Inversion de matrices

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André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Inversionde matricesInversion

de matrices

Introduction

Nous présentons dans ce diaporama la définition de matrice

inverse d’une matrice carrée et deux méthodes pour la

déterminer.

La première méthode est analogue à la méthode de Gauss-Jordan

pour résoudre un système d’équations. Nous allons simplement

utiliser cette méthode pour résoudre simultanément plusieurs

systèmes d’équations.

La deuxième méthode, appelée méthode de la matrice adjointe,

utilise la propriété de la matrice adjointe présentée dans le

diaporama sur les propriétés des déterminants.

Matrice inverseDÉFINITION

Soit A, une matrice carrée d’ordre n. On appelle matrice inverse de A, si elle existe, la matrice A–1 telle que :

Exemple

Les matrices A et B sont donc inverse l’une de l’autre.

Soit les matrices A =–5

7

–2

3et B =

–3

7

–2

5.

1 0

C11 = –5 –3 + (–2) 7 = 1

0 1

C12 = –5 –2 + (–2) 5 = 0C21 = 7 –3 + 3 7 = 0

Leur produit est A • B =–5

7

–2

3•

–3

7

–2

5=

C22 = 7 –2 + 3 5 = 1

A • A–1 = A–1 • A = I

où I est la matrice identité d’ordre n.

Méthode de Gauss-JordanMise en situation

2

3

1

2Soit la matrice A =

. Cette matrice est-elle inversible ?

2

3

1

2

a

b

c

d•

1

0

0

1=

On veut savoir s’il existe une matrice A–1 =a

b

c

dtelle que :

2a + b

3a + 2b

2c + d

3c + 2d

1

0

0

1=ou

L’égalité des matrices donne deux systèmes d’équations linéaires :2a + b = 1

3a + 2b = 0

2c + d = 0

3c + 2d = 1ou ouet

2

3

1

2

1

0

2

3

1

2

1

0

0

1

S

Puisque la matrice des coefficients est la même, on peut résoudre simultanément ces deux systèmes en considérant la matrice augmentée suivante :

S2

3

1

2

0

1

Méthode de Gauss-JordanSolution

2

3

1

2

1

0

0

1≈

L1

2L2 – 3L1

2 1 1 0

≈L1 – L2

L2

2 0 4 –2≈

L1 /2

L2

1 0 2 –1

SSS

La partie droite de la matrice donne la solution des deux systèmes d’équations. On a donc :

A–1 = On peut vérifier que c’est bien la matrice inverse.2

–3

–1

2.

A • A–1 = 2

3

1

2•

2

–3

–1

2=

1

0

0

1

A –1 • A= 2

3

1

2•

2

–3

–1

2=

1

0

0

1

0 1 –3 2

0 1 –3 2 0 1 –3 2

Procédure de Gauss-JordanProcédure

pour construire la matrice inverse (méthode de Gauss-Jordan)

1. Construire une matrice augmentée dont la partie gauche est la matrice à inverser et la partie droite, la matrice identité du même ordre.

2. Effectuer les opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir la matrice échelonnée réduite dans la partie gauche de la matrice augmentée.

3. Écrire la matrice inverse lorsque celle-ci existe.

4. S’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreurs de calcul en vérifiant que A • A–1 = I.

S

Exemple 4.1.1Utiliser la méthode de Gauss-Jordan pour trouver la matrice inverse de la matrice A si elle existe.

Soit A =

Construisons d’abord la matrice augmentée.

2

3

5

1

2

4

–2

2

3

1

0

0

0

1

0

0

0

1≈

L1

2L2 – 3L1

2L3 – 5L1

2 1 –2 1 0 0

Effectuons les opérations de lignes pour échelonner la partie gauche.

