Introduction aux Probabilités P.A. Desrousseaux I.U.T. de Béziers Université de Montpellier 2...

Introduction aux Probabilités

P.A. DesrousseauxI.U.T. de BéziersUniversité de Montpellier 2

I.C.F.P. 2009 P.A. Desrousseaux

Les objectifs de la formation

- Revoir ensemble ce qui est exigible et ce que l’on peut faire avec sa classe ; - Discuter de l'intérêt des probabilités dans la vie courante (partie 1) ; - (Re)voir quelques notions essentielles à l'aide d'exemples ; - Par groupes, construire un cours d'introduction aux probabilités ;

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Les objectifs de la formation (suite)

- Discuter de l'intérêt des probabilités dans la vie courante (partie 2) ; - Par groupes, construire une activité, un TD ou, par exemple un devoir ; - Travailler sur les probabilités et les TICE - Construire une séance TICE liée aux probabilités, sur ordinateur ou calculatrice ; - Récolter vos différents documents afin de les mettre à disposition de chacun d'entre vous.

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Les statistiques comme outil d'estimation et d’argumentation critique.

Pourquoi avoir développé les statistiques ?

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Les statistiques comme outil d'estimation et d’argumentation critique.

Pourquoi avoir développé les statistiques ?

* Pour savoir effectuer une étude,

*Savoir synthétiser des résultats, les analyser en les traduisant à l'aidede données (numériques : fréquences, moyennes, médiane, puis plus tard : écart-type, risque... ou graphiques : diagrammes, histogrammes,boîtes à moustaches...),

* Savoir présenter les résultats d’ue étude,

*Faire preuve d'un esprit critique (pertinence des résultats, correctionssaisonnières par lissage, écart significatifs, courbe de Gauss...) vis à vis de ce que l'on présente ou de ce qui nous est présenté dans les journaux et autres.

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Pourquoi développer les probabilités ?

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Pourquoi développer les probabilités ?

* Pour enrichir le langage (chance de..., aléatoire) ;

* Définir de nouveaux concepts pour un mode de pensée pertinent ;

* Pour faire le lien entre la pratique (les relevés statistiques) et la théorie (les probabilités correspondantes).

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Dans les pays voisins (Espagne, Allemagne...) cette introduction est présente au niveau collège depuis plusieurs années.

Depuis quelques années, elle est introduite et tient une place assez importante en lycée.

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Dans les pays voisins (Espagne, Allemagne...) cette introduction est présente au niveau collège depuis plusieurs années.

Depuis quelques années, elle est introduite et tient une place assez importante en lycée.

A titre d ’exemple : Série S : 5 chapitres sur 35.

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Dans les pays voisins (Espagne, Allemagne...) cette introduction est présente au niveau collège depuis plusieurs années.

Depuis quelques années, elle est introduite et tient une place assez importante en lycée.

A titre d ’exemple : Série ES : 7 chapitres sur 28.

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L'introduction aux probabilités est au programme de troisième et mis en application cette année.

Deux textes de référence : Le programme, page 49 : ftp://trf.education.gouv.fr/pub/edutel/bo/2007/hs6/MENE0750668A_annexe2.pdf

Le document d'accompagnement « Probabilités au collège » :http://www.education.fr/D0015/doc_ac_clg_probabilites.pdf

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Ce que dit le Programme : Sur les statistiques en troisième

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Ce que dit le Programme : Sur les probabilités en troisième

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Quels sont, selon vous, les points essentiels ?

- les définitions ;

- les propriétés ;

- les savoir-faire...

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EN VRAC

Expérience aléatoire Issue ou événement élémentaire

Evénement Evénement contraire Probabilité

Evénement impossible, certain Loi de probabilité

Lien fréquence probabilité avec la loi des grands nombres

Evénements incompatibles Equiprobabilité

Expériences aléatoires à deux épreuves Arbre

Somme des branches d'un arbre Probabilité du contraire

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Un Vrai/Faux pour détecter les fausses idées

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Un Vrai/Faux pour détecter les fausses idées (suite)

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En tant qu’enseignants,

* quelles sont les erreurs décelées dans ces exercices ?

