Évolution de la charge dun condensateur sous tension constante Étude qualitative Étude expérimentale Exploitation des mesures Étude de la tension aux bornes

Évolution de la charge d’un condensateur sous tension constante

Étude qualitative

Étude expérimentale

Exploitation des mesures

• Étude de la tension aux bornes du condensateur

• Étude de l’intensité du courant électrique

• Étude de la somme des tensions aux bornes de R et C

• Étude graphique de la constante de temps du circuit

Mise en équation du système

Lancer le diaporama F5

• ETUDE QUALITATIVE •

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

Le condensateur C est branché en série avec une résistance R.

C

R

• Lorsque l’interrupteur se ferme la lampe brille vivement et instantanément •• La brillance de la lampe permet d’évaluer qualitativement l’intensité du courant avec le temps •

+

-

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

Le condensateur C est branché en série avec une résistance R.

C

R

• Lorsque l’interrupteur se ferme la lampe brille vivement et instantanément •

+

-

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

La lampe brille de moins en moins avec le temps .

C

R

• L’intensité du courant électrique diminue progressivement •

+

-

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

La lampe s’éteint au bout de quelques secondes.

C

R

• L’intensité du courant électrique est pratiquement nulle •

+

-

Sommaire

• ETUDE EXPERIMENTALE •

0.00

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

La lampe est retirée, elle est remplacée par un ampèremètre.

C

R

• L’ampèremètre mesure i (t), l’intensité du courant dans le circuit électrique •

A

i (t)

+

-

0.00

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

Un voltmètre est placé aux bornes de l’alimentation stabilisée.

C

R

• Le voltmètre mesure U, la tension aux bornes de la source de tension, constante et égale à 5 volts •

A

5.00

VU

+

-

0.00

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

Un voltmètre est placé aux bornes du condensateur.

C

R

• Le voltmètre mesure uc (t), la tension aux bornes du condensateur •

A

5.00

V

0.00

V

uc (t)

+

-

0.00

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

Un voltmètre est placé aux bornes de la résistance.

C

R

• Le voltmètre mesure uR (t), la tension aux bornes de la résistance •

A

5.00

V

0.00

V

0.00

VuR (t)

+

-

0.00

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

Un chronomètre donne le temps entre deux mesures.

C

R

• L’évolution des grandeurs i (t), U, uc (t) et uR (t) est donnée en fonction du temps t •

A

5.00

V

0.00

V

0.00

V

00:00 min:sec

+

-

0.00

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

C

R

• On relève toutes les grandeurs proposées, elles seront placées dans un tableau.

A

5.00

V

0.00

V

0.00

V

L’interrupteur se ferme à l’instant « t = O ».

00:00 min:sec

+

-

0.22

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

C

R

• Pour t = 0 s

A

5.00

V

0.00

V

5.00

V

U = 5 V

i (t) = 0,22 mA

uC (t) = 0 V

uR (t) = 5 V

00:00 min:sec

Tension aux bornes de l’alimentation

Tension aux bornes du condensateur

Intensité du courant dans le circuit

Tension aux bornes de la résistance

+

-

0.19

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

C

R

• Pour t = 10 s

A

5.00

V

0.83

V

4.17

V

U = 5 V

00:10 min:sec





i (t) = 0,19 mA

uC (t) = 0,83 V

uR (t) = 4,17 V

+

-

0.16

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

C

R

• Pour t = 20 s

A

5.00

V

1.52

V

3.48

V

U = 5 V

00:20 min:sec





i (t) = 0,16 mA

uC (t) = 1,52 V

uR (t) = 3,48 V

+

-

0.08

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

C

R

• Pour t = 60 s

A

5.00

V

3.32

V

1.68

V

U = 5 V

01:00 min:sec





i (t) = 0,08 mA

uC (t) = 3,32 V

uR (t) = 1,68 V

+

-

0.03

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

C

R

• Pour t = 120 s

A

5.00

V

4.44

V

0.56

V

U = 5 V





i (t) = 0,03 mA

uC (t) = 4,44 V

uR (t) = 0,56 V

02:00 min:sec

+

-

0.005

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

C

R

• Pour t = 180 s

A

5.00

V

4.81

V

0.19

V

U = 5 V





i (t) = 5 A

uC (t) = 4,81 V

uR (t) = 0,19 V

03:00 min:sec

+

-

0.003

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

C

R

• Pour t = 240 s

A

5.00

V

4.94

V

0.06

V

U = 5 V





i (t) = 3 A

uC (t) = 4,94 V

uR (t) = 0,06 V

04:00 min:sec

+

-

Sommaire

L’ensemble de toutes les valeurs relevées sont rassemblées dans un tableau

t [s] uc (t) [V]

