiquepour le Développement en Coopération

Budget : 1 milliard de FF

Effectif: 2500 agents dont 1500 Chercheurs, Ingénieurs et Techniciens,dont 600 en poste à l'étranger, 500 originaires des pays du Sud et100 chercheurs étrangers associés.

Fonnation : 150 allocataires de recherche et 300 chercheurs par an.

Dispositif: 40 implantations réparties dans une trentaine de pays.

Le centre de Montpellier, dont la construction a été décidée en 1983, a pour vocationl'évaluation et la mise en valeur des ressources naturelles, et le développement desproductions alimentaires tropicales.

Deux grands domaines scientifiques y sont donc particulièrement étudiés:

- Sciences de la Vie (biologie végétale et santé humaine),

- Sciences de l'Environnement (Climatologie, Hydrologie, Ressources en Eau,Exploitation des milieux),

qui sont développés dans les Laboratoires d'Hydrologie, d'Analyses Biochimiques,Insectarium, Atelier d'Informatique et de Traitements d'Images.

L'ORSTOM est un établissement public à caractère scientifique et technologique, placésous la tutelle des Ministères de la Recherche et de la Coopération. Depuis près decinquante ans, l'ORSTOM conduit des recherches sur les milieux intertropicaux encoopération avec des organisations de pays du Sud, et participe au renforcement de lacapacité scientifique de ces pays par la formation à la recherche et par des appuisspécifiques. Grâce à un partenariat très actif avec d'autres pays du Nord, et particulièrementpar sa participation à de grands programmes internationaux, l'ORSTOM permet laconcentration de connaissances et de compétences sur les problématiques spécifiques de larecherche dans les régions chaudes.

Les programmes de recherche sont conduits dans 41 Unités de Recherche, regroupées danscinq Départements:

- Terre, Océan, Atmosphère

- Eaux Continentales

- Milieux et Activité Agricole

- Santé

- Société, Urbanisation, Développement

•••••••••••••••••••••Annexe ORSTOM page 1

Le Laboratoire d'Hydrologie se consacre essentiellement à la description des régimeshydroclimatiques à l'échelle des grands ensembles géographiques, et à l'étude desmécanismes mis en oeuvre dans le cycle de l'eau (précipitations, évaporation, ruissellementet infiltration).

Quatre Unités de recherche, dont la plupart des activités se développent à l'étranger, sontreprésentées, chargées d'étudier:

-les relations Continent-Atmosphère-Séries climatiques,

-la géodynamique de l'hydrosphère continentale,

-les processus de transformation, fonctionnement et transfert sol-eau-plante-atmosphère,

- les ressources en eau.

Le laboratoire est chargé d'apporter un appui logistique, informatique et documentaire à laréalisation de ces programmes.

Annexe ORSTOM page 2

Il111111111

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••1

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Annexe EPSAT

Estimation des Précipitations par SATellite

1. Notions de météorologie sahélienne

a. Le climat sahélienb. Les lignes de grains

2. Les objectifs d'Epsat

3. Epsat-Niger

a. Buts de Epsat-Nigerb. Le degré carréc. Résultats de l'expériencec. Perspectives

a. Le climat Sahélien

b.Les lignes de grains

1. Notions de Météorologie Sahélienne

Ce sont des phénomènes d'origine convective dont le mécanisme de genèse est étudiéactuellement. Elles résultent vraisemblablement des effets combinés de l'Anticyclone deSainte-Hélène, qui correspond à un flux humide de mousson dans les zones inférieures del'atmosphère, et du flux supérieur d'Est, qui entraîne les nuages.

Les lignes de grains se déplacent dans une direction générale E/NE-OISO, à une vitessevariant de 50 à 70 km/h, sur des distances considérables pouvant atteindre 3000km, etdéversent des précipitations de l'ordre de 40 à 90mm.

Annexe EPSAT

"Sahel" est un terme Arabe qui désigne la "bordure". Cette région est en Afrique del'Ouest la zone de transition entre les déserts du Nord Sahélien et les savanes humides duSud.

Le climat Sahélien se caractérise par l'alternance d'une saison sèche (Octobre à mi-Mai) etd'une saison des pluies (mi-Mai à Septembre) avec une moyenne mensuelle desprécipitations maximale au mois d'Août.

Dans l'espace, le trait le plus connu du climat Sahélien est la répartition latitudinalerégulière des isohyètes annuelles, qui présentent un gradient négatif d'environ -lmm parkilomètre vers le Nord. Les moyennes annuelles peuvent donc s'exprimer par:

M(L) =600-(L-13)*lOO

avec pour référence, une moyenne de 600mm pour L= 13 0 de latitude Nord.

Enfin les précipitations sur la bande Soudano-Sahélienne sont provoquées pour au moins80% d'entre elles par les lignes de grains.

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a.Buts de EPSAT-Niger

2. Les objectifs d'EPSAT

3. EPSAT-Niger

Epsat-Niger, créé en 1988 pour une durée prévue de quelques années seulement, s'appuiesur l'utilisation conjointe d'un réseau de pluviographes et d'un radar météorologique; oncherche à parfaire la vérité sol afin de mettre au point des algorithmes d'estimation despluies par radar et par satellites à des échelles inférieures à cinq jours: il est donc nécessairede bien décrire la répartition spatiale et temporelle des pluies au sol.

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Annexe EPSAT

L'économie dans certains pays repose presque entièrement sur l'agriculture et lesrendements agricoles sont donc principalement conditionnés par" l'importance et la régularitédes précipitations, (surtout en zone intertropicale, où la température varie peu). Or le Sahel,zone semi-aride de l'Afrique de l'Ouest, subit depuis vingt ans une sécheresse persistante etencore inexpliquée. Aussi une bonne description en temps peu différé de la répartitionspatio-temporelle des pluies est-elle souhaitable. Mais le réseau de pluviomètres en Afriquede l'Ouest est très lâche (à cause du coût et de la difficulté de leur implantation), et permetmal de suivre l'évolution des pluies.

Le programme Epsat a été créé en 1985 et se propose de pallier à ces difficultés. Sesprincipaux objectifs sont l'élaboration d'algorithmes de détermination en temps quasi-réeldes précipitations, et ce, en première approche, dans la bande Soudano-Sahélienne.

Des campagnes de mesures sur le terrain servent à récolter des données pour:

- initialiser les modèles développés,

- mieux connaître la répartition spatiale des pluies,

- mieux connaître la représentativité de la mesuré locale d'un pluviographe, comparée àl'estimation par satellite,

A un moindre degré, la dynamique des lignes de grains peut également être étudiée.

Epsat-Niger fait partie des dispositifs expérimentaux mis en place pour atteindre cesobjectifs.

c. Résultats de l'expérience

d. Perspectives

b.Le degré carré

La "vérité terrain" représentée par les données des pluviographes et du radar vontmaintenant servir à valider les estimations par satellites.

La couverture des zones intertropicales par les satellites géostationnaires peut seulefournir des informations à des intervalles inférieurs à l'heure, sur ces régions pauvrementéquipées en appareils de mesures au sol.

Annexe EPSAT

Les données recueillies permettront d'étalonner le radar de Niamey-aéroport, afin depasser du facteur de réflectivité R mesuré par le radar, au taux de précipitations Z, par larelation Z=aRb.

Elles ont également confirmé la présence d'isohyètes bien lissées et du gradientpluviométrique de 1mm par kilomètre vers le Nord à l'échelle annuelle, par opposition àl'extrême variabilité des champs de pluies pour les cumuls sur des pas de temps inférieursou même égal au mois.

Epsat-Niger fournit donc une vision globale et détaillée de la pluie à l'échelle de quelquesdizaines de milliers de kilomètres carrés, et non plus seulement locale, à l'échelle d' un .bassin versant.

La région où est implanté Epsat-Niger est le "degré carré" Oa zone de référence initialefaisait 1° de longitude sur 1° de latitude), dont l'emplacement a été choisi en raison de saposition au coeur du Sahel, à proximité de Niamey, et du relief très uniforme de cetterégion, perturbant peu les systèmes précipitants.

La zone d'étude est comprise entre 1°40' et 3°00' de longitude Est, et 13° et 14° deLatitude Nord, soit une surface de 16000km2 environ, pouvant se séparer en une zone deréférence de 10000km2 à l'Est de Niamey et une zone d'extension de 6OOOkm2 à l'Ouest.Sur la zone référence le réseau est composé d'une grille à peu près régulière où lesinterdistances entre pluviographes sont de l'ordre de 12.5km, soit un appareil pour 156km2

(environ 3*3 pixels satellites), et d'une cible en son centre avec une densité d'un appareilpour 9km2 environ. Par comparaison, la densité du réseau pluviographique du NigerSahélien est de un appareil pour 20000km2, autrement dit des stations totalementdécorellées entre elles.

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Annexe AnaNum 1

Développement desnotions d'Analyse Numérique Matricielle

employées dans ce rapport

- Résolution de systèmes et inversion de matrices

- Méthode de Gauss-Jordan

- Méthode de Householder

- Conditionnement des matrices

- Définition, effets, exemple et propriétés

- Calcul pratique: calcul des valeurs propres d'une matrice

- méthode de la puissance itérée

- méthode de Jacobi

A l'issu de la (n-1)ème étape la matrice An = MA avec M = Bn-lP0-1 ...ElPI est diagonale.

Méthode de Gauss-Jordan

On cherche une matrice M telle que MA soit diagonale. Le résultat de la (k-1)ème étapeest alors une matrice de la forme:

Ek= Il a(k)lk/a(k)kk 11 1 a(k) lk/a(k)kk 11 1 11 a(k) lk/a(k)kk 1 11 a(k)lk/a(k)kk 1 1

Cette méthode est exposée dans Ciarlet pages 81-82.

Annexe AnaNwn

Pour calculer l'inverse de A on résout simultanément les n systèmes linéaires:

A.uj=ej j=l,n

en appliquant à chaque second membre ej les transformations (échanges et combinaisonslinéaires de lignes), représentées par les matrices Pk et Ek. On obtient ainsi:

An.uj=M.ej j=l,n

dont la résolution, avec An diagonal, est évidente.

où les Pi sont des matrices de transpositions remplaçant a(k)kk par max 1a(k)ij 1 pour i,j = 1,n(stratégie du pivot total), et les matrices Ei des matrices d'élimination des termes nondiagonaux:

Note: La méthe>de tle Gauss de résolution d'un système AX=B est supposée connue: unalgorithme en était donné dans le cours d'initiation au Fortran reçu en seconde année àl'ENSHMG.

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Première itération:

Méthode de Householder

ConclusionA l'issu de la (n-1)ème étape on obtient T=HA, avec H=Hn-1. ..H1 et detH=(-l)"-ot,

donc detA=(-l)O-I[a(n)l1 ...a(n)nn]. Cette méthode est exposée dans Ciarlet pages 90-94 etdans Nowakowski II pages 39-46, avec un algorithme et les programmes en Basic et Pascal.

•••••••••••••••••••••page 2

où Hk est d'ordre n-k+ 1

Annexe AnaNum

(k+Hème itération:

Ak= 1a(k)l1 .... a(k)lk ... a(k)10 =

111 a(k)nk ... a(k)nn 1

Ak+ 1=HkAk avec Hk= 1Ik-1 010 Hk

Les étapes du calcul sont donc les suivantes:

1. À=a(k+ 1)kk =-sgn(a(k)kk)[E(i=k,n)(a(k)ik)2] 1122. a=À(À-a(k)kk)3. vERo-k+l vk=a(k)kk-a(k+1)kk et vi=a(k+1)ii i=k+1,n4. pour j =k+ 1,n

(3 .= ~ V· a(k) ..J .LJ(i = k,n) 1· IJ

'Yj={3/aY·=a(k+ 1) .. =a(k)··-",,· v· pour i = k,n1 IJ IJ')" 1

Détennination de H =1-2uu'

où u est un vecteur normé: Il ull =u'u=l, donc H est symétrique et orthogonale.Le principe des calculs est le suivant:Th: pour un vecteur a~O, 3ÀER / H.a=À.e1 et on montre que:

À=-sgn(a1) Ilall2 H=I-vv'/a avec v=a-Àe1 et a=À(À-a1)

Application au calcul de HIA

H1A= 1À 110 W2... Wn 11. 1

10 1Les vecteurs Wi i=2,n sont calculés à partir des Ai suivant la transformation:

x - > y=Hx=x-(vv'/a)x et pratiquement: y=x--yv avec -y={3/a et {3=v'x

C'est une méthode directe qui consiste à transformer A en matrice triangulaire supérieure Tpar produits successifs de matrices orthogonales H:

A.X=B => HA.X=H.B système facile à résoudrePour trouver A-1 le principe est le même:

AA-l=I => HAA-l=TA-l=Het on résout successivement les n systèmes (pour j=l,n):

t·k ak·-1=h·· i= 1 n'1.) IJ '

Conditionnement de matrices

Note: Le conditionnement d'une matrice est ici envisagé pour la résolution d'un systèmelinéaire A.X=B; il existe d'autres conditionnements pour A, pour la recherche de sesvaleurs ou vecteurs propres.

Définition: Soit Il.11 une norme matricielle subordonnée et A une matrice inversible; leconditionnement de A relativement à la norme matricielle considérée est le nombre:

cond(A) = IIAII.IIA-111

Effets du conditionnement:cond(A) mesure la sensibilité de la solution X du système AX =b vis-à-vis des variations

sur A et B;• Si on introduit une petite variation dB sur B:

A.X=B =;> IIBII:s;IIAII.IIXII =;> 1I11xll<IIAII/IIBIIA.(X+dX)=B:=:;> A.dX=dB =;> dX=A-l.dB ~ IldXII:s;IIA-111.lldBII

Il dX 11/11 X Il < Il A Il.11 A-111.( Il dB 11/11 B II>

Annexe AnaNum

Exemple (du à R.S. Wilson):

A= 110 7 8 7 1 B= 1321 X= Il 117 5 6 5 1 1321 11118 6 10 9 1 1321 Il 1\7 5 9 101 1321 11\

A= 125 -41 10 -6 11-41 68 -17 10 1110 -17 5 -3 11-6 10 -3 2 1

Pour dB= 10.1 1 on obtient dX= 18.2 11-0.1 1 1-13.6110.1 1 13.5 11-0.1 1 1-2.1 1

Pour dA= 10 0 0.1 0.2 1 on obtient dX= 1-82 110.08 0.04 0 0 1 1136110 -0.02 -0.11 0 1 1-35 11-0.01-0.01 0 -0.02 1 121 1

La majoration de l'erreur relative sur le résultat en fonction de l'erreur relative sur B faitdonc intervenir cond(A) et cette majoration est la meilleure possible.• Si on fait intervenir une petite perturbation sur A:

(A+dA).(X+dX)=B ~ dA.(X+dX)=-A.dX ~ dX=-A-l.dA.(X+dX)==> Il dX Il < Il A-111.11 dA Il.11 X+dX Il

=:;> IldXII/IIX+dXII < IIAII.IIA-111.(lldAII/IIAII>

La majoration de l'erreur relative sur le résultat en fonction de l'erreur relative sur A faitencore intervenir cond(A), et cette majoration est la meilleure possible.

•••••••••••••••••••••

Calcul pratigue du conditionnement:

P3 a permis d'envisager deux méthodes pour calculer cond(A): calcul des seules valeurspropres maximales de A et A-1 pour obtenir:

cond(A) =max(i=I,n) 1Ài(A) 1/max(i= I,n) 1Ài(A-1) 1

et le calcul de la plus grande valeur propre d'une matrice se fait par la méthode de lapuissance itérée. Ou bien on peut calculer le spectre entier de A par la méthode de Jacobi,pour obtenir ses valeurs propres maximale et minimale.

Propriétés du conditionnement (pour A à valeurs dans R):

-PI- cond(A)~1 car I=A.A-l ~ 1<IIAII.IIA-iii

Les propriétés suivantes sont valables pour la seule norme matricielle:

IIAIIz=sup(IIA.Xllz/llxllz}=p(A) avec IIXIIz=[E(i=1,n)(Xj)Z]1I2

-P2- cond(A) est invariant par transformation orthogonale, d'où l'emploi de matricesorthogonales comme matrices de transformation dans les méthodes de Gauss-Jordan etHouseholder.

-P3- cond(A) =max(i=l,D) 1Ài(A) 1/min(i=l.n) 1Ài(A) 1

où les Ài(A) sont les valeurs propres de A.

dém: cond(A) = Il A112.11 A-1 11 2 et Il A IIz=p(A) =max(i=I,n) 1Ài(A) 1

IIA-111 2=p(A-l)=max(i=I,n)IÀi(A-l)1or A.V=ÀV ~ A-l.V=(l/À)V

donc le spectre de A-l est l'inverse de celui de A, donc:

max(i=I,n)!Ài(A-l)1 =min(i=I,n)\ Ài(A)1 ~ CQFD

Méthode de la puissance itérée:Soit XO un vecteur quelconque; dans la base des vecteurs propres Vi, XO=Ci.Vi, soit, en

multipliant k fois par A:

A.XO=A.Ci.Vi=Àï.Ci. Vi (... )

Ak.XO=Àlk[C1.VI +C2.(À2/ÀI)k. V2+ ... +Cn.(Àn/Àl)k.Vn]

et Ài < ÀI pour i;é 1 = > (Ài/ÀI)k~ quand k-oo

donc Ak.Xo-Àlk.Cl.VI et Ak+l.Xo-Àlk+l.Cl.VI

donc Vi, (Ak+ 1.XO)j/(Ak.XO)j-Àl

Un algorithme de cette méthode avec le programme en Basic correspondant sont présentésdans Nowakowski 1 pages 74 et 75. Lors des essais cette méthode a permis de retrouver lesmêmes valeurs propres maximales et conditionnements que ceux donnés dans la littératurepour la matrice de Wilson ou les matrices de Hilbert. Nowakowski laisse cependantentendre qu'elle est restreinte aux matrices définies positives, ce qui n'est pas le cas de r,aussi une seconde méthode a.t.elle été mise au point pour vérification:

Annexe AnaNum page 4

Il111111

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•••••••

Méthode de Jacobi

La méthode itérative de Jacobi permet de déterminer les valeurs et vecteurs propres d'unematrice symétrique A, changée en matrice diagonale par une suite de transformationsorthogonales Uk qui annulent le plus grand coefficient non diagonal, tout en conservant lesvaleurs propres.

On pose Al=A et Ak=Uk.Ak-l.Uk' telle que AI4D quand k-ooet la convergence est mesurée par:

T=[E(i=l,nj<i)(a(k)ij)2]/n2 avec T-o quand k-oo

Uk est définie par:

Uk.. =0·· si i;ép qIJ IJ 'Ukpp = Ukqq=cosfJ

Uk =-Uk =sinfJpq qp

et cosfJ et sinfJ sont calculés de la façon suivante:

À=-ak-1pq et J.'=(ak-lpp-ak-1qq)12

m=sgn(J.') .ÀtV(À2 + J.'2)

sinfJ=mtV(2(l +v(l-'ü12») et cosfJ~2fJ)

Les valeurs propres de A sont les coefficients de la diagonale D et les vecteurs propres deA sont les vecteurs colonnes de R=lim(k- oo )Uk....U2

Cette méthode est exposée dans Nowakowski II pages 61-66 avec les programmes en Basicet en Pascal correspondants. Des développements sont fournis dans Ciarlet pages 111-118 etdans Lascaux et Theodor pages 690-704. .

