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Introductionà l’analyse numérique
Jacques RappazMarco Picasso
Presses polytechniques et universitaires romandes
http://fribok.blogspot.com/
Les auteurs et l’éditeur remercient l’Ecole polytechnique fédérale de Lausannedont le soutien financier a rendu possible la publication de cet ouvrage.
LA COLLECTION «ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES» EST ÉDITÉE SOUS LA DIRECTION DU
PROFESSEUR ROBERT C. DALANG
Recherche opérationnelle pour ingénieurs IDominique de Werra, Thomas M. Liebling, Jean-François Hêche
Recherche opérationnelle pour ingénieurs IIJean-François Hêche, Thomas M. Liebling, Dominique de Werra
Calcul différentiel et intégralJacques Douchet et Bruno Zwahlen1 Fonctions réelles d’une variable réelle2 Fonctions réelles de plusieurs variables réelles3 Fonctions réelles d’une variable réelle – Exercices résolus4 Fonctions réelles de plusieurs variables réelles – Exercices résolus
Algèbre linéaireAide-mémoire, exercices et applicationsRobert C. Dalang et Amel Chaabouni
Analyse avancée pour ingénieursBernard Dacorogna, Chiara Tanteri
Initiation aux probabilitésSheldon M. Ross
Cours d’AnalyseSrishti D. Chatterji1 Analyse vectorielle2 Analyse complexe3 Equations différentielles
DANS LA COLLECTION «MÉTHODES MATHÉMATIQUES POUR L’INGÉNIEUR»
Introduction à la statistiqueStephan Morgenthaler
Aide-mémoire d’analyseHeinrich Matzinger
Les Presses polytechniques et universitaires romandes sont une fondationscientifique dont le but est principalement la diffusion des travauxde l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne ainsi que d’autres universités et écoles d’ingénieurs francophones.Le catalogue de leurs publications peut être obtenu par courrier auxPresses polytechniques et universitaires romandes,EPFL – Centre Midi, CH-1015 Lausanne, par E-Mail à ppur@epfl.ch,par téléphone au (0)21 693 41 40, ou par fax au (0)21 693 40 27.
www.ppur.org
ISBN 2-88074-363-X© 1998, 2000, 2004, Presses polytechniques et universitaires romandes,CH – 1015 LausanneImprimé en ItalieTous droits réservés.Reproduction, même partielle, sous quelque formeou sur quelque support que ce soit, interdite sans l’accord écrit de l’éditeur.
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2
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5
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4
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8
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# 5 #ψ1
$ + 4 ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( 1 # ψ′
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$ ) + = 4 # ) *ψ1(t) =
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(t1 − t0)2. 0 / 1
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$ + ) 4 ) ( 4 # , # ) 4 ) ! ( # ) ! ) $; = %# ' # % W _ J > H < P L B J ` : N E R J > ϕ0, ϕ1, ψ0, ψ1 : B R JE L < E J P >J @ J P3
H < JE : < > P ` ` JN N J B : E > P >J @ JB R A L J @ J L ` J U< A H < J P > >: UA \ J t0 JL t1 b ) $ l ? # 2 8 ) + $ O + ) $ # ( $ # ) (
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) 4 5 # , # ) d 1 ) 9 + ) $ 4 = $ #! J 3 # , 4 #ϕ0, ϕ1, ψ0, ψ1
! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( 1 $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $t0, t1
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# $ # + 1 ) t , # ! #! # ? (3
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p! ( l ) 4
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0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t0 t1
ϕ0 ϕ1
ψ0
ψ1
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0≤i≤N−1|xi+1 − xi|,
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JL > : A Lfh
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n
)(n+1)
maxt∈[xi,xi+1]
|f (n+1)(t)|.
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maxt∈[xi,xi+1]
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(
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|xj+1 − xj |)n+1 0 / 1 1
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2(n+ 1)n(n+1)maxt∈[a,b]
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8x3 = 0.6
8x4 = 0.8
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-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8a = x0 x1 x2 x3 b = x4
x1.7 + 0.1e3x sin(13x)interpolant
X # R W W w ) # + 4 + ) 4 ) # O # $ ! #f
! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? (
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-0.2
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1.2
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x1.7 + 0.1e3x sin(13x)interpolant
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0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8a = x0 x1 x2 x3 b = x4
x1.7 + 0.1e3x sin(13x)interpolant
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! + ) # ? ' # $ $ # # $ + 4 ) $(k − 1, f(k − 1)
),(k, f(k)
),(k + 1, f(k + 1)
),(k + 2, f(k + 2)
).
, , D W d ? + 4 ' , # [ + ) 4 $ $ ) p = p(t)
V 4 ! #t
R# ' % ' , #
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ψ1(x) :=1
2(x + 1)(x− 1)(x− 2)
ψ2(x) := −1
2(x+ 1)x(x − 2)
ψ3(x) :=1
6(x + 1)x(x− 1) 4 #
t
k := E[t] 4t = k
p := fk; 4 ) + )p := fk−1 ∗ ψ0(t− k)
+fk ∗ ψ1(t− k)
+fk+1 ∗ ψ2(t− k)
+fk+2 ∗ ψ3(t− k)
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8ψ1
8ψ2
8ψ3
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4t# $ # ) 4 #
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+ f(k + 1)ϕ2(t) + f(k + 2)ϕ3(t),0 / 1
+ 4ϕ0
8ϕ1
8ϕ2
8ϕ3
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8k8k + 1
8k + 2
) 4 4 $ ) J ( ? 4 ( 0 2 1 8 ) 9 9 $ 4 , #! + ) ) # *ϕ0(t) = −1
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2(t− k + 1)(t− k − 1)(t− k − 2),
ϕ2(t) = −1
2(t− k + 1)(t− k)(t− k − 2),
ϕ3(t) =1
6(t− k + 1)(t− k)(t− k − 1).
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8ψ2
8ψ3
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ψ2(x) = ϕ2(x+ k), ψ3(x) = ϕ3(x+ k),$ + 4 # ) 9 + #ψ0(x) = −1
6x(x − 1)(x− 2),
ψ1(x) =1
2(x+ 1)(x− 1)(x− 2),
ψ2(x) = −1
2(x+ 1)x(x − 2),
ψ3(x) =1
6(x+ 1)x(x − 1).
J ( ? 4 ( 0 / 1 $ J ( 9 4 , 4 ) # ) ) *p(t) =f(k − 1)ψ0(t− k) + f(k)ψ1(t− k)
+ f(k + 1)ψ2(t− k) + f(k + 2)ψ3(t− k). J ? + 4 ' , # 9 + # $ + ) ! ) # $ ( $ # ) ( ! ) $ # = # # $ , . # $! J # ) ( # $ + ) t ∈ R
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p# $
O # p(t)f k # k W : + 4
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0 <ε < t1 − t0 I 4 9 4 # ) + 1 ) t , #
pε! # ! # ? (1 # 5 #
pε(t0) = pε(t0 + ε) =1,
pε(t1) = pε(t1 + ε) =0.
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/ 4ϕ(t) = lim
ε→0pε(t)
8 , + ) # 5 #ϕ(t0) = 1
8ϕ(t1) = ϕ′(t0) = ϕ′(t1) =
08 # 4 ) $ 4
ϕ# $ ) # [ + ) 9 4 + ) ! # = $ #! # $ + 1 ) t , # $ ! #! # ? ( 1 + J 4 ) # + 4 + ) ! J 3 # , 4 # 0 $ # 9 2 1
j D ' # % + 4 ϕ0
8ϕ1
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8ϕ3
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$ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $t0
8t0 + ε
8t1
8t1 + ε
) 4 4 $ ) # ( $ 0 6 1 ) + $ O + ) $ *pε(t) = ϕ0(t) + ϕ1(t).
J # 8 J ( ? 4 ( 0 2 1 ! + ) ) #*ϕ0(t) =
(t− t0 − ε)(t− t1)(t− t1 − ε)
(−ε)(t0 − t1)(t0 − t1 − ε),
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ε(t0 − t1 + ε)(t0 − t1).
) ( ! 4 $ ) # $ ! # I [ 9 4 + ) $ 9 4 N ! # $ $ $ V ) ! ( ) + , 4 ) # 9 + , , ) 8 ) + $+ = # ) + ) $ *pε(t) =
(t− t1)(t− t1 − ε)
ε(t0 − t1)(t0 − t1 − ε)(t0 − t1 + ε)
×(
(t0 − t1 − ε)(t− t0) − (t0 − t1 + ε)(t− t0 − ε)
)
=(t− t1)(t− t1 − ε)(3t0 − t1 − 2t+ ε)
(t0 − t1)(t0 − t1 − ε)(t0 − t1 + ε).
/ m ! ( l ) 4 4 + ) ! #ϕ8 ) + $ O + ) $ *
ϕ(t) = limε→0
pε(t) =(t− t1)
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(t0 − t1)3,
# ! + ) 9 8 # ) ! ( 4 O ) 8 ) + $ + = # ) + ) $ *ϕ′(t) =
2(t− t1)(3t0 − t1 − 2t) − 2(t− t1)2
(t0 − t1)3
= 6(t− t1)(t0 − t)
(t0 − t1)3.
9 + $ O + ) $ ! + ) 9 = 4 # )ϕ(t0) = 1
8ϕ(t1) = ϕ′(t0) = ϕ′(t1) = 0
8 9 # 5 4 + O #5 #ϕ
# $ ) # ! # $ 5 # [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ # ! # $ + 1 ) t , # $ ! J 3 # , 4 # ! # ! # ? ( 1 $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $t0
# t1 0 $ # 9 2 1
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) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( #$ J 4 ) # O # [−1,+1]# $ + 4
p # + 1 ) t , # ! # ! # ? ( / 5 4 4 ) # + #
f# ) # $ + 4 ) $ −1, 0,+1
I 4 , # ∫ +1
−1 p(t)dt# ) [ + ) 9 4 + )! #
f(−1), f(0)8 #
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p# $ ! ( l ) 4
p(t) = f(−1)ϕ0(t) + f(0)ϕ1(t) + f(+1)ϕ2(t),+ 4ϕ0
8ϕ1
8ϕ2
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$ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $ −1, 0,+1# # $ # I 4 9 4 ( # ! ) $ J # I # , # 9 + $ O + ) $ ! + ) 9
∫ +1
−1
p(t)dt = f(−1)
∫ +1
−1
ϕ0(t)dt+ f(0)
∫ +1
−1
ϕ1(t)dt+ f(+1)
∫ +1
−1
ϕ2(t)dt.
) 9 9 $ 4 , # ! + ) ) #∫ +1
−1
ϕ0(t)dt =1
3,
∫ +1
−1
ϕ1(t)dt =4
3,
∫ +1
−1
ϕ2(t)dt =1
3,
# 9 + ) $ ( 5 # ) ∫ +1
−1
p(t)dt =1
3
(
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.
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! ( l ) 4 # J(f) =
1
3
(
f(−1) + 4f(0) + f(+1))
.
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m 9 + ) $ 9 4 + ) 8 [ + , # ! # 5 ! #J(f)
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−1
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+ + + 1 ) t , #q
! # ! # ? ( ! # I ] # # [ + , # ! # 5 ! # $ J # # [ + , # ! # 4 , $ + ) 0 $ # 9 1 1
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8. . .
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8 ! # ! ( 4 O ( # $ # , 4 . # # $ # 9 + ) ! # 9 + ) 4 ) # $ 8 + 1 ) t , 4 # ! # ! # ? ( 1 $ 9 ' 5 # 4 ) # O # [tj−1, tj ]81 ≤ j ≤ n 0 O + 4 # I # , # / 2 / 8 + $ ! # ! ( 4 $ 1
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5
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f(x0 + h) − f(x0)
h
= limh→0
f(x0) − f(x0 − h)
h
= limh→0
f(x0 + h/2)− f(x0 − h/2)
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0 / 1
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=δhf(x+ h/2) − δhf(x− h/2)
=f(x+ h/2 + h/2)− f(x+ h/2 − h/2)
− [f(x− h/2 + h/2) − f(x− h/2− h/2)]
=f(x+ h) − 2f(x) + f(x− h).
0 / 8 1
# [ + )$ 4 , 4 4 # V 9 # 5 4 ( ( [ 4 ! ) $ # 9 $ + 4m = 1
8 ) + $ O ( 4 l + ) $ 5 # # $ + ( # $∆m
h
8 ∇mh
# δmh
$ + ) 4 ) ( 4 # $w # $ + $ $ 4 = # ! # ! ( , + ) # 5 # 8 $ 4f
# $ ) # [ + ) 9 4 + ) $ $ # ( ? 4 . # 0 f! # 9 $ $ #Cm+1 $ 4+ ) # ) ! ! # $ ! 4 h ( # ) 9 # $ + ? # $ $ 4 O # $ + ( + ? ! # $ +
f! #9 $ $ #
Cm+2 $ 4 + ) # ) ! ! # $ ! 4 h ( # ) 9 # $ 9 # ) ( # $ 1 # $ 4x0 ∈ R
# $ ! + ) ) ( 8 + $ # $ 5 ) 4 ( $∆m
h f(x0)
hm,
∇mh f(x0)
hm,
δmh f(x0)
hm$ + ) ! # $ + I 4 , 4 + ) $ ! # m
N 4 . , # ! ( 4 O ( # f (m)(x0)! #f
+ 4 ) x0
8 ! J + ! #h8h
# h2 # $ # 9 4 O # , # ) + $ 5 #
h # ) ! O # $ ( + 9 + $ + O + ) $ 4 ) $ 4 ( ) + ) 9 # # $ ( $ $ $ 4 O ) $ 8 5 4 ? ( ) ( 4 $ # ) # $ ' ( + . , # $ / / # / 1 *
= : W _ Am
J > L < E J E L A JB ` : > A L A a > A f : R → RJ > L
(m + 1) : A >U : E L A E R J E L @ \B A P N J a > A x0 ∈ RJLh0 > 0
>: E L @ J > E: R B J > @ : E E \ > a P N : B > A NJ _ A > L J< EJ U : E > L P E L JCL JN N J H< J
∣∣∣∣f (m)(x0) −
∆mh f(x0)
hm
∣∣∣∣≤ Ch ∀h ≤ h0, 0 / 6 1
∣∣∣∣f (m)(x0) −
∇mh f(x0)
hm
∣∣∣∣≤ Ch ∀h ≤ h0. 0 / / 1
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/
= : W m Am
J > L < EJE L A JB ` : > A L A a > A f : R → RJ > L
(m + 2) : A >U : E L A E R JE L @ \ B A P N J a > A x0 ∈ RJ Lh0 > 0
>: E L @ J > E : R B J > @ : E E\ > a P N : B > A NJ _ A > L J < E JU : E > L P E L JCL J N N J H< J
∣∣∣∣f (m)(x0) −
δmh f(x0)
hm
∣∣∣∣≤ Ch2 ∀h ≤ h0. 0 / / 1
# $ + = . , # $ ! # ! 4 h $ 4 + ) $ ! J # $ . 9 # $ 8 ! # ! ( [ + , 4 + ) $ ( $ 4 5 # $ 8 ! # + N ? 4 + ) $ ! J + ) ! # $ 8 ! J ( 9 + # , # ) $ ! # 4 ! # $ 8 # 9 [ + ) 4 ) # O # ) 4 ! # $ ! ( 4 O ( # $! # I 4 . , # + 5 4 . , # d 4 ) $ 4 8 # $ [ + , # $ I ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ 9 # ) ( # $ + J + I 4 , 4 + ) ! #f ′′(x0) 0 4 # m = 2
1 # f IV (x0) 0 4 # m = 4
1 $ + ) . $ $ + O # ) 4 4 $ ( # $ # $ 4 ) ? ( ) 4 # $ # $ J ( 9 4 O # ) *f ′′(x0) '
f(x0 + h) − 2f(x0) + f(x0 − h)
h2, 0 / / / 1
f IV (x0) 'f(x0 + 2h) − 4f(x0 + h) + 6f(x0) − 4f(x0 − h) + f(x0 − 2h)
h4.
0 / / 1 1] # $ [ + , # $ 9 + ) ! 4 $ # ) V ) # # # ! # + ) 9 # ! J + ! #h2 $ 4
f# $ $ $ # ( ? 4 . #] + , , # ) + $ J O + ) $ O ! ) $ $ # 9 4 + ) ( 9 ( ! # ) # 8 # $ # # $ ! J + ) ! 4 $ ? , # ) # ) + $ 5 #
h! 4 , 4 ) # 0 9 + ) 4 # , # ) I # # $! # + ) 9 # 5 4! 4 , 4 ) # ) + $ 5 #
h! 4 , 4 ) # 1 m 9 + ) # 8 4 # $ 4 , + ) ! # # , 5 # 5 # # $# # $ ! J + ) ! 4 $ ? , # ) # ) + $ 5 #
m ? , # ) #
& . " , & " . . . & $ * + ) ) + ) $ N ) + $ , 4 ) # ) ) ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) #
f : R → R8 ) + 4 )
x0 ∈ R# )) + , = # + $ 4 4 [ # 4 h
] + ) $ 4 ! ( + ) $ # $ + 4 ) $xj = x0 + jh
O # 9 j =0, 1, 2, 3, . . .
4m
# $ ) # ) 4 # + $ 4 4 [ 8 4 # $ + $ $ 4 = # ! # 9 + ) $ 4 # # + 1 ) t , #$ 4 O ) 0 # ( 1 *pm(x) = f(x0) +
∆hf(x0)
h(x− x0) +
∆2hf(x0)
2!h2(x− x0)(x − x1)
+∆3
hf(x0)
3!h3(x− x0)(x− x1)(x− x2) + · · ·
+∆m
h f(x0)
m!hm(x− x0)(x− x1) · · · (x− xm−1).
0 / / 1
9 + $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 # , # ) 5 #pm
# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (m
# 8 $ 4 ) + $ 9 9 N + ) $ $ 9 9 # $ $ 4 O # , # ) pm(x0), pm(x1), . . .
8 ) + $ + = # ) + ) $ *pm(x0) = f(x0),
pm(x1) = f(x0) +∆hf(x0)
h(x1 − x0) = f(x0) +
f(x1) − f(x0)
hh = f(x1),
pm(x2) = f(x0) +∆hf(x0)
h(x2 − x0) +
∆2hf(x0)
2h2(x2 − x0)(x2 − x1)
= f(x0) + ∆hf(x0) · 2 + ∆2hf(x0)
= f(x0) + 2(f(x1) − f(x0)) + (f(x2) − 2f(x1) + f(x0)) = f(x2).
