CHAPITRE 3 ANALYSE NUMERIQUE DE L’ENTRETOISEMENT

Chapitre 3

Thèse : l’entretoisement des ponts mixtes multipoutres ferroviaires Yannick SIEFFERT INSA de Lyon 2004

80

CHAPITRE 3

ANALYSE NUMERIQUE DE L’ENTRETOISEMENT INTERMÉDIARE D’UN MULTIPOUTRE MIXTE

FERROVIAIRE

Chapitre 3


81

SOMMAIRE DU CHAPITRE 3

1. INTRODUCTION ........................................................................................................ 83 2. ANALYSE STATIQUE ............................................................................................... 83 2.1. Le poids propre ......................................................................................................... 83 2.2. L’UIC ................................................................................................................... 84 2.2.1. Contraintes dans la dalle................................................................................ 84 2.2.2. Contraintes dans les poutres .......................................................................... 86 2.2.3. Flèche verticale.............................................................................................. 87 2.2.4. Réactions d’appui .......................................................................................... 89 2.2.5. Orthogonalité des sections............................................................................. 90 2.2.6. Conclusions partielles.................................................................................... 90 2.3. Le TGV ................................................................................................................... 90 2.3.1. Contraintes dans la dalle................................................................................ 90 2.3.2. Flèche verticale.............................................................................................. 91 2.4. Analyse statique à la rupture..................................................................................... 92 2.5. Conclusions de l’analyse statique ............................................................................. 95 3. ANALYSE MODALE.................................................................................................. 95 3.1. introduction ............................................................................................................... 95 3.2. Aspect théorique ....................................................................................................... 96 3.2.1. Définition du problème aux valeurs propres généralisés .............................. 96 3.2.2. Résolution du problème aux valeurs propres ................................................ 96 3.2.3. Méthode de Lanczos...................................................................................... 97 3.3. Résultats numériques ................................................................................................ 97 3.3.1. Vitesses critiques ........................................................................................... 97 3.3.2. Fréquences propres ........................................................................................ 98 3.3.3. Modes propres ............................................................................................... 98 3.3.4. Facteurs d’amplification massique ................................................................ 101 3.3.5. Impact des raidisseurs verticaux seuls........................................................... 102 3.4. Conclusions de l’analyse modale.............................................................................. 105

Chapitre 3


82

4. DÉFINITION DE CHARGES ROULANTES EN QUASI-STATIQUE..................... 105 4.1. introduction bibliographique..................................................................................... 105 4.1.1. Modélisation par des charges mouvantes. ..................................................... 106 4.1.2. Modélisation par des masses mouvantes. ...................................................... 106 4.1.3. Modélisation des véhicules par des masses, des ressorts et des amortisseurs106 4.2. Programmation des charges roulantes ...................................................................... 107 4.3. Validation par un calcul quasi-statique..................................................................... 107 5. ANALYSE DYNAMIQUE .......................................................................................... 108 5.1. Cadre théorique......................................................................................................... 108 5.1.1. Equation d’équilibre dynamique ................................................................... 108 5.1.2. Réponse transitoire par intégration directe………........................................ 109 5.1.2.1. Schéma de Newmark ................................................................................ 109 5.1.2.2. Méthode de Hilber-Hughes-Taylor........................................................... 109 5.2. Couplage entre position des charges et iteration de résolution des equations dynamiques ................................................................................................................... 110 5.3. Résultats numériques ................................................................................................ 110 5.3.1. Vitesse du TGV à 209 km/h (excitation du 1er mode)................................... 110 5.3.2. Vitesse du TGV à 291 et 297 km/h (excitation du 2ème mode)...................... 112 5.3.2.1. Réponse de la dalle ................................................................................... 113 5.3.2.2. Réponse des poutres principales ............................................................... 116 5.3.3. Vitesse du TGV à 404 km/h .......................................................................... 126 5.3.4. Conclusions de l’analyse dynamique ............................................................ 127 6. INFLUENCE DU DIAPHRAGME POUR UNE CHARGE LATÉRALE.................. 127 6.1. Introduction............................................................................................................... 127 6.2. Analyse numérique ................................................................................................... 128 6.3. Remarque .................................................................................................................. 130 7. CONCLUSIONS DE LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE – ASPECT CRITIQUE DES RESULTATS................................................................................................................ 131

Chapitre 3


83

1. INTRODUCTION Dans un premier temps, nous investiguerons l’impact de l’entretoisement intermédiaire grâce au modèle numérique décrit dans le chapitre 2 pour des chargements considérés comme statiques. L’effet de la vitesse est donc négligé. La charge la plus importante d’un ouvrage ferroviaire est son poids propre. Sur le pont de Bonpas cette charge est de 9 600 kN. Ce poids propre étant uniformément réparti sur la totalité de la structure, il n’aura que peu d’influence sur le comportement transversal de l’ouvrage. Puis nous utiliserons le schéma de charge de l’UIC qui correspond à une charge de 2 888 kN. Le comportement transversal de l’ouvrage sera alors significatif car le schéma de charge est appliqué sur l’une des voies de circulation, donc de façon désaxée par rapport au centre du pont. Ce schéma de charge est très agressif puisqu’il correspond à 30 % du poids propre de l’ouvrage. Enfin nous analyserons le comportement transversal du pont sous le chargement réel du TGV. Ce dernier est 8,5 fois plus faible que celui de l’UIC. Il sollicitera moins le comportement transversal de l’ouvrage. 2. ANALYSE STATIQUE

2.1. LE POIDS PROPRE

Sous le seul poids propre de notre ouvrage, aucune fissure ne se développe dans la dalle du pont et cela avec ou sans l’entretoisement intermédiaire. Le poids propre est une sollicitation uniformément répartie. Cette sollicitation permet d’utiliser la complémentarité de l’association acier béton de manière traditionnelle. Le béton est alors complètement comprimé dans la direction longitudinale car l’axe neutre de la poutre mixte se situe dans l’âme. Les semelles inférieures des poutres travaillent en traction et la dalle de béton en compression. La variation des contraintes longitudinales de la dalle (fig. 3.1) est située entre - 6 MPa (en fibre supérieure) et - 0,5 MPa (en fibre inférieure). Le diaphragme rigidifie la dalle dans la direction transversale. Son influence est donc faible pour les contraintes longitudinales. Dans la direction transversale les contraintes sont dix fois plus faibles (fig. 3.2). Elles sont inférieures à 1 MPa en compression comme en traction. Cependant, bien qu’elles soient faibles, l’existence de contrainte de traction proche de 1 MPa sous le seul poids propre de la structure ne peut être négligée. Le diaphragme n’a pas de réel influence sur les contraintes transversales du béton sous le seul poids propre. Il maintient la dalle de béton dans sa direction transversale et ainsi les contraintes dans la largeur sont uniformes : la fibre supérieure est tendue et la fibre inférieure est comprimée. Cette répartition des contraintes est due à la flexion transversale de la dalle. Sans diaphragme, les moments de flexion changent de sens entre les sections de béton maintenues par les poutres principales et celles entre deux poutres constitutives. Sous le seul poids propre de la structure, le diaphragme n’a pas un rôle significatif en ce qui concerne la distribution des contraintes dans le béton.

Chapitre 3


84

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,000 3,2 6,4 9,6 12,8

largeur de la dalle (m)co

ntra

inte

s (M

Pa)

sans diaphragme - fibre inf.sans diaphragme - fibre sup.avec diaphragme - fibre inf.avec diaphragme - fibre sup. -5,00

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,000 3,2 6,4 9,6 12,8

largeur de la dalle (m)

cont

rain

tes (

MPa

)

sans diaphragme - fibre inf.sans diaphragme - fibre sup.avec diaphragme - fibre inf. avec diaphragme - fibre sup.

Figure 3.1 : Contraintes longitudinales dans la dalle à mi-portée

Figure 3.2 : Contraintes transversales dans la dalle à mi-portée

Sous son poids propre, l’ouvrage est en flexion pure. Cette flexion est composée d’une flexion longitudinale du tablier et d’une flexion transversale, conduisant à une déformation de type « selle » d’équitation. Les flèches sont légèrement supérieures aux extrémités du tablier en console. Le diaphragme ne modifie que très faiblement la flexion du tablier qui reste bombé vers le haut dans sa direction transversale. La flèche due au poids propre de la structure est de l’ordre de 3 cm (fig. 3.3).

-33,2

-33,0

-32,8

-32,6

-32,4

-32,2

-32,0

-31,8

-31,6

-31,40 3,2 6,4 9,6 12,8


flèch

e ve

rtic

ale

(mm

)

sans diaphragmeavec diaphragme

Figure 3.3 : Flèche verticale à mi-travée

2.2. L’UIC

Nous ajoutons maintenant au poids propre de la structure, la sollicitation statique du schéma UIC telle que nous l’avons décrite précédemment dans le chapitre 2. Le chargement de l’UIC correspond au véhicule apportant le plus d’informations dans une analyse statique car il est 8.5 fois plus lourd que le TGV. Nous allons donc présenter plus en détail le comportement de l’ouvrage sous ce chargement. 2.2.1 Contraintes dans la dalle L’apport de l’entretoisement sur la fissuration apparaît plus clairement. En effet, nous avons alors un développement de fissures dans notre structure puisque des déformations plastiques apparaissent. Elles sont dues à l’intensité du chargement du schéma UIC qui est très pénalisant et à la position du chargement désaxé qui conduit à une flexion transversale du tablier. Sous le chargement de l’UIC, les contraintes longitudinales ont augmenté passant de - 6 MPa sous le poids propre seul a - 10 MPa sous le poids propre et l’UIC. Des contraintes de traction apparaissent longitudinalement sans le diaphragme mais elles sont très faibles, de l’ordre de 0,5 MPa (fig. 3.4).

Chapitre 3


85

Le critère de plasticité en traction du béton est atteint, dans la direction transversale, en l’absence du diaphragme. Les contraintes du béton dépassent alors les 2 MPa en fibre inférieure entre les deux poutres principales situées sous le chargement. Le comportement du béton est alors fortement non linéaire. Lorsque l’ouvrage est muni de son diaphragme, le béton reste dans son domaine élastique. L’axe neutre est dans le béton mais l’apport de l’inertie du diaphragme dans l’inertie mixte de cette section transversale, permet de diminuer les contraintes dans le béton. L’apport de l’entretoisement est alors clairement identifié. Il permet de diminuer le développement de fissures dues aux contraintes transversales.

Cependant, la fissuration du béton dans le cas sans diaphragme n’est pas obligatoirement préjudiciable. Il nous importe de connaître la diffusion des déformations plastiques dans l’épaisseur de la dalle et les contraintes dans les armatures en fibre inférieure. Les isovaleurs des déformations plastiques maximales montrent les zones où le critère de plasticité est atteint. La fissuration se propage dans l’épaisseur de deux éléments (fig. 3.6). La fissuration n’est donc pas traversante mais elle se développe dans la moitié de l’épaisseur. Cependant les déformations plastique sont très faibles, ce qui correspond bien à des microfissures et non à des macrofissures. Nous pouvons donc négliger ces déformations plastiques qui ne mettent pas la pérennité de l’ouvrage en péril. De plus, les contraintes dans les armatures inférieures de la dalle sont vraiment très faibles (fig. 3.7) ; en présence du diaphragme, les contraintes maximales sont de 8 MPa et en son absence elles sont de 16 MPa. L’intensité des contraintes dans les armatures double en l’absence du diaphragme : ceci est dû à l’absence du diaphragme et à la perte de raideur de la dalle qui est plastifiée en traction. La redistribution des contraintes de traction dans les armatures inférieures de la dalle (tension-stiffening) est obtenue pour une charge équivalente à 70% de l’UIC (fig. 3.8). L’absence du diaphragme augmente les contraintes dans les armatures de 160% et la plastification du béton de 40 %. La diminution de raideur est donc principalement due à l’absence même du diaphragme. Du point de vue structurel, les contraintes dans les armatures et les déformations plastiques du béton ne sont pas suffisamment élevées pour nécessiter absolument la mise en place d’un diaphragme sous le chargement statique de l’UIC.

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,000 3,2 6,4 9,6 12,8


cont

rain

tes (

MPa

)

sans diaphragme - fibre inf.sans diaphragme - fibre sup.avec diaphragme - fibre inf.avec diaphragme - fibre sup.

-5,00

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,000 3,2 6,4 9,6 12,8


cont

rain

tes (

MPa

)sans diaphragme - fibre inf. sans diaphragme - fibre sup.avec diaphragme - fibre inf.avec diaphragme - fibre sup.

