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www.matheux.c.la - GSP 13 - 1 -
Exercices résolus de mathématiques.
GSP 13
EXGSP120 – EXGSP129
http://www.matheux.be.tf
Jacques Collot
Benoit Baudelet – Steve Tumson
Décembre 08
www.matheux.c.la - GSP 13 - 2 -
EXGSP130 – FACSA, ULG, Liège, Juillet 2009
Dans un triangle , on note respectivement ' et ' les pieds des hauteurs issues des sommets et .
On note le point d'intersection de ces hauteurs. On trace le cercle circonscrit au triangle '
ABC A B A B
H AC
' et,
par les points 'et ', on mène respectivement les tangentes et à ce cercle.
Démontrer que est un diamètre de
On note l'intersection des droites et . Démontrer que le trian
BA
A
B C
A B d d
a CH
b P AB d
C
gle ' est isocèle.
En déduire que le point est situé au milieu du côté
En déduire que la droite passe par .B
PA B
c P AB
d d P
B
A
A’
B’
O
C
dA
dB
P
H
1
1
1
1
1
324
C
C’
www.matheux.c.la - GSP 13 - 3 -
Les angles ' et ' sont droits car ' et ' sont des hauteurs.
Les points ' ' sont donc cocycliques et [ ] est un diamètre de .
Les angles ' et ' sont droits. Les points ' ' sont c
HB C HA C AA BB
HB CA HC
BB A AA B AB A B
C
1 1
ocycliques.
Soit ' le cercle circonscrit au quadrilatère définit par ces points. [ ] est un diamètre de '.
Les angles et ' sont égaux car ce sont des angles inscrits dans ' qui interceptent
le m
AB
B A
C C
C
1 2
1 2
1 2
ême arc. Dans , l'angle inscrit ' intercepte le même arc que l'angle tangentiel ' .
Ils sont donc égaux. Il en résulte que ' , c'est-à-dire que le triangle ' est isocèle
et '
' et ' so
A B
B B PBB
PB PB
B B
C
1 1
1 2 1 1
nt complémentaires puisque ' est une hauteur. et sont complémentaires
puisque ' est un triangle rectangle et comme ' nous avons ' ,
c'est-à-dire que le triangle ' est isocèle et
BB B A
BB A B B B A
APB PA
'.
Dès lors, et est le milieu de [ ]. (C'est le centre de ') et [ '] est une médiane
du triangle rectangle ' , donc ' et le triangle ' est isocèle.
Soit le centre de . ' est une ta
PB
PA PB P AB PA
AA B PA PB PA B
O PB
C
C ngente à et le triangle ' est rectangle.
Or les triangles ' et ' sont égaux puisqu'ils ont un côté commun, que '= '
et que '= '. Les angles ' et ' sont égaux et droits. Nous conc
PB O
PB O PA O OA OB
PB PA PA O PB O
C
luons que
' est la tangente à en ' et qu'elle passe par .BA P d A P C
Le 16 aout 2009.
www.matheux.c.la - GSP 13 - 4 -
EXGSP131– FACSA, ULG, Liège, Juillet 2009
On note le centre du cercle circonscrit à un triangle , et ' le pied de la médiane issue de de ce
triangle. On note le centre de gravité du triangle ' .
Démontrer que les droites ' et
O ABC A A
G AA B
AA OG
sont perpendiculaires si et seulement si le triangle est isocèle
en . :Calculer '.
ABC
B Suggestion AA OG
A
A’B C
G
O
C’ D
Soit ' le milieu de . Joignons ' qui est une médiatrice de .
Pour avoir une condition nécessaire et suffisante, il suffit de vérifier que le produit scalaire '. 0.
Pour allèger l'écr
C AB C O AB
AA OG
car est le centre de gravité du triangle '
iture, tous les couples de points ci-dessous désignent des vecteurs. Nous n'indiquons pas
la flèche au dessus de ces couples.
2' ' ' '
3G
ABA
OG OC C B BG OC C B BD
OC
car car est le milieu de '
car ' '
2 2 2 2 1' ' ' ' . '
3 3 3 3 2
2 1 1 1 1' ' ' ' ' '
3 3 3 3 3
1 1'. ' . ' ' '
3 3
.
BD BA AD DAA
AA AB BA
C B BA AD OC C B BA AA
OC C B BA AB BA OC C B AB BA
AA OG AB BA OC C B AB BA
AB O
2
2 ' 2 '0 car
1 1' '. ' . ' '. ' . '
3 3AB C B AB C B
C BA OC AB C B BA C B AB AB BA
1
. '3
AB BA
2
2
2 2 2
0 car '
1'
3
4 1' ' ' ' 2 ' '. ' ' '
3 3
'. ' '. ' '. '
A B
BA
BA OA A B BC C B BA C B C B BA
BA OA BA A B BA BC
22 ' '. 'C B BA C B
2
2 2
2 2 2 2 2
'
2 22 2 2 2
4 1' '
3 3
2 1 2' ' ' ' '
3 3 3
La relation est vérifiée si : ' ' 0 ' ' ' ' ' '
et donc le triangle est isocèle;
A B
C B BA
A B C B BA C B A B
C B A B C B A B C B A B C B A B
BA BC ABC
Le 16 aout 2009.
www.matheux.c.la - GSP 13 - 5 -
EXGSP132 – EPL, UCL, Louvain, septembre 2008.
