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INTRODUCTION
QUELQUES REPÈRES HISTORIQUES
M. Delfour
Département de mathématiques et de statistiqueUniversité de Montréal
2 septembre 2016
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 1 / 33
PLAN
1 RÈGLE DE FERMAT
Pierre de Fermat
2 NOTION DE DÉRIVÉE
3 NOTION DE DIFFÉRENTIELLE COMME LIMITE
4 QUELQUES PROFILS
Gottfried Wilhelm von LeibnizIsaac NewtonThéorème de RolleKarl Weierstrass
5 RAPPELS D’ANALYSE
Plus petite borne supérieure et plus grande borne inférieureR
n et Espace EuclidienEnsembles ouverts, fermés ou compacts
6 AUTRES
Heinrich Eduard HeineÉmile BorelBrook Taylor
7 RÉFÉRENCES
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 2 / 33
DÉRIVÉESPIERRE DE FERMAT (1601-1665)
FIGURE 1: Pierre de Fermat, conseiller au parlement de Toulouse, (1601-1665)
La première idée du calcul différentiel et la règle pour le calcul des extrema(Methodus ad disquirendam Maximam et Minimam, 1637)
remontent à Pierre de Fermat 1 dont les découvertes en théorie des nombres ontéclipsé ses contributions aux autres domaines des mathématiques.
1. Pierre Fermat, 17 août 1601 (Beaumont-de-Lomagne, France) - 12 janvier 1665.M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 3 / 33
PLAN
1 RÈGLE DE FERMAT
Pierre de Fermat
2 NOTION DE DÉRIVÉE
3 NOTION DE DIFFÉRENTIELLE COMME LIMITE
4 QUELQUES PROFILS
Gottfried Wilhelm von LeibnizIsaac NewtonThéorème de RolleKarl Weierstrass
5 RAPPELS D’ANALYSE
Plus petite borne supérieure et plus grande borne inférieureR
n et Espace EuclidienEnsembles ouverts, fermés ou compacts
6 AUTRES
Heinrich Eduard HeineÉmile BorelBrook Taylor
7 RÉFÉRENCES
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 4 / 33
DÉRIVÉESLE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET LA NOTION DE DÉRIVÉE CRÉÉS AU XVIIE SIÈCLE
Près de 50 ans après Pierre de Fermat en 1637, la notion de dérivée a vu le jourdans les écrits de Leibniz 2 (1684 3) et de Newton 4 (1691) qui la nomme fluxion et quila définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».
La règle de Fermat pour l’extremum d’une fonction algébrique est donc en mêmetemps généralisée par Leibniz sous la forme f ′(x) = 0 en 1684.
Le domaine fut subséquemment tourmenté par une querelle de priorité entre lesdeux inventeurs du calcul pendant près de 50 ans. Les notations
f (x)(Newton),df
dx(x)(Leibnitz), f
′(x)(Lagrange)
2. Gottfried Wilhelm Leibniz, 1 juillet 1646 (Leipzig, Allemagne) - 14 novembre 1716.3. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates
moratur, et singulare pro illis calculi genus (Une nouvelle méthode pour les maxima et minima ainsi que lestangentes, qui ne sont limités à des expressions ni fractionnaires ni irrationnelles, et un type remarquable decalcul pour celles-ci), dans Acta Eruditorum, 1684, un journal fondé à Leipzig deux ans plus tôt.
4. Sir Isaac Newton, 4 janvier 1643 (Woolsthorpe-by-Colsterworth, Angleterre) - 31 mars 1728.M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 5 / 33
DÉRIVÉESLE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET LA NOTION DE DÉRIVÉE CRÉÉS AU XVIIE SIÈCLE
Près de 50 ans après Pierre de Fermat en 1637, la notion de dérivée a vu le jourdans les écrits de Leibniz 2 (1684 3) et de Newton 4 (1691) qui la nomme fluxion et quila définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».
La règle de Fermat pour l’extremum d’une fonction algébrique est donc en mêmetemps généralisée par Leibniz sous la forme f ′(x) = 0 en 1684.
Le domaine fut subséquemment tourmenté par une querelle de priorité entre lesdeux inventeurs du calcul pendant près de 50 ans. Les notations
f (x)(Newton),df
dx(x)(Leibnitz), f
′(x)(Lagrange)
2. Gottfried Wilhelm Leibniz, 1 juillet 1646 (Leipzig, Allemagne) - 14 novembre 1716.3. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates
moratur, et singulare pro illis calculi genus (Une nouvelle méthode pour les maxima et minima ainsi que lestangentes, qui ne sont limités à des expressions ni fractionnaires ni irrationnelles, et un type remarquable decalcul pour celles-ci), dans Acta Eruditorum, 1684, un journal fondé à Leipzig deux ans plus tôt.
4. Sir Isaac Newton, 4 janvier 1643 (Woolsthorpe-by-Colsterworth, Angleterre) - 31 mars 1728.M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 5 / 33
PLAN
1 RÈGLE DE FERMAT
Pierre de Fermat
2 NOTION DE DÉRIVÉE
3 NOTION DE DIFFÉRENTIELLE COMME LIMITE
4 QUELQUES PROFILS
Gottfried Wilhelm von LeibnizIsaac NewtonThéorème de RolleKarl Weierstrass
5 RAPPELS D’ANALYSE
Plus petite borne supérieure et plus grande borne inférieureR
n et Espace EuclidienEnsembles ouverts, fermés ou compacts
6 AUTRES
Heinrich Eduard HeineÉmile BorelBrook Taylor
7 RÉFÉRENCES
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 6 / 33
DÉRIVÉESLE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET LA NOTION DE DÉRIVÉE CRÉÉS AU XVIIE SIÈCLE
La règle de Fermat pour l’extremum d’une fonction algébrique est donc en mêmetemps généralisée par Leibniz sous la forme f ′(x) = 0 en 1684.
