Le théorème de THALES dans 2 triangles

Bruno DELACOTE

Collège de MASEVAUX

Type d ’activité : leçon illustrée

Conseils et méthode de travailUne feuille s’ouvre sur une série d’exercices :

A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution.

Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement

Prépare l’exercice avant de visionner la solution.Vérifie (sans tricher !)

Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé.

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Sommaire

Enoncé du théorème

Exemple de rédaction

Application directe de la leçon

Exercice de synthèse

Pour utiliser le théorème de THALES il est indispensable de savoir trouver x dans les

équations suivantes :

7

93et

4

7

5

x

x

On effectue le produit en croix

c

bax

bacx

b

adx

adbx

Et on calcule x

Résoudre

et d

b

x

a

c

b

a

x

4x = 35 x = 8,75

9x = 21 x = 7/3

7

9

1

3

4

7

3

2

69

7

4

3

7

123

2 5,2

3

x

xxxxx

x = 7,5 9x = 42 x = 14/3

3x = 24 x = 8

4x = 21 x = 5,25

4(x +2) = 214x + 8 = 21

4x = 13x = 3,25

9(x - 1) = 219x - 9 = 21

9x = 30x = 30/9x = 10/3

Indispensable Très utile

A

NB

M

C

Deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles

Les triangles AMN et ABC sont dits en situation de THALES et on a l’égalité des rapports :

ALORS

SI

AB

AM AC

AN

BC

MN

Leçon

A

N

B

M

C

Deux demi-droites sont coupées par deux droites parallèles

Les triangles AMN et ABC sont dits en situation de THALES et on a l’égalité des rapports :

ALORS

SI

AB

AM AC

AN

BC

MN

Leçon

A

NB

M

C

Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles alorsLes triangles AMN et ABC sont dits en situation de THALES. L’égalité de THALES s ’écrit :

AB

AM AC

AN

BC

MN

ConseilsTu peux retenir :- on divise le petit côté par le grand côté qui lui est parallèle.- il faut faire attention au rôle particulier du point opposé aux deux parallèles.

ATTENTION : il ne faut pas te tromper en écrivant ce rapport !

Ecris l’égalité

A

NB

M

C

Les droites (MN) et (BC) sont parallèles donc les triangles AMN et ABC sont en situation de THALES. L’égalité de THALES s ’écrit :

AB

AM AC

AN

BC

MN

Exemple de rédaction

Sur ce croquis on sait que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On connaît AM = 8 AN = 10 AB = 12 BC = 9 . On demande de calculer MN et NC.

A

NB

M

C

Les droites (MN) et (BC) sont parallèles donc les triangles AMN et ABC sont en situation de THALES. L’égalité de THALES s ’écrit :

AB

AM

AC

AN

BC

MN

Exemple de rédaction

Sur ce croquis on sait que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On connaît AM = 8 AN = 10 AB = 12 BC = 9 . On demande de calculer MN et NC.

9

10

12

8 MN

AC

Pour calculer MN je choisis

912

8 MN

12 MN = 72MN = 6

A

NB

M

C

AB

AM AC

AN

BC

MN

Exemple de rédaction (suite)

Sur ce croquis on sait que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On connaît AM = 8 AN = 10 AB = 12 BC = 9 . On demande de calculer MN et NC.

9

10

12

8 MN

AC

Pour calculer NC je commence par calculer AC. Je choisis

AC

10

12

8

8 AC = 120AC = 120 / 8

AC = 15

Donc NC = AC - ANNC =15 - 10

NC = 5

Application directe de la leçon

A

N

B

M

C

Les droites (MN) et (BC) sont parallèles

Si AM = 15 AB = 18 AN = 6 et MN = 9 calculer BC et AC

Si AM = 5 AB = 12 AC = 16 et BC = 9 calculer MN et AN

Si MN = 12 AB = 18 AN = 6 et AC = 9 calculer BC et AM

BC =10, 8 AC = 7,2

MN = 3,75 AN = 20 /3

BC = 18 AM = 12

Je ne sais pas comment faire

Je ne sais plus résoudre les équations

Application de la leçon

A

N

B

M

C

Les droites (MN) et (BC) sont parallèles

Si AM = 7 MB = 3 AN = 9 et BC = 13 calculer x et y

x

y

7 9

13

3Les droites (MN) et (BC) sont parallèles donc les triangles AMN et ABC sont en situation de THALES. L’égalité de THALES s ’écrit :

AB

AM AC

AN

BC

MNJe ne sais pas comment faire

Je ne sais plus résoudre les équations

AB

AM

AC

AN

BC

MNA

N

B

M

C

x

y

7 9

13

3

139

9

10

7 x

y

1310

7 x

Pour calculer x, je choisis

91 =10xx = 9,1

13

9

10

7 x

AC

Mais pour calculer y….

Pour calculer y, je choisis

y

9

9

10

7

90 = 7 ( 9 + y )90 = 63 + 7 y

27 = 7 yy = 27 / 7

Si la valeur approchée n ’est pas demandée on laisse le résultat sous

forme de fraction irréductible.

ouAC

9

10

7

90 = 7 AC90/7 = AC

NC = 90/7 - 9y = 90/7 - 63/7

y = 27 / 7

A

N

B

M

C

x

y

7 9

13

3

139

9

10

7 x

y

13

9

10

7 x

ACou

AB

AM

AC

AN

BC

MN

A

B

CT

VU

Dans ce triangle ABC, on veut tracer un parallélogramme CTUVdont le périmètre soit égal à 25 cm.

16 c

m

10 cm14 cm Pour cela nous allons calculer

AU = x

x

Les côtés opposés d ’un parallélogramme sont parallèles, donc les droites (UT) et ( CV) sont parallèles et les triangles AUT et ABC sont en situation de Thalès

DONCAs - tu pensé à vérifier les hypothèses ?

Exercice de synthèse

Faire des essais avec géoplan

A

B

CT

VU

Dans ce triangle ABC, on veut tracer un parallélogramme CTUVdont le périmètre soit égal à 25 cm.

16 c

m

10 cm

14 cm

x

BC

UT

AC

AT

AB

AU

141016

UTATx

On peut donc calculer AT en fonction de x

1016

ATx

10 x = 16 ATAT = 0,625 x

Puis on calcule UT en fonction de x

1416

UTx

14 x = 16 UTUT = 0,875 x

A

B

CT

VU

16 c

m

10 cm

14 cm

xLes côtés opposés d ’un parallélogramme ont même mesure.Le périmètre du parallélogramme s’exprime en fonction de x

P = 2 UT + 2 TCP = 2 ( 0,875 x) + 2 ( 10 - 0,625 x)P = 1,75 x + 20 - 1,25 xP = 20 + 0,5 x

Ce périmètre est égal à 25 cm si 20 + 0,5 x = 25 c’est à dire si x =10 cm

Maintenant, tu peux construire le dessin.

A

B

CT

VU

Dans ce triangle ABC, on veut tracer un parallélogramme CTUVdont le périmètre soit égal à 25 cm.

16 c

m

10 cm

14 cm

x

BC

UT

AC

AT

AB

AU

141016

UTATx

On peut donc calculer AT en fonction de x

1016

ATx

10 x = 16 ATAT = 0,625 x

Puis on calcule UT en fonction de x

1416

UTx

14 x = 16 UTUT = 0,875 x

Les côtés opposés d ’un parallélo-gramme sont parallèles, donc