Langage ensemblistetomlr.free.fr/Math%E9matiques/Fichiers%20Claude/A... · E E EE ZZ ZZ P P PP P 22 22 23 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Alg ebre lin eaire EPFL - CMS fgfgfg ˆˆ ˆ6ˆ ˆ6ˆ

E

∗ ∗

∗

∗ −

3

2

2

2

2

1.

2.

3.

ZZ ZZ

ZZ ZZ

ZZ

ZZ

Langage ensembliste

A n n <

B n n

C x y , x y

D a a

E x y , x y

F x x

G n < n <

H x x < x >

I x x >

J x x x x

K x x x x

L m n , m n

U, V

N M U M V M

P M U M

Q M MU MV

K

L / /

A

B

C

N AAB

{ ∈ | }{ ∈ | }{ ∈ | ∃ ∈ }{ ∈ | ∈ }{ ∈ | ∃ ∈ }{ ∈ | − }{ ∈ | }{ ∈ | | − | }{ ∈ | | | }{ ∈ | − 6∈ }{ ∈ | − − ∈ }{ ∈ | ∃ ∈ }

{ ∈ E | }{ ∈ E | }{ ∈ E | }

−{− − − }{ · · ·}{−√ √

}

√6∈

⊂

∈

∈ ∅

{ } ∈ { }

{ } ⊂ { }

∅ ⊂

{ } 6⊂ { }

Enumerer les elements des ensembles suivants ou les expliciter :

i) = N 2 + 1 16

ii) = N est impair

iii) = N N = 3 + 1

iv) = 6

v) = = 4

vi) = Q 2 = 0

vii) = N 2 3 + 1 20

viii) = R 3 5 et 2

ix) = R + 5 4

x) = R 3 14 + 8 = 0 et N

xi) = 3 10 = 0 ou N

xii) = N =

Soient l’ensemble des points du plan et 2 points fixes distincts:

xiii) = distance de a = distance de a

xiv) = distance de a est inferieure a 2

xv) = l’angle saillant entre et est droit

Decrire les ensembles suivants a l’aide d’une propriete caracteristique de leurs elements :

i) = l’ensemble des entiers positifs ou nuls multiples de 5.

ii) = l’ensemble des entiers compris entre 3 2 et 9 2.

iii) = 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3

iv) = 3; 10; 17; 24;

v) = 5; 5

vi) = l’ensemble des points du demi-plan contenant dont la frontiere est lamediatrice du segment .

Est-il juste ou faux d’ecrire les relations suivantes ?

i) 4 N

ii) N N

iii) Q Q

iv) 2

v) 1 1; 4; 5

vi) 4 1; 4

vii) R

viii) 2; 5 2; 4; 6

E

E

E E

ZZ

ZZ

P

P

P PP

2 2

2 2

2 3

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Algebre lineaire EPFL - CMS

{ } { } { }

⊂ ⊂

⊂ 6⊂

⊂ 6⊂

⊂ 6⊂

{ ∈ | ≤ } { ∈ | − }{ ∈ | − } { ∈ | }{ ∈ | ≤ } { ∈ | }

{ }

{{ } { } { } { }}

{ }{ } ⊂

{ } ∈

{ } ∈

{{ }}

∈

⊂

∈

{{ } { }}

⊂ ⊂

∪ { }{ }{ }

⊂∪ ∪ { }

∩ ∅∪ { }

{ }∩ { }∪ { }

∩ ∩ ∅ ∩ ∩ ∩

A , B , C X

X B X C

X B X C

X A X B

X C X B

A n n B x x x

A x x B x x

A x x B x x x

E E

E

E

F

A a b

a A

a A

a A

a b A

A A

A A

A A

a b A

A E B E A, B E

A B

C A

C B

A, B, C E A, B, C E

C A B CB CA B

C BA CA C

A, B, C A B C A B, A C, B C

2

Soient = 1; 2; 3; 4 = 1; 2; 3 = 2; 4 ; trouver tous les ensemblesverifiant:

i) et

ii) et

iii) et

iv) et

Lesquels parmi les paires d’ensembles suivants sont-ils egaux?

i) = 4 et = R 3 + 2 = 0

ii) = R = 1 et = Q = 2

iii) = 1 et = R =

On note par ( ) l’ensemble de toutes les parties d’un ensemble .

Soit = 1; 2; 3 :

i) Enumerer les elements de ( );

ii) Definir = 1 ; 1; 2 ; 1; 3 ; 1; 2; 3 par une propriete caracteristiquede ses elements.

On considere = ; ; est-il juste ou faux d’ecrire les relations suivantes ?

i)

ii)

iii) ( )

iv) ; =

v)

vi)

vii) ( )

viii) ; = ( )

Soient et ; quels sont les elements de et si:

= 2; 3; 5; 7; 8; 9; 10

= 1; 4; 5; 6; 8; 9

= 1; 2; 3; 4; 6

Soient ; quels sont les elements de et sachant que:

( ) = 1; 8; 12== 2; 3; 4; 5; 7; 9

= 1; 2; 5; 6; 8; 10; 11; 12= 5= 2; 3; 4; 5; 6; 10; 11

Trouver des ensembles tels que : = mais nine sont vides.

∗

P

C

C

B

2

+2

2

+

2

11.

12.

13.

14.

15.

ZZ ZZ

ZZ ZZ

ZZ ZZ

ZZ ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

Exercices Langage ensembliste

n , n

A x x x >

B x x >

C x x

A B

A B

A B C

A B C

C A B

C A B

A x x <

B x x

A B

H A B

G , F K G F G

A x y , B x C t z y

A Bz A

C B

Ct C

∈

∩∩∩

{ ∈ | − }{ ∈ | − }{ ∈ | − ≤ }

∩

∪

∪ ∩

∩ ∪

∩

∪

{ ∈ | ≤ }{ ∈ | − ≤ ≤ }

××

{ } {− } × ∩ × ∪

{ } { } { }

∈ ×{ } ∈∩ ∅

{ } ⊂∈ { } ∪ { }

3

On note par N , l’ensemble des multiples de n dans ; expliciter lesensembles suivants :

i) 6 4

ii) 7 2

iii) 3 5

Soient:

= R + + 12 0

= R ( 1) 0

= R 25 0

Remarque : R = ensemble des nombres reels positifs ou nuls.

Expliciter:

i)

ii)

iii) ( )

iv) ( )

v) ( )

vi)

vii) peut-on trouver une formulationequivalente dans les cas iii) et iv) ?

On donne:

= 1 4

= 2 3

i) Representer graphiquement .

ii) Trouver un sous-ensemble de qui soit un ensemble produit, et unautre qui ne le soit pas.

Soient = 1; 2 = 1; 0; 1 . Exprimer = (( ) ( N)) commeproduit de 2 ensembles a determiner.

Trouver les parties = 1; 3; ; = 2; ; 4 et = 1; ; ; de N sachantque :

(3; 5)1; ( )

=

3; 1; 64; 5 0

⋃

⋃

P P

∈

∈

2

2

2

k E

k I

ZZ

ZZ

ZZ

16.

17.

18.

19.


A x x <

B x < x

C x y y x

A B C

A

E x x <

B k k

D x y y x

B A D

A

I

B k k

D x y x y

A B D

E E

{ ∈ | − ≤ }{ ∈ | − ≤ }{ ∈ | − }

× ∩

→{ ∈ | − ≤ }

{ ∈ | − }

× ∩

− →{− − }

{ ∈ | ≥ | | ≤ }

× ∩

{ }

4

Soient:

= 1 4

= 1 3

= ( ; ) R = + 1

Representer graphiquement ( ) .

Soient:

= ]0; [

= 2 4 4

= ] ; + 1]

= ( ; ) R + 3 = 0


Soient:

= ] 3; [

= 3; 1; 1; 3

= ] ; + 1]

= ( ; ) R 4 ou 2


Expliciter ( ( )) ou = (0; 1) .

2

∗

E

ZZ

ZZ

ZZ

1.

2.

3.

4.

Reponses

Reponses Langage ensembliste

A

B . . .

C . . .

D

E . . . . . .

F

G

H

I

J /

K . . .

L

N UV

P U

Q UV

K x k , x k

L x / < x < /

A x x

B x k , x k

C x x

N M d M A d M Bd

,

, , , , ,

{ }{ }{ }

{ − − }∅{ }

← − ∪ − →{ }{− }{ }

{ ∈ | ∃ ∈ }{ ∈ | − }{ ∈ | | | ≤ }{ ∈ | ∃ ∈ }{ ∈ | − }

{ ∈ E | ≤ }

∈

⊂

6∈ ∅

{ } ⊂ { }

∅ { }{ } { } { } { } { } { }

5

i) = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

ii) = 1; 3; 5; 7;

iii) = 1; 4; 7; 10; 13; 16;

iv) =

v) = 8; 4; 0; 4; 8; 12;

vi) =

vii) = 1; 2; 3; 4; 5; 6

viii) = ]2; 8[

ix) = ] ; 9[ ] 1; [

x) = 2 3

xi) = 2; 1; 2; 3; 4;

xii) = 1

xiii) = ensemble des points de la mediatrice .

xiv) = ensemble des points du disque de centre et rayon 2, frontiere non-comprise.

xv) = ensemble des points du cercle de Thales du segment , extremites non-comprises.

i) = N N = 5

ii) = 3 2 9 2

iii) = 3

iv) = N N = 3 + 7

v) = R 5 = 0

vi) Soit l’ensemble des points du plan; = ( ; ) ( ; ) , oudesigne la distance.

i) faux : 2 N

ii) juste

iii) faux : Q Q

iv) faux : 2

v) faux : 1 1; 4; 5

vi) juste

vii) juste

viii) juste

i) 2

ii) 1 3 1; 2 1; 3 2; 3 1; 2; 3

+

C

C

P

P P

ZZ ZZ ZZ

ZZ ZZ ZZ

ZZ ZZ ZZ

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.


, , , , , , ,

,

A B A B

A B

A B

EF X E X

a A

a b A

A A

a b A

ABE

ABCE

A , B , C

. . . . . . , ,

. . . . . .

. . . . . .

ABC

A B

A B

A B C

A B C

C A B

C A B

A B C A B A CA B C A B A C

{ } { } { } { } { } { } { } { }{ } { }

6 − ∈ − 6∈∅{− }

{∅ { } { } { } { } { } { } { }}{ ∈ P | ∈ }

{ } ⊂

{{ }} ⊂

⊂

{{ } { }} ⊂

{ }{ }{ }

{ }{ }{ }{ }

{ } { } { }

∩ { − − }∩ { − − }∩ { − − }

−− { }

−∩ ∪

∪ − →

∪ ∩ −

∩ ∪ −

∩ − ∪{ } ∪

∪ − − ∪ ∪ →

∪ ∩ ∪ ∩ ∪∩ ∪ ∩ ∪ ∩

6

iii) 4 1; 4 2; 4 3; 4 1; 2; 4 1; 3; 4 2; 3; 4 1; 2; 3; 4

iv) 4 2; 4

i) = : par exemple : 1 mais 1

ii) = =

iii) = = 1; 0; 1

( ) = ; 1 ; 2 ; 3 ; 1; 2 ; 1; 3 ; 2; 3 ; 1; 2; 3= ( ) 1

i) juste

ii) faux :

iii) juste

iv) faux : ; ( )

v) faux :

vi) juste

vii) juste

viii) faux : ; ( )

= 2; 3; 7; 10= 5; 7; 8; 9; 10= 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10

= 2; 3; 4; 5= 3; 4; 7; 9= 5; 6; 10; 11= 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12

= 1; 2 = 1; 3 = 2; 3 par exemple.

i) 6 4 = 24; 12; 0; 12; 24; = 12 12 = ppcm (6 4)

ii) 7 2 = 28; 14; 0; 14; 28; = 14

iii) 3 5 = 30; 15; 0; 15; 30; = 15

= ] 3; 4[= R 1= [ 5; 5]

i) = [0; 1[ ]1; 4[

ii) = ] 3; [

iii) ( ) = ] 3; 5]

iv) ( ) = ] 3; 4[

v) ( ) = [ 5; 0[ 1 [4; 5]

vi) = [ 5; 3] [0; 1[ ]1; [

vii) ( ) = ( ) ( )( ) = ( ) ( )

3

2

1

0

-1

-2

1 2 3A

B A × B

3

2

1

01 2 3

A

B

-1

C

A × B

(A × B) ∩ C

2

13.

14.

15.

16.

M B

A B

K

ABC

ABC x y y x

Reponses Langage ensembliste

{ − − } { }×

{ } ⊂ ×

{− } × { }

{ }{ }{ }

{− }{ }{ ∈ | − }

7

i)

ii) Par exemple := (3; 2); (3; 1); (3; 0); (3; 1); (3; 2); (3; 3) = 3 est un ensemble

produit;(1; 1); (2; 2) n’est pas un ensemble produit.

= 1; 0; 1; 2 1; 2

= 1; 3; 5; 6= 2; 4; 5= 1; 0; 3; 6

= 1; 0; 1; 2; 3= 0; 1; 2; 3= ( ; ) R = + 1

-4 -3 -2 -1 1 2 3

D

B

A

Β × Α

(Β × Α) ∩ D

0

y

x

-3

-2

-3 4

3

4

2

2

PP P

17.

