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Intégrale Double
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Intgrale double Elabor par M. NUTH Sothan
I- Notion de lintgrale double
1. Calculer laire dun trapze curviligne :
x i
f(x i)
a b 0 x
y
Notion de lintgrale double (suite)
sappelle la somme de Riemann de f(x) .
2. Calculer le volume dun corps limit en haut par une
surface continue :
z=f(x, y) ( f(x, y) 0 )
en bas par le domaine ferm born S du plan XOY .
1
max 00
lim ( ) ( )i
bn
i ix
i a
f x x f x dx
Notion de lintgrale double (suite)
La somme :
1
( , ) (2)n
i i i
i
f x y S V
reprsente le volume dun corps qui sappelle la somme
de Riemann bidimensionnelle tendue un domaine
S de f(x, y) .
Soit di le diamtre de Si .
Soit d = max di
Notion de lintgrale double (suite)
On obtient :
On a :
o f(x, y) est intgrable.
01
lim ( , ) (3)n
i i id
i
V f x y S
01
lim ( , ) = ( , ) (4)n
i i id
i S
f x y S f x y ds
V= ( , ) (5)S
f x y ds
Notion de lintgrale double (suite)
Th1: Si S est un domaine born et ferm frontire lisse par morceaux et si f(x, y) est continue sur ce
domaine S, lintgrale double :
Comme (6) est la somme bidimensionnelle, on a :
Sij = xi yj et ds = dx dy (7)
01
( , ) lim ( , ) (6)n
i i id
iS
f x y ds f x y S
Notion de lintgrale double (suite)
On obtient :
o (xi, yj) Sij
max 01 1
max 0
( , ) lim ( , ) (8)i
j
n n
i j i jx
i jSy
f x y dxdy f x y x y
II- Intgrale double en coordonne
cartsiennes rectangulaires : Soit le domaine dintgration S reprsente un trapze
curviligne :
a x b , y1(x) y y2(x) (1)
o y1(x) et y2(x) sont continues sur [a, b] .
(1) sappelle le domaine standard par rapport laxe
OY.
Soit f(x, y) continue sur S. Alors, lintgrale double est
( , ) (2)
S
I f x y dxdy
Intgrale double en coordonne
cartsiennes rectangulaires (suite): y
0 x a b x
M2
M1
A2
A1
B2
B1
y = y2 (x)
y = y1 (x)
S
y2
y1
Intgrale double en coordonne
cartsiennes rectangulaires (suite): 1. Supposons que f(x, y) 0 dans S.
Soit (x) laire de la section de cylindrode par le plan M1 M2 M2 M1 Ox au point x [a, b] .
Donc
ou
( , )S
I f x y dxdy
( ) (3)
b
a
I x dx
Intgrale double en coordonne
cartsiennes rectangulaires (suite): O
continue sur [a, b] .
On obtient :
2
1
( )
( )
( ) ( , ) (4)
y x
y x
x f x y dy
2
1
( )
( )
( , ) ( , ) (5)
y xb
S a y x
f x y dxdy dx f x y dy
Intgrale double en coordonne
cartsiennes rectangulaires (suite): z
0 y a
z=f(x, y)
x
M1 M2
A2 A1
B2 B1
y = y2 (x) S
(x)
b y = y1 (x)
A2 A1
B1 B2
M1 M2
x
Intgrale double en coordonne
cartsiennes rectangulaires (suite): 2. Soit le domaine dintgration S reprsente un trapze
curviligne :
c y d , x1(y) x x2(y) (6)
o x1(y) et x2(y) sont continues sur [c, d] .
(6) sappelle le domaine standard par rapport laxe
OX.
Soit f(x, y) continue sur S. Alors, lintgrale double est
2
1
( )
( )
( , ) ( , ) (7)
x yd
S c x y
f x y dxdy dy f x y dx
Intgrale double en coordonne
cartsiennes rectangulaires (suite): y
0 x
c
d
x
M1 M2
A2 A1
B2 B1
x = x2 (y) x = x1 (y)
S
Intgrale double en coordonne
cartsiennes rectangulaires (suite): 3. Soit le domaine dintgration S reprsente un trapze
curviligne :
a x b , c y d (8)
Soit f(x, y) continue sur S. Alors, lintgrale double est
ou
( , ) ( , ) (9)
b d
S a c
f x y dxdy dx f x y dy
( , ) ( , ) (10)
d b
S c a
f x y dxdy dy f x y dx
Intgrale double en coordonne
cartsiennes rectangulaires (suite):
y
0 x
c
d
x
M2
M2 A2 A1
B2 B1
S
a b
Intgrale double en coordonne
cartsiennes rectangulaires (suite): Remarque : Si le domaine dintgration S nest par
standard, on subdivise en S1 , S2 , ... , Sp .
Alors, lintgrale double est
1 2
( , ) ( , ) ( , ) ...S S S
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy
( , )
pS
f x y dxdy
Exemples :
Ex.1: Calculer lintgrale :
o S : 0 x 1 , 0 y 1.
Ex.2: Calculer lintgrale :
o S : 0 x 1 , -2 y 3.
Ex.3: Calculer lintgrale :
o S est un triangle de sommets O(0, 0), A(2, 0) et B(2,
1). Alors S: 0 x 2 , 0 y x/2.