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•••••••••••••• Annexe AnaNum pageS

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Annexe Applications 1

1. Sujet de l'annexe

2. Construction d'un fichier des stations

3. Calage d'un variogramme théorique et extraction de données

4. Conclusions

Fichiers des 59 stations et des cumuls de 6hoo à 13h00 4Positions des 59 stations dans le repère Epsat 5Cumuls de 6hOO à 13h00 aux stations 6Listing de calage. f 7-9Exemple du découpage du variogramme en classes 10Variogrammes climatologiques (cumuls et pas 5,10,15,20,30,45 et 60mn) 11-14Isohyètes des cumuls 15Isohyètes aux pas 1hoo 16Isohyètes aux pas 45mn 17-18Isohyètes aux pas 30mn 19-20Isohyètes aux pas 20mn 21-22Isohyètes aux pas 15mn 23-25Isohyètes aux pas lOmn 26-29Isohyètes aux pas 5mn 30-37

2. Construction d'un fichier des stations et Extraction de données

1. Sujet de )'annexe

L'étape suivante a consisté à caler pour chacun de ces fichiers un variogramme théoriquesur le variogramme expérimental climatologique.

En 1991, 109 stations étaient implantées sur le degré carré. Pour diminuer la taille desfichiers 12 extraits, et aussi par souci de lisibilité, seules les stations en fonctionnement,susceptibles de servir à l'estimation par Krigeage ont été conservées. Ont donc été éliminéesles stations:

- dont le cumul annuel pour 1991 est nul (== n'ayant pas fonctionné en 1991),

- dont le cumul pour le 20/08/91 est nul (==n'ayant pas fonctionné le 20/08/91),

- dont les coordonnées n'étaient pas clairement précisées dans le rapport de campagneEpsat 91,

- trop éloignées du degré carré,

- mesurant la pluviométrie au sol (Le. doublant les pluviomètres qui mesurent engénéral la pluie reçue à 1m50 du sol).

Les 59 stations restantes sont présentées page 4 et 5.

Le cumul des précipitations de 6hoo à 13h00 à ces stations est fourni page 6.

Des fichiers 12 contenant les cumuls des précipitations entre 6hOO et 13h00, extraits auxpas de temps de 5,10,15,20,30,45 minutes et de 1 heure, ont été créés.

Annexe Applications

T. Lebel, lors de son passage début Mai à l'ORSTOM-Montpellier, avait formulé lesorientations suivantes pour la fin du stage:

- Tester la nouvelle formulation de BADINAGE;

- Tester l'opérationabilité d'une utilisation conjointe de BADORA et BADINAGE.

BADINAGE est un logiciel de banque de données, mis au point par T. Valero, qui archiveet restitue les données (cumul des pluies au pas de temps 5 mn) issues d'un réseau depluviographes.

BADORA est le logiciel d'extraction des données radar correspondant à BADINAGE; ilpermet en plus de visualiser les événements enregistrés.

Le but recherché était donc d'effectuer des extractions à différents pas de temps et devérifier la cohérence entre les données sol et les données radar.

Toutefois, pour des raisons d'emplacement mémoire insuffisant sur le réseau Apollo dulaboratoire, BADORA n'a pas pu être installé et seul BADINAGE a pu être utilisé.

Une étude de cas a été sélectionnée, la ligne de grain du 20 Août 1991, pour servir de filconducteur au rapport. Globalement la partie convective a pénétré le degré carré peu après6hoo et la partie stratiforme s'est définitivement éloignée vers 13h00 (Lignes de grains:Cf. Annexe Epsat).

111111111111111111111

3. Calage d'un variogramme théorique

Note: Deux difficultés sont survenues en utilisant le programme de calcul du variogrammeclimatologique:

1. La diminution du pas de temps d'intégration entraîne l'apparition de valeurs nulles, etmême d'événements entièrement nuls lors du passage de la partie stratiforme de la ligne degrain. Or vario_cl fournit un variogramme normé à chaque évènement par I;(i=l,n)Ztc(Xi)2,ce qui conduisait à une division par zéro. Une boucle évite désormais la prise en compted'événements uniformément nuls.

Pas de temps Modèle Pépite a {:J aexact (jexact

cumul 6h-13h puissance 0 0.081 0.656 0.1161 0.5585 mn "n 0.1 0.081 0.630 0.1123 0.54610 mn "" 0.075 0.050 0.757 0.0412 0.80415 mn IIU 0.05 0.039 0.830 0.0539 0.74420mn "" 0 0.038 0.810 0.0400 0.79530mn linéaire / 0.0197 0.0204 0.0192 0.055945 mn Ult / 0.0206 0.0198 0.02199 -0.072760 mn tilt / 0.0207 0.0198 0.02243 -0.0999

En fait c'est essentiellement la méthode de la dichotomie qui est en cause, puisqu'elle peut"enjamber" la véritable solution lorsque le pas est trop grand et se faire piéger par de"pseudo" solutions. Et il faut lui donner des bornes adéquates: ce n'est pas dans les bornesfixées de 0 à 1 que calage.f a été cherché les valeurs négatives de (j!

Toutefois la méthode fournissant les valeurs exactes a été trouvée trop tard et c'est avecles valeurs malgré tout visuellement satisfaisantes, fournies par calage.f, qu'ont étéinterpolées les données sur une grille au pas 5km, variant de -25 à 115 en abscisse et de 0 à110 en ordonnée. Remarquons que conformément aux résultats de Stein intuités dans lerapport, cette faible erreur sur a et (j ne peut pas engendrer d'erreur très importantes sur lesestimations.

111111111111111111111

pagelAnnexe Applications

Comme mentionné dans la partie introductive sur le Krigeage, un programme calage.f aété réalisé pour ajuster une courbe théorique sur le variogramme brut par la méthode desmoindres carrés, plutôt que de se fier à une estimation visuelle.

Le listing de calage.f est donné pages 7 à 9.

Les motivations qui ont poussé à écrire ce programme sont l'absence d'un procédé decalage automatique (par une méthode quelconque, MSIE ou moindres carrés... ) dans lesprogrammes de Krigeage, et le mauvais fonctionnement de la procédure de visualisation duvariogramme théorique dans les programmes vario_ev ("ev" pour événementiel) et vario_cl("cl" pour climatologique).

Les résultats du calage fournis par calage.f sont visuellement très satisfaisants (Cf. lesvariogrammes pages Il à 14, et un exemple de découpage du variogramme pour les cumulsde 6hoo à 13h00). Mais on a vu que des solutions exactes existent pour les modèleslinéaires et puissance (Cf. Rappels sur le Krigeage 6.b.) et la comparaison entre cessolutions exactes et celles de calage.f laissent à douter fortement de la fiabilité de ceprogramme:

4. Conclusions

2. Une erreur a été décelée dans vario_cl: lors du regroupement de deux classescontiguës hl < h2 , la valeur résultante de ,,(h) était ,,(hl) et non ,,[(hl +h2)12]. Cette erreurn'a pas été corrigée dans vario_cl, parce que le regroupement de classes n'est intéressantque lorsque N(h) est faible ou l'écart-type important, i.e. pour les plus grandesinterdistances; une solution plus simple a consisté à ne pas prendre en compte les classestelles que h> lOOkm dans calage.f.

Les données présentent toutes une dérive très marquée, due essentiellement à la rareté desstations à l'ouest du degré carré; pour rester dans le cadre du Krigeage simple, les modèleslinéaire et puissance ont été employés mais il aurait peut-être mieux valu établir leséquations avec une dérive d'ordre 1.

Les résultats trouvés sont présentés pages 15 à 37; ils montrent bien l'évolution de la lignede grain au cours du temps: précipitations importantes lors du passage de la partieconvective, puis des pluies résiduelles quand la traîne stratiforme suit. Remarquonsd'ailleurs qu'au cours de cette seconde période, les cumuls aux pas de temps 5mn nedépassent que rarement la capacité des augets des pluviographes (0.5mm); de nombreusesstations ne décèlent alors aucune pluie (Z(Xi) =0) et les résultats du Krigeage s'en ressentent(contours difformes et peu significatifs, contrairement à ce qu'on obtenait dans la premièrepartie convective); l'information tend donc à se dégrader dans la partie stratiforme quand ondiminue le pas de temps, alors qu'elle reste satisfaisante dans la partie convective, mêmepour le pas le plus faible de 5 minutes.

111111111111111111111

Annexe Applications page 3

11 STATIONS RETENUES POUR EFFECTUER LES RECONSTITUTIONS PAR KRIGEAGE

AVEC LE CUMUL (NON-NUL) POUR LE 20/08/91 DE 6HOO A 13H00

1200 3 EPSAT/NIGER - Logiciel BADINAGE - ORS TOM - Cumul 0

1 59 1 (A30/, (10F8.1)) O.OOOOOE+OO 0.99900E+31 0M 0 KM MM 0

89.991 78.804 240 'AGHAROUS 137.614 70.853 249 'BANGOU TAWEY 2

1 71.338 59.251 202 'BANIZOUMBOU 333.332 56.860 215 'BARKIAWAL 451.486 72.261 266 'BERl KOlRA 5

165.022 17.959 255 ' BORNE 253 6-6.930 67.461 0 'BOUBON GOLF 780.140 70.797 250 'DAREY 867.248 105.214 0 'DEY TEGUI 927.124 20.461 265 'DJAKINDJI

1 60.355 59.140 232 'FANDOU BERl, 11

18.132 106.789 240 'FOY FANDOU, 12

47.832 54.432 0 , GAGARE , 13111.492 51.282 0 'GAMONZON

1 65.479 55.359 248 'GASSANAMARI NO, 15

65.536 54.303 248 'GASSANAMARI SO, 16

71.593 52.431 250 'GASSEYDA, 17

40.464 45.333 0 'GESSELBODI, 18

1 51. 429 23.018 240 'GORBIKOY KAINA, 19

3.830 93.223 0 'GOROU GOUSSA, 20

90.990 28.653 208 'HARlKANASSOU, 21

102.927 78.618 202 'HOLO, 22

1 109.398 68.091 200 , KALI GOROU , 2370.053 49.076 200 ' KAMPA ZARMA

, 2452.694 30.265 245 ' KARABEJI

, 25-25.721 50.559 230 ' KARE BANGOU

1 -20.793 0.445 0 'KARMA, 27

93.433 104.843 210 'KO FANDOU, 28

77.127 28.393 250 , KODO , 2966.846 94.817 0 'KOKORBE FANDOU

1 103.184 39.791 195 'KOLBOU ZARMA, 31

66.148 80.509 0 'KOLO DIOGONO, 32

67.964 55.396 205 , KOMAKOUKOU , 3364.753 37.419 245 , KOURE , 34

1 113.713 0.519 220 'KOURE KOBADE, 35

65.448 26.892 255 'KOURE SUD, 36

55.070 78.952 270 'MARE KIRE, 37

176.605 16.717 252 'MAROBERI ZENO

, 3844.953 91. 944 250 'MASSI KOUBOU

, 3992.555 38.901 200 'NIABERE DJAMBE

, 4018.712 53.357 0 'NIAMEY AEROPORT

110.443 59.066 0 'NIAMEY ORSTOM

, 4280.930 76.802 245 'NINE FOUNO

, 4389.666 16.328 210 'NIOUMEY

, 44114.011 25.057 230 'SANDIDEYE

1 74.467 60.641 0 'SD EXUTOIRE, 46

73.797 61.735 0 'SD RIVE DROITE, 47

74.995 64.589 0 'SD VILLAGE, 48

75.564 60.863 0 'SDC2 JUPE, 49

1 76.353 62.087 0 'SDC3, 50

77.507 61.327 0 'SDC4, 51

40.039 30.339 187 'SEKOUKOU, 52

65.799 69.963 215 'TAFAKOlRA, 53

1 59.337 4.633 0 'TANABERI, 54

81.658 53.191 0 'TIGO ZENO, 55

27.394 68.740 266 'WARI, 56

60.468 49.966 249 'YELOUNA EST, 57

1 85.115 2.354 237 'YILADDE, 58

96.936 51.801 0 'ZOUZOU BERl, 59

20/08/91 06hOO-20/08/91 13h0025.5 29.0 20.5 23.0 27.0 36.5 17.5 42.5 28.5 39.5

1 31. 0 13.0 29.5 20.0 26.0 20.0 30.0 23.5 35.0 17.543.5 41. 0 41. 5 28.5 48.5 23.0 28.5 31. 0 42.0 27.528.5 29.0 29.5 30.0 44.0 44.0 31. 0 53.0 22.5 32.520.0 12.5 35.5 44.5 43.5 24.0 23.0 31.5 26.0 31.5

1 27.5 34.5 29.0 29.5 33.5 26.0 38.0 35.5 18.0

1Page 4

20108/91 06hoo·2O/08/9113hOO1

'" 1+.~ 28

+100 120 30

39 ++ +

32 137 + 43 1 22+ + ++ 12 5

53 856 +7 + + + 23+ +

11 1+ + !~33 +41 + 13~

+ + 17 55 59 14+ 57 2,f- + 150 + ++ +18+

34 40 31

52 2S 29 21+ + 36 + + 5 119 +10 ++ 6 38 44+ 1+ +

5458 1r + 3D

·20 30 80

60 KM 1stations servant pour reconstituer l'evenement du 20-08-91 1

cartovl1

+ 0.00

+ 41)0

cartovl

+ 41.00

+ 18.00

+ 31.00

+ 35.50 + 25.50

+ 42.50

+ 28.50

+ 27.50

+ 29.00

,\~~~n+31.00 +~

*li'53~.00 + 33.50+ 38.00 + 28.50

+ 31.00 + 29.00

+ 27.00

+ 29.50

+ 22.50

+ 23.00

20/08/91 06hOO-20/08/91 13h00

+ 26.00 + 29.00

+ 23.50

+ 30.00 + 3250 + 28.50

+ 34.50 + 48.50 + 42.00 + 43.50+ 44.00+ 35.00

43.50+ 39.50

+ 36.50 + 53.00 + 44.50

+ 13.00

+ 12.50

+ 20.00

cumuls de 6hOO a13h00 aux stations en service le 20-08-91

+ 17.50

+ 29.50ol----L...::;+28""".5",-0--L.-_----l-_----l..._--'-_-----:"__L--_..L.-_....L...-_--l.-_-----L-_+_35..L.5_0_....L...-_---l...--...!. 44.00

-20 30

50 23.00

111111 100

111111111111111

C******************************************************************************

C******************************************************************************C PROGRAM CALAGEC BUT : CALER UN VARIOGRAMME THEORIQUE SUR UN VARIOGRAMME EXPERIMENTALC PAR LA METHODE DES MOINDRES CARRESC METHODE : RECHERCHE PAR DICHOTOMIEC => LA PRECISION ESPEREE EST TRES FAIBLE ET DEPEND SURTOUTC DU NOMBRE DE DIVISIONS DE LA DICHOTOMIE (NDIV)C******************************************************************************C VERSION ORIGINALE ----05/92---- o. PONSEELC******************************************************************************C

FUNCTION CRIT DEFINIT LE VARIOGRAMME THEORIQUE ET CALCULE LE CRITERE:CRIT=SOMME DES ECARTS AU CARRES ENTRE VARIO EXP. ET VARIO THEO.

PARAMETER (NN=1000)LOGICAL FIRSTCHARACTER*80 TITRE,TITDIMENSION X(NN),Y(NN)

DEFINITION DE LA PRECISION (ET ... DU TEMPS DE CALCUL!!!) DE LA DICHOTOMIE

PARAMETER(NDIV=100,PRECISION=lE-5)

INTERVALLE DANS LEQUEL A ET B SONT VRAISEMBLABLEMENT! ! !

PARAMETER(AMINI=O.,AMAXI=l.,BMINI=-l.,BMAXI=l.)

DEFINITION DU MODELE! ! !

MODELES SPHERIQUE (1) EXPONENTIEL (2) GAUSSIEN (3) LINEAIRE (4) PUISSANCE (5)

PARAMETER(MODELE=4)PARAMETER(PEPI=O.)

LECTURE DU FICHIER82 CONTENANT LE VARIO EXP. (EN DEFINIR LE NOM!!!)

OPEN(13,FILE='bds30.d82')IE=13FIRST=.TRUE.CALL READ82 (IE,FIRST,IER,NCOD,TITRE,NCOURB,TIT,

& NXY,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,X,Y)FIRST=.FALSE.CALL READ82 (IE,FIRST,IER,NCOD,TITRE,NCOURB,TIT,

& NXY,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,X,Y)

CALAGE SUR LES POINTS CONTENUS DANS LES 100 PREMIERS KM SEULEMENT

DO I=l,NXYIF (X(I) .GT.100.) THEN

N=IGO TO 1

ENDIFENDDO

AFFICHAGE DES POINTS DU VARIOGRAMMES EXPERIMENTAL UTILISES POUR LE CALAGE=========================================================================

WRITE(*,*)'LES',N,' PREMIERS POINTS DU VARIOGRAMME EXPERIMENTAL'II&' SONT UTILISES POUR LE CALAGE'

DO I=l,NWRI TE (* , *) , X (' , I,' ) =' , X (I) , , y (' , I,' ) =' , y (I )

ENDDOIF (MODELE.EQ.1) GO TO 2IF (MODELE.EQ.2) GO TO 2IF (MODELE.EQ.3) GO TO 2

111111111111111111111

=========================================================

DANS LE CAS DU MODELE PUISSANCE UNE SOLUTION EXACTE EXISTE

DANS LE CAS DU MODELE LINEAIRE UNE SOLUTION EXACTE EXISTE

H1=0.H2=0.G1=0.H1G1=0.

UNE SOLUTION EXACTE EXISTE'B(exact) =',BTHEO

IF (MODELE.EQ.S) THENDO I=l,N

H1=H1+LOG(X(I) )H2=H2+(LOG(X(I)))**2G1=G1+LOG(Y(I)-PEPI)H1G1=H1G1+LOG(X(I))*LOG(Y(I)-PEPI)

ENDDOD=N*H2-H1**2ATHEO=(G1*H2-H1*H1G1)/DBTHEO=(N*H1G1-H1*G1)/DWRITE(*,*)'POUR LE MODELE PUISSANCEWRITE(*,*)'A(exact) =' ,EXP(ATHEO),'

IF (MODELE.EQ.4) THENDO I=l,N

H1=H1+X(I)H2=H2+X(I)**2G1=G1+Y(I)H1G1=H1G1+X(I)*Y(I)

ENDDOD=N*H2-H1**2ATHEO=(N*H1G1-H1*G1)/DBTHEO=(G1*H2-H1*H1G1)/DWRITE(*,*)'POUR LE MODELE LINEAIRE UNE SOLUTION EXACTE EXISTE'WRITE(*,*)'A(exact) =' ,ATHEO,' B(exact) =' ,BTHEO

ENDIFC

11111111

RECHERCHE APPROXIMATIVE PAR DICHOTOMIE======================================

AMINIM=AMINIAMAXIM=AMAXIBMINIM=BMINIBMAXIM=BMAXICRIT1=CRIT(X,Y,N,AMINIM,BMINIM,PEPI,MODELE)ITER=O.DO 10 WHILE(SQRT«AMAXIM-AMINIM)**2+(BMAXIM-BMINIM)**2) .GT.