18.

19.

ABD x y x y

ABD x y x y

EE


→− − ∪ − − ∪ ∪{ ∈ | − }

− →− − ∪ − ∪ ∪{ ∈ | ≥ | | ≤ }

{∅ { }}{∅ {∅} {{ }} {∅ { }}}

8

= ]0; [= ] 4; 3] ] 2; 1] ]0; 1] ]2; 3]= ( ; ) R + 3 = 0

= ] 3; [= ] 3; 2] ] 1; 0] ]1; 2] ]3; 4]= ( ; ) R 4 ou 2

( )) = ; (0; 1)( ( )) = ; ; (0; 1) ; ; (0; 1)

1.

2.

3.

4.

2

2

2 2 2 2

2

2

3

Logique et methodes de preuve

∃ ∈ | |∀ ∈ 6∀ ∈ { } − ≤∀ ∈ { } ∃ ∈∀ ∈ ≤

∀ ∈ −∀ ∈ ⇒ ∃ ∈

−

∪ ∩ ⇒∩ ∅ ⇐⇒ ⊂

x , x

x , x

x , x

x A , y A, x y <

a b , a b a b

ABCDABCDABCDABCD

α dd αd g α

n , n n

n , n k N, n k

n n n

A B E

A B A B A B

A B A B

Ecrire, en langage quantifie, la negation des propositions P suivantes et determinersi l’on a P ou non P vrai.

i) R = 0

ii) R = 0

iii) 1; 2; 3; 4 10 0

iv) = 1; 2; 3 + 2 10

v) ( ; ) N + ( + )

Former des implications ou equivalences avec les propositions suivantes :

i) P : le quadrilatere est un parallelogrammeQ : le quadrilatere est un losange qui a un angle droitR : le quadrilatere est un carreS : le quadrilatere a des angles opposes egaux

ii) Soient un plan et une droite non contenue dans ce plan :P : la droite est normale au planQ : la droite est perpendiculaire a une droite de

En utilisant la methode directe, demontrer les propositions suivantes :

i) N est pair

ii) N impair = 8 + 1

iii) Si est un entier positif alors est un multiple de 3 (Utiliser la disjonctiondes cas).

Soient et des sous-ensembles de . Demontrer les propositions suivantes :

i) par la methode directe : = =

ii) par la contraposee : =

2

ZZ ZZ

∗

· ·∗

∗ − ∗

5.

6.

7.

8.

n

n n nnn

nn n

n n

n

n

n


+

12

11 2

12 3

1( +1) +1

2 2 2 +1 2 12

+1

0 1 2 1

3

∀ ∈ √ 6√ √

∀ ⊂ ∅ ⊂√

∀ ∈ ≥∀ ∈ ≥

∀ ∈ − − − −∀ ∈ ∀ ∈ − − ∀ ∈∀ ∈ ≥∀ ∈ ≥ ≤

≥

∀ ∈∀ ∈ − ⇒∀ ∈ ⇒∀ ∈ ∀ | | ⇒

x y x y

x, y , x y x y

A E, A

n n S . . . . . . n n n

n n S . . . . . .

n S . . . . . . n n n

n x , x x x x . . . . . . x x n

n n < n

n n n

n

ABC D AB EAC DE BC

a, b , a b ab

x, y , x x > x < x >

n, m , m n m n

a , ε > , a < ε a

10

Ecrire les theoremes suivants en langage quantifie; determiner le referentiel, l’hypothese,la conclusion et faire la demonstration.

i) On peut diviser n par m lorsque n est un sous-ensemble de m , n et m etantdes entiers positifs.

ii) Le carre d’un entier positif impair est impair.Ecrire le theoreme reciproque et le demontrer; en deduire 2 nouveaux enonces.

En utilisant une preuve par l’absurde, montrer que :

i) Si est irrationnel et rationnel alors + est irrationnel

ii) R + = +

iii)

iv) 2 est irrationnel

v) Si une droite determine sur 2 cotes d’un triangle des segments proportionnels,alors elle est parallele au troisieme cote.

Demontrer par recurrence :

i) N et 1 : = 1 + 2 + 3 + + = ( + 1)

ii) N et 1 : = + + + =

iii) N : = 1 2 + 3 + ( 1) = ( 1) ( + 1)

iv) N : R (1 )( + + + + ) = 1 N

v) N et 4 : 2 !

vi) N et 4 : ! 2

vii) 3 + 1 est un multiple de 7 pour tout n impair et 1

Ecrire l’enonce contrapose des theoremes suivants (on ne demande pas de demonstration):

i) Soient un triangle et le milieu du cote . Si est le milieu du cotealors est parallele a .

ii) N si ou sont pairs alors est pair.

iii) R ( 3) 0 0 ou 3

iv) N + = 0 = 0 et = 0

v) R 0 = 0

′

2

2

2

9.

10.

11.

12.

{ ∈ | } { ∈ | }∀ ∈ ⇒

∀ ∈ ≤ ⇒ ≤∀ ∈ ∈ ⇒ ∈∀ ∈ ⇒ −∀ ∈ ⇒∀ ∈ ⇒ ∃ ∈

Exercices Logique et methodes de preuve

P Q EA x E x B x E x

x E, x x

x , x x

x , x x

x , x x x

n m , n m n m

a b , a < b x , a < x < b

EABCD

ABC

d αα α d d

π a b

11

Soient et deux proprietes definies sur un referentiel , et les ensembles= verifie P et = verifie Q .

On considere la proposition T : P( ) Q( ).Pour montrer que T est fausse, on montre que non T est vraie; determiner non T enutilisant le langage ensembliste et justifier ainsi la construction du contre-exemple.

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?Dans le cas ou la proposition est fausse, donner un contre-exemple.

i) R 2 0

ii) R R Q

iii) R 2 = 8 = 2 ou = 2

iv) ( ; ) N + = 0 = = 0

v) ( ; ) R Q

vi) Un nombre est irrationnel lorsqu’il s’ecrit comme produit de deux nombresirrationnels.

vii) a et b etant irrationnels, leur quotient est irrationnel.

Determiner le referentiel dans lequel le theoreme suivant est vrai :est un losange si et seulement si ses diagonales se coupent a angle droit.

Dans chacun des theoremes qui suivent determiner l’hypothese et la conclusion. Deplus, verifier si la proposition reciproque est vraie ou fausse. On ne demande pasde demonstration; mais donner un contre-exemple lorsque la proposition est fausse.

i) Theoreme de Thales : une parallele a un cote d’un triangle determinesur les deux autres cotes des segments proportionnels.

ii) Dans un parallelogramme, les cotes opposes sont egaux deux a deux.(Definition : un parallelogramme est un quadrilatere convexe dont les cotesopposes sont paralleles)

iii) Dans un parallelogramme, les diagonales se coupent en un point qui est lemilieu de chacune d’elles.

iv) Les angles de deux triangles egaux sont egaux.

v) Les diagonales d’un losange se coupent a angle droit.

vi) La condition necessaire pour qu’une droite non contenue dans un plan soitparallele a est qu’il existe dans une droite parallele a .

vii) Tout plan coupant l’une des deux paralleles et coupe aussi l’autre.

12 Algebre lineaire EPFL - CMS

ZZ ZZ∗ ∗

∗

∗

′ ′

2

2

2 2 2 2

2

+

Reponses

1.

2.

5.

6.

8.

Reponses Logique et methodes de preuve

∀ ∈ | | 6∈

∃ ∈∈

∃ ∈ { } −

∃ ∈ { } ∀ ∈ ≥∈

∃ ∈

⇐⇒⇐⇒

⇒⇒

⇒⇒

⇒

∀ ∈ ⊂ ⇒ ∃ ∈∀ ∈ ∃ ∈ ⇒ ∃ ∈

∃ ∈ √ √ √

∃ ⊂ ∅ 6⊂√ √

∈

∈

∀ ∈∀ ∈ ≥ ≤ ⇒ − ≤∀ ∈ 6 6 ⇒ 6∀ ∈ 6 ⇒ ∃ | | ≥

x , xx

x , x

x , x >x

x A , y A, x yx y A

a b , a b > a b

P SQ R

Q PR P

R SQ S

P Q

n, m n m k n km

x , k , x k l , x l

x y x y

x, y x y x y

A E, Aa

b, a, b a, b

E AC DE //BC .

ABC D AB DE BCE AC

a, b , ab a b

x, y , x x x x

n, m , m n m n

a , a ε > , a ε

13

i) Non P: R = 0P vrai, car = 0 R.Non P faux.

ii) Non P: R = 0P faux, car 0 R.Non P vrai.

iii) Non P: 1; 2; 3; 4 10 0P faux, pour = 4, l’inegalite n’est pas verifiee.Non P vrai.

iv) Non P : = 1; 2; 3 + 2 10P faux, pour = 3, il n’existe pas de tel que l’inegalite est verifiee.Non P vrai.

v) Non P: ( ; ) N + ( + )P vrai.Non P faux.

i) ==

==

ii) =

i) N ; = N tel que =

ii) N N = 2 + 1 = N = 2 + 1

Indications :

i) supposer : irrationnel, rationnel et + rationnel

ii) supposer : R tel que + = +

iii) supposer :

iv) supposer : 2 rationnel cad : 2 = N et ( ) = 1

v) supposer qu’il existe ( ) tel que dans un triangle ABC

i) Soient un triangle, le milieu de . Si n’est pas parallele aalors n’est pas le milieu de .

ii) N si est impair alors et sont impairs.

iii) R 0 et 3 ( 3) 0

iv) N = 0 ou = 0 + = 0

v) R = 0 0

′

∃ ∈

√

√ √

√ √

∃ ⊂

9.

10.

11.

12.


x E, x x

x

x

a b

a b

E

ABCDE //BCDA

DB

EA

EC

ABCDAB DCAD BC

ABCD

ABCD

d αd α, d α

a b π aπ b

14

non T : P( ) et non Q( )

i) Faux; contre-exemple : si = 1 : l’hypothese est vraie et la conclusion estfausse.

ii) Faux; contre-exemple : si = 2 : l’hypothese est vraie et la conclusion estfausse.

iii) Vrai

iv) Vrai

v) Vrai

vi) Faux ; contre-exemple : si = 2 et = 2 : l’hypothese est vraie et laconclusion est fausse.

vii) Faux ; contre-exemple : si = 2 et = 2 : l’hypothese est vraie et laconclusion est fausse.

= ensemble des parallelogrammes.

i) Hypothese: est un triangle

Conclusion: =

La reciproque est vraie.

ii) Hypothese: est un parallelogrammeConclusion: =

=


iii) Hypothese: est un parallelogrammeConclusion: les diagonales se coupent en leur milieu


iv) Hypothese: deux triangles egauxConclusion: leurs angles sont egaux

La reciproque est fausse (triangles semblables).

v) Hypothese: est un losangeConclusion: les diagonales se coupent a angle droit

La reciproque est fausse (rhomboıde).

vi) Hypothese: parallele aConclusion: parallele a


vii) Hypothese: parallele a , coupeConclusion: coupe


ZZ

ZZ

1.

2.

3.

4.

Fonctions

− −

−

− −

−

− − − −

+ +

2

2

2

2

2

2

1 1

1

2

1 1

1

1 1 1 1

{ } { }

{ }{ }{ }{ }

{ ∈ × | }

{ ∈ × | }

{ ∈ × | }

{ ∈ × | − }

{ ∈ × | − }

{− − } { ∈ | − ≤ ≤ }−→ − | | −

{− } {− } { }{− − − }

−→7−→ − | | −

−∩ − − − −

∩ ∩

E a b c d FE F

b c d e a

d c a d b

a b c d

a b d

A x y yx

x

B x y yx

x

C x y y x

D x y yx

x

E x y yx

x

A , B x xf A B f x x x .

f , f , f , f ,f

f

x f x x x

f

f , f , f A , f B ,f A B A B /

f A f B f A B , f f A A

Soient = ; ; ; et = 1; 2; 3; 4; 5; 6 . Parmi les ensembles suivants,lesquels definissent le graphe d’une fonction de dans ?

i) ( ; 1); ( ; 3); ( ; 5); ( ; 3); ( ; 6)

ii) ( ; 6); ( ; 5); ( ; 4); ( ; 4); ( ; 3)

iii) ( ; 3); ( ; 3); ( ; 3); ( ; 3)

iv) ( ; 5); ( ; 5); ( ; 2)

Parmi les ensembles suivants, lesquels definissent le graphe d’une fonction ?Si il y a lieu, modifier les ensembles de depart ou d’arrivee de maniere a definir unefonction.

i) = ( ; ) R R =+ 2

ii) = ( ; ) R =+ 2

iii) = ( ; ) R R = + 1

iv) = ( ; ) Q Q =2

v) = ( ; ) R R =2

Soient = 2; 1; 0; 1; 2 = 4 0 et l’application: telle que ( ) = 2

i) Enumerer les elements du graphe de f et le representer graphiquement.

ii) Enumerer les elements de : ( 1; 0 ) Im ( 2 ) ( 0 )( 3; 2; 1 )

Soit:

: R R

( ) = 2

i) Representer graphiquement .

ii) A l’aide de i), expliciter : Im (] 1; 0]) ( ) ( )( ) ou = [ 3; 2[ et =] 9 4; 1].

iii) Comparer ( ) ( ) et ( ) ( ( )) et .

