Journée du 6 janvier 2006 « Si 12 boves depascant 3 1/3 jugera prati in 4 septimanis ; et 21 boves...

Journée du 6 janvier 2006

« Si 12 boves depascant 3 1/3 jugera prati in 4 septimanis ;et 21 boves depascant 10 jugera consimilis prati in 9 septimanis ;

quæritur quot boves despacant 24 jugera in 18 septimanis ? »

Isaac Newton, Arithmetica universalis (1707)

« Résolution de problèmes concrets »

Quel niveau de culturepour la fin du collège ?

Résolution de problèmes :

Quel niveau de culture pour la fin du collège ?niveau de cultureprogramme

socle … savoirs

savoir-faireconnaissances

compétences…bagage

niveau de culturefinalitésobjectifsexigibles

curriculum

Résolution de problèmes :

Quel niveau de culture pour la fin du collège ?niveau de cultureprogramme

savoirssavoir-faire

connaissancescompétences…

bagage

niveau de culturefinalitésobjectifs

curriculum

socle …

exigibles

Résolution de problèmes :

Quel niveau de culture pour la fin du collège ?niveau de cultureprogramme

savoirssavoir-faire

connaissancescompétences…

bagage

niveau de culturefinalitésobjectifsexigibles

socle …

curriculum

Résolution de problèmes :

Quel niveau de culture pour la fin du collège ?niveau de cultureprogramme

savoirssavoir-faire

connaissancescompétences…

bagage

niveau de culturefinalitésobjectifs

curriculum

socle …

exigibles

socle communsocle fondamentalsocle des fondamentauxsocle fondamental des connaissances

Résolution de problèmes :

Quel niveau de culture pour la fin du collège ?niveau de cultureprogramme

savoirssavoir-faire

connaissancescompétences…

bagage

niveau de culturefinalitésobjectifs

curriculum

socle …

exigibles

socle communsocle fondamentalsocle des fondamentauxsocle fondamental des connaissances

Résolution de problèmes :

Quel niveau de culture pour la fin du collège ?niveau de cultureprogramme

savoirssavoir-faire

connaissancescompétences…

capacités

niveau de culturefinalitésobjectifs

curriculum

socle …

exigibles

socle communsocle fondamentalsocle des fondamentauxsocle fondamental des connaissancesInstruction …

Education …

Résolution de problèmes :

Quel niveau de culture pour la fin du collège ?niveau de cultureprogramme

savoirssavoir-faire

connaissancescompétences…

bagage

niveau de culturefinalitésobjectifs

curriculum

socle …

exigibles

Résolution de problèmes :

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savoirssavoir-faire

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niveau de culturefinalitésobjectifs

curriculum

socle …

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curriculum

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Quel niveau de culture pour la fin du collège ?niveau de cultureprogramme

savoirssavoir-faire

connaissancescompétences…

bagage

niveau de culturefinalitésobjectifs

curriculum

socle …

exigibles

compétences transversales…compétences mathématiques…

Résolution de problèmes :

Quel niveau de culture pour la fin du collège ?niveau de cultureprogramme

savoirssavoir-faire

connaissancescompétences…

bagage

niveau de culturefinalitésobjectifs

curriculum

socle …

exigibles

compétences transversales…compétences mathématiques…

« Ce que l’élève doit emporter de l’école avec le petit bagage de notions pratiques déterminées par la loi, c’est un ensemble de facultés exercées, un esprit juste, un cœur droit, […].

Mais ce qui reste des études bien faites, c’est un jugement éclairé et sain, un cœur ouvert aux sentiments élevés, l’amour du travail et des vertus domestiques, force et sauvegarde des familles et des nations. »

(1882)

«  A l’occasion de la fête nationale, un bureau de bienfaisance a réparti 125 fr entre les vieillards, puis fourni aux nécessiteux 275 pains … »

(Cours moyen 1921)

«  Une jeune fille dont la mère était malade ne s’est pas couchée du lundi matin 4 heures au mercredi minuit … »

(Cours moyen 1921)