& PRECISION)DO 10 WHILE (ABS (AMAXIM-AMINIM) .GT.PRECISION)DO 10 WHILE(ABS(BMAXIM-BMINIM) .GT.PRECISION)

AMIN=AMINIMAMAX=AMAXIMBMIN=BMINIMBMAX=BMAXIMAPAS=(AMAX-AMIN)/REAL(NDIV)BPAS=(BMAX-BMIN)/REAL(NDIV)DO 20 I=O,NDIV

A=AMIN+APAS*IDO 20 J=O,NDIV

B=BMIN+BPAS*JCRIT3=CRIT(X,Y,N,A,B,PEPI,MODELE)IF (CRIT3.LT.CRIT1) THEN

CRIT1=CRIT3AMINIM=A-APAS

1 Page 8

CARRES,DICHOTOMIE)'+/-' ,AMAXIM-AMINIM+/-' ,BMAXIM-BMINIM

AMAXIM=A+APASBMINIM=B-BPASBMAXIM=B+BPAS

ENDIFCONTINUEITER=ITER+1WRITE(*,*)'ITERATION =',ITER,'

CONTINUEWRITE(*,*)'CALAGE-OPTIMAL (MOINDRESWRITE(*,*)'A =' (AMINIM+AMAXIM)/2,'WRITE(*,*)'B =', (BMINIM+BMAXIM)/2,'END

A =', AMINIM, , B =',BMINIM

C******************************************************************************C FUNCTION CRIT DEFINIT LE VARIOGRAMME THEORIQUE ET CALCULE LE CRITERE:C CRIT=SOMME DES ECARTS AU CARRES ENTRE VARIO EXP. ET VARIO THEO. 1C******************************************************************************

FUNCTION CRIT(X,Y,N,A,B,PEPI,MODELE)DIMENSION X(l),Y(l)CRIT=O.DO I=l,N

GOTO(10,20,30,40,50)MODELEC*******SPHERIQUE10 VARIOG=PEPI+(A-PEPI)*(A1*X(I)-A3*X(I)**3)

GO TO 60C*******EXPONENTIEL20 VARIOG=PEPI+(A-PEPI)*(l-EXP(-(X(I)/B)))

GO TO 60C*******GAUSSIEN30 VARIOG=PEPI+(A-PEPI)*(1-EXP(-«X(I)/B)**2)))

GO TO 60C*******LINEAIRE~O VARIOG=A*X(I)+B

GO TO 60C*******PUISSANCE50 VARIOG=PEPI+A*X(I)**B60 CRIT=CRIT+(Y(I)-VARIOG) **2

ENDDORETURNEND

C***********************************************************************

11111111

C***********************************************************************

****************

1) FONCTION:Lit un fichier de type 82 ..L'appel de READ82 avec FIRST=.TRUE. litChaque appel suivant avec FIRST= .FALSE. 1

les en-tetes du fichier.lit le groupe de pts

*READ82*

---------------------*==============================================================================================================*l variogramme en 50 classes*==============================================================================================================*l no 1: 2: 3: 4: 5 .: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15 l*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l dist: 2.1: 4.4: 7.8: 11.0: 14.0: 17.2: 20.5: 23.6: 26.5: 29.4: 32.8: 36.1: 39.2: 42.2: 45.31*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*Ivar: 0.192: 0.230: 0.435: 0.451: 0.438: 0.589: 0.708: 0.521: 0.646: 0.810: 0.836: 1.006: 0.946: 0.947: 1.1191*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l e.t.: 0.194: 0.225: 0.447: 0.611: 0.638: 0.646: 1.020: 0.860: 1.004: 0.966: 1.081: 1.169: 1.450: 1.286: 1.4551*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l npc: 14: 12: 28: 47: 64: 40: 37: 63: 91: 74: 65: 99: 87: 80: 821*==============================================================================================================**==============================================================================================================*l no 16: 17: 18: 19: 20: 21: 22: 23: 24: 25: 26: 27: 28: 29: 30 l*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l dist: 48.5: 51.5: 54.7: 57.8: 61.0: 63.9: 67.1: 70.7: 73.3: 76.4: 79.3: 82.8: 86.2: 89.2: 92.21*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*Ivar: 0.806: 1.027: 0.904: 1.065: 1.041: 1.031: 1.238: 1.591: 1.271: 1.079: 1.440: 1.635: 1.636: 2.280: 1.2391*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l e.t.: 1.278: 1.259: 1.064: 1.094: 1.191: 1.292: 1.339: 1.607: 1.241: 0.967: 2.006: 1.785: 1.556: 1.757: 1.6431*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l npc: 72: 76: 63: 56: 54: 51: 46: 46: 41: 39: 44: 29: 24: 20: 201*==============================================================================================================**==============================================================================================================*l no 31: 32: 33: 34: 35: 36: 37: 38: 39: 40: 41: 42: 43: 44: 45 l*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l dist: 95.3: 98.1: 101.5: 104.9: 108.2: 110.5: 114.2: 118.0: 120.0: 123.3: 127.1: 129.5: 131.7: 136.3: 138.01*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*Ivar: 1.233: 3.069: 0.687: 1.497: 3.094: 1.693: 1.301: 3.236: 0.987: 1.578: 3.591: 0.956: 2.109: 0.895: 4.5701*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l e.t.: 1.386: 2.277: 1.152: 2.064: 2.836: 1.089: 1.759: 2.310: 1.074: 1.296: 2.410: 1.560: 0.000: 0.889: 0.0001*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l npc: 17: 15: 19: 16: 17: 6: 18: 4: 7: 3: 3: 6: 1: 6: 11*==============================================================================================================**==============================================================================================================*l no 46: 47: 48: 49: 50:*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l dist: 142.6: 146.5: 148.1: 151.6: 154.7:*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*Ivar: 3.507: 1.058: 2.870: 0.000: 0.041:*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l e.t.: 2.150: 0.041: 0.000: 0.000: 0.000:*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l npc : 4: 2: 1: 0: 1:*==============================================================================================================*

DECOUPAGE EN 50 CLASSES DU VARIOGRAMME EXPERIMENTAL POUR LES CUMUL DE 6HOO A 13H00

variogralles experilental et theorique 1

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11 Page 14

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cumuls au pas:15mn vario puissance pepit=.05 a=.039 b=.830

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cumuls au pas:lOmn vario puissance pepit=.075 a=.050 b=.757

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20/08/91 08h45-20/08/91 08h4520/08/91 08h40-20/08/91 08h40

125 KM

cartovl

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- - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -20/08/91 09hoo-20/08/91 09h00 20/08/91 09h05-20/08/91 09h05 20/08/91 09hl0-20/08/91 09h10 20/08/91 O9hI5-20/08/91 09h15

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20/08/91 09h30-20/08/91 09h3020/08/91 09h25-20/08/91 09h25

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20/08/91 O9h20-20/08/91 09h20

125 KM

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20/08/91 O9h40-20/08/91 09h40 20/08/91 09h45-20/08/91 09h45 20/08/91 09h50-20/08/91 09h50 20/08/91 09h55-20/08/91 09h55

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125 KM

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---------------------20/08/911Oh20-20/08/91 10h20 20/08/91 lOh25-20/08/911Oh25 20/08/91 lOh30-20/08/91 10h30 20/08/91 1Oh35-20/08/91 10h35

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20/08/91 1Oh45-20/08/91 10h45./

20/08/91 lOh40-20/08/91 10h40

125 KM

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20/08/91 11hlO-20/08/91 11h10

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125 KM

cartovl

---------------------

111111111111111111111

Annexe Test 1

1 - test.d122 - position des stations Xi3 - valeurs Z(Xi)4 - variogrammes brut, Gaussien de portée 15km et sphérique de portée 35km5 - découpage du variogramme brut6 - résultats pour les variogrammes Gaussien (15km) et sphérique (35km)7 - résultats graphiques du sphérique(35km)8 - exemple de vecteur A (second membre du système de Krigeage)9 - test.d12210 - exemple de poids pour un variogramme sphérique(35km)Il - exemple de poids pour un variogramme Gaussien(l5km)12 - exemple de poids pour un variogramme Gaussien(22km)13 - exemples de poids théoriques14 - matrice r15 - matrice inverse16 - calage par validation croisée

- modèle sphérique à partir de test.d12- modèle Gaussien à partir de test.d12- modèle Gaussien à partir de test-cible.d12

17 - test-cib1e.d1218 - variogrammes optimaux: sphérique(53km) pour test.d12

Gaussien(22km) pour test-cible.d1219 - résultats graphiques du sphérique optimal(53km) pour test.d1220 - résultats graphiques du Gaussien optimal(3.4km) pour test.d1221 - résultats graphiques du Gaussien optimal(22km) pour test-cib1e.d1222 - résultats graphiques du Gaussien(22km) avec une pépite de 8%(20mm2/250mm2)23 - variogramme de remplacement au Gaussien(~ = 1Okm)24 - poids pour le vario. de remplacement du Gaussien(lOkm) au point XO(l20,1l0)25 - poids pour le vario. de remplacement du Gaussien(lOkm) au point XO(65,55)26 - résultats graphiques du variogramme de remplacement(lOkm) pour test.d1227 - résultats sur la cible: remplacement(lOkm) et sphérique (53km)28-38 - listing de test.f39 - exemple complet avec une petite "matrice de Krigeage" d'ordre 340 - exemple complet avec une matrice de Hilbert d'ordre 3

1FICHIER TEST.D12

CE FICHIER CONTIENT LES COORDONNEES (X,Y) DES STATIONS (PARFOIS LEURS ALTITUDES)L'ORIGINE (0,0) EST SITUEE A 13 DEGRES DE LATITUDE NORD

2 DEGRES DE LONGITUDE ESTLES CUMULS DES PRECIPITATIONS DE 7H30 A 15H00 POUR L'EVENEMENT DU 20/08/89EST EGALEMENT FOURNI. CE SONT LES Z(Xi) DU SYSTEME DE KRIGEAGE.

53.524.041. 0

28.045.528.546.5

68.055.048.543.0

456789

10111213

1617181920212223

, 2425262728

313233343536

373839

oO.OOOOOE+OO 0.99900E+31 0

26.547.025.536.0

44.09.5

15.03.0

14 .556.014.040.5

1200 3 echantillon40 1(A30/,(10F8.1»

MO KM MM103.3000 91.30000 205.0000 'ALKAMA64.10000 51.10000 257.0000 'BALAL SAGUI40.20000 81.80000 266.0000 'BANGOU BOBO62.60000 56.30000 0.0000000 'BAZANGA BANGOU1.300000 88.80000 240.0000 'danguey gorou80.20000 70.70000 250.0000 'darey12.70000 6.600000 230.0000 'DEBERE GATI67.30000 105.1000 0.0000000 'DEY TEGUI26.90000 20.40000 265.0000 'DJAKINDJI68.70000 49.20000 254.0000 'fandobong60.90000 59.20000 232.0000 'FANDOU BERl67.40000 53.50000 250.0000 'FETOKADIE18.10000 106.7000 240.0000 'FOY FANDOU47.90000 54.40000 o.ooonooo 'gagare111.5000 51.20000 0.0000000 'GAMONZON30.00000 92.80000 212.0000 'GARDAMA KOUARA67.00000 55.50000 248.0000 'GASSANAMARI BANGOU15.70000 32.90000 274.0000 'GUlLAHEL69.90000 49.10000 252.0000 'karnpa zarma37.80000 5.400000 200.0000 'KARE93.40000 104.8000 210.0000 'KO FANDOU68.00000 55.40000 205.0000 'KOMAKOUKOU64.80000 37.40000 245.0000 'koure113.7000 0.5000000 220.0000 'KOURE KOBADE65.40000 26.90000 255.0000 'KOURE SUD76.60000 16.70000 252.0000 'MAROBERI ZENO40.00000 30.30000 187.0000 'Sekoukou65.80000 69.90000 215.0000 'tafakoira59.30000 4.600000 0.0000000 'TANABERI100.7000 14.80000 185.0000 'TIENRENDJI81.60000 53.20000 0.0000000 'tigo zeno80.00000 38.50000 258.0000 'tollo44.90000 105.6000 235.0000 'TONGOM66.00000 55.50000 248.0000 'UNNORDOUEST66.00000 54.50000 248.0000 'UNSUDOUEST27.40000 68.70000 266.0000 'WARI49.60000 41.00000 0.0000000 'winde gorou60.50000 50.10000 249.0000 'yelouna est85.10000 2.300000 237.0000 'YlLADDE96.90000 51.80000 0.0000000 'ZOUZOU BERl

20/08/89 07h30-20/08/89 15h0027.0 39.5 37.5 50.049.0 46.0 28.0 41.551.5 46.0 48.5 35.038.0 51.5 52.0 49.0

111111

11111111

20/08/8907h30-20/08/89 15h00

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fichier TEST.D12 des stations de mesures et sa cible

cartovl

---------------------

20108/8907h30-20/08/8915hOO

+ 28.00

1+ 52.00 + 68.00 + 51.50

100 f-

I + 9.501-+ 14.50

+ Tl.OO

1 + 37.50

1 + 3.00 + 48.50 + 44.00

+ 41.50 + 46.30+ 38.00

50 + 60.00 + 56.00

1 + 36.00+ 48.50 + 51.50 -

1 + 55.00+ 25.50 -

+ 14.00

1 + 28.00+ 15.00

+ 41.00

1 -+ 26.50 + 24.00 + 28.50

1 0+ 46.50 + 35.~

0 50 100

111 60 KM

1 valeurs Z(Xi) aux stations de test.d12

1 cartovl

nriogralle experileltal evelelentiel 11111

- 1-...1

18 38 58 78 98 118 138

distnte ni) 11 28'88'19 7~38-15h88

'arllgralle experlleltal eveneleltlel

11111-- 1...

118 38 58 78 188 128 148

distance (U)

1 Vario gaussiel por:15 pal :258 12 varll spheriq por:35 pal :2583 varilgralle experileltal

1Page 4

---------------------

VARIOGRAMME EXPERIMENTAL OBTENU A PARTIR DE TEST.D12

UN DECOUPAGE EN 30 CLASSES A PAS CONSTANT A ETE EFFECTUE.5 CLASSES PARMI LES PLUS ELEVEES ONT ETE REGROUPEES.LE NOMBRE DE POINTS PAR CLASSE A PARTIR DE LA No 17 RESTE CEPENDANT INSUFFISANT «20) ,MAIS C'EST SURTOUT LA STRUCTURE A L'ORIGINE QUI EST ICI INTERESSANTE,POUR ILLUSTRER LE CARACTERE GAUSSIEN DE CET ECHANTILLON.

*==============================================================================================================*l variogramme en 25 classes*==============================================================================================================*l no 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10 : 11: 12 : 13: 14 : 15 l

*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l dist: 2.7: 7.0: 13.2: 16.8: 21.7: 26.5: 31.7: 36.4: 41.0: 46.1: 51.0: 55.5: 60.6: 65.1: 70.71*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*

*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*24.: 122.: 174.: 204.: 207.: 209.: 313.: 400.: 301.: 252.: 296.: 305.: 234.: 325.1

97.: 114.: 192.: 197.: 253.: 405.: 246.: 212.: 208.: 235.: 226.: 231.147. :20. :

l e. t. :

*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l npc: 20: 32: 22: 40: 53: 33: 28: 55: 46: 31: 79: 75: 34: 35: 401*==============================================================================================================**==============================================================================================================*l no 16 : 17 : 18 : 19 : 20 : 21 : 22 : 23 : 24 : 25 :*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l dist: 74.6: 79.2: 84.8: 89.6: 94.0: 99.6: 104.2: 111.3: 124.3: 137.6:*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*Ivar: 250.: 402.: 236.: 303.: 454.: 202.: 278.: 349.: 179.: 182.:*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l e.t.: 255.: 431.: 358.: 394.: 238.: 294.: 308.: 200.: 200.: 175.:*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*l npc: 41: 19: 16: 22: 11: 6: 19: 14: 6: 3:*==============================================================================================================*

MODELE GAUSSIEN PORTEE:15KM PALIER: 250MM2

20/08/89 07h30-20/08/89 15h00O.OOOOOE+OO 13 0.10000E+02 O.OOOOOE+OO 12 0.10000E+02 -0.15532E+04 0.50000E+02 0.70000E+02

o.11630E+04 0.90000E+02 0.30000E+0247.2 42.5 28.1 17.9 28.3 46.7 36.6 1.1 38.4 91. 661. 6 36.0 39.4 45.4 27.9 -9.8 -3.0 52.0 69.6 16.9

-115.4 -104.7 16.8 25.3 18.7 35.7 45.4 22.5 -10.8 59.5128.6 56.8 22.0 36.0 318.0 389.7 141.0 34.0 37.5 49.9

44.9 54.8 138.3 30.5 -148.4 3.7 27.5 825.3 1163.0 478.893.5 34.0 51. 2 57.8 94.5 213.0 142.0 -1. 4 244.4 -236.9

-94.0 639.8 498.0 119.8 -1. 4 47.5 45.9 99.8 441. 6 708.1182.0 43.4 61. 6 -48.6 -153.6 192.1 93.0 -38.9 42.0 17.119.8 290.2 141. 4 -764.3 -10.8 -4.1 27.5 -32.1 105.2 72.6

-13.2 34.5 -3.7 -56.2 11.1 -490.4 -1553.2 -456.5 -3.4 12.5229.9 144.3 62.4 29.5 22.1 -1. 2 -29.1 67.1 -36.3 -645.7

-480.9 26.6 272.6 284.0 112.0 42.1 39.9 16.4 2.3 -28.836.6 155.7 42.1 -42.5 64.3 155.9 122.6 43.7 23.8 37.631. 6 24.7 -12.6 -21. 3 51. 7 78.7 64.6 68.8 72.6 58.235.3 30.4 40.6 46.2 48.9 36.0 20.8 36.7 55.2 63.165.0 60.0 55.7 48.7 44.2 45.6

MODELE SPHERIQUE PORTEE:35KM PALIER: 250MM2

'"020/08/89 07h30-20/08/89 15h00

/J O.OOOOOE+OO 13 0.10000E+02 O.OOOOOE+OO 12 0.10000E+02 0.85532E+01 0.30000E+02 0.70000E+020 0.61405E+02 0.70000E+02 0.10000E+030'1 33.2 29.5 27.5 27.1 29.0 32.8 33.3 35.3 42.4 46.1

42.4 36.9 34.8 33.8 30.1 27.0 24.0 24.1 24.7 22.020.8 28.2 39.4 41. 4 38.4 36.0 39.0 39.5 34.5 26.723.1 21. 0 16.4 15.2 22.8 35.5 40.5 38.7 37.3 44.349.9 46.8 34.6 25.4 25.9 26.2 27.2 36.2 43.0 46.042.9 39.4 44.5 50.1 47.2 38.0 33.3 35.6 44.2 47.751.1 51. 8 53.3 50.2 43.6 40.5 40.3 35.2 30.5 32.741. 5 43.3 46.8 42.8 51. 2 58.7 56.1 47.1 35.0 28.820.3 19.0 29.9 43.1 48.9 45.9 40.2 45.1 51. 4 51.345.0 29.1 20.4 9.8 8.6 29.9 44.9 49.9 45.6 43.740.9 41. 5 41.2 39.1 22.4 14.7 8.8 14.0 35.3 47.252.1 48.6 44.0 37.6 33.1 31.2 33.7 16.8 14 .2 10.511. 7 33.6 49.3 54.2 52.1 48.1 39.9 30.1 28.7 32.225.7 22.3 20.1 23.0 39.0 53.7 60.7 61. 4 54.8 48.538.8 33.9 34.1 33.6 32.3 31.2 33.6 43.4 54.3 59.961. 4 55.8 51. 5 44.3 38.8 36.7

---------------------

/~_.-.-.

cartovl

20108/8907h30·20/08/8915hOO

interpolation de tesLd12, modele spherique, portee 35 km

-~-.-/

("""",--._~-~+

--_.-.-1 100

11111 50

11111111111

TESTVECT1.DAT

CE FICHIER A ETE CREE A L'AIDE DE KRI_EST,POUR UNE STATION FICTIVE SITUEE EN XO(X=60,Y=50),ET POUR UN VARIOGRAMME GAUSSIEN DE PEPITE=O

PORTEE=15KMPALIER=250MM2

CE FICHIER PERMET DE VERIFIER QUE LES DISTANCES ENTRE XOET LES STATIOMS Xi SONT BIEN CALCULEES (FONCTION DISTANCE);ET QUE LA FONCTION QUI CALCULE LE VARIOGRAMMEGO=VARIOG(DIST(XO,Xi)) FONCTIONNE CORRECTEMENT.

