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Évolution de la charge d’un condensateur sous tension constante
Étude qualitative
Étude expérimentale
Exploitation des mesures
• Étude de la tension aux bornes du condensateur
• Étude de l’intensité du courant électrique
• Étude de la somme des tensions aux bornes de R et C
• Étude graphique de la constante de temps du circuit
Mise en équation du système
Lancer le diaporama F5
• ETUDE QUALITATIVE •
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
Le condensateur C est branché en série avec une résistance R.
C
R
• Lorsque l’interrupteur se ferme la lampe brille vivement et instantanément •• La brillance de la lampe permet d’évaluer qualitativement l’intensité du courant avec le temps •
+
-
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
Le condensateur C est branché en série avec une résistance R.
C
R
• Lorsque l’interrupteur se ferme la lampe brille vivement et instantanément •
+
-
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
La lampe brille de moins en moins avec le temps .
C
R
• L’intensité du courant électrique diminue progressivement •
+
-
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
La lampe s’éteint au bout de quelques secondes.
C
R
• L’intensité du courant électrique est pratiquement nulle •
+
-
Sommaire
• ETUDE EXPERIMENTALE •
0.00
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
La lampe est retirée, elle est remplacée par un ampèremètre.
C
R
• L’ampèremètre mesure i (t), l’intensité du courant dans le circuit électrique •
A
i (t)
+
-
0.00
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
Un voltmètre est placé aux bornes de l’alimentation stabilisée.
C
R
• Le voltmètre mesure U, la tension aux bornes de la source de tension, constante et égale à 5 volts •
A
5.00
VU
+
-
0.00
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
Un voltmètre est placé aux bornes du condensateur.
C
R
• Le voltmètre mesure uc (t), la tension aux bornes du condensateur •
A
5.00
V
0.00
V
uc (t)
+
-
0.00
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
Un voltmètre est placé aux bornes de la résistance.
C
R
• Le voltmètre mesure uR (t), la tension aux bornes de la résistance •
A
5.00
V
0.00
V
0.00
VuR (t)
+
-
0.00
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
Un chronomètre donne le temps entre deux mesures.
C
R
• L’évolution des grandeurs i (t), U, uc (t) et uR (t) est donnée en fonction du temps t •
A
5.00
V
0.00
V
0.00
V
00:00 min:sec
+
-
0.00
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
C
R
• On relève toutes les grandeurs proposées, elles seront placées dans un tableau.
A
5.00
V
0.00
V
0.00
V
L’interrupteur se ferme à l’instant « t = O ».
00:00 min:sec
+
-
0.22
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
C
R
• Pour t = 0 s
A
5.00
V
0.00
V
5.00
V
U = 5 V
i (t) = 0,22 mA
uC (t) = 0 V
uR (t) = 5 V
00:00 min:sec
Tension aux bornes de l’alimentation
Tension aux bornes du condensateur
Intensité du courant dans le circuit
Tension aux bornes de la résistance
+
-
0.19
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
C
R
• Pour t = 10 s
A
5.00
V
0.83
V
4.17
V
U = 5 V
00:10 min:sec
Tension aux bornes de l’alimentation
Tension aux bornes du condensateur
Intensité du courant dans le circuit
Tension aux bornes de la résistance
i (t) = 0,19 mA
uC (t) = 0,83 V
uR (t) = 4,17 V
+
-
0.16
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
C
R
• Pour t = 20 s
A
5.00
V
1.52
V
3.48
V
U = 5 V
00:20 min:sec
Tension aux bornes de l’alimentation
Tension aux bornes du condensateur
Intensité du courant dans le circuit
Tension aux bornes de la résistance
i (t) = 0,16 mA
uC (t) = 1,52 V
uR (t) = 3,48 V
+
-
0.08
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
C
R
• Pour t = 60 s
A
5.00
V
3.32
V
1.68
V
U = 5 V
01:00 min:sec
Tension aux bornes de l’alimentation
Tension aux bornes du condensateur
Intensité du courant dans le circuit
Tension aux bornes de la résistance
i (t) = 0,08 mA
uC (t) = 3,32 V
uR (t) = 1,68 V
+
-
0.03
