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ENSEEIHT — 1ere Annee Informatique & Mathematiques Appliquees
Algebre lineaire
2003–2004
Examen
Examen d’Algebre lineaire
Tous les exercices sont independants. Rendre sur deux copies sepa-rees les exercices 1 et 2 d’une part, 3 et 4 d’autre part. Le baremeprevisionnel est indique pour chaque exercice. Seul document au-torise : une feuille de notes de cours recto-verso.
� Exercice 1. (8 points) Soit a ∈ R, on definit Aa ∈ M(3,R) par
Aa =
(a− 4) 1 2−1 (a− 1) 1−2 1 a
.1.1. Determiner le rang de Aa en fonction du parametre a.1.2. Soit b ∈ R3, resoudre Aax = b.1.3. Soit b ∈ Im A1, calculer A+
1 b.1.4. Donner, en la justifiant, la reduite de Jordan de la matrice
B =
4 −1 −21 1 −12 −1 0
.(on ne demande pas d’expliciter la base sur laquelle la reduction est faite).
� Exercice 2. (3 points) On rappelle que l’espace E = (C 0([0,2π],R),(.|.))est un prehilbertien avec, pour (x,y) ∈ E2,
(x|y) =∫ 2π
0x(t)y(t)dt.
Soit F = Vect({sin , cos}), soit x0 ∈ E defini par x0(t) = et. Justifier que x0
possede un unique projete orthogonal sur F et le calculer.
� Exercice 3. (3 points) On rappelle que l’espace
l2 = {X = (xn)n≥1 ∈ RN |∑n≥1
|xn|2 <∞}
muni du produit scalaire (X|Y ) =∑
n≥1 xnyn est un espace de Hilbert.
3.1. Soit G = {X ∈ l2 |∑k
n=1 xn = 0} (ou k ≥ 1 est fixe). Justifier que Gest un sev ferme de l2.3.2. Soit X1 = (1,0, . . . ,0, . . . ) ∈ l2, evaluer d(X1,G), la distance de X1 a G.
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Algebre lineaire Examen d’Algebre lineaire
� Exercice 4. (8 points. La question 4.3 pourra etre traitee independamment)4.1. Soit A = (aij)1≤i,j≤n ∈ M(n,R), on rappelle que tr(A) =
∑ni=1 aii.
a) Montrer que l’application (.|.) de M(n,R) × M(n,R) dans R definiepar
(A|B) = tr( tAB)
definit un produit scalaire qui fait de M(n,R) un espace euclidien quel’on notera E.
b) Soit O ∈ O(n,R) une matrice orthogonale, montrer que pour la normedefinie par le produit scalaire precedent (norme de Frobenius) on a
‖AO‖ = ‖A‖
pour toute matrice A ∈ M(n,R).4.2. Soit A ∈ M(n,R) de rang r < n et de valeurs singulieres σ1, . . . ,σr, oncherche les matrices orthogonales les plus proches de A au sens de la normede Frobenius, i.e. solutions de{
Min ‖A−O‖O ∈ O(n,R)
(1)
a) Montrer que, pour toute matrice orthogonale O,
‖A−O‖2 ≥r∑i=1
(1− σi)2 + (n− r).
b) En deduire l’ensemble des solutions de (1).4.3. Application :
A =[
1 −4−3 12
].
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