«  Un ménage d’ouvriers laborieux a dépensé 172 fr par mois. Le père n’a que 120 fr d’appointements par mois ; mais la mère, en prenant soin de sa maison a gagné encore 50 fr par mois ; et une jeune fille, qui a travaillé 25 jours dans ce mois, … »

(1887)

Hier :

«  Pour faire de la boisson, une personne a acheté 5 kg. de raisin sec à 0 fr. 40 le kg., 2 kg. 5 de pommes tapées à 0 fr. 70 le kg.. Et 0 kg. 8 de genièvre à 0 fr. 55 le kg. Cette personne ayant mis 100 litres d’eau dans son tonneau, à combien lui revient le litre de cette boisson ? »

(1887)

«  Un ouvrier consomme tous les jours de l’eau de vie pour 0fr25, il dépense en outre 1fr75 au cabaret tous les dimanches, mais sa femme et ses enfants sont presque nus. Il leur suffirait d’une somme de 72fr pour se vêtir convenablement. Combien de jours cet ouvrier mettrait-il à économiser cette somme en s’abstenant de liqueurs alcooliques ? »

(1920)

Aujourd’hui :

Lors des élections de délégués, Anne, Bernard et Carole ont obtenu respectivement 12, 8 et 11 voix. Sachant que 2 élèves ont mis des bulletins nuls, calcule le pourcentage des voix obtenues par chacun des candidats.

On estime qu’une hirondelle détruit 50 chenilles par jour. On considère que chaque couple d’hirondelles a 8 petits dont 2 ne survivent pas. Evalue le nombre de chenilles qui pourraient être détruites par 5 couples et leurs petits pendant un jour, puis pendant un mois de 30 jours.

Résolution de problèmes :

Quel niveau de culture pour la fin du collège ?niveau de cultureprogramme

savoirssavoir-faire

connaissancescompétences…

bagage

niveau de culturefinalitésobjectifs

curriculum

socle …

exigibles

compétences transversales…compétences mathématiques…

Résolution de problèmes :

Quel niveau de culture pour la fin du collège ?niveau de cultureprogramme

savoirssavoir-faire

connaissancescompétences…

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niveau de culturefinalitésobjectifs

curriculum

socle …

exigibles

compétences transversales…compétences mathématiques…

Résolution de problèmes :

Quel niveau de culture pour la fin du collège ?niveau de cultureprogramme

savoirssavoir-faire

connaissancescompétences…

bagage

niveau de culturefinalitésobjectifs

curriculum

socle …

exigibles

compétences transversales…compétences mathématiques…

Résolution de problèmes :

Quel niveau de culture pour la fin du collège ?niveau de cultureprogramme

savoirssavoir-faire

connaissancescompétences…

bagage

niveau de culturefinalitésobjectifs

curriculum

socle …

exigibles

Résolution de problèmes :

Quel niveau de culture pour la fin du collège ?niveau de cultureprogramme

savoirssavoir-faire

connaissancescompétences…

niveau de culturefinalitésobjectifs

curriculum

bagage

socle …

exigibles

… / …

1.— La proportionnalitéDe la règle de trois à la linéarité

2.— Algébrisation :Inconnues, indéterminées et variables

3. Dialectiques…Les deux voies : concret / abstrait

« … partout le souci de marquer que l’enseignement doit être concret, simple, progressif. C’est sur des faits qu’il faut s’appuyer, et c’est à des faits qu’il faut appliquer le calcul et les idées … »

(1882)

«  La plupart de nos élèves devront, dès qu’ils nous aurons quittés, gagner leur vie par leur travail et nous voulons les munir des connaissances pratiques qui, dès demain, leur serviront dans leur métier. »

(1923)

1895

1895

1895

8

7

72

…

1895

35

435

28,40

…

7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ?

Une automobile a parcouru 223 km en 2 h 30 mn ,a) combien aurait-elle parcouru, à la même vitesse,

en 3 h 10 mn ?b) Combien lui faudrait-il de temps pour parcourir

400 km ?

J’ai obtenu une note de 15,5 points sur un total de 23 . A quelle note sur 20 correspond ce résultat ?

1682. Bertrand-François Barrême (1638-1703)

€

R=(A×B)C

7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ?

