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UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours
© Inpl – janvier 200023
3. Fonctions trigonométriques réciproques
Vous pourrez revoir le paragraphe sur les fonctions réciproques du chapitre
précédent.
On rappelle qu’une fonction strictement monotone et continue sur un intervalle I est
une bijection de I sur f Ib g . La bijection réciproque f −1 définie de f Ib g sur I est
continue et strictement monotone de même monotonie que f.
De plus dans un repère orthogonal, les courbes représentatives de f et f −1 sont
symétriques par rapport à la droite d’équation réduite y x= .
Dans ce qui suit, nous allons rechercher des intervalles sur lesquels les fonctions
trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont strictement monotones. Nous
pouvons prendre n’importe lequel des intervalles satisfaisant la condition de stricte
monotonie, le choix de ces intervalles est arbitraire, cependant nous choisirons des
intervalles inclus dans l’intervalle référence des lignes trigonométriques −π π; .
3.1. Fonction Arcsinus
3.1.1. Définition
La fonction sinus est continue strictement croissante sur −LNMOQP
π π2 2
, .
C'est donc une bijection de −LNMOQP
π π2 2
, sur −11, .
On appelle cette fonction Arc sinus et on note x Arc x! sin la bijection réciproque
y Arc x
x
=∈ −
sin
,11 ⇔
x y
y
=
∈ −LNMOQP
sin
,π π2 2
La fonction Arcsinus est continue strictement croissante de −11, sur −LNMOQP
π π2 2
,
UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours
© Inpl – janvier 200024
3.1.2. Valeurs remarquables :
sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
0 0 0 0
6
1
2
1
2 6
4
2
2
2
2 4
3
3
2
3
2 3
21 1
2
= ⇔ =
= ⇔ =
= ⇔ =
= ⇔ =
= ⇔ =
Arc
Arc
Arc
Arc
Arc
π π
π π
π π
π π
3.1.3. Propriété d'imparité :
L’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, donc f x−b g est définie pour
toute valeur x de l’ensemble de définition.
De plus : ∀ ∈ − − = −x Arc x Arc x11, , sin sinb gLa fonction Arcsin est donc impaire.
y Arc x avec x x y avec y= − − ∈ − ⇔ − = ∈ −LNMOQPsin , sin ,b g 1 1
2 2
π π
⇔ = − − ∈ −LNMOQP⇔ − = ∈ −x y avec y y Arc x avec xsin , sin ,b g π π
2 21 1
3.1.4. Propriétés de composition :
Par définition d’une fonction f et de sa fonction réciproque f −1 , on a :
f f f f Id" "− −= =1 1 , donc :
∀ ∈ −LNMOQP =
∀ ∈ − =
y Arc y y
x Arc x x
π π2 2
1 1
; , sin sin
; , sin sin
b gb g
UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours
© Inpl – janvier 200025
Ces propriétés sont fondamentales et, on le verra, très utilisées dans les exercices.
Pour la deuxième égalité, il n’y a pas de problème car il faut de toutes les façons
vérifier que x appartient bien à l’intervalle −11, pour que la fonction
x Arc x! sin sinb g soit définie.
Pour la première, c’est plus délicat. x Arc y! sin sinb g est définie sur R, et si l'on
applique trop vite Arc y ysin sinb g = , y n'est pas forcément dans l'intervalle
−LNMOQP
π π2 2
; et le résultat est donc absurde.
Arc Arc et nonsin sin sin4
3
3
2 3
4
3
π π πFHGIKJ
FHG
IKJ = −
FHGIKJ = −
Soit f la fonction définie par : f x Arc x xb g b g= sin sin cos2 .
On utilise la formule du cours 2 2sin cos sinx x x= b gAlors : f x Arc x x Arc xb g b g b gc h= =sin sin cos sin sin2 2
Pour tout x, on a : − ≤ ≤1 2 1sin xb g , l’ensemble de définition de f est R.
On rappelle que la fonction x ax b! sin +b g est périodique de période 2πa
.
La fonction est donc périodique de période 2
2
π π= . Elle est impaire comme
composée de deux fonctions impaires x x! sin 2b g et x Arc x! sin . (Propriété
intéressante qu'il ne faut pas retenir, car elle est très simple à démontrer.)
