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Fonctions Fonctions usuellesusuelles
Espérance de vie à la Espérance de vie à la naissancenaissance
Un indicateur fondé uniquement sur des données Un indicateur fondé uniquement sur des données de mortalité : le nombre moyen d'années que peut de mortalité : le nombre moyen d'années que peut espérer vivre une personne (dans les conditions espérer vivre une personne (dans les conditions environnementales de la période considérée).environnementales de la période considérée).
On peut suivre l’augmentation de l’espérance de vie à la naissance entre 1981 et 2000, chez les hommes et les femmes.
Espérance de vie = Espérance de vie = f f (temps)(temps)
E t 0,25 431,86E t
La droiteLa droite f x x
2T T
Le taux de croissance Le taux de croissance individuelindividuel
min
max
max
0
opt
T
T
T
Escherichia coli :min
1max
8
=37°C avec 1opt
T C
T h
Parabole (ou polynôme de Parabole (ou polynôme de degré 2)degré 2)
2f x ax bx c 2f x ax b
242 4b ac b
fa a
2f x ax bx c
2
2
2 2
1 2
Résoudre 0
4
Si 0, alors :
4 4 et
2 2
ax bx c
b ac
b b ac b b acx x
a a
Réaction enzymatiqueRéaction enzymatique
Le substrat Le substrat SS est transformé par l’enzyme est transformé par l’enzyme EE en en un produit un produit PP..
[[SS] : concentration en substrat] : concentration en substrat
ES P
maxM
V SV
K S
max
max
lim
2
S
M
V V
VV S K
E.E. Variations :Variations :
F.F. Concavité :Concavité :
G.G. AsymptotesAsymptotes
H.H. GrapheGraphe
Étude de la fonction Étude de la fonction HyperboleHyperbole
f x
f x
A.A. DDff
B.B. SymétrieSymétrie
C.C. Points particuliersPoints particuliers
D.D. Limites - Limites -
ContinuitéContinuité
1f xx
Mesurer les magnitudes Mesurer les magnitudes d’un tremblement de terred’un tremblement de terre
AA amplitude des oscillations, amplitude des oscillations,
TT période des oscillations période des oscillations
M = ln (A / T)M = ln (A / T)
Japon 1906 Japon 1906 A / T=3641A / T=3641 M M = = ??
Chili 1960 Chili 1960 A / T=13360A / T=13360 M = M = ??Échelle de Richter
100
1000
10
2143
5
6
7A / T
M = ln (A / T)
L’échelle logarithmique rapproche des valeurs qui sont de plus en plus éloignées
500
PropriétésPropriétés ln (1) = 0ln (1) = 0
ln (ln (a ba b) = ln() = ln(aa) +ln() +ln(bb))donc ln (donc ln (a a nn) = n ln() = n ln(aa))
ln (ln (aa//bb) = ln() = ln(aa) – ln() – ln(bb))donc ln(1/donc ln(1/bb) = – ln() = – ln(bb))
Logarithme en base 10 : LogLogarithme en base 10 : Log1010(a) = (a) = ln(a)/ln(10) ln(a)/ln(10)
donc Logdonc Log1010(10(10nn) = n) = n
E.E. Variations :Variations :
F.F. Concavité :Concavité :
G.G. AsymptotesAsymptotes
H.H. GrapheGraphe
Étude de la fonction Étude de la fonction ln(x)ln(x)Logarithme népérienLogarithme népérien
f x
f x
A.A. DDff
B.B. SymétrieSymétrie
C.C. Points particuliersPoints particuliers
D.D. Limites - Limites -
ContinuitéContinuité
La fonction logarithme La fonction logarithme népériennépérien
ln1 0
Croissance d’une population de Croissance d’une population de tourterellestourterelles
Au début du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques ont envahi l’Europe d’Est en Ouest et arrivent en Grande Bretagne : 1 lieu recensé en 1955… 501 en 1964
On s’intéresse à l’accrois-sement de la populationde ces tourterelles en GB.
Hypothèse : Le nombre de tourterelles est proportionnel au nombre d’endroits où l’espèce est recensée.
Données : fonction Données : fonction (modèle) ?(modèle) ?
Temps
Lieux
1955 1
1956 2
1957 6
1958 15
1959 29
1960 58
1961 117
1962 204
1963 342
1964 501
btN ae
PropriétésPropriétés Notation : exp(Notation : exp(xx) ou e ) ou e xx
exp(0) = 1 exp(0) = 1 exp(1) = eexp(1) = e
exp(exp(a a ++bb) = exp() = exp(aa) exp() exp(bb))donc exp(donc exp(a pa p) = exp() = exp(aa))pp
exp(exp(a a - - bb) = exp() = exp(aa) / exp() / exp(bb))donc exp(- donc exp(- bb) = 1 / exp() = 1 / exp(bb))
La fonctionLa fonction expexp est la est la fonction réciproque de la fonction réciproque de la
fonctionfonction lnlnDéfinitions
f admet une fonction réciproque s’il existe une fonction g telle que f o g = g o f = Identité
où f o g est la fonction composée définie par
f o g (x) = f ( g (x) )
ouln exp exp lnx x y y
La transformation La transformation logarithmiquelogarithmique
btN ae ln ln N a bt
““logarithme(exponentielle) = droite”logarithme(exponentielle) = droite”
E.E. Variations :Variations :
F.F. Concavité :Concavité :
G.G. AsymptotesAsymptotes
H.H. GrapheGraphe
Étude de la fonction Étude de la fonction exp(x)exp(x)
f x
f x
A.A. DDff
B.B. SymétrieSymétrie
C.C. Points particuliersPoints particuliers
D.D. Limites - Limites -
ContinuitéContinuité
Graphe Graphe
Autres fonctions Autres fonctions usuellesusuelles
Fonctions Fonctions trigonométriquestrigonométriques
cosf x x sinf x x
Variations de la dureté de Variations de la dureté de l’eau du Rhône en fonction l’eau du Rhône en fonction
du tempsdu temps cosD t f t
La relation allométriqueLa relation allométrique
L’allométrie est L’allométrie est l’étude des tailles l’étude des tailles relatives des relatives des différentes parties différentes parties d’un organisme, d’un organisme, sous l’influence de sous l’influence de la croissance.la croissance.
Classiquement, on Classiquement, on cherche à relier la cherche à relier la taille et le poids taille et le poids d’un individu. d’un individu.
mp M
1.54m
E.E. Variations :Variations :
F.F. Concavité :Concavité :
G.G. AsymptotesAsymptotes
H.H. GrapheGraphe
Étude de la fonction Étude de la fonction f f ((xx)) = x= xmm
f x
f x
A.A. DDff
B.B. SymétrieSymétrie
C.C. Points particuliersPoints particuliers
D.D. Limites - Limites -
ContinuitéContinuité
Fonctions puissancesFonctions puissances
mf x x
Prochain RDVProchain RDV Vendredi 24 Vendredi 24
septembre 8h15septembre 8h15Lire le Chap. Primitive – Lire le Chap. Primitive –
IntégrationIntégration
Premier TDPremier TD : Exercice Série 1 : Exercice Série 1 1-1**, 1-2**, 1-3**1-1**, 1-2**, 1-3**
2-1*, 2-2*, 3-2*, 4-1*2-1*, 2-2*, 3-2*, 4-1*6-1**6-1**
Le site web Le site web MathSVMathSV
http://mathsv.univ-http://mathsv.univ-lyon1.fr/lyon1.fr/
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