€

R=11,90×5

7« … multipliez seulement les deux derniers nombres ensembles …

… et divisez ce qui viendra par le premier … »

€

RB

=AC

Euclide, Livre I, Proposition 43 : Dans tout parallélogramme, les compléments des parallélogrammes, autour de la diagonale, sont égaux entre eux.

R

B

AC

R x C

B x A

€

xB

=AC

x C = B.Ax x = C

x.C = B.A

x C = B Ax x = B x C

La question du sens :

7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ?

— Le retour à l’unité :

Prix d’une rose euros7

11,90

Prix de 5 roses 5 x euros7

11,90

« J’ai obtenu une note de 15,5 points sur un total de 23 . A quelle note sur 20 correspond ce résultat ? »

Mais…

La question du sens :

— L’utilisation d’une fraction :

a) Je sais que je dois modifier 15,5 en le multipliant par une fraction obtenue avec les deux autres nombres :

Résultat cherché = x 15,5…

…

J’ai obtenu une note de 15,5 points sur un total de 23 .A quelle note sur 20 correspond ce résultat ?

b) J’ai le choix entre 20/23 et 23/20 … mais comme j’aurai moins sur 20 que sur 23, je choisis celle qui est inférieure à 1

Donc : Résultat cherché = x 15,523

20

La question du sens :

— formalisme des proportions :

1895

— fractions et pourcentages :

AB

=

CD

xB

=

CD

x = B x CD

La question du sens :

— tableau de proportionnalité :

— déterminant…

35

435

28,40

…

17,32

…

— Importance de la croix ? …

Produit en croix :

€

xB

=AC

Preuve par neuf :

7

2

5 …

Fausse position

1557

Croix des mélanges

7

13

9

…

…

— importance des unités …

x C = 5 x 11,90x… = 7

x C = 5roses x 11,90eurosx… euros = 7roses

xeuros = x 11,90 eurosx C = 5

7

x C = 5roses x 11,90eurosx… euros = 7roses

xeuros = x 11,90 eurosx C = 5

7Prix unitaire : euros / roses

711,90

Prix de 5 roses : 5 x7

11,90

x C = 5roses x 11,90eurosx… euros = 7roses

xeuros = x 11,90 eurosx C = 5

7Prix unitaire : euros / roses

711,90

Prix de 5 roses : 5 x7

11,90

7

11,90

5

…

15

…euros

roses 7

11,90

5

…

15

…

x C = 5roses x 11,90eurosx… euros = 7roses

7roses x xeuros = 5roses x 11,90euros

x C = 5roses x 11,90eurosX xeuros = 7roses

1.— La proportionnalitéDe la règle de trois à la linéarité

2.— Algébrisation :Inconnues, indéterminées et variables

3. Dialectiques…Les deux voies : concret / abstrait

1895

x + (x + 3,65) = 13,85

x + (x + 180) = 6340

7 ? 5 6 2

… … … 8

… … …

… …

101

7 ? 5 6 2

… … 11 8

… … 19

… …

101

7 x 5 6 2

… … 11 8

… … 19

… …

101

«  L’arithmétique ne marche jamais que du connu à l’inconnu ; l’algèbre, au contraire, marche souvent de l’inconnu au connu, de sorte que, de quelque manière qu’elle arrive à une conclusion ou équation, elle peut toujours parvenir à la connaissance de la quantité inconnue. C’est par ce moyen qu’on résout des problèmes très difficiles, dont on eût vainement cherché la solution par l’arithmétique seule. »

Newton, 1707

«  Une couturière fabrique des chemises à 14,50 fr pièce et des pantalons à 23,10 fr pièce. Cette semaine elle a touché 217 fr,en ayant fabriqué 12 pièces en tout. Combien a-t-elle fabriqué de chemises et de pantalons ? »

«  Une tirelire contient 240 euros sous forme de billets de dix ou de cinq euros. Sachant qu’elle contient 31 billets, combien contient-elle de billets de chaque sorte ? »

Solution raisonnée : Solution algébrique :

Si les 31 billets étaient des billets de 10 euros, il y aurait 310 euros,

C’est-à-dire 310 – 240 = 70 euros de plus,

Il faut donc changer 70/5 = 14 billets de 10 en billets de 5 .