0 0

10 0,83

20 1,52

30 2,1

40 2,58

50 2,99

60 3,32

70 3,6

80 3,83

90 4,03

120 4,44

150 4,67

180 4,81

210 4,89

240 4,94

uR (t) [V]

5

4,17

3,48

2,9

2,42

2,01

1,68

1,4

1,17

0,97

0,56

0,33

0,19

0,11

0,06

i (t) [mA]

0,22

0,19

0,16

0,13

0,11

0,09

0,08

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0,005

0,003

• EXPLOITATION DES MESURES •


• ETUDE N ° 1 •

• Évolution de la tension aux bornes du condensateuruC (t) = f (t)

t [s] uc (t) [V]

0 0

10 0,83

20 1,52

30 2,1

40 2,58

50 2,99

60 3,32

70 3,6

80 3,83

90 4,03

120 4,44

150 4,67

180 4,81

210 4,89

240 4,94

Toutes les valeurs des mesures de la tension aux bornes du condensateursont consignées dans un tableau

Nous allons tracer la courbe de cette évolution en fonction du temps.

Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps

t [s]10

uc(t) [V]

0,5

1

2

3

4

5

0 50 100 150 200 250

t [s]uc(t) [V]

0 0

10 0,83

20 1,52

30 2,1

40 2,58

50 2,99

60 3,32

70 3,6

80 3,83

90 4,03

120 4,44

150 4,67

180 4,81

210 4,89

240 4,94

• Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.


t [s]10

uc(t) [V]

0,5

1

2

3

4

5

0 50 100 150 200 250

t [s]uc(t) [V]

0 0

10 0,83

20 1,52

30 2,1

40 2,58

50 2,99

60 3,32

70 3,6

80 3,83

90 4,03

120 4,44

150 4,67

180 4,81

210 4,89

240 4,94


t [s]10

uc(t) [V]

0,5

1

2

3

4

5

0 50 100 150 200 250

t [s]uc(t) [V]

0 0

10 0,83

20 1,52

30 2,1

40 2,58

50 2,99

60 3,32

70 3,6

80 3,83

90 4,03

120 4,44

150 4,67

180 4,81

210 4,89

240 4,94



t [s]10

uc(t) [V]

0,5

1

2

3

4

5

0 50 100 150 200 250

t [s]uc(t) [V]

0 0

10 0,83

20 1,52

30 2,1

40 2,58

50 2,99

60 3,32

70 3,6

80 3,83

90 4,03

120 4,44

150 4,67

180 4,81

210 4,89

240 4,94



L’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps

t [s]uc(t) [V]

0 0

10 0,83

20 1,52

30 2,1

40 2,58

50 2,99

60 3,32

70 3,6

80 3,83

90 4,03

120 4,44

150 4,67

180 4,81

210 4,89

240 4,94t [s]

10

0,5

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250

uc(t) [V]

5

• L’ensemble de ces croix permet de traduire l’évolution de la tension aux bornes du condensateur.

La courbe de la charge d’un condensateur soumis à un échelon de tension est la suivante

t [s]

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250

uc(t) [V]

5

uc (t) = f (t)

Sommaire



• Évolution de l’intensité du courant dans le circuit électriquei (t) = f (t)

t [s] i (t) [mA]

0 0,22

10 0,19

20 0,16

30 0,13

40 0,11

50 0,09

60 0,08

70 0,06

80 0,05

90 0,04

120 0,03

150 0,02

180 0,01

210 0,005

240 0,003

Toutes les valeurs des mesures de l’intensité du courant électriquesont consignées dans un tableau

Nous allons tracer la courbe de cette évolution en fonction du temps.

L’évolution de l’intensité du courant électrique en fonction du temps

t [s]i(t) [mA]

0 0,22

10 0,19

20 0,16

30 0,13

40 0,11

50 0,09

60 0,08

70 0,06

80 0,05

90 0,04

120 0,03

150 0,02

180 0,01

210 0,005

240 0,003

t [s]10

0,045

0,090

0,135

0,180

0 50 100 150 200 250

i(t) [mA]

0,225

• L’évolution de l’intensité du courant électrique est tracée comme précédemment.