Figure 3.4 : Contraintes longitudinales dans la dalle à mi-travée

Figure 3.5 : Contraintes transversales dans la dalle à mi-travée

Chapitre 3


86

Figure 3.6 : Fissuration de la dalle (a) vue globale du dessous, (b) détail à mi-travée

Figure 3.7 : Contraintes axiales dans les armatures inférieures de la dalle (a) avec diaphragme, (b) sans diaphragme

0,00

4,00

8,00

12,00

16,00

20,00

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000charge (kN)

cont

rain

tes a

xial

es (M

Pa)

Figure 3.8 : Redistribution des efforts dans l’armature la plus sollicitée dans le cas sans diaphragme

2.2.2 Contraintes dans les poutres Les figures 3.9 à 3.12 représentent les contraintes longitudinales de chaque poutre mixte. Les poutres sont numérotées dans l’ordre croissant de leur coordonnée suivant l’axe des x. La poutre 1 est donc la poutre d’extrémité la plus proche du chargement. Les contraintes dans les semelles inférieures des poutres se situent entre 125 et 150 MPa. Pour toutes les poutres mixtes, l’axe neutre est toujours dans l’âme à la distance de 1,6 m des semelles inférieures. Le

(a) (b)

Poids propre UIC

Redistribution des efforts

Chapitre 3


87

diaphragme conduit à une diminution de 17 % des contraintes dans la poutre 2 et de 5 % dans la poutre 3. La présence du diaphragme permet de décharger les poutres centrales. Les semelles inférieures des diaphragmes ajoutent de la largeur aux semelles des poutres principales et contribuent ainsi à augmenter l’inertie de leurs membrures.

0,0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

-25 0 25 50 75 100 125 150contraintes longitudinales (MPa)

haut

eur

dans

la se

ctio

n (m

)


0,0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1


haut

eur

dans

la se

ctio

n (m

)


Figure 3.9 : Répartition des contraintes longitudinales dans la section de la poutre mixte 1


0,0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1


haut

eur

dans

la se

ctio

n (m

)


0,0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1


haut

eur

dans

la se

ctio

n (m

)




Sans diaphragme, les poutres fléchissent légèrement dans la direction transversale du pont. L’allure de cette flexion est visible sur la figure 3.17. Cette flexion des poutres conduit à des contraintes normales dans la direction perpendiculaire à l’axe longitudinal des poutres. Ces contraintes sont maximales à la jonction de l’âme et des semelles supérieures car ces dernières sont connectées de façon rigide dans la dalle, créant un moment d’encastrement dans l’extrémité supérieure de l’âme. La valeur maximale de ces contraintes dues à la flexion transversale des poutres est de 10 MPa sur les fibres externes de l’âme. Ces contraintes sont donc très faibles car la flexion des poutres l’est aussi. Ainsi, la non conservation de l’orthogonalité des sections n’est pas préjudiciable au service normal du pont. 2.2.3 Flèche verticale Le critère fondamental de la SNCF concernant le dimensionnement des ponts est celui de la flèche verticale du tablier. Plus particulièrement, c’est la flèche sous la voie qui est dimensionnante car elle donne une indication sur le respect du contact roue-rail du train sur l’ouvrage et assure le confort du voyageur dans la caisse. Une flèche trop importante peut être la source d’un sentiment de malaise du passager dans le train car elle peut s’associer à une

Chapitre 3


88

accélération verticale importante dans la voiture. Pour étudier la flèche de l’ouvrage, seule la charge des véhicules est considérée car la flèche due au poids propre est habituellement compensée par la mise en place d’une contre flèche sur les poutres principales avant le coulage de la dalle. Nous avons donc réalisé une étude paramétrique sur la flèche de l’ouvrage soumis au schéma de charge de l’UIC suivant la présence ou non du diaphragme intermédiaire (fig. 3.13). La flèche transversale du tablier est linéaire avec le diaphragme. Sans le diaphragme une légère courbure apparaît entre les poutres situées sous le chargement. Mais cette courbure n’est pas réellement significative. Le diaphragme apporte de la raideur à la dalle mais cette raideur n’est pas nécessaire pour le fonctionnement normal sous le chargement de l’UIC. La figure 3.13 compare les résultats numériques avec les deux méthodes d’ingénieurs que nous avons présenté dans le chapitre 1. La théorie de Courbon comme la méthode de Massonnet permettent d’obtenir une bonne prédiction des flèches de l’ouvrage, elles surestiment les flèches maximales ce qui permet de se placer en sécurité. La méthode de Massonnet est basée sur les théories de la plaque orthotrope. Elle permet d’étudier la présence ou non du diaphragme. Cependant, elle aboutie à la même flèche car la raideur de la dalle est prédominante dans la rigidité transversale du pont par rapport à la présence d’un seul diaphragme dont la raideur est « tartinée » dans la largeur de l’ouvrage. Nous remarquons que la théorie de Courbon est plus proche de la simulation numérique. Elle est, de plus, beaucoup plus facile à utiliser. Nous considérons qu’elle est particulièrement bien adaptée dans le cas d’un prédimensionnement.

-30,00

-25,00

-20,00

-15,00

-10,00

-5,00

0,00

5,000 3,2 6,4 9,6 12,8


flèch

e ve

rtic

ale

(mm

)

sans diaphragmeavec diaphragmeMassonnet - avecMassonnet - sansCourbon

Figure 3.13 : Comparaison avec les méthodes ingénieurs

Chapitre 3


89

Figure 3.14 : Isovaleurs des déplacements verticaux sans diaphragme (a) vue de face, (b) vue de dessus

Figure 3.15 Isovaleurs des déplacements verticaux avec diaphragme (a) vue de face, (b) vue de dessus

2.2.4 Réactions d’appui L’un des intérêts fondamentaux de l’entretoisement intermédiaire est d’associer l’ensemble des poutres dans la reprise des efforts. La figure 3.16 compare les réactions d’appuis des quatre poutres sous la seule charge de l’UIC. Nous remarquons que l’influence du diaphragme dans la répartition des efforts dans les différentes poutres est très faible. Sans ou avec le diaphragme, la poutre 1 et la poutre 2 reprennent plus de 80% des charges. La poutre d’extrémité la plus éloignée de la charge a des réactions d’appuis négatives, ce qui signifie que la poutre se lève légèrement de ses appuis. Heureusement, le poids propre de la structure (non pris en compte ici) empêche ce soulèvement.

-505

1015202530354045

1 2 3 4

poutre

% d

es r

éact

ions

d'a

ppui

sans diaphragme

avec diaphragme

Figure : 3.16 : Répartition en pourcentage des efforts dans les appuis des poutres

x 150 x 150 (a) (a)

(b) (b)

Chapitre 3


90

2.2.5 Orthogonalité des sections Le diaphragme assure la conservation des sections. Les rotations dans les poutres sont homogènes (fig. 3.18) dans toute la hauteur ce qui signifie que toute la section d’une même poutre tourne ensemble et que les sections restent bien orthogonales. Sans diaphragme (fig. 3.17) les rotations entre les semelles supérieures et inférieures sont de signes opposés. Les angles droits sont alors perdus. Ces rotations sollicitent particulièrement les soudures entre l’âme et sa membrure supérieure.

Figure 3.17 : Rotation autour de l’axe longitudinal de l’ouvrage sans diaphragme

Figure 3.18 : Rotation autour de l’axe longitudinal de l’ouvrage avec diaphragme

2.2.6 Conclusions partielles Le rôle du diaphragme n’est pas prépondérant sous le chargement statique d’un pont multipoutre mixte de moyenne portée. Néanmoins, il contribue à donner de la raideur transversale à l’ouvrage et il diminue les contraintes dans la dalle et maintient l’orthogonalité des sections. Cependant l’ouvrage non pourvu de diaphragme à un comportement satisfaisant. Il est bien évident que l’étude statique sous le chargement du TGV ne pourra que reprendre ces conclusions puisque ce chargement est beaucoup plus faible. Cependant il est pertinent de connaître le comportement du pont sous la charge circulant réellement sur le pont. L’analyse statique nous donnera, de plus, une référence lors des modélisations à la rupture et dynamique.

2.3. LE TGV Dans cette partie, nous étudions le chargement du poids propre et du TGV. Comme la charge du TGV est 8,5 fois plus faible que celle de l’UIC, les contraintes et les flèches seront aussi moins significatives. 2.3.1 Contraintes dans la dalle Les contraintes longitudinales dans la dalle (fig. 3.19) sont identiques à celles obtenues sous le poids propre seul de la structure. La charge du TGV est de 340 kN par bogie, ce qui représente 3,5 % du poids propre du pont. Mais contrairement au poids propre la charge du TGV est désaxée par rapport au centre du pont, ce qui entraîne une légère augmentation de contraintes transversales (fig. 3.20). Nous obtenons alors une répartition des contraintes avec ou sans le diaphragme similaire à celle obtenue sous le schéma de la charge de l’UIC.

x 500 x 500

Chapitre 3


91

Cependant les contraintes de traction dans la dalle sans diaphragme restent élastiques, aucune microfissure ne se développe sous le chargement du TGV.

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,000 3,2 6,4 9,6 12,8


cont

rain

tes (

MPa

)

sans diaphragme - fibre inf.sans diaphragme - fibre sup.avec diaphragme - fibre inf.avec diaphragme - fibre sup. -5,00

-4,00-3,00-2,00-1,000,001,002,003,00

0 3,2 6,4 9,6 12,8largeur de la dalle (m)

cont

rain

tes (

MPa

)

sans diaphragme - fibre inf.sans diaphragme - fibre sup.avec diaphragme - fibre inf.avec diaphragme - fibre sup.

Figure 3.19 : Contraintes longitudinales dans la dalle à mi-travée

Figure 3.20 : Contraintes transversales dans la dalle à mi-travée

2.3.2 Flèche verticale La flèche verticale maximale de l’ouvrage sous la seule charge du TGV est de 3 mm, soit 10 fois plus faible que celle obtenue sous le poids propre et 7 fois plus faible que celle de l’UIC. La dalle conserve l’intégralité de sa raideur sous le chargement du TGV puisqu’elle reste dans le domaine élastique, cependant, une légère courbure apparaît sous la charge dans le cas sans diaphragme (fig. 3.21).

-3,50

-3,00

-2,50

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,000 3,2 6,4 9,6 12,8


flèch

e ve

rtic

ale

(mm

)

sans diaphragme

avec diaphragme

Figure 3.21 : Flèche verticale à mi-portée

Chapitre 3


92

Figure 3.22 : Isovaleurs des déplacements verticaux sans diaphragme (a) vue de devant, (b) vue de dessus

Figure 3.23 : Isovaleurs des déplacements verticaux avec diaphragme (a) vue de devant, (b) vue de dessus

2.4. ANALYSE STATIQUE À LA RUPTURE Le chargement du TGV est beaucoup trop faible pour mettre en lumière le rôle du diaphragme intermédiaire dans un pont mixte quadripoutre de type SNCF. Afin de solliciter davantage l’ouvrage en flexion transversale, nous avons augmenté la charge du TGV en superposant plusieurs TGV les uns sur les autres. Ainsi, nous avons pu obtenir la charge de ruine de l’ouvrage avec ou sans diaphragme intermédiaire (fig. 3.24). La présence ou non du diaphragme n’a pas d’influence sur le pont pour des charges inférieures à 3 TGV. A partir de ce niveau de chargement, la dalle de béton commence à atteindre le critère de plastification dans le cas sans diaphragme. Grâce au diaphragme, la plastification du béton ne s’initie qu’à la charge de 6 TGV. Ces microfissures ne peuvent pas se développer au droit du diaphragme, car ce dernier limite sa traction. Cependant, les microfissures se développent juste à côté du diaphragme (fig. 3.27). La réponse du pont sans diaphragme devient non linéaire pour une charge équivalente à 10 TGV. C’est véritablement à ce niveau de charge que le diaphragme devient indispensable. Puis pour la charge de 19 TGV, les armatures de la dalle atteignent leur limite d’élasticité fixé à 500 MPa et la rupture de l’ouvrage est alors considérée comme atteinte. A ce niveau de charge, les contraintes longitudinales dans les poutres dues à la flexion du pont sont alors de 300 MPa (fig. 3.26). Dans le cas de l’ouvrage avec un diaphragme, les armatures de la dalle restent dans le domaine élastique même pour des charges plus importantes. Ce sont les semelles inférieures des poutres principales qui quittent

x 1000 x 1000(a) (a)

(b) (b)

Chapitre 3


93

en premier leur domaine élastique fixé à 355 MPa (fig. 3.25). La rupture de l’ouvrage est alors considérée atteinte pour une charge équivalente à 21 TGV.

La charge normale d’exploitation sollicite le pont à 5 % de sa résistance ultime. A ce niveau de charge, l’entretoisement intermédiaire n’a pas d’influence. D’un point de vue structurel et sous sollicitation statique, le diaphragme ne paraît pas indispensable.

0

50

100

150

200

250

300

350

0 3,2 6,4 9,6

Position des poutres (m)

Con

trai

ntes

long

itudi

nale

s (M

Pa) 1 TGV

10 TGV21 TGV

0

50

100

150

200

250

300

350

0 3,2 6,4 9,6

Position des poutres (m)

Con

trai

ntes

long

itudi

nale

s (M

Pa) 1 TGV

10 TGV19 TGV

Figure 3.25 : Contraintes longitudinales dans les membrures inférieures des poutres avec diaphragme

Figure 3.26 : Contraintes longitudinales dans les membrues inférieures des poutres sans diaphragme

-120,00

-100,00

-80,00

-60,00

-40,00

-20,00

0,000 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Nombre de charge équivalente de TGV

flèch

e ve

rtic

ale

(mm

)


1 TGV

première réduction de raideur de la dalle sans

diaphragme

rupturedes armatures de

la dalle

1 UIC

initiation des microfissures de traction dans la dalle sans

diaphragme

début de plastification des semelles inférieure des poutres princiales

Figure 3.24 : Flèche verticale sous la voie en fonction du nombre de charge équivalente de TGV

Chapitre 3


94

(a) Charge équivalente à 3 TGV (e)

(b) Charge équivalente à 6 TGV (f)

(c) Charge équivalente à 10 TGV (g)

(d) Charge de rupture 21 TGV avec diaphragme, 19 TGV sans diaphragme

(h)

Figure 3.27 : Plan de fissuration sous la surface du pont

(a-d) avec diaphragme, (e-h) sans diaphragme

Chapitre 3


95

2.5. CONCLUSIONS DE L’ANALYSE STATIQUE L’analyse statique nous permet de conclure que :

- Le diaphragme apporte de la raideur transversale à l’ouvrage mais n’a pas d’influence sur le comportement longitudinal du pont.