Soit x le nombre de billets de 10 euros, et y le nombre de billets de 5, on a :

x + y = 31 10x + 5y = 240{

Digression :La méthode de « fausse position »

Arithmeticae praticae methodus facilis per Gemmam Frisium (1557)

« Trouver un nombre tel que si on soustrait les 2/3 de ce nombre, il reste 3/4 . »

x – x =23

34

(1 – )x = 23

34

« si x = 6, le premier membre vaut 2 …

x = 13

34

…

« donc 6 donne 2 , alors combien

faut-il pour obtenir ? …34

« … je fais une règle de trois. »

x

x + 7

13

La différence des longueurs des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle est 7 cm et l’hypoténuse mesure 13 cm. Quels sont ces côtés ?

x 2 + (x + 7) 2 = 169

x 2 + 7x – 60 = 0

(x – 5)(x + 12) = 0

(x – 5)(x + m) = 0

… / …

Les fonctions de type : y = ax

7

10,50

15

22,50

25

37,50y

x 5

7,50

…

…

x

y

ƒ(x) = ƒ(x)

x a

x

y y = x32

y = – x23

– 5

(– 5) x ( – ) = 5 x23

23

fonctions de type : y = ax et équations de droites

x

y y = a x + b

fonctions de type : y = ax + b et équations de droites

Exercices d’application …

Une poule et demie pondent un œuf et demi en un jour et demi.Combien neuf poules pondent-elles en neuf jours ?

Exercices d’application :

A. Le nombre d’œufs pondus par une poule et demieest proportionnel au nombre de jours:

91

1 1,5

1,5

9jours

œufs

1

6 54

1,5

9

9poules

œufs

B. Le nombre d’œufs pondus en neuf jours est proportionnel au nombre de poules :

Une poule et demie pondent un œuf et demi en un jour et demi.Combien neuf poules pondent-elles en neuf jours ?

Exercices d’application :

Etude fonctionnelle :

Le nombre d’œufs pondus pendant une certaine période est une fonction linéaire du nombre de poules :

N = PLe nombre d’œufs pondus par une poule est une fonction linéaire du nombre de jours :

N = P = (J)P = (JP)

Comme on a : 1,5 = (1,51,5) il vient : = 2/3Donc : N = (2/3)(JP) = (2/3)(99) = 54

= (JP)= (J)

P

Si un écrivain peut, en 8 jours, écrire 15 feuilles,combien faudra-il d’écrivains pour en écrire 405 en 9 jours ?

Newton, Arithmétique universelle, 1707.

Exercices d’application :

Etude fonctionnelle :

Le nombre de pages dépend de façon bilinéaire du nombre de jours et du nombre d’écrivains :

N = JE

Comme on a : 15 = 81 il vient : = 15/8Donc : N = (15/8)JE

Donc ici : 405 = (15/8)9E

Exercices d’application :

Douze bœufs paissent l’herbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines ;21 bœufs paissent celle de 10 arpents en 9 semaines ; on demande combien il faudra de bœufs pour manger l’herbe de 24 arpentsen 18 semaines.

Newton, Arithmétique universelle, 1707.

On a trois prés d’une qualité égale, et dans lesquels on suppose que l’herbe croît uniformément. Le premier b peut nourrir un nombre de bœufs a pendant le temps c ; le second e peut nourrir un nombre de bœufs d pendant le temps f ; on demande combien le troisième g peut nourrir pendant le temps h .

Réponse :bdfgh – acegh – bcdgf + acefg

befh —bceh

«  12 bœufs paissent l’herbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines… »

«  36 bœufs paissent l’herbe de 10 arpents 4 semaines… »

3 arpents 1/3

12 bœufs

1895

durée

distance

1895

1.— La proportionnalitéDe la règle de trois à la linéarité

2.— Algébrisation :Inconnues, indéterminées et variables

3. Dialectiques…Les deux voies : concret / abstrait

…les maths modernes

« En fait, c'est bien là qu'est demandée aux maîtres une mutation radicale, qui exigera d'eux de grands efforts de vigilance, de surveillance d'eux-mêmes, une véritable conversion intellectuelle.