≈

L1 – L2

L2

L3 – 3L2

2 0 –12 4 –2 0

≈

7L1 – 6L3

7L2 + 5L3

L3

14 0 0 4 22 –12

≈

L1 /14

L2 /7

L3/(–14)

1 0 0 2/7 11/7 –6/7

0 1 10 –3 2 0

0 3 16 –5 0 2

0 1 10 –3 2 0

0 0 –14 4 –6 2

0 7 0 –1 –16 10

0 –14 4 –6 20

0 1 0 –1/7 –16/7 10/7

0 0 1 –2/7 3/7 –1/7

A–1 =

2/7

–1/7

–2/7

11/7

–16/7

3/7

–6/7

10/7

–1/7

=

2

–1

–2

11

–16

3

–6

10

–1

17

Écrivons la matrice inverse.Vérifions ce résultat.

A• A–1 =17

2

3

5

1

2

4

–2

2

3

2

–1

–2

11

–16

3

–6

10

–1• =

1 0 0

0 1 00 0 1 SSSSS

2

3

5

1

2

4

–2

2

3.

1

–4

3

2

4

–4

4

1

–2

ExerciceUtiliser la méthode de Gauss-Jordan pour trouver la matrice inverse de la matrice A si elle existe.

Soit A =

S


1

–4

3

2

4

–4

4

1

–2

1

0

0

0

1

0

0

0

1≈

L1

L2 + 4L1

L3 – 3L1

1 2 4 1 0 0


≈

6L1 – L2

L2

6L3+5L2

6 0 7 2 –1 0

≈

L1 – 7L3

L2 – 17L3

L3

6 0 0 –12 –36 –42

≈

L1 /6

L2 /12

L3

1 0 0 –2 –6 –7

S

Écrivons la matrice inverse.

.

SSS

0 12 17 4 1 0

0 –10 –14 –3 0 1

0 12 17 4 1 0

0 0 1 2 5 6

0 12 0 –30 –84 –102

0 0 1 2 5 6

0 1 0 –5/2 –7 –17/2

0 0 1 2 5 6

A–1 =

–2

–5/2

2

–6

–7

5

–7

–17/2

6

=

–4

–5

4

–12

–14

10

–14

–17

12

12

Vérifions ce résultat.

A• A–1 =12

1

–4

3

2

4

–4

4

1

–2

–4

–5

4

–12

–14

10

–14

–17

12• =

1

0

0

0

1

0

0

0

1

2

–1

5

1

5

8

3

–2

7

Exemple 4.1.3Utiliser la méthode de Gauss-Jordan pour trouver la matrice inverse de la matrice A si elle existe.

Soit A =

S


2

–1

5

1

5

8

3

–2

7

1

0

0

0

1

0

0

0

1≈

L1

2L2 + L1

2L3 – 5L1

2 1 3 1 0 0


≈

L1

L2

L3 – L2

S

.

S

Les éléments de la troisième ligne de la matrice de gauche se sont annulés au cours des transformations. Cela signifie que les systèmes d’équations permettant de trouver les éléments de la matrice inverse n’ont pas une solution unique et la matrice A n’est pas inversible.

0 11 –1 1 2 0

0 11 –1 –5 0 2

2 1 3 1 0 00 11 –1 1 2 0

0 0 0 –6 –2 2

Matrice inverse et système d’équations linéairesPar la matrice inverse, lorsqu’elle existe, on peut résoudre un système de n équations linéaires à n inconnues.

Soit un système d’équations linéaires représenté sous forme matricielle par A • X = B, où A est une matrice carrée d’ordre n inversible.

On peut alors multiplier des deux côtés de l’égalité par la matrice inverse A–1. Cela donne :

A–1 • A • X = A–1 • B

Par conséquent, en multipliant la matrice des constantes B par A–1, la matrice inverse de A, on isole la matrice des inconnues X, cela donne la solution du système d’équations linéaires.

d’où : I • X = A–1 • B , puisque A–1 • A = I

et : X = A–1 • B , car I • X = X

Puisque la matrice des coefficients est inversible, on a :

AX = B implique que X = A–1 B

La solution du premier système d’équations est alors :

10

7

15

1

4

–2

S

Exemple 4.1.2

Résoudre en utilisant la matrice inverse :