On l’étudie sur l’intervalle 02
;πLNMOQP .
x x∈ LNMOQP ⇔ ∈0
22 0; ;
π π
• Sur 04
;πLNMOQP , 2 0
2x ∈ LNM
OQP;
π donc f x Arc x xb g b gc h= =sin sin 2 2
• Sur π π4 2
;LNMOQP , il faut se ramener par des transformations trigonométriques à
l’intervalle 02
;πLNMOQP .
UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours
© Inpl – janvier 200026
22
x ∈ LNMOQP
π π; donc π π− ∈ LNMOQP2 0
2x ; , or ∀ ∈ − =A R A A, sin sinπb g donc
f x Arc x Arc x xb g b gc h b gc h= = − = −sin sin sin sin2 2 2π π
En résumé : f est périodique de période π , impaire définie sur 02
;πLNMOQP par :
f x
x si x
x si x
b g =∈ LNMOQP
− ∈ OQPOQP
RS||
T||
2 04
24 2
;
;
π
π π π
(MATH05E04A)
Simplifier:
a Arc b Arc c Arc d Arc= FHGIKJ = F
HGIKJ = F
HGIKJ = F
HGIKJsin sin , sin sin , sin sin , sin sin
π π π π4
3
4
3
5
11
7
3.1.5. Autres propriétés :
En utilisant sin cos2 2 1A A+ = , on établit
• ∀ ∈ − = −x Arc x x11 1 2, cos( sin )
En effet, cos ( sin ) sin ( sin )2 2 21 1Arc x Arc x x= − = −
Or Arc xsin ;∈ −LNMOQP
π π2 2
donc cos( sin )Arc x x= −1 2
• ∀ ∈ − =−
x Arc xx
x11
1 2, tan( sin )
UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours
© Inpl – janvier 200027
tan sinsin sin
cos sinArc x
Arc x
Arc x
x
xb g b g
b g= =−1 2
3.1.6. Dérivée :
La fonction sinus est dérivable sur −LNMOQP
π π2 2
, et ∀ ∈ −OQPLNM ′ = ≠y y y
π π2 2
0, , sin cos
Appliquons le théorème de dérivation d'une fonction réciproque
f xf f x
−−
′ =10 1
0
1e j b g b ge j'
∀ ∈ − ′ =′
= =−−
x Arc xf f x Arc x x
111 1 1
11 2
, , sincos sinb ge j b g
La fonction xx
!1
1 2− est indéfiniment dérivable sur l'intervalle −11, , la
fonction Arcsinus est de classe C sur∞ −11,
3.1.7. Conséquence :
La fonction composée x Arc u x! sin b g est définie si et seulement si
u x existe
et u x
b gb g− ≤ ≤
RS|T| 1 1
Elle est dérivable sur −1 1; si et seulement la fonction u est dérivable sur −1 1; et
on a Arc u xu x
u xsin
'b g b g b gb g
′ =−1 2
UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours
© Inpl – janvier 200028
3.1.8. Courbe représentative :
Tableau de variation
x -1 0 1
Arc xsin π2
0
−π2
Courbe représentative :
(MATH05E05A)
Etudier la fonction définie R par : f X Arc X: sin sin! b g
UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours
© Inpl – janvier 200029
3.2. Fonction Arcosinus
3.2.1. Définitions
La fonction cosinus est continue strictement décroissante sur 0,π .
C'est une bijection de 0,π sur −11, .