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/ 2
) [ 4 8 ) + $ + O + ) $ , + ) # 5 #pm(xj) = f(xj)
8j = 0, 1, 2, . . . ,m
# 4 $ 5 #pm
# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (m
8 + $pm
# $ J ) 4 5 # + 1 ) t , # ! # ! # ? (m
5 44 ) # + #f
! ) $ # $(m + 1)
+ 4 ) $x0, x1, x2, . . . , xm 0 9 ' 1 w # $ [ 9 4 # ! #
O + 4 5 # $ 4 ) + $ ! ( 4 O + ) $ m [ + 4 $ # 4 + ) 0 / / 1 8 ) + $ + = # ) + ) $dm
dxmpm(x) =
∆mh f(x0)
hm.
9 + $ O + ) $ 4 ) $ 4 4 # # , # ) , + ) ( # ( $ $ 4 O ) * = : W A
pmJ > L N J ` : N E R J @ J @ J B \ m H < AA E L JB ` : N J f @ P E > N J > ` : A E L >
xj = x0 + jhP J U
j = 0, 1, 2, · · · ,m a P N : B > : E P
(i) pm(x) = f(x0) +∆hf(x0)
h(x− x0) +
∆2hf(x0)
2!hm(x− x0)(x − x1)
+ · · · + ∆mh f(x0)
m!hm(x− x0)(x− x1) · · · (x− xm−1); 0 / / 2 1
(ii)dm
dxmpm(x0) =
∆mh f(x0)
hm. 0 / / 5 1
9 + $ # , 4 ) + ) $ 9 # # $ # 9 4 + ) ! # I # , 5 # $` , F D : W 4 [ + ) 9 4 + )
f# $
(m + 1)[ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 ) + $ + O + ) $ 4 4 $ # # ' ( + . , # + ( = 4 J # $ 4 , 4 + ) ! J # # $ 4 O ) # # ) #
f# pm
*
maxx∈[x0,x0+mh]
|f(x) − pm(x)| ≤ 1
2(m+ 1)hm+1 max
x∈[x0,x0+mh]|f (m+1)(x)|.
# , 5 # J ) + ? 4 # # ) # # + 1 ) t , # ! # 9 # - + )pm 0 / / 1 # # + 1 ) t , #+ = # ) ! ( O # + # , # ) ! # 1 + ! #
f + ! #
x = x0
` , F D : W : w # $ + $ $ 4 = # ! J ( = 4 ! # $ ( $ $ $ # , = = # $ V 9 # I ( ) + ) 9 ( $! ) $ # ' ( + . , # / 5 8 , 4 $ O # 9 # $ + ( # $ ∇mh
# δmh
m # I # , # 8 4 # $ [ 9 4 # ! # , + ) # 5 # $ 4q2
# $ # + 1 ) t , # ! # ! # ? ( / 5 44 ) # + # [ + ) 9 4 + )f
# ) # $ + 4 ) $x0 − h
8x0
# x0 + h
8 + $d2
dx2q2(x0) =
δ2hf(x0)
h2=f(x0 + h) − 2f(x0) + f(x0 − h)
h2.
) $ l ? # / ) + $ O + ) $ # ( $ # ) ( 8 + ) # [ + ) 9 4 + )f
! + ) ) ( # 8 $ + ) ? ' ## 9 # 4 ! #q29 + $ + = $ # O + ) $ 5 # # $ 9 + = # $ ! # $ ? ' # $ ! #
f# ! #
q2 + 4 )
(x0, f(x0))$ + ) + 9 ' # $ + $ 5 #
h# $ # 4
& $ * . & w # $ + $ $ 4 = # ! # + O # ! # $ [ + , # $ ! # ! ( 4 O 4 + ) ) , ( 4 5 # $ ( 9 4 $ # $5 #9 # # $ 5 # ) + $ O + ) $ 9 + ) $ 4 ! ( ( # $ z $ 5 J V ( $ # ) + $ + ) $ # I # , #
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/ 5
x0x0 − h x0 + h
fq2
X # R W : W w ) # + 4 + ) ! #f
) + 1 ) t , #q2
! # ! # ? ( / I + 4 ) $x0 − h
8x0
8x0 + h
[ + ) 9 4 + )f
9 4 ) 5 [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # # 9 + ) $ 4 ! ( + ) $ # ! ( O # + # , # ) 4 , 4 ( V J + ! # 2 9 + $ + = # ) + ) $ *f(x0 +
h
2) = f(x0) + f ′(x0)
h
2+f ′′(x0)
2!
(h
2
)2
+f ′′′(x0)
3!
(h
2
)3
+f IV (x0)
4!
(h
2
)4
+fV (ξ)
5!
(h
2
)5
,
f(x0 −h
2) = f(x0) − f ′(x0)
h
2+f ′′(x0)
2!
(h
2
)2
− f ′′′(x0)
3!
(h
2
)3
+f IV (x0)
4!
(h
2
)4
− fV (η)
5!
(h
2
)5
,
+ 4ξ
# $ ) + 4 ) ! # J 4 ) # O # [x0, x0 + h2 ]
# η
# $ ) + 4 ) ! #[x0 − h
2 , x0]m $ + $ 9 4 + ) ) + $ O + ) $ ! + ) 9*f(x0 + h/2) − f(x0 − h/2)
h= f ′(x0) +
f ′′′(x0)
24h2 +
fV (ξ) + fV (η)
5!25h4
$ + 4 8 ! ( l ) 4 4 + ) ! #δhf(x0)
*
δhf(x0)
h= f ′(x0) +
f ′′′(x0)
24h2 +O(h4), 0 / / 4 1
+ 4 4 9 4O(h4)
! ( $ 4 ? ) # ) # $ # ! J + ! #h4 + $ 5 #
h # ) ! O # $ ( + 4) + $ $ = N$ 4 + ) $
h
h/2! ) $ 0 / / 4 1 8 ) + $ + = # ) + ) $ $ $ 4 *δh/2f(x0)
h/2= f ′(x0) +
f ′′′(x0)
24
h2
4+O(h4). 0 / / 8 1
) $ + $ 1 ) 5 # [ + 4 $ 0 / / 8 1 V 0 / / 4 1 ) + $ O + ) $ ! + ) 9 *δhf(x0)
h− 8δh/2f(x0)
h= −3f ′(x0) +O(h4)
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/ 4
# l ) # , # ) f ′(x0) =
8δh/2f(x0) − δhf(x0)
3h+O(h4). 0 / / 6 1
m ! ( l ) 4 4 + ) ! # J + ( # δh
8 [ + , # 0 / 2 1 8 ) + $ + = # ) + ) $ *
8δh/2f(x0) − δhf(x0)
= 8f(x0 + h/4) − 8f(x0 − h/4) − f(x0 + h/2) + f(x0 − h/2), 0 / 1 1# ! + ) 9 0 / 1 1 ! ) $ 0 / / 6 1 ) + $ $ $ # 5 #
8f(x0 + h/4) − 8f(x0 − h/4) + f(x0 − h/2)− f(x0 + h/2)
3h
# $ ) # + I 4 , 4 + ) ! #f ′(x0)
* J # # ! # + ) 9 # # $ ! J + ! #h4 # + N9 ( ! ( + + = # ) 4 9 # # [ + , # # $ # ( " "
" w # $ + $ $ 4 = # ! #? ( ) ( 4 $ # 9 # # , ( ' + ! # l ) ! J + = # ) 4 ! # $ [ + N, # $ ! J + ! #6888. . .
8 # )h
+ + 9 ' # f ′(x0)
w $ ! # # ) 4 9 + , # ! #δh/4f(x0)
8δh/8f(x0)
8. . .
. & .
f k # k : W ( , + ) # J # $ 4 , 4 + ) 0 / / 1 + m = 4
8 4 # $ 4f
# $ 6
[ + 4 $9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 + $ 4 # I 4 $ # ) # 9 + ) $ ) #C
# # 5 # 8 ∀h ≤ h08
∣∣∣∣f (4)(x0) −
δ4hf(x0)
h4
∣∣∣∣≤ Ch2.
j D ' # %m J ( ? 4 ( 0 / 4 1 8 ) + $ O + ) $
δ4hf(x0) = δh(δ3hf(x0)
)= δh
(
δh(δ2hf(x0)
))
= δ2h(δ2hf(x0)
).
m 4 $ 5 # J + ( # δ2h
# $ 4 ) ( 4 # # # ) 4 4 $ ) [ + , # 0 / 8 1 8 ) + $ + = # ) + ) $
δ4hf(x0) = δ2hf(x0 + h) − 2δ2hf(x0) + δ2hf(x0 − h)
= f(x0 + 2h) − 4f(x0 + h) + 6f(x0)
− 4f(x0 − h) + f(x0 − 2h).
0 / 1 1
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/ 8
J # 8 # ! ( O # + # , # ) 4 , 4 ( V J + ! # 5 ! # [ + ) 9 4 + )f
+ ! + 4 ) x0
) + $ $ $ # 5 #f(x0 + 2h) = f(x0) + f ′(x0)
(2h)1
1!+ f ′′(x0)
(2h)2
2!+ f ′′′(x0)
(2h)3
3!
+ f (4)(x0)(2h)4
4!+ f (5)(x0)
(2h)5
5!+ f (6)(η1)
(2h)6
6!,
f(x0 − 2h) = f(x0) − f ′(x0)(2h)1
1!+ f ′′(x0)
(2h)2
2!− f ′′′(x0)
(2h)3
3!
+ f (4)(x0)(2h)4
4!− f (5)(x0)
(2h)5
5!+ f (6)(η2)
(2h)6
6!,
f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h1
1!+ f ′′(x0)
h2
2!+ f ′′′(x0)
h3
3!
+ f (4)(x0)h4
4!+ f (5)(x0)
h5
5!+ f (6)(η3)
h6
6!,
f(x0 − h) = f(x0) − f ′(x0)h1
1!+ f ′′(x0)
h2
2!− f ′′′(x0)
h3
3!
+ f (4)(x0)h4
4!− f (5)(x0)
h5
5!+ f (6)(η4)
h6
6!,
+ 4η1 ∈ ]x0, x0 + 2h[
8η2 ∈ ]x0 − 2h, x0[
8η3 ∈ ]x0, x0 + h[
# η4 ∈ ]x0 − h, x0[d . $ $ = $ 4 4 + ) ! ) $ 0 / 1 1 8 ) + $ + = # ) + ) $
δ4hf(x0) = f (4)(x0)h4
+
(64
6!
(
f (6)(η1) + f (6)(η2))
− 4
6!
(
f (6)(η3) + f (6)(η4)))
h6.
+ 4 h0 > 0
) ) + , = # = 4 4 # # $ + 4 C =
17
90max
x∈[x0−2h0,x0+2h0]
∣∣∣f (6)(x)
∣∣∣ .
m + + h ≤ h0
8 ) + $ O + ) $ ! + ) 9∣∣∣∣
δ4hf(x0)
h4− f (4)(x0)
∣∣∣∣≤ Ch2.
f k # k : W : + 4 f : R → R
) # [ + ) 9 4 + ) + 4 $ [ + 4 $9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = #! + ) ) ( # 8 $ + 4 x0 ∈ R
# h > 0
! + ) ) ( $ + 4 x1 = x0 + h
8x2 = x0 + 2h
# $ + 4 g [ + ) 9 4 + ) ! ( l ) 4 # *
g(x) = f(x0) +∆hf(x0)
h(x− x0) +
∆2hf(x0)
2h2(x− x0)(x− x1).
( 4 l # 5 #g(xj) = f(xj)
+ j = 0, 1, 2
# # ) ! ( ! 4 # 5 J 4 # I 4 $ #ξ0 ∈ [x0, x1]
# ξ1 ∈ [x1, x2]
# $ 5 #f ′(ξ0) = g′(ξ0) , f ′(ξ1) = g′(ξ1).
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/ 6
/ + 4 r
[ + ) 9 4 + ) ! ( l ) 4 # r(x) = f(x)− g(x)
( ! 4 # ! + 4 ) 5 J 4 # I 4 $ #η ∈ [ξ0, ξ1]
# 5 #r′′(η) = 0
# ! + ) 9r′′(x) =
∫ x
η
r′′′(t)dt =
∫ x
η
f ′′′(t)dt.
1 ( ! 4 # ! + 4 ) / 5 #|f(x) − g(x)| ≤ 2h3 max
t∈[x0,x2]|f ′′′(t)| $ 4
x ∈ [x0, x2].
] + , # O # 9 # ! ( O # + # , # ) ! # 1 + j D ' # % ) O # ! # ! ( l ) 4 4 + ) ! + 1 ) t , #
g8 4 # $ 9 4 5 #
g(x0) = f(x0) J # 8 ! ( l ) 4 4 + ) ! # J + ( #
∆h8 ) + $ O + ) $
g(x1) = f(x0) + ∆hf(x0) = f(x0 + h) = f(x1),# g(x2) = f(x0) + 2∆hf(x0) + ∆2
hf(x0)
= 2f(x0 + h) − f(x0) + ∆2hf(x0).m ! ( l ) 4 4 + ) ! # J + ( #
∆2h
8 ) + $ O + ) $∆2
hf(x0) = ∆h
(
f(x0 + h) − f(x0))
= ∆h
(
f(x0 + h))
− ∆h
(
f(x0))
= f(x0 + 2h) − 2f(x0 + h) + f(x0),# ) + $ + = # ) + ) $ = 4 # )g(x2) = f(x0 + 2h) = f(x2)
+ 4 r
[ + ) 9 4 + ) ! ( l ) 4 # r(x) = f(x) − g(x)
m 4 $ 5 #r(x0) = r(x1) = r(x2) = 0
# 4 $ 5 #r
# $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 ) + $ + O + ) $ 4 4 $ # # ' ( + . , # ! # + # + + = # ) 4 ∃ξ0 ∈ [x0, x1]
# 5 #r′(ξ0) = 0
4 #f ′(ξ0) = g′(ξ0),
∃ξ1 ∈ [x1, x2] # 5 #
r′(ξ1) = 04 #
f ′(ξ1) = g′(ξ1).
/ m 4 $ 5 #r′(ξ0) = r′(ξ1) = 0
# 4 $ 5 #r′
# $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 ) + $ + O + ) $ V ) + O # 4 4 $ # # ' ( + . , # ! # + # + + = # ) 4 ∃η ∈ [ξ0, ξ1]
# 5 #r′′(η) = 0.m 9 + ) $ ( 5 # ) 8 4 $ 5 #
r′′′# $ 9 + ) 4 ) # 8 ) + $ O + ) $
r′′(x) = r′′(x) − r′′(η) =
∫ x
η
r′′′(t)dt.
m 4 $ 5 #g
# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( ! # I 4 # $ 9 4 5 #r′′′(t) = f ′′′(t)−g′′′(t) =
f ′′′(t)# ! + ) 9
r′′(x) =
∫ x
η
f ′′′(t)dt.
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1
1 ] + ) $ 4 ! ( + ) $ # I # , # # 9 $ + 4x ∈ [x0, x1]
# 9 $ + 4x ∈ [x1, x2]
$ # 4 #! # , ) 4 . # ) + ? # J . $ # + 4 ) 8r(x0) = 0
# ! + ) 9f(x) − g(x) = r(x) = r(x) − r(x0) =
∫ x
x0
r′(s)ds.
m 9 + ) $ ( 5 # ) |f(x) − g(x)| ≤
∫ x
x0
|r′(s)|ds ≤∫ x1
x0
|r′(s)|ds ≤ h maxx0≤s≤x1
|r′(s)|. 0 / 1 / 1 + 4
s ∈ [x0, x1] J . $ # + 4 ) 8
r′(ξ0) = 0# ! + ) 9
r′(s) = r′(s) − r′(ξ0) =
∫ s
ξ0
r′′(t)dt.
m 9 + ) $ ( 5 # ) |r′(s)| ≤ |
∫ s
ξ0
|r′′(t)|dt| ≤∫ x1
x0
|r′′(t)|dt ≤ h maxx0≤t≤x1
|r′′(t)|. 0 / 1 1 1 + 4
t ∈ [x0, x1] J . $ # + 4 ) /
r′′(t) =
∫ t
η
f ′′′(u)du,
# 9 + ) $ ( 5 # ) |r′′(t)| ≤ |
∫ t
η
|f ′′′(u)|du| ≤∫ x2
x0
|f ′′′(u)|du ≤ 2h maxx0≤u≤x2
|f ′′′(u)|. 0 / 1 1 # $ 4 ) ( ? 4 ( $ 0 / 1 / 1 8 0 / 1 1 1 # 0 / 1 1 4 , 4 5 # ) ! + ) 9
|f(x) − g(x)| ≤ 2h3 maxx0≤s≤x2
|f ′′′(s)|.] + , + ) $ 9 # ( $ O # 9 [ + , # ! # 1 + + 4
x ∈ [x0, x2]! + ) ) ( 8 4 $ 5 #
f# $ + 4 $ [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 4 # I 4 $ #
ξ ∈ [x0, x] # 5 #
f(x) = G(x) +f ′′′(ξ)
6(x− x0)
3, 0 / 1 2 1+ 4
G# $ # + 1 ) t , # ! # ! # ? ( ! # I ! ( l ) 4
G(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) +f ′′(x0)
2(x − x0)
2.
m 9 + ) $ ( 5 # ) 8 + $ 5 #x ∈ [x0, x2]
8 ) + $ O + ) $|f(x) −G(x)| = |f
′′′(ξ)
6(x− x0)
3|
≤ (x2 − x0)3
6max
x0≤t≤x2
|f ′′′(t)|
=4
3h3 max
x0≤t≤x2
|f ′′′(t)|.