GO= 250.0000GO= 19.24141GO= 249.5110GO= 46.63212GO= 250.0000GO= 243.9288GO= 250.0000GO= 249.9997GO= 249.9609

GO= 71. 92287GO= 78.99666GO= 64.39167GO= 250.0000GO= 130.3339GO= 249.9981GO= 249.9987GO= 74.21902GO= 249.9889GO= 88.86205GO= 249.9959GO= 250.0000GO= 84.75713GO= 138.5628GO= 250.0000GO= 229.5034GO= 249.4683GO= 242.4704GO= 212.9634GO= 249.9738GO= 249.9993GO= 219.9654GO= 226.5257GO= 249.9999GO= 63.76366GO= 55.29980GO= 249.5305GO= 142.1491

GO= 0.2887217GO= 249.9994GO= 249.4199

I= 1I= 2I= 3I= 4I= 5I= 6I= 7I= 8I= 9I= 10I= 11I= 12I= 13I= 14I= 15I= 16I= 17I= 18I= 19I= 20I= 21I= 22I= 23I= 24I= 25I= 26I= 27I= 28I= 29I= 30I= 31I= 32I= 33I= 34I= 35I= 36I= 37I= 38I= 39I= 40

DIST= 59.83795DIST= 4.244995DIST= 37.46038DIST= 6.815423DIST= 70.36427DIST= 28.92282DIST= 64.19385DIST= 55.58147DIST= 44.40462

DIST= 8.736701DIST= 9.243917DIST= 8.185965DIST= 70.50177DIST= 12.87517DIST= 51.51398DIST= 52.26701DIST= 8.902246DIST= 47.48579DIST= 9.940826DIST= 49.81968DIST= 64.17632DIST= 9.651944DIST= 13.48332DIST= 73.03383DIST= 23.72277DIST= 37.20819DIST= 28.07294DIST= 20.72800DIST= 45.40540DIST= 53.81012DIST= 21.83575DIST= 23.07054DIST= 57.61397DIST= 8.139410DIST= 7.500000DIST= 37.58257DIST= 13.75355DIST= 0.5099016DIST= 53.90083DIST= 36.94388

111111111111111111111

CE FICHIER CREE A PARTIR DE TEST.D12 PRESENTE EN PREMIER LES 5 STATIONS DE LACIBLE LES PLUS PROCHES, PUIS LES 6 AUTRES STATIONS DE LA CIBLE, ET ENFIN LES29 AUTRES STATIONS DE TEST.D12.

FICHIER TEST.D122

45.541.525.560.0

49.028.015.046.5

53.528.014.036.0

12172234352

4101119381

131415

1618202123

25262728

31323336

50.068.035.0

39.526.548.552.0

40.544.051. 551. 5

1200 3 echantillon40 1(A30/,(10F8.1))

MO KM MM67.40000 53.50000 250.0000 'FETOKADIE67.00000 55.50000 248.0000 'GASSANAMARI BANGOU68.00000 55.40000 205.0000 'KOMAKOUKOU66.00000 55.50000 248.0000 'UNNORDOUEST66.00000 54.50000 248.0000 'UNSUDOUEST64.10000 51.10000 257.0000 'BALAL SAGUI62.60000 56.30000 0.0000000 'BAZANGA BANGOU68.70000 49.20000 254.0000 'fandobong60.90000 59.20000 232.0000 'FANDOU BERl69.90000 49.10000 252.0000 'kampa zarma60.50000 50.10000 249.0000 'yelouna est103.3000 91.30000 205.0000 'ALKAMA40.20000 81.80000 266.0000 'BANGOU BOBO1.300000 88.80000 240.0000 'danguey gorou80.20000 70.70000 250.0000 'darey12.70000 6.600000 230.0000 'DEBERE GATI67.30000 105.1000 0.0000000 'DEY TEGUI26.90000 20.40000 265.0000 'DJAKINDJI18.10000 106.7000 240.0000 'FOY FANDOU47.90000 54.40000 0.0000000 'gagare111.5000 51.20000 0.0000000 'GAMONZON30.00000 92.80000 212.0000 'GARDAMA KOUARA15.70000 32.90000 274.0000 'GUlLAHEL37.80000 5.400000 200.0000 'KARE93.40000 104.8000 210.0000 'KO FANDOU64.80000 37.40000 245.0000 'koure113.7000 0.5000000 220.0000 'KOURE KOBADE65.40000 26.90000 255.0000 'KOURE SUD76.60000 16.70000 252.0000 'MAROBERI ZENO40.00000 30.30000 187.0000 'Sekoukou65.80000 69.90000 215.0000 'tafakoira59.30000 4.600000 0.0000000 'TANABERI100.7000 14.80000 185.0000 'TIENRENDJI81.60000 53.20000 0.0000000 'tigo zeno80.00000 38.50000 258.0000 'tollo44.90000 105.6000 235.0000 'TONGOM27.40000 68.70000 266.0000 'WARI49.60000 41.00000 0.0000000 'winde gorou85.10000 2.300000 237.0000 'YlLADDE96.90000 51.80000 0.0000000 'ZOUZOU BERl

20/08/89 07h30-20/08/89 15h0046.0 47.0 46.0 49.043.0 27.0 37.5 14.556.0 9.5 55.0 24.048.5 28.5 41.0 38.0

111111111111111111111

RESULTATS OBTENUS A PARTIR DE KRI_EST POUR UNE STATION XO(X=120,Y=110)ET POUR UN MODELE SPHERIQUE DE PORTEE:35KM

INVERSION DE MATRICE PAR LA METHODE DE GAUSS-JORDANMATRICE INITIALE (A) DE DIMENSION 41CONDITIONNEMENT DE (A) VMAX(A)*VMAX(A-1) -2088171.402481331PRODUIT DE LA MATRICE INVERSE PAR LE VECTEUR GO => POIDS DES DIFFERENTES STATIONSPOIDS DES DIFFERENTES STATIONSGO( 1 )= 250.0000000000000 POID( 1 )= -7.2414379865234720E-04GO( 2 )= 250.0000000000000 POID( 2 )= -4.1447595015425710E-04GO( 3 )= 250.0000000000000 POID( 3 )= -1.2477215086436940E-03GO( 4 )= 250.0000000000000 POID( 4 )= -9.2432518584051590E-04GO( 5 )= 250.0000000000000 POID( 5 )= 9.4760417077969790E-05GO( 6 )= 250.0000000000000 POID( 6 )= 9.1881509395210360E-04GO( 7 )= 250.0000000000000 POID( 7 )= 1.5785492061160720E-03GO( 8 )= 250.0000000000000 POID( 8 )= 1.7355585398777030E-03GO( 9 )= 250.0000000000000 POID( 9 )= 9.8026861198039460E-03GO( 10 )= 250.0000000000000 POID( 10 )= 1.5012662859323960E-03GO( 11 )= 250.0000000000000 POID( 11 )= 2.9886466454251280E-03GO( 12 )= 222.6772613525391 POID( 12 )= 0.1354953176515672GO( 13 )= 250.0000000000000 POID( 13 )= 2.7421070642604120E-02GO( 14 )= 250.0000000000000 POID( 14 )= 4.5838308808564530E-02GO( 15 )= 250.0000000000000 POID( 15 )= 2.9649654413315510E-02GO( 16 )= 250.0000000000000 POID( 16 )= 4.2288824234756740E-02GO( 17 )= 250.0000000000000 POID( 17 )= 3.8907752355228340E-02GO( 18 )= 250.0000000000000 POID( 18 )= 7.5346064629440040E-03GO( 19 )= 250.0000000000000 POID( 19 )= 3.9122583687684450E-02GO( 20 )= 250.0000000000000 POID( 20 )= 2.3780347070372440E-02GO( 21 )= 250.0000000000000 POID( 21 )= 4.2546822423818920E-02GO ( 22 ') = 250. OOOOOQOOOOOOO POID ( 22 ) = 1.3761477179964000E-02GO( 23 )= 250.0000000000000 POID( 23 )= 4.2048728222501710E-02GO( 24 )= 250.0000000000000 POID( 24 )= 3.4877338247689470E-02GO( 25 )= 232.3473358154297 POID( 25 )= 7.2786374702970810E-02GO( 26 )= 250.0000000000000 POID( 26 )= 8.5447573878766560E-03GO( 27 )= 250.0000000000000 POID( 27 )= 4.2020270597023270E-02GO( 28 )= 250.0000000000000 POID( 28 )= 1.9521793087240180E-02GO( 29 )= 250.0000000000000 POID( 29 )= 1.5109886727075500E-02GO( 30 )= 250.0000000000000 POID( 30 )= 2.6722367670438960E-02GO( 31 )= 250.0000000000000 POID( 31 )= 2.6040835961345110E-02GO( 32 )= 250.0000000000000 POID( 32 )= 3.5064832878076530E-02GO( 33 )= 250.0000000000000 POID( 33 )= 3.0275517024212700E-02GO( 34 )= 250.0000000000000 POID( 34 )= 1.2655759688249190E-02GO( 35 )= 250.0000000000000 POID( 35 )= 2.7626192616582310E-02GO( 36 )= 250.0000000000000 POID( 36 )= 3.4849085483395520E-02GO( 37 )= 250.0000000000000 POID( 37 )= 3.8840111329579920E-02GO( 38 )= 250.0000000000000 POID( 38 )= 1.7371681817089740E-02GO( 39 )= 250.0000000000000 POID( 39 )= 3.3588119548257790E-02GO( 40 )= 250.0000000000000 POID( 40 )= 2.0399966214689670E-02ALPHAT= 1.000000000000010 ALPHAA= 1.006621332886591VOULEZ VOUS CALCULEZ LA SOMME DES M PREMIERS POIDS (CORRESPONDANT A LA CIBLE) ?

oENTRER M?

11SOMME DES M PREMIERS POIDS 1.5309615864884970E-02ERREUR ABSOLUE (A)-(A-1-1)ERREUR ABSOLUE MAXIMALE 2.5579538487363610E-12

ERREUR RELATIVE ((A)-(A-1-1) )/(A)ERREUR RELATIVE MAXIMALE 2.4837909506914000E-12

111111111111111111111

111111111111111l,

RESULTATS OBTENUS A PARTIR DE KRI EST POUR UNE STATION XO(X=120,Y=110)ET POUR UN MODELE GAUSSIEN DE PORTEE:15KM

INVERSION DE MATRICE PAR LA METHODE DE GAUSS-JORDANMATRICE INITIALE (A) DE DIMENSION 41CONDITIONNEMENT DE (A) VMAX(A)*VMAX(A-1) -189871354.8248005PRODUIT DE LA MATRICE INVERSE PAR LE VECTEUR GO => POIDS DES DIFFERENTES STATIONSPOIDS DES DIFFERENTES STATIONSGO( 1 )= 249.9999847412109 POID( 1 )= -0.1961966679552205GO( 2 )= 249.9999847412109 POID( 2 )= -10.35341079343957GO( 3 )= 249.9999847412109 POID( 3 )= 4.243660020437030GO( 4 )= 249.9999847412109 POID( 4 )= 6.529140943762545GO( 5 )= 249.9999847412109 POID( 5 )= 0.7654072633783790GO( 6 )= 249.9999847412109 POID( 6 )= -0.4510838348756360GO( 7 )= 249.9999847412109 POID( 7 )= -0.9368477579805725GO( 8 )= 249.9999847412109 POID( 8 )= 0.5511043150155642GO( 9 )= 249.9999847412109 POID( 9 )= 0.2013752211995290GO( 10 )= 249.9999847412109 POID( 10 )= -0.4661249715033372GO( 11 )= 249.9999847412109 POID( 11 )= 0.1199782903733981GO( 12 )= 234.7012176513672 POID( 12 )= 9.3378523095963920E-02GO( 13 )= 249.9999847412109 POID( 13 )= 2.7989570947442830E-02GO( 14 )= 250.0000000000000 POID( 14 )= 4.6125765998853600E-02GO( 15 )= 249.9997558593750 POID( 15 )= 3.2815150473727730E-02GO( 16 )= 250.0000000000000 POID( 16 )= 4.3364354944268550E-02GO( 17 )= 249.9990234375000 POID( 17 )= 4.2336855999270820E-02GO( 18 )= 250.0000000000000 POID( 18 )= 1.2191313547359880E-02GO( 19 )= 250.0000000000000 POID( 19 )= 4.0353957323431220E-02GO( 20 )= 249.9999847412109 POID( 20 )= 3.6032268544916800E-02GO( 21 )= 249.9999542236328 POID( 21 )= 4.0248994888312350E-02GO( 22 )= 249.9999847412109 POID( 22 )= 1.9428817885784110E-02GO( 23 )= 250.0000000000000 POID( 23 )= 4.1753787231074240E-02GO( 24 )= 250.0000000000000 POID( 24 )= 3.7318176420823360E-02GO( 25 )= 240.4496917724609 POID( 25 )= 5.8893591562023630E-02GO( 26 )= 249.9999847412109 POID( 26 )= 8.2818091380653920E-03GO( 27 )= 250.0000000000000 POID( 27 )= 4.2376926255759570E-02GO( 28 )= 249.9999847412109 POID( 28 )= 2.2136562877994100E-02GO( 29 )= 250.0000000000000 POID( 29 )= 1.9066096206707200E-02GO( 30 )= 250.0000000000000 POID( 30 )= 3.1597125547688800E-02GO( 31 )= 249.9999847412109 POID( 31 )= 3.0078229658388270E-02GO( 32 )= 250.0000000000000 POID( 32 )= 3.7980027086847260E-02GO( 33 )= 249.9999847412109 POID( 33 )= 3.3666895254939450E-02GO( 34 )= 249.9999847412109 POID( 34 )= 1.3365323657638330E-02GO( 35 )= 249.9999847412109 POID( 35 )= 3.6304787368318630E-02GO( 36 )= 249.9999847412109 POID( 36 )= 3.7919929133923340E-02GO( 37 )= 250.0000000000000 POID( 37 )= 3.9026672309741910E-02GO( 38 )= 249.9999847412109 POID( 38 )= 1.1107247188376920E-02GO( 39 )= 250.0000000000000 POID( 39 )= 3.5105564353919770E-02GO( 40 )= 249.9999847412109 POID( 40 )= 2.2753646853512080E-02ALPHAT= 1.000000000167186 ALPHAA= 25.80732805167585VOULEZ VOUS CALCULEZ LA SOMME DES M PREMIERS POIDS (CORRESPONDANT A LA CIBLE) ?

oENTRER M?

11SOMME DES M PREMIERS POIDS 7.0020282568338670E-03ERREUR ABSOLUE (A)-(A-1-1)ERREUR ABSOLUE MAXIMALE 1.4448659158006190E-08ERREUR RELATIVE «A)-(A-1-1))/(A)ERREUR RELATIVE MAXIMALE 1.4447992163768570E-08

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RESULTATS OBTENUS A PARTIR DE KRI EST POUR UNE STATION XO(X=120,Y=110)ET POUR UN MODELE GAUSSIEN DE PORTEE:22KM

INVERSION DE MATRICE PAR LA METHODE DE GAUSS-JORDANMATRICE INITIALE (A) DE DIMENSION 41CONDITIONNEMENT DE (A) VMAX(A)*VMAX(A-1) -10151583012.74721PRODUIT DE LA MATRICE INVERSE PAR LE VECTEUR GO => POIDS DES DIFFERENTES STATIONSPOIDS DES DIFFERENTES STATIONSGO( 1 )= 249.9988708496094 POID( 1 )= -21.21284771436077GO( 2 )= 249.9983673095703 POID( 2 )= 102.2462782944513GO( 3 )= 249.9980163574219 POID( 3 )= -24.16812082765448GO( 4 )= 249.9986877441406 POID( 4 )= -107.9468567000898GO( 5 )= 249.9989624023438 POID( 5 )= 37.11093978480871GO( 6 )= 249.9996795654297 POID( 6 )= 2.934059795572546GO( 7 )= 249.9992828369141 POID( 7 )= 13.66607435619351GO( 8 )= 249.9994659423828 POID( 8 )= 7.961789521660110GO( 9 )= 249.9990997314453 POID( 9 )= -2.207046096389058GO( 10 )= 249.9993286132813 POID( 10 )= -5.664610981835416GO( 11 )= 249.9998931884766 POID( 11 )= -3.017284923388531GO( 12 )= 181.7796630859375 POID( 12 )= 0.2730243362192597GO( 13 )= 249.9998931884766 POID( 13 )= 1.9274866747087150E-02GO( 14 )= 249.9999847412109 POID( 14 )= 4.6985650966435000E-02GO( 15 )= 249.6103210449219 POID( 15 )= -0.1792891362449047GO( 16 )= 250.0000000000000 POID( 16 )= 4.7632672509471490E-02GO( 17 )= 249.2338256835938 POID( 17 )= -2.6710977528660720E-03GO( 18 )= 249.9999847412109 POID( 18 )= -1.7285255773017250E-02GO( 19 )= 249.9999847412109 POID( 19 )= 4.1150610096186690E-02GO( 20 )= 249.9999847412109 POID( 20 )= -4.9004668189278870E-02GO( 21 )= 249.8298797607422 POID( 21 )= 6.7247707827778610E-02GO( 22 )= 249.9999847412109 POID( 22 )= -1.4665752316163460E-02GO( 23 )= 249.9999847412109 POID( 23 )= 4.9846367209592290E-02GO( 24 )= 249.9999847412109 POID( 24 )= 3.7583724343060380E-02GO( 25 )= 195.1998748779297 POID( 25 )= 0.1348417131943930GO( 26 )= 249.9999847412109 POID( 26 )= -0.1824006849366186GO( 27 )= 249.9999847412109 POID( 27 )= 4.7828892617257590E-02GO( 28 )= 249.9999847412109 POID( 28 )= 5.6354139866444960E-02GO( 29 )= 249.9999847412109 POID( 29 )= -1.5170633097352570E-02GO( 30 )= 249.9999847412109 POID( 30 )= -1.4827994834604700E-02GO( 31 )= 249.9791412353516 POID( 31 )= 0.2533955778620362GO( 32 )= 249.9999847412109 POID( 32 )= 3.0004929648545460E-02GO( 33 )= 249.9999847412109 POID( 33 )= 1.4908314601650070E-02GO( 34 )= 249.9848632812500 POID( 34 )= 0.2755186860199531GO( 35 )= 249.9997558593750 POID( 35 )= 8.8292606288905970E-02GO( 36 )= 249.9978942871094 POID( 36 )= 4.8665428270290040E-02GO( 37 )= 249.9999847412109 POID( 37 )= 4.2731265723625180E-02GO( 38 )= 249.9999847412109 POID( 38 )= 0.2153478588931751GO( 39 )= 249.9999847412109 POID( 39 )= 3.9108364288783360E-02GO( 40 )= 249.9241790771484 POID( 40 )= -5.6802985856466290E-02ALPHAT= 1.000000013160725 ALPHAA= 330.4977709185993VOULEZ VOUS CALCULEZ LA SOMME DES M PREMIERS POIDS (CORRESPONDANT A LA CIBLE) ?

oENTRER M?

