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Mécanique Analytique
Paul-Antoine Hervieux
Unistra/IPCMS
7) Systèmes dynamiquesPartie I: Introduction
L2 2016-2017
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Systèmes dynamiques A) Introduction
• Mathématiques Equations différentielles
Théorie des catastrophes (Thom)
• Physique Mécanique-Vibration (états liés: pendule amorti forcé;
états de diffusion: billards…)
Mécanique des fluides, turbulence (Landau, Ruelle),
rouleaux de Rayleigh-Bénard
Astronomie, problème des trois corps (Poincaré),
Hénon-Heiles
Mécanique quantique, approche semi-classique (Gutzwiller)
Physique statistique: transitions de phase; groupe de renormalisation
Acoustique: les vibrations des instruments à percussion (cymbales)
• Chimie Dynamique des réactions chimiques (Prigogine)
• Ecologie Dynamique des populations; carte logistique; Vito Volterra
• Climatologie Lorenz, effet papillon
• Economie Evolution des cours boursiers
(1860-1940)
(1923-2002)
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Systèmes dynamiques Chaos déterministe
Tirage aléatoire, loto, jeux de dés
Beaucoup de phénomènes physiques ont leur origine dans la coexistence ou
la succession d’un grand nombre d’actions élémentaires, c’est-à-dire sans
rapport les unes avec les autres.
Exemple: le mouvement brownien
Errance très irrégulière et aléatoire de particules microscopiques en suspens-
-ion dans un fluide. Il est dû à la multitude de chocs que ces particules
reçoivent en tous sens, de la part des molécules du fluide.
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Le botaniste Robert Brown en 1827
…connu aussi pour sa découverte des noyaux des cellules végétales
Systèmes dynamiques
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Champ du microscope
Observe le mouvement erratique des grains
de pollen à la surface de l’eau
Systèmes dynamiques
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Systèmes dynamiques
http://www.dailymotion.com/video/x8x1dn_le-mouvement-brownien_tech
Palais de la découverte: Billes microscopique de latex dispersées dans une goutte
d’eau
http://www.dailymotion.com/video/x560u4_01-mouvement-brownien_tech
Sites web avec des vidéos intéressantes !!!
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Einstein 1905Un peu de polémique…
A la fin de sa vie Einstein
racontera qu’il n’avait
jamais entendu parler du
mouvement brownien et
qu’il avait ignoré les
travaux de Gibbs et de
Boltzmann (pères de la
mécanique statistique)…
un peu exagéré …
Systèmes dynamiques
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Systèmes dynamiquesLe mouvement brownien
1905
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l’hypothèse moléculaire
cinétique
• Objectif: Trouver une preuve expérimentalement
vérifiable de l’existence de molécules de taille bien
définie.
• Les particules sont suffisamment petites pour subir
l’agitation thermique.
• Les particules sont suffisamment grosses pour être
observées au microscope.
• Il identifie « la bonne variable »: non pas la vitesse
instantanée, mais la distance moyenne parcourue
pendant un temps fini donné.
Systèmes dynamiques
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Particules browniennes subissant
des collisions des atomes
Systèmes dynamiques
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Observation de la trajectoire
d’une particule brownienne
Systèmes dynamiques
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Le grain « ne se souvient plus » pendant le deuxième intervalle de
temps de ce qu’il a fait pendant le premier.
C’est une marche aléatoire
C’est la marche de l’ivrogne
C’est une chaîne de Markov…
Systèmes dynamiques
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Prédictions d’Einstein
moyenne du carré des positions
coefficient de diffusion
Nombre d’Avogadro
T: température
a: rayon du grain
h: viscosité du liquide
a: constante
Systèmes dynamiques
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Jean Perrin 1909
Jean Perrin (1870-1942), physicien
français, prix Nobel de physique en 1926
pour ses travaux sur l'atome.
Systèmes dynamiques
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Mouvement brownien observé
par Jean Perrin en 1909
Systèmes dynamiques
16LES ATOMES
Détermination du nombre d’Avogadro
Jean Perrin est un partisan de la théorie
atomiste.
On est (~1905) en plein dans la période
de la controverse Mach-Boltzmann.
Il va mesurer la constante d’Avogadro
et par là-même démontrer le bien fondé
des hypothèses atomiques et moléculaires.
Systèmes dynamiques
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Comme dira Max Born:
« ce travail a contribué, plus qu’aucun autre, à convaincre les
physiciens de la réalité des atomes et des molécules, de la théorie de
la chaleur, et du rôle fondamental joué par les probabilités dans les
lois de la nature »
« Il devient difficile de nier la réalité objective des molécules »
Jean Perrin:
Systèmes dynamiques
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Systèmes dynamiques
Question: Tout tirage au hasard peut-il être assimilé à un mécanisme
de loterie dont tous les résultats possibles seraient mélangés par suite de
multiples actions élémentaires indépendantes (mouvement brownien) ?