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1 m + ( $ , # 8 ) + $ O + ) $ ! + ) 9 V ! 4 $ + $ 4 4 + ) ! # I + 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( ! # I 8
g# G
8 # , # ) ! J + 9 ' # ) # [ + ) 9 4 + )f
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x0# x0+2h
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# # $ + 1 ) t , # $g
# G
# $ ! J + ! # + 4 $ # )h
$ J 4 ) # O #[x0, x0 +2h]
# + 1 ) t , #G
[ 4 # I ! # 4 O ( # $ # , 4 . # # $ # 9 + ) ! # ! #f
+ 4 ) x0
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8i = 0, 1, 2, . . . , N
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+ 4 h = max
0≤i≤N−1|xi+1 − xi| 0 1 1 1
# ( # + $ 4 4 [ 9 9 ( 4 $ ) l ) # $ $ # ! # 4 4 + ) w # $ 9 4 5 # 8 + $ 5 #N ? , # ) # 8 ) + $ + O + ) $ 9 # # $ + 4 ) $
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h =b− a
N
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) ! + ) ) ( 4 4 + ) 0 1 / 1 8 4 # $ ) # ! J ( 9 4 #*∫ b
a
f(x)dx =
N−1∑
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∫ xi+1
xi
f(x)dx. 0 1 11 1
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1
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xi
f(x)dx
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xi+1 − xi− 1 0 1 2 1
5 4 8 Vx ∈ [xi, xi+1]
8 [ 4 9 + # $ + ) ! #t ∈ [−1,+1]
d O # 9 9 # 9 ' ) ? # , # ) ! #O 4 = # $ 8 ) + $ + = # ) + ) $ *
x = xi + (xi+1 − xi)t+ 1
2, 0 1 5 1
# $ 4 #∫ xi+1
xi
f(x)dx =xi+1 − xi
2
∫ +1
−1
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gi# $ ! ( l ) 4 #
gi(t) = f
(
xi + (xi+1 − xi)t+ 1
2
)
, t ∈ [−1,+1]. 0 1 8 19 + $ $ + , , # $ , 4 ) # ) ) # ) , # $ # ! # ! ( l ) 4 ) + 4 + ) ! # [ + , # ! # 5 N! # + + 9 ' # ) , ( 4 5 # , # ) ∫ +1
−1g(t)dt
8g
( ) ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 N) # ! + ) ) ( # $ [−1,+1]
; = %# ' # % N W AgJ > L < E J : E U L A : E U : E L A E < J > < B [−1,+1] a N P : B R < N J @ JH < P @ B P L < B J
J(g) =def
M∑
j=1
ωjg(tj) 0 1 6 1J > L @ \ E A J ` P B N P @ : E E\ J @ J M ` : A E L > −1 ≤ t1 < t2 < · · · < tM ≤ 1
P ` ` JN \ >` : A E L > @ A E L \ B P L A : E J L @ J M E: R B J >B \ JN >ω1 a ω2 a . . . a ωM
P ` ` JN \ > ` : A @ > @ J N P : B R < N J @ J H < P @ B P L < B J b J > M ` : A E L > JL U J > M ` : A @ >@ J B : E L L B J U J B U \ >@ J P : E U J H< J J(g)
>: A L < EJ P ` ` B :_ A R P L A : E E < R \B A H < J @ J ∫ +1
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# `
$ + ) ! # I [ + ) 9 4 + ) $ 9 + ) 4 ) # $ ! + ) ) ( # $ $ J 4 ) # O # [−1,+1]# $ 4
α# β
$ + ) ! # I ) + , = # $ ( # $ 8 ) + $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 # , # ) 5 #J(αg + β`) = αJ(g) + βJ(`).
9 + $ ( $ # ) + ) $ , 4 ) # ) ) ) # I # , # ! # [ + , # ! # 5 ! #
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t1 = −1, t2 = +1, ω1 = 1, ω2 = 1
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9 + $ # , 5 + ) $ 5 #J(g)
9 + # $ + ) ! V J 4 # ! . # ' 9 ' ( ! # l ? #1 m 9 + ) $ ( 5 # ) 8 + 9 ' # ∫ +1
−1g(t)dt
J(g)
9 + # $ + ) ! V + 9 ' # J 4 #$ + $ # ? ' # ! #g
J 4 # ! . # ' 9 ' ( m + 9 # # 4 $ + ) 8 [ + , #! # 5 ! # 0 1 1 # $ # ( # "
t
g(t)
0−1 = t1 1 = t2
X # R W N W | + , # ! . # $ [−1,+1]
) $ # $ $ # 9 4 + ) $ $ 4 O ) # $ 8 ) + $ 9 + ) $ 4 + ) $ ! J # $ [ + , # $ ! # 5 ! N # 5 # [ + , # ! . # d O ) ) + $ $ + $ + ) $9 # $ [ + , # $! #5 ! # $ ! + ) ) ( # $ # ) + $ ! ( 9 4 O + ) $ # 4 4 $ 4 + ) + + 9 ' # 0 1 1 ) $ J ( ? 4 ( 0 1 4 1 ) + $ + 9 ' + ) $ ∫ +1
−1 gi(t)dt
J(gi)d 4 ) $ 4 5 ) 4 (
∫ xi+1
xif(x)dx
# $ + 9 ' ( # O # $ 4 O ) # *xi+1 − xi
2
M∑
j=1
ωjf
(
xi + (xi+1 − xi)tj + 1
2
)
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# # + V 0 1 1 8 ) + $ + ) $! + ) 9 + 9 ' # ∫ b
a f(x)dx [ + , # ! 4 #
*
Lh(f) =
N−1∑
i=0
xi+1 − xi
2
M∑
j=1
ωjf
(
xi + (xi+1 − xi)tj + 1
2
)
. 0 1 / 1f + N W : ] + ) $ 4 ! ( + ) $ V ) + O # [ + , # ! . # 0 1 1 ! # J # I # , #1 8 9 J # $ N V N ! 4 #
t1 = −18t2 = 1
8ω1 = ω2 = 1
[ + , # 9 + , + $ 4 # 0 1 / 1$ J ( 9 4 *Lh(f) =
N−1∑
i=0
xi+1 − xi
2
(
f(xi) + f(xi+1))
. 0 1 1 1 [ + , # 0 1 1 1 # $ [ 9 4 #V 4 ) # ( # ? ' 4 5 # , # ) * 5 ) 4 (
Lh(f)9 + # $ + ) ! V J 4 # ' 9 ' ( # ! # l ? #1 /
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x0 x1 x2 x3 x4
t
f
X # R WN W : | + , # ! . # + + 9 ' # ∫ b
a f(x)dx! ) $ # 9 $ + 4
N = 4
) . ? # ? ( ) ( # ) + $ + O + ) $ + 9 ( ! # ! # , ) 4 . # $ 4 O ) # + + N9 ' # 5 ) 4 ( ∫ b
a f(x)dx 5 ) 4 (
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M + 4 ) $
t1, t2, . . . , tM# ! #
M + 4 ! $
ω1, ω2, . . . , ωM0 9 # $ + 4 ) $ # 9 # $ + 4 ! $ $ + ) ? ( ) ( # , # ) ( # + 4 ( $ ! ) $ ! # $ = # $ ) , ( N 4 5 # $ + ! # $ + ? 4 9 4 # $ ! # 9 9 $ 1 * + ) 4 4 + ) ) # J 4 ) # O # [a, b]# ) 4 ) # O # $
[xi, xi+1] 0 # $ + 4 ) $xi
$ 4 $ [ 4 $ ) 0 1 / 1 1 # + ) 9 9 #Lh(f)
[ + , #9 + , + $ 4 # 0 1 / 1d O ) ! # , + ) # 9 + , , # ) 9 + ) $ 4 # ! # $ [ + , # $ ! #5 ! # 8 ! ( l ) 4 $ N$ + ) $ ) # + 4 ( ( ! ( $ 4 = # ! #
J(g)
; = %# ' # % N W : E @ A B P H< J N P : B R < N J @ J H < P @ B P L < B J
J(g) =M∑
j=1
ωjg(tj)
` : < B U P N U< N JB E < R \ B A H< JR JE L ∫ +1
−1 g(t)dtJ > L J _ P UL J ` : < B N J > ` : N E R J >@ J @ J B \
r ≥ 0> A
J(p) =
∫ +1
−1
p(t)dt
` : < B L : < L ` : N E R J p @ J @ J B \ ≤ r b + $ 5 # [ + , # ! # 5 ! #J(·) $ 4 $ [ 4 + 4 ( ( ! # ! ( l ) 4 4 + )
1 / 8 4 # $ + $ $ 4 = # ! J # $ 4 , # J # # # ) # O # # I 9 # ∫ b
a f(x)dx# O # + 9 ' ( #
Lh(f)8 + ) 5 #
f$ + 4 $ $ # ( ? 4 . # $ ) # , + ) # # ( $ $ 4 O ) *
= N W < ` ` : >: E >H < JN P : B R < N J @ J H < P @ B P L < B J
J(g) =M∑
j=1
ωjg(tj)
` : < B U P N U < N J B E < R \ B A H< J R JE L ∫ +1
−1 g(t)dt>: A L J _ P UL J ` : < B @ J > ` : N E R J > @ J @ J
B \r b : A L f < EJ : E U L A : E @ : E E\ J> < B N A E L JB P N N J [a, b] a >: A L Lh(f)
N P : B R < N J
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U : R ` : > A L J @ \ E A J ` P B b J L >: A L h N P H < P E L A L \ @ \ E A J ` P B b b N : B > a > A N P : EUL A : E f J > L P > > J B \ < N A B J A b J b r+1
: A > U : E L A E R JE L @ \B A P N J > < B N A E L JB P N N J[a, b]
a A N J _ A > L J< EJ U : E > L P E L J C A E@ \ ` J E @ P E L J @ < U : A _ @ J > ` : A E L > xiL J N N JH< J
∣∣∣∣∣
∫ b
a
f(x)dx − Lh(f)
∣∣∣∣∣≤ Chr+1. 0 1 1
f + N W N ] + , , # # I # , # ! J 4 9 4 + ) ! ' ( + . , # 1 8 9 + ) $ 4 ! ( + ) $ V) + O # [ + , # ! . # 0 1 1 4 ) $ 4 5 # [ + , # 9 + , + $ 4 #Lh(f)0 1 1 1 5 4 # ) ! ( 9 + # 0 O + 4 # I # , # $ 1 # 1 / 1] 4 # , # ) $ 4
p# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (
18 9 J # $ N V N ! 4 # $ 4
p$ J ( 9 4 $ + $ [ + , #
p(t) = αt+ β+ 4α, β ∈ R
8 4 # $ [ 9 4 # ! # O ( 4 l # 5 # + $ 5 # [ + , # ! # 5 ! ## $ ! ( l ) 4 # 0 1 1 8 + $∫ +1
−1
p(t)dt = J(p).
d 4 ) $ 4 [ + , # ! . # 0 1 1 + 9 9 # ) , ( 4 5 # , # ) ∫ +1
−1g(t)dt
# $ # I 9 # + ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( 0 r = 1! ) $ # $ ' 1 + ' . $ # $ ! ' ( + . , #
1 1 4 J 4 ) # O # [a, b]
# $ ! 4 O 4 $ ( # )N
4 # $ ( ? # $ 8 4 #h = (b−a)/N 8
xi = a+ih O # 9 i = 0, 1, 2, . . . , N# $ 4
f# $ ) # [ + ) 9 4 + )! # I [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = #$ J 4 ) # O # [a, b]
8 + $ # ' ( + . , # 1 [ + ) 4 J # $ 4 , 4 + ) ! J # # $ 4 O ) # *∣∣∣∣∣
∫ b
a
f(x)dx − Lh(f)
∣∣∣∣∣≤ Ch2, 0 1 2 1
+ 4C
# $ ) # 9 + ) $ ) # 5 4 ) # ! ( # ) ! $ ! #N
# ! + ) 9 $ ! #h
J # $ 4 , 4 + )0 1 2 1 4 ) ! 4 5 # 5 J # ) 4 ) 9 4 # 8 + $ 5 J + ) 4 4 $ # [ + , # 0 1 1 1 + + 9 ' # ) , ( 4 5 # , # ) ∫ b
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8 J # # # $ ! 4 O 4 $ ( # 5 # 9 ' 5 # [ + 4 $ 5 #N
# $ , 4 4 ( ! # I ) [ 4 8 J 4 ) ( ? 4 ( 0 1 1 , + ) # 5 # 8 + $ 5 # 4 4 + ) # $ l ) # 0 h # 4 1 8 J # # + = # ) # # ) + 9 ' ) ∫ b
af(x)dx
Lh(f)
# $ # 4 # ] # ## # ! # O 4 # ) ! J ) $ # 4 # O # 9 h 5 #r
# $ ? ) ! w # $ ! + ) 9 ( ? 4 4 , #! #9 ' # 9 ' # ! # $ + 4 ) $ ! J 4 ) ( ? 4 + )tj
# ! # $ + 4 ! $ωj
81 ≤ j ≤ M
8 ! #$ + # 5 # [ + , # ! # 5 ! #J(·) $ + 4 # I 9 # + ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? (
r $ $ 4( # O ( 5 # + $ $ 4 = #
" . & , " * . . " & "& . ) $ 9 # # $ # 9 4 + ) 8 ) + $ $ + $ + ) $ ! + ) ) ( $
M + 4 ) $ ! J 4 ) ( ? 4 + ) ! 4 $ 4 ) 9 $! ) $ J 4 ) # O # [−1,+1]
−1 ≤ t1 < t2 < t3 < · · · < tM ≤ 1
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# ) + $ 9 ' # 9 ' + ) $ V ! ( # , 4 ) # # $ + 4 ! $ω1, ω2, . . . , ωM
! # $ + # 5 # [ + , #! # 5 ! #J(g) =
∑Mj=1 ωjg(tj)
$ + 4 # I 9 # + ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? (r $ $ 4 ( # O ( 5 # + $ $ 4 = #m + ( 4 $ # 9 # + = z # 9 4 [ 8 9 + ) $ 4 ! ( + ) $ = $ # ! # ? ) ? #
ϕ1, ϕ2, . . . , ϕM! #
PM−1 $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $
t18t2
8. . .
8tM 0 ! ( l ) 4 4 + ) / 1 m ! ( l ) 4 4 + ) 8
ϕj# $ # + 1 ) t , # ! # ! # ? (
M − 1! ( l ) 4 *
ϕj(t) =(t− t1)(t− t2) · · · (t− tj−1)(t− tj+1) · · · (t− tM )
(tj − t1)(tj − t2) · · · (tj − tj−1)(tj − tj+1) · · · (tj − tM ), 0 1 5 1
+ j = 1, 2, . . . ,M
+ 4 g : t ∈ [−1,+1] → g(t) ∈ R
) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( # + ) 4 ) # + ) g
! # ! # ? (M − 1
I + 4 ) $t1, . . . , tM 0 ! ( l ) 4 4 + ) 1 1# $ ! ( l ) 4 *
g(t) =
M∑
j=1
g(tj)ϕj(t).
w $ # , = # ) # ! # # , 9 # ∫ +1
−1g(t)dt
∫ +1
−1g(t)dt
m 4 $ 5 #∫ +1
−1
g(t)dt =
M∑
j=1
g(tj)
∫ +1
−1
ϕj(t)dt,
) + $ 9 + ) $ + ) $ 4 , , ( ! 4 # , # ) 5 J 4 $ ! # + $ # ωj =
∫ +1
−1
ϕj(t)dt
+ 5 #J(g) =
∑Mj=1 ωjg(tj)
$ + 4 ) # + I 4 , 4 + ) ! # ∫ +1
−1g(t)dt
9 + $ + = # ) + ) $ 4 ) $ 4 # ' ( + . , # $ 4 O ) = N W : : A L
t1 < t2 < · · · < tM a M ` : A E L > @ A > L A EUL > @ J N A E L JB P N N J[−1,+1]
JL >: A Lϕ1, ϕ2, · · · , ϕM
N P P >J @ J P B P E J @ JPM−1
P > >: U A \ J U J >M` : A E L > b N : B > N P : B R < N J @ J H< P @ B P L < B J
J(g) =
M∑
j=1
ωjg(tj)
J > L J _ P U L J ` : < B N J > ` : N E R J > @ J @ J B \ M − 1> A JL >J< N J R JE L > A
ωj =
∫ +1
−1
ϕj(t)dt, j = 1, 2, . . . ,M. 0 1 4 1; = % ' , ' # %4 1 + ) + ) $ 5 # $ 4 [ + , # ! # 5 ! #
J(·) # $ # I 9 # + # $ + 1 ) t , # $! # ! # ? (M − 1
8 + $ + ) # $ # 4 + ) $ 0 1 4 1 m 4 $ 5 #
J(p) =
M∑
j=1
ωjp(tj) =
∫ +1
−1
p(t)dt,
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+ + + 1 ) t , #p ∈ PM−1
8 ) + $ + O + ) $ 9 ' + 4 $ 4 p = ϕk
8k = 1, 2, . . . ,M
# ) + $ + = # ) + ) $ *J(ϕk) =
M∑
j=1
ωjϕk(tj) =
∫ +1
−1
ϕk(t)dt.
m 4 $ 5 #ϕk(tj) = 0
$ 4j 6= k
# ϕk(tk) = 1
8 ) + $ O + ) $ = 4 # ) *
ωk =
∫ +1
−1
ϕk(t)dt.
4 4 1 + ) + ) $ , 4 ) # ) ) 5 # $ 4 # $ # 4 + ) $ 0 1 4 1 $ + ) O 4 # $ 8 + $ [ + , #! # 5 ! # # $ # I 9 # + ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? (M − 1
+ 4 p
) + 1 ) t , # 5 # 9 + ) 5 # ! # ! # ? (M − 1
5 # ) + $ ! ( O # + + ) $ ! ) $ = $ # ! # ? ) ? # ! #PM−1
$ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $t1, t2, . . . , tM
8 4 # *
p(t) =
M∑
j=1
p(tj)ϕj(t).
d 4 ) $ 4 ! + ) 9∫ +1
−1
p(t)dt =
M∑
j=1
p(tj)
∫ +1
−1
ϕj(t)dt
=
M∑
j=1
p(tj)ωj = J(p).
` , F D N W # $ # 4 + ) $ 0 1 4 1 ) + $ # , # # ) ! + ) 9 ! # 9 9 # # $ + 4 ! $ω1
8ω2
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8ωM
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# $ 8 ∑Mj=1 ϕj(t)
# $ # + 1 ) t , # ! # ! # ? (M−1
5 4 O 1 I
M + 4 ) $
t18t2
8. . .
8tM
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m 9 + ) $ ( 5 # ) 8) + $ + = # ) + ) $ 8 # ) 4 4 $ ) 0 1 4 1M∑
j=1
ωj =
∫ +1
−1
M∑
j=1
ϕj(t)
dt =
∫ +1
−1
dt = 2,
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ϕ18ϕ2 $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $
t18t2*
ϕ1(t) =t− t2t1 − t2
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2
# ϕ2(t) =
t− t1t2 − t1
=(t+ 1)
2.