Car les naturels ne sont plus liés à la mesure des objets du monde physique et, surtout, les opérations sur les naturels ne sont plus tirées des opérations sur les "grandeurs" du monde physique ou de l'univers quotidien telles que longueurs, poids, prix, capacités. »

« La multiplication est une opération commutative. Les Instructions de 1945 parlent en plusieurs endroits de "nombres concrets". Cette expression, qui est proprement antinomique, car un nombre ne saurait être concret, a porté grand tort à la commutativité de la multiplication. Il n'y a pas à distinguer multiplicande et multiplicateur ; si on les distingue souvent, c'est parce qu'on pense plus à ces "nombres concrets", 3 sacs de 7 oranges, 15 barriques de 228 litres, qu'à des nombres. L'emploi de ces mots ne se justifie pas. »

« […] l’acquisition des techniques (numération, opérations sur les nombres,…) n’est pas abandonnée. Mais la notion de nombre gagnera à être préparée par des rudiments de grammaire des ensembles et de logique. Les enfants sauront compter et calculer plus tard peut-être que ne l’imposent les programmes actuels, mais ils le sauront mieux. »

APMEP. Charte de Chambéry, octobre 1968

Exemples :

— importance des structures,

— mise de l’accent sur les divers ensembles de nombres, leur définition et leurs filiations : N, Z, D, Q, R, C,

— définition de la soustraction et de la division de manière entièrement littérale :

« a divisé par b » est le nombre x tel que : b x x = a

« On dispose d’une planche de 85 cm et on veut faire 6 étagères de même longueur, comment faut-il couper la planche ?

Ferdinand Buisson. Dictionnaire de pédagogie et d’instruction primaire, 1887

Contre-réforme de 1985

« … La pulsion empiriste, […] se traduit […] par une poussée vigoureuse du numérique, par l’éparpillement et l’évanouissement de l’apprentissage des outils algébriques, par l’insistance naïve sur le concret, et par le recours constamment réaffirmé à des “activités” dont l’enseignement cherchera, à bon droit, mais fréquemment en vain, la substance. »

La recherche dont nous rapportons ici quelques étapes vise précisément à accomplir ce travail de renoncement à ce qui est mort et bien mort : car il est des morts qu'il faut encore tuer. […] Le mot d'ordre est ici celui de la modélisation mathématique… »

… / …

Inspection générale 2004

Inspection générale 2004

€

3b+4

b= 7b

€

8×ab=8a

b

Retour aux problèmes …

Retour aux nombres concrets…

Retour aux grandeurs…

« […] la modélisation d’une situation de la vie courante, par exemple par un système d’équations […] correspond au passage du cadre des grandeurs au cadre numérique. Ce type de passage, ainsi que le retour au cadre et à la situation de départ, présentent des difficultés importantes pour les élèves […] »

Les enjeux du travail sur les grandeurs.Document d’accompagnement du nouveau programme de 3ème

Exemple : calculer le volume d’un réservoir parallélépipédique de 2,3 m de longueur, 57 mm de hauteur et 2,5 cm de largeur :

V = 2,3 m x 57 mm x 2,5 cm = 2,3 (100 cm) x 57 (0,1 cm) x 2,5 cm

V = 230 cm x 5,7 cm x 2,5 cm = 3277,5 cm3

« C’est en effet une théorie mathématique des unités (et des grandeurs) qui fait actuellement défaut dans la culture de l’enseignement des mathématiques (et des sciences physiques aussi bien). »

… / …

La recherche dont nous rapportons ici quelques étapes vise précisément à accomplir ce travail de renoncement à ce qui est mort et bien mort : car il est des morts qu'il faut encore tuer. […] Le mot d'ordre est ici celui de la modélisation mathématique… »

« J’ai 23 billes dont 7 sont bleues. Les autres billes sont noires Combien ai-je de billes noires ? »

« Reprenons le problème selon le schéma de la modélisation. »

« Le système étudié — l’ensemble des billes que je possède — est décrit par trois variables : “le nombre total de billes”, “le nombre de billes bleues”, “le nombre de billes noires”.