Cette condition est utilisée en 1691 dans la démonstration du Théorème de Rolle 5
qui mène et à la règle de L’Hôpital en 1696 6.Plusieurs mathématiciens, incluant Maclaurin, essayèrent de démontrer le
bien-fondé de l’utilisation des infinitésimaux.Ce n’est que 150 ans plus tard, que les travaux de Cauchy et de Weierstrass 7
préciseront la notion de limite et permettront finalement d’éviter les notionsrudimentaires de quantités infinitésimales.
Le calcul différentiel et intégral pourra alors s’appuyer sur des bases solides.
5. Michel Rolle, 21 avril 1652 (Ambert, France)- 8 novembre 1719 (Paris).6. Guillaume François Antoine de l’Hôpital (1661-1704)7. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (1815–1897)M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 7 / 33
DÉRIVÉESLE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET LA NOTION DE DÉRIVÉE CRÉÉS AU XVIIE SIÈCLE
La règle de Fermat pour l’extremum d’une fonction algébrique est donc en mêmetemps généralisée par Leibniz sous la forme f ′(x) = 0 en 1684.
Cette condition est utilisée en 1691 dans la démonstration du Théorème de Rolle 5
qui mène et à la règle de L’Hôpital en 1696 6.Plusieurs mathématiciens, incluant Maclaurin, essayèrent de démontrer le
bien-fondé de l’utilisation des infinitésimaux.Ce n’est que 150 ans plus tard, que les travaux de Cauchy et de Weierstrass 7
préciseront la notion de limite et permettront finalement d’éviter les notionsrudimentaires de quantités infinitésimales.
Le calcul différentiel et intégral pourra alors s’appuyer sur des bases solides.
5. Michel Rolle, 21 avril 1652 (Ambert, France)- 8 novembre 1719 (Paris).6. Guillaume François Antoine de l’Hôpital (1661-1704)7. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (1815–1897)M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 7 / 33
LA SUITE...
• fonctions différentiables dans Rn, n ≥ 2 (Jacobi, Weierstrass)
• 1735 - Calcul des variations (Euler) - fonctions de fonctions
• 1744-46 -Maupertuis- Principe de moindre action
• 1786-87 - Lagrange - Règle des ultiplicateurs (contraintes d’égalité)
• 1801-1883 - Problèmes de Plateaux (surfaces minimales)
• 1939 - Karush - règle des multiplicateurs (contraintes d’inégalité)
• 1939 - Kantorovich - programmation linéaire
• 1947 - John von Neumann - dualité - minimax - jeux -équilibres de Pareto et deNash
• 1947 - George Dantzig - algorithme du simplex
• 1954 - Kuhn-Tucker
Pendant trois siècles, la règle de Fermat sera appliquée, justifiée, adaptée, etgénéralisée dans le contexte de la théorie de l’optimisation, du calcul des variations, etde la théorie du contrôle optimal. Il faut signaler les travaux intensifs de Euler (XVIIIè),Lagrange et Jacobi (XIXè), et de Poincaré et Hilbert (début du XXè).
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 8 / 33
LA SUITE...
• fonctions différentiables dans Rn, n ≥ 2 (Jacobi, Weierstrass)
• 1735 - Calcul des variations (Euler) - fonctions de fonctions
• 1744-46 -Maupertuis- Principe de moindre action
• 1786-87 - Lagrange - Règle des ultiplicateurs (contraintes d’égalité)
• 1801-1883 - Problèmes de Plateaux (surfaces minimales)
• 1939 - Karush - règle des multiplicateurs (contraintes d’inégalité)
• 1939 - Kantorovich - programmation linéaire
• 1947 - John von Neumann - dualité - minimax - jeux -équilibres de Pareto et deNash
• 1947 - George Dantzig - algorithme du simplex
• 1954 - Kuhn-Tucker
Pendant trois siècles, la règle de Fermat sera appliquée, justifiée, adaptée, etgénéralisée dans le contexte de la théorie de l’optimisation, du calcul des variations, etde la théorie du contrôle optimal. Il faut signaler les travaux intensifs de Euler (XVIIIè),Lagrange et Jacobi (XIXè), et de Poincaré et Hilbert (début du XXè).
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 8 / 33
PLAN
1 RÈGLE DE FERMAT
Pierre de Fermat
2 NOTION DE DÉRIVÉE
3 NOTION DE DIFFÉRENTIELLE COMME LIMITE
4 QUELQUES PROFILS
Gottfried Wilhelm von LeibnizIsaac NewtonThéorème de RolleKarl Weierstrass
5 RAPPELS D’ANALYSE
Plus petite borne supérieure et plus grande borne inférieureR
n et Espace EuclidienEnsembles ouverts, fermés ou compacts
6 AUTRES
Heinrich Eduard HeineÉmile BorelBrook Taylor
7 RÉFÉRENCES
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 9 / 33
DÉRIVÉESGOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ
FIGURE 2: Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716)
Leibniz est un philosophe, scientifique, mathématicien, diplomate, bibliothécaire ethomme de loi allemand qui a écrit en latin, français et allemand.
ll est envoyé en 1672 à Paris, en mission diplomatique. Il y reste jusqu’en 1676 et yrencontre les grands savants de l’époque : Huygens et Malebranche, entre autres. Il seconsacre aux mathématiques et laisse à Paris son manuscrit sur la quadraturearithmétique du cercle. Il travaille également sur ce qui sera le calcul infinitésimal. Ilconçoit en 1673 une machine à calculer qui permet d’effectuer les quatre opérations, etqui inspirera bien des machines à calculer du XIXe et XXe siècle (Thomas de Colmar,Curta). Avant de rejoindre Hanovre, il se rend à Londres étudier certains écrits d’IsaacNewton, jetant, tous les deux, les bases du calcul intégral et différentiel en 1684 (Nova
methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec
irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus).◮ Pascaline : Blaise Pascal (1623-1662).