Réponse: NON
Exemple 1: la transformation de Bernoulli
évolution déterministe !!!
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Systèmes dynamiques
sensibilité aux CI
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Systèmes dynamiques
sensibilité aux CIExemple 2: Modèle de Lorenz (Edward)
Mécanique des fluides(Équation de Navier-Stockes)
s : nombre de Prandtl
r : nombre de Rayleigh
(1917-2008)
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Systèmes dynamiquessensibilité aux CIExemple 3: billard (états de diffusion)
rég
ulie
r
ch
ao
tiqu
e
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Systèmes dynamiques
Les travaux de Poincaré l'ont d'abord amené à considérer trois corps: les équations de Newton
appliquées à ces trois corps conduisent à une équation différentielle impossible à résoudre. En
effet, il manque des intégrales premières, c'est à dire des fonctions gardant une valeur constante le
long de chaque trajectoire, et la seule connaissance de l'Energie, de la Quantité de mouvement, et
du Moment cinétique ne suffisent pas pour résoudre l'équation: le problème n'a pas de solution
exacte.
Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons
que cet effet est dû au hasard... Mais, lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons
connaître la situation initiale qu’approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même
approximation, c’est tout ce qu’il nous faut, nous dirons que le phénomène a été prévu, qu’il est régi par des lois ; mais il n’en est pas
toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les
phénomènes finaux; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient
impossible.Henri Poincaré (Science et méthode 1908).
Problème restreint
2dl
(1854-1912)
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Systèmes dynamiquesB) Chaos dans les systèmes hamiltoniens
Section de Poincaré
- Pour des systèmes hamiltoniens ayant deux degrés de liberté, l’espace des
phases a quatre dimensions (x,y,px,py).
-Si le système est conservatif, la couche d’énergie
a trois dimensions.
(une surface – dim=2 - dans R3 est définie par g(x,y,z)=a)
- Cela reste difficile à visualiser cet espace (surtout sur une feuille de papier !)
- Il existe une méthode pour simplifier le problème due à Poincaré (1892) et
Birkhoff (1932) section de Poincaré (surface of section in english)
- Cette technique est aussi applicable à des systèmes
ayant plus de deux degrés de liberté (ex: chaîne de Toda).
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Systèmes dynamiques
Section de Poincaré
a) Système hamiltonien à deux degrés de liberté
L’étude des orbites de ce système peut se réduire à un problème à 2 dimensions
Recette: sur une couche d’énergie E on prend une tranche de l’espace des phases en un
certain point, disons y = 0. Ensuite on suit une orbite donnée obtenue numériquement et
chaque fois que celle-ci passe par le point y = 0 on note les valeurs correspondantes de x et
de px. Si le potentiel V(x,y) admet des déplacements dans un domaine fini de l’espace, alors
l’orbite repassera de manière répétitive au travers de la tranche y = 0 de l’espace des phases.
De cette façon on peut construire une carte des valeurs successives de (x,px). L’ensemble de
ces points constitue la section de Poincaré à un signe près. En effet:
La section est en général construite en gardant un signe de py, disons py > 0
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Systèmes dynamiques
Section de Poincaré
Ces points sont les éléments d’une application discrète du plan.
py > 0
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Systèmes dynamiques
Section de Poincaré
Exemple 1: Modèle de Hénon-Heiles (1964)
Modèle simple pour décrire: (i) le déplacement d’une étoile dans le champ
gravitationnel cylindrique symétrique de la galaxie; (ii) le couplage non-linéaire
de liaisons moléculaires.
V(x,y) = Const. V(x,y)
Domaine fini de l’espace
EH
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Systèmes dynamiques
V(x,y) = Constante V(x,y)
trajectoires typiques avec x(0) = 0
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Systèmes dynamiquesSection de Poincaré
x = 0, px > 0
CI:
Système régulier
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Systèmes dynamiques
Section de Poincaré
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Systèmes dynamiques
Section de Poincaré
E augmente chaos augmente
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Systèmes dynamiques
1/8 < 0.14 < 1/6
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Systèmes dynamiques
Section de Poincaré
Exemple 2: le pendule élastique vertical
pesanteur élastique
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Systèmes dynamiquesÉquation de Lagrange
- E = const. car le système est conservatif
- Espace des phases à quatre dimensions
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Systèmes dynamiquesSection de Poincaré
x=const., px > 0
E/m = -20 J/kg E/m = 20 J/kg
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Systèmes dynamiquesSection de Poincaré
x=const., px > 0
E/m = 20 J/kg E/m = 40 J/kg
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Systèmes dynamiquesSection de Poincaré
Exemple 3: le double pendule vertical q1
q2
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Systèmes dynamiquesSection de Poincaré
Exemple 4: chaîne de Toda
(q2,p2)
(q3,p3)
(q1,p1)
- Système hamiltonien à 3 degrés de liberté
- l’EdP a 6 dimensions
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Systèmes dynamiques
Exemple 4: chaîne de Toda
- Exemple classique qui montre qu’il peut être très difficile de déterminer si un
problème est intégrable (autant d’intégrales premières que de DL) ou non.