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
C
R
• Pour t = 120 s
A
5.00
V
4.44
V
0.56
V
U = 5 V
Tension aux bornes de l’alimentation
Tension aux bornes du condensateur
Intensité du courant dans le circuit
Tension aux bornes de la résistance
i (t) = 0,03 mA
uC (t) = 4,44 V
uR (t) = 0,56 V
02:00 min:sec
+
-
0.005
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
C
R
• Pour t = 180 s
A
5.00
V
4.81
V
0.19
V
U = 5 V
Tension aux bornes de l’alimentation
Tension aux bornes du condensateur
Intensité du courant dans le circuit
Tension aux bornes de la résistance
i (t) = 5 A
uC (t) = 4,81 V
uR (t) = 0,19 V
03:00 min:sec
+
-
0.003
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
C
R
• Pour t = 240 s
A
5.00
V
4.94
V
0.06
V
U = 5 V
Tension aux bornes de l’alimentation
Tension aux bornes du condensateur
Intensité du courant dans le circuit
Tension aux bornes de la résistance
i (t) = 3 A
uC (t) = 4,94 V
uR (t) = 0,06 V
04:00 min:sec
+
-
Sommaire
L’ensemble de toutes les valeurs relevées sont rassemblées dans un tableau
t [s] uc (t) [V]
0 0
10 0,83
20 1,52
30 2,1
40 2,58
50 2,99
60 3,32
70 3,6
80 3,83
90 4,03
120 4,44
150 4,67
180 4,81
210 4,89
240 4,94
uR (t) [V]
5
4,17
3,48
2,9
2,42
2,01
1,68
1,4
1,17
0,97
0,56
0,33
0,19
0,11
0,06
i (t) [mA]
0,22
0,19
0,16
0,13
0,11
0,09
0,08
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,005
0,003
• EXPLOITATION DES MESURES •
• EXPLOITATION DES MESURES •
• ETUDE N ° 1 •
• Évolution de la tension aux bornes du condensateuruC (t) = f (t)
t [s] uc (t) [V]
0 0
10 0,83
20 1,52
30 2,1
40 2,58
50 2,99
60 3,32
70 3,6
80 3,83
90 4,03
120 4,44
150 4,67
180 4,81
210 4,89
240 4,94
Toutes les valeurs des mesures de la tension aux bornes du condensateursont consignées dans un tableau
Nous allons tracer la courbe de cette évolution en fonction du temps.
Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
t [s]10
uc(t) [V]
0,5
1
2
3
4
5
0 50 100 150 200 250
t [s]uc(t) [V]
0 0
10 0,83
20 1,52
30 2,1
40 2,58
50 2,99
60 3,32
70 3,6
80 3,83
90 4,03
120 4,44
150 4,67
180 4,81
210 4,89
240 4,94
• Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.
• Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.
t [s]10
uc(t) [V]
0,5
1
2
3
4
5
0 50 100 150 200 250
t [s]uc(t) [V]
0 0
10 0,83
20 1,52
30 2,1
40 2,58
50 2,99
60 3,32
70 3,6
80 3,83
90 4,03
120 4,44
150 4,67
180 4,81
210 4,89
240 4,94
Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
t [s]10
uc(t) [V]
0,5
1
2
3
4
5
0 50 100 150 200 250
t [s]uc(t) [V]
0 0
10 0,83
20 1,52
30 2,1
40 2,58
50 2,99
60 3,32
70 3,6
80 3,83
90 4,03
120 4,44
150 4,67
180 4,81
210 4,89
240 4,94
Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
• Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.
t [s]10
uc(t) [V]
0,5
1
2
3
4
5
0 50 100 150 200 250
t [s]uc(t) [V]
0 0
10 0,83
20 1,52
30 2,1
40 2,58
50 2,99
60 3,32
70 3,6
80 3,83
90 4,03
120 4,44
150 4,67
180 4,81
210 4,89
240 4,94
Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
• Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.
L’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
t [s]uc(t) [V]
0 0
10 0,83
20 1,52
30 2,1
40 2,58
50 2,99
60 3,32
70 3,6
80 3,83
90 4,03
120 4,44
150 4,67
180 4,81
210 4,89
240 4,94t [s]
10
0,5
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250
uc(t) [V]
5
• L’ensemble de ces croix permet de traduire l’évolution de la tension aux bornes du condensateur.
La courbe de la charge d’un condensateur soumis à un échelon de tension est la suivante
t [s]
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250
uc(t) [V]
5
uc (t) = f (t)
Sommaire
• EXPLOITATION DES MESURES •
• ETUDE N ° 2 •
• Évolution de l’intensité du courant dans le circuit électriquei (t) = f (t)
t [s] i (t) [mA]
0 0,22
10 0,19
20 0,16
30 0,13
40 0,11
50 0,09
60 0,08
70 0,06
80 0,05
90 0,04
120 0,03
150 0,02
180 0,01
210 0,005
240 0,003
Toutes les valeurs des mesures de l’intensité du courant électriquesont consignées dans un tableau
Nous allons tracer la courbe de cette évolution en fonction du temps.