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 10 / 33
DÉRIVÉESSIR ISAAC NEWTON
FIGURE 3: Sir Isaac Newton (1643-1727)
Newton est un philosophe, mathématicien, physicien et astronome anglais. Figureemblématique des sciences, il est surtout reconnu pour sa théorie de la gravitationuniverselle et, en mathématiques, la création, en concurrence avec Leibniz, du calculinfinitésimal en 1691 (Leibniz, 1684). Il nomme fluxion ce qui deviendra la notion dedérivée et la définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».
Il est aussi connu pour la généralisation du théorème du binôme et l’invention dite dela méthode de Newton permettant de trouver des approximations d’un zéro (ou racine)d’une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 11 / 33
DÉRIVÉESMICHEL ROLLE (1652-1719)
FIGURE 4: Michel Rolle né à Ambert le 21 avril 1652 et mort à Paris le 8 novembre 1719
Michel Rolle est un mathématicien français principalement connu pour avoir établi etpublié en 1691, dans le cas particulier des polynômes réels à une variable, unepremière version du théorème qui porte maintenant son nom. En 1689, il écrit unarticle en algèbre, qui contient le théorème sur la position des zéros d’une équation.En 1675, il se relocalise à Paris où il travaille en tant que spécialiste de l’arithmétique.Rolle œuvra surtout dans l’analyse, l’algèbre, et la géométrie Diophantine. En 1685, ilest élu à l’Académie Royale des Sciences.
Rolle gagna aussi quelque notoriété en résolvant un problème posé par JacquesOzanam en 1682. Impressionné par la réalisation de Rolle, Jean-Baptiste Colbert,contrôleur général des finances sous le roi Louis XIV de France, lui fit verser unepension pour le recompenser de son travail consciencieux.
Il adopta aussi, pour désigner la racine n-ième d’un réel x , la notation normalisée :n√
x .M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 12 / 33
DÉRIVÉESMICHEL ROLLE (1652-1719)
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 13 / 33
CONCEPTS TOPOLOGIQUES, NOTION DE LIMITEKARL WEIERSTRASS
FIGURE 5: Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (1815–1897), mathématicien allemand
Souvent cité comme le « père de l’analyse moderne », il consolida des travaux deCauchy (1789-1857) sur les nombres irrationnels et leur amena une nouvellecompréhension.
Il eut comme étudiants Sofia Kovalevskaïa et Georg Cantor. Ne pouvant s’inscrire àl’université du fait de son sexe, Kovalevskaïa suit les cours privés de Karl Weierstrasset de Hermann Ludwig von Helmholtz. Elle est la première femme au monde à obtenirun doctorat de mathématiques, en 1874 à l’université de Göttingen.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 14 / 33
PLAN
1 RÈGLE DE FERMAT
Pierre de Fermat
2 NOTION DE DÉRIVÉE
3 NOTION DE DIFFÉRENTIELLE COMME LIMITE
4 QUELQUES PROFILS
Gottfried Wilhelm von LeibnizIsaac NewtonThéorème de RolleKarl Weierstrass
5 RAPPELS D’ANALYSE
Plus petite borne supérieure et plus grande borne inférieureR
n et Espace EuclidienEnsembles ouverts, fermés ou compacts
6 AUTRES
Heinrich Eduard HeineÉmile BorelBrook Taylor
7 RÉFÉRENCES
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 15 / 33
BBORNE SUPÉRIEURE ET BORNE INFÉRIEURE
R nombres réels,
R+déf= {x ∈ R : x ≥ 0} R
+ déf= {x ∈ R : x > 0}
Rdéf= R ∪ {±∞} nombres réels étendus
DÉFINITION
∅ 6= A ⊂ R.
(i) A est borné supérieurement s’il existe b ∈ R tel que
∀a ∈ A, a ≤ b
et b est appelé borne supérieure de A ;
(ii) A est borné inférieurement s’il existe b ∈ R tel que
∀a ∈ A, b ≤ a.
et b est appelé borne inférieure de A ;
(iii) A est borné s’il est borné inférieurement et supérieurement. .
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 16 / 33
PLUS PETITE BORNE SUPÉRIEURE ET PLUS GRANDE BORNE INFÉRIEURESUPREMUM ET INFIMUM
DÉFINITION
Soit ∅ 6= A ⊂ R.
a) Soit A un ensemble borné supérieurement. On dit que b0 est est la plus petiteborne supérieure de A si
i) b0 est une borne supérieure de A,ii) pour toute borne supérieure M de A, on a b0 ≤ M.
La plus petite borne supérieure b0 de A est unique et sera notée sup A.b) Soit A un ensemble borné inférieurement. On dit que b0 est est la plus grande
borne inférieure de A sii) b0 est une borne inférieure de A,
ii) pour toute borne inférieure m de A, on a b0 ≥ m.
La plus grande borne inférieure b0 de A est unique et sera notée inf A.