S

A–1 =

2

–1

–2

11

–16

3

–6

10

–1

17

2x1 + x2 – 2x3 = 10

3x1 + 2x2 + 2x3 = 7

5x1 + 4x2 + 3x3 = 15

2x1 + x2 – 2x3 = –9

3x1 + 2x2 + 2x3 = 10

5x1 + 4x2 + 3x3 = 13

Soit les systèmes d’équations linéaires suivants :

x1

x2

x3

=

2

–1

–2

11

–16

3

–6

10

–1

17 • =X = A–1 B =

La solution du deuxième système d’équations est alors :

–9

10

13

2

–3

5

SRemarque

En pratique, la matrice inverse est rarement donnée, il faut la déterminer selon la méthode demandée.

La méthode de la matrice inverse est particulièrement intéressante lorsqu’on doit résoudre plusieurs systèmes d’équations ayant la même matrice des coefficients.

Puisque la matrice des coefficients est inversible, on a :

AX = B implique que X = A–1 B

La solution du premier système d’équations est alors :

17

–26

17

3

–5

6

S

Exercice

Résoudre en utilisant la matrice inverse :

S

A–1 =

–4

–5

4

–12

–14

10

–14

–17

12

12

x1 + 2x2 + 4x3 = 17

–4x1 + 4x2 + x3 = –26

3x1 – 4x2 – 2x3 = 17

x1 + 2x2 + 4x3 = –4

–4x1 + 4x2 + x3 = 32

3x1 – 4x2 – 2x3 = –26

Soit les systèmes d’équations linéaires suivants :

S

x1

x2

x3

=

–4

–5

4

–12

–14

10

–14

–17

12

12 •X = A–1 B =

La solution du deuxième système d’équations est alors :

–4

32

–26

–2

7

–4=

Théorèmes et propriétésThéorème

Critère d’inversibilité d’une matrice

Soit A, une matrice carrée. A est inversible si et seulement si :

det A ≠ 0

Montrons que : si la matrice A est inversible, alors det A ≠ 0.

A • A–1 = I

det (A • A–1) = det I

(det A)(det A–1) = 1

par conséquent, det A ≠ 0.

Si la matrice A est inversible, alors il existe une matrice A–1 telle que :

, par définition de la matrice inverse;

, puisque det(A • B) = (det A)(det B) et det I = 1;

, des matrices égales ont le même déterminant;

SMontrons que : si det A ≠ 0, alors la matrice A est inversible.

Si det A ≠ 0, les systèmes d’équations représentées par la matrice

augmentée dont la partie de droite est la matrice identité ont tous

une solution unique. Par conséquent, la matrice A est inversible.

Théorèmes et propriétésThéorème

Unicité de la matrice inverse

Soit A, une matrice carrée. Si A est inversible alors l’inverse de A est unique.

Une démonstration d’unicité consiste à supposer qu’il existe deux objets dont on veut montrer l’unicité et à démontrer que ces deux objets sont nécessairement égaux.

Dans le présent cas, on supposera qu’il existe deux matrices inverses, B et C, et on montrera que ces deux matrices sont nécessairement égales.

S

B = B • I

= B • (A • C)

= I • C

Donc, B = C et l’inverse de A est unique.

Soit A une matrice carrée inversible et, B et C, deux matrices inverses de A. Par hypothèse, on a alors :

, puisque I est le neutre multiplicatif;

, car B • A = I par hypothèse;

, car A • C = I par hypothèse;

A • B = B • A = I et A • C = C • A = I

= C, puisque I est le neutre multiplicatif.

= (B • A) • C, par associativité du produit matriciel;

Théorèmes et propriétésPropriétés

de la matrice inverse

Soit Ann, une matrice inversible. Alors :

A • A–1 = I

det (A • A–1) = det I

, par définition de la matrice inverse;

En divisant les deux membres de l’équation par det A, on obtient :

, comme déterminant de matrices égales;

(det A)(det A–1) = det I , comme déterminant d’un produit;

det (A–1) =1

det A

det (A–1) =1

det A

S




(A–1)–1 • A–1 = I

De plus, A • A–1 = I

, puisque (A–1)–1 est la matrice inverse de A–1;

, puisque A–1 est la matrice inverse de A.