- Les contraintes sous le schéma de charge de l’UIC ou sous le convoi du TGV sont très faibles. Des microfissures apparaissent sans le diaphragme intermédiaire sous le chargement de l’UIC mais ces dernières n’ont pas de répercutions sur la pérennité de l’ouvrage.

- Le chargement réel de l’ouvrage utilise la résistance du pont à seulement 5% de sa capacité ultime. A ce niveau de charge, l’apport de l’entretoisement intermédiaire est négligeable.

- Sous chargement statique, le diaphragme intermédiaire n’est pas nécessaire.

Cependant l’analyse statique ne nous permet pas de juger l’ensemble des phénomènes mis en jeu et en particulier elle néglige l’impact de la vitesse. La vitesse d’un TGV est très importante et cette dernière peut entraîner des excitations importantes sur l’ouvrage, en particulier si la vitesse du TGV conduit à une sollicitation fréquentielle proche des fréquences propres de l’ouvrage. Le diaphragme peut sans doute modifier ces vibrations dans la direction transversale de l’ouvrage. L’impact du diaphragme intermédiaire d’un pont mixte quadripoutre ferroviaire sur une voie à grande vitesse nécessite l’analyse dynamique de l’ouvrage. Dans un premier temps, nous allons étudier son influence sur les modes propres de l’ouvrage. 3. ANALYSE MODALE

3.1. INTRODUCTION

« L’étude du comportement dynamique des ponts a toujours intéressé les ingénieurs ferroviaires, les problèmes dynamiques s’étant posés dès la construction des premiers réseaux ferrés » [EUR.99]. L’analyse modale permet d’améliorer la connaissance physique et le comportement d’une structure en service. En particulier, elle permet d’appréhender les problèmes d’amplification dynamique de la réponse d’une structure sous une excitation forcée qui est dans notre étude le passage d’un TGV. Ces amplifications dynamiques peuvent être synonymes d’inconfort ou la source de détérioration de l’ouvrage. Leur connaissance peut permettre de modifier la conception du pont afin de les limiter ou de définir une structure qui n’ait pas de mode propre dans une bande de fréquence donnée. La détermination des modes propres permet de connaître précisément la fréquence naturelle de l’ouvrage. A chaque fréquence naturelle correspond un champ de contraintes dynamiques dans la structure. Cependant le calcul des modes propres ne permet pas de déterminer précisément les amplitudes de ces modes. Ces derniers sont extraits à un coefficient multiplicateur près et sont donc indéterminés. La seule manière de connaître précisément la réponse d’une structure lors d’une excitation temporelle à la fréquence naturelle de l’ouvrage est d’effectuer un calcul dynamique complet. Cet aspect sera traité dans la quatrième partie de ce chapitre. Dans un premier temps, nous reviendrons sur les concepts théoriques des calculs de mode propre et en particulier sur les algorithmes numériques de résolution. Puis nous utiliserons la

Chapitre 3


96

méthode de Lanczos pour déterminer les modes propres de notre structure comportant ou ne comportant pas de diaphragme intermédiaire.

3.2. ASPECT THÉORIQUE 3.2.1 Définition du problème aux valeurs propres généralisés Les systèmes mécaniques sont toujours dissipatifs : les modes propres de vibration sont des vecteurs complexes au sens algébrique et les fréquences propres associées sont des nombres complexes. Cependant les amortissements d’un système sont généralement mal connus et sont souvent très faibles (de l’ordre de 1 % de l’amortissement critique pour les ponts). Ces systèmes sont faiblement dissipatifs et leurs modes propres réels sont peu différents des modes propres physiques. C’est pour cette raison que les logiciels de calcul d’analyse modale négligent l’amortissement du système, ce qui permet de simplifier la manipulation des vecteurs propres et d’obtenir des fréquences associées réelles. L’équation des vibrations libres des structures non dissipatives, sous une forme discrétisée est : 0=+ KqqM && dans laquelle, selon les conventions adoptées, M et K désignent les matrices globales symétriques (n x n) de masse et de raideur, q représente le vecteur des n déplacement nodaux généralisés, dépendant du temps t. Le vecteur des déplacements q est une fonction du temps et de l’espace. On cherche une solution de la forme : )(tφxq = où x est un vecteur de constantes donnant la forme propre du mode et )(tφ une fonction décrivant l’évolution temporelle de l’amplitude du mode. En séparant les fonctions x et )(tφ , on montre que la partie temporelle vérifie l’équation différentielle 0)()( 2 =+ twt φφ&& . La partie spatiale vérifie l’équation : 0)( 2 =− xMK w

w est la pulsation propre (rad/s) et π2wf = est la fréquence propre (Hertz).

3.2.2 Résolution du problème aux valeurs propres Les pulsations propres d’une structure non dissipative sont les solutions de l’équation aux valeurs propres 0)( 2 =− xMK w Ce qui revient à trouver les valeurs de λ telles que le déterminant de la matrice 0)( =− MK λ . Cette matrice a la même dimension que le nombre de degrés de liberté indépendants du modèle. C’est pourquoi les techniques mathématiques classiques de calcul d’un déterminant ou de calcul des zéros du polynôme caractéristique ne sont pas applicables car ils nécessitent un nombre d’opérations et des ressources informatiques rédhibitoires. Un certain nombre de méthodes numériques ont été mises au point, permettant la résolution de problèmes aux valeurs propres de grande taille. Certaines méthodes utilisent la totalité des degrés de liberté du système, d’autres supposent la réduction préalable de la taille du système, l’opération de condensation devant altérer le moins possible les fréquences cherchées.

Chapitre 3


97

Les différentes méthodes généralement utilisées dans les programmes d’analyse modale sont :

- développement de l’équation caractéristique, - calcul du déterminant, - diagonalisation par transformations successives (Jacobi), - tri-diagonalisation par transformations successives (Lanczos) - itération sur les valeurs propres, - itération sur les vecteurs propres (Puissance, Multi-itération).

3.2.3 Méthode de Lanczos C’est la méthode la plus performante pour extraire un nombre donné de valeurs propres en un nombre minimum d’itérations. Elle présente l’avantage de travailler avec la totalité des degrés de liberté du système et ne nécessite donc pas de condensation, toujours délicate car cela perturbe les fréquences cherchées. Le principe de la méthode de Lanczos consiste à générer un sous-espace contenant les solutions propres fondamentales du système par itération inverse sur un seul vecteur de départ noté 0z . On construit à partir de celui-ci la séquence de Krylov :

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−− ....,,,,

3200

100

10

10 zMzKzMzKMzKz dont on rend les termes orthogonaux entre eux

par un processus de construction de directions conjuguées. Cette méthode peut être considérée comme l’algorithme le plus performant pour extraire la première partie du spectre d’un problème aux valeurs propres de très grande dimension. Elle est de ce fait maintenant disponible dans la plupart des grands logiciels de calcul des structures par éléments finis. Elle est implémentée dans le logiciel Abaqus et nous l’utilisons pour rechercher les fréquences propres de notre pont. L’algorithme est expliqué dans un grand nombre d’ouvrages, citons pour exemple celui de Géradin et Rixen [GER.96].

3.3. RÉSULTATS NUMÉRIQUES 3.3.1 Vitesses critiques L’algorithme de Lanczos détermine les solutions des modes propres fondamentaux de notre modélisation du pont de Bonpas. Les paramètres nécessaires à cet algorithme sont les masses volumiques des matériaux. Nous prenons en compte dans cette analyse la masse volumique des éléments porteurs (dalle, poutres principales et entretoisement) ainsi que celle du ballast. Nous pouvons déterminer autant de modes propres que le nombre de degrés de liberté de notre structure. Cependant, seuls les premiers modes propres nous intéressent car ils correspondent à des fréquences pouvant être mises en résonance par le passage d’un TGV. En effet, le passage d’un TGV à une vitesse donnée conduit à une fréquence d’excitation particulière. Cette fréquence d’excitation est due à la répétition des passages des bogies à une vitesse constante et à l’espacement lui aussi constant des bogies (voir chapitre 2) de 18,7 m. Ainsi, nous pouvons facilement déterminer la fréquence d’excitation induite par le passage d’un TGV à une vitesse constante grâce à la formule suivante :

6,37,18 ××= fV dans laquelle V est la vitesse du TGV, 18,7 est la distance entre deux bogies, f est la fréquence d’excitation induite par la passage des bogies et 3,6 est la paramètre de conversion en km/h.

Chapitre 3


98

Nous pouvons à l’aide de cette formule déterminer la vitesse du TGV qui induirait une fréquence d’excitation du pont équivalente à la fréquence propre de l’ouvrage. Cette vitesse est alors celle qui mettrait l’ouvrage en résonance, elle est naturellement nommée : vitesse critique du TGV. 3.3.2 Fréquences propres Le tableau 3.1 récapitule les 10 premières fréquences propres du pont avec et sans diaphragme intermédiaire. Sans diaphragme Avec diaphragme

Mode Fréquence(Hz)

Vitesse critique (Km/h)

Fréquence(Hz)


1 3,10 209 3,10 209 2 4,32 291 4,41 297 3 4,42 297 10,20 687 4 4,46 300 11,43 769 5 4,51 304 12,45 838 6 4,59 309 12,50 841 7 8,92 600 12,69 854 8 10,22 688 12,92 870 9 10,33 695 13,59 915

10 10,48 705 15,25 1027 Tableau 3.1 : les 10 premières fréquences propres La vitesse commerciale du TGV est de 300 km/h. Cependant, le 18 Mai 1990, la rame TGV Atlantique n° 325 a battu le record du monde de vitesse sur rails en roulant à la vitesse de 515,3 km/h. Ce record est toujours inégalé aujourd’hui. Ainsi nous considérerons uniquement les fréquences propres de l’ouvrage équivalentes à une vitesse critique du TGV en dessous de ce record. Sans diaphragme, 6 fréquences propres correspondent à des vitesses critiques plausibles du TGV contre seulement 2 fréquences propres avec le diaphragme. Le nombre de fréquences propres de l’ouvrage pouvant conduire l’ouvrage en résonance avec le passage d’un TGV est trois fois plus important en l’absence d’entretoisement intermédiaire. Nous allons analyser dans le paragraphe suivant la forme de ces modes propres. Cependant nous tenons à souligner que certains de ces modes n’avaient jamais pu être capturés avant la réalisation de la modélisation présentée dans cette thèse. Ce sont des modes propres qui correspondent à la respiration des poutres. Seule une modélisation tridimensionnelle permet de les mettre à jour. Une modélisation plus simple, de type grillage de poutres, les oublie systématiquement. 3.3.3 Modes propres Le premier mode propre, nommé mode fondamental, est identique pour l’ouvrage muni d’un diaphragme ou non. Cette fréquence est de 3,1 Hz et la déformée de ce mode est celle d’une flexion longitudinale symétrique (fig. 3. 28). L’ensemble de la structure, dalle et poutres principales, a une déformation de flexion. Ce mode est particulièrement important car la sollicitation du passage du TGV conduit à une déformation de flexion longitudinale. La forme

Chapitre 3


99

du mode propre est donc très proche de la sollicitation dynamique. Il est donc fortement probable que la flexion dynamique de l’ouvrage sous le passage d’un TGV à la vitesse critique de 209 km/h induise une flexion dans le tablier beaucoup plus forte que celle obtenue de façon statique.