Lorsque A n’est pas borné supérieurement, on posera sup A = +∞Lorsque A n’est pas borné inférieurement, on posera inf A = −∞◮ Si A 6= ∅, alors −∞ ≤ inf A ≤ sup A ≤ +∞.◮ Si A = ∅, alors par convention on posera inf∅ = +∞ et sup∅ = −∞.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 17 / 33
PLUS PETITE BORNE SUPÉRIEURE ET PLUS GRANDE BORNE INFÉRIEURESUPREMUM ET INFIMUM
DÉFINITION
Soit ∅ 6= A ⊂ R.
a) Soit A un ensemble borné supérieurement. On dit que b0 est est la plus petiteborne supérieure de A si
i) b0 est une borne supérieure de A,ii) pour toute borne supérieure M de A, on a b0 ≤ M.
La plus petite borne supérieure b0 de A est unique et sera notée sup A.b) Soit A un ensemble borné inférieurement. On dit que b0 est est la plus grande
borne inférieure de A sii) b0 est une borne inférieure de A,
ii) pour toute borne inférieure m de A, on a b0 ≥ m.
La plus grande borne inférieure b0 de A est unique et sera notée inf A.
Lorsque A n’est pas borné supérieurement, on posera sup A = +∞Lorsque A n’est pas borné inférieurement, on posera inf A = −∞◮ Si A 6= ∅, alors −∞ ≤ inf A ≤ sup A ≤ +∞.◮ Si A = ∅, alors par convention on posera inf∅ = +∞ et sup∅ = −∞.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 17 / 33
PLUS PETITE BORNE SUPÉRIEURE ET PLUS GRANDE BORNE INFÉRIEURESUPREMUM ET INFIMUM
DÉFINITION
Soit ∅ 6= A ⊂ R.
a) Soit A un ensemble borné supérieurement. On dit que b0 est est la plus petiteborne supérieure de A si
i) b0 est une borne supérieure de A,ii) pour toute borne supérieure M de A, on a b0 ≤ M.
La plus petite borne supérieure b0 de A est unique et sera notée sup A.b) Soit A un ensemble borné inférieurement. On dit que b0 est est la plus grande
borne inférieure de A sii) b0 est une borne inférieure de A,
ii) pour toute borne inférieure m de A, on a b0 ≥ m.
La plus grande borne inférieure b0 de A est unique et sera notée inf A.
Lorsque A n’est pas borné supérieurement, on posera sup A = +∞Lorsque A n’est pas borné inférieurement, on posera inf A = −∞◮ Si A 6= ∅, alors −∞ ≤ inf A ≤ sup A ≤ +∞.◮ Si A = ∅, alors par convention on posera inf∅ = +∞ et sup∅ = −∞.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 17 / 33
PLUS PETITE BORNE SUPÉRIEURE ET PLUS GRANDE BORNE INFÉRIEURESUPREMUM ET INFIMUM
DÉFINITION
Soit ∅ 6= A ⊂ R.
a) Soit A un ensemble borné supérieurement. On dit que b0 est est la plus petiteborne supérieure de A si
i) b0 est une borne supérieure de A,ii) pour toute borne supérieure M de A, on a b0 ≤ M.
La plus petite borne supérieure b0 de A est unique et sera notée sup A.b) Soit A un ensemble borné inférieurement. On dit que b0 est est la plus grande
borne inférieure de A sii) b0 est une borne inférieure de A,
ii) pour toute borne inférieure m de A, on a b0 ≥ m.
La plus grande borne inférieure b0 de A est unique et sera notée inf A.
Lorsque A n’est pas borné supérieurement, on posera sup A = +∞Lorsque A n’est pas borné inférieurement, on posera inf A = −∞◮ Si A 6= ∅, alors −∞ ≤ inf A ≤ sup A ≤ +∞.◮ Si A = ∅, alors par convention on posera inf∅ = +∞ et sup∅ = −∞.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 17 / 33
PLUS PETITE BORNE SUPÉRIEURE ET PLUS GRANDE BORNE INFÉRIEURESUPREMUM ET INFIMUM
DÉFINITION
Soit ∅ 6= A ⊂ R.
a) Soit A un ensemble borné supérieurement. On dit que b0 est est la plus petiteborne supérieure de A si
i) b0 est une borne supérieure de A,ii) pour toute borne supérieure M de A, on a b0 ≤ M.
La plus petite borne supérieure b0 de A est unique et sera notée sup A.b) Soit A un ensemble borné inférieurement. On dit que b0 est est la plus grande
borne inférieure de A sii) b0 est une borne inférieure de A,
ii) pour toute borne inférieure m de A, on a b0 ≥ m.
La plus grande borne inférieure b0 de A est unique et sera notée inf A.
Lorsque A n’est pas borné supérieurement, on posera sup A = +∞Lorsque A n’est pas borné inférieurement, on posera inf A = −∞◮ Si A 6= ∅, alors −∞ ≤ inf A ≤ sup A ≤ +∞.◮ Si A = ∅, alors par convention on posera inf∅ = +∞ et sup∅ = −∞.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 17 / 33
PLUS PETITE BORNE SUPÉRIEURE ET PLUS GRANDE BORNE INFÉRIEURESUPREMUM ET INFIMUM
DÉFINITION
Soit ∅ 6= A ⊂ R.
a) Soit A un ensemble borné supérieurement. On dit que b0 est est la plus petiteborne supérieure de A si
i) b0 est une borne supérieure de A,ii) pour toute borne supérieure M de A, on a b0 ≤ M.