* quelle notion principale est en jeu dans ces exercices ?

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La loi (faible) des grands nombres

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Alexandre Khintchine

La loi (faible) des grands nombres

La loi des grands nombres indique que lorsque l'on fait un tirage aléatoire dans une série de grande taille, plus on augmente la taille de l'échantillon, plus les caractéristiques statistiques de l'échantillon se rapprochent des caractéristiques statistiquesde la population ou des probabilités de l’expériencealéatoire.

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Quelques exemples (partie 1)…

... Pour répondre à l’éternelle question :

A quoi ça sert ?

Certains ludiques, d’autres plus sérieux.

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Exemple 1 : Les prévisions météorologiques

Les prévisions météorologiques s'appuient sur des calculsprobabilistes très complexes. La dynamique des fluides est basée sur des mouvements aléatoires (browniens).

Plus les prévisions sont éloignées plus imprécises elles sont. D'où l'apparition dans les bulletins météorologiques des indices de fiabilité.

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Exemple 2 : Les codes correcteurs d’erreurs

C'est une branche des mathématiques qui s'appuie sur les codes détecteurs d'erreurs, par exemple pour les numéros de sécurité sociale (congruence modulo 97) ; et sur les probabilités pour corriger les erreurs.

Très utile pour les transmissions de données.

A titre indicatif, un CD de bonne qualité contient plus de 500 000 erreurs ! (Une seconde de musique contient 1 411 200 bits !)

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Exemple 3 : La cryptographie

Les statistiques, et par extension, les probabilités interviennent également en cryptographie.

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Par exemple, pour savoir dans quelle langue est écrit un message crypté, on se base sur les pourcentages d’apparition des lettres de l’alphabet (ici en français).

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Par exemple, pour savoir dans quelle langue est écrit un message crypté, on se base sur les pourcentages d’apparition des lettres de l’alphabet (ici en français).

Remarques : *A titre indicatif, en anglais : le A : 8,08% et le U : 2,79% *Pour les joueurs de Scrabble : il y a corrélation entre le nombre de pièces et la valeur d'une pièce d'une part et ce tableau de pourcentages d'autre part.

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Exemple 4 : Anniversaires

Si votre classe compte 23 élèves (ou plus), il y a plus d’une chance sur deux que deux de vos élèves soient nés le même jour ;

Si votre classe compte 30 élèves (ou plus), il y a plus de 7 chances sur 10 que deux de vos élèves soient nés le même jour.

Une petite explication et des détails...

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Anniversaires

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Anniversaires

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Exemple 5 : Jeu équitable ou non

En se promenant dans la rue, on croise une personne qui propose le jeu gratuit suivant.

On lance un dé.

* Si le chiffre obtenu est pair, alors on gagne 2 euros ; * Si le chiffre obtenu est 1 ou 3, alors on perd 1 euro ; * Si le chiffre obtenu est 5, alors on perd 5 euros.

A-t-on intérêt à jouer ?

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La réponse est NON

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Exemple 6 : Comment perdre au casino ?

Il suffit de jouer ! Les machines à sous sont programmées pour ne reverser qu'à peu près 60% des mises. Par exemple : Trois rouleaux au bandit manchot de 4 possibilités chacun, dont le fameux « 7 ». * Vous avez donc 1 chance sur 4x4x4 de gagner. * Vous misez 1 euro par jeu. * Lorsque vous gagnez, la machine devrait vous verser 4x4x4=64 euros. * A la place, elle vous versera 60% de 64 euros, c'est à dire 38,4 euros... * Gain pour le casino, même si vous gagnez : 25,6 euros !

Le jeu le moins pénalisant est la mise simple sur un numéro à la roulette.

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Exemple 7 : Comment gagner au Loto ?