La courbe de l’intensité du courant dans un circuit capacitifsoumis à un échelon de tension est la suivante

t [s]

0,045

0,090

0,135

0,180

0 50 100 150 200 250

i (t) [mA]

0,225

i (t) = f (t)

Sommaire



• Évaluation de la somme des tensions aux bornes des composantsuC (t) + uR (t)

t [s] uc (t) [V]

0 0

10 0,83

20 1,52

30 2,1

40 2,58

50 2,99

60 3,32

70 3,6

80 3,83

90 4,03

120 4,44

150 4,67

180 4,81

210 4,89

240 4,94

Toutes les valeurs des mesures des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance

sont consignées dans un même tableau

uR (t) [V]

5

4,17

3,48

2,9

2,42

2,01

1,68

1,4

1,17

0,97

0,56

0,33

0,19

0,11

0,06

Tracé des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance

• Les tensions aux bornes du condensateur et de la résistance en concordance des temps

uc(t) [V]

uR(t) [V]

1

2

3

4

5

t [s]10

0 50 100 150 200 250

Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance

• Prenons un point quelconque sur la courbe de uc (t)

t [s]10

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250

5uc(t) [V]

uR(t) [V]


• Prenons le point correspondant sur la courbe de uR (t)

t [s]10

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250

5uc(t) [V]

uR(t) [V]


• Repérons les deux valeurs sur l’axe des tensions.

t [s]10

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250

5uc(t) [V]

uR(t) [V]


t [s]10

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250

5uc(t) [V]

uR(t) [V]

• Faisons la somme des deux valeurs obtenues.


t [s]10

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250

5uc(t) [V]

uR(t) [V]

• La somme des deux tensions est égale à la tension d’alimentation U.


t [s]10

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250

5uc(t) [V]

uR(t) [V]

• Cette propriété reste vraie à n’importe quel instant.

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

C

Ri (t)

+

-

uR (t)

uC (t)

U

Nous venons de vérifier expérimentalement la loi additive des tensions

U = uC (t) + uR (t)

La somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance

Sommaire



• Détermination graphique de la constante de temps du circuit = R.C


• Détermination graphique de la constante de temps du circuit

PREMIERE METHODE

Tangente à l’origine = R.C

La constante de temps du circuit peut se déterminer à partir de la courbe uC (t)

t [s]10

0,5

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250

uc(t) [V]

5

• Tracer la tangente à l’origine de la courbe uC (t).

Il est nécessaire de tracer la droite d’équation U égale à la tension d’alimentation constante.

t [s]10

0,5

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250

uc(t) [V]

5

• Repérer le point d’intersection de cette tangente avec la droite caractérisant la tension d’alimentation.

La constante de temps du circuit s’obtient par projection.

t [s]10

0,5

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250

uc(t) [V]

5

• Ce point d’intersection permet de déterminer la constante de temps du circuit.

La constante de temps du circuit s’obtient par projection sur l’axe des temps.

t [s]10

0,5

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250

uc(t) [V]

5

La constante de temps du circuit est notée .

Elle est égale au produit

= R.C

Seconde méthode : Clic


• Détermination graphique de la constante de temps du circuit

DEUXIEME METHODE

Pourcentage de la tension finale = R.C

La constante de temps du circuit peut se déterminer à partir de deux droites

t [s]10

0,5

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250

uc(t) [V]

5

La première droite est celle qui correspond à la tension finale de uc (t)

t [s]10

0,5

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250

uc(t) [V]

5

• Tracer l’asymptote à la courbe uC (t) lorsque t tend vers l’infini.

Cette droite donne la tension finale de uc (t)

t [s]10

0,5

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250

uc(t) [V]

5

• la valeur de la tension finale de uc (t) est égale à la valeur de l’alimentation.

Valeur finale de la tension uc (t)

La seconde droite correspond à 95 %la tension finale de uc (t)

t [s]10

0,5

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250

uc(t) [V]

5

• Calculer la valeur égale à 95 % de la valeur de l’alimentation.

100 % de la valeur finale


Cette droite coupe la courbe uc (t) à un instant particulier correspondant à 3.

t [s]10

0,5

1

0 50 100 150 200 250

• L’instant t permet de déterminer la valeur du triple de la constante de temps.


