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LGL Cours de Mathématiques 2015-16
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AB Beran - 2016-Cours3BCD-TrigonometrieSurLeCercle-Cours.DOCTrigonométrie sur le cercle trigonométrique - 1 -
Sommaire
A Rappels de la trigonométrie de 4e
B Trigonométrie sur le cercle trigonométrique
B0 Eléments de base
B1 Réduction du 1er quadrant au 1
er quadrant: Angles complémentaires
B2 Réduction du 2e quadrant au 1
er quadrant
B21 Angles supplémentaires
B22 Angles anti-complémentaires
B3 Réduction du 3e quadrant au 1
er quadrant : Angles anit-supplémentaires
B4 Réduction du 4e quadrant au 1
er quadrant : Angles opposés
B5 Réduction au 1er tour de cercle
B6 Résumé des différents signes des fonctions trigonométriques
B7 Exercices d’entraînement
B71 Pure utilisation des formules
B72 Détermination de valeurs exactes par réduction des angles à des angles du 1er quadrant
C Le passage des valeurs trigonométriques aux fonctions trigonométriques
C1 Les déroulements du cercle
C2 Les différents effets du changement des coefficients
C21 Le déphasage
C22 Le changement de période
C23 Le changement de l’amplitude
C3 La fonction sinus et les fonctions polynômes de degrés croissants
D Les équations trigonométriques
D1 Les équations trigonométriques élémentaires
D11 Les équations en sinus
D12 Les équations en cosinus
D13 Les équations en tangente
D2 Réduction à des équations trigonométriques élémentaires
D21 Par changement de fonction
D22 Par factorisation élémentaire
D3 Equations trigonométriques du second degré : Utilisation de la substitution, illustration
E La trigonométrie dans un triangle quelconque
E1 Les bases nécessaires sur les angles du cercle
E2 Le théorème du sinus
E3 Le théorème du cosinus / Pythagore généralisé / Al-Kashi
E4 Exercices mélangés
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AB Beran - 2016-Cours3BCD-TrigonometrieSurLeCercle-Cours.DOCTrigonométrie sur le cercle trigonométrique - 2 -
Trigonométrie sur le cercle trigonométrique
Propriété: Tout point du cercle trigonométrique détermine un seul angle orienté et tout angle orienté
détermine un seul point du cercle trigonométrique:
M M détermine le seul angle orienté XOM
Définition: Dans un repère orthonormé du plan, si le point M est l'unique point du cercle trigonométrique
déterminé par l'angle orienté x, alors:
cos x est l'abscisse du point M
sin x est l'ordonnée du point M
sin x cosx
tan x , si cosx 0 et cot x , si sin x 0cosx sin x
Par conséquent: Le point M du cercle trigonométrique est le point M(cosx,sin x)
Etude des signes des fonctions sinus, cosinus et tangente
x est un angle du premier quadrant x est un angle du deuxième quadrant
On constate:
x sin x cos x tan x cot x
0 0 1 0
0 x2
x sin x cos x tan x cot x
1 0 02
x2
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x est un angle du troisième quadrant x est un angle du quatrième quadrant
x sin x cos x tan x cot x
0 1 0
3x
2
x sin x cos x tan x cot x
31 0 0
2
3x 2
2
Propriétés
1. Tout angle orienté a un cosinus et un sinus.
Seuls l'angle droit positif et l'angle droit négatif n'ont pas de tangente.
Seuls l'angle nul et l'angle plat n'ont pas de cotangente.
2. Quel que soit l'angle orienté x,
2 2
1 cos x 1
1 sin x 1
cos x sin x 1 Relation fondamentale de la trigonométrie
Autres formules de trigonométrie
Sous l'hypothèse des formules connues: 2 2sin xtan x avec cosx 0 et sin x cos x 1
cosx , établir
une formule directe de calcul de la valeur de 2sin x en fonction de 2tan x .