2 2( )S
I x y dxdy
2
S
I xy dxdy
2
S
I x ydxdy
Exemples
Ex.4: Intervertir lordre des intgrations dans
lintgrale itre :
Ex.5: Mettre les limites dintgration dans lintgrale :
o S: x2 + y2 = 1 et x2 + y2 = 4
2
1
0
( , )
x
x
I dx f x y dy
( , )S
I f x y dxdy
III- Intgrale double en coordonne
polaires: Soit
Passons en coordonne polaire r=r(), On pose : x= r cos , y= r sin (2) On obtient:
( , ) ( , ) (1)S S
f x y dxdy f x y ds
( , ) ( cos , sin ) (3)S S
f x y dxdy f r r J drd
III- Intgrale double en coordonne
polaires (suite): O le jacobien
2 2sin cos
= = (sin cos )cos sin
(4)
x x
rrJ r
y y r
r
J r
III- Intgrale double en coordonne
polaires: On obtient:
( , ) ( cos , sin ) (5)
S S
f x y dxdy f r r rdrd
Exemples:
Ex. : Passer aux coordonnes polaires les domaines
suivantes:
1. x2 + y2 = R2 .
2. x2 + y2 ax .
3. x2 + y2 by .
4. x2 + y2 = 4x , x2 + y2 = 8x , y= x , y= 2x .
5. x2 + y2 ax , x2 + y2 by .
6. (x2 + y2)2 = a2 (x2 - y2) .
7. (x2 + y2)3 4a2 x2 y2 . x 0, y 0 .
III- Intgrale double en coordonne
polaires (suite): En gnral:
On pose: x= x(u, v), y=y(u, v)
Alors:
(6)
x x
u vJ
y y
u v
III- Intgrale double en coordonne
polaires (suite): On obtient:
( , ) ( ( , ), ( , )) (7)
S S
f x y dxdy f x u v y u v J dudv
Exemples:
Ex. : Calculer lintgrale:
o S : y = x + 1, y = x 3, y = 1/3x + 7/3,
y = 1/3x + 5.
On peut poser : u = y x , v = y + 1/3x.
Dans les coordonnes Ouv , on a :
S : u = 1 , u = 3 , v = 7/3 , v = 5
on obtient : x = 3/4u + 3/4v , y = 1/4u + 3/4v .
et J = 3/4 .
( )S
I y x dxdy
Exemples:
On a :
5 1
7 3
3
3 3( ) 8
4 4S S
I y x dxdy u dudv ududv
IV- Intgrale dEuler-Poisson:
Calculer lintgrale dEuler-Poisson :
Comme lintgrale dfinie ne dpende pas de la
dsignation de la variable, on peut crire :
2
0
(1)xI e dx
2
0
(2)yI e dy
IV- Intgrale dEuler-Poisson (suite):
En multipliant (1) et (2), on obtient :
o S : 0 x < + , 0 y < + .
En passant aux coordonnes polaires, on obtient :
2 22 ( ) (3)x y
S
I e dxdy
2 2 22
220
00 0
1= ( )
2 4
r r r
S
I e rdrd d re dr e
IV- Intgrale dEuler-Poisson (suite):
Comme I est positif, on en dduit que :
et enfin :
2
0
2
xI e dx
2xI e dx
V- Thorme de la moyenne:
Soit f(x, y) est continue dans un domaine ferm born
S.
Soit :
Donc :
min ( , )
max ( , )
S
S
m f x y
M f x y
1
( , )n
i i i
i
mS f x y S MS
V- Thorme de la moyenne (suite):
Soit :
Quand d 0 , on obtient :
En suite :
On note :
qui sappelle la valeur moyenne de f(x, y) dans S.
max ( ).ii
d d S
( , ) (2)S
mS f x y ds MS 1
( , )S
m f x y ds MS
1
( , ) (3)S
f x y dsS
V- Thorme de la moyenne (suite):
Daprs (3), on peut crire :
Ex. : Evaluer lintgrale
o S : 0 x 1 , 0 y 1.
On a :
( , ) (4)S
f x y ds S2 2
S
I x y dxdy
min ( , ) (0,0) 0
max ( , ) (1,1) 2
S
S
m f x y f
M f x y f
V- Thorme de la moyenne (suite):
Puisque S=1, on a : 0 I 1,41.
Alors : I (0+1,41)/2 0,71.
Et la valeur exacte de cette intgrale :
I =[ +ln(1+ )]/3 0,79.
2
22
VI- Application gomtrique de
lintgrale double: 1. Volume limit en haut par la surface z=f(x, y) et en
bas par le domaine S du plan XOY.
Soit z=f(x, y) continue sur S
o S={a x b , y1(x) y y1(x) }
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
y xb
S a y x
V f x y dxdy dx f x y dy
VI- Application gomtrique de
lintgrale double (suite): 2. Surface de domaine S du plan XOY.
Soit f(x, y)=1
o S={a x b , y1(x) y y1(x) }
2
1
( )
( )
y xb
a y x
S dx dy
VI- Application gomtrique de
lintgrale double (suite): 3. Laire de surface z= f(x, y) .
o D est la projection de la surface z = f(x, y) sur le
plan Oxy.
22
1D
z zS dxdy
x y
Exemple :
Ex. 1 :Calculer laire de la portion de plan :
comprise entre les plans de coordonnes.
1x y z
a b c
Exemple :
Ex. 2 :Calculer laire de surface dune sphre de centre
O(0, 0, 0) et de rayon R.
On a :
o D est la projection de la surface z = f(x, y) sur le
plan Oxy.
22
1D
z zS dxdy
x y
Exemples:
Ex.3: Calculer laire
de surface limit par
les courbes suivantes :
2 2 et y x x y x
x
y
0
y=x
(3, 3)
Exemples:
Ex.2: Calculer le volume limit par le plan z=x , le
cylindre x2 + y2 = 4 et le plan XOY :
y
x
z
0
Exemples:
Ex.3: Calculer le volume du corps limit par les
surfaces z=x2 , z=0 , x=0 , y=0 , x+y=1 .
Ex.4: Calculer laire de surface limit par les courbes :
y=a2 /x , y=2a2 /x ,(a > 0) et les droites : x=1 , x=2 .
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