La plus petite borne supérieure b0 de A est unique et sera notée sup A.b) Soit A un ensemble borné inférieurement. On dit que b0 est est la plus grande
borne inférieure de A sii) b0 est une borne inférieure de A,
ii) pour toute borne inférieure m de A, on a b0 ≥ m.
La plus grande borne inférieure b0 de A est unique et sera notée inf A.
Lorsque A n’est pas borné supérieurement, on posera sup A = +∞Lorsque A n’est pas borné inférieurement, on posera inf A = −∞◮ Si A 6= ∅, alors −∞ ≤ inf A ≤ sup A ≤ +∞.◮ Si A = ∅, alors par convention on posera inf∅ = +∞ et sup∅ = −∞.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 17 / 33
PLUS PETITE BORNE SUPÉRIEURE ET PLUS GRANDE BORNE INFÉRIEURECONDITIONS ÉQUIVALENTES
Lorsque A est un ensemble fini, inf A ∈ A et sup A ∈ A. Lorsque A n’est pas unensemble fini et que par exemple inf A /∈ A, il peut être intéressant de construire unesuite d’éléments de A qui converge vers inf A. Dans ce cas, on peut utiliser lesconditions équivalentes suivantes.
THÉORÈME
Soit ∅ 6= A ⊂ R.
a) b0 est la plus petite borne supérieure de A si et seulement si
i) b0 est une borne supérieure de A,ii’) pour tout M tel que b0
> M, il existe x0 ∈ A tel que b0 ≥ x0 > M.
b) b0 est la plus grande borne inférieure de A si et seulement si
i) b0 est une borne inférieure de A,ii’) pour tout m tel que b0 < m, il existe x0 ∈ A tel que b0 ≤ x0 < m.
EXEMPLE
Par exemple si b0 = sup A est finie et b0 /∈ A, on construit pour chaque n ∈ N, xn ∈ A
tel que b0 ≥ xn > b0 − 1/n. Cette suite comporte un nombre infini d’éléments.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 18 / 33
PLUS PETITE BORNE SUPÉRIEURE ET PLUS GRANDE BORNE INFÉRIEURECONDITIONS ÉQUIVALENTES
Lorsque A est un ensemble fini, inf A ∈ A et sup A ∈ A. Lorsque A n’est pas unensemble fini et que par exemple inf A /∈ A, il peut être intéressant de construire unesuite d’éléments de A qui converge vers inf A. Dans ce cas, on peut utiliser lesconditions équivalentes suivantes.
THÉORÈME
Soit ∅ 6= A ⊂ R.
a) b0 est la plus petite borne supérieure de A si et seulement si
i) b0 est une borne supérieure de A,ii’) pour tout M tel que b0
> M, il existe x0 ∈ A tel que b0 ≥ x0 > M.
b) b0 est la plus grande borne inférieure de A si et seulement si
i) b0 est une borne inférieure de A,ii’) pour tout m tel que b0 < m, il existe x0 ∈ A tel que b0 ≤ x0 < m.
EXEMPLE
Par exemple si b0 = sup A est finie et b0 /∈ A, on construit pour chaque n ∈ N, xn ∈ A
tel que b0 ≥ xn > b0 − 1/n. Cette suite comporte un nombre infini d’éléments.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 18 / 33
PLUS PETITE BORNE SUPÉRIEURE ET PLUS GRANDE BORNE INFÉRIEURECONDITIONS ÉQUIVALENTES
Lorsque A est un ensemble fini, inf A ∈ A et sup A ∈ A. Lorsque A n’est pas unensemble fini et que par exemple inf A /∈ A, il peut être intéressant de construire unesuite d’éléments de A qui converge vers inf A. Dans ce cas, on peut utiliser lesconditions équivalentes suivantes.
THÉORÈME
Soit ∅ 6= A ⊂ R.
a) b0 est la plus petite borne supérieure de A si et seulement si
i) b0 est une borne supérieure de A,ii’) pour tout M tel que b0
> M, il existe x0 ∈ A tel que b0 ≥ x0 > M.
b) b0 est la plus grande borne inférieure de A si et seulement si
i) b0 est une borne inférieure de A,ii’) pour tout m tel que b0 < m, il existe x0 ∈ A tel que b0 ≤ x0 < m.
EXEMPLE
Par exemple si b0 = sup A est finie et b0 /∈ A, on construit pour chaque n ∈ N, xn ∈ A
tel que b0 ≥ xn > b0 − 1/n. Cette suite comporte un nombre infini d’éléments.
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PLUS PETITE BORNE SUPÉRIEURE ET PLUS GRANDE BORNE INFÉRIEURECONDITIONS ÉQUIVALENTES
Lorsque A est un ensemble fini, inf A ∈ A et sup A ∈ A. Lorsque A n’est pas unensemble fini et que par exemple inf A /∈ A, il peut être intéressant de construire unesuite d’éléments de A qui converge vers inf A. Dans ce cas, on peut utiliser lesconditions équivalentes suivantes.
THÉORÈME
Soit ∅ 6= A ⊂ R.
a) b0 est la plus petite borne supérieure de A si et seulement si
i) b0 est une borne supérieure de A,ii’) pour tout M tel que b0
> M, il existe x0 ∈ A tel que b0 ≥ x0 > M.
b) b0 est la plus grande borne inférieure de A si et seulement si
i) b0 est une borne inférieure de A,ii’) pour tout m tel que b0 < m, il existe x0 ∈ A tel que b0 ≤ x0 < m.