- Toutes les conditions sont requises pour que le système soit non-intégrable
(3DL, NL). Cependant, les simulations numériques ne montrent que des
solutions régulières !!!!
- L’énergie est invariante H = E
- La quantité p1+ p2 + p3 est invariante (cf. TD)
Ceci nous permet de séparer les variables Q = q1+ q2 + q3 et P = p1+ p2 + p3
Le problème est ramené à l’étude d’un système possédant deux degrés de
liberté équivalent à une bille se déplaçant dans un potentiel à deux dimensions
vérifiant
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Systèmes dynamiques
Ce système est encore non-linéaire et possède suffisamment de DL pour être
chaotique…et pourtant les simulations numériques ne conduisent qu’à des
solutions régulières !!!
Ce qu’il faut retenir: Si le système étudié est non-linéaire et possède un
espace des phases de plus de deux dimensions, nous avons là les
conditions nécessaires pour avoir un comportement chaotique mais ces
conditions ne sont pas suffisantes.
On peut montrer qu’il existe une troisième intégrale première:
Pour x et y petits on obtient le hamiltonien (HH) suivant:
Ce dernier amène à une dynamique qui est toujours chaotique !
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Systèmes dynamiques
Système à un degré de liberté dépendant du temps
On considère des systèmes ayant 1 DL et soumis à une excitation périodique
(de période TD). Le hamiltonien de ces systèmes vérifie H(p,q,t+TD) = H(p,q,t)
Exemple 1: pendule simple amorti forcé
L’espace des phases est de dimension trois
On peut avoir des régimes chaotiques
Autre exemple:
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Systèmes dynamiques
Système à un degré de liberté dépendant du temps
a) Portrait de phases
Quand la trajectoire dans l’espace des phases est projetée sur le plan (w,q )
on obtient ce que l’on appelle un portrait de phase
1) si la trajectoire est périodique on obtient des courbes fermées
2) si la trajectoire est chaotique on obtient un ensemble de points
complètement dispersés dans le plan (w,q )
b) Section de Poincaré
C’est une image stroboscopique des trajectoires ensemble des points
Les orbites périodiques sont représentées par un ensemble fini de points
Les orbites chaotiques sont représentées par un ensemble infini de points
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Systèmes dynamiques
Système à un degré de liberté dépendant du temps
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Systèmes dynamiques
Mouvement périodique: h = 1.07; q = 2; wD = 0.6667
Portrait de phases Section de Poincaré
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Systèmes dynamiques
Mouvement chaotique: h = 1.15 (avant 1.07); q = 2; wD = 0.6667
Portrait de phases Section de Poincaré
Attracteur étrange !!!
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Systèmes dynamiquesAttracteur étrange !!!
- Ensemble de Cantor
- Dimension fractale…
(Carte itérative de Hénon)
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Systèmes dynamiques
Exemple 2: trois corps en interaction dans la configuration de Sitnikov
z
T = 2p, w = 1
m1 = m2= m/2 =1/2
orbite « plane » de Kepler d’excentricité e
m1 m2
Planétoïde de
masse
négligeable
m1 et m2 sont deux étoiles massives
intégrable perturbation
Hamiltonien périodique
Rappels: j
r
2a = 1équation de la trajectoire
Mouvement
le long de z
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Systèmes dynamiques
Exemple 2: trois corps en interaction dans la configuration de Sitnikov
e = 0.002
Situation très proche du système intégrable les orbites sont fermées
Point d’équilibre stable
à l’origine E = -2
Séparation entre orbites
liées et orbites non-liées
à E = 0
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Systèmes dynamiques
Exemple 2: trois corps en interaction dans la configuration de Sitnikov
e = 0.07
Situation moins proche du système intégrable
remplissage
de l’EdP Chaos
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Systèmes dynamiques
Exemple 2: trois corps en interaction dans la configuration de Sitnikov
e = 0.07
Situation chaotique
remplissage
de l’EdP Chaos
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Systèmes dynamiques
Exemple 2: trois corps en interaction dans la configuration de Sitnikov
e = 0.07
Trajectoire chaotique
Situation chaotique
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Systèmes dynamiquesExemple 3: Double puits
frottement forçageconfinement
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Systèmes dynamiques
La dynamique est contrôlée par trois paramètres ( d, f, w )
d = 0.15
w
f
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