11SOMME DES M PREMIERS POIDS -0.2976255081466954ERREUR ABSOLUE (A)-(A-1-1)ERREUR ABSOLUE MAXIMALE -2.1877895335364880E-06ERREUR RELATIVE ((A)-(A-1-1))/(A)ERREUR RELATIVE MAXIMALE -2.1877650816757910E-06

111111111111111,111111

111111111111111111111

VERIFICATION DES POIDS CALCULES POUR UN EXEMPLE THEORIQUELA VALEUR DU VARIOGRAMME POUR LES 10 PREMIERES STATIONS EST DE 100LA VALEUR DU VARIOGRAMME POUR LES 30 STATIONS SUIVANTES EST DE 0.01

MATRICE INITIALE (A) DE DIMENSION 40CONDITIONNEMENT DE (A) VMAX (A) *VMAX(A-1) -348442.8077310936CALCUL DES POIDS EN UTILISANT LA MATRICE INVERSEA EST-ELLE UNE MATRICE DE KRIGEAGE (o=OUI)?

oPRODUIT DE LA MATRICE INVERSE PAR LE VECTEUR GO => POIDS DES DIFFERENTES STATIONSPOIDS DES DIFFERENTES STATIONSGO( 1 )= 100.0000000000000 POID( 1 )= 3.3336233610086180E-03GO( 2 )= 100.0000000000000 POID( 2 )= 3.3336233605180800E-03GO( 3 )= 100.0000000000000 POID( 3 )= 3.3336233575977270E-03GO( 4 )= 100.0000000000000 POID( 4 )= 3.3336233575977790E-03GO( 5 )= 100.0000000000000 POID( 5 )= 3.3336233596086200E-03GO( 6 )= 100.0000000000000 POID( 6 )= 3.3336233572069850E-03GO( 7 )= 100.0000000000000 POID( 7 )= 3.3336233594807200E-03GO( 8 )= 100.0000000000000 POID( 8 )= 3.3336233610723230E-03GO( 9 )= 100.0000000000000 POID( 9 )= 3.3336233615270800E-03GO( 10 )= 100.0000000000000 POID( 10 )= 3.3336233579956850E-03GO( 11 )= 100.0000000000000 POID( 11 )= 3.3333233324632870E-02GO( 12 )= 100.0000000000000 POID( 12 )= 3.3333233324632710E-02GO( 13 )= 100.0000000000000 POID( 13 )= 3.3333233324632600E-02GO( 14 )= 100.0000000000000 POID( 14 )= 3.3333233324632630E-02GO( 15 )= 100.0000000000000 POID( 15 )= 3.3333233324632630E-02GO( 16 )= 100.0000000000000 POID ( 16 )= 3.3333233324632780E-02GO( 17 )= 100.0000000000000 POID( 17 )= 3.3333233324632640E-02GO( 18 )= 100.0000000000000 POID( 18 )= 3.3333233324632640E-02GO( 19 )= 100.0000000000000 POID( 19 )= 3.3333233324632690E-02GO( 20 )= 100.0000000000000 POID( 20 )= 3.3333233324632690E-02GO( 21 )= 100.0000000000000 POID( 21 )= 3.3333233324632710E-02GO( 22 )= 100.0000000000000 POID( 22 )= 3.3333233324632660E-02GO( 23 )= 100.0000000000000 POID( 23 )= 3.3333233324632690E-02GO( 24 )= 100.0000000000000 POID( 24 )= 3.3333233324632690E-02GO( 25 )= 100.0000000000000 POID( 25 )= 3.3333233324632520E-02GO( 26 )= 100.0000000000000 POID( 26 )= 3.3333233324632520E-02GO( 27 )= 100.0000000000000 POID( 27 )= 3.3333233324632520E-02GO( 28 )= 100.0000000000000 POID( 28 )= 3.3333233324632740E-02GO( 29 )= 100.0000000000000 POID( 29 )= 3.3333233324632690E-02GO( 30 )= 100.0000000000000 POID( 30 )= 3.3333233324632490E-02GO( 31 )= 100.0000000000000 POID( 31 )= 3.3333233324632380E-02GO( 32 )= 100.0000000000000 POID( 32 )= 3.3333233324632530E-02GO( 33 )= 100.0000000000000 POID( 33 )= 3.3333233324632380E-02GO( 34 )= 100.0000000000000 POID( 34 )= 3.3333233324632300E-02GO( 35 )= 100.0000000000000 POID( 35 )= 3.3333233324632270E-02GO( 36 )= 100.0000000000000 POID( 36 )= 3.3333233324632240E-02GO( 37 )= 100.0000000000000 POID( 37 )= 3.3333233324632210E-02GO( 38 )= 100.0000000000000 POID( 38 )= 3.3333233324632030E-02GO( 39 )= 100.0000000000000 POID( 39 )= 3.3333233324631990E-02ALPHAT= 1.000000000007957 ALPHAA= 1.000000000007957ERREUR ABSOLUE (A)-(A-1-1)ERREUR ABSOLUE MAXIMALE -1.2013856576231770E-10ERREUR RELATIVE ((A)-(A-1-1))/(A)ERREUR RELATIVE MAXIMALE -1.2008483096792590E-10

MATRICE TROUVEE PAR KRI EST POUR UN MODELE GAUSSIEN DE PORTEE:15KMS

MATRICE INITIALE (A) DE DIMENSION 41DETERMINANT DE LA MATRICE INITIALE = 3.8471074738198150E+62

O.OOOOE+OO 0.4580E+01 0.4372E+01 0.6535E+010.4580E+01 O.OOOOE+OO 0.1120E+01 0.1109E+010.4372E+01 0.1120E+01 O.OOOOE+OO 0.4416E+010.6535E+01 0.1109E+01 0.4416E+01 O.OOOOE+OO0.3267E+01 0.2212E+01 0.5288E+01 0.1109E+010.1783E+02 0.2903E+02 0.3478E+02 0.2426E+020.3206E+02 0.2126E+02 0.3118E+02 0.1319E+020.2145E+02 0.4310E+02 0.3972E+02 0.4711E+020.7066E+02 0.5061E+02 0.6260E+02 0.4044E+020.2690E+02 0.4925E+02 0.4376E+02 0.5523E+020.5781E+02 0.6799E+02 0.7815E+02 0.5802E+020.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+030.2497E+03 0.2495E+03 0.2496E+03 0.2494E+030.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+030.2176E+03 0.2087E+03 0.2044E+03 0.2135E+030.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+030.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+030.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+030.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+030.2040E+03 0.2009E+03 0.2087E+03 0.1920E+030.2500E+03 0.2500E+03 0.2499E+03 0.2500E+03

~ 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03~ 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03~ 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03- 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03~ 0.1733E+03 0.1930E+03 0.1934E+03 0.1921E+03

0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+030.2394E+03 0.2435E+03 0.2434E+03 0.2434E+030.2496E+03 0.2498E+03 0.2498E+03 0.2498E+030.2492E+03 0.2494E+03 0.2495E+03 0.2493E+030.1752E+03 0.1512E+03 0.1539E+03 0.1505E+030.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+030.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+030.1480E+03 0.1553E+03 0.1425E+03 0.1672E+030.2046E+03 0.2173E+03 0.2130E+03 0.2210E+030.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+030.2499E+03 0.2499E+03 0.2499E+03 0.2498E+030.2195E+03 0.2244E+03 0.2279E+03 0.2203E+030.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+03 0.2500E+030.2448E+03 0.2456E+03 0.2442E+03 0.2466E+030.1000E+01 0.1000E+01 0.1000E+01 0.1000E+01

0.3267E+010.2212E+010.5288E+01o.1109E+01O.OOOOE+OO0.1630E+02o.1592E+020.3638E+020.4812E+020.4474E+020.4947E+020.2500E+030.2495E+030.2500E+030.2182E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.1917E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.1823E+030.2500E+030.2415E+030.2497E+030.2491E+030.1629E+030.2500E+030.2500E+030.1659E+030.2165E+030.2500E+030.2499E+030.2163E+030.2500E+030.2465E+030.1000E+01

0.1783E+020.2903E+020.3478E+020.2426E+020.1630E+02O.OOOOE+OO0.3052E+020.2606E+020.7154E+020.3851E+020.1504E+020.2500E+030.2497E+030.2500E+030.2357E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.1758E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+03o.1417E+030.2500E+030.2316E+030.2494E+030.2472E+030.1987E+030.2500E+030.2500E+030.1872E+030.2099E+030.2500E+030.2498E+030.1876E+030.2500E+030.2479E+030.1000E+01

0.3206E+020.2126E+020.3118E+020.1319E+020.1592E+020.3052E+02O.OOOOE+OO0.8064E+020.1225E+020.9332E+020.4335E+020.2500E+030.2485E+030.2500E+030.2249E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.1558E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.2000E+030.2500E+030.2448E+030.2499E+030.2487E+03o.1450E+030.2500E+030.2500E+030.2019E+030.2341E+030.2500E+030.2495E+030.2083E+030.2500E+030.2488E+030.1000E+01

0.2145E+020.4310E+020.3972E+020.4711E+020.3638E+020.2606E+020.8064E+02O.OOOOE+OO0.1277E+030.1606E+010.6525E+020.2500E+030.2499E+030.2500E+030.2322E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.2176E+030.2499E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.2500E+030.1242E+030.2500E+030.2239E+030.2483E+030.2487E+030.2141E+030.2500E+030.2500E+030.1389E+030.1648E+030.2500E+030.2500E+030.2134E+030.2500E+030.2429E+030.1000E+01

0.70.50.60.40.40.70.10.10.00.10.70.20.2

·0.20.20.20.20.20.20.10.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.10.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1

---------------------

---------------------MATRICE INVERSE TROUVEE PAR KRI EST POUR UN MODELE GAUSSIEN DE PORTEE: 15KMS

MATRICE INVERSE (A-1 )-0.4413E+03 -0.2553E+03 0.2620E+03 -0.3443E+03 0.8552E+03 -0.8337E+02 -0.9352E+02 0.5580E+02 0.3-0.2553E+03 -0.1287E+05 0.5389E+04 0.8737E+04 -0.7797E+02 -0.4633E+03 -0.8556E+03 0.6104E+03 0.8

0.2620E+03 0.5389E+04 -0.2322E+04 -0.3467E+04 -0.2614E+03 0.2127E+03 0.3778E+03 -0.2697E+03 -0.4-0.3443E+03 0.8737E+04 -0.3467E+04 -0.6585E+04 0.1099E+04 0.2119E+03 0.5009E+03 -0.3404E+03 -0.2

0.8552E+03 -0.7797E+02 -0.2614E+03 0.1099E+04 -0.1742E+04 0.1767E+03 o.1495E+03 -0.1115E+03 -0.5-0.8337E+02 -0.4633E+03 0.2127E+03 0.2119E+03 0.1767E+03 -0.5898E+02 -0.4285E+02 0.6368E+02 0.7-0.9352E+02 -0.8556E+03 0.3778E+03 0.5009E+03 o.1495E+03 -0.4285E+02 -0.8096E+02 0.3831E+02 0.1

0.5580E+02 0.6104E+03 -0.2697E+03 -0.3404E+03 -0.1115E+03 0.6368E+02 0.3831E+02 -0.8708E+02 -0.30.3129E+02 0.8548E+02 -0.4451E+02 -0.2508E+02 -0.5933E+02 0.7406E+01 0.1420E+02 -0.3690E+01 -0.3

-0.3646E+01 -0.4296E+03 0.1780E+03 0.2789E+03 0.1061E+02 -0.4019E+02 -0.1980E+02 0.6094E+02 0.10.1946E+02 0.1374E+03 -0.6001E+02 -0.7093E+02 -0.4254E+02 0.1686E+02 0.1331E+02 -0.1716E+02 -0.20.4424E-02 -0.3204E-01 0.9981E-02 0.2700E-01 -0.5664E-02 -0.1059E-02 -0.3463E-02 0.2940E-03 0.7

-0.1043E+00 -0.1214E+00 0.8399E-01 -0.4323E-01 0.2136E+00 -0.1880E-01 -0.3586E-01 0.5363E-02 0.1-0.9622E-03 -0.4008E-01 0.1641E-01 0.2489E-01 0.3736E-02 -0.1919E-02 -0.3770E-02 0.2216E-02 0.8

"t1 -0.3546E+00 -0.2860E+00 0.3344E+00 -0.2922E+00 0.5830E+00 -0.3974E-01 o.1435E-01 o.1149E+00 -0.5

IJ o.1641E-03 0.1092E-01 -0.2658E-02 -0.1012E-01 -0.8818E-03 0.3623E-02 0.1566E-02 -0.2265E-02 0.1(1) -0.8874E-03 -0.4380E-Ol 0.1802E-01 0.2643E-Ol 0.4443E-02 -0.2613E-02 -0.3442E-02 0.3032E-02 0.6- -0.5035E-02 -0.3203E+00 o.1192E+00 0.2234E+00 0.2314E-01 -0.3363E-01 -0.3292E-01 0.2730E-01 0.4VI -0.8089E-02 -0.4676E-01 0.2152E-01 0.2149E-01 0.1747E-01 -0.2726E-02 -0.6092E-02 0.1986E-02 0.1

-0.4962E+00 0.5830E+01 -0.2209E+01 -0.4996E+01 0.1593E+01 -0.1894E+00 0.3504E+00 0.1507E+00 -0.50.1444E-03 -0.7423E+00 0.3218E+00 0.5244E+00 -0.6733E-01 0.1228E-01 -0.4601E-01 -0.1982E-01 0.50.3684E-01 0.3330E-01 -0.2587E-01 0.1956E-01 -0.7248E-01 0.4909E-02 o.1188E-01 0.2597E-03 -0.40.4192E-03 -0.2153E-01 0.9301E-02 0.1374E-01 -0.7796E-03 0.8440E-03 -O.1526E-02 -0.5438E-04 0.40.1655E-02 -0.3241E-01 0.1245E-Ol 0.2249E-Ol -0.11 72E-02 -0.1091E-02 -0.2662E-02 0.1236E-02 0.5

-0.8841E-03 -0.3282E-Ol 0.1363E-01 0.2036E-01 0.2802E-02 -0.1425E-02 -0.2939E-02 0.1812E-02 0.6-0.1219E+01 -0.7069E+01 0.3371E+01 0.3630E+01 0.1873E+01 -0.6941E+00 -0.5304E+OO 0.1114E+01 0.7-0.2577E-02 -0.381OE-01 o.1611E-01 0.2241E-01 0.6062E-02 -0.1958E-02 -0.3888E-02 0.2197E-02 0.8

0.3233E+00 0.1865E+01 -0.8841E+00 -0.1015E+01 -0.4365E+00 0.1750E+00 0.1479E+00 -0.3049E+00 -0.20.1051E-01 -0.6407E+00 0.2652E+OO 0.4610E+00 -0.5667E-01 -O.4086E-01 -0.3001E-01 0.8737E-01 0.60.1770E-01 o.1166E+01 -0.4320E+00 -O.8170E+00 -0.8239E-01 O.1248E+00 o.1198E+00 -0.1000E+00 -0.10.2999E+00 O.1468E+01 -0.7971E+00 -0.2524E+00 -0.8163E+00 0.2680E+00 -0.5779E-01 -0.3543E+00 0.4

-0.2371E-01 -O.9347E-01 0.4564E-01 0.4314E-Ol 0.3790E-Ol -0.9078E-02 -0.1062E-01 0.1296E-01 0.2o.1137E-Ol -0.4975E-Ol 0.1684E-01 0.4405E-01 -0.1967E-Ol -0.8527E-03 -0.1416E-02 0.2972E-02 -0.10.2564E+00 -0.1163E+02 0.4917E+01 0.8602E+01 -0.1594E+01 0.2592E+00 -0.7028E+00 -0.3510E+00 0.6

-0.1045E+01 0.3147E+01 -0.9943E+00 -0.3192E+01 0.1999E+01 0.7456E-01 -0.5554E-01 -0.3584E+00 0.60.4995E-03 -0.3623E-01 o.1442E-01 0.2461E-01 -O.8258E-04 -0.1216E-02 -0.3041E-02 0.1626E-02 0.50.2341E-01 -0.2507E+00 0.9367E-01 0.2l86E+OO -0.7261E-Ol 0.1042E-01 -0.1659E-01 -0.8943E-02 0.8

-0.9986E-01 -0.4848E+Ol 0.1833E+Ol 0.3350E+Ol 0.3501E+00 -0.4679E+00 -0.48l8E+OO 0.3827E+00 0.7-0.50l4E-02 0.1283E+00 -0.5280E-Ol -0.9692E-Ol 0.2001E-Ol 0.86l0E-02 0.4095E-02 -0.2023E-Ol 0.6-0.3469E-03 0.2233E+01 -0.9713E+OO -0.1588E+01 0.2217E+OO -0.4655E-01 0.1360E+OO 0.7265E-01 -0.1-O.1370E+OO -0.1116E+02 0.4527E+Ol 0.7137E+01 0.7056E+OO -0.4809E+00 -0.1018E+01 0.5729E+00 0.2

MODELE GAUSSIEN.