On considère un cercle de rayon . Un hexagone régulier est un hexagone dont tous les côtés ont la même
longueur. On considère deux hexagones réguliers, le premier inscrit dans et l'autre circonscr
RC
C, it à .
1) On demande de calculer les périmètres de ces deux hexagones.
2) On demande ensuite de déduire des résultats du point 1) deux approximations du nombre , l'un
par défaut, l'autre par excès.
C
A
O
A’BB’
C
C’
D
D’ E E’
F
F’
R
Le périmètre de l'hexagone inscrit est simplement égal à 6 .
3 2 3L'angle ' vaut 30° ' . tan 30 ' '
3 3
Le périmètre de l'hexagone circonscrit est donc : 4 3
La longueur de la circonférence du cercle
R
R RA OA AA R A F
R
est comprise entre les périmètres des deux hexagones :
6 2 4 3 3 2 3 3.46R R R
Le 16 aout 2009.
www.matheux.c.la - GSP 13 - 6 -
EXGSP133 – EPL, UCL, Louvain, septembre 2008.
On donne deux circonférences de centres fixes et choisies de telle manière que le rapport de
leurs rayons soit constant.
1) Trouvez les lieux décrits par les points de contact des tangentes communes.
2) Expliquez votre démarche au moyen d'un dessin clair et précis.
P
O O’
A
B
A’
B’
'Soit le rapport des rayons des deux cercles.
La tangente ' coupe l'axe ' en un point . Les triangles rectangles et ' ' sont
' 'semblables et on a : 1
La tangente ' coupe l'axe
Rk
R
AA OO P PAO PA O
PO OAk
PO OA
BB
' en un point '. Les triangles rectangles ' et ' ' ' sont
' ' 'semblables et on a : 2
'
' ' ' ' ' ' ' '1 2 1 1 '
' ' '
Les points et ' sont donc confondus
OO P P BO P B O
P O OBk
P O OB
PO P O PO OO P O OO OO OOPO P O
PO P O PO P O PO P O
P P
.
On en déduit que toutes les tangentes sont concourantes en P
www.matheux.c.la - GSP 13 - 7 -
Le quadrilatère est inscriptible dans un cercle de diamètre puisque 90
Le lieu des points de tangence au petit cercle est donc un cercle de diamètre .
Le quadrilatère ' ' ' est insc
PBOA PO PBO PAO
PO
PB O A
riptible dans un cercle de diamètre ' puisque ' ' ' ' 90
Le lieu des points de tangence au grand cercle est donc un cercle de diamètre '.
Calculons les diamètres de ces cercles en fonction du r
PO PB O PA O
PO
apport et de la distance '.
' 1'
1 1 1' ' ' ' ' ' ' ' '. '.
1 1
k OO
POk PO PO
PO k
kPO PO OO PO OO PO PO OO PO OO PO OO
k k k k
Le 16 aout 2009.
www.matheux.c.la - GSP 13 - 8 -
EXGSP134 – FACS, ULB, Bruxelles – juillet 2009.
Les côtés d'un carré sont divisés en quatre segments de même longueur. On numérote de 1 à 16
les points des subdivisions en commençant par un des sommets du carré et en tournant dans le sens
horlogique. On relie le point 2 au point 7, le point 6 au point 11, le point 10 au point 15 et le
point 14 au point 3. Les quatre droites ainsi obtenues déterminent un quadrilatère.
a) Quelle est la nature de ce quadrilatère?
b) Combien de fois l'aire du quadrilatère est-elle comprise dans celle du carré initial?
1) Les triangles rectangles 2 5 7 et 6 9 11 sont isométriques car les côtés de l'angle droit sont
de même mesure. Les angles correspondant sont donc de même amplitude.
Les triangles 3 2 et 6 7 sont isométriqB C
ues (un côté de même mesure compris entre deux
angles de même amplitude), et, comme les angles 3 2 et 2 3 sont complémentaires, les triangles
sont de plus rectangles.
Finalement, on en déduit que les qua
B B
tre triangles 3 2 , 6 7 , 10 11 et 14 15 sont
tous isométriques.
2 7 2 7 6 11 6 11
On démontre de la même façon que :
En conclusion, le quadrilatère est un carré.