# $ # 4 + ) $ 0 1 4 1 $ J ( 9 4 O # ) *ω1 =
∫ +1
−1
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ω2 =
∫ +1
−1
ϕ2(t)dt = 1,
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# ' ( + . , #1 / ) + $ $ $ # 5 # # $[ + , # $! # 5 ! # 9 + ) $ 4 # $ ? 9 #V 0 1 4 1 $ + ) # I 9 # $ + # $ + 1 ) t , # $ ! #! # ? (M − 1
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M − 1
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−1
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$ ) 4 ) # . # [ + , # ! # 9 ) ? # 0 1 8 1 ! # [ + ) $ 4 O ) # * # # 9 + ) $ 4 $ # V # , 9 # ∫ +1
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p ∈ P1! ( l ) 4
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+ 4α, β ∈ R
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t
g(t)
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X # R WN W N | + , # ! # 9 ) ? # $ [−1,+1]
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N−1∑
i=0
(xi+1 − xi)f
(xi + xi+1
2
)
0 1 6 1
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# J # $ 4 , 4 + ) 0 1 1 ! ' ( + . , # 1 ! # O 4 # ) *
∣∣∣∣∣
∫ b
a
f(x)dx − Lh(f)
∣∣∣∣∣≤ Ch2. 0 1 / 1
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8t2 = 0
8t3 = +1
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8ϕ2
8ϕ3
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1
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1
2(t2 + t).
# $ # 4 + ) $ 0 1 4 1 ! # O 4 # ) ) # ) + $ *
ω1 =
∫ +1
−1
ϕ1(t)dt =1
3, ω2 =
∫ +1
−1
ϕ2(t)dt =4
3, ω3 =
∫ +1
−1
ϕ3(t)dt =1
3.
[ + , # ! # 4 , $ + ) $ J ( 9 4 ! + ) 9 *J(g) =
1
3g(−1) +
4
3g(0) +
1
3g(1). 0 1 / 1
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Lh(f) =
N−1∑
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xi+1 − xi
6
(
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(xi + xi+1
2
)
+ f(xi+1)
)
. 0 1 / / 1
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8 + $J(g) = 0
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∣∣∣∣∣
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a
f(x)dx − Lh(f)
∣∣∣∣∣≤ Ch4. 0 1 / 1 1
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J(p) =∑M
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a f(x)dx! ( l ) 4 # 0 1 / 1 + $ 8 # ) O # ! ' ( + . , # 1 8 $
r# $ ? ) ! # $ J # # # ) # ∫ b
a f(x)dx# Lh(f)
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LM (t) =1
2MM !
dM
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d 4 ) $ 4 ! + ) 9 ) + $ O + ) $ 8 $ 4 t ∈ R*
L0(t) = 1, L1(t) = t, L2(t) =3t2 − 1
2, · · ·
# $ + 1 ) t , # $ ! # # ? # ) ! #L0
8L1
8L2
8. . .
8 O ( 4 l # ) ! # ) + , = # $ # $ + 4 ( ( $ ) # # $ 8 ) + $ ! ( , + ) + ) $ 9 # 4 ) # $ + 4 ( ( $ 5 4 ) + $ $ # + ) 4 # $ ! ) $ $ 4 # = N W N J > ` : N E R J > @ J J JE@ B J L0 a L1 a L2 a . . . a \ B A J E L N J > ` B : ` B A \ L \ > > < A P E L J > A L0 a L1 a . . . a LM : B R JE L < EJ P > J @ J PM b
A A Ai 6= j
P N : B > ∫ +1
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` B : ` B A \L \ @ : B L : : EP N A L \ bA A A
LMPJ _ P UL JR J E L
M \ B : > B \ J N > @ A > L A EUL > L : < > U : R ` B A >@ P E > N A E L JB P N N J : <
J B L] − 1,+1[ b J > \B : > >: E L P ` ` JN \ > N J > ` : A E L >@ J P < > > b; = % ' , ' # %4 1 $ ) O ( 4 l #[ 9 4 # , # ) 5 #
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PM4 4 1 + $ + ) $i > j
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−1
Li(t)Lj(t)dt =1
2(i+j)i!j!
+1∫
−1
di
dti(t2 − 1)i d
j
dtj(t2 − 1)jdt
=1
2(i+j)i!j!
∣∣∣∣
di−1
dti−1(t2 − 1)i d
j
dtj(t2 − 1)j
∣∣∣∣
t=1
t=−1
−+1∫
−1
di−1
dti−1(t2 − 1)i d
j+1
dtj+1(t2 − 1)jdt
.
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1m 4 $ 5 #
(t2 − 1)i ) ( + ! J + ! #i# )
1# # ) −1
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N 4 . , # ! ( 4 O ( # ! #(t2 − 1)i $ J ) ) # # )
t = 1# # )
t = −1d 4 ) $ 4 ) + $ + = # ) + ) $
+1∫
−1
Li(t)Lj(t)dt =(−1)
2(i+j)i!j!
+1∫
−1
di−1
dti−1(t2 − 1)i d
j+1
dtj+1(t2 − 1)jdt.
) 4 ) ( ? ) 4 #j
[ + 4 $ 9 + , , # 9 4 N ! # $ $ $ 8 ) + $ + = # ) + ) $ *+1∫
−1
Li(t)Lj(t)dt =(−1)j
2(i+j)i!j!
+1∫
−1
di−j
dti−j(t2 − 1)i d
2j
dt2j(t2 − 1)j
︸ ︷︷ ︸
(2j)!
dt
=(−1)j(2j)!
2(i+j)i!j!
+1∫
−1
di−j
dti−j(t2 − 1)idt
=(−1)j(2j)!
2(i+j)i!j!
∣∣∣∣
di−j−1
dti−j−1(t2 − 1)i
∣∣∣∣
t=1
t=−1
= 0.
4 4 4 1 + 4 t1, t2, . . . , ts
# $ + 4 ) $ $ 4 9 # , # ) 9 + , 4 $ # ) # −1#
+1# ) # $ 5 # $
LM9 ' ) ? # ! # $ 4 ? ) # ] 4 # , # ) 9 # $ + 4 ) $ $ # + ) ! # $ ( + $ ! #
LM# + ) ! + ) 9
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# 8 4 $ 5 #p
9 ' ) ? # $ $ 4! # $ 4 ? ) # # ) # $ + 4 ) $tj
81 ≤ j ≤ s
8 + )+ = 4 # ) p(t)LM (t) ≥ 0
8 ∀t ∈ [−1,+1]+
p(t)LM (t) ≤ 08 ∀t ∈ [−1,+1]
) $ + $ # $ 9 $ 8 4 $ 5 #p(t)LM (t)
) J # $ $ 4 ! # ) 4 5 # , # ) ) 8 + ) +1∫
−1
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) 4 4 $ ) 4 # 4 1 8 + ) O + 4 5 J 4 # I 4 $ #α0, α1, α2, . . . , αs
# $ 5 #
p(t) =
s∑
j=0
αjLj(t)
# # ) 4 4 $ ) 4 # 4 4 1 + ) + = 4 # ) +1∫
−1
p(t)LM (t)dt =s∑
j=0
αj
+1∫
−1
Lj(t)LM (t)dt = αs
+1∫
−1
Ls(t)LM (t)dt.
m 4 $ 5 # ∫ +1
−1p(t)LM (t)dt
# $ ) + ) ) 8 + ) ) ( 9 # $ $ 4 # , # ) s = M
# ! + ) 9 # $M ( + $ ! #
LM$ + )
t1, t2, . . . , tM
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; = %# ' # % N W _8: < > @ A B : E > H < J N P : B R < N J @ J H< P @ B P L < B J
J(g) =
M∑
j=1
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J > L N P : B R < N J @ J P < > > J JE@ B J M ` : A E L > > AA N J > ` : A E L > @ A E L \ B P L A : E t1 < t2 < · · · < tM
>: E L N J >M
\ B : > @ < ` : N E R J@ J J JE@ B JLM
U J > L @ A B J N J >M ` : A E L > @ J P < > > : A B ` B : ` B A \L \ A A A @ <L \ : B R J b
A A N J > ` : A @ > ω1, ω2, . . . , ωM>: E L @ \ E A > ` P B N J > B J N P L A : E > b a U J > L @ A B J
ωj =
∫ +1
−1
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: ϕ1, ϕ2, . . . , ϕM
J > L N P P >J @ J P B P E J @ JPM−1
P > >: U A \ J P < _M ` : A E L >@ J
P < > > b9 + $ $ + , , # $ , 4 ) # ) ) # ) , # $ # ! # ! ( , + ) # # ( $ $ 4 O ) = N W _ P : B R < N J @ J P < > > J JE@ B J M ` : A E L > M JE L A J B ≥ 1
J > LJ _ P UL J ` : < B N J > ` : N E R J > @ J @ J B \ r = 2M − 1 b; = % ' , ' # % + 4
J(g) =∑M
j=1 ωjg(tj) [ + , # ! # ] $ $ N # ? # ) ! # V
M + 4 ) $ # $ + 4
p ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (
2M − 1] 4 # , # ) 8 ) + $ + O + ) $ ! ( l ) 4 +
t ∈ R*
p(t) =
M∑
j=1
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+ 4ϕ1, ϕ2, . . . , ϕM
# $ = $ # ! # ? ) ? # ! #PM−1
$ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $ ! #] $ $t1, t2, . . . , tM
d # , # ) ! 4 8 # + 1 ) t , #p
# $ ! + ) 9 J 4 ) # + ) ! #p
! # ! # ? (M − 1
IM
+ 4 ) $ ! # ] $ $t1, t2, . . . , tM] + ) $ 4 ! ( + ) $ , 4 ) # ) ) # + 1 ) t , #
q! ( l ) 4 *
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# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (2M − 1
5 4 $ J ) ) # # ) # $ + 4 ) $t1, t2, . . . , tM
8 4 #q(tj) = 0
$ 4j = 1, 2, . . . ,M
d 4 ) $ 4q
# $ ! 4 O 4 $ 4 = # # + 1 N) t , #v
! # ! # ? (M
! ( l ) 4 *v(t) = (t− t1)(t− t2)(t− t3) · · · (t− tM ) ∀t ∈ R,9 J # $ N V N ! 4 # 5 J 4 # I 4 $ # ) + 1 ) t , #
w! # ! # ? (
M − 1 # 5 #
q(t) = v(t)w(t) ∀t ∈ R.m 4 $ 5 #v
# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (M
5 4 $ J ) ) # # ) # $M ( + $ ! #
LM5 4 4 N , b , # # $ $ $ 4 ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (
M8 4 # I 4 $ # ) ) + , = # ( #
α # 5 #
v(t) = αLM (t) ∀t ∈ R.
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2m 4 $ 5 #
w# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (
M − 18 4 # I 4 $ #
β0, β1, β2, . . . , βM−1 ∈ R0 + 4 ( ( 0 4 1 ! ' ( + . , # 1 1 1 # $ 5 #w(t) =
M−1∑
k=0
βkLk(t).
d 4 ) $ 4 ! + ) 9 8 # ) 4 4 $ ) + 4 ( ( 0 4 4 1 ! ' ( + . , # 1 1 8 ) + $ O + ) $ *∫ +1
−1
q(t)dt =
∫ +1
−1
v(t)w(t)dt = α
M−1∑
k=0
βk
∫ +1
−1
LM (t)Lk(t)dt = 0.
m ! ( l ) 4 4 + ) ! #q
) + $ O + ) $ + O ( 5 #∫ +1
−1
p(t)dt =
∫ +1
−1
p(t)dt,
# # ) l ) 8 ! ( l ) 4 4 + ) ! #p8 ) + $ + = # ) + ) $
∫ +1
−1
p(t)dt =M∑
j=1
p(tj)
∫ +1
−1
ϕj(t)dt =M∑
j=1
ωjp(tj) = J(p).
] # # ! # ) 4 . # # 4 + ) # $ # I 9 # , # ) 9 # 5 # ) + $ O + 4 + ) $ , + ) #
` , F D N W : # $ + 4 ! $ωj
8j = 1, 2, ...,M
8 ! J ) # [ + , # ! # ] $ $ N # ? # ) ! #VM
+ 4 ) $ $ + ) + $ + $ 4 4 [ $ 9 ϕ2
j
# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (2M − 2
8 9 # 5 44 , 4 5 # 8 # ) 4 4 $ ) # ' ( + . , # 1 8 5 #0 <
∫ +1
−1
ϕ2j (t)dt = J(ϕ2
j ) =
M∑
k=1
ωkϕ2j (tk) = ωj .
` , F D N W N [ + , # ! # ] $ $ N # ? # ) ! # VM
+ 4 ) $ # $ + 4 , # $ # ) $+ 4 4 # I 4 $ # ) + 1 ) t , #p
! # ! # ? (2M
# 5 #∫ +1
−1
p(t)dt 6= J(p).
) # h # 8 4 $ ! # # ) ! #p(t) =
∏Mj=1(t − tj)
2 + + = # ) 4 J(p) = 0
+ $5 # ∫ +1
−1p(t)dt > 0
# $ + 4 ) $ ! #] $ $ # # $ + 4 ! $ 9 + # $ + ) ! ) $ $ + ) ! + ) ) ( $ ! ) $ ! # $ = # $) , ( 4 5 # $ ! ( 5 # $ + ! ) $ ! # $ + ? 4 9 4 # $ ! J 4 ) ( ? 4 + ) ) , ( 4 5 # ] + ) ) 4 $ N$ ) ) # [ + , # ! # ] $ $ VM
+ 4 ) $ 8 ) + $ + O + ) $ 9 9 # 8 + ) # [ + ) 9 4 + )f
! ( l ) 4 # $ [a, b]
8 5 ) 4 (Lh(f)
! + ) ) ( # [ + , #9 + , + $ 4 # 0 1 / 1# ) ) 9 + , # ! # $ ' ( + . , # $1 # 1 ) + $ O + ) $ *∣∣∣∣∣
∫ b
a
f(x)dx − Lh(f)
∣∣∣∣∣≤ Ch2M , 0 1 / 2 1
+ 4 4 9 4f
# $ $ + $ ( #2M
[ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # # C
# $ ) # 9 + ) $ ) # 5 4) # ! ( # ) ! $ ! # $ + 4 ) $xi
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9 ' + 4 $ 4 $ + 4 4 + ) ) # [a, b]
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5
f + N W mX D h , D R % D % D + # % '$ )
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L1# $ ! + ) ) (
t1 = 09 + $ # + O + ) $! ) $ 9 # 9 $ N V [ + , # ! # 9 ) ? # 5 4 # $ ! J + ! #
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2 (3t2 − 1)# ! + ) 9 # $ ! # I ( + $ ! #
L2$ + ) ! + ) ) ( $
t1 = − 1√3
# t2 =
1√3.
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8ϕ2
! #P2
$ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $t1
8t2
# $ ! ( l ) 4 # ϕ1(t) =
1 −√
3t
2
# ϕ2(t) =
√3t+ 1
2# 4 ) $ 4ω1 =
∫ +1
−1
ϕ1(t)dt = 1#
ω2 =
∫ +1
−1
ϕ2(t)dt = 1.
[ + , # ! # ] $ $ N # ? # ) ! # V ! # I + 4 ) $ $ J ( 9 4 ! + ) 9*J(g) = g
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−1/√
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1/√
3)
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# [ + , # 0 1 / 1 ! # O 4 # ) *
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2
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2√
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)
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xi +
√3 + 1
2√
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1− α2.
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∫ +1
−1
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∫ +1
−1
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∫ +1
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3
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6
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6
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6
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1/√
5))
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5)6)
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α· t− α
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2
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6
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1
ωD − F
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6 /
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1
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ω
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ω1
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ω
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g21 g22
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4
)
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(
1 − ω +ω2
16
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16
(
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ω − (8 − 4√
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2
√
1 − ω +ω2
16,
λ2 = (1 − ω) +ω2
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2
√
1 − ω +ω2
16,
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8+ω
8
√
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λ1 = (1 − ω) +ω2
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2
√
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λ2 = (1 − ω) +ω2
8− i
ω
2
√
−(1 − ω +ω2
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# ! + ) 9ρ(Gω) = max|λ1|, |λ2|
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1
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ω→ωoptω>ωopt
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ω
4+
1
8
√
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limω→ωoptω<ωopt
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1
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2
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0
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−3/2
3
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(~w1)T~z1= −1
2,
~x1 = ~x0 + α1 ~w1 =
3/2
5/4
, ~r1 = ~r0 − α1~z1 =
−3/4
0
,
β1 =(~r1)T~z1
(~w1)T~z1=
1
4, ~w2 = −~r1 + β1 ~w1 =
3/4
3/8
,
~z2 = A~w2 =
9/8
0
, α2 =(~r1)T ~w2
(~w2)T~z2= −2
3,
~x2 = ~x1 + α2 ~w2 =
1
1
.
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2 − y1 − y2.
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1
1.5
2
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mn
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(k−1)nn q(k)
nn + q(k)nmt
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mn.
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(k−1)nj cos θk,
$ 4j 6= m
# j 6= n,
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t(k)nn = t(k−1)
mm sin2 θk + t(k−1)nn cos2 θk + 2t(k−1)
mn sin θk cos θk,
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t(k)nj = t
(k)jn = t
(k−1)nj + S
(
t(k−1)mj − τt
(k−1)nj
) $ 4j 6= m
# j 6= n,
t(k)mm = t(k−1)
mm − h,
t(k)nn = t(k−1)
nn + h,
t(k)mn = t(k)
nm = 0;
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∣∣∣∣
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f2(x1, x2, . . . , xN )
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(x)∂f2∂x2
(x) . . .∂f2∂xN
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∂fN
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∂fN
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8
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2
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h
2√α2 − 1
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2 1
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un +h
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2− β2h2
4
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(
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4
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2− β3h3
6+β4h4
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un.
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2 5
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2 8
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2 65 #
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∫ 1
0
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∫ 1
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NN O # 9 # ! + )
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A# # O # 9 # ~f 8 , ( ' + ! # ! # ] # 4 ) ) ( 9 # $ $ 4 # 8 + 9 + , , # , ( ' + ! # ! # $! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ 8 ( $ + 4 + ) ! J ) $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # ) $ $ 4 # ! # 9 # 9 ' 4 #) + $ ( ! 4 + ) $ $ # ) ! ( 4 ) # , ( ' + ! # ! #
] # 4 ) $ ( 9 4 l 5 # 8 # ) J + 9 9 # ) 9 # ] # # , ( N ' + ! # # O 4 # ) V [ 4 # ) 9 ' + 4 I z ! 4 9 4 # I! # $ [ + ) 9 4 + ) $ϕ1
8ϕ2
8. . .