RESULTATS OBTENUS PAR VALIDATION CROISEEA PARTIR DU FICHIER TEST.D12.

LE CRITERE EST MINIMAL POUR UNE PORTEEDE 3.4KMS; CE SERAIT LA VALEUR PERMETTANTUNE RECONSTITUTION OPTIMALE DE TEST.D12AVEC LE MODELE GAUSSIEN.

+------------------+------------------++ Portee + crit(avec cible) ++------------------+------------------++ 0 + 14.677 ++------------------+------------------++ 1 + 14.677 ++------------------+------------------++ 2 + 14.591 ++------------------+------------------++ 3 + 14.437 ++------------------+------------------++ 3.3 + 14.424 ++------------------+------------------++ => 3.4 + 14.423 ++------------------+------------------++ 3.5 + 14.425 ++------------------+------------------++ 4 + 14.446 ++------------------+------------------++ 5 + 14.466 ++------------------+------------------++ 6 + 14.525 ++------------------+------------------++ 7 + 14.967 ++------------------+------------------++ 8 + 16.860 ++------------------+------------------+~ t----------~---- + ~~~~22 +~ t---------!2-------+--------~!~§~~----t(1) + 12 + 115.360 +- +------------------+------------------+~ t---------i~-------t-------~~j~iif----t

+------------------+------------------++ 18 + 753.527 ++------------------+------------------++ 20 + 1355.484 ++------------------+------------------++ 22 + 2842.128 +t---------24-------t------8788~725----t

t---------26-------t-----i2824~628----t

t---------28-------t----ï2i87ë~445----t+------------------+------------------++ 30 + 13742.924 ++------------------+------------------++ 32 + 38704.082 ++------------------+------------------++ 34 . + 8037.219 +t---------36-------t----2ë2726~672----+

t---------38-------t------536i~628----t+------------------+------------------++ 40 + 4778.691 ++------------------+------------------++ 50 + 10783.961 ++------------------+------------------++ 60 + 18435.119 ++------------------+------------------+

MODELE SPHERIQUE.

RESULTATS OBTENUS PAR VALIDATION CROISEEA PARTIR DU FICHIER TEST.D12.

LE CRITERE EST MINIMAL POUR UNE PORTEEDE 53KMS; C'EST LA VALEUR PERMETTANTUNE RECONSTITUTION OPTIMALE DE TEST.D12AVEC LE MODELE SPHERIQUE .

---Portëë-(KM)---- --Valëür-ërItërë------------2------- --------14~695----

----------4------- --------14~S71----

----------6------- --------14~412----

----------e------- --------14~374----

---------10------- --------14~37e----

---------12------- --------14~3ë1----

---------14------- --------14~409----

---------ï6------- --------14~3ë6----

---------ïs------- --------ï4~232----

---------20------- --------ï4~232----

---------22------- --------13~§SS----

---------24------- --------13~S6S----

---------26------- --------13~7ë3----

---------2S------- --------13~7ë3----

---------30------- --------13~502----

---------32------- --------13~309----

---------34------- --------ï3~ï10----

---------36------- --------12~§OS----

---------3S------- --------12~661----

---------40------- --------12~395----

---------42------- --------12~176----

---------44------- --------ï2~003----

---------46------- --------11~S40----

---------4S------- --------11~717----

---------SO------- --------ïï~622----

---------52------- --------11~550----

----;>---53------- --------11~540----

---------54------- --------ï1~543----

---------56------- --------ïï~5sï----

---------5S------- --------11~629----

---------60------- --------ï1~643----

---------62------- --------11~624----

---------64------- --------11~626----

---------66------- --------11~657----

---------6S------- --------ï1~69ë----

---------70------- --------11~750----

------------------ ------------------

MODELE GAUSSIEN.

RESULTATS OBTENUS PAR VALIDATION CROISEEA PARTIR DU FICHIER TEST-CIBLE.D12.

LE CRITERE EST MINIMAL POUR UNE PORTEEDE 22KMS; C'EST LA VALEUR PERMETTANTUNE RECONSTITUTION OPTIMALE DE TEST-CIBLE.D12

AVEC LE MODELE GAUSSIEN.

+------------------+------------------++ portee + critere ++------------------+------------------++ 0 + 16.386 ++------------------+------------------++ 2 + 16.386 ++------------------+------------------++ 4 + 16.388 ++------------------+------------------++ 6 + 16.426 ++------------------+------------------++ 8 + 16.417 ++------------------+------------------++ 10 + 16.185 ++------------------+------------------++ 12 + 15.787 +'+------------------+------------------++ 14 + 15.281 ++------------------+------------------++ 16 + 14.675 ++------------------+------------------++ 18 + 14.044 ++------------------+------------------++ 20 + 13.539 ++------------------+------------------++ 21 + 13.388 ++------------------+------------------++ 21.5 + 13.346 ++------------------+------------------++ 21.7 + 13.336 ++------------------+------------------++ 21.9 + 13.331 ++------------------+------------------++ => 22 + 13.329 ++------------------+------------------++ 22.1 + 13.329 ++------------------+------------------++ 22.2 + 13.331 ++------------------+------------------++ 24 + 13.562 ++------------------+------------------++ 26 + 14.394 ++------------------+------------------++ 28 + 16.029 ++------------------+------------------++ 30 + 18.687 ++------------------+------------------++ 32 + 22.539 ++------------------+------------------++ 34 + 27.668 ++------------------+------------------++ 36 + 34.081 ++------------------+------------------++ 38 + 41.745 ++------------------+------------------++ 40 + 50.592 ++------------------+------------------++ 50 + 110.175 ++------------------+------------------++ 60 + 197.764 ++------------------+------------------+

---------------------

TEST-CIBLE.D12

FICHIER CREE A PARTIR DE TEST.D12 EN AFFECTANT LA VALEUR MOYENNESUR LA CIBLE 46.3, A UNE DES STATIONS DE LA CIBLE, KOMAKOUKOU

26.546.351. 5

56.025.560.0

41. 515.046.5

161820212223

2425262728

31323336

28.014.036.0

28.035.03.0

68.048.552.0

Pagel?

1200 3 echantillon30 1(A30/,(lOF8.1))

MO KM MM103.3000 91.30000 205.0000 'ALKAMA40.20000 81.80000 266.0000 'BANGOU BOBO1.300000 88.80000 240.0000 'danguey gorou80.20000 70.70000 250.0000 'darey12.70000 6.600000 230.0000 'DEBERE GATI67.30000 105.1000 0.0000000 'DEY TEGUI26.90000 20.40000 265.0000 'DJAKINDJI18.10000 106.7000 240.0000 'FOY FANDOU47.90000 54.40000 0.0000000 'gagare111.5000 51.20000 0.0000000 'GAMONZON30.00000 92.80000 212.0000 'GARDAMA KOUARA15.70000 32.90000 274.0000 'GUlLAHEL37.80000 5.400000 200.0000 'KARE93.40000 104.8000 210.0000 'KO FANDOU68.00000 55.40000 205.0000 'KOMAKOUKOU64.80000 37.40000 245.0000 'koure113.7000 0.5000000 220.0000 'KOURE KOBADE65.40000 26.90000 255.0000 'KOURE SUD76.60000 16.70000 252.0000 'MAROBERI ZENO40.00000 30.30000 187.0000 'Sekoukou65.80000 69.90000 215.0000 'tafakoira59.30000 4.600000 0.0000000 'TANABERI100.7000 14.80000 185.0000 'TIENRENDJI81.60000 53.20000 0.0000000 'tigozeno80.00000 38.50000 258.0000 'tollo44.90000 105.6000 235.0000 'TONGOM27.40000 68.70000 266.0000 'WARI49.60000 41.00000 0.0000000 'winde gorou85.10000 2.300000 237.0000 'YILADDE96.90000 51.80000 0.0000000 'ZOUZOU BERl

20/08/89 07h30-20/08/89 15h0027.0 37.5 14.5 44.0

9.5 55.0 24.0 51.548.5 28.5 41.0 38.0

111111111111111111111

variogralles experilental et tbeorique

di stances (II)

Gaussien portee22tl palier258Spberique portee53tl palier250variogralle experileltal

--~ft!••ft! ---f"t•"CIl

III"-:1• -- -ft! N~

18 38 58 78 98 118 138

1111111111

111111111

111111111111111111111

20/08/8907h30-20/08/8915hOO

krigeage de test.d12, modele spherique, portee 53km

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cartovl

11111111111111111111

cartovl

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2OJU8/8907h30·20/08/8915hOO

Interpolation de test.d12, modele Gaussien, portee 3.4 km

'-' --25--./ .. \1 .

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cartovl

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20/08/8907h30-20/08/8915hOO

interpolation de te~t-cible.d12, Gaussien de portee 22km

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o 50 100

111111111111111111111

11111111111111111111

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cartovl

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20tU8/8907h30-2ü/08/8915hOO

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interpolation de tesLd12, Gaussien 22km, Pepite:8%

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variogralles experilental et tbeorique

distalee Ctl> A

variogralle ex,erileltalErsatz de 'aussi en a=258 '=8

1381189878583818

1l'111111 ••...

1 Cl!••Cl! •I;ft •,.,

1CIl'a

'"'"::1CIl •- •

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111111111

RESULTATS OBTENUS A PARTIR DE KRI EST POUR UNE STATION XO(X=120,Y=110)ET POUR UN MODELE DE REMPLACEMENTAU MODELE GAUSSIEN DE PORTEE 10KM

INVERSION DE MATRICE PAR LA METHODE DE GAUSS-JORDANMATRICE INITIALE (A) DE DIMENSION 41CONDITIONNEMENT DE (A) VMAX(A)*VMAX(A-1) -1856301.614476642PRODUIT DE LA MATRICE INVERSE PAR LE VECTEUR GO => POIDS DES DIFFERENTES STATIONSPOIDS DES DIFFERENTES STATIONSGO( 1 )= 249.0319213867188 POID( 1 )= -9.1086761377732460E-03GO( 2 )= 248.9260559082031 POID( 2 )= -2.1561818139482700E-02GO( 3 )= 248.8654479980469 POID( 3 )= 2.9669966459058160E-02GO( 4 )= 248.9905548095703 POID( 4 )= 6.5363304770215470E-03GO( 5 )= 249.0523529052734 POID( 5 )= -5.6744611111746950E-04GO( 6 )= 249.3218536376953 POID( 6 )= 3.9466561912387370E-03GO( 7 )= 249.1455230712891 POID( 7 )= -4.5577715630379290E-03GO( 8 )= 249.2144775390625 POID( 8 )= 9.1700925778561150E-03GO( 9 )= 249.0931549072266 POID( 9 )= 5.8994787899596000E-03GO( 10 )= 249.1647338867188 POID( 10 )= -8.8752375338272480E-03GO( 11 )= 249.4914398193359 POID( 11 )= 2.1134552178677210E-04GO( 12 )= 178.5416107177734 POID( 12 )= 0.2573002425035642GO( 13 )= 249.5007629394531 POID( 13 )= 1.4801088177386890E-02GO( 14 )= 249.9810638427734 POID( 14 )= 4.6736641961464700E-02GO( 15 )= 243.8638763427734 POID( 15 )= -1.9705479132923460E-02GO( 16 )= 249.9986419677734 POID( 16 )= 4.5622216200206100E-02GO( 17 )= 242.0900115966797 'POID( 17 )= 5.2139096572812530E-03GO( 18 )= 249.9914703369141 POID( 18 )= -2.8479464938333150E-03GO( 19 )= 249.8954620361328 POID( 19 )= 3.7025093948347420E-02GO( 20 )= 249.7192687988281 POID( 20 )= 1.5311390414227030E-02GO( 21 )= 245.4378051757813 POID( 21 )= 4.7567230711796540E-02GO( 22 )= 249.7335662841797 POID( 22 )= 1.9695124571833170E-03GO( 23 )= 249.9918670654297 POID( 23 )= 3.8871618703290590E-02GO( 24 )= 249.9940185546875 POID( 24 )= 2.8543864118351560E-02GO( 25 )= 188.3029022216797 POID( 25 )= 0.1807947874812264GO( 26 )= 249.7231140136719 POID( 26 )= 4.9650744835951530E-03GO( 27 )= 249.9483947753906 POID( 27 )= 4.8957962713566500E-02GO( 28 )= 249.8685302734375 POID( 28 )= 9.3681854642336180E-03GO( 29 )= 249.9041137695313 POID( 29 )= 7.3121251138484110E-03GO( 30 )= 249.9616851806641 POID( 30 )= 1.4865409403500260E-02GO( 31 )= 247.7158355712891 POID( 31 )= 2.1124926654781630E-02GO( 32 )= 249.9828186035156 POID( 32 )= 2.9812109997998110E-02GO( 33 )= 249.8380889892578 POID( 33 )= 1.8401014996230530E-02GO( 34 )= 247.9320983886719 POID( 34 )= 1.4778769537285120E-02GO( 35 )= 249.3642425537109 POID( 35 )= 1.5536787722629810E-02GO( 36 )= 248.8481903076172 POID( 36 )= 3.6014641467758580E-02GO( 37 )= 249.8899993896484 POID( 37 )= 2.9171775719388160E-02GO( 38 )= 249.8579101562500 POID( 38 )= 9.3190026907661390E-03GO( 39 )= 249.9626922607422 POID( 39 )= 2.9018439331287910E-02GO( 40 )= 246.5360717773438 POID( 40 )= 3.3866834636617670E-03ALPHAT= 0.9999999999997829 ALPHAA= 1.134448750223774VOULEZ VOUS CALCULEZ LA SOMME DES M PREMIERS POIDS (CORRESPONDANT A LA CIBLE) ?

oENTRER M?

11SOMME DES M PREMIERS POIDS 1.0762920531899770E-02ERREUR ABSOLUE (A)-(A-1-1)ERREUR ABSOLUE MAXIMALE 1.8445689420332200E-11ERREUR RELATIVE ((A) - (A-1-1) ) / (A)ERREUR RELATIVE MAXIMALE 1.8417401329189710E-11

111111111111111111111

RESULTATS OBTENUS A PARTIR DE KRI_EST POUR UNE STATION XO(X=65,Y=55)SITUEE AU CENTRE DE LA CIBLEET POUR UN MODELE DE REMPLACEMENTAU MODELE GAUSSIEN DE PORTEE 10KM

INVERSION DE MATRICE PAR LA METHODE DE GAUSS-JORDANMATRICE INITIALE (A) DE DIMENSION 41CONDITIONNEMENT DE (A) VMAX(A)*VMAX(A-1) -1856301.614476642PRODUIT DE LA MATRICE INVERSE PAR LE VECTEUR GO => POIDS DES DIFFERENTES STATIONSPOIDS DES DIFFERENTES STATIONSGO( 1 )= 5.201682567596437 POID( 1 )= 9.2170767168779400E-03GO( 2 )= 0.3022998571395874 POID( 2 )= 0.6385937910730909GO( 3 )= 2.557232856750488 POID( 3 )= -9.5099124369207720E-02GO( 4 )= 0.3022998571395874 POID( 4 )= 0.4687890244582726GO( 5 )= 1.450821757316589 POID( 5 )= -8.5342891160925360E-03GO( 6 )= 22.64195632934570 POID( 6 )= -2.7528497971454180E-03GO( 7 )= 15.26221656799316 POID( 7 )= -1.4049453937915370E-02GO( 8 )= 36.13109970092774 POID( 8 )= -9.6333841706767400E-04GO( 9 )= 36.46396255493164 POID( 9 )= 2.2817823236913840E-03GO( 10 )= 41.10931015014649 POID( 10 )= 1.1668513716448950E-03GO( 11 )= 48.45115661621094 POID( 11 )= 1.2944508477959360E-03GO( 12 )= 240.9637908935547 POID( 12 )= -3.9508160583762170E-06GO( 13 )= 221.3899841308594 POID( 13 )= -5.0461874198590170E-06GO( 14 )= 248.6240844726563 POID( 14 )= 5.4673841633212650E-07GO( 15 )= 151.5945587158203 POID( 15 )= 6.4887981279435760E-05GO( 16 )= 248.5610961914063 POID( 16 )= 2.5852872780063320E-07GO( 17 )= 239.5563354492188 POID( 17 )= 2.3471137881661550E-06GO( 18 )= 242.0829162597656 POID( 18 )= -9.1237527166491970E-07GO( 19 )= 248.2475280761719 POID( 19 )= -6.0171738656272790E-07GO( 20 )= 138.9291076660156 POID( 20 )= 9.0699843955079080E-05GO( 21 )= 234.9792785644531 POID( 21 )= 9.0518611186724000E-06GO( 22 )= 241.5828094482422 POID( 22 )= 2.5789598216531890E-06GO( 23 )= 243.6882019042969 POID( 23 )= -1.1169284537398960E-06GO( 24 )= 244.7369689941406 POID( 24 )= 1.8728123866995630E-07GO( 25 )= 243.9815063476563 POID( 25 )= -8.2693775042830260E-08GO( 26 )= 135.6218109130859 POID( 26 )= -3.4029822795817250E-05GO( 27 )= 248.5322265625000 POID( 27 )= -5.0720510812174440E-07GO( 28 )= 194.8221740722656 POID( 28 )= 1.2361984359995220E-05GO( 29 )= 227.2752227783203 POID( 29 )= 3.6913940778763450E-06GO( 30 )= 219.9485015869141 POID( 30 )= 5.8104533549666050E-06GO( 31 )= 105.6190872192383 POID( 31 )= -1.8073787709699600E-04GO( 32 )= 241.0135040283203 POID( 32 )= -1.3197124203792600E-06GO( 33 )= 242.2442626953125 POID( 33 )= 2.3579868350873110E-06GO( 34 )= 112.8270797729492 POID( 34 )= 2.5576132874071710E-04GO( 35 )= 159.5655975341797 POID( 35 )= -5.9461038302458660E-05GO( 36 )= 243.1060333251953 POID( 36 )= 7.3973210110850340E-07GO( 37 )= 229.3205413818359 POID( 37 )= -7.7937499286181990E-06GO( 38 )= 162.9782867431641 POID( 38 )= -5.1862291945113660E-05GO( 39 )= 244.0810546875000 POID( 39 )= -9.0814024907709400E-07GO( 40 )= 202.4962158203125 POID( 40 )= -4.6871785568542920E-05ALPHAT= 0.9999999999999806 ALPHAA= 1.243588515958399VOULEZ VOUS CALCULEZ LA SOMME DES M PREMIERS POIDS (CORRESPONDANT A LA CIBLE) ?

oENTRER M?

