Fonctions usuelles. Espérance de vie à la naissance Un indicateur fondé uniquement sur des données de mortalité : le nombre moyen d'années que peut espérer

Fonctions Fonctions usuellesusuelles

Espérance de vie à la Espérance de vie à la naissancenaissance

Un indicateur fondé uniquement sur des données Un indicateur fondé uniquement sur des données de mortalité : le nombre moyen d'années que peut de mortalité : le nombre moyen d'années que peut espérer vivre une personne (dans les conditions espérer vivre une personne (dans les conditions environnementales de la période considérée).environnementales de la période considérée).

On peut suivre l’augmentation de l’espérance de vie à la naissance entre 1981 et 2000, chez les hommes et les femmes.

Espérance de vie = Espérance de vie = f f (temps)(temps)

E t 0,25 431,86E t

La droiteLa droite f x x

2T T

Le taux de croissance Le taux de croissance individuelindividuel

min

max

max

0

opt

T

T

T

Escherichia coli :min

1max

8

=37°C avec 1opt

T C

T h

Parabole (ou polynôme de Parabole (ou polynôme de degré 2)degré 2)

2f x ax bx c 2f x ax b

242 4b ac b

fa a

2f x ax bx c

2

2

2 2

1 2

Résoudre 0

4

Si 0, alors :

4 4 et

2 2

ax bx c

b ac

b b ac b b acx x

a a

Réaction enzymatiqueRéaction enzymatique

Le substrat Le substrat SS est transformé par l’enzyme est transformé par l’enzyme EE en en un produit un produit PP..

[[SS] : concentration en substrat] : concentration en substrat

ES P

maxM

V SV

K S

max

max

lim

2

S

M

V V

VV S K

E.E. Variations :Variations :

F.F. Concavité :Concavité :

G.G. AsymptotesAsymptotes

H.H. GrapheGraphe

Étude de la fonction Étude de la fonction HyperboleHyperbole

f x

f x

A.A. DDff

B.B. SymétrieSymétrie

C.C. Points particuliersPoints particuliers

D.D. Limites - Limites -

ContinuitéContinuité

1f xx

Mesurer les magnitudes Mesurer les magnitudes d’un tremblement de terred’un tremblement de terre

AA amplitude des oscillations, amplitude des oscillations,

TT période des oscillations période des oscillations

M = ln (A / T)M = ln (A / T)

Japon 1906 Japon 1906 A / T=3641A / T=3641 M M = = ??

Chili 1960 Chili 1960 A / T=13360A / T=13360 M = M = ??Échelle de Richter

100

1000

10

2143

5

6

7A / T

M = ln (A / T)

L’échelle logarithmique rapproche des valeurs qui sont de plus en plus éloignées

500

PropriétésPropriétés ln (1) = 0ln (1) = 0

ln (ln (a ba b) = ln() = ln(aa) +ln() +ln(bb))donc ln (donc ln (a a nn) = n ln() = n ln(aa))

ln (ln (aa//bb) = ln() = ln(aa) – ln() – ln(bb))donc ln(1/donc ln(1/bb) = – ln() = – ln(bb))

Logarithme en base 10 : LogLogarithme en base 10 : Log1010(a) = (a) = ln(a)/ln(10) ln(a)/ln(10)

donc Logdonc Log1010(10(10nn) = n) = n




H.H. GrapheGraphe

Étude de la fonction Étude de la fonction ln(x)ln(x)Logarithme népérienLogarithme népérien

f x

f x

A.A. DDff





La fonction logarithme La fonction logarithme népériennépérien

ln1 0

Croissance d’une population de Croissance d’une population de tourterellestourterelles

Au début du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques ont envahi l’Europe d’Est en Ouest et arrivent en Grande Bretagne : 1 lieu recensé en 1955… 501 en 1964

On s’intéresse à l’accrois-sement de la populationde ces tourterelles en GB.

Hypothèse : Le nombre de tourterelles est proportionnel au nombre d’endroits où l’espèce est recensée.

Données : fonction Données : fonction (modèle) ?(modèle) ?

Temps

Lieux

1955 1

1956 2

1957 6

1958 15

1959 29

1960 58

1961 117

1962 204

1963 342

1964 501

btN ae

PropriétésPropriétés Notation : exp(Notation : exp(xx) ou e ) ou e xx

exp(0) = 1 exp(0) = 1 exp(1) = eexp(1) = e

exp(exp(a a ++bb) = exp() = exp(aa) exp() exp(bb))donc exp(donc exp(a pa p) = exp() = exp(aa))pp

exp(exp(a a - - bb) = exp() = exp(aa) / exp() / exp(bb))donc exp(- donc exp(- bb) = 1 / exp() = 1 / exp(bb))

La fonctionLa fonction expexp est la est la fonction réciproque de la fonction réciproque de la

fonctionfonction lnlnDéfinitions

f admet une fonction réciproque s’il existe une fonction g telle que f o g = g o f = Identité

où f o g est la fonction composée définie par

f o g (x) = f ( g (x) )

ouln exp exp lnx x y y

La transformation La transformation logarithmiquelogarithmique

btN ae ln ln N a bt

““logarithme(exponentielle) = droite”logarithme(exponentielle) = droite”




H.H. GrapheGraphe

Étude de la fonction Étude de la fonction exp(x)exp(x)

f x

f x

A.A. DDff





Graphe Graphe

Autres fonctions Autres fonctions usuellesusuelles

Fonctions Fonctions trigonométriquestrigonométriques

cosf x x sinf x x

Variations de la dureté de Variations de la dureté de l’eau du Rhône en fonction l’eau du Rhône en fonction

du tempsdu temps cosD t f t

La relation allométriqueLa relation allométrique

L’allométrie est L’allométrie est l’étude des tailles l’étude des tailles relatives des relatives des différentes parties différentes parties d’un organisme, d’un organisme, sous l’influence de sous l’influence de la croissance.la croissance.

Classiquement, on Classiquement, on cherche à relier la cherche à relier la taille et le poids taille et le poids d’un individu. d’un individu.

mp M

1.54m




H.H. GrapheGraphe

Étude de la fonction Étude de la fonction f f ((xx)) = x= xmm

f x

f x

A.A. DDff





Fonctions puissancesFonctions puissances

mf x x

Prochain RDVProchain RDV Vendredi 24 Vendredi 24

septembre 8h15septembre 8h15Lire le Chap. Primitive – Lire le Chap. Primitive –

IntégrationIntégration

Premier TDPremier TD : Exercice Série 1 : Exercice Série 1 1-1**, 1-2**, 1-3**1-1**, 1-2**, 1-3**

2-1*, 2-2*, 3-2*, 4-1*2-1*, 2-2*, 3-2*, 4-1*6-1**6-1**

Le site web Le site web MathSVMathSV

http://mathsv.univ-http://mathsv.univ-lyon1.fr/lyon1.fr/

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Fonctions usuelles. Espérance de vie à la naissance Un indicateur fondé uniquement sur des données de mortalité : le nombre moyen d'années que peut espérer