I – PRÉSENTATION

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Duréedel'épreuve:2h00Aucundocumentautorisé-L’usagedelacalculatriceestautorisé

Lesrésultatsdoiventêtreencadrés.L’écrituredoitêtredepréférenceàl'encrebleueetnonpasaucrayonàpapier.Si

uncandidatestamenéàrepérercequipeutluisemblerêtreuneerreurd’énoncé,illesignalerasursacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilaétéamenéàprendre.Ilestconseillédelirelatotalité

del'énoncéavantdecommencerl'épreuve.Les3partiessontindépendantes

I–PRÉSENTATION. On s’intéresse à un robot soudeur « 4axes»dont lemodèlecinématiqueestproposésurlafigure1.Le robot est supposé constitué dequatre solides articulés entre eux, lepremier solide étant articulé sur unsolidefixeS0.Chaque « axe » possède son propreactionneur, le mouvement qui lui estassocié peut donc être réaliséindépendammentdesautres.

Figure 1 : Modèle cinématique retenu

O4

S3

S4

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Lesrepèresliésàchaquesolideainsiqueleparamétrageassociésontdéfinisainsi:• LesolideS0,appelébase,estfixéausoldel’atelier.Onnote𝑅!(𝑂!, 𝑥!,𝑦!, 𝑧!)lerepèreliéàlabase.• Le solideS1, appelé fût, est en liaisonpivotd’axe(𝑂!, 𝑧!) avec labase S0. LemouvementderotationestassuréparunmoteurM1nonreprésenté.Onnote𝑅!(𝑂!, 𝑥!,𝑦!, 𝑧!)lerepèreliéaufûttelque𝑂!𝑂! = 𝐿!. 𝑧!.Onpose𝜃! = 𝑥!, 𝑥! = (𝑦!,𝑦!).• Le solideS2, appelébras, est en liaisonpivot d’axe (𝑂!, 𝑥!) avec le fût S1. Lemouvement derotationestassuréparunmoteurM2nonreprésenté.Onnote𝑅!(𝑂!, 𝑥!,𝑦!, 𝑧!)lerepèreliéaubrastelque𝑂!𝑂! = 𝐿!.𝑦!.Onpose𝜃! = 𝑦!,𝑦! = (𝑧!, 𝑧!).• LesolideS3,appeléavant-bras,estenliaisonpivotd’axe(𝑂!, 𝑥!)aveclebrasS2.LemouvementderotationestassuréparunmoteurM3nonreprésenté.Onnote𝑅!(𝑂!, 𝑥!,𝑦!, 𝑧!)lerepèreliéàl’avant-brastelque𝑂!𝑂! = 𝐿!.𝑦!.Onpose𝜃! = 𝑦!,𝑦! = (𝑧!, 𝑧!).• LesolideS4,appeléorganeterminal,estenliaisonglissièrededirection𝑧!avecl’avant-brasS3.LemouvementdetranslationestassuréparunvérinV4nonreprésenté.Onnote𝑅!(𝑂!, 𝑥!,𝑦!, 𝑧!)lerepèreliéàl’organeterminaltelque𝑂!𝑂! = 𝜆. 𝑧!.LerepèreR0,fixe,estsupposégaliléen.L’axe(𝑂!, 𝑧!)estverticalascendant.L’accélérationdelapesanteurestnotéegavecg=9,81m.s-2.L0=L1=1,5mL2=0,5mCaractéristiquesdesactionneurs:

Actionneur Vitessemax AccélérationmaxM1

50tours.min-1 2rad.s-2M2M3V 1m.s-1 1m.s-2

Objectifs:

-déterminerlacommandedes«axes»lorsdelaréalisationd’uncordondesoudurelinéairededirection𝑦!,-vérifierquel’accélérationmaximaledel’organeterminallorsdelaphasededégagementdurobotestinférieureà1,5g.

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II–TRAVAILDEMANDE.II.1.ÉtudecinématiquegénéraleQuestion1: Réaliserlegraphedeliaisonsdurobotsoudeur. Justifierl’appellation«Robotsoudeur4axes».Question2: Dessiner les figures géométrales correspondant aux différents mouvements entre lessolides.Quepeut-ondiredesbasesB3etB4?Question3: Indiquer,souschacunedecesfigures,l’expressionduvecteurrotationcorrespondant.Question4: Endéduirel’expressiondeΩ!/!.Question5: Exprimerlavitesse𝑉!!,!/!. Exprimeralorsdetorseurcinématique 𝑉!/! aupointO1.Question6: Exprimer,parlecalculdirect,lavitesse𝑉!!,!/!. Endéduirel’expressiondel’accélérationΓ!!,!/!. Exprimeralorsdetorseurcinématique 𝑉!/! aupointO2.Question7: Enutilisant larelationdecompositiondesvitesseset larelationduchampdesvecteursvitessed’unsolide(formuledechangementpointdesvecteursvitesse),démontrerque:VO4∈4/0! "!!!!!

= #θ1 ⋅ (λ sin(θ2 +θ3)− L2 cos(θ2 +θ3)− L1 cosθ2 ) ⋅ x2!"!+ L1 #θ2 ⋅ z2

!"!−λ( #θ2 + #θ3) ⋅ y3

!"!+ (L2 ( #θ2 + #θ3)+ #λ) ⋅ z3

!"

II.2.Casd’utilisation1:Réalisationducordondesoudure:On souhaite réaliser un cordon de soudure linéaire de direction 𝑦! et à vitesse constante tel que𝑉!!,!/! = 𝑉.𝑦!avecV=constante.Ilestnécessaire,pourquelecordondesouduresoitcorrectementréalisé,que:-θ1=0(MoteurM1bloqué),-𝛼 = 𝑧!, 𝑧! = 𝜃! + 𝜃!=constante,Question8: Àl’aidedeces2conditions,simplifierl’expressionde𝑉!!,!/!obtenueàlaquestion7.Question9: Exprimercetterelationsimplifiéede𝑉!!,!/!danslabase𝐵!(𝑥!,𝑦!, 𝑧!).Question10: On souhaite 𝑉!!,!/! = 𝑉.𝑦! avec V = constante lors de la réalisation du cordon desoudure. Àl’aidelaquestion9,déduire2relationsentrelesparamètrescinématiques.Question11:Expliquerlaméthodepermettantd’établirlacommandedesaxesàpartirdesrésultatsdelaquestionprécédente(ondétailleralescalculsàlafindel’épreuves’ilrestedutemps).

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II.3.Casd’utilisation2:Dégagementrapideaprèsréalisationducordondesoudure:Après la fin de l’opération de soudage, le robot effectue un dégagement rapide du solide 4 afin depermettre l’enlèvementdelapiècesoudéeet l’arrivéed’unenouvellepièceàsouder(moteursM1etvérinV4àvitesseetaccélérationmaximales).Lors de cette phase, les moteurs M2 et M3 sont bloqués afin de maintenir le solide 2 en positionverticaleetlesolide3enpositionhorizontale:𝜃! =

!!et𝜃! = − !

!(1).

Question12:Représenter le schéma cinématique du robot dans le plan (𝑂!,𝑦!, 𝑧!) dans laconfigurationdedégagementrapide(onferaapparaîtrelesanglesθ2etθ3).Question13:À l’aidede la condition (1), simplifier l’expressionde𝑉!!,!/!obtenueà laquestion7etexprimerl’accélérationΓ!!,!/!.Question14:Exprimeralorslanormedel’accélération Γ!!,!/! . Effectuerl’applicationnumériqueetconclurequantaurespectducahierdeschargeslorsdelaphasededégagementrapide.