{

E a

ZZ

−

−

∗

−

−

5.

6.

7.

8.

9.

(1+ )

1

2

1

2

2

2+

2

1

2 2

2 2 2 2

1


− −→7−→

−→7−→ −

−→

7−→ − − 6

×−

−→7−→ −

−→7−→ | |

{ }

−→7−→ −

{ }

g

a g a a

E xg g

fx E x

g

xx x

x

E x

f g f g

f g

g F F

h

n h n n n

h

f

x y f x y x y

f f

f

x y x y x y

f

f f

16

On considere l’application:

: ] 1; 2[ R

( ) =

Rappel: ( ) = fonction partie entiere.A l’aide de la representation graphique de , expliciter ([1; 4[).

On donne les applications:: R R

2 ( sin ): [0; 3] R

( 2) si = 22 si = 2

Rappel: ( ) = fonction partie entiere.

i) A l’aide des graphes de et , expliciter Im et Im .

ii) Representer graphiquement les elements de Im Im .

iii) Determiner ( ) lorsque =] 2; 1].

Soit:

: N

( ) = ( + 1; 9)

Expliciter et representer graphiquement Im .

Soit:

: R R

( ; ) ( ; ) = +

Expliciter et representer graphiquement ( ( (1; 0) )).

Soit l’application:

: R R

( ; ) ( + ; )

i) Expliciter Im et le representer graphiquement.

ii) Enumerer les elements de ( ( (3; 1) )).

PP P

P

′

− ′ ′

−

∗ ∗

1

1

2

2

2

2 2

+ +

2 4

Exercices Fonctions

10.

11.

12.

13.

14.

15.

{ }

{ } { } { }−→ { }

−→

◦◦ { }◦ { }

× −→7−→

−→ ×7−→ −| |

⊂ ◦ ∀ ∈

− −→7−→ −| |

−→7−→√

⊂◦

{ ∈ | − ≤ − }

−→7−→ −

−→7−→ − | |

◦◦

⊂ −→ ×7−→ −

Ap

A

p

p

E a b , F e i G c d ef E F a e b

g F G g g e g i c g d

g f

g f A A a b

g f B B d e

gx y x/y

h Ax x x

A g h x x, x A

f Ax x

g Ax x

A f gg f

E x x < < x <

f Ex x x x

gx y x y

g f

g f

f A

x x x

A f

f

17

Soit l’ensemble des plans de l’espace et un point fixe de l’espace; on considerel’application qui a tout plan Π de associe un plan Π de parallele a Π et

passant par .

i) Expliciter Im .

ii) Expliciter ( Π ), Π etant un plan fixe de .

Soient = ; 4; ; 3 = 3; ; ; 5 et = ; ; .On considere les applications: : definie par : ( ; 3); (4; ); ( ; 5); (3; 5)et l’application: : definie par : (3) = ( ) = ( ) = et (5) = .

i) Definir

ii) Enumerer les elements de ( )( ) ou = ; ; 3 .

iii) Enumerer les elements de ( ) ( ) ou = ; .

On considere:: R R R

( ; ): R R

( ; )

Trouver R tel que ( ) = .

Soient:: [ 2; 2] : R

+ 2

Determiner tous les ensembles R tel que et soient des applications, puisdefinir .

Soient = R 2 0 ou 1 2 et les deux applications:

: R( ; + )

: R R( ; ) ( ; )

i) Definir .

ii) Definir Im( ) et le representer graphiquement.

Soit:

: R R R

( + 1; 1)

i) Determiner le plus grand intervalle de R pour que soit une application.

ii) Expliciter Im et faire sa representation graphique.

{

E

ZZ

−

−

−

P

P P P P

+ +

1

2

2

2

1

1

16.

17.

18.

19.

20.


× −→

7−→ 6

◦ { }

⊂ −→7−→

⊂

−→7−→

◦×

{ }

{ }

6 ∅

−→7−→

−→7−→ ∪

◦◦

g

x yx/y y

y

g f

f A

x x x

A f

f

g / A

x πx

h f g h

h / /

E a b c E E ac

gg , g , g , g

g

E E A EA

f E EX C X

g E EX A X

f g

f g

18

iii) Soit:

: R R R

( ; )si = 0

2 si = 0

Determiner ( ) ( 2 ).

Soit:

: R R

( + 2; + 1)

i) i. Determiner le plus grand sous-ensemble de R sachant que Im [0; 10] .

ii. Expliciter Im , et le representer graphiquement.

ii) On considere l’application:

: [1 2; 2]

sin( )

i. Definir = et representer graphiquement Im .

ii. Calculer ([3 2; 5 2] [1; 2]).

Soit = ; ; ; definir toutes les bijections de dans telles que l’image desoit .

Soit la bijection de 1; 2; 3; 4 dans lui-meme definie par:(1) = 2 (2) = 3 (3) = 4 (4) = 1.

Definir .

Trouver une bijection de N dans .

Soient un ensemble, ( ) l’ensemble de ses parties et une partie fixee de ,avec = . On considere les applications:

: ( ) ( ) : ( ) ( )

i) Definir

ii) Montrer que n’est pas surjective.

−

−

−

−

∗

21.

22.

23.

24.

1

2 2

2 2

1

2

2+

2

2 2 2 2

2

Exercices Fonctions

f

x x / x

f

f

x x / x

f

fA f

f A

x x / x

f

g

x x / x

g

g

fx y x y x y

g

u v

u v

u vu v

/ u v

f

g f

g fB g f

− { } −→ − { }7−→ − −

− {− } −→7−→ −

− {− } −→7−→ −

−→7−→

−→7−→ −

−→

7−→ − − 6

−

◦◦

⊂ ◦

19

En admettant que:

: R 3 R 1

( 2) ( 3)

soit bijective, definir .

Soit:

: R 1 R

( 1)

i) Montrer que est injective.

ii) Chercher Im .On pose = Im . Montrer que:

: R 1

( 1)

est bijective; definir .

On considere :

: R R

( + 9) 2

i) Definir Im .

ii) Montrer que n’est ni surjective, ni injective.

Soient:: R R

( ; ) ( + ; ): R R

( ; )

+

+ 2si + 2 = 0

1 2 si + 2 = 0

i) Montrer que est injective.

ii) Definir .

iii) Montrer que n’est pas surjective.Determiner le plus grand intervalle R tel que soit surjective.

−

−

+2

1

2

1

25.

26.

27.

28.


× −→7−→

× −→ ×

7−→ − 6

−

◦{ }

− { } −→

7−→ −

◦ ◦

gt z t z

f

x y

x

xy x

y x

f f

h g f

hh

j /

kk

k

j j

f E F

E Ff d

~v ~v d

E Ff

E NF O Nf N E F

EN

g , f g g f

f ~a g ~b

f a g b

f O ϕ g Oθ

20

Soient:

: R R R( ; ) ( + 4)

: R R R R

( ; )(1

; ) si = 1

( 2; ) si = 1

i) Expliciter Im et donner la representation graphique de Im .

ii) Definir = .

iii) Expliciter ( 0 ) et le representer graphiquement.Montrer que n’est pas injective.

On considere:

: R 1 2 R

+ 12

2 1

Montrer que n’est pas surjective, puis restreindre l’ensemble d’arrivee pour quesoit surjective.

Parmi les applications de dans suivantes, lesquelles sont bijectives ?

i) = = ensemble des points du plan;: projection des points du plan sur une droite donnee, parallele a une

direction ( non-parallele a ).

ii) = = ensemble des points d’un cercle;fait correspondre a tout point du cercle son oppose diametral.

iii) = ensemble des points d’une sphere Σ, excepte un point fixe ;= plan tangent a Σ en , point diametralement oppose a .est la projection de centre , des points de sur .

iv) Meme situation que iii) mais on restreint aux points de la demi-sphere con-tenant .

Etudier les bijections et du plan, dans les cas suivants:

i) : translation de vecteur et : translation de vecteur

ii) : symetrie d’axe et : symetrie d’axe .

iii) : rotation de centre et amplitude et : rotation de centre etamplitude .

π

−

−

◦ ◦◦ ◦ ◦

29.

30.3

2 3 2 1 2

1

Exercices Fonctions

O ϕO

r O sO

r r r, r r r, r

r s, s r, r s

21

Montrer que toute rotation de centre et amplitude est la composee de 2symetries d’axes passant par .

Soient une rotation de centre et amplitude , et une symetrie d’axe passantpar .

i) etudier : = = ( )

ii) etudier : ( ) .


fG

ZZ

ZZ

Reponses

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Reponses Fonctions

−

− −

− −

−

− − −√ √

−

− − −

− −

−

−

′ ′ ′ ′ ′ ′

−

2

1 1

1 1

1

1 1 52

12

12

12

12

1+ 52

1 12

12

12

12

1 1 1

1 1

1

1

2

1 2 2

e E

d

c

x y

x , x y xx y y x

x y

B

f , f , f , ff , f

f / , f / ,f A ,

f B ,f A B

f A B f A f Bf f A / A f f A A

g

fg

g F

h n m n , m n n

f f x y y x

6∈

− ∈∈ ×

∀ ≥ −∈ − → × −

√

−√ √

∈ − {−√ √

} ×

{− − − − }

{ − − − − − }{− } {− } {− } {− } {− } {− − − }{− } { } {− }

− → − − −− ∪

− ∪ − ∪∩ − − ∪ − ∪ ∪∩ ∩

− − 6 ⊂

− ∪

{− }− ∪{ }−√

∪

{ ∈ | ≥ − }

{ } { ∈ | | | − }

23

i) non car

ii) non car a 2 images

iii) oui

iv) non car n’a pas d’image.

i) oui

ii) non car 2 n’a pas d’image;oui par exemple si ( ; ) N R

iii) non car 1 a deux images dans R definies par = + 1;oui par exemple si ( ; ) [ 1; [ R (image definie par = + 1)

iv) oui

v) non car 2 et 2 n’on pas d’images; oui si par exemple( ; ) (R 2; 2 ) R.

= 4; 3; 2; 1; 0

i) = ( 2; 0); ( 1; 2); (0; 2); (1; 2); (2; 0)

ii) ( 1; 0 ) = 2 Im = 2; 0 ( 2 ) = 1; 0; 1 ( 3; 2; 1 =( 2 ) ( 0 ) = 2; 2 .

ii) Im = [ 9 4; [ (] 1; 0]) = [ 9 4; 2]( ) = ] 1; 0[ ]0; 1[

( ) = [ ; [ ] ; [ ] ; ]( ) = ] 1; [ ] ; 0[ ]0; [ ] ; 1[

iii) ( ) = ( ) ( )( ( )) = [ 9 4; 2[ = mais ( ( ))

([1; 4[) = ] 1; 0[ [1; 2[

i) Im = 2; 0; 2Im = [ 4; 0[ 2

iii) ( ) =]2 2; 2[ ]2; 3]

Im = ( ; ) 2 = ( + 2)( 4)

( ( (1; 0) )) = ( ; ) R = 1

√

√ √

2

1

1

1

1

+

2

2

+ +

1

2 2

2

2

1


9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

′ ′ ′ ′ ′ ′

−

′ − ′ ′ ′

− ′ ′

−

∗−

′ ′ ′ ′ ′ ′

−

′ ′ ′ ′ ′ ′

′ ′ ′

−

f x y x y , x y

f

p A

A p A pp

g f E Ga c

cb d

d

g f A c d

g f B b

A

A a , a

g f g f x x

g f Ex x x x

A

f x y y x x x

g f / /

A

f x y y x x , x

h /x πx πx

h f x y f x

h / / / / /

i E Ea cb ac b

j E Ea cb bc a

{ ∈ | ≥ − ≥ }{ } { − − − − }

{ } ∅ ∈{ }

◦ −→7−→7−→7−→7−→

◦ { }◦ { }

⊂

− ∈◦ − −→ ◦ −| |

◦ −→7−→ − | − |

← − ∪ →{ ∈ × | − ≥ }

◦ { } {− − }

−{ ∈ | − ≤ ≤ }

−→7−→

− { ∈ | ≤ ≤ }× ∪

−→7−→7−→7−→

−→7−→7−→7−→

24

i) Im = ( ; ) R + 0 0

ii) ( (10; 8) ) = (3; 1); ( 3; 1); (3; 1); ( 3; 1)

i) Im = ensemble de plans passant par .

ii) Si Π ne passe pas par , alors ( Π ) = ; si Π passe par (Π Im ),alors ( Π ) est l’ensemble des plans paralleles a Π .

i) :

4

3

ii) ( )( ) = ;

iii) ( ) ( ) = ; 3

R

= [ 2; ] R

: [ 2; 2] R telle que ( )( ) = + 2

i) : R( ; + )

i) = ] ; 1] [1; [

ii) Im = ( ; ) R R = ( 2) et 2

iii) ( ) ( 2 ) = 3 2; 1; 1; 3 2

i) i. = [ 2; 3]

ii. Im = ( ; ) R = 4 + 5 0 5

i) i. : [1 2; 2] R(sin( ) + 2; sin ( ) + 1)

Im = ([ 1; 1]) = ( ; ) Im 1 3

ii. ([3 2; 5 2] [1; 2]) = [5 6; 7 6] [11 6; 2]

: :

P P

ZZ

E E

−

−

−−

−

1

1

1

2+

2

2

+

+2

1+

Reponses Fonctions

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

√

g

g

n

n/ n

nn

f g E EX C A C X

f

xx

x

f

f A

xx

x

g

g f

x y

x

xx

/ x

f

h

x y

x

xy x

y x

h y y x x

{ } −→ { }7−→7−→7−→7−→

−→

7−→−

◦ −→7−→ ∩

− { } −→ − { }

7−→ −−

← ∪ →

−→ − {− }

7−→ − −

← − ∪ →

◦ −→

7−→ − 6

← − ∪ {− } ∪ → ×× −→

7−→−− 6

{ } { | ∈ } ∪ { | ∈ }

25

: 1; 2; 3; 4 1; 2; 3; 41 42 13 24 3

Par exemple:: N

2 si est pair

+ 1

2si est impair

: ( ) ( )

: R 1 R 3

3 2

1

ii) Im = ] ; 0] ]1; [

: R 1

1

i) Im = ] ; 3] [3; [

ii) : R R

( ; ) 1si = 1

1 2 si = 1

i) Im = ( ] ; 4] 2 [0; [ ) R

ii) : R R R

( ; )

( 2)

1si = 1

2 si = 1

iii) ( 0 ) = (2; ) R ( ; 0) R .