On appelle Arccosinus et on note x Arc x! cos la bijection réciproque:
y Arc x
x
=
∈ −
cos
,11 ⇔
x y
y
=
∈
cos
,0 π
C'est une fonction continue strictement décroissante de −11, sur −LNMOQP
π π2 2
,
3.2.2. Valeurs remarquables :
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
0 1 1 0
6
3
2
3
2 6
4
2
2
2
2 4
3
1
2
1
2 3
20 0
2
= ⇔ =
= ⇔ =
= ⇔ =
= ⇔ =
= ⇔ =
Arc
Arc
Arc
Arc
Arc
π π
π π
π π
π π
3.2.3. Dérivée
La fonction cosinus est dérivable sur 0;π et
∀ ∈ ′ = − ≠y y y0 0; , cos sinπ
En effet, appliquons le théorème de dérivation d'une fonction réciproque
( ( ))' ( )
'f xf f x
−−
=10 1
0
1
UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours
© Inpl – janvier 200030
∀ ∈ − ′ =′
=−
= −−−
x Arc xf f x Arc x x
111 1 1
11 2
, , cossin cosb ge j b g
La fonction xx
! −−
1
1 2 est indéfiniment dérivable sur l'intervalle −11, , la
fonction Arccosinus est de classe C sur∞ −11,
3.2.4. Conséquence :
La fonction composée x Arc u x! cos b g est définie si et seulement si
u x existe
et u x
b gb g− ≤ ≤
RS|T| 1 1
Elle est dérivable sur −1 1; si et seulement si la fonction u est dérivable sur −1 1; et
Arc u xu x
u xcos
'b g b g b gb g
′ = −−1 2
3.2.5. Centre de symétrie :
∀ ∈ − + − =x Arc x Arc x11, , cos cosb g π , donc le point I ( , )02
πest centre de
symétrie pour la courbe représentant les variations de la fonction Arccosinus.
Considérons la fonction f définie sur −1 1; par f x Arc x Arc xb g b g= + −cos cos
f est dérivable sur −1 1; et ∀ ∈ − ′ = −−
− −
−=x f x
x x1 1
1
1
1
10
2 2; , b g
On en déduit donc que f est constante sur −1 1; et
f x f Arc Arcb g b g b g= = + − = + =0 0 02 2
cos cosπ π π
On vérifie que f f1 1b g b g= − =π
Donc ∀ ∈ − + − =x Arc x Arc x11, , cos cosb g π
UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours
© Inpl – janvier 200031
Vous retiendrez ce principe de démonstration très courant :
Pour démontrer que deux fonctions sont égales, on démontre qu’elle ont même
dérivée et qu’elles coïncident en un point.
3.2.6. Propriétés de composition :
∀ ∈ =
∀ ∈ − =
y Arc y y
x Arc x x
0
1 1
; , cos cos
; , cos cos
π b gb g
Comme pour les propriétés de composition de la fonction Arcsinus, il n’y a pas de
problème pour la deuxième égalité car il faut de toutes les façons vérifier que x
appartient à l’intervalle −11, pour que la fonction x Arc x! cos cosb g soit définie.
Pour la première, c’est plus délicat. x Arc y! cos cosb g est définie sur R et il faut
agir avec grand soin.
Ar Arcos cos cos4
3
1
2
2
3
π πFHG
IKJ = −FHG
IKJ = et non
4
3
π qui n'appartient pas à l'intervalle
0;π .
Soit f la fonction définie sur R par f x Arc xb g = −FHGIKJ
FHG
IKJcos sin
π2
3
En remarquant que pour tout A, sin cosπ2
−FHGIKJ =A A , on peut améliorer l’expression
de f : f x Arc xb g b gc h= cos cos 3
Pour tout A, on a : − ≤ ≤1 1cos A , l’ensemble de définition de f est R.
La fonction est périodique de période 2
3
π. Elle est paire car la fonction cosinus est
paire. On l’étudie sur l’intervalle 03
;πLNMOQP .
x x∈ LNMOQP ⇔ ∈0
33 0; ;
π π , donc f x Arc x xb g b gc h= =cos cos 3 3
UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours
© Inpl – janvier 200032
(MATH05E06A)
Simplifier:
a Arc b Arc c Arc d Arc= FHGIKJ = F
HGIKJ = F
HGIKJ = F
HGIKJcos cos , cos cos , cos cos , cos cos
π π π π4
3
4
7
5
11
7
3.2.7. Autres propriétés :
• ∀ ∈ − = −x Arc x x1 1 1 2; sin cosb g
• ∀ ∈ − ∪ = −x Arc x
x
x1 0 0 1
1 2
; ; tan cosb gLes démonstrations sont similaires à celle du paragraphe précédent 3.1.5.