EXEMPLE
Par exemple si b0 = sup A est finie et b0 /∈ A, on construit pour chaque n ∈ N, xn ∈ A
tel que b0 ≥ xn > b0 − 1/n. Cette suite comporte un nombre infini d’éléments.
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PLUS PETITE BORNE SUPÉRIEURE ET PLUS GRANDE BORNE INFÉRIEURECONDITIONS ÉQUIVALENTES
Lorsque A est un ensemble fini, inf A ∈ A et sup A ∈ A. Lorsque A n’est pas unensemble fini et que par exemple inf A /∈ A, il peut être intéressant de construire unesuite d’éléments de A qui converge vers inf A. Dans ce cas, on peut utiliser lesconditions équivalentes suivantes.
THÉORÈME
Soit ∅ 6= A ⊂ R.
a) b0 est la plus petite borne supérieure de A si et seulement si
i) b0 est une borne supérieure de A,ii’) pour tout M tel que b0
> M, il existe x0 ∈ A tel que b0 ≥ x0 > M.
b) b0 est la plus grande borne inférieure de A si et seulement si
i) b0 est une borne inférieure de A,ii’) pour tout m tel que b0 < m, il existe x0 ∈ A tel que b0 ≤ x0 < m.
EXEMPLE
Par exemple si b0 = sup A est finie et b0 /∈ A, on construit pour chaque n ∈ N, xn ∈ A
tel que b0 ≥ xn > b0 − 1/n. Cette suite comporte un nombre infini d’éléments.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 18 / 33
ESPACE EUCLIDIENPRODUIT CARTÉSIEN, BOULES, ET CONTINUITÉ
Pour un entier n ≥ 1, soit
Rn = R× . . .× R
︸ ︷︷ ︸
n fois
(5.1)
le produit cartésien de dimension n avec les notations suivantes
un élément x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn ou sous forme matricielle ~x =
x1
...xn
la norme ‖x‖Rndéf=
[n∑
i=1
x2i
]1/2
et le produit scalaire x · ydéf=
n∑
i=1
xi yi . (5.2)
On écrira simplement ‖x‖ pour la norme lorsque le contexte le permettra et la flèchesur le vecteur ~x sera souvent omise.
Pour n = 1, ‖x‖R1 coïncide avec la valeur absolue |x |. Rn muni de la multiplication
par un scalaire et de l’addition
∀α ∈ R, x ∈ Rn, α x = (αx1, . . . , αxn)
∀x , y ∈ Rn, x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
est un espace vectoriel sur R de dimension n.M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 19 / 33
ESPACE EUCLIDIENPRODUIT CARTÉSIEN, BOULES, ET CONTINUITÉ
DÉFINITION
La base canonique orthonormale de Rn est l’ensemble {en
i ∈ Rn : 1 ≤ i ≤ n} défini par
(eni )j
déf= δij , δij
déf=
{
1, si i = j
0, si i 6= j ,
c’est-à-dire,
en1 = (1,0, 0, . . . , 0, 0), e
n2 = (0, 1, 0, . . . , 0,0), . . . , e
nn = (0, 0,0, . . . , 0,1).
On vérifie que eni · en
j = δij .
Donc tout x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn peut s’écrire
x =
n∑
i=1
xi eni .
Lorsque le contexte le permettra, on écrira simplement {ei} sans l’indice n.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 20 / 33
ESPACE EUCLIDIENPRODUIT CARTÉSIEN, BOULES, ET CONTINUITÉ
On appelle espace euclidien un espace vectoriel E que l’on peut identifier à Rn via
une bijection linéaire pour un entier n ≥ 1.Par exemple, on peut identifier à R
n l’espace Pn−1[0, 1] des polynômes d’ordreinférieur ou égal à n − 1 dans l’intervalle [0, 1] :
p 7→ (p(0),p′(0), . . . , p(n−1)(0)) : Pn−1[0, 1] → R
n
(p0, p1, . . . , pn−1) 7→ p(x)déf=
n−1∑
i=0
pix i
i !: Rn → P
n−1[0, 1].
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 21 / 33
BOULES OUVERTE, FERMÉE, TROUÉ
Les notions d’ensemble ouvert et d’ensemble fermé dans Rn peuvent être définis à
l’aide de boules.
Boules centrées en x de rayon r > 0 :
ouverte Br (x) = {y ∈ Rn : ‖y − x‖ < r}
fermée Br (x) = {y ∈ Rn : ‖y − x‖ ≤ r}.
Boule unité centrée en 0 :
ouverte : B = {y ∈ Rn : ‖y‖ < 1}; fermée : B = {y ∈ R
n : ‖y‖ ≤ 1}.
Boule ouverte trouée centrée en x :
B′
r (x) = {y ∈ Rn : 0 < ‖y − x‖ < r}.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 22 / 33
CLASSIFICATION DES POINTS PAR RAPPORT À UNE PARTIE UPOINT INTÉRIEURS ET ENSEMBLE OUVERTS
DÉFINITION
Soit U une partie de Rn.
(I) a ∈ Rn est un point intérieur de U s’il existe r > 0 tel que Br (a) ⊂ U.
(II) L’intérieur de U est l’ensemble de tous les points intérieurs de U. On le noteraint U. Par définition int U ⊂ U.
(III) V (x) est un voisinage de x s’il existe r > 0 tel que Br (x) ⊂ V (x).
(IV) A est un ensemble ouvert de Rn pour tout x ∈ A, il existe un voisinage V (x) de x
tel que V (x) ⊂ A.
(V) La famille T de tous les ouverts dans Rn est la topologie de R
n générée par lanorme.