Figure 3.28 : Premier mode de flexion longitudinale symétrique (a) avec diaphragme, (b) sans diaphragme

Le deuxième mode avec le diaphragme correspond au premier mode de torsion de l’ouvrage (fig. 3.29). La dalle subit une déformation de flexion transversale significative. Ce mode est à analyser de façon plus précise à l’aide d’un calcul dynamique car le passage du TGV conduit à une flexion transversale du tablier. Sans le diaphragme, les cinq autres modes correspondent tous à des modes de respirations des poutres. La dalle ne subit alors pratiquement aucune déformation. Sans diaphragme, les âmes et les semelles inférieures des poutres principales ont une grande liberté de déplacement dans la direction transversale. Ce déplacement latéral des poutres s’effectue de façon complètement indépendante les unes des autres. Les semelles supérieures des poutres principales ne peuvent se déplacer librement car elles sont encastrées dans la dalle. Ainsi, la respiration des âmes et des semelles inférieures des poutres n’est pas transmise à la dalle, qui ne subit alors pratiquement aucun déplacement. En présence du diaphragme, l’excitation des poutres est empêchée. Le diaphragme limite ces déformations mais transmet en contreparties une énergie de déformation à la dalle. En conséquence, la présence du diaphragme limite la respiration des poutres mais entraîne la dalle dans la déformation transversale globale de l’ouvrage. Sans diaphragme, la dalle reste inerte lorsque les poutres sont excitées. Le contact roue-rail sera donc meilleur sans le diaphragme. Cependant, la libre respiration des poutres, peut conduire à des contraintes fortes au niveau des soudures des âmes et des semelles supérieures des poutres. La respiration des poutres peut donc être la source de phénomènes de fatigue. De plus ce phénomène pourrait être amplifié par des défauts de planéité de l’âme lors de la réalisation de l’ouvrage. Nous chercherons à déterminer les contraintes à la jonction âme – semelle supérieure dans un calcul dynamique afin de juger d’éventuels problèmes de fatigue.

f = 3,1 Hz f = 3,1 Hz (a) (b)

Chapitre 3


100

Figure 3.29 : Premier mode de torsion symétrique – avec diaphragme

Figure 3.30 : Premier mode poutre – sans diaphragme

Figure 3.31 : Second mode poutre – sans diaphragme

Figure 3.32 : Troisième mode poutre – sans diaphragme

f = 4,41 Hz f = 4,32 Hz

f = 4,42 Hz f = 4,46 Hz

Chapitre 3


101

Figure 3.33 : Quatrième mode poutre – sans diaphragme

Figure 3.34 : Cinquième mode poutre – sans diaphragme

3.3.4 Facteurs d’amplification massique Les facteurs d’amplification massique indiquent le pourcentage de la masse totale de l’ouvrage qui collabore dans la direction des trois déplacements (tab. 3.2). Ils permettent d’avoir une meilleure compréhension de l’importance des modes propres. La présence ou non du diaphragme ne modifie pas le pourcentage de la masse collaborante du premier mode. Ce dernier est principalement dans la direction verticale puisque le mode fondamental de l’ouvrage est un mode de flexion longitudinale. Pour l’ensemble des autres modes, avec ou sans le diaphragme, le pourcentage de la masse collaborante est très faible (inférieur à 5%). Le premier mode poutre sans diaphragme (f = 4,32 Hz) est celui qui fait intervenir le plus la masse du pont dans la direction transversale (4.25%). Ce résultat est en adéquation avec l’allure des modes propres (fig. 3.30 à 3.34), puisque seul le premier mode poutre conduit à une déformation de la dalle et que 80% du poids propre de l’ouvrage est dû justement à la dalle munie de son ballast. Avec le diaphragme, la masse du pont participe plus faiblement dans cette direction (1,69 %). Pour déterminer l’impact de la respiration des poutres sur les contraintes à la jonction âme – semelle supérieure, la fréquence propre du premier mode poutre doit être analysée. Les autres modes sans diaphragme ne font pratiquement pas intervenir la masse du pont.

f = 4,59 Hz f = 4,51Hz

Chapitre 3


102

direction transversale longitudinale verticale diaphragme avec sans avec sans avec sans

mode

avec sans fréquence

(Hz) % % % 1 1 3,10 0,00 0,00 4,82 4,84 77,07 76,88 2 4,32 4,25 0,00 0,00 2 4,41 1,69 0,00 0,00 3 4,42 0,00 0,00 0,00 4 4,46 0,07 0,00 0,00 5 4,51 0,00 0,00 0,00 6 4,59 0,67 0,00 0,00

Tableau 3.2 : Pourcentage d’amplification massique 3.3.5 Impact des raidisseurs verticaux seuls Comme nous venons de le préciser, le diaphragme permet de réduire le nombre de modes propres ayant une fréquence inférieure à 7,6 Hz (ce qui correspond à la fréquence de passage des bogies du TGV circulant à la vitesse du record). Le diaphragme permet d’empêcher les respirations des poutres mais la dalle est alors aussi mise à contribution et elle se fléchie transversalement. Ce constat fait, nous avons voulu connaître le comportement de l’ouvrage, si au lieu de mettre un diaphragme, nous empêchions la déformation des poutres principales dans la direction transversale grâce à de simples raidisseurs verticaux. De plus ces raidisseurs existent dans le pont réel pour éviter le voilement des poutres et pour conserver leurs équerrages lors du transport. Ces derniers sont des éléments en simple plat et correspondent aux montants des poutres sur lesquels les diaphragmes sont soudés. Leur avantage principal est qu’ils sont soudés sur les poutres au niveau de l’atelier et qu’ils ne nécessitent plus d’intervention sur le chantier. Le tableau 3.3 ci-dessous compare les dix premières fréquences propres du pont avec un diaphragme ou avec des raidisseurs placés uniquement de l’âme à mi-travée. Diaphragme Raidisseur

Mode Fréquence(Hz)


Fréquence(Hz)


1 3,10 209 3,10 209 2 4,41 297 4,41 297 3 10,20 687 8,36 563 4 11,43 769 9,04 609 5 12,45 838 9,47 637 6 12,50 841 9,83 662 7 12,69 854 9,90 666 8 12,92 870 10,22 688 9 13,59 915 11,19 753

10 15,25 1027 11,62 782 Tableau 3.3 : Les dix premières fréquences propres avec raidisseur ou diaphragme

Chapitre 3


103

Le remplacement des diaphragmes par de simples raidisseurs d’âmes conduit exactement aux mêmes fréquences propres inférieures à 7,6 Hz. Leurs formes modales (fig. 3.35 et 3.36) et le pourcentage de masse participante (tab. 3.4) sont aussi identiques. Dans l’hypothèse où la respiration des poutres doit être limitée pour des raisons de fatigue, la solution consistant à raidir les âmes et les semelles supérieures des poutres par de simples plats est suffisante au niveau de l’analyse modale.

Figure 3.35 : Premier mode de flexion longitudinale symétrique - avec des raidisseurs

Figure 3.36 : Premier mode de torsion symétrique - avec des raidisseurs

direction transversale longitudinale verticale diaphragme raidisseur diaphragme raidisseur diaphragme raidisseur

mode

diaphragme raidisseur fréquence

(Hz) % % % 1 1 3,10 0,00 0,00 4,82 4,84 77,07 76,89 2 2 4,41 1,69 1,61 0,00 0,00 0,00 0,00

Tableau 3.4 : Pourcentage d’amplification massique Les raidisseurs ne peuvent à eux seuls supprimer les modes de respiration des poutres. Seulement, ces modes n’agissent plus sur l’ensemble de la portée du pont mais sur sa demie-longueur car les déplacements des poutres sont empêchés à mi-portée par les raidisseurs. Ainsi, les fréquences propres correspondant au déplacement transversal des poutres sont plus hautes et se situent au-dessus de 7,6 Hz (entre 8,36 et 9,90 Hz). Les formes des déformés modales représentées sur les figures 3.37 à 3.41 montrent clairement la respiration des poutres en demie-onde. Comme pour le pont sans diaphragme, cinq fréquences propres correspondent à la respiration des poutres. Elles existent aussi dans le cas du pont muni d’un diaphragme mais les fréquences sont encore plus hautes, au-dessus de 11,43 Hz. Cependant dans le cas de raidisseurs ou de diaphragmes, les fréquences d’excitation des poutres sont au-dessus de celle

f = 3,1 Hz f = 4,41 Hz

Chapitre 3


104

induite par le passage d’un TGV pour des vitesses admissibles et elles n’ont donc pas d’interaction sur cette sollicitation.

Figure 3.37 : Premier mode poutre - avec raidisseurs

Figure 3.38 : Deuxième mode poutre - avec raidisseurs

Figure 3.39 : Troisième mode poutre - avec raidisseurs

Figure 3.40 : Quatrième mode poutre - avec raidisseurs

Figure 3.41 : Cinquième mode poutre - avec raidisseurs

f = 8,36 Hz f = 9,04 Hz

f = 9,47 Hz f = 9,83 Hz

f = 9,90 Hz

Chapitre 3


105

3.4. CONCLUSIONS DE L’ANALYSE MODALE L’analyse modale est obtenue rapidement par simulation numérique et est peu coûteuse en temps de calcul même avec un maillage tridimensionnel comportant un grand nombre d’éléments. Elle permet d’approcher et de juger le comportement dynamique de l’ouvrage. Le projet peut alors être modifié à cette étape afin de supprimer des modes ou d’augmenter la fréquence de certains modes. L’analyse modale est une aide efficace sur le positionnement et le nombre d’entretoisements intermédiaires. Elle ne nécessite pas, de plus, l’utilisation d’un modèle béton tenant compte des phénomènes de fissuration, qui est toujours délicat à mettre en œuvre et à utiliser dans les logiciels d’éléments finis. La présence ou non du diaphragme n’a pas d’influence sur le mode fondamental de l’ouvrage puisque ce dernier est un mode de flexion longitudinale. Cependant, l’absence du diaphragme intermédiaire conduit à un nombre plus important de fréquences propres du pont dans la bande de fréquences correspondant au passage du TGV. Ces fréquences supplémentaires correspondent à des excitations des poutres principales dans la direction transversale. Les respirations des poutres peuvent être néfastes à la structure car elles peuvent entraîner des variations de contraintes au niveau des soudures des semelles supérieures et des âmes des poutres. Une étude approfondie sous sollicitation dynamique doit alors être menée afin de déterminer ces variations de contraintes. La respiration des poutres peut être empêchée aussi bien par la présence d’un diaphragme intermédiaire que par le raidissage des âmes et des membrures des poutres par de simple plat. Ces raidisseurs sont moins coûteux à réaliser que le diaphragme car ils peuvent être soudés sur les poutres au niveau de l’atelier et ils ne nécessitent pas d’intervention spécifique sur le chantier. De plus, ces raidisseurs sont habituellement nécessaires pour éviter le voilement des poutres et pour conserver leurs équerrages lors du transport. Connaissant les fréquences propres de notre ouvrage, nous allons analyser le comportement du pont sous la sollicitation d’un TGV circulant à des vitesses critiques. Cette modélisation est relativement compliquée à mettre en œuvre car elle impose de définir la position du chargement en fonction du temps. Un grand nombre d’itérations est alors nécessaire afin de ne pas perturber, par des déplacements trop importants du chargement, la convergence du calcul. Tout d’abord, nous allons répertorier les différentes techniques existant dans la littérature pour modéliser un convoi se déplaçant sur un maillage. Puis nous présenterons notre programmation permettant de déplacer le chargement sur le pont. Afin de valider ce programme, nous allons le tester sous un calcul quasi-statique que nous pouvons aisément comparer à notre modélisation statique. Cette programmation validée, nous l’utiliserons ensuite dans une analyse dynamique. 4. DÉFINITION DE CHARGES ROULANTES EN QUASI-STATIQUE

4.1. INTRODUCTION BIBLIOGRAPHIQUE

La réponse dynamique des ouvrages d’art sollicités par le passage de véhicules est toujours un sujet qui intéresse les ingénieurs du Génie Civil. Une littérature récente et abondante existe sur ce sujet : elle se focalise sur la modélisation des véhicules ferroviaires. Le pont, quant à lui, est toujours représenté par des éléments de poutre monodimensionnels. Trois manières de modéliser les trains sont employées que nous allons répertorier par ordre de complexité croissante.

Chapitre 3


106

4.1.1 Modélisation par des charges mouvantes [FRY.96, HEN.97, YAN.97]. Les essieux des trains sont remplacés par des forces ponctuelles qui se déplacent sur le maillage en fonction du temps. Cette approche est la plus simple à mettre en œuvre et ne nécessite comme seul paramètre que de connaître la charge des essieux et leur espacement. Cependant les charges mouvantes ne permettent pas de prendre en compte l’interaction entre le train et le pont puisque la masse du train est négligée et que le contact entre les forces et le pont est considéré comme parfait. Frýba [FRY.01] conclut que l’excitation du pont est maximale lorsque l’intervalle de temps entre deux forces mobiles successives est égal à la même période que la période propre de l’ouvrage. Jianzhong et al. [JIA.99] arrivent aux mêmes conclusions mais ils déterminent en plus que la réponse du pont augmente graduellement en fonction du nombre de charges qui traversent le pont. La réponse maximale est alors obtenue au passage de la dernière charge. Il est donc primordial dans ce type de modélisation de déplacer le nombre exact de charges correspondant au nombre réel d’essieu du train étudié. Pour le TGV, la sollicitation maximale sera donc obtenue sous le passage d’une rame double, composée de deux TGV, nous devrons alors considérer le passage de 30 bogies donc de 60 essieux dans notre modèle. Figure 3.42 : Charges ponctuelles mobiles 4.1.2 Modélisation par des masses mouvantes [ESM.95, LEE.96]. Les essieux de train ne sont plus représentés par des forces mobiles mais par des masses mobiles. Ainsi, l’interaction entre le poids du train et celui du pont est prise en compte dans la matrice de masse du modèle. Cependant comme dans le cas des charges mouvantes, cette modélisation considère le contact entre les masses et le tablier comme parfait. Comme la masse d’un bogie de TGV est négligeable devant le poids propre de l’ouvrage, cette modélisation n’a pas d’intérêt spécifique dans notre étude par rapport aux charges roulantes. Figure 3.43 : Masses mobiles 4.1.3 Modélisation des véhicules par des masses, des ressorts et des amortisseurs [JIA.99, JON.99, JU.03] Cette dernière manière de modéliser les trains est récente car elle nécessite des moyens de calcul très importants. L’interaction entre le véhicule et le pont est alors mieux appréhendée grâce à l’association de ressorts et d’amortisseurs associés à la masse des essieux. Le nombre de degrés de liberté du modèle est alors sensiblement augmenté. Ce type de modèle ne peut être utilisé que sur un maillage simple d’éléments poutres car il est très gourmand en temps de calcul.