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5
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V! # O 4 # ) ? ) !
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9 + $ + = # ) + ) $ + $ # ( $ $ 4 O ) * = ( W : E > < ` ` : >J H < J c(x) ≥ 0 a ∀x ∈ [0, 1] b N : B > > A u J > L > : N < L A : E@ J b JL > A uh
J > L >: N < L A : E @ J b a E: < > P : E > N J > L A R P L A : E @ JB B J < B|u− uh|1 ≤ C min
vh∈Vh
|u− vh|1, 0 2 1: CJ > L @ : E E \ J ` P B C = 1+maxx∈[0,1] |c(x)|
JL J > L @ : EU A E@ \ ` J E @ P E L J @ < U : A _@ JVh b; = % ' , ' # %] + ) $ 4 ! ( + ) $ + $ 4 , 4 l # # 9 $ + 4
c(x) = 08 ∀x ∈ [0, 1]
4u
# $ $ + 4 + ) ! #0 6 1 # $ 4
uh# $ $ + 4 + ) ! # 0 1 ) + $ + = # ) + ) $ 8 $ + $ 9 4 + ) ! # 9 # $! # I # 4 + ) $ *∫ 1
0
(u′(x) − u′h(x)) v′h(x)dx = 0 ∀vh ∈ Vh. 0 5 1 ) + $ )
e(x) = u(x)−uh(x)8 5 4 # ( $ # ) # J # # # ) #
u# uh
+ 4 ) x8 # $ ( ? 4 ( $ 0 5 1 $ J ( 9 4 O # ) *
∫ 1
0
e′(x)v′h(x)dx = 0, ∀vh ∈ Vh. 0 4 1m ! ( l ) 4 4 + ) ! # ) + , # | · |1
# ! # J # # e8 ) + $ O + ) $
|e|21 =
∫ 1
0
(e′(x))2dx =
∫ 1
0
e′(x)(u′(x) − u′h(x))dx.
) # ) ) 9 + , # ! # 0 4 1 ! ) $ J ( ? 4 ( 9 4 N ! # $ $ $ 8 ) + $ + = # ) + ) $ ! + ) 9 *|e|21 =
∫ 1
0
e′(x)u′(x)dx =
∫ 1
0
e′(x)(u′(x) − v′h(x))dx,
+ 4vh
# $ ) # ( ( , # ) 5 # 9 + ) 5 # ! #Vh
) 4 4 $ ) J 4 ) ( ? 4 ( ! # ] 9 ' 1 N 9 ' - ! ) $ 9 # # ! # ) 4 . # # I # $ $ 4 + ) 8 ) + $ + = # ) + ) $ *
|e|21 ≤(∫ 1
0
(e′(x))2dx
)1/2(∫ 1
0
(u′(x) − v′h(x))2dx
)1/2
,
9 J # $ N V N ! 4 #|e|21 ≤ |e|1 |u− vh|1.w $ ! # $ 4 , 4 l # 9 # # 4 ) ( ? 4 ( |e|1 # ! # # ) ! # # , 4 ) 4 , , $
vh ∈ Vh + + = # ) 4 0 2 1 O # 9 C = 1
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5 . * , . . . &
4 O 4 $ + ) $ J 4 ) # O # [0, 1]# )
N + 1 4 # $ 0 N ( ) )# ) 4 # + $ 4 4 [ 1 # + $ + ) $
h = 1/(N + 1)8xi = ih
O # 9 i = 0, 1, 2, . . . , N + 18 9 + , , # ! ) $ l ? # 1 $ ) ! ( l ) 4 8 +
i = 1, 2, . . . , N8 # $ [ + ) 9 4 + ) $ $ 4 O ) # $ *
ϕi(x) =
x− xi−1
xi − xi−1
$ 4xi−1 ≤ x ≤ xi,
x− xi+1
xi − xi+1
$ 4xi ≤ x ≤ xi+1,
0$ 4x ≤ xi−1
+ x ≥ xi+1.
0 8 1
# ? ' # ! # [ + ) 9 4 + )ϕi
# $ # ( $ # ) ( ! ) $ l ? # ] 4 # , # ) [ + ) 9 4 + )ϕi
# $ # # 5 #ϕi(xj) = δij , 0 ≤ j ≤ N + 1,
ϕi|[xj−1,xj ]
# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( ) 81 ≤ j ≤ N + 1.
0 6 1d 4 ) $ 4 [ + ) 9 4 + )
ϕi 4 # ) V
V # $ [ + ) 9 4 + ) $
ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN$ + ) 4 ) ( 4 # N, # ) 4 ) ! ( # ) ! ) # $ # ) + $ # $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ + # ) ? # ) ! # J # $ 9 #
Vh9 + $! 4 + ) $ 4 ) $ 4 5 # *
x0, x1, x2, . . . , xN+1$ + ) # $ " " 8
[x0, x1], [x1, x2], . . . , [xN , xN+1]$ + ) # $ ' 8
ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN$ + ) # $ [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ # ! $ + $ N # $ 9 #
Vh! # 1 #
' $ $ + 9 4 ( # $ I ) ! $ 4 ) ( 4 # $x1, x2, . . . , xN
0
1
x1 x2 . . . xi−1 xi xi+1 . . . xN xN+1 = 1
x
X # R W ( W _ # ? ' # ! # [ + ) 9 4 + )ϕi
4g ∈ Vh
8 + $g
# $ ) # 9 + , = 4 ) 4 $ + ) 4 ) ( 4 # ! # $ϕi
8 4 #
g(x) =N∑
i=1
giϕi(x),
# # ? ' # ! #g
# $ # ( $ # ) ( ! ) $ l ? # 2 ) 4 9 4 # 8 ) + $ # , N5 + ) $ 8 # ) O # ! # 0 6 1 8 5 #g(xj) = gj
81 ≤ j ≤ N
8 5 #g(0) = g(1) = 0
# 5 #g
# $ ) # [ + ) 9 4 + ) ) # $ 9 ' 5 # ( ( , # ) ? ( + , ( 4 5 #
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5 /
0x1 x2 x3 x4
g1
g2
g3
g4
g(x)
. . . xN xN+1 = 1
x
X # R W ( W m ] ' # ! J ) # [ + ) 9 4 + )g
( ( , # ) ! #Vh
4u ∈ V
8 + $ [ + ) 9 4 + ) ! ( l ) 4 #
rhu =
N∑
i=1
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# $ J 4 ) # + ) ! # ! # ? ( 4 ) # O # ! # [ + ) 9 4 + )u8 O + 4 ! ( l ) 4 4 + ) 2m 9 + ) $ 9 4 + ) 8
rhu ∈ Vh# ) + $ O + ) $ = 4 # ) ( O 4 ! # , , # ) *
minvh∈Vh
|u− vh|1 ≤ |u− rhu|1. 0 / 1d 4 ) $ 4 J # $ 4 , 4 + ) ! J # # 0 2 1 ! ' ( + . , # / ! # O 4 # ) 8 # ) 4 4 $ ) 0 / 1*
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u# uh
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N P>: N < L A : E @ J b N : B >H < J VhJ > L JE J E @ B \ ` P B N J > : EUL A : E >@ J P >J b b N : B > E: < > P : E > N J > L A R P L A : E @ JB B J< B
|u− uh|1 ≤ Ch, 0 / / 1:
CJ > L < E JU : E > L P E L J A E@ \ ` JE@ P E L J @ J N J L @ : E U @ J
h b
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C# $ ) # 9 + ) $ ) # 4 ) ! ( # ) ! ) # ! #
Nm + $ + ) $ ! + ) 9 , 4 ) # ) )
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5 1m 4 $ 5 # ) + $ O + ) $ rhu(xi) = u(xi)
80 ≤ i ≤ N +1
8 ) + $ O + ) $ ! + ) 9w(xi) = 0 ) 4 4 $ ) # ' ( + . , # ! # + # 8 ) + $ # ) ! ( ! 4 $ + ) $ 5 J 4 # I 4 $ #
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80 ≤ i ≤ N
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# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( $ 9 ' 5 # ( ( , # ) ? ( + , ( 4 5 #[xi, xi+1]
) + $ + = # ) + ) $ 8 + x ∈ [xi, xi+1]
*
w′(x) =
∫ x
ξi
w′′(s)ds =
∫ x
ξi
u′′(s)ds.
9 + $ ! ( ! 4 $ + ) $ ! # 9 # # ( ? 4 ( 5 # 8 + x ∈ [xi, xi+1]
*
|w′(x)| ≤∫ xi+1
xi
|u′′(s)|ds.
) 4 5 ) J 4 ) ( ? 4 ( ! # ] 9 ' 1 N 9 ' - ) + $ O + ) $ ! + ) 9 8 + x ∈ [xi, xi+1]
*
|w′(x)| ≤(∫ xi+1
xi
12ds
)1/2(∫ xi+1
xi
|u′′(s)|2ds)1/2
≤ h1/2
(∫ xi+1
xi
|u′′(s)|2ds)1/2
.
)( # O ) 9 ( 9 # # ! # ) 4 . # 4 ) ( ? 4 ( # # ) J 4 ) ( ? ) $ J ( ( , # ) ? ( + N, ( 4 5 #[xi, xi+1]
8 ) + $ + = # ) + ) $ *∫ xi+1
xi
|w′(x)|2dx ≤ h2
∫ xi+1
xi
|u′′(s)|2ds.
w $ , 4 ) # ) ) ! # $ + , , # $ J 4 ) ! 4 9 #i + O + 4 *
|u− rhu|21 = |w|21 =
∫ 1
0
|w′(x)|2dx
=
N∑
i=0
∫ xi+1
xi
|w′(x)|2dx ≤ h2N∑
i=0
∫ xi+1
xi
|u′′(s)|2ds
= h2
∫ 1
0
|u′′(s)|2ds.
9 + $ O + ) $ ! + ) 9 , + ) ( J 4 ) ( ? 4 ( 0 / 1 1 8 9 + ) $ ) #C
( ) ! + ) ) ( #
C =
(∫ 1
0
|u′′(s)|2ds)1/2
.
9 + $ O + ) $ O ! ) $ $ # 9 4 + ) ( 9 ( ! # ) # 5 # ( $ + 4 + ) ! + = . , #0 1 ) ( 9 # $ $ 4 4 9 + ) $ 9 4 + ) ! # , 4 9 #
A8 ! O # 9 # ~f
# ( $ + N 4 + )! $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #A~u = ~f
9 + $ $ + , , # $ ! + ) 9 , # ) ( $ V 9 9 # # $9 + # 9 4 # ) $ *Aji =
∫ 1
0
ϕ′i(x)ϕ
′j(x)dx +
∫ 1
0
c(x)ϕi(x)ϕj(x)dx,
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5
+ 1 ≤ i, j ≤ N
8 4 ) $ 4 5 # # $ 9 + , + $ ) # $fj =
∫ 1
0
f(x)ϕj(x)dx +
1 ≤ j ≤ N.
9 + $ O ( 4 l + ) $ 5 #
∫ 1
0
ϕ′i(x)ϕ
′j(x)dx =
2/h$ 4i = j,
−1/h$ 4 |i− j| = 1,
0 # , # )
.
J # 8 + + = # ) 4 # $ O # $ ! # ∫ 1
0 c(x)ϕi(x)ϕj (x)dx# ! # ∫ 1
0 f(x)ϕj(x)dx8) + $ + O + ) $ 4 4 $ # ) #[ + , # ! J 4 ) ( ? 4 + ) ) , ( 4 5 # 8 # ) J + 9 9 # ) 9 # [ + , # 9 + , + $ 4 # ! # $ . # $ 8 O + 4 J # I # , # 1 / 9 + $ + 9 ' + ) $ ! + ) 9 ∫ 1
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(1
2`(x0) + `(x1) + `(x2) + · · · + `(xN ) +
1
2`(xN+1)
)
.
9 + $ O ( 4 l + ) $ 4 $ ( , # ) 5 #
Lh(cϕiϕj) =
hc(xj)$ 4i = j,
0$ 4i 6= j,
0 / 1#
Lh(fϕj) = hf(xj). 0 / 2 1 4 8 ! ) $ 0 / 1 8 ) + $ # , + ) $ ∫ 1
0c(x)ϕi(x)ϕj(x)dx
0 / 1 # $ 4 ) + $ # , + ) $ 0 1 1 0 / 2 1 8 + $ ) + $ O ( 4 l + ) $ 5 # # $ 1 $ . , # 0 1 # $ # I 9 # , # ) ( ? Vh
[ + 4 $ # $ 1 $ . , #+ = # ) ! ) $ 0 5 1 9 + $ 9 + ) 9 + ) $ ! + ) 95 # ) + # , ( ' + ! #! J ( ( , # ) $ l ) 4 $ O # 9 4 ) ( ? 4 + ) ) , ( 4 5 # [ + , #! # $ . # $# $ $ 4 9 # , # ) ( 5 4 O # ) # V ) # , ( ' + ! #! #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $] # # ) ! ) 89 + ) 4 # , # ) V , ( ' + ! # ! # $ ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ 8 , ( ' + ! # ! # $( ( , # ) $ l ) 4 $ # $ . $ $ + # # $ # 4 $ $ #[ 9 4 # , # ) ? ( ) ( 4 $ # I $ 4 4 + ) $! ( 9 4 # $ 9 4 N ! # $ $ + $ + $ 5 # ! 4 $ 4 = 4 + ) ! # $ + 4 ) $ ! # ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + )(xj)1≤j≤N
) J # $ $ ) 4 N[ + , # 8 # $ [ + ) 9 4 + ) $ϕi
# O # ) + z + $ b # ! ( l ) 4 # $ 0 8 1 d 4 ) $ 4 8 # )9 + ) 9 # ) ) # $ ) ! $ I# ) ! + 4 $ ! # [ + # O 4 4 + ) ! # $ + 4 + ) 8 # $ [ + ) 9 N 4 + ) $ϕi
# O # ) # ) ? # ) ! # ) $ + $ N # $ 9 #Vh
! # [ + ) 9 4 + ) $ , 4 # I ! ( # $ + = . , # 9 + ) $ 4 ! ( ( + $ 5 # ! 4 $ 4 = 4 + ) ! # $ + 4 ) $ ! # ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + ) ) J # $ $ ) 4 [ + , # 8 ) + $ + = # ) + ) $ + z + $ J # $ 4 , 4 + ) ! J # # 0 / / 1 # ) #u
# uh
$ 4 ) + $ ! ( l ) 4 $ $ + ) $h
h = max
0≤i≤N|xi+1 − xi|.
+ $ 5 # # $ [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ # ! #Vh
$ + ) ! ( l ) 4 # $ ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( $ ( # O (5 # $ 9 ' 5 # ( ( , # ) ? ( + , ( 4 5 #[xj , xj+1] 0 $ # 9 5 1 8 ) + $
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5 2 + O + ) $ ? , # ) # ( 9 4 $ 4 + ) ! # , ( ' + ! # w 9 4 # $ ) + 4 + ) $ ! J 4 ) # + 4 + ) 4 ) # O # 4 ) + ! 4 # $ ! ) $ # 9 ' 4 # 4 ) # O 4 # ) ) # ) ! # [ + ) 9 4 # # ) + $ # ) ! + ) ) + ) $ ) # I # , # ! ) $ $ # 9 4 + ) $ 4 O ) #| 4 ) # , # ) 8 ) + + ) $ 5 # ' ( + 4 # ! # $ ( ( , # ) $ l ) 4 $ # $ 9 + , . # , # ) , N ' ( , 4 $ ( # # $ ( $ $ ! # 9 + ) O # ? # ) 9 # $ # , = = # $ V 9 # I ! ' ( + . , # 1# I 4 $ # ) ! ) $ ! # $ 9 ! # $ + V [ 4 ? ( ) ( I 9 + ) # ) ) = + ) ) + , = # ! J 4 9 N 4 + ) $ ' 1 $ 4 5 # $ . * , . . . &
4 O 4 $ + ) $ J 4 ) # O # [0, 1]# )M+1
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8xi = ih
8 O # 9 i = 0, 1, . . . ,M + 1# xi+1/2 = xi + h/2
8 O # 9 i = 0, 1, . . . ,M$ ) ! ( l ) 4 +
i = 1, 2, . . . ,M8 # $ [ + ) 9 4 + ) $ $ 4 O ) # $ *
ψi(x) =
(x− xi−1)(x − xi− 12)
(xi − xi−1)(xi − xi− 12)
$ 4xi−1 ≤ x ≤ xi,
(x− xi+1)(x − xi+ 12)
(xi − xi+1)(xi − xi+ 12)
$ 4xi ≤ x ≤ xi+1,
0$ 4x ≤ xi−1
+ x ≥ xi+1;
0 / 5 1
# + i = 0, 1, . . . ,M
8 # $ [ + ) 9 4 + ) $ $ 4 O ) # $ *
ψi+ 12(x) =
(x − xi)(x− xi+1)
(xi+ 12− xi)(xi+ 1
2− xi+1)
$ 4xi ≤ x ≤ xi+1,
0$ 4x ≤ xi
+ x ≥ xi+1.
0 / 4 1
# ? ' # ! # $ [ + ) 9 4 + ) $ψi
# ψi+1/2
# $ # ( $ # ) ( ! ) $ l ? # 5 ] 4 # N, # ) # $ [ + ) 9 4 + ) $ψi
# ψi+1/2
$ + ) # # $ 5 # *ψi(xj) = δij , 0 ≤ j ≤M + 1,
ψi(xj+ 12) = 0, 0 ≤ j ≤M,
ψi|[xj−1,xj ]
# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( /, 1 ≤ j ≤M + 1;
0 / 8 1
ψi+ 12(xj+ 1
2) = δij , 0 ≤ j ≤M,
ψi+ 12(xj) = 0, 0 ≤ j ≤M + 1,
ψi+ 12 |[xj−1,xj ]
# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( /, 1 ≤ j ≤M + 1.
0 / 6 1
4 ) + $ + $ + ) $ , 4 ) # ) ) N = 2M + 1
8ϕ1 = ψ1/2
8ϕ2 = ψ1
8ϕ3 = ψ3/2
8ϕ4 = ψ2
8ϕ5 = ψ5/2
8ϕ6 = ψ3
8. . .
8ϕ2M = ψM
8ϕ2M+1 = ψM+1/2
8 + $ # $[ + ) 9 4 + ) $ϕ1
8ϕ2
8. . .