11SOMME DES M PREMIERS POIDS 0.9999439211539654

50 ...--~

2OiU8/8907h30-20/08/8915hOO

Interpolation de tesLd12 avec l'Ersatz de Gaussien(lOkm)

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cartovl

111111111111111111111

------- -------- ------Ersatz Gaussien (lOkm) Spherique de portee 53km

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Comparaison entre spherique et remplacement du Gaussien

cartovl

C******************************************************************************C PROGRAM TESTC BUT: TESTER UNE SUBROUTINE D'INVERSION DE MATRICESC******************************************************************************C VERSION ORIGINALE ----04/92---- O. PONSEELC******************************************************************************C LISTE DES SUBROUTINESC =====================C TESTHILBERT CREATION D'UNE MATRICE HILBERTIENNE DANS testdata.datC AFFICHECRAN AFFICHE A L'ECRAN UNE MATRICE (A) DE DIMENSION NC AFFICHIER IMPRESSION SUR FICHIER D'UNE MATRICE (A) DE DIMENSION NC MAXMATRICE FOURNIT LE PLUS GRAND TERME DE LA MATRICE (VALEUR ABSOLUE)C PRODUITMAT PRODUIT D'UNE MATRICE (A) PAR UNE MATRICE (B)C PRODUITVECT PRODUIT D'UNE MATRICE PAR UN VECTEUR C=(A)*BC INVERSE CHOIX DU TEST D'INVERSION: GAUSS-JORDAN, HOUSEHOLDER...C GAUSS RESOLUTION DIRECTE D'UN SYSTEME PAR LA METHODE DE GAUSSC VPMAX CALCUL DU MODULE DE LA PLUS GRANDE VALEUR PROPRE D'UNEC MATRICE PAR LA METHODE DE LA PUISSANCE ITEREEC JACOBI TROUVE LES VALEURS PROPRES, LES VECTEURS PROPRES ET LEC CONDITIONNEMENT D'UNE MATRICE PAR LA METHODE DE JACOBIC HOUSEHOLDER INVERSION DE MATRICE PAR LA METHODE DE HOUSEHOLDERC DMINV INVERSION DE MATRICE PAR LA METHODE DE GAUSS-JORDANC******************************************************************************

PARAMETER (NN=100)REAL*8 A(NN*NN),A1(NN*NN),A2(NN*NN),AINI(NN*NN),ABIS(2*NN*NN)REAL*8 DETER,VMAX,VMIN,IDENTITE(NN*NN),UST(NN),VST(NN),AMAX,SOMINTEGER*4 LST(NN),KST(NN)CHARACTER*l OK

CHOIX DE LA METHODE

WRITE(*,*)'TEST D"INVERSION DE MATRICE' //& ' PAR LA METHODE DE GAUSS-JORDAN(l)'//& ' OU DE HOUSEHOLDER(2)?'

READ (*, *) METHODEIF (METHODE.EQ.1) THEN

WRITE(*,*)'INVERSION DE MATRICE PAR LA METHODE DE GAUSS-JORDAN'ELSE IF (METHODE.EQ.2) THEN

WRITE(*,*)'INVERSION DE MATRICE PAR LA METHODE DE HOUSEHOLDER'ELSE

GO TO 1000ENDIF

TEST EVENTUEL SUR UNE MATRICE HILBERTIENNE==========================================WRITE(*,*)'TEST SUR UNE MATRICE HILBERTIENNE (o=OUI)?'READ (* , , (a) , ) OKIF (OK.EQ.'o') CALL TESTHILBERT

LECTURE DE LA MATRICE

OPEN(1,FILE='/users/f4/o1ivier.dir/testdata.dat')READ(l,*)NREAD (1, *) (A (I), I=l,N*N)WRITE(*,*)'MATRICE INITIALE (A) DE DIMENSION',NCALL AFFICHECRAN(A,N)

CALCUL DE LA VALEUR PROPRE MAX DE (A)

CALL VPMAX(A,N,VMAX,UST,VST)WRITE(*,*)'VALEUR PROPRE MAX DE (A) , ,VMAX

STOCKAGE DE LA MATRICE INITIALE DANS DES MATRICES AINI,A1,A2====================~=======================================

DO 10 I=l,N*NA1(I)=A(I)A2(I)=A(I)AINI(I)=A(I)

CONTINUE

CALCUL DES VALEURS/VECTEURS PROPRES ET DU CONDITIONNEMENT DE LA MATRICE

WRITE(*,*)'JACOBI FOURNIT'//

111111111111111111111

& ' VALEURS ET VECTEURS PROPRES DE LA MATRICE' Il& ' ET SON CONDITIONNEMENT (o=OUI)?'

READ(*,' (a)')OKIF (OK.EQ.'o') CALL JACOBI (Al,ABIS,N)

PREMIERE INVERSION

CALL INVERSE(A,ABIS,N,DETER,UST,VST,LST,KST,METHODE)WRITE(*,*)'DETERMINANT DE LA MATRICE INITIALE =',DETERWRITE(*,*)'MATRICE INVERSE (A-l)'CALL AFFICHECRAN(A,N)

CALCUL DE LA VALEUR PROPRE MAX DE (A-l)

CALL VPMAX(A,N,VMIN,UST,VST)WRITE(*,*)'VALEUR PROPRE MAX DE (A-l) ',VMIN

CONDITIONNEMENT DE LA MATRICE PAR LA METHODE DE LA PUISSANCE ITEREE

WRITE(*,*)'CONDITIONNEMENT DE (A) VMAX(A)*VMAX(A-l) , ,VMAX*VMINIF (DABS(VMAX*VMIN) .GT.100) THEN

WRITE(*,*)'VOTRE MATRICE (A) EST MAL CONDITIONNEE l" "ENDIF

CALCUL DES POIDS POUR VERIFICATION

WRITE(*,*) 'POUR UN SYSTEME (A)X=B, SSI B EST DANS testvecti.dat'WRITE(*,*)'CALCUL DES POIDS POUR VERIFICATION (o=OUI)?'READ(*,'(a)')OK

CALCUL DES POIDS EN UTILISANT LA MATRICE INVERSE (METHODE X=(A-l)*B)

IF (OK.EQ.'o') THENWRITE(*,*)'CALCUL DES POIDS EN UTILISANT LA MATRICE INVERSE'OPEN(13,FILE=' lusers/f4/o1ivier.dir/testvecti.dat')READ(13,*) (UST(I),I=l,N)CALL PRODUITVECT(A,UST,VST,N)

RESOLUTION DIRECTE DE (A)X=B PAR LA METHODE DE GAUSS

WRITE(*,*)'CALCUL DIRECT PAR LA METHODE DE GAUSS (o=OUI)?'READ (* , , (a) , ) OKIF (OK.EQ.'o') THEN

CALL GAUSS(A2,UST,VST,N,DET)ENDIF

CALCUL DE LA SOMME D'UN CERTAIN NOMBRE DE POIDS (DE LA CIBLE ... )

WRITE(*,*)'VOULEZ VOUS CALCULEZ LA SOMME DES M PREMIERS 'II& 'POIDS (CORRESPONDANT A LA CIBLE) ?'

READ (* , , (a) , ) OKIF (OK.EQ.'o') THEN

WRITE(*,*)'ENTRER M?'READ(*,*)MSOM=O.DO I=l,M

SOM=SOM+VST(I)ENDDOWRITE(*,*)'SOMME DES M PREMIERS POIDS' ,SOM

ENDIFENDIF

VERIFICATION: DIFFERENCE ENTRE (A)*(A-l) ET LA MATRICE UNITE l===============================================================

CALL PRODUITMAT(A,AINI,IDENTITE,N)WRITE(*,*)'LA MATRICE (A)*(A-l) EST EGALE A L"IDENTITE'CALL AFFICHECRAN(IDENTITE,N)

INVERSION DE LA MATRICE INVERSE

CALL INVERSE(A,ABIS,N,DETER,UST,VST,LST,KST,METHODE)WRITE(*,*)'DETERMINANT DE LA MATRICE INVERSE=' ,DETERWRITE(*,*)'INVERSE DE LA MATRICE INVERSE (A-l-l)'CALL AFFICHECRAN(A,N)

ERREUR ABSOLUE PAR RAPPORT A LA MATRICE INITIALE

WRITE(*,*)'ERREUR ABSOLUE (A)-(A-1-1)'DO 20 I=l,N*NA(I)=AINI(I)-A(I)CALL MAXMATRICE(A,N,AMAX)WRITE(*,*)'ERREUR ABSOLUE MAXIMALE' ,AMAXCALL AFFICHECRAN(A,N)

ERREUR RELATIVE PAR RAPPORT A LA MATRICE INITIALE

WRITE(*,*)'ERREUR RELATIVE ((A)-(A-1-1))/(A)'DO 21 I=l,N*NIF (AINI(I)) 22,21,22A(I)=A(I)/AINI(I)CONTINUECALL MAXMATRICE(A,N,AMAX)WRITE(*,*)'ERREUR RELATIVE MAXIMALE',AMAXCALL AFFICHECRAN(A,N)CLOSE (UNIT=l)END

111111

C******************************************************************************C CREATION D'UNE MATRICE HILBERTIENNE DANS testdata.datC******************************************************************************

SUBROUTINE TESTHILBERTREAL*8 A

C******************************************************************************C AFFICHAGE A L'ECRAN D'UNE MATRICE (A) DE DIMENSION NC******************************************************************************

SUBROUTINE AFFICHECRAN(A,N)DOUBLE PRECISION ADIMENSION A(l)

OPEN(1,FILE='/users/f4/o1ivier.dir/testdata.dat')WRITE(*,*)'MATRICE HILBERTIENNE TEST DE RANG N, ENTRER N'READ(*,*)NWRITE(l,*)NDO 10 I=l,NDO 10 J=l,NA=l./(DBLE(I)+DBLE(J)-l.)WRITE(l,*)A

10 CONTINUECLOSE (UNIT=l)END

DO 60 I=l,NWRITE (*,50) (A ( (J-1) *N+I) , J=l, N)FORMAT(100(E13.4,2X))RETURNEND

C******************************************************************************C IMPRESSION SUR FICHIER testresu1t.dat D'UNE MATRICE (A) DE DIMENSION NC******************************************************************************

SUBROUTINE AFFICHIER(A,N)DOUBLE PRECISION ADIMENSION A(l)

CDO 61 I=l,N

61 WRITE(2,50) (A((J-1)*N+I),J=1,N)50 FORMAT(100(E13.4,2X))

RETURNEND

C******************************************************************************C FOURNIT LE PLUS GRAND TERME DE LA MATRICE EN VALEUR ABSOLUEC******************************************************************************

SUBROUTINE MAXMATRICE(A,N,AMAX)DOUBLE PRECISION A,AMAXDIMENSION A(l)

C******************************************************************************C PRODUIT DE DEUX MATRICES (C)=(A)*(B)C******************************************************************************

SUBROUTINE PRODUITMAT(A,B,C,N)DOUBLE PRECISION A,B,CDIMENSION A(l),B(l),C(l)

DO 70 I=l,NDO 70 J=l,NC ( (J-l) *N+I) =0.DO 70 K=l,NC ( (J-l) *N+I) =C ( (J-l) *N+I) +A ( (K-l) *N+I) *B ( (J-l) *N+K)

70 CONTINUERETURNEND

CALCUL DE LA SOMME DES POIDS.

NN=NPOUR LE KRIGEAGE SANS DERIVE, IL y'A N-l POIDS==============================================

DO 200 I=l,NNALPHAT=ALPHAT+C(I)ALPHAA=ALPHAA+ABS(C(I))WRITE(*,*)'ALPHAT=' ,ALPHAT,' ALPHAA=',ALPHAARETURNEND

WRITE(*,*)'A EST-ELLE UNE MATRICE DE KRIGEAGE (o=OUI)?'READ (* , , (a) , ) OKIF (OK.EQ.'o') NN=N-lWRITE(*,*)'PRODUIT DE LA MATRICE INVERSE PAR LE VECTEUR GO'//

& ' => POIDS DES DIFFERENTES STATIONS'ALPHAA=O.ALPHAT=O.WRITE(*,*)'POIDS DES DIFFERENTES STATIONS'DO 190 I=l,NNC(I)=O.DO 150 J=l,NC(I)=C(I)+A((J-l)*N+I)*B(J)WRITE (* , * ) , GO (' , I,' ) =' , B (I) , , POID (' , I,' ) =' , C (I)CONTINUE

C******************************************************************************C PRODUIT D'UNE MATRICE PAR UN VECTEUR C=(A)*BC DANS CE CAS: POID=(A-l)*GOiC FOURNIT AUSSI LA SOMME DES POIDS ET DES VALEURS ABSOLUES DES POIDSC******************************************************************************

SUBROUTINE PRODUITVECT(A,B,C,N)DOUBLE PRECISION A,B,C,ALPHAA,ALPHATDIMENSION A(l),B(l),C(l)CHARACTER*l OK

AMAX=O.DO I=l,NDO J=l,N

IF (DABS(AMAX) .LE.DABS(A((I-l)*N+J))) AMAX=A((I-l)*N+J)ENDDOENDDORETURNEND

190CCC

C******************************************************************************C CHOIX DU TEST D'INVERSION: GAUSS-JORDAN, HOUSEHOLDER ...C******************************************************************************

SUBROUTINE INVERSE (A,ABIS,N,DETER,UST,VST,LST,KST,METHODE)REAL*8 A(l),ABIS(l),UST(l),VST(l),DETERINTEGER*4 LST(l),KST(l)

10GO TO (10,20) METHODECALL DMINV(A,N,DETER,LST,KST)RETURN

1 Page 31

C******************************************************************************C RESOLUTION DIRECTE D'UN SYSTEME (A)X=B PAR LA METHODE DE GAUSSC******************************************************************************C VERSION ORIGINALE ----OS/92---- O. PONSEELC******************************************************************************C LISTE DES SUBROUTINESC =====================C RESOLUTION RESOLUTION DE (A)X=BC OU (A) EST UNE MAT TRINGUL.SUP. ET X,B DES VECTEURSC******************************************************************************

20 CALL HOUSEHOLDER(A,ABIS,N,DETER,UST,VST)RETURNEND

SUBROUTINE GAUSS (A,B,POID,N,DET)DOUBLE PRECISION A,B,POID,DET,PIV,CDIMENSION A(l) ,B(l),POID(l) 1

DET=l.DO 10 I=1,N-1

PIV=A( (1-1) *N+I)IPIV=IDO K=I+1,N

IF (DABS(PIV) .LE.DABS(A((I-1)*N+K») THENPIV=A( (1-1) *N+K)IPIV=K

ENDIFENDDOIF (IPIV.NE.I) THEN

DET=-DETDO J=I,N

C=A( (J-1) *N+I)A ( (J-1) *N+I) =A ( (J-1) *N+IPIV)A ( (J-1) *N+IPIV) =C

ENDDOC=B(I)B(I)=B(IPIV)B (IPIV) =C

ENDIFDET=DET*PIVIF (DET.EQ.O) GOTO 100DO 10 K=I+1,N

C=A( (1-1) *N+K) /PIVDO J=I+1,N

A ( (J-1) *N+K) =A ( (J-1) *N+K) -C*A ( (J-1) *N+I)ENDDOB (K) =B (K) -C*B (1)

CONTINUEDET=DET*A(N*N)IF (DET.EQ.O) GOTO 100

RESOLUTION DU SYSTEME TRIANGULAIRE SUPERIEUR

CALL RESOLUTION (A,B,POID,N)DO I=l,N

WRITE(*,*)'POID(',I,' )=' ,POID(I)ENDDORETURNWRITE(*,*)'LE DETERMINANT DE LA MATRICE EST NUL!!!!!'RETURNEND

11111111111

C****************************************************************************** 1C CALCUL DU MODULE DE LA PLUS GRANDE VALEUR PROPRE D'UNE MATRICEC PAR LA METHODE DE LA PUISSANCE ITEREEC******************************************************************************C VERSION ORIGINALE ----04/92---- o. PONSEELC******************************************************************************

SUBROUTINE VPMAX(A,N,V1,X,Y)PARAMETER (NBOUCLE=1000,ERREUR=lD-S)DOUBLE PRECISION A,VP,V1,X,Y,ZDIMENSION A(l),X(l),Y(l)

C******************************************************************************C SUBROUTINE JACOBIC BUT : TROUVER LES VECTEURS PROPRESC D'UNE MATRICE PAR LA METHODE DE JACOBIC******************************************************************************C VERSION ORIGINALE ----04/92---- O. PONSEELC******************************************************************************C (A) DE DIMENSION N EST CHANGEE EN UNE MATRICE CONTENANTC SES VALEURS PROPRES SUR LA DIAGONALEC LA MATRICE (R) FINALE CONTIENT LES VECTEURS PROPRES DE (A)C******************************************************************************

SUBROUTINE JACOBI (A,R,N)DOUBLE PRECISION A,RDOUBLE PRECISION AL,AM,AU,CX,DM,S,SGN,SX,T,T1,T2,X2,XN,OMDOUBLE PRECISION VPMIN,VPMAXDIMENSION A(l),R(l)

111111111111111111111

DO I=l,NX(I)=l0

ENDDOVP=1.23456789DO 10 K=l,NBOUCLE

DO 20 I=l,NY(I)=O.DO 20 J=l,N

Y(I)=Y(I)+A((J-1)*N+I)*X(J)CONTINUEV1=Y (l) /X (l)Z=O.DO 40 I=l,N

IF (DABS(Y(I)) .GT.Z) THENZ=Y(I)

ENDIFCONTINUEDO I=l,N

X(I)=Y(I)/ZENDDOIF (DABS(VP-V1) .LT.ERREUR) GO TO 30VP=V1

CONTINUEWRITE(*,*)'NON-CONVERGENCE AU BOUT DE'1000 ITERATIONS'RETURNEND

DO I=l,N*NR(I)=O.