3.2.8. Courbe représentative :
∀ ∈ −LNMOQP + =x Arc x Arc x
π π π2 2 2
, , sin cos
Les représentations graphiques respectives des fonctions Arcsinus et Arccosinus sont
symétriques par rapport à la droite d'équation y = π4
Nous pourrions faire une démonstration similaire à la démonstration du paragraphe
3.2.5. Nous proposons une autre démonstration.
UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours
© Inpl – janvier 200033
Posons y Arc x et z y
on a x y avec y
D où x z z avec z
= = −
= ∈ −LNMOQP
= −FHGIKJ = ∈
sin
sin ,
' sin cos ,
π
π π
π π
2
2 2
20
c'est-à-dire z Arc x= cos
∀ ∈ − + = + =x Arc x Arc x y z1 12
, , sin cosπ
Si on choisit cette démonstration, cela permet de démontrer que les deux fonctions
Arcsinus et Arccosinus ont des dérivées opposées.
(MATH05E07A)
Donner une expression plus simple des fonctions :
f x Arc x et g x Arc x: cos cos : sin cos! !2 21
2
1
2FHG
IKJ
FHG
IKJ
3.3. Fonction Arctangente
3.3.1. Définition
La fonction tangente est continue strictement croissante sur −OQPLNM
π π2 2
, .
C'est une bijection de −OQPLNM
π π2 2
, sur R.
On appelle Arctangente et on note x Arc x! tan la bijection réciproque :
y Arc x
x
=∈
tan
R ⇔
x y
y
=
∈ −OQPLNM
tan
,π π2 2
C'est une fonction continue strictement croissante de R sur −OQPLNM
π π2 2
, .
UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours
© Inpl – janvier 200034
3.3.2. Valeurs remarquables :
tan tan
tan tan
tan tan
tan tan
lim tan lim tan
0 0 0 0
6
3
3
3
3 6
41 1
4
33 3
3
22
2
= ⇔ =
= ⇔ =
= ⇔ =
= ⇔ =
= +∞ ⇔ =→
<
→+∞
Arc
Arc
Arc
Arc
x Arc xx
x
x
π π
π π
π π
ππ
π
3.3.3. Propriété d'imparité :
La fonction Arctangente est impaire et ∀ ∈ − = −x R Arc x Arc x, tan tanb g
x R
Arc x y
y R
x y
y R
x y
y R
x y
x R
Arc x y
∈− =
RST⇔
∈− =RST ⇔
∈= −RST
⇔∈= −RST
⇔∈
= −RST
tan tan tan
tan tan
b g
b gFinalement :
x R
Arc x y
x R
Arc x yx R Arc x Arc x
∈− =
RST⇔
∈− =RST ⇒ ∀ ∈ − = −
tan tan, tan tanb g b g
La fonction Arctangente est impaire, sa courbe représentative est symétrique par
rapport à l’origine dans un repère orthonormal.
3.3.4. Propriétés de composition :
∀ ∈ −OQPLNM =
∀ ∈ =
y Arc y y
x R Arc x x
π π2 2
, , tan tan
tan tan
b gb g,
UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours
© Inpl – janvier 200035
Comme pour les propriétés de composition de la fonction Arcsinus et de la fonction
Arccosinus, il n’y a pas de problème pour la deuxième égalité car elle est vraie pour
tout réel x.
Pour la première, il faudra prendre les précautions d’usage.
De plus
∀ ∈ =+
∀ ∈ =+
x R Arc xx
x
x R Arc xx
, sin tan
, cos tan
b g
b g1
1
1
2
2
Démontrons la deuxième :
∀ ∈ =+
=+
− < < =+
=+
x R Arc xArc x x
Or Arc x donc Arc xx x
, cos tantan tan
tan , cos tan
22 2
2 2
1
1
1
1
2 2
1
1
1
1
b g b gb gπ π
On peut en déduire la première :
∀ ∈ = =
= =+
x R Arc xArc x
Arc xx
Donc Arc x x Arc xx
x
, tan tansin tan
cos tan
sin tan cos tan
b g b gb g
b g b g1 2
3.3.5. Dérivée :
La fonction Arctangente est dérivable sur R et ∀ ∈ ′ =+
x R Arc xx
, tan b g 1
1 2
La fonction tangente est dérivable sur −OQPLNM
π π2 2
, et que
∀ ∈ −OQPLNM ′ = + ≠y y y
π π2 2
1 02, tan tanb g
UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours
© Inpl – janvier 200036
La fonction Arctangente est donc dérivable sur R
Appliquons le théorème de dérivation des fonctions réciproques :
f xf f x
−−
′ =10 1
0
1e j b g b ge j'
∀ ∈ ′ =+
=+
x R Arc xArc x x
, tantan tan
b g b gc h1
1
1
1 2
La fonction xx
!1
1 2+ est indéfiniment dérivable sur R, la fonction Arccosinus est
donc de classe C∞ sur R.