1

1

1

2

3

1 2

1 1

26.

27.

28.

30.

′

′

−

−

−

−

6

′ 6 ′

− −


← − ∪ →

∩ ∅

−◦ ◦

◦◦ −

◦ ◦

◦◦ −

−◦ ◦

−

◦

◦◦ ◦ ◦

j j

M P MP ~v

MNM E

g ~b

f g g f ~a b

g b

a b O b a αf g O αg f O α

απ

f g g f O

a b a b ~vf g ~vg f ~v

g O θf g g f O ϕ θ

r Oπ

r O π O

r Oπ

r s b a bπ

s r b b aπ

r s b r s s r

26

est surjective sur Im =] ; 3] [4; [.

i) Non, car 2 points et tels que ( ) soit parallele a ont meme images.

ii) oui

iii) oui

iv) Non, car si appartient au disque ouvert dont la frontiere est l’image del’equateur, alors ( ) = .

i) = translation de vecteur ,

= = translation de vecteur + .

ii) = symetrie d’axe

Si et sont concourantes en , l’angle oriente entre et etant , alors:= rotation de centre et amplitude 2 ,= rotation de centre et amplitude 2 .

Cas particulier : =2

: = = symetrie centrale de centre .

Si et sont paralleles, avec translatee de de vecteur , alors:= translation de vecteur 2 ,= translation de vecteur 2 .

iii) = rotation de centre et amplitude ,= = rotation de centre et amplitude + .

i) = rotation de centre et amplitude2

3,

= rotation de centre et amplitude : symetrie centrale de centre ,

( ) = rotation de centre et amplitude2

3.

ii) = symetrie d’axe avec ( ; ) =6

(angle oriente),

= symetrie d’axe avec ( ; ) =6

(angle oriente),

( ) = symetrie d’axe donc = .

1.

2.

3.

4.

5.

− ∗

−−−

−−

−−−

∗

3

7 4

3

5

1

1

1

1

1

1

3

1 2 3

5 3

4

· ·· · ·

−

− −

· −

−

−

≤ ∈

≤ ≤

−

{ } ∈≤

C PA

C C

C C C

C C C C

A A A

A

C C C

C C

A

p

n

n p

n

p

n

p

n

p

n

k

n

p k

n k

p

n

k

p

p

n

p

n

p

n

n

n n n

n n

x

Analyse combinatoireBinome de Newton

n

n

n

n

n

n

n n n n

n n

n

n

n n

p n p, n

< k p n

p

n

n

n

E a b nf E f a f b n

Calculer:

i)9!

7! 2!

ii)9! 8 7!

9 7 6 5!

iii)

Factoriser ou simplifier:

i)( 1)!

( + 1)!

ii)!

( + 1)!

( 1)!

!

iii)1

!

1

( + 1)!

iv) ( + 2)! ( + 1)!

v)(2 + 1)!

( + 1)!

vi) ( + 1)! !

Montrer que:

i) = et N

ii) + =

iii) = 0

iv) = +

Resoudre dans N :

i) = 90

ii) + + = 2

iii) = 3( 3)

iv) = 5040

Soient = ; un ensemble a deux elements et N. On considere toutes lesapplications de dans N qui satisfont a la condition suivante : ( ) + ( ) .

nC∈

∀ ∈2

+2

n n

n Q n

Q n n

6.

7.

8.

9.


a, e, i, o, u b, c, d, m, n, p, r

a rm

b, c, d, f, g, h a, e, i

b f

Remarques

28

i) Expliciter le graphe de toutes ces applications pour = 0 et pour = 1.

ii) Pour un N donne, on note ( ) le nombre de ces applications.

Demontrer par recurrence que ( ) = N.

Avec les voyelles et les consonnes on ecrit des ”mots”de 8 lettres contenant 4 voyelles et 4 consonnes de facon alternee.

i) Combien de ”mots” peut-on ecrire ?

ii) Combien y a-t-il de tels ”mots” contenant les lettres et et commencant par?

On donne les chiffres 1, 3, 5, 7 et 4, 6, 8.

i) Combien de nombres a 5 chiffres distincts ayant 3 chiffres impairs et deux pairspeut-on former ?

ii) Combien d’entre eux commencent par 1 et se terminent par 8 ?

iii) Combien d’entre eux contiennent 5 ?

iv) Combien d’entre eux contiennent 5 ou 6 ?

v) Combien d’entre eux contiennent 5 et 6 inseparables ?

Avec les consonnes et les voyelles

i) combien peut-on former de ”mots” de 5 lettres distinctes, commencant et seterminant par une voyelle ?

ii) combien y a-t-il de ces ”mots” qui contiennent et inseparables ?

On tire trois cartes d’un jeu de 36 cartes.

: 1) il y a 4 ”couleurs” dans un jeu de cartes : pique, coeur, trefle,carreau;2) la ”hauteur” d’une carte est sa valeur : par exemple 10, valet, etc;il y a 9 hauteurs dans un jeu de 36 cartes.

Combien existe-t-il de facons d’extraire 3 cartes sachant que:

i) les trois cartes sont de meme ”couleur”

ii) les trois cartes sont des as

iii) les trois cartes sont de meme ”hauteur”

iv) il n’y a pas de coeur parmi les trois cartes

v) il y a au moins un coeur

vi) il y a un coeur exactement.

∈

⋃

2

k I

D

10.

11.

12.

13.

14.

15.

{ ∈ | }

{ }

{ ∈ | ∈ | | ≤ }

{ } { }

E x x < x > x

D

B k k I

EE x x C B x

E

V a e i o u C b c d fV

C a

Exercices Analyse combinatoire-Binome de Newton 29

i) Combien peut-on ecrire de nombres a 4 chiffres distincts ?

ii) Combien y a-t-il d’impairs ?

iii) Combien y en a-t-il qui soient a la fois divisibles par 5, contenant 7 et deuxchiffres pairs ? (On considere 0 comme un chiffre pair)

Combien peut-on ecrire de nombres differents en permutant les chiffres du nombre43210 ?

i) Combien de ces nombres commencent par 4 ?

ii) Combien de ces nombres commencent par 4 et se terminent par 1 ?

iii) Combien de ces nombres contiennent 1 et 4 inseparables dans cet ordre ?

iv) Combien de ces nombres contiennent 1 et 4 inseparables dans un ordre quel-conque ?

Combien peut-on former de nombres de 5 chiffres choisis parmi ceux de l’ensemble= N 10 et + 6 5 , tels que:

i) le nombre est pair

ii) le chiffre du milieu est impair.

Soient

= ]0; 12[

= ]3 ; 3 + 3[ = 0; 1; 2; 3

i) Determiner l’ensemble tel que:= N ou 5

ii) On forme des nombres de 5 chiffres distincts choisis dans .Combien peut-on former de ces nombres qui ne sont pas divisibles par 25 ?

Soient = ; ; ; ; et = ; ; ; .Combien de mots de 6 lettres distinctes choisies parmi 3 voyelles de et 3 consonnesde possedent-ils la lettre n’apparaissant ni au debut ni a la fin du mot ?

Six personnes prennent place autour d’une table ronde.

i) De combien de manieres differentes peut-on les disposer ?

ii) Que se passe-t-il si les sieges sont numerotes ?

iii) Et si deux personnes designees a l’avance doivent etre assises cote a cote ?

k

n

−

−

−

−

−

−

−

16.

17.

18.

19.

20.


xy

x yx

xy

x

xyx y

x xx

x x xx

x xx

x xa

x

216

2 3 1

2 22

22 1

42

7

20 202

4

2 3 10

18 2 15

30

On veut choisir, dans une societe de 10 membres, un president, un secretaire et untresorier. De combien de manieres peut-on attribuer ces charges si:

i) aucune restriction n’est imposee

ii) A et B refusent de sieger ensemble

iii) C et D siegeront ensemble ou pas du tout

iv) E doit avoir une charge

v) F n’accepte que la charge de president

vi) G ne veut pas sieger si H est president.

Dans le plan, on considere 6 points dont 3 quelconques ne sont pas alignes.

i) Combien de droites sont determinees par ces points ?

ii) Quel est le nombre de nouveaux points obtenus par l’intersection de deuxquelconques de ces droites, en supposant qu’elles sont deux a deux secantes endes points distincts ?

Dans le plan, on considere 16 points en supposant que trois points quelconques nesont pas alignes.Combien peut-on former de paires de triangles n’ayant aucun sommet commun ?

Calculer le huitieme terme du developpement de:

i) (2

2 )

ii) ( 3 )

Calculer le quatorzieme terme du developpement de:

iii) ( +3

)

iv) (32

)

Calculer le terme:

i) en dans le developpement de (31

2)

ii) en de: (3

)

iii) en de: ( +1

)

iv) en de: ( +3

)

−

− −

− −

−

k

k

k

k

n

/

/ /

−

√

−

− − √

−

− − −

∈ ∗

−

− −

−

21.

22.

23.

24.

25.

26.

( )( )( )

( ) ( )

[ ]

( )

[ ] ( √ )

Exercices Analyse combinatoire-Binome de Newton

x

xx

xx

x x

xx

x x

ab a b

xya

x y

xy

x y

q

p

q

q

pp q q p p q

n

A y yy

y

xyx y y x x

x

y

x

x y

x x x x

26

2

10

2 39

29

2 12

1 2 2 2

2

2

2 +1

2 2 +1

5

22

7

133 3 15 8 3 3

24

12 34

1 3 223

223

26 1 2 3 3 2 18

31

Calculer le terme independant de dans le developpement de:

i)1

ii) +1

3

iii)4

3

3

2

Calculer le(s) terme(s) de rang milieu du developpement de:

i)2

ii) ( + 3 )

iii) ( + )

iv)

v) (2 + 3)

vi) ( 3 )

Calculer le terme ou apparaıt a la puissance -359 dans le developpement de:

( )(1 ) ( 1) (1 + )

Calculer l’exposant N si le neuvieme terme du developpement de

= 32

contient, apres reduction, a la puissance 7.

Soit l’expression:

1( ) ( ) +

1

Determiner le coefficient du terme ou l’exposant de est egal a celui de .

Calculer le terme en dans le developpement de: ( + ) (1 ) .

∈

−

n

n m ∗

− −

27.

28.

29.

7 2 11

20 2 10 5 4

2 5 5

x y z

x x x

a b c , m, n

xx x x

x ,

Algebre lineaire EPFL - CMS32

i) Calculer le terme general du developpement de ( + + ) .

ii) Calculer le terme en du developpement de (1 + + ) .

i) Calculer le terme general du developpement de [( + ) + ] N .

ii) Calculer le coefficient du terme independant de du developpementde [( 1) + ] .

A l’aide du developpement de (1 + ) , evaluer (1 04) a 4 decimales pres.

( )

GGGG

f

f

f

f

1

1

2

3

Reponses

·

−

−

{ }{ }{ }{ }

− ·

1.

2.

4.

5.

6.

7.

8.