La topologie T de Rn coïncide avec la famille des intersections finies et des réunions
arbitraires des boules ouvertes dans Rn.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 23 / 33
CLASSIFICATION DES POINTS PAR RAPPORT À UNE PARTIE UPOINT D’ACCUMULATION, D’ADHÉRENCE ET ENSEMBLE FERMÉS
DÉFINITION
Soit U une partie de Rn.
(I) a ∈ U est un point isolé de U s’il existe r > 0 tel que B′
r (a) ∩ U = ∅.
(II) a ∈ Rn est un point d’accumulation de U si pour tout r > 0 B′
r (a) ∩ U 6= ∅.
U ′ est l’ensemble des points d’accumulation de U.
DÉFINITION
(I) a ∈ Rn est un point d’adhérence de U si pour tout r > 0 on a Br (a) ∩ U 6= ∅.
(II) L’adhérence (ou fermeture) de U est l’ensemble de tous les points d’adhérence deU. On la notera U.
(III) F est un ensemble fermé s’il contient tous ses points d’accumulation.
(I) De façon équivalente, a est un point d’adhérence ou de la fermeture d’une partieU de R
n si, pour tout voisinage V (a) de a, V (a) ∩ U 6= ∅.(II) L’adhérence de U est égale à l’union de ses points isolés et de ses points
d’accumulation. On a donc U ∪ U ′ = U.(III) Les seules parties de R
n qui soient à la fois ouvertes et fermées sont l’ensemblevide ∅ et l’espace R
n.M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 24 / 33
CLASSIFICATION DES POINTS PAR RAPPORT À UNE PARTIE UPOINT D’ACCUMULATION, D’ADHÉRENCE ET ENSEMBLE FERMÉS
DÉFINITION
Soit U une partie de Rn.
(I) a ∈ U est un point isolé de U s’il existe r > 0 tel que B′
r (a) ∩ U = ∅.
(II) a ∈ Rn est un point d’accumulation de U si pour tout r > 0 B′
r (a) ∩ U 6= ∅.
U ′ est l’ensemble des points d’accumulation de U.
DÉFINITION
(I) a ∈ Rn est un point d’adhérence de U si pour tout r > 0 on a Br (a) ∩ U 6= ∅.
(II) L’adhérence (ou fermeture) de U est l’ensemble de tous les points d’adhérence deU. On la notera U.
(III) F est un ensemble fermé s’il contient tous ses points d’accumulation.
(I) De façon équivalente, a est un point d’adhérence ou de la fermeture d’une partieU de R
n si, pour tout voisinage V (a) de a, V (a) ∩ U 6= ∅.(II) L’adhérence de U est égale à l’union de ses points isolés et de ses points
d’accumulation. On a donc U ∪ U ′ = U.(III) Les seules parties de R
n qui soient à la fois ouvertes et fermées sont l’ensemblevide ∅ et l’espace R
n.M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 24 / 33
COMPLÉMENTS ET FRONTIÈRE
DÉFINITION
Soient A et B deux parties de Rn.
(I) A\Bdéf= {x ∈ A : x /∈ B}.
Lorsque A = Rn on écrira ∁B ou R
n\B et on dira que ∁B est le complément de B
par rapport à Rn.
(II) La frontière de U ⊂ Rn est définie comme U ∩ ∁U. On la notera ∂U.
On peut vérifier que
∂U = U\int U, U = int U ∪ ∂U, ∁U = int ∁U ∪ ∂U.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 25 / 33
RECOUVREMENT OUVERT DE U ET ENSEMBLE COMPACTTHÉORÈME DE HEINE–BOREL
DÉFINITION
(i) Une famille de parties ouvertes {Gα} de Rn est un recouvrement ouvert de
E ⊂ Rn si E ⊂ ∪αGα.
(ii) Une partie non vide E de Rn est dite compacte si tout recouvrement ouvert {Gα}
de E possède un sous recouvrement fini {Gαi: 1 ≤ i ≤ k}.
THÉORÈME (HEINE–BOREL)
Soit E une partie non vide de Rn. Alors E est compacte si et seulement si E est fermée
et bornée. a b
a. Heinrich Eduard Heine (1821–1881).b. Félix Edouard Justin Émile Borel (1871–1956).
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 26 / 33
RECOUVREMENT DE UENSEMBLE COMPACT ET THÉORÈME DE BOLZANO–WEIERSTRASS
Dans un espace vectoriel normé V , une partie compacte E de V est fermée etbornée, mais la réciproque n’est généralement pas vraie sauf dans des espacesnormés de dimension finie.
On a les équivalences suivantes dans les espaces métriques.
THÉORÈME (BOLZANO–WEIERSTRASS)
Soit un espace métrique (X , d) et un sous-ensemble E de X. Les propriétés suivantes
sont équivalentes.a b
(i) E est compact.
(ii) E est séquentiellement compact, c’est-à-dire, toute suite {xn} dans E possède
une sous-suite {xnk} qui converge vers un élément x ∈ E.