La fonction x Arc u x! tan b g est dérivable si et seulement si x u x! b g est dérivable
et Arc u xu x
u xtan
'b g b g b gb g
′ =+1 2
3.3.6. Tableau de variation et courbe.
x −∞ 0 +∞
Arc xtan π2
0
−π2
UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours
© Inpl – janvier 200037
3.3.7. Autres propriétés :
Arc x Arcx
si x
si x
tan tan+ =>
− <
RS||
T||1 2
0
20
π
π
On dérive la fonction f définie sur R* par f x Arc x Arcx
b g = +tan tan1
La fonction f est dérivable sur chaque intervalle de son ensemble de définition.
′ =+
++
× −FHGIKJ =
+−
+=f x
xx
x x xb g 1
1
1
11
1 1
1
1
10
2
2
2 2 2
La fonction est donc constante sur chaque intervalle. De plus, on a :
lim tan
lim tan
lim
lim tan
lim tan
lim
x
x
x
x
x
x
Arcx
Arc x
f x
Arcx
Arc x
f x
→−∞
→−∞
→−∞
→+∞
→+∞
→+∞
=
= −
RS||
T||⇒ = −
=
=
RS||
T||⇒ =
10
2
2
10
2
2
ππ
ππ
b g
b g
D’où le résultat.
UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours
© Inpl – janvier 200038
(MATH05E08A)
Simplifier :
a Arc
b Arc
c Arc
d Arc
= FHGIKJ
= FHGIKJ
= FHGIKJ
= FHG
IKJ
tan tan
tan tan
tan tan
tan tan
π
π
π
π
4
3
4
7
11
11
7
(MATH05E09)
Résoudre l’équation : Arctan 2x + Arctan x =4
b g π
(MATH05E10)
Etudier la fonction f définie par : f x = Arcsin 2x + 1b g b g
(MATH05E11)
On considère un triangle ABC rectangle en A, tel que BC a= 2 et l'angle B mesure
π8
Rad.
1) Soit O le milieu de BC et H le projeté orthogonal de A sur BC . Démontrer
OH HAa 2
2= = . En déduire que AB a 2 2= + .
2) Dans le triangle rectangle AHB, calculer : cosπ π π8 8 8
, sin et tan .
(MATH05E12)
En utilisant l'exercice MATH05E05A, déduire une expression plus simple de la
fonction g définie par : g x Arc x x: sin! 3 4 3−e j
(MATH05E13)
Calculer:
w Arc Arc Arc Arc11
3
1
5
1
7
1
8= + + +tan tan tan tan
en déduire
w Arc Arc Arc Arc2 2 3 7 8= + + +tan tan tan tan
(MATH05E14)
Résoudre dans R : Arc x Arc xtan tan2 34
b g b g+ = −π
(MATH05E15)
Démontrer que ∀ ∈ − =−
x Arc x Arcx
x1 1
1 2; , sin tan
(MATH05E16)
Arc x
Arcx
xpour x
Arcx
xpour x
cos
tan ,
tan ,
=
−FHGG
IKJJ
∈
−FHGG
IKJJ
+ ∈ −
R
S|||
T|||
10 1
11 0
2
2
π
(MATH05S01)
Etudier la fonction f définie sur R par ( ) = +f x x xsin .
On cherchera en particulier les points d’inflexion et on donnera un équation des
tangentes en ces points.