B C D A
BC B C C D CD
AB BC CD DA
ABCD
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2
2
2
2 1 1 9 3 132) On a tan cos cos
43 1 tan 13 131
9
9 2 13sin 1 sin
13 13
2 5 3D'une part : 2 7 13
cos 3 13
13
3 13 2 13D'autre part : 2 2 3 .cos et 7 6 7 .sin
13 13
3 13 2 13 8 13Donc : 2 7 2 7 13
13 13 13
Le rap
B C
BC B C
2
1 5 9 13 4 13port des aires est alors :
48 13
13
ABCD
A
A
Le 22 juin 2010.
www.matheux.c.la - GSP 13 - 10 -
EXGSP135 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2010.
On considère un cercle passant par les extrémités et de l'hypoténuse d'un triangle rectangle .
Ce cercle coupe la droite en et en un autre point noté '. De même, il coupe la droite en
B C ABC
AB B B AC C
et en un autre point '. Les points 'et ' sont distinct de .
Démontrer que la médiane issue de du triangle est confondue avec la hauteur issue de du
triangle ' '.
C B C A
A ABC A
AB C
1 1
1 1 1 2
Comme le triangle est rectangle en et que est une médiane, le triangle
est isocèle : . 1
Les points , ', ' et sont cocycliques. Donc ' et comme ' ' , nous en
déduisons qu
ABC A AO AOC
A C
B B C C B C C C
1 2
1 1 1 2
e ' . 2
Cependant, comme , en tenant compte de 1 et 2 , nous tirons : ' .2 2
Ces angles sont donc complémentaires. Le triangle ' est rectangle en et est
une hauteur.
B C
B C A C
AHC H AH
Le 13 juillet 2010.
www.matheux.c.la - GSP 13 - 11 -
EXGSP136 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2010.
2 2
Un point appartient à la diagonale d'un carré . Démontrer l'égalité :
.
où désigne la longueur d'un côté du carré, et ou représente la longueur du segment .
P BD ABCD
BP DP AP c
c XY XY
2
0
2
2
. .
. . . Car et sont perpendiculaires
.
.
.
CD
BP DP BA AP DA AP
BA DA BA AP AP DA AP BA DA
AP CD DA AP
AP CA AP
AB BP CA
2
2
0
2 22 2
. . Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires.
car . .
La projection de sur est
AP
AB CA BP CA AP
c AP AB CA AB AC AB c
AC AB AB
Le 13 juillet 2010.
www.matheux.c.la - GSP 13 - 12 -
EXGSP137 – EPL, UCL, Louvain, juillet 2010, série 2.
Un quadrilatère est cyclique si ses quatre sommets sont situés sur une même circonférence.
1. Montrez que la somme des angles opposés d’un quadrilatère cyclique est égale à .
2. Illustrez votre démon
stration à l’aide d’un dessin clair et précis.
On considère ensuite un triangle quelconque. On choisit un point sur chaque arête de ce triangle.
Soit le point sur l’arête , le point sur l’arêt
ABC
D AB E
e et le point sur l’arête .
3. Démontrez que les cercles , et sont concurrents théorème de Miquel .
La propriété des quadrilatères cycliques démontrée au point 1. sera bien évidemment
AC F BC
ADE BDF CEF
d’une grande utilité.
4. Illustrez votre démonstration à l’aide d’un dessin clair et précis.
L'angle inscrit intercepte l'arc . L'angle inscrit intercepte l'arc .
Ensemble, ils interceptent la totalité du cercle. Or l'amplitude d'un angle inscrit vaut la
moitié de l'angle au cent
CAB CBD CDB CAB
re qui intercepte le même arc. L'angle au centre qui intercepte
la totalité du cercle vaut 2 . En conclusion : . Les angles sont donc
supplémentaires.
De la même façon, on déduira que :
CAB CDB
ACD ABD
.
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2 1
2
Soit l'intersection des cercles déterminés par les points , , et les points , , .
En vertu de la proposition précédente, on a alors :
et
Or dans le triangle :
On déduit :
G A D E C E F
G A G C
ABC A B C
G
1
2 1
3 2 1
3
3
2
Et comme : 2
On conclut :
Autrement dit, les angles et sont supplémentaires. Le point est donc situé sur le cercle
déterminé par les points . Les trois cercle
B G
B G G
G G G
B G
B G G
BDF
s sont donc concurrents.
Le 16 aout 2009.
www.matheux.c.la - GSP 13 - 14 -
EXGSP138 – Polytech, Umons, Mons, juillet 2010, Série C.
Considérons un quadrilatère tel que:
ses diagonales et sont perpendiculaires entre elles et se coupent en un point
sur mais qui reste entre et ;
ce point est le
ABCD
AC BD
P AC A C
P
variable
variable
milieu de ;
sa diagonale est de longueur ;
sa diagonale est de longueur ;
les 2 angles variables et , quelle que soit la position
et quelle so
BD
BD
AC
PAB PDC
P
variable
constante
restent égaux entre eux
it la position de .
