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La loi des sinus
A
B
C
c
b
aa
sin A
b
sin B
c
sin C==
Remarque: Cette loi est utile dans les triangles quelconques.
Construisons un triangle quelconque et nommons-le ABC.
A
B
C
c
b
a
h
D
Dans le triangle ABC :
- posons c pour représenter le côté en face de l’angle C,
- posons a pour représenter le côté en face de l’angle A.
Traçons la hauteur BD ( h ).
Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle BDA et le triangle BDC.
Dans le triangle BDA, on a : sin A = hc
Isolons h : c sin A = h
Dans le triangle BDC, on a : sin C = h
aIsolons h : a sin C = h
a sin C = c sin A
Divisons les deux membres de l'équation par sin A sin C
a
sin A
c
sin C=
- posons b pour représenter le côté en face de l’angle B,
a sin C
sin A sin C
c sin A
sin A sin C=
En utilisant le méthode de comparaison, on obtient :
et simplifions.
Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle AEB et le triangle AEC.
Dans le triangle AEB, on a : sin B = k
c
Maintenant, traçons la hauteur AE ( k ).
a
A
B
C
c
b
k
E
Isolons k : c sin B = k
Dans le triangle AEC, on a : sin C = k
bIsolons k : b sin C = k
b sin C = c sin B
Divisons les deux membres de l'équation par sin B sin C
En utilisant le méthode de comparaison, on obtient :
b sin C=
sin B sin C
c sin B
sin B sin C
b
sin B
c
sin C=
Sia
sin A
c
sin C= et que
b
sin B
c
sin C= alors
a
sin A
c
sin C=
b
sin B=
et simplifions.
La loi des sinus s'utilise quand les trois conditions ci-dessous sont réunies:
- la mesure d’un angle - la mesure du côté opposé à cet angle- la mesure d’un autre élément du triangle
Remarque: Pour établir la proportion, on associe l’angle avec le côté qui lui fait face.
A
B
C
a
Exemple 1: On cherche la mesure de l’angle B.
Remarque : On utilise seulement une partie de la relation en fonction de l’information fournie; ainsi, la proportion sélectionnée sert d’outil de travail.
b
sin B
c
sin C=
4
sin B
5
sin 760=
sin B5
4 X 0,9702 ≈
alors sin-1 0,7762 50.90
m B 510
sin B 0,77625
0,9702≈
4
sin B
x
A
B
C
5 m
4 m
760
4 X 0,9702 ≈ 5 X sin B
Exemple 1: On cherche la mesure de l’angle B.
alors sin-1 0,7762 50.90
m B 510
0,7762
x
A
B
C
5 m
4 m
7602 )sin B sin C
=m AC m AB
On pourrait aussi procéder ainsi:
m AB=
m AC X sin Csin B
= 4 X sin 760
5
sin B
Avec la calculatrice: 4 sin760 ÷ 5
Exemple 2 : On cherche la mesure du coté BC.
1 ) m A = 530
4,1
m BC 4,1 m
2 )
510
A
B
C
5 m
4 m
760
La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 .
530
sin A sin B=
m BC m AC
sin 530
4
sin 510=
m BC
0,7986
4
0,7771
m BC
X 0,7771 4 X 0,7986m BC
0,79864 X 0,7771
=m BC
Exemple 2 : On cherche la mesure du coté BC.
1 ) m A = 530
m BC 4,1 m
2 )
510
A
B
C
5 m
4 m
760
La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 .
530
sin A sin B=m BC m AC
On pourrait aussi procéder ainsi:
m BC = m AC X sin A
sin B
m BC = 4 X sin 530
sin 510
Avec la calculatrice: 4 sin 53 ÷ sin 51 4,1
400
D
F E85,5
125
Exemple 3 : On cherche la mesure de
l’angle F.
85,5
sin 400
125
sin F=
sin F =125 sin 400
85,5=
125 X 0,6428
85,5≈ 0, 9398
sin F = 0,9398 m F ≈ 700 ?
?
L’angle F ne peut pas mesurer 700 car l’angle F est un angle obtus.
Il faut prendre son supplément soit 1100.
La calculatrice répond à la règle suivante: sin θ = sin ( 1800 – θ )
sin-1 0,9398 ≈ 700
Alors, regarde attentivement la sorte de triangle avant de répondre.
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