F F F F F F

M M M M M M

Chapitre 3


107

Figure 3.44 : Modélisation des véhicules Nous avons choisi de modéliser le train à l’aide des forces mobiles. Cette manière de modéliser les charges roulantes est la plus simple et elle permet d’avoir une bonne représentation de l’excitation du pont. Mais même l’utilisation des forces mobiles nécessite des outils et un temps de calcul important car les itérations pour déplacer les forces sont nombreuses.

4.2. PROGRAMMATION DES CHARGES ROULANTES Notre maillage tridimensionnel nous permet de modéliser le passage d’un train sur la dalle grâce à des forces verticales représentant les charges d’un essieu. L’utilisation de charges roulantes ne nous permet pas de prendre en compte les irrégularités des rails et l’effet bénéfique des amortisseurs des bogies. La description de notre chargement sera donc plus agressive que le chargement réel du TGV car nous négligeons l’amortissement des charges se déplaçant sur l’ouvrage. Cependant, afin de réduire l’impact des forces verticales sur le pont, nous n’utiliserons pas des charges ponctuelles mais des charges surfaciques, comme nous l’avons déjà effectué lors des calculs du chapitre 2. Le rôle d’amortissement du ballast et des bogies est certes négligé dans notre représentation mais la diffusion des efforts sur des surfaces de 6 m2 est une solution simple pour réduire les effets locaux des charges. La distance entre deux bogies est considérée comme constante tout au long de la rame, nous négligeons donc l’espacement particulier des bogies des motrices. De plus, comme la SNCF le préconise dans son livret 2.01, nous analyserons le passage d’une double rame de TGV Atlantique. Comme la réponse maximale du pont dépend étroitement du nombre d’essieux modélisés, l’utilisation d’une double rame permettra d’obtenir le cas de chargement le plus défavorable. La définition de la position des charges est programmée en fortran dans une sous routine du logiciel Abaqus. La position des 60 essieux est définie en fonction du temps et de la vitesse du TGV. Chaque bogie est défini par sept surfaces de charge, quatre surfaces correspondant à 20% de la charge d’un essieu, deux surfaces correspondant à 60 % de la charge d’un essieu et une surface non chargée. Ces sept zones sont ensuite répétées 30 fois. Chacune de ces surfaces est comprise dans un intervalle de la direction longitudinale (y) et un intervalle de la direction transversale (x). La définition des limites de ces intervalles évolue en fonction du temps et de la vitesse du TGV. La description de ce programme est présentée dans l’annexe n°1 de ce document.

4.3. VALIDATION PAR UN CALCUL QUASI-STATIQUE Afin de vérifier la justesse de notre sous routine, nous avons réalisé un calcul quasi-statique de l’ouvrage avec et sans diaphragme intermédiaire. Les paramètres temps et vitesse de ce calcul sont alors utilisés pour définir la position des charges, mais la résolution numérique considère à chaque incrément de temps les charges comme statiques. Pour valider notre

mk c

Chapitre 3


108

modèle, nous avons choisi de définir la position des charges à la vitesse de 209 km/h (fig. 3.45).

-3,00

-2,00

-1,00

0,000,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

temps (s)

flèch

e ve

rtic

ale

(mm

)

quasi-statique - avec diaphragme quasi-statique - sans diaphragmstatique - avec diaphragme statique - sans diaphragme

deuxième bogie à mi-portée

deuxième et troisième bogies

centrés sur le pont

premier bogie à mi-portée

deux premiers bogies centrés sur le pont

deuxième bogie rentre sur le pont

premier bogie sort du pont

troisième bogie rentre sur le pont

Figure 3.45 : Flèche verticale sous un chargement quasi-statique du TGV Les flèches sont maximales lorsqu’un bogie se situe au milieu du pont ou lorsque deux boggies sont simultanément présents et centrés sur le pont. Les flèches verticales obtenues, avec notre calcul statique du TGV ou notre calcul quasi-statique de la sous routine du TGV, sont identiques, notre programme est validé. Nous pouvons donc l’utiliser pour déterminer l’influence de l’entretoisement intermédiaire sous sollicitation dynamique. 5. ANALYSE DYNAMIQUE

5.1. CADRE THÉORIQUE

5.1.1 Equation d’équilibre dynamique L’équation générale bien connue régissant le mouvement d’une structure amortie soumise à une excitation )(tg ainsi que les conditions initiales sont :

g(t)KqqCqM =++ &&& 0)0( qq = 0)0( qq && =

Les variables matricielles M , C , K désignent les matrices spatiales symétriques (n x n) de masse, d’amortissement et de rigidité, tandis que les grandeurs q et g d’ordre n sont respectivement le vecteur des coordonnées généralisées, formant les inconnues du problème ou la réponse du système, et le vecteur d’excitation directe dues aux forces externes.

temps (s)

Chapitre 3


109

5.1.2 Réponse transitoire par intégration directe - principe et schémas d’intégration Le passage d’un convoi sur un ouvrage d’art s’apparente à une excitation transitoire puisque la position du chargement dépend du temps. Nous utilisons alors une relation de récurrence

pour calculer à l’instant en tn+1 l’état du système, représenté par le vecteur d’état ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+

1

1

n

n

qq&

en

fonction de l’état du système à un l’instant tn. Deux schémas d’intégration sont alors utilisables : le premier est un schéma d’intégration implicite car il faut connaître ce qui se passe à tn+1 pour le calculer. La vitesse 1+nq& est exprimée comme une fonction de nq& , nq&& , 1+nq&& . Le second est explicite : la vitesse 1+nq& est exprimée comme une fonction de nq& , nq&& . Cette méthode est particulièrement bien adaptée aux problèmes de la dynamique rapide ou en thermique dans le cas de changement de phase [CRA.01]. C’est pourquoi nous ne l’utilisons pas.

5.1.2.1. Schéma de Newmark Le schéma de Newmark est l’une des méthodes les plus fréquemment utilisées pour résoudre les équations régissant la dynamique des structures. Il a donné lieu à de multiples variantes qui sont la plupart du temps disponibles dans les codes de calculs. Toutes sont des méthodes directes d’intégration temporelle de systèmes linéaires ou non linéaires. L’une de ses variantes, la méthode de Hilber-Hughes-Taylor est implantée dans le logiciel Abaqus. Elle est performante pour les structures conservatives ou faiblement dissipatives ce qui est majoritairement le cas des structures du Génie Civil. Elle est donc bien adaptée à notre problématique et fut retenue pour l’étude vibratoire de notre Ouvrage d’Art. Afin de présenter son fonctionnement, nous introduisons dans cette partie le principe du schéma de Newmark. Le principe général du schéma de Newmark est décrit dans l’annexe 2 de ce document.

5.1.2.2. Méthode de Hilber-Hughes-Taylor La méthode de Hilber-Hughes-Taylor ou schéma α , est une méthode à un pas, implicite, qui conserve les propriétés du schéma de Newmark tout en accroissant l’amortissement numérique sur les composantes de plus hautes fréquences du signal. Ces composantes, qui sont en général numériques et non physiques, sont filtrées par le schéma. Il ne possède qu’un seul paramètre, noté α , les paramètres β et γ étant alors calculés par les relations suivantes :

2)1(41 αβ −= et )21(

21 αγ −= .

Les approximations du déplacement et de la vitesse 1+nq et 1+nq& sont les mêmes que pour le schéma de Newmark, l’équation d’équilibre modifiée étant :

nnnnnnn ggKqKqqBqBqM αααααα −+=−++−++ ++++ 1111 )1()1()1( &&&&

L’avantage de la méthode α sur le schéma de Newmark amorti (21

>γ ) est de conserver une

précision du second ordre tout en étant inconditionnellement stable. Ces deux méthodes peuvent être utilisés pour des calculs de réponse dynamique non linéaire : la matrice de raideur est réévaluée à chaque pas de temps. L’inconvénient majeur de ces méthodes d’intégration temporelle est informatique : la matrice d’itération, constante ou non, a pour dimension le nombre de degrés de liberté indépendants, ce qui conduit à des calculs très coûteux pour des gros systèmes comme dans notre cas.

Chapitre 3


110

5.2. COUPLAGE ENTRE POSITION DES CHARGES ET ITERATION DE

RÉSOLUTION DES EQUATIONS DYNAMIQUES La résolution numérique par la méthode de Hilber-Hughes-Taylor repose sur une incrémentation temporelle. A chaque pas de temps, les matrices de masse, de raideur, d’amortissement, de déplacement de vitesse et d’accélération sont formées et résolues grâce aux équations de la dynamique. Simultanément, l’incrémentation temporelle nous permet de définir la position de notre chargement. Ainsi, non seulement le schéma Prédiction d’Erreur – Correction d’Erreur doit parvenir à converger entre deux pas de temps mais de plus la position des charges est aussi modifiée. Ce couplage entre résolution des équations dynamiques et positions des charges nécessite l’utilisation de pas de temps très petits afin de limiter au maximum son effet sur la convergence des calculs. Afin de réduire les temps de calcul, nous devons conserver le même pas de temps d’intégration dans le calcul pour ne pas réévaluer la matrice d’itération S . Après quelques études préliminaires, nous avons observé que le déplacement des charges entre deux pas de temps ne devait pas dépasser deux mètres pour assurer une bonne convergence des calculs, cependant plusieurs itérations peuvent être nécessaires ce qui modifie le pas de temps. Les équations parviennent à se résoudre en une seule itération pour un déplacement des charges de 1 mètre. Cette solution est la plus avantageuse car elle permet de réduire le temps de calcul et d’assurer le stockage des données pour un déplacement régulier des charges. Ce stockage devenant rapidement volumineux, nous n’avons pas pu conserver plus de quatre positions par bogie.

5.3. RÉSULTATS NUMÉRIQUES Nous allons étudier précisément la réponse dynamique du pont sous trois fréquences d’excitations particulières. Nous rechercherons d’abord à déterminer l’influence du diaphragme sous la fréquence d’excitation du premier mode propre puis sous une fréquence correspondant aux respirations des poutres. Enfin, nous choisirons une fréquence ordinaire très différente des fréquences propres de l’ouvrage. Les résultats concernant les flèches sont obtenus sans le chargement du poids propre comme lors de l’analyse statique. En effet, nous considérons que les déplacements verticaux provenant du poids propre de l’ouvrage sont compensés par la mise en place d’une contre flèche sur les poutres principales avant le coulage de la dalle lors de la réalisation de l’ouvrage. Par contre, les résultats sur les contraintes sont calculés en prenant en compte le poids propre de la structure 5.3.1 vitesse du TGV à 209 km/h (excitation du 1er mode) Lorsque le train circule à 209 km/h sur l’ouvrage, nous constatons que le pont rentre en résonance (fig. 3.46). L’intensité de la flèche sous la voie augmente progressivement en fonction du passage des bogies sur le pont. Pour chaque passage des bogies, un pic de flèche est obtenu lorsque le bogie se situe au centre du pont. Comme le train est constitué de 30 bogies, nous obtenons 30 pics. La flèche maximale est obtenue lorsque le dernier bogie est au centre du pont (t = 9,6 s). Le facteur d’impact dynamique défini par Dongzhou et al. [DON.98] permet de juger de la réponse dynamique de l’ouvrage :

100(%) ×⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −=

s

sdmp R

RRI avec dR et sR respectivement les valeurs absolues maximales de la

réponse dynamique et statique.

Chapitre 3


111

Le facteur d’impact est alors très élevé : mpI = 281 % pour cette vitesse car la résonance du pont donne une flèche verticale dynamique 3,8 fois plus importante que la flèche statique. Cependant la flèche dynamique maximale (de l’ordre de 10 mm) est une flèche acceptable par la SNCF. En effet, le livret 2.01 de la SNCF [SNC.95] autorise une flèche maximale de L/1200 (L=portée) pour des vitesses supérieures à 200 km/h, soit dans notre cas 25mm. Nous sommes bien en dessous de ce critère. L’accélération dans le tablier est identique avec ou sans diaphragme. Sa valeur maximale est de 3 m/s2. Cette valeur est donc bien inférieure à la limite préconisée par le livret 2.01 de 3,5 m/s2. Avec ou sans le diaphragme, la flèche verticale sous la voie est identique. Ceci est bien en accord avec notre analyse modale car la présence du diaphragme ne modifie pas le mode fondamental de l’ouvrage.

-12,00

-10,00-8,00

-6,00-4,00

-2,000,00

2,004,00

6,008,00

10,00

0 2 4 6 8 10 12temps (s)

flèch

e ve

rtic

ale

(mm

)

avec diaphragme sans diaphragme statique

dernier bogie à mi-portée

premier bogie à mi-portée

Figure 3.46 : Flèche verticale pour un TGV circulant à 209 km/h La figure 3.47 montre les déplacements verticaux de toute la largeur du tablier situé à mi-travée en fonction du passage du TGV à la vitesse de 209 km/h. Avec ou sans diaphragme, les déplacements du tablier sont identiques. L’excitation de l’ouvrage s’effectue progressivement en fonction du passage des essieux. Au début du chargement, la vibration du pont est faible. La flexion longitudinale du pont s’accompagne d’un déplacement transversal du tablier de type rigide. Le tablier pivote transversalement et sa flèche est plus importante du côté de la voie chargée. Puis, le pont rentre en résonance et les déplacements transversaux disparaissent vis à vis de la flexion longitudinale. La réponse du pont est alors en adéquation avec son mode fondamental. La position du chargement, désaxée par rapport au centre du pont, n’a plus d’influence sur la réponse vibratoire de l’ouvrage. La présence ou non du diaphragme intermédiaire n’a alors aucune conséquence sur la réponse de l’ouvrage.