“100% des gagnants ont tenté leur chance”

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Probabilités de sortie :

1er numéro 2ème numéro 3ème numéro 4ème numéro 5ème numéro 6ème numéro

6/49 5/48 4/47 3/46 2/45 1/44

Chance d'avoir les six numéros gagnants :

p =(6/49)x(5/48)x(4/47)x(3/46)x(2/45)x(1/44) =1/13 983 816 (1/combinaison (49;6))

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Chance d'avoir les six numéros gagnants :

p =(6/49)x(5/48)x(4/47)x(3/46)x(2/45)x(1/44) =1/13 983 816 (1/combinaison (49;6))

Une chance sur 14 millions de gagner, cela veut dire que si je remplis toutes les grilles, à 0,60 euro la grille, je suis sûr de gagner le gros lot… Qu’en pensent les élèves ?

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Exemple 8 : Décision des autorités médicales Une région est touchée par une épidémie. Un individu peut être : I : immunisé M : malade S : ni immunisé, ni malade

On observe que, d'une semaine sur l'autre : * étant immunisé, il peut le rester avec une probabilité de 0,9 ; ou passer à l'état S avec une probabilité de 0,1 ; * étant à l'état S, il peut le rester avec une probabilité de 0,5 ; ou tomber malade avec une probabilité de 0,5 ; * étant malade, il peut le rester avec une probabilité de 0,2 ; ou devenir immunisé avec une probabilité de 0,8.

Les autorités médicales décideront de lancer une campagne de vaccination si les prévisions à long terme conduisent à une probabilité d'être malade supérieure à 9 sur 100. Que décider ?

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On traduit cette situation aléatoire par le graphe probabiliste suivant :

Puis, ce graphe est écrit sous forme de matrice :

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Fin des exemples (partie 1)

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Préparation d’un cours par groupes

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Quelques exemples (partie 2)…

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Exemple 8 : La couleur ou vous êtes cuits

Vous êtes trois amis explorateurs et avez été faits prisonniers par les indiens.

Ils vous attachent à des poteaux et vous proposent le jeu suivant :

- Ils vous ont placé un chapeau sur la tête, blanc ou noir.- Chacun voit la couleur des chapeaux des deux autres, mais pas du sien.- Chacun doit écrire sur un papier la couleur de son chapeau ou s’abstenir.- Vous ne serez pas cuits, puis mangés si l’un au moins se prononce et si ce qui est dit est juste.

Remarque : Vous pouvez vous concerter avant le début du jeu.

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Stratégie simple :

Ils décident que deux s’abstiennent et que le troisième répond au hasard.Probabilité de ne pas être mangé : 1/2

Stratégie élaborée :

Utiliser les informations détenues par les autres pour augmenter ses chances.

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Meilleure stratégie :

Si l’un voit la même couleur de chapeaux sur la tête des deux autres,il dit alors que son chapeau est de l’autre couleur. Sinon, il s’abstient.

Gagné : ou

Perdu : ou

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Probabilité de ne pas se faire cuire puis manger : 3/4

- Existe-t-il une meilleure stratégie ? Non.

- Existe-t-il une autre façon d’obtenir 3/4 ? Mathématiquement : Oui Moralement : Non

(Géométrie dans l’espace et codes correcteurs d’erreurs)

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Géométriquement…

(1;0;0) (0;1;1) Gagné : (0;1;0) ou (1;0;1)

(0;0;1) (1;1;0) Perdu : (0;0;0) ou (1;1;1)

Moralement, c’est la même chose si on change le centre des boules.

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Pour les détecteurs d’erreurs

En réalité, on n’utilise pas la distance dans R^3, mais la distance de Hamming

Mot : ensemble de lettres Lettres : 0 ou 1

Exemple :Les mots 110011 et 101011 sont à une distance 2

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Boules de centres 000 et 111 et de rayon 1

Boules de centres 010 et 101 et de rayon 1

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Sphères de centres 000 et 111 et de rayon 2

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Supposons que sur un mot de deux lettres xy, on cherche à détecter une erreur

On peut envoyer le mot de trois lettres suivant :

xyz avec z=x+y modulo 2

Exemples : 110 011

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Ainsi : Mots autorisés Mots interdits

000 001110 111101 100011 010

Chaque mot d’une sphère est renvoyé sur un seul mot de l’autre !