8ϕN
4 # ) ) # ) VV
# $ + ) 4 ) ( 4 # , # ) 4 ) ! ( # ) ! ) # $9 + $ # $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ + # ) ? # ) ! # J # $ 9 #
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x0, x1, x2, . . . , xM+1$ + ) # $ " " " 8
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5 5
x
xi−1 xi− 12xi xi+ 1
2xi+1
1ψi(x)
ψi− 12(x) ψi+ 1
2(x)
-
6
X # R W ( W ] ' # ! # $ [ + ) 9 4 + ) $ψi−1/2
8ψi
# ψi+1/2
[x0, x1], [x1, x2], . . . , [xM , xM+1]$ + ) # $ ' 8
x1/2, x3/2, x5/2, . . . , xM+1/2
$ + ) # $ " ' 8ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN
$ + ) # $ [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ # ! $ + $ N # $ 9 #Vh
! # 1 # ' $ $ + 9 4 ( # $ I ) ! $ ! # ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + )
4g ∈ Vh
8 + $g
# $ ) # 9 + , = 4 ) 4 $ + ) 4 ) ( 4 # ! # $ϕi
8 4 #g(x) =
N∑
i=1
giϕi(x),
# # ? ' # ! #g
# $ # ( $ # ) ( ! ) $ l ? # 4 ) 4 9 4 # ) + $ # N, 5 + ) $ 8 # ) O # ! # 0 / 8 1 0 / 6 1 8 5 #g(xj) = g2j
81 ≤ j ≤ M
8 5 #g(xj+1/2) = g2j+1
80 ≤ j ≤ M
8 5 #g(0) = g(1) = 0
# 5 #g
# $ ) + 1 ) t , #! # ! # ? ( / $ 9 ' 5 # ( ( , # ) ? ( + , ( 4 5 #
x
g(x)
x0 x1 x2 x3 x4x1/2 x3/2 x5/2 x7/2
g1g2
g3
6
-
X # R W ( W G ] ' # ! J ) # [ + ) 9 4 + )g
( ( , # ) ! #Vh
! ) $ # 9 $ + 4M = 3
4u ∈ V
8 + $ [ + ) 9 4 + ) ! ( l ) 4 # rhu =
M∑
j=1
u(xj)ϕ2j +
M∑
j=0
u(xj+ 12)ϕ2j+1
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5 4# $ J 4 ) # + ) ! # ! # ? ( / 4 ) # O # ! # [ + ) 9 4 + )
u8 O + 4 ! ( l ) 4 4 + ) 2m 9 + ) $ 9 4 + ) 8
rhu ∈ Vh# ) + $ O + ) $ = 4 # ) ( O 4 ! # , , # ) *
minvh∈Vh
|u− vh|1 ≤ |u− rhu|1. 0 1 1 4u
# $ + 4 $ [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 ) + $ + O + ) $ , + ) # ! # [ + ) ) N + ? # ' ( + . , # 1 5 J 4 # I 4 $ # ) # 9 + ) $ ) #C
4 ) ! ( # ) ! ) # ! #h
# N # # 5 #
|u− rhu|1 ≤ Ch2. 0 1 1 # $ # 4 + ) $ 0 2 1 8 0 1 1 # 0 1 1 9 + ) ! 4 $ # ) ! + ) 9 ( $ $ 4 O ) * = ( W _ E > < ` ` : >J H < J c(x) ≥ 0 a ∀x ∈ [0, 1] b : A L u N P > : N < L A : E @ J b H < J E: < > > < ` ` : >: E > L B : A > : A > U : E L A E R JE L @ \B A P N J b A uh
J > L N P >: N < L A : E@ J b N : B >H< J VhJ > L J E JE@ B \ ` P BN J > : EUL A : E > @ J P >J b b aP N : B > E : < > P : E > N J > L A R P L A : E @ J B B J < B
|u− uh|1 ≤ Ch2, 0 1 / 1:
CJ > L < EJ U : E > L P E L J A E @ \ ` JE@ P E L J @ J N J L @ : EU @ J
h b
9 + $ 9 + ) $ + ) $ 5 # , ( ' + ! # ! # 1 # ( ( , # ) $ l ) 4 $ ! # ! # ? ( /# $ $ ( 9 4 $ # 5 # , ( ' + ! # ! # 1 # ( ( , # ) $ l ) 4 $ ! # ! # ? ( ! ( 9 4 # ! ) $ $ # 9 4 + ) ( 9 ( ! # ) # w $ ! # $ # + # V $ # 9 4 + ) 5 9 + ) 9 # ) ) J 4 ) # + 4 + ) 4 ) # O # $ + ? ( ) ( 4 $ # 9 # $ ( $ $ V ! # $ , ( ' + ! # $ ! # 1 # ( ( , # ) $l ) 4 $ ! # ! # ? (k8 + 4
k# $ ) # ) 4 # $ ? ) ! 5 # /
$ $ & , $ & & . . . " $ & ( *+ , . " * , . * & .
# O # ) + ) $ + = . , # 0 1 # $ + $ + ) $ , 4 ) # ) ) 5 #c
) # ! ( # ) ! # $ $ # # , # ) ! #x
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5 8
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h2+ c(x2, u2) − f(x2)
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h2+ c(xN−1, uN−1) − f(xN−1)
−uN−1 + 2uN
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∫ 1
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∫ 1
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′i(x)dx +
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xi
(1 + x)ϕ′i(x)ϕ
′i(x)dx
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1
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(1 + x)ϕ′i+1(x)ϕ
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0 1
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∫ 1
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0
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∫ 1
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∫ 1
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8. . .
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i=1
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∫ 1
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′N+1(x)dx + αϕN+1(1)ϕN+1(1)
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−1 2 −1
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i,j=1
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∂xi
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i,j=1
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4 2http://fribok.blogspot.com/
45
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2
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Ω
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Ω
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Ω
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∫∫
Ω
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Ω
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Ω
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Ω
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Ω
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48
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Ω
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Ω
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Ω
∣∣∣∣∣
N∑
i=1
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∣∣∣∣∣
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x2
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ϕi
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∂x1+ a12
∂ϕi
∂x1
∂ϕj
∂x2
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∂x2
∂ϕj
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∂ϕi
∂x2
∂ϕj
∂x2
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8P3 = Q31
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8PL+1 = Q12
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8P2L = QL2
8P2L+1 = Q13
8. . .
8PN = QLL # $ + ! #
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8K6
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1
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ϕ1 =1
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K5,
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1
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$
K3−−→? !
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K6.
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Ω
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ϕ1
∣∣∣
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6∑
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∫∫
Kk
∣∣∣−−→? !
ϕ1
∣∣∣
2
dx = 4.
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Q01 Q11 Q21
P1 P2 PL
PL+1
1
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# 9 # 4! # [ + ) 9 4 + )ϕ2
# $ ( ! 4 I 4 ) ? # $K3
# K4
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ϕ2 =1
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Ω
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Ω
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L,
Ai,L+i = AL+i,i = A1,L+1 = −1, i = 1, 2, . . . , N − L;
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8 1
Q00 Q10 Q20
Q01 Q11 Q21
Q02 Q12 Q22
x1
x2
P1 P2
PL+1
K1
K2K3
K4
K5K6
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C B C
C B C
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3
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Ω
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2
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8
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# $ ) ) ! ! # 9 + + ! + ) ) ( # $(ih, jh)
*
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∂x21
(P ) +∂2u
∂x22
(P )
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h2+O(h2)
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h2+O(h2).
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9 + $ O + ) $ ! + ) 9*
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8uL+2 = U2,2
8. . .
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∫∫
Ω
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1/2
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8 5
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8PL+2 = Q22
8. . .
8P2L = QL2
8P2L+1 = Q13
8. . .
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8 # # ) # ) , ( + ) ! # , b , #
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8ϕL = φL1
8ϕL+1 = φ12
8ϕL+2 = φ22
8. . .
8ϕ2L = φL2
8ϕ2L+1 = φ13
8. . .
8ϕN = φLL
8 ) + $ + ) $ $ $ + 9 4 ( V 9 ' 5 # ) ! 4 ) ( 4 # Pj
) # [ + ) 9 4 + ) ! # = $ #ϕj
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4 4 $ ( ! ) $ J + I 4 , 4 + ) ! # ] # 4 ) 0 1 # $ 9 # 4 # ) ? # ) ! ( # $ [ + ) 9 4 + ) $ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN
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8K3
8K4
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Q01 Q11 Q21
Q02 Q12 Q22
x1
x2
P1 P2
PL+1 PL+2
K1 K2
K3K4
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ψ1(x2)
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8 8
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$
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−ψ1(x1)
$
K2,
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1
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−ψ1(x2)
ψ1(x1)
$
K3,
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1
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ψ1(x2)
ψ1(x1)
$
K4.
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ϕ1
∣∣∣
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K1
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0
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∫ 2h
h
ψ21(x2)dx2
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(
1 +4
4
)
+1
6
(
1 +4
4
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3.
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∫∫
Ω
∣∣∣−−→? !
ϕ1
∣∣∣
2
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∫∫
K1
∣∣∣−−→? !
ϕ1
∣∣∣
2
dx =8
3.
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$ + ) # $ $ 4 O ) # $ *
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−1 8 −1
−1 8 −1
−1 8
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1
3
−1 −1
−1 −1 −1
−1 −1 −1
−1 −1
.
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Ω # 9 ( ) 4 ( ! #
R2 ! # [ + ) 4 . #
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u : Ω → R2 # # 5 #
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∂x1
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) ∂
∂x1u(x1, x2
))
− ∂2
∂x22
u(x1, x2
)= f ∀
(x1, x2
)∈ Ω, 0 / 2 1
u(x1, x2
)= 0 ∀
(x1, x2
)∈ ∂Ω, 0 / 5 1
+ 4f : Ω → R
# $ ) # [ + ) 9 4 + ) ! + ) ) ( # = 4 ) # [ + , 4 + ) [ 4 = # ! + = . , # 0 / 2 1 0 / 5 1/ 4
Ω# $ $ = ! 4 O 4 $ ( # ) 4 ) ? # $ 9 + , , # ! ) $ l ? # 6 8 9 + ) $ 4 ## I 4 9 4 # , # ) , ( ' + ! # ! J ( ( , # ) $ l ) 4 $ 4 ) ? 4 # $ ! # ! # ? ( + + 9 ' # ) , ( 4 5 # , # ) $ + 4 + ) ! + = . , # 0 / 2 1 0 / 5 1 4 4 $ # [ + , # ! # 5 ! # 0 4 1 + ( O # # $ 4 ) ( ? # $ + ) # 5 # O # ! # $ + 4 + ) + = # ) # , ( ' + ! # ! # $ ( ( , # ) $ l ) 4 $ + 4 ) , 4 4 # ! 9 ( ) 4 ( # $ ( ? # V
1/18 + $ 5 #
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@@
@@
@@
-
6
0
x2
1
x11
K1
K3
K2K4P1
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v : Ω → R# 4 ) ( ? + ) $ $ Ω9 + $ + = # ) + ) $
−∫∫
Ω
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v(x)dx =
∫∫
Ω
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x = (x1, x2)8dx = dx1dx2
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# O # 9 # ! ( l ) 4
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∂x1u(x1, x2)
∂
∂x2u(x1, x2)
.
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! 4 O ~w + ~w · −−→? !v,
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6
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Ω
~w(x) · −−→? !v(x)dx +
∫∫
Ω
! 4 O (v(x)~w(x))
dx =
∫∫
Ω
v(x)! 4 O ~w(x)dx.
) 4 4 $ ) # ' ( + . , # ! # ! 4 O # ? # ) 9 # 8 ) + $ O + ) $ *−∫∫
Ω
~w(x) · −−→? !v(x)dx +
∫∫
∂Ω
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∫∫
Ω
v(x)! 4 O ~w(x)dx,
+ 4~n(x)
! ( $ 4 ? ) # ) + , # # I ( 4 # # VΩ
| 4 ) # , # ) 8 $ 4 ) + $ 4 , + $ + ) $ 5 #v
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# $ 4 ) + $ 4 4 $ + ) $ ! ( l ) 4 4 + ) ! #~w8) + $ O + ) $ + $ # ) 4 4 $ ) 0 / 4 1
∫∫
Ω
(
(1 + x1 + x2)∂u
∂x1(x)
∂v
∂x1(x) +
∂u
∂x2(x)
∂v
∂x2(x)
)
dx
=
∫∫
Ω
f(x)v(x)dx. 0 / 8 1
+ 4 V
J # ) $ # , = # ! # + # $ # $ [ + ) 9 4 + ) $g : Ω → R
5 4 $ + ) 9 + ) 4 ) # $ $ Ω
8) # $ $ ∂Ω
8 # ! + ) # $ # , 4 . # $! ( 4 O ( # $ 4 # # $∂g/∂x1
8∂g/∂x2
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# 5 # 0 / 8 1$ + 4 $ 4 $ [ 4 # + + # [ + ) 9 4 + )v ∈ V
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∂u
∂t(x, t)v(x)dx +
∫ 1
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k∂u
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∫ 1
0
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∫ 1
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∫ 1
0
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! ) $Vh
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i=1
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0
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i=1
ui(t)
1∫
0
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′j (x)dx
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1∫
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# $ N ×N , 4 9 # ! # 9 + # 9 4 # ) $
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Ω × R+ → u(x, t) ∈ R
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i,j=1
∂
∂xi
(
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∂xju(x, t)
)
= f(x, t)
∀x ∈ Ω, ∀t > 0, 0 / 1 8 1u(x, t) = 0, ∀x ∈ ∂Ω, ∀t > 0, 0 / 1 6 1u(x, 0) = w(x), ∀x ∈ Ω. 0 / 1
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i,j=1
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# + + t > 0
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8ξ2
8ξ3
! + ) ) ( # ξ3 = a11(x, t)ξ
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(
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# t8 ) + $ + = # ) + ) $
∂u
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+ 4 4 9 4∆u(x, t)
# $ # 9 4 # ) ! #u
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t > 0 4 ) + $ $ # + $ + ) $ # $ ( $ $ ! # $ # 9 4 + ) / O # 9 9 # I! # $ # 9 4 + ) ( 9 ( ! # ) # 8 ) + $ + O + ) $ $ ) $ ! 4 9 ( 9 + ) $ 4 # ) # $ # , 4 N ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + ) $ N 4 # ! + = . , # 0 / 1 0 / / 1 0 / 1 1 , ( ' + ! # ! # $ ( ( , # ) $ l ) 4 $ 5 4! + ) ) # 4 # V ) $ 1 $ . , # ! 4 h ( # ) 4 # # ) # , $ w $ # ) $ 4 # ! J 4 ) ( ? # ) N, ( 4 5 # , # ) 9 #! # ) 4 # ! # $ , ( ' + ! # $ 5 # ) + $ 9 + ) ) 4 $ $ + ) $ ! ( z V ) $ $ 4 # ! # 9 # # $ # 9 4 + ) 8 ) + $ # I + $ + ) $ . $ = 4 . O # , # ) 9 # # 9 + ) $ 9 4 + ) )$ 4 O ) 9 # 5 4( ( [ 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) / 8 ) + $ ( 9 4 O + ) $ ) # # 4 + )$ # , = = # V 0 / / 8 1 *
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ϕj8j = 1, . . . , N
8 $ + ) ! + ) ) ( # $ 0 2 1 # # ? ' # # $ 4 $ ( ! ) $ l ? # 1 w $ # ) $ 4 # ! # # , 9 # ! ) $ 0 / / 6 1 # $ 4 ) ( ? # $∫ 1
0
dx ∫∫
Ω
dx
# # $ ? ) ! # $ϕ′
i
! # $ ? ) ! # $ −−→? !ϕi
+ + = # ) 4 *N∑
i=1
ui(t)
∫∫
Ω
ϕi(x)ϕj(x)dx +N∑
i=1
ui(t)
∫∫
Ω
−−→? !ϕi(x) ·
−−→? !ϕj(x)dx
=
∫∫
Ω
f(x, t)ϕj(x)dx, j = 1, 2, . . . , N. 0 / 2 1m + z $ 4 l # 0 / 2 1 8 4 $ ! J + ( # # I 9 # , # ) ! # , b , # , ) 4 . # 5 # + $ $ # ! # 0 2 1 V 0 6 1 # ! # 0 / / 1 V 0 / / 2 1w 9 4 # ) 9 + # ) + $ + O + ) $ 9 + ) $ 4 # # $ , 4 9 # $ ! # , $ $ #
M# ! # 4 ? 4 ! 4 (
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Ω
ϕi(x)ϕj(x)dx
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# Aji =
∫∫
Ω
−−→? !ϕi(x) ·
−−→? !ϕj(x)dx, i, j = 1, . . . , N.
# $ 1 $ . , # ! 4 h ( # ) 4 # ( $ ) ! # 0 / 2 1 $ # + $M~u(t) +A~u(t) = ~f(t) ∀t > 0, 0 / 5 1
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Ω
f(x, t)ϕj(x)dx.
9 + ) ! 4 4 + ) 4 ) 4 4 # $ # ! + ) ) ( # # I # , # ui(0) = w(Pi)
81 ≤ i ≤ N
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Ω# $ #9 ( ) 4 ( ! # [ + ) 4 . #
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u : (x, t) ∈ [0, 1]× R+ → u(x, t) ∈ R
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∂t2(x, t) − c2
∂2u
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u(0, t) = u(1, t) = 0 ∀t > 0, 0 1 4 1u(x, 0) = w(x)
# ∂u∂t
(x, 0) = v(x) ∀x ∈]0, 1[. 0 1 8 1
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# 4 ) + ! 4 $ + ) $ [ + ) 9 4 + ) / N ( 4 + ! 4 5 #ω
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x ∈ [−1, 0]9 + $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 # , # ) 5 # [ + ) 9 4 + )
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2
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NN O # 9 # ~v ! # 9 + , + $ ) # $
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j+1
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u(x, t) = sin(mπx) cos(mπct).
m 4 $ 5 #xj = jh
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*
u0j = w(xj),
u1j = (1 − λ)w(xj ) +
1
2λ(w(xj−1) + w(xj+1)),
u2j = 2(1 − λ)u1
j + λ(u1j−1 + u1
j+1) − u0j ,
un+1j = 2(1 − λ)un
j + λ(unj−1 + un
j+1) − un−1j ,
0 1 1 1 1
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) 4 4 $ ) 9 + ) ! 4 4 + ) 4 ) 4 4 # 0 1 1 1 # [ + , # 4 ? + N) + , ( 4 5 # 0 1 1 1 ) + $ + = # ) + ) $un
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m# $ + ) ! + ) ) ( $ # $ [ + , # $ ! # ( 9 N # ) 9 #*
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αn = 2α1αn−1 − αn−2.