Les valeurs de ces paramètres définissent un état du système. Nombre de problèmes, élémentaires ou non, sont alors, à l’instar de celui-ci, du type suivant : connaissant les valeurs de certaines variables, trouver les valeurs des autres variables. La connaissance de ces dernières valeurs s’obtient par la considération des relations qui gouvernent l’ensemble des variables. »

« L’établissement du modèle fait appel ici à un outil général de la physique, l’analyse dimensionnelle. En posant que la période T est donnée par une égalité de la forme T = MxLyPzƒ(A), on obtient le système des trois relations x + z = 0 ; y + z = 0 ; – 2z = 1, qui, avec l’égalité de départ et la relation “générale” P = Mg, constitue un modèle du système. »

« Un travail mathématique élémentaire sur ce modèle “brut” conduit à la relation fondamentale T = ƒ(A)√ L/g. Etc. »

« Ce à quoi l’on s’intéresse […], c’est la période T du pendule ;celle-ci devrait pouvoir s’exprimer en fonction des variables précédentes uniquement. »

« Le cas du pendule simple »

« En regardant attentivement le mouvement du pendule […] on peut se convaincre que si les frottements sont négligeables, les seules grandeurs caractéristiques du problème sont […] le poids P, la masse M, la longueur L et l’angle A du pendule par rapport à la verticale. »

« 7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ? »

« Reprenons le problème selon le schéma de la modélisation :

En considérant attentivement le problème on peut se convaincre que les seules grandeurs caractéristiques sont le prix connu P, le nombre N de roses initiales et le nombre N’ de roses finales.

Ce à quoi l’on s’intéresse devrait pouvoir s’exprimer en fonction des variables précédentes uniquement et se traduire par une expression de la forme : PxNy(N’)z. Faisons appel à l’analyse dimensionnelle… »

… / …

« Damien a la grippe. Pour le soulager, sa grand-mère lui fait une infusion. Pour cela, elle mélange 20 grammes de romarin qui coûte 0,02 euros le gramme avec 3 feuilles de menthe de son jardin pesant 9,6 grammes. Quel est le prix du romarin ? »

Poids totaldu romarin :

20 g

Nombre totalDe feuilles

de menthe : 3

Poids total desfeuilles de menthe :

9,6 g

Prix d’un grammede romarin :

0,02 €

Colonne du romarin Colonne de la menthe

Ligne des poids Poids total du romarin : 20 g Poids total de la menthe : 9,6 g

Ligne des prixunitaires

Prix d’un gramme de romarin : 0,02 €

Ligne des nombres Nombre total de feuilles dementhe : 3

Colonne du romarin Colonne de la menthe

Ligne des poids Poids total du romarin : 20 g Poids total de la menthe : 9,6 g

Ligne des prixunitaires

Prix d’un gramme de romarin : 0,02 €

Ligne des nombres Nombre total de feuilles dementhe : 3

Quel est le prix du romarin ?

Jeudi matin, Madame Loiseau fait son marché. Elle veut faire plaisir à ses trois enfants. Chez le marchand de fruits, elle achète pour Clément 1,5 kg de fraises à 4,88 € le kilo. Chez le marchand de vêtements, elle achète pour Fanny un pantalon à 37,96 € et pour Clotilde, un pull-over brodé à 22,79 €.

colonne desenfants

colonne desfraises

colonne dupantalon

colonne dupull-over

Ligne desnombres

Nombre (total)d’enfants : 3

Ligne despoids

Poids totaldes fraises :

1,5 kgLigne des prix

unitairesPrix d’un

kilode fraises :

4,88 €

Prix dupantalon :

37,96 €

Prix dupull-over :

22,79 €

Question 1 : quelle somme dépense-t-elle pour faire plaisir à Clément ?

Jeudi matin, Madame Loiseau fait son marché. Elle veut faire plaisir à ses trois enfants. Chez le marchand de fruits, elle achète pour Clément 1,5 kg de fraises à 4,88 € le kilo. Chez le marchand de vêtements, elle achète pour Fanny un pantalon à 37,96 € et pour Clotilde, un pull-over brodé à 22,79 €.

colonne desenfants

colonne desfraises

colonne dupantalon

colonne dupull-over

Ligne desnombres

Nombre (total)d’enfants : 3

Ligne despoids

Poids totaldes fraises :

1,5 kgLigne des prix

unitairesPrix d’un

kilode fraises :

4,88 €

Prix dupantalon :

37,96 €

Prix dupull-over :

22,79 €

Question 1 : quelle somme dépense-t-elle pour faire plaisir à Clément ?