Résolution:
2 22 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
22
2
sin x sin xtan x (1 sin x) tan x sin x
cos x 1 sin x
tan x sin x tan x sin x
tan x sin x (1 tan x)
tan xsin x avec cos x 0
1 tan x
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Sous l'hypothèse des formules connues: 2 2sintan avec cos 0 et sin cos 1
cos
xx x x x
x , établir
une formule directe de calcul de la valeur de 2cos x en fonction de 2tan x .
Résolution:
2 22 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2
sin 1 costan cos tan 1 cos
cos cos
cos tan cos 1
cos (1 tan ) 1
1cos avec cos 0
1 tan
x xx x x x
x x
x x x
x x
x xx
Exercice : Calculez la valeur exacte de A, B et C
2 2
2 2
5sin 2cos 3avec tan
3cos 4sin 4
3cos 4sin 7avec cot
5sin 2cos 3
2sin 3cos 2avec cot
4sin 3sin cos 5cos 5
x xA x
x x
x xB x
x x
x xC x
x x x x
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Exercices du livre: 64, 65, 66 p. 245/246 et 106, 107, 108 p. 253
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Formules de changement de quadrants
Définitions
Deux angles et sont supplémentaires ssi
Deux angles et sont anti-supplémentaires ssi
Deux angles et sont opposés ssi 0
Deux angles et sont complémentaires ssi 2 2
Deux angles et sont anti-complémentaires ssi 2 2
Pour établir des formules de transformation, nous utilisons les définitions ci-dessus en vue d’obtenir
les valeurs des nombres trigonométriques dans les différents quadrants. On suppose en premier lieu
que l’angle de référence soit un angle du premier quadrant. On ramène tous les angles à cet angle
, car on y connaît les valeurs remarquables au premier quadrant.
Angles supplémentaires Angles anti-supplémentaires
Nous constatons :
: sin sin : sin sin
: cos cos : cos cos
: tan tan : tan tan2 2
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Angles opposés Angles complémentaires
Passage du IV au I quadrant Passage du I au I quadrant
Nous constatons :
: sin sin : sin cos2
: cos cos : cos sin2
: tan tan 0 : tan cot2 2
Angles anti-complémentaires Angles supérieurs à 2π
Passage du II au I quadrant Retour au premier tour de cercle
Ces résultats sont faciles à imaginer
On constate pour les angles anti-complémentaires :
: sin 2 sin
: cos 2 cos
: tan 2 tan2
: sin cos2
: cos sin2
0 : tan cot2
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Remarques :
1) Ces formules peuvent également être généralisées à un angle quelconque, n’appartenant pas
nécessairement au premier quadrant, sous la condition d’existence de la tangente.
2) On peut constater que tant qu’il n’y pas de 2
dans l’expression du départ, on garde toujours la
même fonction. Par contre, dès que le 2
apparaît, les fonctions se trouvent changées.
3) Dans toutes ces formules, les signes établis plus tôt sont respectés.
B6 Résumés
2
2
2
sin
cos
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B7 Exercices d’entraînement
B7.1
Exercices d’application de ces formules
Exercice 1 : Simplifiez
cos cos2
1) 2) tan tan2
sin sin2
cot cossin sin 2
3) 4)sin
cos cos2
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Exercice 2 : Démontrez
2 2
1) sin35 cos55 2) sin126 sin54
3) cos 77 cos 103 4) tan 35 tan 55 1
sin34 15) sin 36 sin 54 1 6) cos34
tan56 sin56
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Exercice 3 : Calculez les valeurs exactes des expressions A, B C et D
2 2 2
5 3 3sin tan cos sin cos sin
3 6 4 6 4 4
13 5 5 14sin cos sin cos
7 11 6 6 6 3sin cos tan2 56 4 4
tan cos3 4
A B
C D
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Exercices du livre : 68, 69, 70 p. 246 et 88, 89 p. 250
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Résolution de quelques exercices du livre
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Exercice 106
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C Le passage des valeurs trigonométriques aux fonctions trigonométriques
C1 Les déroulements du cercle
C11 La fonction sinus
C2 Les différents effets du changement des coefficients
C21 Le déphasage
C22 Le changement de période
C23 Le changement de l’amplitude
C3 La fonction sinus et les fonctions polynômes de degrés croissants
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