Chapitre 3


112

01

23

46

78

910

120

48

12

-8-6-4-20246

Figure 3.47 : Déplacements verticaux du tablier à mi-portée en fonction du passage du TGV à 209 km/ h avec ou sans diaphragme Nous ne nous attarderons pas sur les contraintes dynamiques dans la dalle et dans les poutres sous le passage du TGV à 209 km/h car ces dernières ne sont pas spécifiquement modifiées par rapport aux résultats statiques. En effet, le poids propre de l’ouvrage prédomine toujours sur la réponse de l’ouvrage. La dalle de béton reste dans son domaine élastique tout au long du passage du convoi. Elle est complètement comprimée dans sa direction longitudinale (- 6,74 MPa) et elle est partiellement tendue en fibre inférieure dans la direction transversale (0,72 MPa). La présence ou non du diaphragme ne modifie pas les contraintes dans l’ensemble de l’ouvrage. 5.3.2 Vitesse du TGV à 291 et 297 km/h (excitation du 2ème mode) L’analyse modale fait apparaître cinq modes propres correspondant à des respirations de poutres dans le cas d’un pont sans diaphragme. Les fréquences propres de ces cinq modes sont comprises entre 4,32 et 4,59 Hz. Nous avons donc analysé en premier lieu les flèches verticales sous la voie et les contraintes dans la poutre pour l’ensemble de ces cinq fréquences. La flèche verticale du pont est identique pour l’ensemble de ces fréquences. Par contre, l’excitation des poutres est plus importante pour la vitesse critique de TGV de 291 km/h. Cette vitesse correspond à la fréquence propre de l’ouvrage (4,32 Hz) ayant le facteur d’amplificateur massique le plus important dans la direction transversale. Avec le diaphragme, la vitesse critique du TGV dans cette plage de fréquence est de 297 km/h. Nous comparons donc la réponse de l’ouvrage sans et avec le diaphragme respectivement pour la vitesse critique de 291 et 297 km/h. Le comportement global de l’ouvrage étant complexe pour ces vitesses critiques du TGV, nous allons dans un premier temps analyser les déplacements verticaux de la dalle puis nous analyserons les vibrations des poutres.

temps (s)

Largeur du tablier (m)

Déplacements verticaux (mm)

Chapitre 3


113

5.3.2.1. Réponse de la dalle La flèche verticale du tablier sous la voie à mi-portée est proche de la flèche statique et cela avec ou sans la présence du diaphragme à mi-portée. Cependant lorsque le pont est muni d’un diaphragme intermédiaire, nous constatons sur la figure 3.48 que l’amplitude de la flèche du pont sous la voie augmente légèrement au passage des derniers essieux du TGV double. A la fin du chargement, le facteur d’amplification mpI est alors de 81% pour le pont muni d’un diaphragme et de 49 % pour le pont sans diaphragme.

Afin de comprendre la différence de comportement de l’ouvrage avec et sans diaphragme, nous avons représenté sur les figures 3.49 et 3.50 le déplacement vertical de toute la largeur du tablier situé à mi-travée en fonction du passage du TGV. Lors du passage du premier TGV du double convoi, l’influence de la présence ou non du diaphragme n’est pas significative. La réponse de pont sous le passage des premiers essieux fait intervenir simultanément deux modes de flexion : une flexion longitudinale couplée à une flexion transversale de la dalle. Les figures 3.51 et 3.53 montrent l’allure de la déformée transversale avec ou sans diaphragme pour les 14ème, 15ème et 16ème bogies. La présence du diaphragme permet de conserver un déplacement transversal linéaire de la dalle (sans flexion transversale) alors que sans le diaphragme, le déplacement transversal de la dalle est légèrement courbé au niveau de la voie chargée (présence d’une flexion transversale). L’allure des déformations est conforme aux résultats que nous avions obtenus lors de l’étude statique. La réponse de la dalle est couplée entre l’excitation longitudinale et l’excitation transversale ce qui explique que les déplacements transversaux et leurs courbures soient plus ou moins prononcés suivant la prédominance de l’un des modes d’excitation sur l’autre. Lors du passage du deuxième TGV, le comportement de l’ouvrage avec ou sans diaphragme est foncièrement différent. Tout d’abord analysons le déplacement vertical de la dalle pour le

-12,00

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9temps (s)

flèch

e ve

rtic

ale

(mm

)


dernier bogie à mi-portéepremier bogie à mi-portée

deuxième bogie à mi-portée

Figure 3.48 : Flèche verticale pour un TGV circulant à 297 km/h

Chapitre 3


114

pont sans diaphragme. Sur la figure 3.49 nous n’observons pas de modifications de la réponse de l’ouvrage tout au long du passage du double convoi. En regardant plus précisément le déplacement de la dalle sous le passage des derniers essieux (fig. 3.52) nous constatons que la flexion transversale s’est stabilisée, la courbure de la dalle à mi-travée reste constante. La dalle ne s’excite absolument pas sous le chargement. Elle fléchit simplement dans la direction longitudinale en fonction de la position des essieux sur le tablier, ce qui créait une flexion transversale dans la dalle. Par contre, lorsque le diaphragme est présent à mi-travée, le comportement de la dalle est différent. Sur la figure 3.50 nous observons une amplification des déplacements dans la direction transversale au passage du deuxième TGV. Le mode de torsion prédomine alors dans la réponse de l’ouvrage qui s’excite en pivotant transversalement du côté chargé puis de l’autre en fonction du positionnement des essieux. Cette réponse est très visible sur la figure 3.54. Le pont est alors en résonance avec le mode de torsion et cette excitation se poursuit même lorsque le TGV est complètement sorti de l’ouvrage. Cependant l’amplitude des déplacements reste assez faible, entre -8 et 6 mm aux extrémités, ce qui ne nuit pas au service du pont. L’excitation en torsion du pont avec diaphragme conduit sensiblement aux mêmes valeurs de flèches dans le tablier que le mode de flexion transversale du pont sans diaphragme. De plus, l’analyse de l’accélération verticale du pont aboutit aux mêmes conclusions. L’accélération est plus importante pour le pont avec un diaphragme que sans mais son intensité reste modérée (2 m/s2). Le comportement de type «balancier » de la dalle de l’ouvrage muni d’un diaphragme n’entraîne pas une détérioration du confort des voyageurs. Les contraintes dans la dalle sont peu différentes des contraintes obtenues dans l’analyse statique de ce chapitre. La dalle reste dans son domaine élastique.

01,0422

2,17623,3102

4,4442

5,5782

6,7122

7,8462

8,9802

-1,2

3,6

8,4

-8-6-4-20246

Figure 3.49 : Déplacements verticaux du tablier à mi-portée en fonction du passage du train à 209 km/h sans diaphragme

temps (s)


Chapitre 3


115

01,0422

2,17623,3102

4,4442

5,5782

6,7122

7,8462

8,9802

-1,2

3,6

8,4

-8-6-4-20246

Figure 3.50 : Déplacements verticaux du tablier à mi-portée en fonction du passage du train à 297 km/h avec diaphragme

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0 3,2 6,4 9,6 12,8


flèch

e ve

rtic

ale

(mm

)

3,16 s3,23 s3,31 s3,38 s3,46 s3,54 s3,61 s

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0 3,2 6,4 9,6 12,8


flèch

e ve

rtic

ale

(mm

)

6,18 s6,25 s6,33 s6,41 s6,48 s6,56 s6,64 s

Figure 3.51 : Flèche verticale de la dalle à mi-travée sans diaphragme pour le passage du 14ème, 15ème et 16ème bogies

Figure 3.52 : Flèche verticale de la dalle à mi-travée sans diaphragme pour le passage du 27ème, 28ème et 29ème bogies

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0 3,2 6,4 9,6 12,8


flèch

e ve

rtic

ale

(mm

)

3,16 s3,23 s3,31 s3,38 s3,46 s3,54 s3,61 s

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0 3,2 6,4 9,6 12,8


flèch

e ve

rtic

ale

(mm

)

6,18 s6,25 s6,33 s6,41 s6,48 s6,56 s6,64 s

Figure 3.53 : Flèche verticale de la dalle à mi-travée avec diaphragme pour le passage du 14ème, 15ème et 16ème bogies

Figure 3.54 : Flèche verticale de la dalle à mi-travée avec diaphragme pour le passage du 27ème, 28ème et 29ème bogies

Largeur du tablier (m)

temps (s)


Chapitre 3


116

5.3.2.2. Réponse des poutres principales Comme nous venons de le justifier, la présence du diaphragme conduit à une excitation en torsion du pont dans sa direction transversale. Sans diaphragme, la flexion du tablier se stabilise après le passage de la moitié des essieux et la réponse de l’ouvrage n’est alors soumise qu’à la flexion longitudinale. Cependant, comme nous l’avions observé dans l’analyse modale, l’excitation de l’ouvrage se canalise dans les poutres principales qui se mettent alors à vibrer de façon importante. Cette vibration s’effectue dans la direction transversale. Au début du chargement, lorsque la flexion transversale de la dalle et sa courbure évoluent sous le passage des charges, les quatre poutres se déplacent en phase dans la direction transversale (fig. 3.55). Puis au fur et à mesure que la flexion transversale et la courbure de la dalle commencent à se stabiliser, les vibrations des poutres se déphasent entre elles et augmentent. Les poutres d’extrémités sont progressivement déphasées par rapport aux poutres centrales (fig. 3.56). Le mode de respiration des poutres prédomine alors dans la réponse de l’ouvrage. Au passage des derniers bogies du convoi, les poutres centrales ne vibrent pratiquement plus au détriment d’une plus forte excitation des poutres d’extrémités qui concentrent alors toute l’énergie de vibration (fig. 3.57).

Figure 3.55 : Déplacements latéraux des poutres sans diaphragme au passage du 14ème bogie

Figure 3.56 : Déplacements latéraux des poutres sans diaphragme au passage du 17ème bogie

Figure 3.57 : Déplacement latéraux des poutres sans diaphragme au passage du 27ème bogie

Ce phénomène de respiration des poutres peut entraîner des variations de contraintes entre les semelles supérieures, solidarisées à la dalle (qui ne peuvent se déplacer) et la jonction de l’âme. Nous devons analyser précisément les variations de contraintes dans cette jonction puisque cette dernière est réalisée par soudure lors de la construction des profilés laminés. Comme toutes soudures, elles sont sensibles au phénomène de fatigue qui peut entraîner l’apparition de fissures sous un grand nombre de cycles. Les contraintes longitudinales dans les poutres, dues à la flexion longitudinale du pont, sont du même ordre de grandeur que celles obtenues lors d’un calcul statique (fig. 3.58 à 3.61). L’excitation latérale des poutres n’a que peu d’influence sur les contraintes longitudinales des poutres qui varient de 20 MPa. De plus nous constatons que la variation des contraintes longitudinales des poutres sont identiques à celles obtenues avec le pont muni d’un diaphragme.

x 250

x 250 x 250

Chapitre 3


117

-200

20406080

100120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9temps (s)

cont

rain

tes l

ongi

tudi

nale

s (M

Pa)

sans diaphragme -fibre inf. avec diaphragme - fibre inf.sans diaphragme - fibre sup. avec diaphragme - fibre sup.


Figure 3.58 : Contraintes longitudinales aux extrémités de l’âme de la poutre 1 avec diaphragme V = 297 km/h, sans diaphragme V= 291 km/h

-200

20406080

100120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9temps (s)

cont

rain

tes l

ongi

tudi

nale

s (M

Pa)

sans diaphragme - fibre inf. avec diaphragme - fibre inf.sans diaphragme - fibre sup. avec diaphragrame - fibre sup.

dernier bogie à miportée

Figure 3.59 : Contraintes longitudinales aux extrémités de l’âme de la poutre 2 avec diaphragme V = 297 km/h, sans diaphragme V = 291 km/h

Chapitre 3


118

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9temps (s)

cont

rain

tes l

ongi

tudi

nale

s (M

Pa)

sans diaphragme - fibre inf. avec diaphragme - fibre inf.sans diaphragme - fibre sup. avec diaphragme - fibre sup.


Figure 3.60 : Contraintes longitudinales aux extrémités de l’âme de la poutre 3 avec diaphragme V = 297 km/h, sans diaphragme V = 291 km/h

-20

0

20

4060

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9temps (s)

cont

rain

tes l

ongi

tudi

nale

s (M

Pa)

sans-diaphragme - fibre inf. avec diaphragme - fibre inf.sans diaphragme - fibre sup. avec diaphragme - fibre sup.