L’évolution de l’intensité du courant électrique en fonction du temps
t [s]i(t) [mA]
0 0,22
10 0,19
20 0,16
30 0,13
40 0,11
50 0,09
60 0,08
70 0,06
80 0,05
90 0,04
120 0,03
150 0,02
180 0,01
210 0,005
240 0,003
t [s]10
0,045
0,090
0,135
0,180
0 50 100 150 200 250
i(t) [mA]
0,225
• L’évolution de l’intensité du courant électrique est tracée comme précédemment.
La courbe de l’intensité du courant dans un circuit capacitifsoumis à un échelon de tension est la suivante
t [s]
0,045
0,090
0,135
0,180
0 50 100 150 200 250
i (t) [mA]
0,225
i (t) = f (t)
Sommaire
• EXPLOITATION DES MESURES •
• ETUDE N ° 3 •
• Évaluation de la somme des tensions aux bornes des composantsuC (t) + uR (t)
t [s] uc (t) [V]
0 0
10 0,83
20 1,52
30 2,1
40 2,58
50 2,99
60 3,32
70 3,6
80 3,83
90 4,03
120 4,44
150 4,67
180 4,81
210 4,89
240 4,94
Toutes les valeurs des mesures des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
sont consignées dans un même tableau
uR (t) [V]
5
4,17
3,48
2,9
2,42
2,01
1,68
1,4
1,17
0,97
0,56
0,33
0,19
0,11
0,06
Tracé des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
• Les tensions aux bornes du condensateur et de la résistance en concordance des temps
uc(t) [V]
uR(t) [V]
1
2
3
4
5
t [s]10
0 50 100 150 200 250
Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
• Prenons un point quelconque sur la courbe de uc (t)
t [s]10
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250
5uc(t) [V]
uR(t) [V]
Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
• Prenons le point correspondant sur la courbe de uR (t)
t [s]10
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250
5uc(t) [V]
uR(t) [V]
Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
• Repérons les deux valeurs sur l’axe des tensions.
t [s]10
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250
5uc(t) [V]
uR(t) [V]
Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
t [s]10
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250
5uc(t) [V]
uR(t) [V]
• Faisons la somme des deux valeurs obtenues.
Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
t [s]10
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250
5uc(t) [V]
uR(t) [V]
• La somme des deux tensions est égale à la tension d’alimentation U.
Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
t [s]10
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250
5uc(t) [V]
uR(t) [V]
• Cette propriété reste vraie à n’importe quel instant.
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
C
Ri (t)
+
-
uR (t)
uC (t)
U
Nous venons de vérifier expérimentalement la loi additive des tensions
U = uC (t) + uR (t)
La somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
Sommaire
• EXPLOITATION DES MESURES •
• ETUDE N ° 4 •
• Détermination graphique de la constante de temps du circuit = R.C
• EXPLOITATION DES MESURES •
• Détermination graphique de la constante de temps du circuit
PREMIERE METHODE
Tangente à l’origine = R.C
La constante de temps du circuit peut se déterminer à partir de la courbe uC (t)
t [s]10
0,5
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250
uc(t) [V]
5
• Tracer la tangente à l’origine de la courbe uC (t).
Il est nécessaire de tracer la droite d’équation U égale à la tension d’alimentation constante.
t [s]10
0,5
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250
uc(t) [V]
5
• Repérer le point d’intersection de cette tangente avec la droite caractérisant la tension d’alimentation.
La constante de temps du circuit s’obtient par projection.
t [s]10
0,5
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250
uc(t) [V]
5
• Ce point d’intersection permet de déterminer la constante de temps du circuit.
La constante de temps du circuit s’obtient par projection sur l’axe des temps.
t [s]10
0,5
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250
uc(t) [V]
5
La constante de temps du circuit est notée .
Elle est égale au produit
= R.C
Seconde méthode : Clic
• EXPLOITATION DES MESURES •
• Détermination graphique de la constante de temps du circuit
DEUXIEME METHODE
Pourcentage de la tension finale = R.C
La constante de temps du circuit peut se déterminer à partir de deux droites
t [s]10
0,5
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250
uc(t) [V]
5
La première droite est celle qui correspond à la tension finale de uc (t)
t [s]10
0,5
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250
uc(t) [V]
5
• Tracer l’asymptote à la courbe uC (t) lorsque t tend vers l’infini.
Cette droite donne la tension finale de uc (t)
t [s]10
0,5
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250
uc(t) [V]
5
• la valeur de la tension finale de uc (t) est égale à la valeur de l’alimentation.
Valeur finale de la tension uc (t)
La seconde droite correspond à 95 %la tension finale de uc (t)
t [s]10
0,5
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250
uc(t) [V]
5
• Calculer la valeur égale à 95 % de la valeur de l’alimentation.