0 1 1 2 1
m 9 + ) $ ( 5 # ) 8 9 + , # # ) ! # 0 1 1 / 1 # 0 1 1 2 1 8 unj
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# $ ) # = + ) ) # + I 4 , 4 + )! #cos(mπcnτ)
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√
α21 − 1
# s− = α1 −
√
α21 − 1, 0 1 1 5 1
+ 4 ) + $ O + ) $ ) + ( √α2
1 − 1 9 4 ) # + $ 4 4 O # ! #
α21−1
$ 4 |α1| ≥ 1# √
α21 − 1 =
i√
1 − α21
$ 4 |α1| < 18i( ) J ) 4 ( 4 , ? 4 ) 4 # ( 4 l + ) $ 5 # # 9 + # 9 4 # )
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1
2(sn
+ + sn−), n = 0, 1, 2, . . . 0 1 1 4 1
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# n = 1
+ $ + ) $ 5 # 0 1 1 4 1 $ + 4 O 4 # + n ≤ k
# , + ) + ) $ 5 J # # # $ # O 4 # + n = k + 1
J ' 1 + ' . $ # ! # ( 9 # ) 9 # # # $ # 4 + ) $ 0 1 1 2 1 8) + $ $ $ # ) 5 #αk+1 = 2α1αk − αk−1
= 2α11
2(sk
+ + sk−) − 1
2(sk−1
+ + sk−1− )
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2sk−1+ (2α1s+ − 1) +
1
2sk−1− (2α1s− − 1).
) 4 4 $ ) 0 1 1 5 1 8 ) + $ O + ) $ s2± = 2α1s± − 1# ! + ) 9
αk+1 =1
2(sk+1
+ + sk+1− )
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+ + n = 0, 1, 2, . . .
8 # + + m = 1, 2, . . .
8 4 $ 8 # ) O # ! # 0 1 1 4 1 8 ! J $ $ # 5 #|s±| ≤ 1, m = 1, 2, . . . 0 1 1 8 1
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C$ 4
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/ 8
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λ ≤ 2
1 − cosmh, m = 1, 2, . . . , 0 1 1
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λ = τ2c2/h2 8 ) + $ + = # ) + ) $ = 4 # ) # ( $ ! # $ = 4 4 ( ) ) + ) 9 ( ! ) $) + # ' ( + . , #
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$ ! # # , $ 9 + $ + $ + ) $! + ) 9τ = T/M
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(N + 1)cT ≤M! # $ + # 5 # # $ ! J # $ 9 #
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9 + $ 9 9 + ) $ # ) $ 4 # # $ O # $ uM1 , . . . , u
MN
# J # # , I 4 , # $ 4 $ [ 4 max
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j − u(xj , T )| ≤ Ch2,$ 4h→ 0, 0 1 1
9 + ) $ ) #C
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" . . . * , . + 4
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f : (x, t) ∈ Ω × R+ → f(x, t) ∈ R,
w : x ∈ Ω → w(x) ∈ R,
v : x ∈ Ω → v(x) ∈ R,+ 4 # + 4 ) x ∈ Ω
) # # , # ) ! # I9 + , + $ ) # $x1
# x2
* ) + $ ) + # + ) $x = (x1, x2)
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# $ ) ) + , = # + $ 4 4 [ ! + ) ) ( 8 ) + $ + $ + ) $ # + = . , # ! # + O # u : (x, t) ∈ Ω × R
+ → u(x, t) ∈ R # 5 #∂2u
∂t2(x, t) − c2∆u(x, t) = f(x, t) ∀x ∈ Ω, ∀t > 0, 0 1 / 1
u(x, t) = 0 ∀x ∈ ∂Ω, ∀t > 0, 0 1 1 1u(x, 0) = w(x)
# ∂u∂t
(x, 0) = v(x) ∀x ∈ Ω. 0 1 1
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x# V J 4 ) $ )
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∫∫
Ω
∂2u
∂t2(x, t)ϕ(x)dx + c2
∫∫
Ω
−−→? !u(x, t) · −−→? !
ϕ(x)dx
=
∫∫
Ω
f(x, t)ϕ(x)dx ∀t > 0.
0 1 2 1
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$ + ) N
[ + ) 9 4 + ) $ 4 ) ( 4 # , # ) 4 ) ! ( # ) ! ) # $ ! #V
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# ) 9 + ) $ 4 ! ( ) + # $ # $ 9 + , = 4 ) 4 $ + ) $ 4 ) ( 4 # $ ! # $ [ + ) 9 4 + ) $ϕi
8 9 + , , # ) + $ J O + ) $ ! ( z V [ 4 ! ) $ # $ $ # 9 4 + ) $ # / 1 + 4 uh
J N + I 4 , 4 + ) ! #u
! ( l ) 4 #
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N∑
i=1
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# , + ) $u
uh
! ) $ 0 1 2 1 # 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ + [ + ) 9 4 + ) $ # $ ϕ = ϕj
8j = 1, . . . , N
9 + $ + = # ) + ) $ *N∑
i=1
ui(t)
∫∫
Ω
ϕi(x)ϕj(x)dx + c2N∑
i=1
ui(t)
∫∫
Ω
−−→? !ϕi(x) ·
−−→? !ϕj(x)dx
=
∫∫
Ω
f(x, t)ϕj(x)dx, j = 1, . . . , N, ∀t > 0. 0 1 5 1
4 4 $ + ) $ V ) + O # # $ ) + 4 + ) $ ! # $ # 9 4 + ) / 1 + 4 M
, 4 9 # ! # , $ $ #! # 9 + # 9 4 # ) $Mji =
∫∫
Ω
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$ + 4 A
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∫∫
Ω
−−→? !ϕi(x) ·
−−→? !ϕj(x)dx, i, j = 1, . . . , N,
$ + 4 ~u(t)
#N
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N O # 9 # ! #9 + , + $ ) # $f1(t), . . . , fN (t)
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∫∫
Ω
f(x, t)ϕj(x)dx, j = 1, . . . , N.
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# ~u(0) = ~v. 0 1 8 1
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# v1, . . . , vN
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j=1
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j=1
vjϕj(x)
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# v(x)
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t > 0# $ ! + ) ) ( #
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∂x
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)gx(t) +
∂u
∂t
(gx(t), t
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∂t
(gx(t), t
)+ u(gx(t), t
)∂u
∂x
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u(gx(0), 0
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∂u
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∂u
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), t > 0, 0 1 2 5 1
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# $ ) ) + , = # ! + ) ) ( 4 ) + $ $ + $ + ) $ 5 #u O ( 4 l # 9 + ) ! 4 4 + )
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).9 + $ O + ) $
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∂x
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)u(β(t), t
)+∂u
∂t
(β(t), t
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(β(t), t
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)
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) 4 4 $ ) 0 1 2 5 1 # 0 1 2 8 1 8 ) + $ O + ) $β(t) = γ(t) = w(x) ∀t > 0,$ + 4 8 # ) 4 ) ( ? ) ! #
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# ( # " " ) $ l ? # 1 1 8 ) + $ # ( $ # ) + ) $ 9 # $ 9 + = # $ 9 9 ( 4 $ 4 5 # $ 0 5 4 $ + ) # $ 4 ? ) # $ ! # ) 4 O # ! # $ + 4 + )
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w# $ ! ( l ) 4 #
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w(x) = −x 8 # $ # 9 4 O # , # )
x x
t t
−2 −1 0 1 2 −3 −2 −1 0 1 2 3
u = −2
u = −1u = −0.5
u = 2
u = 1u = 0.5
u = 3
u = 2
u = 1
u = −3
u = −2
u = −1
1 1
X # R W N W N ] + = # $ 9 9 ( 4 $ 4 5 # $ + $ 5 #w(x) = x
8 4 #x = xt + x 0 l ? ! #? 9 ' # 1 # + $ 5 #
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# $ ! ( l ) 4 # w(x) = x
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u! # O 4 # ) ! 4 $ 9 + ) 4 ) # # 8 4 $ 5 #
u) J # $ $ ( ? 4 . # 8 J ( ? 4 ( 0 1 5 1 ) J # $ $ O = # d # , $
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# $ # ) ? # ) ! ( # # 4 [ ! ! . $ + $ ( = + # ) # ' ( + 4 # $9 + , # I # + + O # ) # $ + 4 + ) ' 1 $ 4 5 # ! + = . , #] # ! # ) 4 # # I # , # ) + $ , + ) # ) # ! # $ ! 4 9 ( $ 4 ) ' ( # ) # $ I + = . , # $' 1 # = + 4 5 # $ ) + ) 4 ) ( 4 # $ # $ 5 # # $ ( 5 4 + ) $ 0 1 2 1 0 1 2 2 1 + $ ? ( ) ( N # , # ) # $ ( 5 4 + ) $ 5 4 ( ? 4 $ $ # ) ! 1 ) , 4 5 # ! # $ ? 9 + , # $ $ 4 = # $ ) #5 # $ 4 + )4 , + ) # # $ ! # + + $ # ! # $ $ 9 ' ( , $ ) , ( 4 5 # $ 5 4 # , # # ) ! #! ( 9 4 # 9 + # 9 # , # ) # $ 9 ' + 9 $ ] # # 5 # $ 4 + ) [ 4 J + = z # ! # ) + , = # I 4 9 # $# # $ + 9 + , # I # + b # = + ! ( # ! ) $ 9 # 9 ' 4 #
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# $ $ 4 8τ
# $ # , + # # + $ + ) $xj = jh
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8
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j−1
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# + ) $ + $ # 5 #c0τ ≤ h
+ ) # 5 # $ 4 + $ # $un
j
8j ∈ Z
8 $ + ) + $ 4 4 [ $ 8 + $ + $ # $un+1
j
8j ∈ Z
8 $ + ) $ $ 4 + $ 4 4 [ $ + ) # 5 #supj∈Z
|un+1j | ≤ sup
j∈Z
|unj |. 0 1 5 / 1
# 4 + ) 0 1 5 / 1 ? ) 4 5 # # $ 9 ' ( ,! ( 9 # ) ( 0 1 5 1 # $ $ = # ! . $5 #c0τ ≤ h/ m + 5 + 4 # $ N 4 $ + ' 4 = # 5 # # $ 9 ' ( , ) , ( 4 5 # $ 4 $ [ $ $ # # + 4 ) 1 $ )9 + ) $ 4 ! . # # 9 $ + 4 9 + ) ! 4 4 + )4 ) 4 4 # # $ ! ( l ) 4 #
w(x) = 1$ 4
x ≤ 08w(x) = 0
$ 4x > 0
$ ) 9 ' + 4 $ 4 c0 = 2
8h = τ
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h] + ) $ 4 ## # ( $ # ) # $ + 4 + )) , ( 4 5 # +
n = 1, 2, 3, 4 ( 4 l # $ # ? ' 4 5 # 5 #un
n = 2n # # )! ( ! 4 # 5 # # $ 9 ' ( , # $ ) , ( 4 5 # , # ) 4 ) $ = # 0 # ) ) + , # ! , I 4 , , 1j D ' # % # $ 9 ' ( , ) , ( 4 5 # 0 1 5 1 $ J ( 9 4
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# $ + $ 4 4 [α
# $ $ $ 4 + $ 4 4 [ # $ 8$ 4 9 + ) ! 4 4 + )c0τ ≤ h
# $ $ 4 $ [ 4 # 8 + $1 − α ≥ 0
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j
$ + ) + $ 4 4 [ $ 8 + $un+1
j
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$ + ) + $ 4 4 [ $ 8 + $ + $ # $un+1
j
$ + ) ( ? # , # ) + $ 4 4 [ $ + ) + ) $ , 4 ) # ) ) 0 1 5 / 1 + 4 j ∈ Z
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# 1 − α ≥ 0
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j | ≤ (1 − α)|unj | + α|un
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k∈Z
|unk |
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t
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1 1 1 1 1 1 1 0 4 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 2 −4 8 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 0 8 0 16 0 0
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j
8n = 1, . . . ,M
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j−1
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j−1
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$ + ) + $ 4 4 [ $ 8 + $ + $ # $un
j
8n = 0, 1, . . . ,M
$ + ) $ $ 4 + $ 4 4 [ $ + ) # 5 #max
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j−1
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j−1
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j
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j
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j
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8u1
j−1
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j−1
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j
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j
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∣∣∣∣|un+1
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j−1|
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(
1 − h
c0τ
)
|un+1j−1 | +
h
c0τ|un
j−1|
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1 − h
c0τ
)
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h
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j−1|.
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j
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j
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j−1
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j
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1 − exp(c0ε
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# $ + $ 4 4 [ # $ 4c0/ε
# $ . $ ? ) ! 8 4 #ε << c0
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$ #9 + , + #9 + , , #f0x/c0
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x
0 1
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( 5 4 + ) $ # N
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1.4
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h < 2ε/c0 0 4 9 4 f0 = 18ε = 0.02
8c0 = 1
8h = 1/30
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1+
++
++
+ +
+
+
+
+
X # R W _ W N # $ O # $ uj +
h > 2ε/c0 0 4 9 4 f0 = 18ε = 0.02
8c0 = 1
8h = 1/10
1
# ) # # $ [ + , # $ ! # ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ ( + ? ! ## + ? # $ $ 4 O # 0 9 ' / 1 #$ 9 ' ( , ) , ( 4 5 # + ! 4 $ 9 ( 4 $ # 0 1 ! # O 4 # ) *
ε2uj − uj+1 − uj−1
h2+c(xj)
h
(
αj(uj − uj−1) + (1 − αj)(uj+1 − uj))
= f(xj), j = 1, . . . , N,
u0 = uN+1 = 0.
0 1
w # $ # ! + ) 9 V 9 ' + 4 $ 4 # $ ) + , = # $αj ∈ [0, 1]
+ + = # ) 4 , # 4 # # + I 4 N, 4 + ) + $ $ 4 = # # , 5 + ) $ 5 # $ 4 ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $αj = 1/2
8j = 1, . . . , N
8 # $ 9 ' ( , 0 1 9 + ) 9 4 ! # O # 9 0 1 1 5 4 8 ) + $ J O + ) $ O 8 # b # + $ 9 4 ) + $ 5 #h
) J # $ $ $ $ , , # ) # 4 9 + $ + ) $ 8 $ = $ # ! # 0 / 1 8 ! + ) ) # ) # [ + , # ! # 9 9 + # $ O # $ αjm + 9 # [ 4 # 8 $ + $ + ) $ 5 #c(x) = c0 =
9 + ) $ ) # + $ 4 4 O # 8 f(x) = f0 =
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/ 1 /
9 + ) $ ) # # αj = α ∈ [0, 1]
8j = 1, . . . , N
) $ 9 # 9 $ 8 # $ 9 ' ( , 0 1 $ J ( 9 4 2uj − uj+1 − uj−1 + γ
(
α(uj − uj−1) + (1 − α)(uj+1 − uj))
=h2f0ε
, j = 1, . . . , N,
u0 = uN+1 = 0,
0 2 1
+ 4 ) + $ O + ) $ ) + (γ =
c0εh. 0 5 1
J # 8 ) + $ $ O + ) $ 5 # $ + 4 + )u(x)
! # 0 1 # $ ! + ) ) ( # 0 / 1# $ 4 ) + $ + $ + ) $wj = u(xj)
8 ) + $ O + ) $
wj =f0c0
jh− 1 − exp(jγ)
1 − exp(c0ε
)
, j = 0, 1, . . . , N + 1. 0 4 19 + $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 # , # ) 5 #
2wj − wj−1 − wj+1 + γ(
α(wj − wj−1) + (1 − α)(wj+1 − wj))
=f0c0
(
(1 + γα)(2 − e−γ − eγ) + γ(eγ − 1))
ejγ
1 − exp(c0ε
) + γh
.
4 ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $α
# 5 #(1 + γα)(2 − e−γ − eγ) + γ(eγ − 1) = 0, 0 8 1 + $ ) + $ O + ) $
2wj − wj−1 − wj+1 + γ(
α(wj − wj−1) + (1 − α)(wj+1 − wj))
=f0c0γh =
h2f0ε
.