(iii) Tout sous-ensemble infini U de E possède (au moins) un point d’accumulation
dans E, c’est-à-dire, U ′ ∩ E 6= ∅.
a. Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781–1848).b. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815–1897) fut le chef de file d’une brillante école d’ana-
lystes, qui entreprirent la révision systématique des divers secteurs de l’analyse mathématique.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 27 / 33
PLAN
1 RÈGLE DE FERMAT
Pierre de Fermat
2 NOTION DE DÉRIVÉE
3 NOTION DE DIFFÉRENTIELLE COMME LIMITE
4 QUELQUES PROFILS
Gottfried Wilhelm von LeibnizIsaac NewtonThéorème de RolleKarl Weierstrass
5 RAPPELS D’ANALYSE
Plus petite borne supérieure et plus grande borne inférieureR
n et Espace EuclidienEnsembles ouverts, fermés ou compacts
6 AUTRES
Heinrich Eduard HeineÉmile BorelBrook Taylor
7 RÉFÉRENCES
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 28 / 33
CONCEPTS TOPOLOGIQUESHEINRICH EDUARD HEINE
FIGURE 6: Heinrich Eduard Heine (1821–1881) mathématicien allemand.
Il est surtout connu pour le théorème de Heine-Borel en 1872 dont l’historique débuteau XIXème siècle avec la recherche de bases solides pour l’anayse réelle. L’élémentcentral de la théorie était la notion de continuité uniforme et le théorème qui dit quetoute fonction continue sur un intervalle fermé est uniformément continue. Dirichlet futle premier à le démontrer en utilisant implicitement l’existence d’un sous-recouvrementfini d’un recouvrement ouvert d’un intervalle fermé dans sa démonstration. Il utilisacette démonstration dans ses conférences de 1862 (qui furent publiées seulement en1904) avant que Heine ne le démontre en 1872. Plus tard, Eduard Heine, KarlWeierstrass et Salvatore Pincherle utilisèrent des techniques semblables. Émile Borelen 1895 fut le premier à formuler et à démontrer une forme de ce qui est maintenantappelé le théorème de Heine-Borel. Sa formulation était limitée à des recouvrementsdénombrables. Lebesgue (1898) et Schoenflies (1900) le généralisèrent à desrecouvrements arbitraires.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 29 / 33
CONCEPTS TOPOLOGIQUESÉMILE BOREL
FIGURE 7: Félix Edouard Justin Émile Borel (1871–1956) mathématicien français.
Professeur à la Faculté des sciences de Paris, spécialiste de la théorie des fonctionset des probabilités, membre de l’Académie des sciences, a été aussi un hommepolitique français, député, et ministre.
Avec René Baire et Henri Lebesgue, il était parmi les pionniers de la théorie de lamesure et de son application à la théorie des probabilités. Le concept de tribuborélienne est nommé en son honneur. Dans l’un de ses livres sur les probabilités, ilprésente l’amusante expérience de pensée connue sous le nom paradoxe du singesavant ou analogues. Il a également édité un certain nombre d’articles de recherchesur la théorie des jeux ainsi qu’un véritable monument sur le jeu de bridge.
Il a créé en 1928, avec le soutien financier des Rockefeller et des Rothschild, leCentre Mathématique qu’il a nommé Institut Henri-Poincaré (où se trouve maintenantle Centre Émile Borel), et qu’il a dirigé pendant plus de trente ans.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 30 / 33
DÉRIVÉESFORMULE DE TAYLOR (1685-1731)
FIGURE 8: Brook Taylor (1685-1731) est un éclectique homme de sciences anglais.
Il ajouta aux mathématiques une nouvelle branche appelée « calcul de différencesfinies », inventa l’intégration par partie, et découvrit les séries appelées «développement de Taylor ». Ses idées furent publiées dans son livre de 1715,Methodus incrementorum directa and reversed. En fait, la première mention par Taylorde ce qui est appelé aujourd’hui théorème de Taylor apparaît dans une lettre que cedernier écrivit à Machin le 26 juillet 1712. Dans cette lettre, Taylor explique clairementd’où lui est venue cette idée, c’est-à-dire d’un commentaire que fît Machin au Child’sCoffeehouse, utilisant les « séries de Sir Isaac Newton » pour résoudre un problèmede Kepler et également « les méthodes de Dr. Halley pour extraires les racines »d’équations polynomiales. En fait, il y a deux versions du théorème de Taylor donnéessur le papier de 1715.
M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 31 / 33
PLAN
1 RÈGLE DE FERMAT
Pierre de Fermat
2 NOTION DE DÉRIVÉE
3 NOTION DE DIFFÉRENTIELLE COMME LIMITE
4 QUELQUES PROFILS
Gottfried Wilhelm von LeibnizIsaac NewtonThéorème de RolleKarl Weierstrass
5 RAPPELS D’ANALYSE
Plus petite borne supérieure et plus grande borne inférieureR
n et Espace EuclidienEnsembles ouverts, fermés ou compacts
6 AUTRES
Heinrich Eduard HeineÉmile BorelBrook Taylor
7 RÉFÉRENCES
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RÉFÉRENCES
[1] C. Cassidy et M. L. Lavertu, Introduction à l’analyse : fonction d’une variable
réelle, Les Presses de l’Université Laval, Sainte-Foy, Canada, 1994.
[2] J. Labelle et A. Mercier, Introduction à l’analyse réelle, Modulo Éditeur,Mont-Royal, Canada, 1993.
[3] E. G. H. Landau, Foundations of Analysis, Chelsea Publishing Company, NewYork, 1951.
[4] W. Rudin, Principes d’analyse mathématique, Édiscience, Paris 1995.
[5] Notes sur Cantor, http : //fr .wikipedia.org/wiki/GeorgCantor ,http : //en.wikipedia.org/wiki/GeorgCantor
[6] Notes sur les cardinaux, http : //en.wikipedia.org/wiki/Cardinalnumber
http : //fr .wikipedia.org/wiki/Nombrecardinal
[7] Notes sur Richard Dedekind, http : //fr .wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind
[8] Notes sur Blaise Pascal, http : //fr .wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal
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