A A

C C

C C

C C

C C

C C

C C

A A

A A

n n

n n

n

n n

n n n . . . n

n n

n n

x

n a bn a b

a ba b

4

5

4

7

3

4

2

5

3

4

2

3

2

3

1

2

2

3

2

3

3

4

2

3

2

3

1

2

2

3

3

7

1

5

2

3

Reponses Analyse combinatoire-Binome de Newton 33

i) 36

ii) 8 8!

iii) 14

i)1

( + 1)

ii)1

( + 1)

iii)1

( + 1)!

iv) ( + 1)! ( + 1)

v) (2 + 1) 2 (2 1) ( + 2) : n termes

vi) !

i) = 11

ii) pas de solution

iii) = 64

iv) = 10

i) = 0 : = ( ; 0); ( ; 0)= 1 : = ( ; 0); ( ; 0)

= ( ; 0); ( ; 1)= ( ; 1); ( ; 0)

i) 2

ii) 4! 3!

i) 5!

ii) 3!

iii) 5!

iv) 5! 1 = 11 5!

v) 3! 8

i)

ii) 4

′

E

( )

( )

−

−

−

·

· ·

−

−

{ }

− −

− −

·

−

−


9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

C

C

C

C

C C

C

A A

A A

A A

A A

A A A A

C C C C C C

A

A C

C A

C

A A

A A

C

C C

C C

3

9

3

4

3

4

3

27

3

36

3

27

2

27

4

10

3

9

3

9

2

8

4

7

3

6

4

7

3

6

5

8

4

7

3

6

2

5

3

4

3

5

3

4

2

4

2

4

3

4

6!6

3

10

3

10

1

8

1

8

3

8

2

9

3

9

2

9

3

10

1

8

2

6

12

2

6

2

4

12

3

16

3

13

34

i) 4

ii)

iii) 9

iv)

v)

vi) 9

i)

ii) 5

iii) 148

i) 4!

ii) 3!

iii) 3 3!

iv) 2 3 3!

v) 999’996

i) 4 3

ii) 4 4

i) = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 9

ii) 2 +

5! 6 6 2 = 11 520 = 4 5!

i) 5! =

ii) 6!

iii) 12 4!

i)

ii) 3!

iii) 3! +

iv) 3!

v) +

vi) 2

i)

ii)

√

( )

−

−

−−

− −

−

−

−− −

−− −

−−

−

−

−

−

− −

−

−

≤ ≤ ≤ ≤ −

≤ ≤ ≤ ≤ −

CC

CC

C

C

C C

C

C

C

C

C C

C

C

C C

C C

C C C C C C

C C

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

Reponses Analyse combinatoire-Binome de Newton

x y

x y

x y

x y

x

x

a x

x x

x

a b

a y

xy

x y x y

p q

x x

x y z p n k n p

x

a b ck m l n m k

kk

nn

n n

k

kk k

kk

kk

k kk

kk

kk

kk k k

k

kk k

p

n

k

n pn p k k p

k

m

l

n m kn m k l l k

27

1618 7

77

12 +5 7

1313

225 13

13 2 1413

2 12 40 2 27

72

6 4

7

102

4 44

1518

54

93 4

5

96

66

1218

23 3

23

+1+1

2 +1

2 +12 +2 +1

+1

2 +12 +1

13

2429 359

8

23

1

3

16

1826 26

7

11

5

10

2

11

3

9

3

11

1

87

( )( )

35

i) i. 2

ii. 3

ii) i. 3

ii. 2 3

i) 3

ii) impossible

iii)

iv) 3

i) p = 4

ii) p = 2

iii) impossible

i) 2 2

ii) 3

iii)

iv) ( )

v) 2 3 ( )

vi) ( 3) + ( 3)

n = 17

= 459

i) avec : 0 et 0

ii) + 11 + +

i)avec : 0 et 0 ( )

−

29.

C C C30

40

2

4

15

20

36

ii) + 1

1,2167


1.

2.

3.

Calcul matriciel

−−

−− −

− −− −

−−

−

−

−−

− −−

−− −

−

− − −−

{

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

k

x yx y k

ax bycx dyex fy

ax by , cx dyex fy

ax by kcx dy lex fy m

ax by k, cx dy lex fy m

D A B C D

A , B , C

B A B C

A , C

Pour quelle(s) valeur(s) de le systeme suivant a-t-il exactement une solution, au-cune solution, une infinite de solutions ?

= 32 2 =

On considere les systemes d’equations suivants:

i)+ = 0+ = 0+ = 0

Discuter les positions relatives des droites + = 0 + = 0 et+ = 0 lorsque:

i. le systeme admet comme seule solution, la solution triviale;

ii. le systeme admet d’autres solutions que la solution triviale.

ii)+ =+ =+ =

Discuter les positions relatives des droites + = + = et+ = lorsque:

i. le systeme n’a pas de solutions;

ii. le systeme a exactement une solution;

iii. le systeme a une infinite de solutions.

i) Calculer:1 2 3 40 5 1 1

+3 5 6 12 0 2 3

ii) Calculer:1 2 30 4 1

+1 30 0

iii) Determiner tel que 3 + 4 2 = avec :

=2 5 13 0 4

=1 2 30 1 5

=0 1 21 1 1

iv) Determiner si : 2 3 + = 0 avec :

=1 30 0

=2 11 1

2

2

2

2

2

4.

5.

6.

−

66 66

6 66 6 −

∈

−−

−−

−−

−−

−


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

x, y, z w

x yz w

xw

x yz w

AB BA

A , B AB

A A

A A A A I

A I A I A I

A, B n,

A B

A B

A B A B

A, B, C, D, E, F G

A

B

C

D

E

38

v) Determiner et si :

3 =6

1 2+

4 ++ 3

Trouver des matrices d’ordre 2 telles que :

i) =

ii) = 0 = 0 et = 0

iii) = 0 et = 0

iv) = avec = 0 et =

v) = avec = et =

Soient M( R); calculer:

i) ( + )

ii) ( )

iii) ( )( + )

i) Determiner le nombre de lignes et de colonnes des matrices etsuivantes (sans effectuer les produits) :

=3 21 4

0 4 21 1 3

= 7 0 3 2

0 21 12 04 3

= 2 11 2 04 5 3

=1 2 04 5 3

2 1

= 4 5 6231

∗2

7.

8.

9.

t t t

n

ij ij

ijn

−

−−

−

− −

−−

−

−

∈≤ ≤ ≥

∈∈ −

∀ ∈

Exercices Calcul matriciel

F

G

H

J

A

B

C

AA , BB , B B

A I B

B A , n

a , i, j n a i ja

A ,X , A X A λI,

λ

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( ) ( )

39

=231

4 5 6

=357

213 510 128311

1 2 1

ii) Effectuer les produits.

iii) Calculer les produits suivants :

=36 48 120 24 60

10 5030 4060 0

= 500 400 100050 200

150 400300 150

Ecrire la transposee des matrices suivantes :

=4 2 30 5 2

= 3 5 1

=213

Calculer : .

Soit : =1 00 1

+0 10 0

= +

i) Calculer et N

ii) Soit ( ) 1 et = 0 pour .Montrer que ( ) = 0

Soit M(2 R) fixee.Montrer que si M(2 R) commute avec , alors commute avec

R et reciproquement.

t t t

3.

6.

7.

Reponses


/ // /

x , y , z , w

A

B

C

D

E

F

G

H

C

AA BB B B

−− − −

− −−

−−

−

−

− − −−−−

−− −

−−

−− −

−

( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

( )

40

i)4 3 3 32 5 1 4

ii) impossible

iii)10 25 57 2 10

iv)4 3 5 31 3 1 3

v) = 2 = 4 = 1 = 3

ii) =2 14 124 8 14

= 14 8

= 6 1 3

: produit impossible a effectuer

= 17

=8 10 12

12 15 184 5 6

=3 6 35 10 57 14 7

iii) = 12021 124 8

= 5000 77 82

=29 1616 29

, = (35), =9 15 3

15 25 53 5 1

3

1.

2.

3. [ ] [ ] [ ][ ]

Determinants

− −

≤

−

− − −− − −

− − −

− −− −− −

− − −

− − −

xx

>x

x /xx

a b cd e fg h i

d e fg h ia b c

a b cd e fg h i

a g b h c id e fg h i

a b cd e f

g d h e i f

a b cd e fg h i

b c ae f dh i g

a b cd e fg h i

a c b cd f e fg i h i

a b cd a e b f c

g h i

~a, ~b, ~c, ~x, ~y, ~z

~c, ~b, ~a ~c ~x ~b, ~y, ~z ~y, ~y ~b, ~z

~a, ~b, ~c

~x, ~y, ~z

Resoudre les inequations suivantes:

i)2 1 1

7 2

5

ii)3

4 214

i) Sachant que : = 6 ; calculer les determinants suivants :

i.

ii.3 3 3

4 4 4

iii.+ + +

iv.3 3 3

4 4 4

ii) Sachant que : = 10 ; calculer les determinants suivants :

i.

ii.222

iii.+++

iv. 2 2 23 3 3

Soient des vecteurs de R tels que :

det 2 2 + det + 2 3 + det 2 + 3 2 = 12

avec : det = 3

Montrer que les vecteurs sont lineairement dependants.

nn

n

4.

5.

6.

12

13

34

12

11

22


−−

−−

− −−

−

− −− −

− −

−−

−

−−

−

∈− − −− − −− − −

−− −

a b c a ab b c a bc c c a b

α αβ βγ γ

a b abc b bca d adc d cd

a . . .a . . .

. . . . . . . . .. . . . . . a

xx x xx x xx x x

>

A kA k A

A B C

42

Calculer les determinants suivants en appliquant les operations sur les lignes et lescolonnes :

i)2 1 01 2 12 3 0

ii)5 0 40 9 415 3 0

iii)2 3 45 6 78 9 1

iv)1

11 4 1

v)2 2

2 22 2

vi)1 cos sin1 cos sin1 cos sin

vii)

1 1 1 11 2 2 21 2 2 21 2 2 2

viii)

5 2 3 171 1 2 43 2 3 116 1 4 21

ix)

1111

x)

0 00 0

. . .

0

xi) Determiner R tels que:3 6 27 2 75 6 3

0

Soit une matrice carree d’ordre n. Demontrer que det = det .

On considere les matrices :

=2 3 54 2 80 0 1

, =5 1 04 1 21 0 5

, =1 2 32 0 14 4 5

−

−

ZZ

t

n

r

2

2

2

2 2

1

1

7.

8.

9.

10.

− ·

−−−

−−

−

∈− −

−− − −

−

∈

− − −−

Exercices Determinants

( )

A, B, C

AB , ABC

A , A

A B

B C

A B C

Dm m

m mm m

E n Fk kk k kk k k

Aa b cd e fg h i

A

A

A

A

a g db h ec i f

A n, r >A

A

43

i) Calculer: det det det

ii) Calculer: det( ) det( )

iii) Calculer: det(2 ) 2det

iv) Calculer: det( 3 ) det(2 )

v) Calculer: det( + )

i) Les nombres 299, 468 et 741 sont divisibles par 13. Montrer que:2 4 79 6 49 8 1

est divisible par 13.

ii) Les nombres 2528, 4661, 5925 et 7742 sont divisibles par 79. Montrer que:2 5 1 84 6 3 15 9 1 57 7 2 2

est divisible par 79.

Calculer l’inverse (lorsque c’est possible) des matrices suivantes:

=1 3 21 1 42 2 2

=2 3 40 4 21 1 5

=0 2 42 0 41 1 0

=1

11

=1 20 1

=1 2

+ 12 1 2

Sachant que: = , et det = 7, calculer:

i) det(3 )

ii) det(2 )

iii) det((2 ) )

iv)

Une matrice M( R) est dite nilpotente s’il existe un entier 0 tel que= 0.

i) Soit:

0 1 1 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0

Montrer que est nilpotente.

−1

311.

12.

−−

−

−

−− − ∀ ∈ 6

− −

−

−−

−

−−−


B B I BI B

L L I L

,

X

X

XB B B , B

AX A ,

X Y

X Y

X Y

X X

( ) ( )( ) ( )

( )

( )( )

(

44

ii) Montrer que si est nilpotente, alors n’est pas inversible; montrer queest inversible et calculer ( ) .

Montrer que si est une matrice carree d’ordre n telle que = 0 alors estinversible.

Resoudre dans M(2 R):

i)2 51 3

=4 62 1

ii)2 12 1

=1 00 1

iii)1 11 1

( ) = 0 M(2 R) tel que det = 0

iv) Resoudre et discuter: = 0 , ou est une matrice donnee de M(2 R)

v) Determiner et qui verifient le systeme:

2 5 =1 20 1

+ 3 =2 13 0

vi) Determiner le nombre de lignes et colonnes de , puis resoudre :357

311

1 2

3 6 35 10 57 14 7

− − −

−

−

−

β γ γ α α β

nn

Reponses

1.

2.

4.

6.

8.

3

2 2 2

2 2

11 22

1

1

1

( )

Reponses Determinants

x /

x

a b c

a c b d

a a a

x

A , B , C

AB , ABC

A , A

A

B

C C

D m

En

∈ ← − ∪∈ − − ∪

− −

· · ·

∈ ←

− −

− −

− −− −

−

− − − −−−

6∈ {− }

−

45

i) ] ; 5 3[ ]0; 1[

ii) [ 2; 1] ]0; 3]

i) i. -6

ii. 72

iii. -6

iv. 18

ii) i. 10

ii. 20

iii. 10

iv. 30

i) 8

ii) -600

iii) 27

iv) 7/6

v) ( + + )

vi) 4 sin sin sin

vii) -16

viii) 40

ix) ( ) ( )

x)

xi) ] ; 4[

i) det = 8 det = 7 det = 0

ii) det( ) = 56 det( ) = 0

iii) det(2 ) = 64 2det = 16

iv) -12096

v) -52

i) =1

12

6 2 106 2 20 4 2

ii) =1

46

18 11 102 14 44 5 8

iii) det = 0 : est impossible a inverser

iv) est inversible si et seulement si 1; 0; 1

v) =1 20 1

9.