Figure 3.61 : Contraintes longitudinales aux extrémités de l’âme de la poutre 4 avec diaphragme V = 297 km/h, sans diaphragme V = 291 km/h Comme nous le montre les figures 3.58 à 3.61, les contraintes longitudinales des poutres ne varient pas avec le phénomène de respiration des poutres. Par contre, l’excitation des poutres

Chapitre 3


119

conduit à des variations beaucoup plus significatives des contraintes dans la direction perpendiculaire à l’axe des poutres. Ces contraintes sont dues à la flexion des âmes autour de l’axe longitudinale des poutres et, pour une part négligeable, aux efforts normaux créés par le chargement. Cette flexion des poutres induit des contraintes normales dans la section comme représenté sur la figure 3.62. Le moment de flexion est maximum au niveau de la liaison de l’âme avec la semelle supérieure car cette dernière est connectée de façon rigide à la dalle, ce qui créait un moment d’encastrement dans l’âme. Les figures 3.63 à 3.66 montrent les contraintes maximales sur l’une des fibres externes obtenues sur les éléments de l’âme en contact avec les semelles. Les contraintes sur la fibre externe opposée aux contraintes représentées sur les figures 3.63 à 3.66 sont de même intensité mais de signe inversé car l’axe neutre est situé au milieu de l’épaisseur des âmes. Ces contraintes doivent être étudiées finement car leur variation au niveau de la jonction de la semelle supérieure peuvent conduire à un développement de fissures de fatigue au niveau des soudures des profilés. De plus, au niveau de la réalisation de ce détail constructif, un espacement entre la semelle supérieure et l’âme est toléré (fig. 3.62) ce qui conduit à une fragilisation de cette assemblage sous la flexion transversale des poutres.

Figure 3.62 : Allure des contraintes dans l’âme des poutres dues à leur flexion transversale Sans le diaphragme à la fin du chargement, les contraintes au niveau de l’extrémité supérieure de l’âme (à la jonction avec la semelle supérieure) varient entre -30 et 30 MPa pour les deux poutres d’extrémité. La variation de contraintes pour les poutres centrales sont maximales lorsque la moitié du double convoi est passée ; leurs valeurs sont comprises entre -20 et 15 MPa. (fig. 3.63 à 3.66). Les contraintes dans l’âme à leur jonction avec les semelles inférieures sont nulles car les poutres sont libres de ce déplacer. Nous constatons aussi que la présence du diaphragme permet d’éviter cette variation de contraintes dans les âmes des poutres. Les contraintes à la jonction des âmes avec les semelles supérieures ne sont pas des contraintes dues à la flexion des poutres (car celle-ci est empêchée par le diaphragme) mais des contraintes dues aux efforts normaux du chargement (poids propres et convoi). Ces contraintes sont donc des contraintes de compression uniforme dans la

3

2 . 1

M

âme

semelle supérieure

soudure sollicitée

tolérance d’espacement entre la semelle supérieure

et l’âme (≈ 1 à 2 mm)

Chapitre 3


120

section de l’âme. Elles sont très faible de l’ordre de 3 MPa et leur variation dépend uniquement de la position du convoi.

-40-30-20-10

010203040

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9temps (s)

cont

rain

tes (

MPa

)

sans diaphragme -fibre inf. avec diaphragme - fibre inf.sans diaphragme - fibre sup. avec diaphragme - fibre sup.


Figure 3.63 : Contraintes normales perpendiculaires à l’axe des poutres aux extrémités de l’âme de la poutre 1 avec diaphragme V = 297 km/h, sans diaphragme V = 291 km/h

-40-30-20-10

010203040

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9temps (s)

cont

rain

tes (

MPa

)

sans diaphragme - fibre inf. avec diaphragme - fibre inf.sans diaphragme - fibre sup. avec diaphragrame - fibre sup.



Chapitre 3


121

-40-30-20-10

010203040

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9temps (s)

cont

rain

tes (

MPa

)

sans diaphragme - fibre inf. avec diaphragme - fibre inf.sans diaphragme - fibre sup. avec diaphragme - fibre sup.



-40-30-20-10

010203040

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9temps (s)

cont

rain

tes (

MPa

)

sans-diaphragme - fibre inf. avec diaphragme - fibre inf.sans diaphragme - fibre sup. avec diaphragme - fibre sup.



Chapitre 3


122

Nous devons maintenant analyser les risques de fatigue dans les soudures entre les âmes et les semelles supérieures des poutres principales. Nous devons tout d’abord effectuer un comptage du nombre de cycles dans une variation de contraintes données. Nous employons la méthode de la goûte d’eau qui est clairement expliquée dans l’ouvrage de Frýba [FRY.96]. Le spectre d’étendue des contraintes obtenues pour la poutre P1 est présenté à la figure 3.67.

0123456789

10

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

delta de contraintes (MPa)

nom

bre

de c

ycle

s

Figure 3.67 : Spectre d’étendues des contraintes pour la poutre P1

Lors du passage du TGV et pendant la première phase d’amortissement du pont non chargé, le nombre de cycles le plus important a une variation de contraintes assez faible de 35 MPa. Cependant, 8 cycles de variations de contraintes dépassent les 50 MPa dont 3 sont supérieurs à 65 MPa. A partir de ces données de calcul, nous pouvons vérifier l’assemblage âme – semelle supérieure en nous reportant au règlement européen de l’Eurocode 3 [AFN.04a]. Le dommage cumulé D est calculé à l’aide de la règle de Palmgren-Miner qui est définie par l’équation suivante :

∑=i

i

Nn

D où

in = nombre de cycles d’étendues de contraintes iσ∆ pendant la durée de vie de l’ouvrage,

iN = nombre de cycles d’étendues de contraintes conduisant à la ruine pour le détail concerné. La durée de vie d’un ouvrage d’art de la SNCF est de 100 ans. Communément nous pouvons considéré que 70 TGV circulent sur notre ouvrage par sens et par jour. Or pour une voie chargée, nous avons remarqué que la variation de contraintes dans les deux poutres d’extrémité était identique. Les effets d’un train circulant dans un sens et d’un train circulant dans l’autre sens créeront la même variation de contraintes dans les poutres d’extrémités. En conséquence le nombre de train susceptibles de traverser le pont en 100 ans est de 5 millions. Bien évidemment tous les trains ne franchiront pas le pont aux vitesses critiques entraînant la respiration des poutres, entre 291 et 309 km/h. Cela dit cette plage de vitesse correspond exactement à la vitesse commerciale de la ligne Lyon - Marseille et la SNCF considère que en phase normale d’exploitation des lignes à grande vitesse, 90 % des trains circulent à leur vitesse commerciale. Ainsi nous pouvons considérer le passage de 4,5 millions de train pendant la durée de vie de l’ouvrage. Afin de calculer le paramètre iN nous devons connaître précisément la catégorie du détail en nous référant au tableau 8 du chapitre 9 de l’Eurocode 3 [AFN.04a]. L’assemblage de l’âme d’un PRS avec sa semelle supérieure n’existe pas explicitement dans ce tableau. Cependant comme l’âme transmet des efforts, nous pouvons apparenter cet assemblage à l’un des détails 1 du tableau 8.5. Le choix de la catégorie de détail est tributaire alors de la longueur de la

<

Chapitre 3


123

pièce assemblée et de son épaisseur. Etant donné que le détail constructif que nous étudions n’existe pas dans l’Eurocode 3, nous choissions dans une première approche la catégorie de détails la plus résistante :

Cσ∆ = 80 MPa. Nous pouvons maintenant nous référer aux courbes

de Wöhler de l’Eurocode 3, qui sont les courbes de résistance à la fatigue, en échelle log – log et qui s’écrivent analytiquement sous la forme suivante :

)log(loglog RmaN σ∆−= où

alog = est une constante qui dépend de la pente de la courbe considérée et donc de la catégorie de détail, m = est la constante de pente des courbes de résistances à la fatigue, dont la valeur est 3 et/ou 5,

Rσ∆ = est la résistance à la fatigue. Pour la catégorie de détails

Cσ∆ = 80 MPa, le dommage cumulé vaut D = 16. Ce qui signifie

que la vibration des poutres calculée par notre modélisation peut conduire à des fissures de fatigue au niveau de la soudure des membrures des PRS. Il semble donc que le diaphragme soit bien indispensable pour s’affranchir de ces risques de fatigue. Cependant nous devons rester relativement prudents sur nos conclusions pour différentes raisons que nous évoquerons à la fin de ce chapitre. De plus, le diaphragme n’est pas le seul élément transversal permettant d’empêcher la respiration des poutres. En effet comme nous l’avions déjà démontré dans l’étude modale, la mise en place de raideur permet de supprimer les vibrations des poutres dans la plage des vitesses admissibles du TGV. Nous devons vérifier maintenant que les contraintes dans les poutres, simplement munies de raidisseurs, ne sont pas plus importantes que dans le cas de la présence d’un diaphragme. Cette vérification est réalisée à l’aide des figures 3.68 à 3.71 pour la vitesse de la double rame de TGV de 297 km/h.

Chapitre 3


124

-40-30-20-10

010203040

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9temps (s)

cont

rain

tes (

MPa

)

raidisseur -fibre inf. avec diaphragme - fibre inf.raidisseur - fibre sup. avec diaphragme - fibre sup.


Figure 3.68 : Contraintes normales perpendiculaires à l’axe des poutres aux extrémités de l’âme de la poutre 1 avec diaphragme ou raidisseur d’âme à V = 297 km/h

-40-30-20-10

010203040

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9temps (s)

cont

rain

tes (

MPa

)

raidisseur - fibre inf. avec diaphragme - fibre inf.raidisseur - fibre sup. avec diaphragrame - fibre sup.



Chapitre 3


125

-40-30-20-10

010203040

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9temps (s)

cont

rain

tes (

MPa

)

raidisseur - fibre inf. avec diaphragme - fibre inf.raidisseur - fibre sup. avec diaphragme - fibre sup.

sans f=4,32f 4 41



-40-30-20-10

010203040

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9temps (s)

cont

rain

tes (

MPa

)

raidisseur - fibre inf. avec diaphragme - fibre inf.raidisseur - fibre sup. avec diaphragme - fibre sup.



Chapitre 3


126

L’utilisation de raidisseurs d’âme empêche l’excitation des poutres. Les contraintes à la jonction âme – membrure des poutres principales sont identiques à celles obtenues dans le cas d’un diaphragme intermédiaire. Ces contraintes ne varient pratiquement pas lors du passage du TGV. En conséquence, l’apport de la raideur de la dalle dans la direction transversale obtenue par la mise en place d’un diaphragme, n’est pas nécessaire pour empêcher les variations de contraintes dans les poutres. La mise en place de simples raidisseurs permet d’obtenir un bon comportement mécanique et vibratoire de l’ouvrage car ils suffissent à empêcher la flexion transversale des poutres. 5.3.3 vitesse du TGV à 404 km/h Pour finir notre étude dynamique du pont de Bonpas, nous avons analysé le comportement de l’ouvrage sous une vitesse différente des vitesses critiques, que ce soit pour le modèle comportant un diaphragme ou non. Nous avons donc choisi d’étudier le déplacement du train à la vitesse de 404 km/h qui correspond à un passage d’essieux sur le pont à la fréquence de 6 Hz. Sous cette vitesse la vibration du pont est très faible et reste constante pour tous les essieux. Le pont ne s’excite donc pas (fig. 3.72).

-12,00

-10,00

-8,00-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,006,008,00

10,00

0 1 2 3 4 5 6temps (s)

flèch

e ve

rtic

ale

(mm

)


avant dernier et dernier bogies centrés

sur le pont

deuxième et troisième bogies


premier et deuxième bogies


Figure 3.72 : Flèche verticale pour un TGV circulant à 404 km/h Ainsi, le facteur d’amplification reste constant pendant le passage des différents essieux. Il est identique pour le cas d’un pont comportant un diaphragme et celui sans diaphragme et il est égal à mpI =65%. La présence ou non du diaphragme n’a aucune influence sur la flèche de l’ouvrage sous la voie pour une fréquence de passages des essieux différente des fréquences propres de l’ouvrage. Pour le passage du convoi à cette vitesse, aucune flexion transversale des poutres n’est observée.