Question 2 : que dépense-t-elle chez le marchand de vêtements ?

Typologie fondée sur la « forme » du tableau :

Importance capitale des unités

— échiquier ligne : addition - soustraction

— échiquier colonne : multiplication - division(s)

«  Douze bœufs paissent l’herbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines ;21 bœufs paissent celle de 10 arpents en 9 semaines ; on demande combien il faudra de bœufs pour manger l’herbe de 24 arpentsen 18 semaines. »

On s’intéresse à la quantité d’herbe fournie par chaque pré :

La mesure de cette production est ici faite dans l’unité :

Bœuf x Semaine (BS)

Exemples :

— le premier pré fournit en 4 semaines : 12 x 4 = 48 BS d’herbe,

— le second pré fournit en 9 semaines : 21 x 9 = 189 BS d’herbe…

« Des élèves décident de fabriquer et de vendre des gâteaux. Pour chacun ils utilisent 250 g de farine à 0,90 € le kg, 250 g de sucre à 1,20 € le kg, 250 g de beurre à 3,95 € le kg et 4 œufs à 1,50 € la douzaine. Le premier lundi, ils vendent 12 gâteaux de 8 parts chacun au prix de 0,75 € la part. Ces élèves voudraient tirer un bénéfice d’au moins 300 €. S’ils continuent à vendre autant de gâteaux chaque lundi, pendant combien de semaines doivent-ils poursuivre cette opération ? »

Colonne dela farine

Colonnedu sucre

Colonnedu beurre

Colonnedes œufs

Colonnedes gâteaux

Colonnedu bénéfice

Ligne desprix

unitaires

Prix d’unkg de farine :

0,90 €

Prix d’unkg de sucre :

1,20 €

Prix d’unkg de beurre :

3,95 €

Prix d’unedouzaine d’œufs :

1,50 €

Prix d’unepart de gâteau :

0,75 €

Ligne despoids

Poids total defarine : 250 g

Poids total desucre : 250 g

Poids totalde beurre : 250 g

Ligne desnombres

Nombre totald’œufs : 4

Nombre total degâteaux : 12

Ligne desnombres

par gâteau

Nombre total depts par gâteau : 8

Ligne desmontants

Montant (total)du bénéfice :

300 €

Colonnedes cahiers

Ligne des prix Prix total descahiers : 7,20 €

Ligne des nombres Nombre total decahiers : 6

Ligne des nombresen particulier

Nombre particulier deCahiers : 4

Le cas des problèmes de proportionnalité

« A la coopérative, un paquet de 6 cahiers coûte 7,20 € . Kevin veut en acheter quatre. Quelle sera sa dépense ? »

Colonnedes cahiers

Colonne descahiers de Kevin

Ligne des prix Prix total descahiers : 7,20 €

Ligne des nombres Nombre total decahiers : 6

Nombre decahiers de Kevin : 4

«  12 bœufs paissent l’herbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines… »

«  36 bœufs paissent l’herbe de 10 arpents 4 semaines… »

Avril13

Conclusion ?…

Ferdinand Buisson. Dictionnaire de pédagogie et d’instruction primaire, 1887

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«  Cependant l’arithmétique est tellement indispensable dans toutes les opérations de l’algèbre, que leur réunion seule forme la science du calcul. »

Newton, 1707

«  L’arithmétique ne marche jamais que du connu à l’inconnu ; l’algèbre, au contraire, marche souvent de l’inconnu au connu, de sorte que, de quelque manière qu’elle arrive à une conclusion ou équation, elle peut toujours parvenir à la connaissance de la quantité inconnue. C’est par ce moyen qu’on résout des problèmes très difficiles, dont on eût vainement cherché la solution par l’arithmétique seule. »

Newton, 1707

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