D’où (A–1)–1 = A , car l’inverse de A est unique.

S(A–1)–1 = A




S(At)–1 = (A–1)t

(At)–1At = I , puisque (At)–1 est l’inverse de At;

, par les propriétés de la transposition;

, une matrice diagonale est sa propre transposée; = It = I

D’où (At)–1 = ( A–1)t, car l’inverse de (At)–1 est unique.

(A–1)tAt = (AA–1)t



Soit Ann et Bnn, deux matrices inversibles. Alors :

S(AB)–1 = B–1 A–1

(AB)(B–1A–1) = A(BB–1)A–1

= A(I)A–1

, par associativité de la multiplication;

, puisque B–1 est la matrice inverse de B;

Il faut montrer que (AB)(B–1A–1) = (B–1A–1)(AB) = I pour pouvoir conclure que l’inverse de AB est B–1A–1. Or,

, puisque I est neutre pour la multiplication; = AA–1

, puisque A–1 est la matrice inverse de A. = I

De la même façon, on montre que (B–1A–1)(AB) = I. L’inverse de AB, soit (AB)–1, est donc B–1A–1.




S(kA)–1 = A–11k

De la même façon, on a :

Par conséquent :

Puisque A–1 est l’inverse de A et que 1/k est l’inverse multiplicatif de k, l’associativité de la multiplication par un scalaire avec le produit des matrices permet d’écrire :

(kA) A–11k (AA–1) = 1 I = I= k 1

k

(kA)A–11k (A–1A) = 1 I = I= k 1

k

(kA)–1 = A–11k

b) det [B(AB)–1] = det [BB–1A–1] = det [(BB–1)A–1]

Exemple 4.1.4On donne det A = –4 et det B = 5. Calculer les déterminants suivants :

Sa) det (A–1) =

c) det (AB–1) = (det A) (det B–1) = det A

=1

det A

1

4 = –

1

det B

4

5 = –

SS1

det A 1

4 = –

a) det (A–1) b) det [B(AB)–1] c) det (AB–1)

= det [IA–1] = det [A–1]

Méthode de la matrice adjointeDans la présentation des propriétés du déterminant, nous avons vu que la multiplication d’une matrice carrée A par son adjointe donne une matrice scalaire dont le scalaire est le déterminant de la matrice A.

Cette propriété est généralisable à des matrices d’ordre n. On a donc A•(adj A) = (det A)I. Si det A ≠ 0, on peut diviser les deux membres de cette égalité par det A et on obtient :

, d’où l’on tire :

a

d

g

b

e

h

c

f

i

• =

det A 0 0

0 det A 0

0 0 det A

c

f

e

h

f

ia

g

c

i

a

d

b

e

d

g

e

h

b

ed

g

f

i–

b

h

c

i–

a

d

c

f–

a

g

b

h–

A • (adj A) = I1

det A A–1 = (adj A)1

det A

Procédure de la matrice adjointeProcédure

pour construire la matrice inverse (méthode de l’adjointe)

1. Calculer le déterminant de A pour déterminer si la matrice A est inversible.

2. Construire la matrice des cofacteurs (cof A).

3. Transposer la matrice des cofacteurs pour obtenir la matrice adjointe (adj A = (cof A)t) et multiplier cette matrice par le scalaire 1/det A pour obtenir la matrice inverse.

4. S’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreurs de calcul en vérifiant que A • A–1 = I ou encore en vérifiant que A • (adjA) = (det A)I.

–2 1

Exemple 4.1.1

Utiliser la méthode de l’adjointe pour trouver la matrice inverse de la matrice A.

Écrivons la première ligne de la matrice des cofacteurs.

S

Les cofacteurs de la première ligne permettent le calcul du déterminant.

A–1 =

2

–1

–2

11

–16

3

–6

10

–1

17

Soit A =

2

3

5

1

2

4

–2

2

3.