) $ 9 # 9 $ # $ O # $ w1, . . . , wN$ 4 $ [ + ) # $ 9 ' ( , 0 2 1 # ) + $ O + ) $
uj = wj = u(xj), j = 1, . . . , N.d 4 ) $ 4 8 + $ 5 # J ( ? 4 ( 0 8 1 # $ $ 4 $ [ 4 # 8 + $ $ + 4 + ) # I 9 # ! + = . , #0 1 9 + ) 9 4 ! # I + 4 ) $
x1 . . . , xN O # 9 $ + 4 + ) ! $ 9 ' ( , 0 2 1 9 + ) ! 4 N 4 + ) 0 8 1 $ J # I 4 , # # ) 9 + # ! # , ) 4 . # $ 4 O ) # *
α =1 − eγ
(2 − e−γ − eγ)− 1
γ
=1 − 1
2eγ − 1
2e−γ +
1
2(e−γ − eγ)
2 − e−γ − eγ− 1
γ
=1
2+
1
2
eγ − e−γ
eγ + e−γ − 2− 1
γ
=1
2+
1
2
(eγ/2 + e−γ/2)(eγ/2 − e−γ/2)
(eγ/2 − e−γ/2)2− 1
γ,
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# ! + ) 9α =
1
2+
1
2coth
γ
2− 1
γ. 0 6 1
) $ l ? # 8 ) + $ O + ) $ # ( $ # ) (α
9 + , , # [ + ) 9 4 + ) ! #γ8 +
γ ∈ R + $ 5 #γ
# $ + 9 ' # ! # ( + 8 9 J # $ N V N ! 4 # + $ 5 #h
# $ # 4 + Vε/c0
8) + $ + O + ) $ 9 ' + 4 $ 4 α ' 0.5
9 # 5 4 8 ! ) $ 0 2 1 8 9 + ) ! 4 $ 9 ' ( , 9 # ) ( + $ 5 #γ
# $ ? ) ! 8 9 J # $ N V N ! 4 # + $ 5 #h
# $ ? ) ! + V J ( 4 $ $ # ! # 9 + 9 ' # 4 , 4 #ε/c0
8 ) + $ O + ) $ 4 ) ( b V 9 ' + 4 $ 4 α
+ 9 ' # ! # 9 # 5 4 8 ! ) $0 2 1 8 9 + ) ! 4 $ 9 ' ( , ! ( 9 # ) ( 4 . # 0 # [ 4 5 # # $ 9 ' ( , $ + 4 ! ( 9 # ) (# ) 4 . # + O 4 # ) ! # J ' 1 + ' . $ #
c0 + $ 4 4 [ 1
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 20 40 60 80 100
X # R W _ W _ 9 ( ! # [ + ) 9 4 + )γ → α =
1
2+
1
2coth
γ
2− 1
γ
) $ # 9 $ ? ( ) ( + 4c
# f
) # $ + ) $ 9 + ) $ ) $ 8 ) + $ 9 ' + 4 $ 4 + ) $ ! + ) 9 8 $ 4c(xj) 6= 0
*
αj =1
2+
1
2coth
γj
2− 1
γj
O # 9 γj =c(xj)
εh. 0 1
# $ 9 ' ( ,) , ( 4 5 # 0 1 ! + ) # $ 9 + # 9 4 # ) $αj
$ + ) ! + ) ) ( $ 0 1$ # # ( " w + ! 4 $ + 4 + ) # I 9 # + $ 5 #c
# f
$ + ) 9 + ) $ ) $` , F D _ W ) 9 9 $ 4 , # ) + $ # , # ! # O ( 4 l # 5 # # $ 9 ' ( , 0 1 # $ # , # # $ + $ [ + , # $ 4 O ) #*
ε∗j2uj − uj+1 − uj−1
h2+ c(xj)
uj+1 − uj−1
2h= f(xj), j = 1, . . . , N,
u0 = uN+1 = 0,
0 1
O # 9ε∗j = ε+ c(xj)h
(
αj −1
2
)
. 0 / 1d 4 ) $ 4 # $ 9 ' ( , - 4 ) ! # $ $ + O # ) 4 ) # ( ( 9 + , , # )$ 9 ' ( , 9 # ) ( 0 9 + , N # 0 1 1 # 0 1 1 + 4 # 9 + # 9 4 # ) ! # ! 4 h $ 4 + )
ε ( ( ? , # ) ( ! # 5 ) 4 (
c(xj)h(αj − 1/2)8 # ( #
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$ & ( * + , . . . " & . . * , .
d + 9 ' + ) $ , 4 ) # ) ) $ + 4 + )u
! + = . , # 0 1 ) # , ( ' + ! #! J ( ( , # ) $ l ) 4 $ 0 $ # 9 1 # 1 m + ( = 4 # + = . , # [ 4 = # 9 + # $ + ) N! ) + = . , # 0 1 8 ) + $ 4 5 + ) $ 9 + , , #! ) $ $ # 9 4 + ) 1 + ! ( ! 4 # 0 6 1 ! # 0 1 + 4 V
J # ) $ # , = # ! # + # $ # $ [ + ) 9 4 + ) $g
9 + ) 4 ) # $$ J 4 ) # O # [0, 1]8 ! # # , 4 . # $ ! ( 4 O ( # $ g′ 9 + ) 4 ) # $ , + 9 # I # # # $5 #
g(0) = g(1) = 09 + $ 9 ' # 9 ' + ) $ ) # [ + ) 9 4 + )
u ∈ V # # 5 #*
ε
∫ 1
0
u′(x)v′(x)dx +
∫ 1
0
c(x)u′(x)v(x)dx
=
∫ 1
0
f(x)v(x)dx ∀v ∈ V.
0 1 1
+ 4 N
+ 4 ) $x1, . . . , xN
$ 4 ( $ V J 4 ) ( 4 # ! # J 4 ) # O # [0, 1] # $ 5 #
x0 =0 < x1 < x2 < . . . < xN < 1 = xN+1
] + ) $ 4 ! ( + ) $ # $N
[ + ) 9 4 + ) $ϕ1, . . . , ϕN! ( l ) 4 # $ ! # [ + ) $ 4 O ) # *
ϕj(x) =
x− xj−1
xj − xj−1
$ 4xj−1 ≤ x ≤ xj ,
x− xj+1
xj − xj+1
$ 4xj ≤ x ≤ xj+1,
0$ 4x /∈ [xj−1, xj+1]. # $ [ + ) 9 4 + ) $
ϕ1, . . . , ϕN 4 # ) ) # ) V J # $ 9 #
V# $ + ) 4 ) ( 4 # , # ) 4 ) ! ( N # ) ! ) # $ + 4
Vh J # $ 9 # # ) ? # ) ! ( # $ 9 + , = 4 ) 4 $ + ) $ 4 ) ( 4 # $ ! #
ϕ1, . . . , ϕN ) # + I 4 , 4 + ) $ ) ! ! ! # 0 1 1 ( ( , # ) $ l ) 4 $ ! # ! # ? ( 9 + ) $ 4 $ # V9 ' # 9 ' # uh ∈ Vh
# 5 #ε
∫ 1
0
u′h(x)v′h(x)dx +
∫ 1
0
c(x)u′h(x)vh(x)dx
=
∫ 1
0
f(x)vh(x)dx ∀vh ∈ Vh.
0 1
I 4 , + ) $uh
9 + , , # 9 + , = 4 ) 4 $ + ) 4 ) ( 4 # ! #ϕ1, . . . , ϕN
8 9 J # $ N V N ! 4 #uh(x) =
N∑
i=1
uiϕi(x) ∀x ∈ [0, 1], 0 2 1# 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $
vh = ϕj8j = 1, 2, . . . , N
# + = . , # 0 1 # $ ! + ) 9 ( 5 4 O # ) V 9 ' # 9 ' # u1, u2, . . . , uN
# $ 5 #N∑
i=1
ui
∫ 1
0
(
εϕ′i(x)ϕ
′j(x) + c(x)ϕ′
i(x)ϕj (x))
dx
=
∫ 1
0
f(x)ϕj(x)dx, j = 1, . . . , N.
0 5 1
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w 9 4 # ) 9 + # 8 ) + $ + = # ) + ) $ ) $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # ! #N
( 5 4 + ) $ VN
4 ) 9 + ) ) # $u1, . . . , uN
+ 4 A
N ×N
, 4 9 # ! # 9 + # 9 4 # ) $
Aji =
∫ 1
0
(
εϕ′i(x)ϕ
′j (x) + c(x)ϕ′
i(x)ϕj(x))
dx, i, j = 1, . . . , N,
# $ + 4 ~f #N
N O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $
fj =
∫ 1
0
f(x)ϕj(x)dx, j = 1, . . . , N.
) $ #9 $ + 4c(x) = c0 =
9 + ) $ ) # 8f(x) = f0 =
9 + ) $ ) # # + $ 5 # # $ + 4 ) $x1, . . . , xN
$ + ) ) 4 [ + , ( , # ) ( 4 $ 0 h = 1/(N + 1)# xj = jh
8j = 1, . . . , N
1 8 ) + $ O ( 4 l + ) $[ 9 4 # , # ) 5 #A
# $ , 4 9 # 4 ! 4 ? + ) # ! ( l ) 4 #
A =
2ε
h− ε
h+c02
− ε
h− c0
2
− ε
h+c02
− ε
h− c0
2
2ε
h
0 4 1
# fj = f0h
8j = 1, . . . , N
# $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # 0 5 1 9 + ) 9 4 ! #! + ) 9 8 ! ) $ 9 #9 $ 8 O # 9 # $ 9 ' ( , 9 # ) ( 0 1 1 9 + $ O + ) $ O 5 J 4 9 + ) O # ) 4 ! # # , + ! 4 l # 8$ + $ 4ε << c0m + 9 # [ 4 # 8 ) + $ ( 9 4 O + ) $ 0 1 ! # , ) 4 . # $ 4 O ) # *
N∑
k=0
∫ xk+1
xk
(
εu′h(x)v′h(x) + c(x)u′h(x)vh(x))
dx
=
N∑
k=0
∫ xk+1
xk
f(x)vh(x)dx ∀vh ∈ Vh. 0 8 1 9 4 O + ) $ [ + ) 9 4 + )
uh$ + $ [ + , # 0 2 1 # 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ 8 $ 9 ' 5 # 4 ) # O #
]xk , xk+1[8 ! # $ [ + ) 9 4 + ) $ # $ # $ 5 # 9 # # $ 5 #) + $ O + ) $ 9 ' + 4 $ 4 # $ z $ 5 J V ( $ # ) 8 9 J # $ N V N ! 4 # *vh(x) = ϕj(x) + βkc(xk+1/2)ϕ
′j(x) ∀x ∈]xk , xk+1[, 0 6 1
+ 4βk
# $ ) ) + , = # ( # + $ 4 4 [ V ! ( # , 4 ) # # xk+1/2
# $ # + 4 ) , 4 4 # ! #]xk , xk+1[
4 ) + $ + 9 ' + ) $∫ xk+1
xk
c(x)u′h(x)vh(x)dx
c(xk+1/2)
∫ xk+1
xk
u′h(x)vh(x)dx,
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J ( 5 4 + ) 0 8 1 ! # O 4 # ) 8 O # 9 ! # # # $ [ + ) 9 4 + ) $ # $ *N∑
i=1
ui
N∑
k=0
((
ε+ βkc(xk+1/2)2)∫ xk+1
xk
ϕ′i(x)ϕ
′j(x)dx
+ c(xk+1/2)
∫ xk+1
xk
ϕ′i(x)ϕj(x)dx
)
=
N∑
k=0
∫ xk+1
xk
f(x)(
ϕj(x) + βkc(xk+1/2)ϕ′j(x)
)
dx, j = 1, . . . , N. 0 / 1 # , 5 + ) $ 5 # 8 $ 4
βkc(xk+1/2) 6= 08 [ + ) 9 4 + ) # $
vh! ( l ) 4 # 0 6 1 # $ ! 4 $ 9 + ) 4 ) # I + 4 ) $
xk81 ≤ k ≤ N
8 # 9 + ) $ ( 5 # ) vh /∈ Vh
] # # ) ! ) 8) + $ + ) $ O + 4 5 #βk
$ # 9 ' + 4 $ 4 # 4 ! # $ + # V9 # 5 #vh
$ + 4 # $ 5 # ! ) $Vh m + ! ( l ) 4 # $ O # $ βk
8k = 1, . . . , N
8 # O # ) + ) $ 9 $ $ 4 , # + 4c(x) =
c0 =9 + ) $ ) # + $ 4 4 O # 8 f(x) = f0 =
9 + ) $ ) # # xj = jh
8j = 1, . . . , N
8 O # 9h = 1/(N + 1)
) $ 9 # 9 $βk = β
$ 9 ' 5 # 4 ) # O # # N∑
k=0
∫ xk+1
xk
f(x)ϕ′j(x)dx = f0
∫ 1
0
ϕ′j(x)dx
= f0(ϕj(1) − ϕj(0)) = 0.d 4 ) $ 4 0 / 1 $ J ( 9 4 N∑
i=1
(Aji + βc20Bji
)ui = f0h j = 1, . . . , N, 0 / 1
+ 4A
# $ N ×N
, 4 9 # 4 ! 4 ? + ) # ! ( l ) 4 # 0 4 1 # B
# $ N ×N, 4 9 # 4 ! 4 ? + ) # ! ( l ) 4 #
B =1
h
2 −1
−1
−1
−1 2
.
) [ 4 8 # $ 9 ' ( , 0 / 1 # $ ) $ 9 ' ( , ! # ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ ! ( 9 # ) ( # $, 4 4 ( ) [ 9 # h
w 9 + # $ + ) ! V ) $ 9 ' ( , 9 # ) ( ! ) $ # 5 # ) + $ O + ) $ z + ( ) # , #! #! 4 h $ 4 + ) ) , ( 4 5 #βc20B~u
4 # V # , 5 # 8 4 9 + ) O 4 # ) ! # 9 ' + 4 $ 4 β
! # $ + # V 9 # 5 #βc20 =
(
α− 1
2
)
c0h,
+ 4α
# $ ! + ) ) ( 0 6 1 d 4 ) $ 4β =
(1
2coth
γ
2− 1
γ
)h
c00 / / 1
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+ 4γ =
c0εh ) ! ( O # + # , # ) 4 , 4 ( + ! # ( + ) + $ $ $ # 5 #
1
2coth
γ
2− 1
γ=
γ
12+O(γ3).
J # 8 + $ 5 #γ
# ) ! O # $ J 4 ) l ) 4 8 ) + $ O + ) $lim
γ−→∞
(1
2coth
γ
2− 1
γ
)
=1
2.
m 9 + ) $ ( 5 # ) 8 4 # ! J 4 4 $ # [ + , # 0 / / 1 8 ) + $ 4 4 $ # + ) $ ) # [ + , # $ $ 4 , # 8 V $ O + 4 β =
γ
12· hc0
$ 4γ < 6,
β =1
2· hc0
$ 4γ ≥ 6.
] + ) $ 4 ! ( + ) $ V ) + O # # $ 9 $ + 4 # $ [ + ) 9 4 + ) $c
# f
) # $ + ) $ 9 + ) $ ) # $ # # $ + 4 ) $xj
) + ) ) ( 9 # $ $ 4 # , # ) ( 5 4 ! 4 $ 4 = ( $ 9 + $ + $ + ) $γk = |c(xk+1/2)|
hk
ε,
O # 9 hk = xk+1 − xk,
# γk
# $ # ( " " k9 + $ 4 4 $ # + ) $ . ? #$ 4 O ) # + ! ( l ) 4 # $ O # $ βk
4 ) # O # ) ) ! ) $ 0 / 1 *βk =
γk
12· hk
|c(xk+1/2)|$ 4γk < 6,
βk =1
2· hk
|c(xk+1/2)|$ 4γk ≥ 6.
0 / 1 1
# $ 9 ' ( , 0 / 1 O # 9 # $ O # $ ! #βk
! ( l ) 4 # $ 0 / 1 1 # $ # ( ! ) $ 4 ( # " 0 # , 4 ) # - 4 ) ! m # + O N ] # 4 ) 1 ] + ) 4 N # , # ) $ 9 ' ( , 0 5 1 0 5 4 9 + ) 9 4 ! # O # 9 0 / 1 + $ 5 #βk = 0
+ + $ # $k1 8 9 # $ 9 ' ( , + ! 4 ) # $ + 4 + ) ) + ) + $ 9 4 ) # 0 + # $ 5 # 1 + $ 5 # #) + , = # ! # m ( 9 #
γk! # , 4 #
k# $ ? ) ! # $ 8 J + ! # ! # 9 + ) O # ? # ) 9 #! $ 9 ' ( , m ] # $ #, b , # 5 # J + ! #! # 9 + ) O # ? # ) 9 # ! $ 9 ' ( , 0 5 1 8 + $ 5 #
h = max1≤k≤N hk # ) ! O # $ ( +
` , F D _ W : # $ ( ( , # ) $ ? ( + , ( 4 5 # $[xk, xk+1]
( ) l I ( $ ) # [ + 4 $ + + # $ 8 # $ 9 ' ( , m ] 4 ) + ! 4 ) # ! 4 h $ 4 + ) ) , ( 4 5 # ! ( # V9 ' 9 )! J # I* $ J ( ( , # ) [xk , xk+1]
# $ # 4 0 hk # 4 1 8 $ $ + ) ) + , = # ! # m # 9 #
γk# $ # 4 # , + 4 ) $ ) + $ 4 ) + ! 4 $ + ) $ ! # ! 4 h $ 4 + ) ! ) $ 0 / 1 0 βk
# 4 1 & ( * + , . ( , . . *
. . " + 4
Ω ) ! + , 4 ) # + 1 ? + ) ! ) $ # )
Ox1x28 ! # [ + ) 4 . #
∂Ω# $ + 4
Ω = Ω∪∂Ω9 + $ ) + $ ! + ) ) + ) $ ) # [ + ) 9 4 + )
f : (x, t) ∈ Ω×R+ → f(x, t) ∈ R
8
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/ 1 8
) # [ + ) 9 4 + ) O # 9 + 4 # # ~c : (x, t) ∈ Ω × R+ → ~c(x, t) ∈ R
2 8 ) ) + , = # + $ 4 4 [ε# ) # [ + ) 9 4 + )
w : x ∈ Ω → w(x) ∈ R . $ + $ 8 ) + $ + $ + ) $ # + = . , # ! #9 ' # 9 ' # ) # [ + ) 9 4 + )
u : (x, t) ∈ Ω × R+ → u(x, t) ∈ R
# # 5 #∂u
∂t(x, t) − ε∆u(x, t) + ~c(x, t) · −−→? !
u(x, t)
= f(x, t) ∀x ∈ Ω, ∀t > 0,
u(x, t) = 0 ∀x ∈ ∂Ω ∀t > 0, 0 / 1u(x, 0) = w(x) ∀x ∈ Ω,
+ 4∆
# $ J + ( # 9 4 # ) # + = . , # 0 / 1 , + ! ( 4 $ # # I # , # ) + = . , # ! # + ? 4 + ) ! # 9 ' # ! ) $ ) 4 ! # 9 + ) # ) ! ) $ # ! + , 4 ) #Ω
? ) ! # u(x, t)
# ( $ # ) # + $ # , ( # ! 4 ! # + 4 ) x
# V J 4 ) $ ) t8ε
$ 9 + ) ! 9 4 = 4 4 ( ' # , 4 5 # 8~c(x, t)
$ O 4 # $ $ # # f(x, t)
$ + 9 #! # 4 $ $ ) 9 # ) 4 ( ! # $ [ 9 # + 4 ) x
# V J 4 ) $ ) t
! 4 h $ 4 + ) ! # 9 ' # # $ , + ! ( 4 $ ( # # # , # −ε∆u + $ 5 # 9 + ) O # 9 4 + ) J # $ # # , #~c · −−→? !
u ) $ # 9 $ + 4
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i=1
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Ω
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/ 1 6
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i − uni+1
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τ
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τ
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τ
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+(
1 − 2ετ
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-
6
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t3
t4
t5
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0 0 1 1 1 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
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-
6
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t0 = 0
t1 = 1/50
t2 = 2/50
t3
t4
t5
0 1 1 1 1 0
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0 −1 −3 0 2 0
0 3 −2 −8 0 0
0 2 14 −4 −16 0
0 −14 8 44 −8 0
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i
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/ 1
-
6
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t0 = 0
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t2 = 2/50
t3
t4
t5
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0 −3 1 1 0 0
0 13 −15 0 4 0
0 −67 112 −56 −16 0
0 380 −772 656 −160 0
0 −2292 5264 −5872 3264 0
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NN O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $
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h
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2ετ
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