12.

( )

( )

{

( )( )

( )

6∈ {− }

−

−− ∀ ∈

6 6 ⇒⇒

−

− − ∀ ∈


F k

X

Xa d

a da, d

A X

AA XA X

X

Y

X a b a b a, b

46

vi) est inversible si et seulement si 1; 0; 2

i) -189

ii) -8/7

iii) -1/56

iv) 7

i) =2 230 8

ii) pas de solution

iii) =1

1R

iv) si = 0 : quelconque

si = 0 :det = 0 = = 0det = 0 = a 2 lignes proportionnelles

v) =13 115 3

=5 06 1

vi) = 3 1 R

n

n n

i

1.

2.

3.

1 2

+1

1

1 2

1 2

1 2

3

1 2 3

1 2

Espaces vectoriels

− ∀ ≥

−−

−−

−−

−−

−−

−

− −−

( ) ( )( )( ) ( )( )

VV

V

A x , x , . . . , x , . . .x x r , n

A a a r a r . . . a nr . . . x a

V ~x, ~y, ~z V

~a ~x ~y ~b ~y ~z

~a ~x ~y, ~b ~y ~z ~c ~z ~x

~a , i , , . . .~v

~a ~a

~v

~a ~a

~v

~a ~x ~y ~a ~y ~z~v ~x ~y ~z

~x, ~y, ~z

~a ~a ~a

~v

~a ~a

~v

Soit l’ensemble des suites reelles qui sont des progressions arithmetiques.Definir une addition sur (loi de composition interne) et une multiplication par unscalaire reel (loi de composition externe); montrer que muni de ces deux lois estun espace vectoriel.

Rappel: Une progression de nombres reels, notee = ( ), est ditearithmetique si est seulement si : = est une constante 1.D’ou : = ( ; + ; + 2 ; ; + ; ), avec = .

Soient un espace vectoriel et trois vecteurs de lineairement independants.Les vecteurs suivants sont-ils lineairement independants ?

i) = + et =

ii) = = + et = +

Determiner si les vecteurs = 1 2 , sont lineairement dependants ou non.Dans quel cas est-il possible d’exprimer le vecteur comme combinaison lineaire deces vecteurs ?

i) =12

=31

=15

ii) =31

=62

=10

iii) = = += + + 2

ou sont trois vecteurs lineairement independants de R

iv) =137

=206

=311

=245

v) =237

=314

=000

i

4.

5.

6.

− −

−

−

∈

−

−− −

−−

∈

− −

− −


1 2

3

4

2

2

1 2 3

1 1 22

3

2 1 22

3

3 1 22

3

3

12

32 3

23

43 2

1 2 3

4 1 2 3

2

12

3

22

42

~a ~a

~v

p

~a ~b p pp p

~ap

~b p ~cp

~a

p

~b ~c

~e , ~e , ~e V~u ~e a~e a ~e~u ~e b~e b ~e~u ~e c~e c ~e

a, b, c ~u , i , , ,

P t

f t f t tf t f t t

f , f , f

f f , f , f

P t t

f t t f tf t t f t t

48

vi) =123

=246

=6

1218

Discuter, suivant les valeurs de R, la dependance lineaire des vecteurs de R ouR :

i) =121

=3

4 3+ + 1

ii) = 11

=1

1=

11

iii) =

100

=

1101

=

0110

Soient trois vecteurs lineairement independants de l’espace vectoriel .On donne : = + +

= + += + +

Pour quelles valeurs de R les = 1 2 3 sont-ils lineairementindependants ?

i) Soit [ ] l’espace vectoriel des polynomes en t a coefficients reels de degre pluspetit ou egal a 3.On considere :

= 1 + = += 1 = 5 + + 6

sont-ils lineairement independants ?

Exprimer comme une combinaison lineaire de .Cette combinaison est-elle unique ?

ii) Memes questions avec [ ] espace vectoriel des polynomes en a coefficientsreels de degre plus petit ou egal a 2 :

= + 2 = 2 += 1 + 2 + = 1 3

7.

8.

9.

i

k

k k

k k

1 2 3 4

1 2

1 2 +1

+1 1 2

2 2

3

2

3

3

Exercices Espaces vectoriels

− −−

−−

∈

{ 7−→ | }{ ∈ | }{ ∈ | ∈ }

∈ | ∈

− ∈ | ∈

{ ∈ | − }{ ∈ | }

−−−−

−

−−−

( ) ( ) ( ) ( )

{( ) }{( ) }

A A A A

A , , i , . . . , .

V ~x , ~x , . . . , ~x V~x , ~x , . . . , ~x , ~x k

~x ~x , ~x , . . . , ~x

V f f

V x y x y

V X n, AX XA A n,

Va b

c, a, b, c

Va bb a

, a, b

V x y z x y z

V a b a >

~a ~b ~c

~a ~b ~c

~a ~b ~c

x, y z ~v

~a ~b

~v yz

49

iii) Memes questions avec :

=1 23 1

=3 12 2

=1 54 0

=5 116 2

lorsque : M(2 R) = 1 4

Soient un espace vectoriel et k vecteurs de lineairement independants.Montrer que si sont + 1 vecteurs lineairement dependants,alors est combinaison lineaire de .

Montrer, si il y a lieu, que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels(note : sev par la suite) :

i) = : R R est paire

ii) = ( ; ) R + = 0

iii) = M( R) = ou M( R) est fixee

iv) =1

M(2 R) R

v) = M(2 R) R

vi) = ( ; ; ) R 2 + 3 4 = 0

vii) = ( ; ) R 0

i) Chercher les equations parametriques et cartesiennes des sev de R engendrespar :

i. =002

=110

=200

ii. =125

=2410

=3615

iii. =1208

=906

=602

ii) Determiner ou pour que appartienne au sev de R engendre par :

i. =421

=12

63

=4

10.

11.

12.

3 3

2 3

3

13 2

23

33 2

1 2 3

2 3


−

−−

−−

−

{ ∈ | − }

{ ∈ | ∃ ∈ ∃ ∈ }

∈

−−

− − −

− −

~a ~b ~c

~vz

~a ~b

~vx

V ~axyz

z y x

V V

U V E

U V ~z E ~x U ~y V ~z ~x ~y

E

U V U VO

a, b

~a ~b ~c ab

x x

f x x , f x x, f x x x

H f , f , f

p x x x x H

H

50

ii. =315

=420

=93

15

=12

iii. =312

=412

= 14

i) i. Montrer que = = R = 2( ) est un sev de R .

ii. Donner une interpretation geometrique de , puis chercher une base de(utiliser les vecteurs de la base canonique de l’espace vectoriel).

ii) i. Soient et deux sev d’un espace vectoriel : montrer que :

+ = et tels que = +

est un sev de .

ii. Quelle est l’interpretation geometrique de + lorsque et sont deuxdroites de R , puis de R , passant par ?

Trouver une relation entre R pour que le sev de R engendre par :

=0

126

=0

189

=0

soit respectivement de dimension 1, 2 ou 3.

Soit R[ ] l’espace vectoriel des polynomes en .

i) Les polynomes = = = 2 + sont-ilslineairement independants ?

ii) Quelle est la dimension du sev engendre par ?Donner une base de ce sev.

iii) Le polynome ( ) = 2 3 + 5 appartient-ils a ?Si oui, donner ses composantes dans la base choisie.

iv) Montrer que tous les polynomes de ont 2 racines communes.

1 2

1 2 2

1 2 3 4

13.

14.

15.

16.

−

−−−

− − − −

−

− − − −

∩

∩

∈ | ∈

−−

∈− ∈ ∈ ∩

Exercices Espaces vectoriels

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

{( ) }

( ) ( ) ( )

( )

E

f xx

f xx

H f f g xx

xH

H

V ,

A B C

M V

V , WA, B, C D

A B C D

W W V E , E , E , E ,,

W V

,

Ua b

a, a, b

A B C

U ,

V , A, B, CX V

Kα β

, α β K U V

51

Soit l’espace vectoriel des fonctions de ] 1; 1[ dans R.

i) ( ) =1

1et ( ) =

1

+ 1sont-elles lineairement independantes ?

ii) Soit le sev engendre par et ; ( ) =+ 5

1appartient-elle a ?

Si oui, donner ses composantes dans une base de .

Soit le sev de M(2 R) engendre par :

=2 22 0

, =0 11 1

, =2 11 1

.

Determiner les composantes de =6 99 3

dans une base de .

Soient le sev des matrices symetriques de M(2 R) et le sev engendre paret :

=1 00 1

, =3 22 3

, =0 21 0

, =1 01 1

.

i) Chercher une base de et de exprimees en fonction debase canonique de M(2 R).

ii) Quelle est l’expression generale d’une matrice de ?

On considere M(2 R) l’espace vectoriel des matrices carrees d’ordre 2 a coefficientsreels. Soient :

=0 2

M(2 R) R

et les matrices :

=1 00 2

, =0 62 0

, =0 31 0

i) Montrer que est un sev de M(2 R).

ii) Calculer la dimension de , sous-espace de M(2 R) engendre par ;puis donner la forme generale d’une matrice .

iii) Soit =2 0

M(2 R); determiner et pour que .

y z

sev

sev

sev

− −

∀ ∈ 6∈

6

− −

−∩ − ∩

− ∈

−

9.

11.

12.

13.

14.

15.

16.


3

2 5

1 2 3

72 2

32 3 2 3

1 2

1 2 1 2

1 4 2 3

1 4 2 3

( )

( )

( )

( )

V

V

xyz

λ x

xyz

α β y

y z

z

x , ~v ~a, ~b

a ba b

f , f , f

H

p x f f f , f

f , f

g x f f f , f

M A, B

W E E , E , E WW V E E , E E W V

Mx yy x

x, y

V

Xx yy x

α β

56

vi) est un sev

vii) n’est pas un sev

i) i. lineairement independants, engendrent R

ii. droite : =125

ou = =

iii. plan : =302

+301

ou = 0

ii) i. = 2 et = 1

ii. = 15

iii. R [ ]

dimension 1 : + 2 = 0dimension 2 : + 2 = 0dimension 3 : impossible

i) lineairement dependants

ii) dim = 2

iii) ( ) = + dans la base ( )

i) lineairement independants

ii) ( ) = 2 3 =23

dans la base ( ).

=33

dans la base ( )

i) = [( ) ] et dim = 3= [( ) ( + )] et dim( ) = 2

ii) = , R

ii) dim = 2

=32

iii) = 0 et = 4

′ ′ ′

( )

( ) ( ) ( )

( )

18.

19.

20.

21.

6∈

∈

−

− −−− − −

−−−

Reponses Espaces vectoriels

16543

1 2 3

3 2 2

3 2 2

35

75

15

45

165391978

V

x V

y V y a, b

E E E E

E

W

x x x , x x U

u x x x x , x x

~x ~a ~b

~y ~a ~b

~z ~a ~b

~x, ~y, ~z,

~x ~a~y ~a~z ~a

57

i) dim = 2

ii)

: = dans la base ( )

ii) =1 01 0

, =0 10 1

, =1 10 0

est une base de et

dim = 3

ii) dim = 3

iii) (( 3 + 2 ) ( 3 + 2)) est une base de

iv) ( ) =22

dans la base (( 3 + 2 ) ( 3 + 2))

i) = +

= +

= +

ii) i. colineaires

ii. ===


1.

2.

( )

( )

( ) ( )

3 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 22

2 22

2 3

1 2 1 2 3

2 2

Applications lineairesEndomorphismes du plan

−→7−→ | |

−→7−→

−→7−→

√ √

−→

7−→

−→

7−→

−→7−→

−→7−→

−→

7−→ −−

fx y z x

fx y x

fx y x y

f ,

Aa bc d

f A A

f ,

Aa bc d

f A a b

P x x

p a x b x c

f P x P xp f p c b x a x

f P x P xp f p c b x a x

f ff f

, ,~v , ~u ~u , ~e ~e ~e

fxy

x yx y

f

Determiner si les applications suivantes sont lineaires :

i) : R R( ; ; ) ( ; 0)

ii) : R R( ; ) ( ; 0)

iii) : R R( ; ) ( ; )

iv) : M(2 R) R

= ( ) = det

v) : M(2 R) R

= ( ) = +

[ ] est l’espace vectoriel des polynomes en de degre plus petit ou egal a 2 ;

= + + .

vi) : [ ] [ ]( ) = + ( + 1) + ( + 1)

vii) : [ ] [ ]( ) = ( + 1) + +

Pour chacune des applications lineaires suivantes, determiner : l’image des vecteursde base, les equations (parametriques ou cartesiennes) de Im , Ker , une basede Im , une base de Ker .

