Exo-Determination de La Matrice d Inertie Correction

Chap2 : Elments dinertie EXERCICES de MECANIQUE

Professeur : Franck Besnard CPGE PSI

1

Exercice 5 : dtermination de la matrice centrale dinertie dun cylindre (CORRECTION)

De plus, les axes (G,x)

et (G,y)

jouent le mme rle dans la rpartition des masses. On en

dduit que A=B. On a donc la matrice suivante :

G

R

A B 0 0

I (S) 0 B A 0

0 0 C

=

= =

Choix du paramtrage : Nous utiliserons les coordonnes cylindriques r, et z avec dV=rdrd dz Domaine dintgration : r varie de 0 R, z de H/2 H/2 et de 0 2pi Calcul :

H

2 R 423

H0 0

2

RC (x y)dm r .dr.d .dz .2 .H.

4

pi

= + = = pi avec 2M

.R .H =

pi soit

2MRC

2=

ox Gxz GxyI A (y z)dm ydm zdm I I B ' C '= = + = + = + = +

oy Gyz GxyI B (x z)dm xdm zdm I I A ' C '= = + = + = + = +

oz Gyz GxzI C (x y)dm xdm ydm I I A ' B '= = + = + = + = + Les plans [Gxz] et [Gyz] jouent le mme rle pour la rpartition de la matire. On peut donc

en dduire que A=B=C/2 et par consquent que GxyC C

A I C '2 2

= + = +

H

2 R 32

Gxy

H0 0

2

M H R MHI C ' zdm z.rdr.d .dz .2 . .

RH 12 2 12

pi

= = = = pi =pi

Do : MR MH

A4 12

= +

1) Dterminez la matrice centrale dinertie dun cylindre de rvolution plein et homogne de masse M , de rayon R et de hauteur H. Dtermination de la base centrale dinertie :

Le repre (G,x,y,z)

est bien le repre central dinertie du

cylindre. Laxe (G,z)

est axe de symtrie donc E=D=0.

De mme laxe (G,x)

est axe de symtrie donc F=E=0.

Chap2 : Elments dinertie EXERCICES de MECANIQUE

Professeur : Franck Besnard CPGE PSI

2

La matrice centrale dinertie du cylindre scrit ainsi :

G

R

MR MH0 0

4 12

MR MHI (S) 0 0

4 12

MR0 0

2

+

= +

2) Dduisez-en la matrice dinertie au centre de lune de ses bases. On peut appliquer le thorme de Huygens, soit :

O G

R

b c ab ac

I I M. ab c a bc

ac bc a b

+

= + + +

+

Avec H

GO a.x b.y c.z .z2

= + + =

On obtient :

( )

O G

R x,y,z

R HH0 00 0

4 34

H R HI I M. 0 0 M. 0 0

4 4 3

0 0 0 R0 0

2

+

= + = +

3) Cas particulier dun disque et dun barreau cylindrique. Masse M, rayon R et dpaisseur ngligeable devant R :

Le terme MH

12 est alors ngligeable devant

MR

4 et on obtient alors au centre du disque :

( )G

x,y,z

1 0 0MR

I (disque) . 0 1 04

0 0 2

=

Cas dune tige cylindrique de masse M dont le rayon est ngligeable devant la longueur H.

Cest alors le terme MR

4 qui trs petit devant le terme

MH

12. Si G est le centre dinertie du

barreau et O lune de ses extrmits.

Chap2 : Elments dinertie EXERCICES de MECANIQUE

Professeur : Franck Besnard CPGE PSI

3

G

R

H0 0

12

HI (tige) M. 0 0

12

R0 0

2

=

et O

R

H0 0

3

HI (tige) M. 0 0

3

R0 0

2

=

Chap2 : Elments dinertie EXERCICES de MECANIQUE

Professeur : Franck Besnard CPGE PSI

4

Exercice 6 : 1)

Chap2 : Elments dinertie EXERCICES de MECANIQUE

Professeur : Franck Besnard CPGE PSI

5