(MATH05S02)
Etudier la fonction f x Arcx
x: tan!
1
1
+−
(MATH05E04B)
Résoudre dans R : Arc Arc Arc xsin sin sin4
5
5
13+ =
(MATH05E04C)
Résoudre dans R : Arc Arc Arc xsin sin sin4
5
5
6+ =
(MATH05E05B)
En utilisant l'exercice (MATH05E05A) déduire une expression plus simple de lafonction :
g x Arcx x
: sin!+ −1
2
2
(Le changement de variable est suggéré dans l’aide.)
(MATH05E05C)
En utilisant l'exercice (MATH05E05A), déduire une expression plus simple de lafonction :
g x Arc x x: sin! 2 1 2−FH IK(Le changement de variable est suggéré dans l’aide.)
(MATH05E06B)
Résoudre dans R : Arc Arc Arc xcos cos sin1
3
1
4+ =
(MATH05E06C)
Résoudre dans R : Arc Arc Arc xcos cos cos1
3
1
4+ =
(MATH05E07B)
Etudier la fonction :
f x Arc x Arc x: cos cos cos cos! b g b g+ 1
22
(MATH05E08B)
Calculer :
u Arc Arc= +tan tan1
2
1
3En déduire v Arc Arc= +tan tan2 3
(MATH05E08C)
En calculant la dérivée de la fonction définie sur R par :
f x Arc x Arc x xb g = + + −FH IKtan tan2 1 2
En déduire que pour tout réel x :
Arc x Arc x xtan tan+ + −FH IK =2 12
2 π
(MATH05E09)
La fonction f définie sur R par f x x xb g b g= +arctan arctan2 est strictement
croissante et continue comme somme de fonctions strictement croissantes etcontinues.
De plus f 0 0b g =
Donc π4
admet un antécédent unique positif.
On prend la tangente de chaque membre :
Arc x Arc x Arc x Arc x
Arc x Arc x
Arc x Arc x
x x
x
tan tan tan tan tan
tan tan tan tan
tan tan tan tan
24
2 1
2
1 21
2
1 21
2
b g b gc hb gc h b gb gc h b g
+ = ⇒ + =
⇒+
−=
⇒ +−
=
π
Soit 2 3 1 02x x+ − = qui admet deux racines distinctes :
x et x1 23 17
4
3 17
4= − − = − +
Seule convient la solution positive donc S3 17
4= − +RST
UVW
(MATH05E10)
f x Arcsin 2x + 1b g b g=
• Ensemble de définition : il faut et il suffit que − ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤1 2x 1 1 1 x 0Soit D 1,0f = −
• Etude aux bornes du domaine :
f 1 = Arcsin 1 =2
et f 0 = Arcsin 1 =2
− − −b g b g b g b gπ π
• Variations : f est dérivable sur −1,0 et on a :
′ =− +
=− −
f x1 2x 1
2
4x 4x2 2b g
b g2
Donc f est strictement croissante sur Df .
d’où le tableau de variations
x −1 0
′f +
f
π2
− π2
• Concavité et point d'inflexion:
′f est dérivable sur −1,0 et on a: ′′ =+
− −FH IKf x
4 2x 1
4x 4x23b g b g
′′f s'annule en x =1
2− , en changeant de signe, donc il y a un point d'inflexion
en −FHGIKJ
1
2,0 .