Chapitre 3


127

5.3.4 Conclusions de l’analyse dynamique L’étude dynamique réalisée et décrite dans ce paragraphe permet d’appréhender le comportement vibratoire d’un pont mixte multipoutre sous le passage successif des essieux d’un TGV. Cette modélisation permet de juger de l’impact du diaphragme sur le comportement vibratoire de l’ouvrage. Le passage d’un convoi à la fréquence fondamentale du pont conduit à une excitation importante du pont. Le pont vibre globalement (dalle et poutre) en suivant une flexion longitudinale. Il entre en résonance et sa flèche dynamique au passage du dernier essieu est quatre fois plus importante que celle obtenue pour la même charge statique. Néanmoins cette flèche dynamique est deux fois plus faible que celle du critère aux Etats Limites de Services (ELS). Le diaphragme ne modifie absolument pas le comportement global de l’ouvrage pour la fréquence fondamentale. Par contre, pour une fréquence de passages des essieux identique à la fréquence propre conduisant à un mode de respiration des poutres, le diaphragme permet d’empêcher la vibration latérale des poutres. Sans sa présence, la respiration des poutres conduit à des variations de contraintes importantes de l’ordre de 60 MPa à la jonction de la soudure entre l’âme et les semelles supérieures des poutres principales. Ces variations de contraintes peuvent conduire à des fissures de fatigue. Les ponts mixtes à poutres ferroviaires doivent être conçus de manière à empêcher la respiration des poutres qui est néfaste à la pérennité de l’ouvrage. L’utilisation de raidisseurs verticaux d’âme ou de diaphragmes permet d’empécher de façon efficace ces variations de contraintes. Enfin, pour une fréquence d’excitation différente de celle des fréquences propres, le diaphragme n’a aucune influence sur le comportement vibratoire de l’ouvrage. Le « bridage » des déplacements latéraux est donc bien nécessaire pour ce type de pont. La mise en place d’éléments transversaux permet d’améliorer le comportement du pont vis à vis des phénomènes de fatigue. Mais les éléments transversaux ont aussi d’autre rôle. En particulier, ils permettent de diffuser les efforts dans l’ensemble de l’ouvrage lors d’un choc de véhicule sur une poutre. Nous allons maintenant étudier l’impact de l’entretoisement sous ce type de sollicitation. 6. INFLUENCE DU DIAPHRAGME POUR UNE CHARGE LATÉRALE

6.1. INTRODUCTION

Souvent les ouvrages d’art permettent de franchir des voies navigables ou des voies de circulations routières ou ferroviaire. Leurs fonctions d’ouvrage de franchissement nécessitent lors de leurs conceptions de prendre en compte la possibilité de chocs accidentels de véhicules hors gabarit circulant sous les ouvrages. Les chocs de véhicules contre les piles de ponts ou contre le tablier sont loin d’être rares. Calgaro et Lacroix [CAL.97] dénombrent en 1997 que la fréquence des accidents significatifs (c’est-à-dire provoqués par des véhicules lourds, avec dommages nécessitant des réparations) sur les autoroutes françaises est de l’ordre de 2 à 2,5 par an et pour 1000 km. Pour un réseau autoroutier de 6 200 km, on peut donc compter plus d’une dizaine d’accidents par an. Les chocs sur les tabliers de pont-rails sont redoutés par la SNCF. En effet, le risque principal est que le choc provoque une déformation de la voie, ou un déplacement du tablier, susceptible d’entraîner le déraillement d’un train. L’entretoisement intermédiaire permet de distribuer l’énergie du choc sur l’ensemble des poutres alors que sans entretoisement, la poutre d’extrémité percutée est seule pour absorber cette énergie. Nous

Chapitre 3


128

devons donc évaluer l’impact d’un choc sur une poutre principale en fonction de la présence ou non de l’entretoisement intermédiaire. Nous étudions les ponts mixtes multipoutres de petite ou moyenne portée, nous pouvons donc considérer que ce type de pont est plus fréquemment utilisé pour le franchissement du trafic routier que pour des voies navigables, qui nécessiteraient une portée plus importante.

6.2. ANALYSE NUMÉRIQUE L’étude du choc d’un véhicule fait appel à l’utilisation de la théorie de la dynamique rapide (de type crash) et nécessite la connaissance exacte du véhicule percutant le pont afin de tenir compte de sa déformabilité, de sa masse et de sa vitesse. Des simplifications s’imposent pour traiter plus simplement ce type de sollicitation. Le livret 2.01 [SNC.95] de la SNCF assimile le choc d’un véhicule routier sur le tablier à des efforts statiques équivalents concentrés et concomitants de 1 000 kN horizontalement et de 500 kN verticalement ascendant. Nous avons sollicité notre pont avec ces deux charges statiques positionnées sur la semelle inférieure d’une des deux poutres d’extrémités au centre de la portée. Les figures 3.73 et 3.74 montrent respectivement les déformations plastiques obtenues sous ce chargement statique.

Figure : 3.73 : Déformation plastique sans diaphragme – chargement au centre de la travée

Figure 3.74 : Déformation plastique avec diaphragme – chargement au centre de la travée

Sans la présence du diaphragme, la poutre d’extrémité sollicitée par les charges verticales et horizontales se plastifie. La semelle se déplace latéralement de 35 cm. La poutre est alors très endommagée et le pont ne peut plus être utilisé. Avec le diaphragme, le pont reste dans son domaine élastique : aucune dégradation n’est alors constatée. Le déplacement des semelles est de seulement 2,5 mm. Le pont retrouvera alors son état initial après cette sollicitation. Le diaphragme permet d’utiliser la rigidité de l’ensemble du pont (dalle et poutres) qui résiste alors très bien à cette situation accidentelle. La plastification de la poutre chargée n’est pas uniquement le seul inconvénient d’un ouvrage réalisé sans diaphragme. Les réactions d’appuis sont aussi bien différentes. En effet l’absence d’entretoisement ne permet pas de

x 5 x 5

Chapitre 3


129

redistribuer les forces sur l’ensemble des huit appareils d’appuis. 50% de la force horizontale est repris par l’appui 1 (les 6 degrés de liberté sont bloqués) de la poutre chargée (fig. 3.75) alors qu’en présence du diaphragme, l’appui le plus chargé reprend 23% du chargement. On conçoit alors aisément que dans le cas sans diaphragme, l’appui qui reprend seul 500 KN peut subir des dommages importants. Cette différence de contribution des appareils d’appuis existe aussi dans la direction verticale mais de façon moins importante. Sans diaphragme l’appui le plus chargé reprend 17 % du chargement alors qu’avec le diaphragme, il ne reprend que 12% (fig. 3.76).

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 3,2 6,4 9,6Position des poutres (m)

Réa

ctio

n d'

appu

i (%

)

avec diaphragme - appui1


sans diaphragme - appui1

sans diaphragme -appui 2

02468

101214161820


Réa

ctio

n d'

appu

i (%

)





Figure 3.75 : Pourcentage de réaction d’appui dans la direction horizontale

Figure 3.76 : Pourcentage de réaction d’appui dans la direction verticale

Notre chargement est positionné exactement à mi-portée donc au niveau du diaphragme et bien évidemment ce cas de figure est peu probable. De plus, l’influence du diaphragme est obligatoirement augmentée dans ce cas de figure. Nous avons donc analysé le rôle du diaphragme pour un chargement situé cette fois-ci au quart de la portée (fig. 3.77 et 3.78).

Figure : 3.77 : Déformation plastique sans diaphragme – chargement au quart de la travée

Figure 3.78 : Déformation plastique avec diaphragme – chargement au quart de la travée

Sans diaphragme la poutre chargée se plastifie aussi alors que le pont muni d’un diaphragme intermédiaire reste dans son domaine élastique. Le diaphragme permet donc toujours

Chapitre 3


130

d’assurer la pérennité de l’ouvrage en cas de choc latéral. Au niveau des réactions d’appuis, pour un pont sans diaphragme l’appui le plus chargé reçoit 66 % du chargement horizontal alors que le pont muni d’un diaphragme ne reçoit que 49 % (fig. 3.79). Les réactions d’appuis verticales sont de même intensité (fig.3.80).

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70


Réa

ctio

n d'

appu

i (%

)





02468

101214161820


Réa

ctio

n d'

appu

i (%

)





Figure 3.79 : Pourcentage de réaction d’appui dans la direction horizontale

Figure 3.80 : Pourcentage de réaction d’appui dans la direction verticale

Nous avons aussi analysé le comportement de l’ouvrage muni de raidisseurs verticaux à mi-travée et la plastification de la poutre chargée est aussi obtenue. De plus, la répartition des réactions d’appuis est identique au cas sans diaphragme. Lors d’un choc, seul un entretoisement reliant les poutres entre elles et la dalle permet de répercuter l’énergie du choc sur l’ensemble de l’ouvrage qui ne subit alors aucun endommagement. Cet entretoisement permet de plus de diminuer les efforts dans les appareils d’appuis.

6.3. REMARQUE L’Eurocode 3 partie 1-7 [AFN.04b] permet de s’affranchir des risques de choc de véhicules hors gabarit circulant sous les ponts et pouvant percuter le tablier ou une poutre principale. En effet, la nouvelle version de cette partie de l’Eurocode considère que si la hauteur du pont est augmentée de un mètre par rapport à la hauteur réglementaire par le type de voie de circulant sous l’ouvrage, alors la force à prendre en compte pour représenter l’impact d’un véhicule est multiplié par un coefficient de zéro car statistiquement la probabilité du choc est pratiquement nul. La conception d’un multipoutre mixte avec l’augmentation de la hauteur libre sous l’ouvrage de un mètre permet donc de réduire l’entretoisement intermédiaire à de simple raidisseur d’âme. Mais l’augmentation de cette hauteur libre a un coût sur la construction qui peut largement dépasser celui de la réalisation des diaphragmes. Par contre, il est toujours intéressant de se prémunir des chocs de véhicules et cela peut justifier l’augmentation du coût de l’ouvrage.

Chapitre 3


131

7. CONCLUSIONS DE LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE – ASPECT CRITIQUE DES RESULTATS

L’analyse tridimensionnelle réalisée dans ce chapitre est particulièrement novatrice puisqu’elle a permis de mettre en lumière pour la première fois le phénomène de respiration des poutres dans le cas d’un pont réalisé sans entretoisement intermédiaire. Ce phénomène est d’autant plus important qu’il peut être la cause de certains désordres dans la charpente porteuse de l’ouvrage. En particulier nous avons montré que la vibration des poutres pouvait conduire à des phénomènes de fatigue à la jonction de l’âme et de la semelle supérieure des poutres d’extrémités. Pour autant l’entretoisement de type diaphragme n’est pas absolument nécessaire pour se prémunir de ces risques car la présence de raidisseurs verticaux suffit à s’en affranchir. Cependant si le pont considéré franchit une voie de circulation, le risque d’accident d’un véhicule percutant le tablier ou une poutre est à considérer. Dans ce cas, l’utilisation de raidisseurs ne suffit pas à transmettre l’énergie de l’impact à l’ensemble de l’ouvrage afin de la dissiper sans créer d’endommagement dans la structure. L’utilisation d’un diaphragme nous semble alors recommandée. Cependant, les risques de chocs de véhicule sur l’ouvrage peuvent être considérés comme nuls par l’augmentation de la hauteur libre sous l’ouvrage de un mètre par rapport à la réglementation du type de voie sous l’ouvrage. Mais dans un souci d’impartialité sur notre travail, nous devons rappeler que les résultats présentés dans ce chapitre sont obtenus grâce à l’outil de simulation numérique et qu’ils ne peuvent être par nature, totalement conforme à la réalité. Bien que nous ayons eu à cœur de modéliser le plus fidèlement possible l’ouvrage quadripoutre de la bretelle d’accès de Bonpas, nous avons dû tout au long de notre travail effectuer un certain nombre d’hypothèses qui peuvent modifier, de façon plus ou moins sensible, la réponse de l’ouvrage. Le maillage de l’ouvrage est déjà en soi une simplification importante de la géométrie réelle de l’ouvrage, surtout qu’un certain nombre d’éléments n’ont pas pu être pris en compte, tels que les caniveaux, le ballast, les appareils d’appui, etc. La loi de comportement du béton est obtenue sur des considérations théoriques. La classe du béton n’est pas obligatoirement connue et il est probable que sa résistance soit supérieure à celle prise en compte. Inversement, nous n’avons pas tenu compte de la fissuration du béton sous les différents retraits, comme nous n’avons pas pu considérer le fluage du béton. Ceci implique que lors des calculs des modes propres, les fréquences que nous avons obtenues sont sans doute plus hautes que celles du pont. Ainsi les problèmes de respiration des poutres se produisent peut-être pour des vitesses légèrement plus faibles que celles commerciales en phase d’utilisation du TGV. Néanmoins, le TGV peut circuler à ces vitesses mais le nombre de passage de TGV à ces vitesses sur la durée de l’ouvrage serait alors inférieure à 90 % ce qui réduirait d’autant les cycles de fatigue. Enfin, nous avons volontairement négligé l’amortissement structurel de l’ouvrage car les données sur ce paramètre sont peu fiables et fluctuent d’un pont à l’autre. Seul un amortissement numérique du calcul est pris en compte pour améliorer la stabilité du schéma de H.H.T. La connaissance de l’amortissement du pont permettrait de diminuer les variations de contraintes dans les poutres pendant le passage du train mais plus particulièrement après son passage, lorsque la structure n’est plus soumise qu’à son amortissement. Ceci est d’autant plus important qu’une part importante des variations des contraintes est obtenue après le passage du train.

Chapitre 3


132

Pour finir, la modélisation du train lui-même par des forces réparties est une approximation importante vis à vis de l’effet des amortisseurs des bogies qui limiteraient aussi la réponse dynamique. En tout état de cause, nous pouvons conclure malgré toutes ces imprécisions de calcul, que le positionnement d’un diaphragme intermédiaire à mi-travée semble nécessaire pour empêcher tout risque de vibration des poutres et aussi pour empêcher l’endommagement du pont lors d’un choc de véhicules hors gabarit. Cependant, si les risques de choc de véhicules peuvent être considérés comme nuls, dans le cas où le pont comme celui de Bonpas ne franchit pas de voie de circulation ou dans la cas d’une hauteur libre sous l’ouvrage augmenté de un mètre par rapport à la réglementation, alors la mise en place de raidisseurs d’âmes est une autre solution. Ce qui nous permet d’insister sur le fait que dans toutes modélisations de ce type, le maillage des raidisseurs ne doit jamais être négligé pour une analyse modale et dynamique.

Documents

CHAPITRE 3 ANALYSE NUMERIQUE DE L’ENTRETOISEMENT