A • A–1 =

2

cof A =

S

, det A =

Le déterminant est non nul, la matrice A est inversible. On peut donc écrire les autres lignes de la matrice des cofacteurs.

–11 16 –3

6 –10 1 SS

Transposons la matrice des cofacteurs pour obtenir l’adjointe.

–2

1

2

–11

16

–3

6

–10

1

adj A =

S


2

–1

–2

11

–16

3

–6

10

–1• =

Vérifions le résultat.

2

3

5

1

2

4

–2

2

3

17

17

7

0

0

0

7

0

0

0

7

La matrice obtenue est bien l’inverse de A.

2–2 + 1 1 + (–2) 2 = –7

Exercice

Utiliser la méthode de l’adjointe pour trouver la matrice inverse de la matrice A.

Écrivons la première ligne de la matrice des cofacteurs.

S

Les cofacteurs de la première ligne permettent le calcul du déterminant.

–12

–14

10A–1 =

–4

–5

4

–14

–17

12

12

Soit A =

1

–4

3

2

4

–4

4

1

–2.

A • A–1 =

–4 –5 4

cof A =

S

, det A = 1 (–4) + 2 (–5) + 4 4 = 2

Le déterminant est non nul, la matrice A est inversible. On peut donc écrire les autres lignes de la matrice des cofacteurs.

–12 –14 10

–14 –17 12 SS

Transposons la matrice des cofacteurs pour obtenir l’adjointe.

–4

–5

4

–12

–14

10

–14

–17

12

adj A =

S


•

–4

–5

4

–12

–14

10

–14

–17

12

=

Vérifions le résultat.

1

–4

3

2

4

–4

4

1

–2

12

2

0

0

0

2

0

0

0

2

La matrice obtenue est bien l’inverse de A.

12

Exemple 4.1.6On donne det A = –4, où A est une matrice carrée d’ordre 3. Calculer les déterminants suivants :

a) det (adj A) b) det (A • adj A) c) det (cof A)

Sa) det (adj A) = det [(det A) A–1] = (det A)n [det A–1]

b) Le déterminant d’un produit est égal au produit des déter-minants. On a donc :

det (A • adj A) = (det A)[det (adj A)] = (–4)3 = –64.

c) Le déterminant d’une matrice est égal au déterminant de sa transposée, on a donc : det (cof A) = det (adj A) = (–4)2 = 16.

SS

= (det A)n 1

det A = (det A)n–1 .

On a donc det (adj A) = (det A)n–1 = (–4)2 = 16.

Inversion et matrice nilpotenteDans les chaînes de Markov avec états absorbants, on doit parfois inverser une matrice de la forme I – Q, où Q est une matrice nilpotente. On utilise alors une procédure particulière.

SS

Soit Q, une matrice nilpotente de degré 4 (Q4 = 0). Montrons que l’inverse de I – Q est la matrice I + Q + Q2 + Q3.

(I – Q)(I + Q + Q2 + Q3) = I(I + Q + Q2 + Q3) – Q(I + Q + Q2 + Q3)

Puisque l’inverse est unique, on a :

De façon plus générale, si Q est nilpotente de degré n, alors :

= I + Q + Q2 + Q3 – Q – Q2 – Q3 + Q4

= I + Q4

= I, puisque Q4 = 0.

(I – Q)–1 = I + Q + Q2 + Q3

I – Q)–1 = I + Q + Q2 + ... + Qn–1

Conclusion

Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non

nul.

La méthode de Gauss-Jordan est facile à programmer sous Excel. Les

opérations sur les lignes sont les mêmes que celles pour déterminer la

matrice échelonnée réduite d’un système d’équations.

Nous avons deux procédures générales pour trouver la matrice

inverse d’une matrice A. Avec un peu de pratique, la méthode de

l’adjointe est la plus rapide pour des matrices d’ordre 2 ou 3.

ExercicesAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 4.2, p. 91 et 92.

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines, section 4.2, p. 91 et 92.

LectureAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 4.1, p. 83 à 90.Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines, section 4.1, p. 83 à 90.

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Inversion de matrices