On demande :
Par les méthodes de la géométrie :
A. de déterminer le lieu du point ;
B. de déterminer le lieu du point , milieu du côté variable ;
C. de déterminer l
BD
B
M BC
synthétique
e lieu du point , centre de gravité du triangle variable ;
D. de déterminer s'il existe une circonférence inscrite au quadrilatère qui soit
simultanément tangente aux 4 côtés de ce quadrilatère
G ACB
ABCD
.
Par les méthodes de la géométrie :
E. de déterminer, dans le système d'axes orthonormés ( étant le milieu de et
étant aligné sur et orienté comme ) l'équation des parab
OXY O AC
OX AC AC
analytique
oles admettant
la diagonale comme directrice et le point comme foyer, dans le cas où
40 et 50.
BD A
BD AC
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1 1
1 1
1 2 1 2
. par hypothèse.
car les triangles rectangles et sont égaux
( est commun et par hypothèse).
Or et sont complémentaires. Donc 90 .
regarde donc selon un angle
A A D
D B BPC DPC
PC PD PB
A B B B
B AC
droit. Le lieu de est donc un demi-cercle de diamètre .
. Le point ,étant le milieu de , est l'image de selon l'homothétie de centre et de
rapport 1/2. Le lieu de est donc un demi-cercl
B AC
B M BC B C
M e de diamètre / 2 et de centre
(avec / 4).
. Soit le milieu de . Le point est situé sur la médiane au 1/3 en partant de .
est donc l'image de selon l'homothétie de centre et de rapp
AC F
CF CA
C O AC G OB O
G B O
ort 1/3.
Le lieu de est le demi-cercle de centre et de rayon / 3.G O AC
. Si ce cercle existe, son centre est sur puisque est un axe de symétrie du quadrilatère.
Soit l'intersection de la bissectrice de et de .
Donc est le centre d'un cercle tangent aux côtés
D AC AC
H B AC
H .
Par symétrie, ce cercle sera aussi tangent aux côtés et .AD DC
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1 1
1 1 1
1
2 2
1 1 1 1
. Il faut d'abord déterminer l'abscisse du point . Pour cela déterminons les valeurs possibles
de l'angle ou .
. tan . tan . tantan
tan
5 tan 2 2 tan 2 tan 5 tan 2 0
E P
A D
BPAC AP PC DP D AC A BP DP A
A
A A A A
1
1
1
1
22 22
2
1tan
2
1er cas : tan 2
2010. La directrice a alors pour équation : 15
2tan
Un parabole est le lieu des points équidistants du foyer et de la directrice :
40025 15
20
1
A
A
A
BPAP y
A
yx y x x
1
1
22 22
ème cas : tan 1/ 2
2040. La directrice a alors pour équation : 15
1/ 2tan
Un parabole est le lieu des points équidistants du foyer et de la directrice :
40025 15
20
A
BPAP y
A
yx y x x
www.matheux.c.la - GSP 13 - 17 -
Le 16 aout 2009.
www.matheux.c.la - GSP 13 - 18 -
EXGSP139 – FACSA, ULG, Liège, Septembre 10.
On considère un triangle rectangle en . Le centre du cercle inscrit à ce triangle est noté .
Ce cercle rencontre les côtés , et du triangle en trois points notés respectivement
, et .
Dan
ABC A O
AB AC BC
P Q R
s le triangle , le pied de la hauteur issue de est noté .
1) Déterminer la valeur de l'angle .
2) Démontrer que les points , et sont alignés.
PQR Q H
PQR
O C H
1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1
a) Soit donc
et sont deux angles tangentiels qui interceptent le même arc :
Donc dans le triangle : 1
Or l'angle inscrit intercepte le même arc que et :
L
PQR Q
P R P R
BPR B P R
Q P R P R Q
1 1
2 2
2 2
a relation 1 s'écrit : 22
2b) Appliquons cette relation à l'angle .2 2 4
Le triangle rectangle est donc aussi isocèle et
D'autre part, le triangle est isocè
BB Q Q
AR R
QHR HR HQ Q R
CQR
3 3
2 3 2 3
le puisque et sont deux tangentes issues d'un même
point . et .
Considérons maintenant les triangles et . Ils sont isométriques car ils ont un angle
égal compris entr
CR CQ
C RC QC R Q
HRC HQC
R R Q Q
1 2
e deux côtés égaux ( et ).
Nous concluons que les angles et sont égaux. est alors situé sur la bissectrice de l'angle .
Comme est aussi sur cette bissectrice puisque le centre du ce
HR HQ RC QC
C C H C
O
rcle inscrit est le point de rencontre
des bissectrices, , et sont alignés.O H C
Le 30 septembre 2010.
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