• Tangentes aux points particuliers:
lim f x x 1x> 1→−
−
′ = +∞ ⇒b g demi-tangente verticale au point − −FHGIKJ1,
2
π
lim f x 0x<0→
′ = +∞ ⇒xb g demi-tangente verticale au point 0,2
πFHGIKJ
′ −FHGIKJ = ⇒f
1
22 Equation de la tangente au point d'inflexion: y 2x 1= +
• Représentation graphique :
(MATH05E11)
Les points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon OA OB OC= = donc
OAC est isocèle de sommet O et d'angle C = − =π π π2 8
3
8
L'angle COA AH OA a= − = = = =π π π π π2
3
8 4 4 4
2
2 OH = OAcos sin
AB BC AC 4a CH AH 4a a AH AH2 2 2 2 2 2 2 2= − = − + = − − +e j b ge j2
= 4a a a2
2
a
24a a
3 2 2
2
a
2
= 4a 2a a 2 a (2 2 ) AB a 2 2
22 2
2 22
2 2 2 2
− −FHG
IKJ +
FHGG
IKJJ = − ⋅ − +
FHG
IKJ
− + = + = +
2) cosπ8
2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2= =
+
+= +
+= +HB
AB
aa
a
sin8
AH
AB
a 2
2a 2 2
1
2
2
2 2
2 2
2
π = =+
=+
= −
tan8
2 2
2+ 2
2 2
2 + 2
2
4 22 2 2
π = − = − = −−
= − = − = −6 43 2 1 1
2d i
(MATH05E12)
Déterminons l'ensemble de définition D x R x xg = ∈ − ≤ − ≤/ 1 3 4 13o t
On peut étudier la fonction auxiliaire u x x x: ! 3 4 3− sur l’intervalle −1 1, .
u est dérivable et u x x' b g = −3 12 2 .
On obtient le tableau de variations de la fonction u suivant :
x −1 − 1
2
1
2 1
′u − 0 + 0 −
u
1 1
−1 −1
− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ = −1 1 1 1 1 1u x x et donc Dgb g ,
La fonction sinus est une bijection de −LNMOQP = −π π
2 21 1, ,sur Dg
g x g Arc Arcb g b g e j b gc h= = − =sin sin sin sin sin sinϕ ϕ ϕ ϕ3 4 33
On retrouve l'exercice MATH05E05A avec X = 3ϕ
• ϕ π π π π ϕ π π ϕ π ϕ∈ − −LNMOQP ⇒ − + − ∈ −LNM
OQP = − −
2 62 3
2 23 3, , sin sinet Arc b gc h
Pour x g x Arc x∈ − −LNMOQP = − −1
1
23, , sinb g π
• ϕ π π ϕ π π ϕ ϕ∈ − −OQPOQP ∈ −LNM
OQP =
6 63
2 23 3, , sin sinalors et Arc b gc h
Pour x alors g x Arc x∈ −OQPOQP =1
2
1
23; , sinb g
• ϕ π π π ϕ π π ϕ π ϕ∈ OQPOQP − ∈ −LNM
OQP = −
6 23
2 23 3, , sin sinalors et Arc b gc h
Pour x alors g x Arc x∈ OQPOQP = −1
21 3, , sinb g π
On vérifie sur ces formules que g est continue sur −1 1,
(MATH05E13)
La fonction x Arc x! tan est croissante sur R.
11
3
1
5
1
7
1
80> > > > >
Donc :π4
11
3
1
5
1
7
1
8= > > > >Arc Arc Arc Arc Arctan tan tan tan tan
Soit :
01
3
1
5
1
7
1
8< + + + <Arc Arc Arc Arctan tan tan tan π
Utilisons : tantan tan
tan tana b
a b
a b+ = +
−b g
1
Calculons séparément
tan tan tanArc Arc1
3
1
5
1
3
1
5
11
3
1
5
4
7+F
HGIKJ =
+
− ×=
tan tan tanArc Arc1
7
1
8
1
7
1
8
11
7
1
8
3
11+F
HGIKJ =
+
− ×=
Puis de nouveau :
tan w1
4
7
3
11
14
7
3
11
1=+
− ×=
w
w
w Arc1
1
10
2
1
14
∈ − RSTUVW
=
RS|T|
⇒ = =,
tan
tanπ π
π
En utilisant : Arc x Arcx
avec xtan tan+ = >1
20
π pour les valeurs :
x x x puis x= = = =3 5 7 8, ,
w w1 2 2+ = π
Comme w1 4= π
alors w Arc Arc Arc Arc2 2 3 7 87
4= + + + =tan tan tan tan
π
(MATH05E14)
φ : tan tanx Arc x Arc x! 2 3b g b g+La fonction φ est continue, strictement croissante sur R, donc bijective de
R sur −π π;
− π4
admet un antécédent et un seul sur R
L'équation Arc x Arc xtan tan2 34
b g b g+ = −π admet donc une solution et une seule
Calculons la tangente des deux membres.