2

3

4

uc(t) [V]

5

3

La grandeur peut donc être déterminée avec cette seconde méthode

t [s]10

0,5

1

0 50 100 150 200 250

• Un simple calcul permet de déterminer la valeur de la constante de temps.

2

3

4

uc(t) [V]

5

L’instant 3. permet de différentier deux modes de fonctionnement

t [s]10

0,5

1

0 50 100 150 200 250

• Les deux régimes, transitoire et permanent, sont déterminés graphiquement.

2

3

4

uc(t) [V]

5

3

Régime transitoire Régime établi

Sommaire

• ETUDE MATHEMATIQUE •

12 V

18 V

3 V

9 V1 0

C

R

i (t)

+

-

uR (t)

uC (t)

U

Le montage réel Le montage équivalent électrique

R

C

uR (t)

uC (t)U

i (t)

Le montage à étudier est le suivant

Les grandeurs électriques utilisées sont les suivantes

q (t)

Quelques définitions :

Les éléments du circuit électrique

R La valeur de la résistance en ohms []

C La capacité du condensateur en farads [F]

• Dans l’étude expérimentale :

• R = 22 k

• C = 2 5OO F


La source de tension du circuit électrique

U La valeur de la tension d’alimentation en volts [V]

• Avant l’instant initial :

La tension U est nulle

• A l’instant t = O

La tension prend instantanément la valeur constante E

Dans l’étude expérimentale :

La tension E est égale à 5 volts


L’intensité du courant dans le circuit électrique

i (t) La valeur instantanée de l’intensité du courant électrique en ampères [A]

Les deux composants R et C du circuit électrique sont en série

Ils sont donc traversés par la même intensité du courant électrique.


Les tensions aux bornes des composants R et C

uC (t) La valeur instantanée de la tension aux bornes du condensateur en volts [V]

uR (t) La valeur instantanée de la tension aux bornes de la résistance en volts [V]


La charge instantanée dans le condensateur C

q (t) La valeur instantanée de la charge dans le condensateur en coulombs [C]

Lorsque le courant i (t) circule dans le circuit, le condensateur se charge

Il accumule des charges positives et négatives sur ses différentes plaques

La charge q (t) rend compte de l’état électrique de cette charge.

Nous obtenons donc la relation :

U = uR (t) + uC (t)

R

C

uR (t)

uC (t)U

i (t)

Appliquons la loi des mailles sur ce circuit

q (t)

Suivant le sens de parcours donné : U - uR (t) - uC (t) = O

La loi d’Ohm aux bornes de la résistance :

uR (t) = R.i (t)

Quelques relations utiles :

R

C

uR (t)

uC (t)U

i (t)

q (t)

La charge du condensateur :

q (t) = C.uC (t)


R

C

uR (t)

uC (t)U

i (t)

q (t)

L’intensité du courant électrique :

i (t) =


dt(t) dq

R

C

uR (t)

uC (t)U

i (t)

q (t)

R

C

uR (t)

uC (t)U

i (t)

q (t)

U = uR (t) + uC (t)

uR (t) = R.i (t)

q (t) = C.uC (t)

i (t) = dt(t) dq

=

U = uR (t) + uC (t) = + uC (t)

dt(t)du

RC c

A t = O, la tension U prend la valeur E, l’équation différentielle devient :

uC (t) + = E dt(t)du

RC c

dt(t)du

C c

1ère étape Rappel mathématique

dtdy

RC

t

ab

RC1

L’équation est de la forme : = a.y + b

La solution s’écrit donc : y = K.e -

Pour K, a et b

Ici :

La tension uc (t) s’écrit donc :

= uC (t) + dt(t)du

c

a.t

RCE

uC (t) = K.e + E

2ème étape Étude des conditions initiales

La tension aux bornes du condensateur est nulle à l’instant initial donc

uC (O) = O donc A + E = O

Nous en déduisons la valeur de A = - E

uC (t) = E.( 1 – e ) RC

t

Étude de l’intensité du courant i (t)

i (t) = e

RCE

dt(t) dq

RC

t

i (t) = = C. dt(t)du

c

uC (t) est de la forme uC (t) = E.(1 – e )

est donc de la forme = .e )

RC

t

dt(t)du

c

dt(t)du

c RC

t

RE

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Évolution de la charge dun condensateur sous tension constante Étude qualitative Étude expérimentale Exploitation des mesures Étude de la tension aux bornes