L’erreur est détectée et corrigée !

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Exemple 9 : Drame au petit-déjeuner

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On note M l’événement : “la tartine est tombée du mauvais côté”.

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Exemple 10 : Vérifier le fonctionnement d'une machine Tests d'hypothèses – Fluctuations d'échantillonnage

Sur une chaîne de fabrication de téléphones portables,un robot est programmé pour pulvériser 1 cl de peinturesur l'enveloppe du téléphone.

Au début de chaque mois, on teste un échantillon de 50 pulvérisations pour s'assurer que le robot est bien réglé.

Par exemple, le 1er janvier, on obtient une moyenne de 0,99 cl pour l’échantillon.

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Que conclure ? Le robot est-il bien réglé ou non ?

A l'aide des probabilités (et de la loi Normale), on détermine un intervalle d'acceptation.

- Lorsque le volume observé sur l'échantillonest dans cet intervalle, on « affirme » (avec un risque d'erreur déterminé) que le robot fonctionne bien.

- Sinon, qu'il fonctionne mal.

Remarque : On peut commettre deux types d'erreurs : 1. erreur de première espèce :

dire que le robot fonctionne bien alors qu'il fonctionne mal2. erreur de deuxième espèce : dire que le robot fonctionne mal alors qu'il fonctionne bien.

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Pour celles et ceux que cela intéresse…

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Exemple 11 : Accidents d’avions - La série noire ?

Savoir décider du caractère exceptionnel d'un événement.

L'exemple de la liste noire des compagnies aériennes suite à une recrudescence des accidents d'avions durant le mois d'août 2004.

Cette série d'accidents était-elle due aux manques deresponsabilités de certaines compagnies ? Ou au hasard ?

La réponse dans un des exercices T.I.C.E.

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Création d’une activité, d’un T.P. et/ou d’un devoir.

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Vers la mise en place d’une séance T.I.C.E.

Les “outils probabilistes” sont les plus efficacespour résoudre les problèmes liés aux probabilités.(merci : on s’en serait douté !).

Trois autres exemples de “résolutions” qui peuvent être effectuées par vos élèves.- essayer ;- utiliser la géométrie ;- utiliser les T.I.C.E.

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Le lancer de punaise : l’expérimentation

Lorsqu'on effectue le lancer d'une punaise, elle peut retomber de deux manières différentes :

- Lorsqu'on effectue un petit nombre de lancers successifs, la fréquence des résultats : Position 1 ou Position 0 ne semble suivre aucune loi. - Par contre, en lançant un grand nombre de fois la punaise, on voit apparaître une certaine régularité dans les fréquences obtenues. Cela permet de mettre en évidence une probabilité de tomber sur chacune des positions. Mais...

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Le jeu de franc carreau : la géométrie

Le jeu consiste à lancer une pièce (de 1 cm de rayon, par exemple)sur un quadrillage dont les carreaux sont des carrés (de 10cm decôté, par exemple).

On dit qu’on obtient :- FRANC CARREAU, lorsque la pièce tombe entièrementdans un carreau (elle peut toucher le bord) ;

- PAS FRANC CARREAU, sinon.

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Le jeu de franc carreau : la géométrie

On peut, là encore expérimenter avec les élèves.Relever des fréquences qui devraient tendre vers la probabilité cherchée :

p(FRANC CARREAU)

Ou, utiliser des considérations géométriques :- que faut-il pour obtenir FRANC CARREAU ?- et si on change la taille de la pièce ?- et si on change la taille des carreaux ?

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Utiliser les T.I.C.E.

- Quelques rappels sur les formules usuelles ;

- Exercice 1 : Deux points sur un segment ;

- Exercice 2 : Accidents d’avions (plus difficile) ;

- Exercice 3 : Lancer de dé (plus classique).

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Création d’une séance T.I.C.E.

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Cette présentation se trouve sur le lien suivant :

http://desrousseaux.pa.free.fr/PagePersonnelle2008/ICFP.html

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