Remarque : on considere les bases canoniques de R R R notees respectivement( ) ( ; ) ( ; ; ) .

i) : R R28 + 4

Lesquels des vecteurs suivants sont dans Im :

− ′ ′

′ ′

− ′ − ′

− ′ ′

− ′ ′


3

1

2 3

1 2 3

1 2 3 2 3

1 1

3 2

1

3 2

3 1 2

11 2

−−

−→

7−→

−→

7−→ − − −

−−→ − −−→

−→

7−→ −

−7−→ −

7−→ −

−

−→

7−→

−7−→ −

−

−−→ −−→ −→ −→

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

~a ~b ~c

f

~d ~e ~f

f

~xxyz

f ~x x y z

f P P

f

~xxy

f ~x x y ~e x y ~e x y ~e

OP ~e ~e ~e OM ~e ~e

f P f M

f

f P P

t

t ~e t ~e t ~e ~

t OP OP OA λ ~u ~u OA

60

=14

=50

=3

12

Lesquels des vecteurs suivants sont dans Ker :

=510

=32

=11

ii) : R R

= ( ) = ( + + )

Determiner ( ) avec = 4 .

iii) : R R

= ( ) = (3 ) + ( 6 + 2 ) + (9 3 )

Soient : = 2 + 3 et = 3 + 5

Determiner ( ) et ( ) .

iv) : R R definie par :221

31

101

62

011

31

Determiner ( ) avec (12; 4) .

v) : R R definie par :120

14

130

11

et ( ) ( ) + 3 ( ) = 0 .

Determiner ( ) avec = + ( + ) et =14

.

3.

4.

5.

6.

′

6

′

′

′

′ − ′

2 2

12

2 2

3 3

3

1

2 2

( ) ( )

{ }

( )

Exercices Applications lineaires

−→7−→ − ·

−−→ −→

⊥‖− ‖ ‖

−→

7−→

−→−

− −−

−∈ | −→ ∈

−−

−→

f~x f ~x ~x ~x ~v ~v

~v

f f

OP OPP ~u

~u ~v

~u ~v

~u ~v ~w ~w et φ φ ~v, ~w

hxy

xy

h

h h

f

x x y zy x y zz x y z

ff

A , ~v F ~x ~x OA λ~v , λ

f F

P f P

A

f f X AX

f

f f

61

On considere l’application : R R( ) = 2( )

ou est un vecteur unitaire donne.

i) Montrer que est lineaire. Que represente geometriquement ?

ii) On appelle l’image d’un vecteur ; calculer l’equation vectorielle del’image d’une droite passant par et de vecteur directeur tel que :

-

-

- = 3 tel que = 4 cos = , = ( ) .

Soit : R R22

i) Quelle est la nature geometrique de ?

ii) Definir l’inverse de et montrer alors que l’image par de tout cercle estun cercle dont on precisera le centre et le rayon.

Soit : R R definie par :

= + 2 5= 2 + 5= 4 + 3 5

i) Chercher l’image des vecteurs de base, et les equations cartesiennes de Imet Ker .

ii) Soient (0; 0; 1) =131

et = R = + R ;

chercher les equations de ( ) .

iii) Soit (1; 1; 1) , chercher les equations parametriques de ( ) .

Soit =2 14 2

une matrice donnee.

On considere : M (R) M (R) definie par ( ) = .

i) Montrer que est lineaire.

ii) Determiner les images des vecteurs de la base usuelle.

iii) Chercher Im et Ker ; dans chaque cas, determiner la dimension et donnerune base.

◦

n

nr

7.

8.

9.

10.

11.

−→

7−→ −−

−−

−−

−→7−→

√

( )

( )

32

2 3

1 2 1 2 3

2 2

2 3

3

3

2

( )

2(3)


fxyz

x y x zx z x y

f

f

f

,~v , ~u ~u ~e ~e ~e

f x y x y

f f f

f

Ox

Oy

y x

d x y

f f f

f f

,

x y z

dxyz

k

α x y z

f f X AX A

P x xn p P x p

r p

f P x

p f p p

62

Soit : R M

+2 2 2 + 2

i) Montrer que est une application lineaire.

ii) Determiner une base de Im .

iii) Caracteriser Ker a l’aide de son (ses) equation(s) cartesienne(s).

Determiner par rapport aux bases canoniques de R R et R , notees respec-tivement ( ) ( ; ) et ( ; ; ) , les matrices des applications lineaires del’exercice n 2 i), ii), iii).

Les applications lineaires suivantes sont definies de R dans R (le plan est munid’une base orthonormee).

i) ( ; ) = (2 ; )

ii) est telle que : (1; 1) = (3; 0) et (4; 2) = (10; 2)

iii) est la projection orthogonale du plan sur :

- l’axe

- l’axe

- la premiere bissectrice : =

- la droite : 4 = 5

Determiner, dans chaque cas, la matrice de , Im et Ker .

Trouver la matrice de chacune des applications suivantes. Chercher, sans faire decalcul, Im et Ker dans les cas i) et ii).

Remarque : on considere les bases canoniques de R R et R .

i) Dans R une symetrie orthogonale par rapport au plan : 3 + 2 = 0 .

ii) Une projection de R sur la droite : =132

parallelement

au plan : + + = 0 .

iii) Dans M (R) est definie par ( ) = avec =2 14 2

.

Soit [ ] l’espace vectoriel des polynomes en a coefficients reels, de degreinferieur ou egal a . Pour tout polynome de [ ] , designe le polynomederive d’ordre de .

soit : [ ] R

( ) = ( 2)

nn

′ ′

2

3

3 3

3 3

3

2

12.

13.

14.

{ }

( )( )( )

( )( )( )

( )

· · ·

−→7−→ · − ·

−→

−−

− −

∈ −−→

−

−−

−

−


f

f x x x P x

~a ~b ~n

f

f

~x f ~x ~x ~a ~b ~x ~b ~a

f

g

~b ~n g ~a g ~n

~a ~b g ~b g ~n

~n ~b g ~a g ~b

g

E ~x / f ~x OP P

f g E

M f

f , f

M f

M f

M f

M f

M f

M f

~x O ~u

~u

, , ,

63

i) Montrer que est une application lineaire.

ii) Chercher la matrice de par rapport aux bases (1; ; ; ; ) de [ ]et (1) de R .

On considere R muni de la base ( ; ; ) orthonormee.

i) Soit l’application lineaire suivante :

: R R

( ) = ( ) 2( )

Etablir la matrice de dans cette base.

ii) Soit : R R definie par :

3 + 5 = ( ) + ( )

7 + 3 = ( ) 3 ( )

13 8 = 4 ( ) ( )

Determiner la matrice de .

iii) Soit = R ( ) = avec (1; 1; 0) ;

chercher l’equation parametrique de ( + )( ) .

Le plan est muni d’un repere orthonorme. Determiner la nature geometrique desapplications lineaires du plan de matrice ( ) .

Chercher eventuellement Im Ker , l’ensemble des points fixes, l’image d’unvecteur quelconque.

i) ( ) =1 00 1

ii) ( ) =1 00 1

iii) ( ) =0 11 0

iv) ( ) =1 00 0

v) ( ) =2 00 0

vi) ( ) =2 00 2

Dans R on considere la projection orthogonale d’un vecteur sur la droite ( ; )

avec =51

.

i) Chercher l’image du parallelogramme dont les sommets sont :

(1; 0) (3; 0) (4; 1) (2; 1) .

ii) Calculer la matrice de cette projection dans une base judicieusement choisie.

∗

π

( ) ( )

( )

( )

( )

15.

16.

17.

18.

19.

2

1 2 1 22

2 2

2

2 2

2

2 2

12

2

2 2


−

−→

∈

∈

◦ −→−

◦

−→ ◦ ◦

−

B

−→7−→ · − ·

B

~u ~vg g ~e ~u g ~e ~v ~e ~e

g , , ,

~u ~v

f Ma kab kb

a, b, k

f f

~v f f ~v λ~v f

f ff

r p rO p O ~u

~u

r p

f f h s pp O ~u ~u s

Ox h O

~u

f ~u

~a,~bf g

f

~x f ~x ~x ~a ~b ~x ~b ~a

f

64

Soient et deux vecteurs lineairement independants de R ; on considerel’application lineaire definie par ( ) = et ( ) = ou ( ; ) est labase usuelle de R .

Quelle est l’image par du rectangle dont les sommets sont : (0; 1) (3; 0) (0; 0) (3; 1) .

Application numerique : =11

et =12

.

Soit : R R l’application lineaire de matrice =

R , R est muni d’une base orthonormee.

i) Determiner Im et Ker .

ii) Soit Im , montrer que ( ) = ; en deduire que est la composeed’une projection et d’une homothetie a determiner.

Sous quelle condition la projection est-elle orthogonale ?

iii) Calculer la matrice de par rapport a une base formee de vecteurs de Imet Ker .

On considere l’application lineaire : R R ou est une rotation decentre et d’angle et est la projection du plan sur la droite ( ; ) avec

=11

.

i) Montrer que l’image d’une droite parallele a Ker ( ) est un point.

ii) Calculer la matrice de l’application.

On considere l’application lineaire : R R definie par = ouest la projection orthogonale du plan sur la droite ( ; ) ( vecteur donne),

est la symetrie d’axe et est l’homothetie de centre et de rapport .

i) Calculer l’equation vectorielle de l’image d’une droite parallele a .

ii) Calculer la matrice de si =43

.

On considere R muni de la base orthonormee = ( ) ainsi que les applicationslineaires et .

i) : R R

( ) = ( ) 2 ( )

Etablir la matrice de dans la base .

π

f

20.

21.

22.

′ ′

′ ′ ′ ′

′ ′

′ ′

( )

{

−→

7−→

{ ∈ −−→} −−→

−→◦ ◦ √

−

∈

◦

−

−→

2 2

2

2 2 2

1 2

4

3 3

3

3

21 2

2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2

2


g

~x g ~xx yx y

g g gg g g

E ~x / g ~x OP OP ~a ~b

f g E

f~e ,~e f p h r r O

h O pO ~u , ~u

f

f f

f ~x ~x f f

f h p

h O

p axyz

k

f f

M

~e ,~e f

f ~e ~e , f ~e ~e ~e ~e

~e ~e ~a~e ~e ~a

~a

f f

f

OP ff

65

ii) : R R

( ) =3 + 26 + 4

A l’aide de Im et Ker , donner une interpretation geometrique de etetablir la matrice de dans une base formee des vecteurs de Im et Ker .

iii) Soit = R ( ) = avec = 5 + 10 .

Chercher les equations parametriques de ( + )( ) .

On considere l’application lineaire : R R (R est muni d’une baseorthonormee ( )) definie par = ou est la rotation de centreet d’argument , est l’homothetie de centre et de rapport 2 , et estla projection orthogonale du plan sur la droite ( ; ) = (1; 2) .

i) Calculer la matrice de .

ii) - Determiner Im et Ker .

- Calculer ( ) si Im et en deduire la nature geometrique de .

Soit = une application lineaire de R dans R .

est l’homothetie de centre et de rapport 3 ;

et est la projection orthogonale de R sur la droite : =212

i) Sans calcul, chercher Im et Ker .

ii) Calculer la matrice par rapport a la base canonique de R ; puis parrapport a une base judicieusement choisie.

Soient R muni de la base ( ) et de R dans R definie par :

( ) = ( ) = ; et sont solutions du systeme :

3 + = 3

5 + 2 = 9ou est un vecteur non nul de R .

i) Chercher Im et Ker .

ii) Determiner la nature geometrique de .

Indication : decomposer un vecteur selon les directions de Im etKer puis chercher son image.

23.

24.

25.

′ ′ ′

′ ′ ′

′

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ − ′

{

( ) ( )

( ) ( )


−→

− −− −

−−→ − −−→

−→7−→ − · − ·

−→

7−→ − 7−→−

◦◦

◦

−

−→7−→ ·

− ·

∈

3 3

1 1 2 2 3 3 1 2 33

1 2 3

13

1 2 3

1 2 3

1 2 31

21 2

3

1 2 3

2 2

1 1 2 2

2 3

2

2

2 2

f

f ~e ~e , f ~e ~e , f ~e ~e ~e ~e ~e

~e , ~e , ~e

~e

~e ~e ~e ~

~e ~e ~e ~

f f

P OP ~e ~e ~e f OP

~u ~u~e ~e ~e

f~x f ~x ~x ~x ~u ~u ~x ~u ~u

g

f g

f

g f

g g fg f f g

~u ~v

g~x g ~x ~x ~v ~u

h O k ~u ~v

A f g h

f f ~x f f ~x

f

66

Soit : R R l’application lineaire definie par :

( ) = ( ) = ( ) = ou ( ; ; ) est une base de R .

Les vecteurs sont definis de la facon suivante :

est un vecteur donne non nul de R et

15 10 8 = 0

2 = 0

i) Calculer Im et Ker .

ii) Soit defini par : = 2 + 4 2 , calculer ( ) .

On considere R muni de la base canonique orthonormee ( ; ) et R muni dela base canonique ( ; ; ) ; on donne les deux applications lineaires suivantes :

: R R( ) = 2 ( ) 3 ( )

: R R telle que :

84

000

et31

50

10

Sans calculer les matrices de et , repondre aux trois questions suivantes :

i) Donner une interpretation geometrique de en la justifiant a l’aide d’unefigure.

ii) Determiner les equations parametriques de Im ( ) .

iii) Determiner les equations cartesiennes de Ker et de Ker ( ) ; montrerque Ker ( ) est l’image reciproque par de Ker .