100 % de la valeur finale
95 % de la valeur finale
Cette droite coupe la courbe uc (t) à un instant particulier correspondant à 3.
t [s]10
0,5
1
0 50 100 150 200 250
• L’instant t permet de déterminer la valeur du triple de la constante de temps.
95 % de la valeur finale
2
3
4
uc(t) [V]
5
3
La grandeur peut donc être déterminée avec cette seconde méthode
t [s]10
0,5
1
0 50 100 150 200 250
• Un simple calcul permet de déterminer la valeur de la constante de temps.
2
3
4
uc(t) [V]
5
L’instant 3. permet de différentier deux modes de fonctionnement
t [s]10
0,5
1
0 50 100 150 200 250
• Les deux régimes, transitoire et permanent, sont déterminés graphiquement.
2
3
4
uc(t) [V]
5
3
Régime transitoire Régime établi
Sommaire
• ETUDE MATHEMATIQUE •
12 V
18 V
3 V
9 V1 0
C
R
i (t)
+
-
uR (t)
uC (t)
U
Le montage réel Le montage équivalent électrique
R
C
uR (t)
uC (t)U
i (t)
Le montage à étudier est le suivant
Les grandeurs électriques utilisées sont les suivantes
q (t)
Quelques définitions :
Les éléments du circuit électrique
R La valeur de la résistance en ohms []
C La capacité du condensateur en farads [F]
• Dans l’étude expérimentale :
• R = 22 k
• C = 2 5OO F
Quelques définitions :
La source de tension du circuit électrique
U La valeur de la tension d’alimentation en volts [V]
• Avant l’instant initial :
La tension U est nulle
• A l’instant t = O
La tension prend instantanément la valeur constante E
Dans l’étude expérimentale :
La tension E est égale à 5 volts
Quelques définitions :
L’intensité du courant dans le circuit électrique
i (t) La valeur instantanée de l’intensité du courant électrique en ampères [A]
Les deux composants R et C du circuit électrique sont en série
Ils sont donc traversés par la même intensité du courant électrique.
Quelques définitions :
Les tensions aux bornes des composants R et C
uC (t) La valeur instantanée de la tension aux bornes du condensateur en volts [V]
uR (t) La valeur instantanée de la tension aux bornes de la résistance en volts [V]
Quelques définitions :
La charge instantanée dans le condensateur C
q (t) La valeur instantanée de la charge dans le condensateur en coulombs [C]
Lorsque le courant i (t) circule dans le circuit, le condensateur se charge
Il accumule des charges positives et négatives sur ses différentes plaques
La charge q (t) rend compte de l’état électrique de cette charge.
Nous obtenons donc la relation :
U = uR (t) + uC (t)
R
C
uR (t)
uC (t)U
i (t)
Appliquons la loi des mailles sur ce circuit
q (t)
Suivant le sens de parcours donné : U - uR (t) - uC (t) = O
La loi d’Ohm aux bornes de la résistance :
uR (t) = R.i (t)
Quelques relations utiles :
R
C
uR (t)
uC (t)U
i (t)
q (t)
La charge du condensateur :
q (t) = C.uC (t)
Quelques relations utiles :
R
C
uR (t)
uC (t)U
i (t)
q (t)
L’intensité du courant électrique :
i (t) =
Quelques relations utiles :
dt(t) dq
R
C
uR (t)
uC (t)U
i (t)
q (t)
R
C
uR (t)
uC (t)U
i (t)
q (t)
U = uR (t) + uC (t)
uR (t) = R.i (t)
q (t) = C.uC (t)
i (t) = dt(t) dq
=
U = uR (t) + uC (t) = + uC (t)
dt(t)du
RC c
A t = O, la tension U prend la valeur E, l’équation différentielle devient :
uC (t) + = E dt(t)du
RC c
dt(t)du
C c
1ère étape Rappel mathématique
dtdy
RC
t
ab
RC1
L’équation est de la forme : = a.y + b
La solution s’écrit donc : y = K.e -
Pour K, a et b
Ici :
La tension uc (t) s’écrit donc :
= uC (t) + dt(t)du
c
a.t
RCE
uC (t) = K.e + E
2ème étape Étude des conditions initiales
La tension aux bornes du condensateur est nulle à l’instant initial donc
uC (O) = O donc A + E = O
Nous en déduisons la valeur de A = - E
uC (t) = E.( 1 – e ) RC
t
Étude de l’intensité du courant i (t)
i (t) = e
RCE
dt(t) dq
RC
t
i (t) = = C. dt(t)du
c
uC (t) est de la forme uC (t) = E.(1 – e )
est donc de la forme = .e )
RC
t
dt(t)du
c
dt(t)du
c RC
t
RE
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