ENDDODO I=l,N

R((I-1)*N+I)=1.ENDDOIX=O.XN=l.X2=1.DO 20 WHILE((XN/X2) .GT.1D-22)

XN=O.AM=DABS (A (2))L=2M=lDO 10 I=2,N

DO 10 J=1,I-1IF (DABS(A((J-1)*N+I)) .GT.AM) THEN

AM=DABS (A( (J-1) *N+I))L=IM=J

ENDIFXN=XN+A ((J-1) *N+I) *A ((J-1) *N+I)

CONTINUEIX=IX+1XN=XN/N2

ROTATION

AL=-A ( (M-l) *N+L)SGN=I.AU=O. S*A ( (L-l) *N+L) -A ( (M-l) *N+M)IF (AU.LT.O.)THEN

SGN=-l.ENDIFOM=SGN*AL/DSQRT(AL*AL+AU*AU)SX=OM/DSQRT(2+(I+DSQRT(I-0M*OM)))CX=DSQRT(I-SX*SX)DO K=I,N

IF (K.NE.L) THENIF (K.NE.M) THEN

T=A( (K-l) *N+L) *CX-A ((K-l) *N+M) *SXA ( (K-l) *N+M) =A ( (K-l) *N+L) *SX+A ( (K-l) *N+M) *CXA ( (K-l) *N+L) =TA ( (M-l) *N+K) =A ( (K-l) *N+M)A ( (L-l) *N+K) =A ( (K-l) *N+L)

ENDIFENDIFT=R ( (L-l) *N+K) *CX-R ( (M-l) *N+M) *SXR ( (M-l) *N+L) =R ( (L-l) *N+K) *SX+R ( (M-l) *N+K) *CXR( (L-l)*N+K)=T

ENDDOT=2*A ((M-l) *N+L) *SX*CX .Tl=A ( (L-l) *N+L) *CX*CX+A ( (M-l) *N+M) *SX*SX-TT2=A((L-l)*N+L)*SX*SX+A((M-l)*N+M)*CX*CX+TA ( (M-l) *N+L) = (A ( (L-l) *N+L) -A ((M-l) *N+M) ) *SX*CX

& +A((M-l)*N+L)*(CX*CX-SX*SX)A ( (L-l) *N+L) =TlA ( (M-l) *N+M) =T2A( (L-l)*N+M)=A( (M-l)*N+L)

CONTINUEDO 30 L=I,N

WRITE(*,*)'VALEUR PROPRE' ,L,A((L-l)*N+L)WRITE(*,*)'VECTEUR PROPRE'DO K=I,N

WRITE(*,*)R((L-l)*N+K)ENDDO

CONTINUE

CONDITIONNEMENT

VPMIN=A (1)VPMAX=A (1)DO I=2,N

IF (DABS(A((I-l)*N+I)) .LT.DABS(VPMIN)) VPMIN=A((I-l)*N+I)IF (DABS(A((I-l)*N+I)) .GT.DABS(VPMAX)) VPMAX=A((I-l)*N+I)

ENDDOWRITE(*,*)'CONDITIONNEMENT DE (A) PAR LA METHODE DE JACOBI'

& VPMAX/VPMINRETURNEND

111111111111111

C******************************************************************************C SUBROUTINE HOUSEHOLDERC BUT : INVERSION DE MATRICE PAR LA METHODE DE HOUSEHOLDERC******************************************************************************C VERSION ORIGINALE ----04/92---- o. PONSEELC******************************************************************************C INVERSION DE MATRICE PAR LA METHODE DE HOUSEHOLDERC (A) DE DIMENSION N EST CHANGEE EN (A-l)C LES DECLARATIONS SUIVANTES DANS LE PROGRAMME PRINCIPAL SONT NECESSAIRESC A(N*N),AO(2*N*N),B(N),X(N) OU (AO),B,X SONT DES MAT/VECTEURS DE TRAVAILC******************************************************************************C LISTE DES SUBROUTINESC =====================C TRIANGUL TRIANGULARISATION D'UNE MAT QQ ENTREE DANS UNE MAT (AO) 2NNC PAR LA METHODE DE HOUSEHOLDERC RESOLUTION RESOLUTION DE (A)X=BC OU (A) EST UNE MAT TRINGUL.SUP. ET X,B DES VECTEURSC DETERM CALCUL DU DETERMINANT D'UNE MATRICE TRIANGULAIRE OU DIAGONALEC******************************************************************************

111111

111111111

SUBROUTINE HOUSEHOLDER(A,AO,N,DETER,B,X)DOUBLE PRECISION A,AO,DETER,B,XDIMENSION A(l),AO(l),B(l),X(l)

CREATION D'UNE MATRICE (AO) COMPRENANT A LA FOIS LA MAT (A)ET UNE MATRICE UNITE QUI VA ETRE TRANSFORMEE EN LA MAT DE HOUSEHOLDER

DO 10 I=l,NDO J=l,N

AO ( (J-l) *N+I) =A ( (J-l) *N+I)AO((N+J-l)*N+I)=O.

ENDDOAO((N+I-l)*N+I)=l.

CONTINUECALL TRIANGUL(AO,B,N)CALL DETERM(AO,N,DETER)

RESOLUTION DU SYSTEME (A)*(A-l)=H OU (A) EST MAINTENANT TRINGUL. SUP.

DO 15 K=l,NDO I=l,N

B(I)=AO((N+K-l)*N+I)ENDDOCALL RESOLUTION(AO,B,X,N)DO I=l,N

A((K-l)*N+I)=X(I)ENDDO

CONTINUEEND

C******************************************************************************C TRIANGULARISATION D'UNE MAT (A) QQ PAR LA METHODE DE HOUSEHOLDERC******************************************************************************

SUBROUTINE TRIANGUL(AO,B,N)DOUBLE PRECISION AO,B,SUM,SGN,XL,XA,XB,XGDIMENSION AO(l),B(l)

1111111111

DO 50 K=l,N-l

CALCUL DU COEFFICIENT LANDA=Akk(k+l)====================================

SUM=O.DO I=K,N

SUM=SUM+AO((K-l)*N+I)*AO((K-l)*N+I)ENDDOSGN=l.IF (AO((K-l)*N+K) .LE.O.) THEN

SGN=-l.ENDIFXL=SGN*DSQRT(SUM)

CALCUL DU COEFFICIENT ALPHA

XA=XL*(XL-AO((K-l)*N+K))

CREATION DU VECTEUR V DE LA MATRICE DE HOUSEHOLDER (H)=(I)-V*TV/ALPHA

B(K)=AO((K-l)*N+K)-XLDO I=K+l,N

B(I)=AO((K-l)*N+I)ENDDO

CALCUL DES BETA ET DES TERMES NON ENCORE TRIANGULARISES

DO 55 J=K+l,2*NXB=O.DO I=K,N

XB=XB+B(I)*AO((J-l)*N+I)ENDDOXG=XB/XADO I=K,N

AO((J-l)*N+I)=AO((J-l)*N+I)-XG*B(I)

155CCC

ENDDOCONTINUE

LE TERME DIAGONAL EST EGAL A LANDA (XL)

AO ((K-1) *N+K) =XL

C******************************************************************************C RESOLUTION DE (A)X=B OU (A) EST UNE MAT TRINGUL.SUP. ET X,B DES VECTEURSC******************************************************************************

SUBROUTINE RESOLUTION(A,B,X,N)DOUBLE PRECISION A,B,X,SUMDIMENSION A(l),B(l),X(l)

X(N)=B(N)/A(N*N)DO 60 I=N-1,1,-1

SUM=O.DO K=I+1,N

SUM=SUM+A((K-1)*N+I)*X(K)ENDDOX(I)=(B(I)-SUM)/A((I-1)*N+I)

60 CONTINUERETURNEND

LES TERMES SOUS-DIAGONAUX SONT NULS

DO I=K+1,NAO((K-1)*N+I)=0.

ENDDOCONTINUERETURNEND

11111111

C***************************************************************************

DETER=l.DO I=l,N

DETER=DETER*A ( (I-1) *N+I)ENDDORETURNEND

C******************************************************************************C CALCUL DU DETERMINANT D'UNE MATRICE TRIANGULAIRE OU DIAGONALEC******************************************************************************

SUBROUTINE DETERM(A,N,DETER)DOUBLE PRECISION A,DETERDIMENSION A(l)

IN COMPUTATION AND REPLACED BY

A - INPUT MATRIX, DESTROYEDRESULTANT INVERSE.ORDER OF MATRIX ARESULTANT DETERMINANTWORK VECTOR OF LENGTH NWORK VECTOR OF LENGTH N

REMARKS

BUT INVERT A MATRIXidem MINV en double precision

DESCRIPTION OF PARAMETERS

CCCCCCCC**************************************************************************C USAGEC CALL MINV(A,N,D,L,M)CCCCCCCCCC

1MATRIX A MUST BE A GENERAL MATRIX

SUBROUTINES AND FUNCTION SUBPROGRAMS REQUIREDNONE

METHODTHE STANDARD GAUSS-JORDAN METHOD IS USED. THE DETERMINANTIS ALSO CALCULATED. A DETERMINANT OF ZERO INDICATES THATTHE MATRIX IS SINGULAR.

CCCCCCCCCCC**************************************************************************

SUBROUTINE DMINV(A,N,D,L,M)DOUBLE PRECISION ADOUBLE PRECISION DDOUBLE PRECISION HOLDDOUBLE PRECISION BIGADIMENSION A(l),L(l),M(l)

SEARCH FOR LARGEST ELEMENTD=1.0NK=-NDO 80 K=l,NNK=NK+NL(K)=KM(K)=KKK=NK+KBIGA=A(KK)DO 20 J=K,NIZ=N*(J-1)DO 20 I=K,NIJ=IZ+I

10 IF(DABS(BIGA)- DABS(A(IJ))) 15,20,2015 BIGA=A (IJ)

L(K)=IM(K)=J

20 CONTINUEINTERCHANGE ROWS

J=L(K)IF(J-K) 35,35,25

25 KI=K-NDO 30 I=l,NKI=KI+NHOLD=-A (KI)JI=KI-K+JA(KI)=A(JI)

30 A(JI) =HOLDINTERCHANGE COLUMNS

35 I=M(K)IF(I-K) 45,45,38

38 JP=N* (1-1)DO 40 J=l,NJK=NK+JJI=JP+JHOLD=-A(JK)A(JK)=A(JI)

40 A(JI) =HOLDC DIVIDE COLUMN BY MINUS PIVOT (VALUE OF PIVOT ELEMENT ISC CONTAINED IN BIGA)C45 IF(DABS(BIGA)-1.E-20)46,46,48

45 IF(BIGA)48,46,4846 D=O.O

RETURN48 DO 55 I=l,N

IF(I-K) 50,55,5050 IK=NK+I

A(IK)=A(IK)/(-BIGA)55 CONTINUE

REDUCE MATRIXDO 65 I=l,NIK=NK+IHOLD=A (IK)IJ=I-NDO 65 J=l,NIJ=IJ+N

1Page 37

IF (I-K) 60,65,6060 IF(J-K) 62,65,6262 KJ=IJ-I+K

A(IJ)=HOLD*A(KJ)+A(IJ)65 CONTINUE

C DIVIDE ROW BY PIVOTKJ=K-NDO 75 J=l,NKJ=KJ+NIF(J-K) 70,75,70

70 A(KJ)=A(KJ)/BIGA75 CONTINUE

C PRODUCT OF PIVOTSD=D*BIGA

C REPLACE PIVOT BY RECIPROCALA(KK)=1.0/BIGA

80 CONTINUEC FINAL ROW AND COLUMN INTERCHANGE

K=N100 K=(K-1)

IF(K) 150,150,105105 I=L(K)

IF(I-K) 120,120,108108 JQ=N*(K-1)

JR=N*(I-1)DO 110 J=l,NJK=JQ+JHOLD=A(JK)JI=JR+JA (JK) =-A (JI)

110 A (JI) =HOLD120 J=M(K)

IF(J-K) 100,100,125125 KI=K-N

DO 130 I=l,NKI=KI+NHOLD=A (KI)JI=KI-K+JA(KI)=-A(JI)

Uo A(JI) =HOLDGO TO 100

150 RETURNEND

11111111111111111111

111111111111111111111

TEST D"INVERSION DE MATRICE PAR LA METHODE DE GAUSS-JORDAN (1) OU DE HOUSEHOLDER(2)?2

INVERSION DE MATRICE PAR LA METHODE DE HOUSEHOLDERTEST SUR UNE MATRICE HILBERTIENNE (o=OUI)?

oMATRICE HILBERTIENNE TEST DE RANG N, ENTRER N

3MATRICE INITIALE (A) DE DIMENSION 3

0.1000E+01 0.5000E+00 0.3333E+000.5000E+00 0.3333E+00 0.2500E+000.3333E+00 0.2500E+00 0.2000E+00

VALEUR PROPRE MAX DE (A) 1.408319070123619JACOBI FOURNIT VALEURS ET VECTEURS PROPRES DE LA MATRICE ET SON CONDITIONNEMENT (o=OUI)?

oVALEUR PROPRE 1 1.408318927123654VECTEUR PROPRE1.0000000000000000.19259506460534750.1925950645974162VALEUR PROPRE 2 0.1223270658539059

J VECTEUR PROPRE-0.51285728813083040.44379114969708990.4437911495467347VALEUR PROPRE 3 2.6873403557735030E-03VECTEUR PROPRE-0.6416734430747990-0.64167344307479900.1982474751955444CONDITIONNEMENT DE (A) PAR LA METHODE DE JACOBI 524.0567775860657DETERMINANT DE LA MATRICE INITIALE = 4.6296296296295480E-04MATRICE INVERSE (A-1)

0.9000E+01 -0.3600E+02 0.3000E+02-0.3600E+02 0.1920E+03 -0.1800E+03

0.3000E+02 -0.1800E+03 0.1800E+03VALEUR PROPRE MAX DE (A-1) 372.1151278494335CONDITIONNEMENT DE (A) VMAX(A)*VMAX(A-1) 524.0568308318456VOTRE MATRICE (A) EST MAL CONDITIONNEE !!!!POUR UN SYSTEME (A)X=B, SSI B EST DANS testvecti.datCALCUL DES POIDS POUR VERIFICATION (o=OUI)?

nonLA MATRICE (A)*(A-1) EST EGALE A L"IDENTITE

0.1000E+01 -0.7105E-14 -0.3220E-14-0.1405E-14 0.1000E+01 0.1221E-13

0.1088E-13 -0.1421E-13 0.1000E+01DETERMINANT DE LA MATRICE INVERSE= 2160.000000000104INVERSE DE LA MATRICE INVERSE (A-1-1)

0.1000E+01 0.5000E+00 0.3333E+000.5000E+00 0.3333E+00 0.2500E+000.3333E+00 0.2500E+00 0.2000E+00

ERREUR ABSOLUE (A)-(A-1-1)ERREUR ABSOLUE MAXIMALE 1.8096635301390050E-14

0.1810E-13 0.1099E-13 0.7883E-140.1149E-13 0.7327E-14 0.5274E-140.8549E-14 0.5440E-14 0.3941E-14

ERREUR RELATIVE «A)-(A-1-1))/(A)ERREUR RELATIVE MAXIMALE 2.5646151868841110E-14

0.1810E-13 0.2198E-13 0.2365E-130.2298E-13 0.2198E-13 0.2109E-130.2565E-13 0.2176E-13 0.1971E-13

TEST D"INVERSION DE MATRICE PAR LA METHODE DE GAUSS-JORDAN(l) OU DE HOUSEHOLDER(2)?1

INVERSION DE MATRICE PAR LA METHODE DE GAUSS-JORDANTEST SUR UNE MATRICE HILBERTIENNE (o=OUI)?

nonMATRICE INITIALE (A) DE DIMENSION 3

O.OOOOE+OO 0.1099E+03 0.1000E+010.1099E+03 O.OOOOE+OO 0.1000E+010.1000E+01 0.1000E+01 O.OOOOE+OO

VALEUR PROPRE MAX DE (A) 109.9105153466572JACOBI FOURNIT VALEURS ET VECTEURS PROPRES DE LA MATRICE ET SON CONDITIONNEMENT (o=OUI)?

oVALEUR PROPRE 1 -109.8923187255858VECTEUR PROPRE1.000000000000000-2.2442659035846390E-05-2.2442658836933870E-05VALEUR PROPRE 2 109.9105153466616VECTEUR PROPRE0.74265074580957991.5531162940987421.553116294099100VALEUR PROPRE 3 -1.8196621075717190E-02VECTEUR PROPRE-1.9982908447120010E-02-1.9982908447120010E-020.9799894942735779CONDITIONNEMENT DE (A) PAR LA METHODE DE JACOBI -6040.160691884367DETERMINANT DE LA MATRICE INITIALE = 219.7846374511718MATRICE INVERSE (A-1)

-0.4550E-02 0.4550E-02 0.5000E+000.4550E-02 -0.4550E-02 0.5000E+000.5000E+00 0.5000E+00 -0.5495E+02

VALEUR PROPRE MAX DE (A-1) -54.95525767333548CONDITIONNEMENT DE (A) VMAX(A)*VMAX(A-1) -6040.160691884640VOTRE MATRICE (A) EST MAL CONDITIONNEE !!!!POUR UN SYSTEME (A)X=B, SSI B EST DANS testvecti.datCALCUL DES POIDS POUR VERIFICATION (o=OUI)?

oCALCUL DES POIDS EN UTILISANT LA MATRICE INVERSEA EST-ELLE UNE MATRICE DE KRIGEAGE (o=OUI)?

oPRODUIT DE LA MATRICE INVERSE PAR LE VECTEUR GO => POIDS DES DIFFERENTES STATIONSPOIDS DES DIFFERENTES STATIONSGO( 1 )= 208.4509429931641 POID( 1 )= 0.2896800331801192GO( 2 )= 162.2258453369141 POID( 2 )= 0.7103199668198809ALPHAT= 1.000000000000000 ALPHAA= 1.000000000000000CALCUL DIRECT PAR LA METHODE DE GAUSS (o=OUI)?

oPOID( 1 )= 0.2896800331801190POID( 2 )= 0.7103199668198809POID( 3 )= 130.3922348022462LA MATRICE (A)*(A-1) EST EGALE A L"IDENTITE

0.1000E+01 O.OOOOE+OO O.OOOOE+OOO.OOOOE+OO 0.1000E+01 O.OOOOE+OOO.OOOOE+OO O.OOOOE+OO 0.1000E+01

DETERMINANT DE LA MATRICE INVERSE= 4.5499085450053990E-03INVERSE DE LA MATRICE INVERSE (A-1-1)

O.OOOOE+OO 0.1099E+03 0.1000E+010.1099E+03 O.OOOOE+OO 0.1000E+010.1000E+01 0.1000E+01 O.OOOOE+OO

ERREUR ABSOLUE (A)-(A-1-1)ERREUR ABSOLUE MAXIMALE 0.0000000000000000

O.OOOOE+OO O.OOOOE+OO O.OOOOE+OOO.OOOOE+OO O.OOOOE+OO O.OOOOE+OOO.OOOOE+OO O.OOOOE+OO O.OOOOE+OO

ERREUR RELATIVE ((A)-(A-1-1))/(A)ERREUR RELATIVE MAXIMALE 0.0000000000000000

O.OOOOE+OO O.OOOOE+OO O.OOOOE+OOO.OOOOE+OO O.OOOOE+OO O.OOOOE+OOO.OOOOE+OO O.OOOOE+OO O.OOOOE+OO

t11111111111111111111

Résumé

Dans le cadre de EPSAT-Niger, leschercheurs de l' ORSTOM étudient larépartition des précipitations sur le "degrécarré" de Niamey. Dans ce but, ils ontinterpolé des données recueillies sur les lignesde grains en utilisant la technique statistiquedu Krigeage. Les résultats obtenus enemployant un modèle de variogrammeparticulier dit "Gaussien" se sont avérésaberrants. Ce rapport présente une approcheempirique et numérique pour tenter derésoudre le problème, les différents testseffectués sur les programmes de Krigeageafin d'en prouver l'efficacité ou les optimiser,et les limitations constatées sur le modèleGaussien, utilisable uniquement pour desdonnées extrêmement corrélées. En annexe,une partie indépendante présente uneapplication complète de traitement desdonnées spatialisées: extraction de données,calage de variogrammes, interpolation etvisualisation d'une ligne de grain.

Mots-clésInterpolation, Krigeage, Variogramme Gaussien.

1111111111111111.1.1

Etude de problèmes liés aux méthodes utilisées pour...

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