R est muni d’une base orthonormee. Soient =25

et =23

deux

vecteurs de R . On considere l’application :

: R R( ) = ( )

et l’homothetie de centre et de rapport = ( ) .

i) Calculer la matrice de l’application lineaire = + .

ii) Determiner Im et Ker . Si Im , calculer ( ) .

iii) En utilisant ii) , chercher la nature geometrique de .

′

′

′

∗ ∗ ∗

′

′

′

′ ′

26.

27.

28.

29.

( )

{

3 3

19

29

29

3 3

1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3

1 2 33

2

2 2


−→

−

− −

− − −

−→

−→− − − −

−−→ ∈ ∃ 6 −−→ −−→

−

−→−

−

f

x x y z

y x y z

z x y z

f f

f

OP ff

f

f ~e ~e ~e ~e f ~e ~e ~e ~e f ~e ~e ~e ~e

~e ~e ~e

f

f f

OP f , k f OP k OP

f

f y x ~v

k

f

, , ,

f~v

f

x x yy x y

f

M M

M M I I MM

f

67


= ( 2 + 2 )

= ( + 2 2 )

= ( + 2 2 )

i) Chercher l’equation cartesienne de Im et Ker .

ii) Quelle est la nature de ?

Indication : decomposer un vecteur selon les directions de Im etKer puis chercher son image.


( ) = 3 6 9 ( ) = + 2 + 3 ( ) = 2 + 4 + 6

ou ( ; ; ) est une base de R .

i) Calculer la matrice de dans cette base.

ii) Chercher les equations cartesiennes de Im et Ker .

iii) Montrer que pour tout Im = 0 tel que ( ) = .

iv) Determiner la nature geometrique de .

Soit une affinite de R d’axe = , de direction =14

et de rapport

= 5 .

i) Calculer la matrice de .

ii) Montrer que l’image du carre dont les sommets sont (0; 0) (1; 0) (1; 1) (0; 1)est un parallelogramme, puis comparer l’aire du carre et du parallelogramme.

iii) Calculer la matrice de dans une base formee de deux vecteurs respectivementparalleles a l’axe et a la direction .

Soit : R R definie par :

= 4 3= 3 + 4

i) Montrer que admet une droite de points fixes.

ii) Montrer qu’un point et son image determinent une direction fixe.

iii) Montrer que ( ; ) est constant, etant l’intersection de ( ) avecl’axe.

iv) Deduire des trois questions precedentes que est une affinite dont on preciseral’axe, la direction et le rapport.

π

( )

′

′

′

′

′

− ·

·◦

−◦

2 2

2 2

2 2

2

30.

31.

32.

33.


f

f ~x ~x ~x ~v ~v ~v

f ~u, ~v ~u~v f

g g ~x ~x ~v ~v

h g f

h h

k

k x

P P PP P

P P

P P

MM M M

i p Oy rO

f i r pf

68

On donne l’application lineaire de R dans R definie par :

( ) = 3 ( ) , etant un vecteur unitaire fixe.

i) Calculer la matrice de dans la base ( ) ou est unitaire et perpen-diculaire a ; donner une interpretation geometrique de .

ii) Soit de R dans R definie par : ( ) = ( )

Definir = .

Determiner Im et Ker par le calcul vectoriel.

On considere la transvection de matrice10 1

.

i) Determiner pour que l’image de la droite d’equation = 2 passe par lepoint de coordonnees (3; 1) .

ii) Montrer qu’un point et son image sont tels que la distance entreet est proportionnelle a la distance de a l’axe de la transvection.

Soient deux points (1; 2) et (4; 3) .

i) Calculer la matrice d’une transvection qui envoie sur et dont l’axepasse par l’origine.

ii) Construire geometriquement l’image d’un triangle dont un sommet est sur l’axeet dont aucun cote n’est parallele a l’axe.

iii) Calculer la distance d’un point quelconque a l’axe, puis montrer que celle-ciest proportionnelle a la distance de a , image de .

Soient l’identite sur R , la projection de R sur et la rotation decentre et d’amplitude .

Montrer que = + 3 ( ) est une transvection dont on precisera l’axe ; puisdefinir son inverse et montrer alors que l’image par du cercle centre a l’origineet de rayon 1 est une ellipse.

Reponses

1.

2.

3.

4.

5.

− ′

− ′

− ′

− ′

−

′

′

′

′

′ ′

( ) ( )

1

1

1

1 1 2 2 2 3 1 2

2

1

1 2 2

15

35

−

∈ ∈

−−−

−−

−−

− −

−→

7−→

−−

−−→ − − −

− −

Reponses Applications lineaires

f y x

f y x

~a , ~b f ~d f

f f x y z

f P x y z

f x y z

f x y

f P x y

f y x

f x y z

f P x y z

t ~e ~u ~u t ~e ~u t ~e ~u ~u

t t x y z

t P x y z

f d ~v O

h O

hxy

xy

f x y z

f x y z

f F OA A , ,

xyz

λλ

λ

69

i) non

ii) oui

iii) non

iv) non

v) non

vi) oui

vii) non

i) Im : droite d’equation : = 4

Ker : droite d’equation : = 2

Im Ker

ii) Im = R Ker : plan d’equation : + + = 0

( ) : plan d’equation : + + = 4

iii) Im : droite d’equation : 6 = 3 = 2

Ker : droite d’equation : 3 = 0

( ) : droite d’equation : 3 = 1

iv) Im : droite d’equation : 3 + = 0

Ker : plan d’equation : 2 + 3 = 0

( ) : plan d’equation : 2 + 3 = 4

v) ( ) = + 2 ( ) = ( ) =

Im = R Ker : droite d’equation : 3 = = 3

( ) : plan d’equation : + 2 3 = 0

i) est une symetrie d’axe perpendiculaire a passant par .

i) est une homothetie de centre et de rapport 2.

ii) : R R1

2

i) Im : plan d’equation : 2 + + = 0

Ker : droite d’equation : 3 = = 3

ii) ( ) = avec ( 5 5 5)

iii) = + 3

3

6.

7.

8.

9.

10.

∈

∈

−−

−

−−

−−

−

−

−−

−{ }

− − −

−−

−−


{ ( ) }{ ( ) }

(( ) ( ))

( )( )

( )( )( )( )

( )( )

f Yx xx y

/ x, y

f Xx yx y

/ x, y

,

f x y z

M f

M f

M f

M f

M f

M f Ox

M f Oy

M f y x

M f x y

M f f ~

M f d f α

M

70

iii) Im = =2 2

R de dimension 2

Ker = =2 2

R de dimension 2

ii) Par exemple1 00 2

0 12 0

iii) Ker : droite d’equation : = =

i) ( ) =2 18 4

ii) ( ) = 1 1 1

iii) ( ) =3 16 29 3

i) ( ) =2 00 1

ii) ( ) =2 11 1

iii) ( ) =1 00 0

(sur )

( ) =0 00 1

(sur )

( ) =1

2

1 11 1

(sur = )

( ) =1

41

25 2020 16

(sur 4 = 5 )

i) =1

7

6 3 23 2 62 6 3

Im = R Ker = 0

ii) =1

4

1 1 13 3 32 2 2

Im : droite Ker : plan

iii) =

2 0 1 00 2 0 14 0 2 00 4 0 2

kk

k nn

n

π

−−

−−

′ ′ ′ ′

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

√· · ·

√· · ·

√

−

−− −

−−−

− −

⊥

−

−

◦

◦ −

◦ − −

!( 3)!

3 !( 3)!

3

52

2

2526

526

9526

1926


( )

( )

( )( )

( )

( )

M n

M

M f

M g

xyz

k

Ox

π

Ox

Ox

A C A , C

M ~u,~v ~v ~u

~u ~v

, , ,

f O ~aab

f O ~uk

kb

a

M h pa kb

r p y x

M r p

71

ii) est une matrice a une ligne et colonnes.

= 0 0 0 3! 4! 2 ( 2) ( 2)

i) ( ) =0 2 01 0 00 0 0

ii) ( ) =1 4 12 0 14 3 1

iii) =01 +

111

i) Symetrie orthogonale d’axe .

ii) Symetrie centrale ou rotation d’angle .

iii) Rotation d’angle .

iv) Projection orthogonale sur l’axe .

v) Homothetie de rapport 2 suivie d’une projection orthogonale sur l’axe .

vi) Homothetie de rapport 2 .

i) Le segment ( ; ) ( ; ) .

ii) =1 00 0

par rapport a la base orthonormee ( ) .

L’image du rectangle est un parallelogramme construit sur 3 et .

Application numerique : ( 1 ; 2) (3 ; 3) (0 ; 0) (2 ; 5) .

i) Im : droite passant par de vecteur directeur =

Ker : droite passant par de vecteur directeur =1

ii) La projection est orthogonale si = .

iii) ( ) =0 00 +

i) Ker ( ) est la deuxieme bissectrice : = .

ii) ( ) =1

2

1 11 1

f

f

′

′

′

− ′

1 2

1 2 1 1 2 2

1

1 2 2 3

12

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

◦ ◦ − −

−

B ∈ ∈

− −

−

−− −

−

−

−−→

◦−

−

◦


( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

M h s p

M f

M g

~u ~v ~u g ~v g

f g Exy

λ

M

f O , ~u

f x y

f O , ~u ~v

M

f O ~a

f O ~e ~e

f f fO k a a ~a a ~e a ~e

f O ~e

f O ~e ~e ~e ~e

f OP f M OM ~e

f Ox

g fxyz

k

g x y

g f x y

72

ii) ( ) =1

50

16 1212 9

i) ( ) =0 21 0

ii) ( ) =7 00 0

relativement a la base = ( ; ) ou Im et Ker .

iii) Equations parametriques de ( + )( ) : =3

11+

31

.

i) =1

5

1 32 6

ii) Im : la droite ( ) .

Ker : la droite d’equation + 3 = 0 .

est la projection du plan sur la droite ( ) de direction =31

.

ii) =1

3

4 2 42 1 24 2 4

(base canonique)

i) Im : droite passant par de vecteur directeur .

Ker : droite passant par de vecteur directeur 4 + .

ii) est une projection du plan sur Im parallelement a Ker suivie d’unehomothetie de centre et de rapport = 3 +12 ou = + .

i) Im : droite passant par de vecteur directeur .

Ker : plan passant par de vecteurs directeurs + 2 et 5 + .

ii) ( ) : plan parallele a Ker et passant par ou = 10 .

i) est la symetrie du plan d’axe .

ii) Im ( ) : droite d’equation =102

iii) Ker : droite d’equation 2 = 0

Ker ( ) : droite d’equation + 2 = 0

′

f

f

f

f

( )( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

−−

−

−

− −−−

−

− −

−−

−

−

−

− ·

−

| − |√

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.


A

f O ~a

f O ~b

f f fO k

f x y z

f x y z

M

f x y z

f x y z

M

M

f y x ~a

M

f O , ~u

h ~x ~x ~v ~v

k

M

d M ,x y

73

i) =15 610 4

ii) Im : droite passant par de vecteur directeur =32

Ker : droite passant par de vecteur directeur =25

iii) est une projection du plan sur Im parallelement a Ker suivie d’unehomothetie de centre et de rapport = 11 .

i) Im : droite d’equation 2 = = .

Ker : plan d’equation 2 + 2 = 0 .

i) =3 1 26 2 49 3 6

ii) Im : droite d’equation 6 = 3 = 2 .

Ker : plan d’equation 3 2 = 0 .

i) =3 28 7

ii) Aire du carre : 1 ; aire du parallelogramme : 5 .

iii) =1 00 5

iv) est une affinite d’axe = , de direction =11

et de rapport 7 .

i) =1 00 2

est une affinite orthogonale d’axe ( ) et de rapport -2 .

ii) ( ) = 2 ( )

i) = 1

i) =1

5

2 91 8

iii) ( axe) =3

10

f

1 2 2

33.

−→

7−→ −

( )

( ) ( )−

′

′

′ ′

′

M

fxy

x yy

74

=1 30 1

: R R3


AFFINITE

1. On donne une droite d , un point A non situé sur d et leursimages affines d' et A' (A ≠ A', d ≠ d'). Construire l'axe d'affinitéainsi que l'image réciproque d'un point M' donné.

2. Déterminer la direction d'une affinité d'axe a donné et rapportλ = -2 pour que l'image des droites b et d soient 2 droites b' etd' perpendiculaires.

3. Une affinité est donnée par son axe a , un point M et son imageM' . Construire une paire de droites b et c perpendiculairespassant par M dont les images b' et c' sont aussi perpendi-culaires.

4. On donne un triangle ABC quelconque. Définir une affinité quitransforme ce triangle en un triangle rectangle en A' de mêmeaire que ABC .

5. Une ellipse est donnée par ses axes A'B' et C'D' .a ) Mener par un point P' donné (n'appartenant pas à l'ellipse)

les tangentes à l'ellipse.

b ) Mener les tangentes à l'ellipse parallèles à une direction

donnée u→

'.

6. Une transvection est définie par la donnée de son axe t, d'unpoint P et son image P' . Construire l'image réciproque d'unedroite d' non parallèle à t.

7. Un cisaillement est défini par la donnée de son axe t, d'un pointP et son image P'.Soit γ un cercle dont le centre est sur l'axe. Déterminer l'imaged'une paire de diamètres perpendiculaires de γ.

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