Utilisons : tantan tan
tan tana b
a b
a b+ = +
−b g
1
tan tan tan tan
tan tan tan tan
Arc x Arc x
Arc x Arc x
2 3
1 2 31
b gc h b gc hb gc h b gc h
+
−= −
5
1 61
6 5 1 0
1
6
1
1
6
2
2
2
x
x
x x
x
x
ou
x−
= − ⇒− − =
≠
RS|T|
⇒=
= −
R
S||
T||
Comme nous avons raisonné par implication, vérifions si ces solutions sont bonnes.
Pour x = 1, Arc Arctan tan2 3 0+ > , donc 1 n'est pas solution
L’équation possédant une solution et une seule, nécessairement il s’agit de x = − 1
6On obtient alors l’égalité :
Arc Arc Arc Arctan tan tan tan−FHGIKJ + −FHG
IKJ = − F
HGIKJ +
FHGIKJ
FHG
IKJ = −1
3
1
2
1
3
1
2 4
π
(MATH05E15)
Démontrons que ∀ ∈ − =−
x Arc x Arcx
x11
1 2, , sin tan
Arc Arcsin tan00
1 00=
−=
Les fonctions x Arc x et x Arcx
x! !sin tan
1 2− sont dérivables sur −1 1; et
Arc xx
Arcx
x
xx
x
x
x
x
x x
x
x x x
sin
tan
′ =−
′−
FHG
IKJ =
− − −
−−
+−
FHG
IKJ
=
− +
−− +
=−
b g 1
1
1
12
2 1
1
11
1
1
1
1
1
2
2
22
2
2
2
2
2 2
2
2 2 2
Les dérivées sont donc égales ce qui prouve que les fonctions sont égales car ellescoïncident pour x = 0 .
(MATH05E16)
Démontrons : Arc x
Arcx
xpour x
Arcx
xpour x
cos
tan ,
tan ,
=
−FHGG
IKJJ
∈
−FHGG
IKJJ
+ ∈ −
R
S|||
T|||
10 1
11 0
2
2
π
• Pour x ∈ 01, posons : y Arc x avec y= ∈ LNMLNMcos ,0
2
π
alors cos sin tany x et y x donc yx
x= = − = −
112
2
Et donc : y Arc x Arcx
xpour x= = −F
HGGIKJJ
∈cos tan ,1
0 12
• Pour x ∈ − 1 0, on utilise Arc x Arccos cos+ − =1b g π et l’imparité de la
fonction Arctangente. On obtient alors :
Arc x Arc x Arcx
xArc
x
xcos cos tan tan= − − = − −
−
FHGG
IKJJ
= + −FHGG
IKJJ
π π πb g 1 12 2
(MATH05E04A)
Si y est une valeur usuelle, on calcule sin y puis Arc y ysin sinb g =
Exemple : Arc Arcsin sin sin5
4
2
2 4
π πFHGIKJ = −
FHGIKJ = −
Sinon, il faut appliquer la formule suivante : ∀ ∈ −LNMOQP =y Arc y y
π π2 2
, , sin sinb g
Donc si y ∉ −LNMOQP
π π2 2
; il faut utiliser la périodicité ou les propriétés de symétrie des
fonctions considérées.
Exemple : Arc Arc Arcsin sin sin sin sin sin11
5
11
52
5 5
π π π π πFHG
IKJ = −F
HGIKJ
FHG
IKJ = F
HGIKJ =
(MATH05E04B)
Il faut démontrer que la fonction x Arc x! sin est une bijection de
− −OQPLNM1 1
2 2, ,sur
π π donc que l'équation Arc Arc Arc xsin sin sin
4
5
5
13+ = admet
une solution α et une seule dans l'intervalle −11,
Puis on calcule le sinus des deux membres, et on utilise :
∀ ∈ − = = −x Arc x x et Arc x x1 1 1 2, , sin sin cos sinb g b g
(MATH05E04C)
Petit piège, il faut encadrer Arc Arcsin sin4
5
5
6+ et conclure.
(MATH05E05A)
Il faut démontrer que la fonction est impaire et de période 2π
Elle admet la droite d'équation X = π2
comme axe de symétrie
On prendra donc 02
,πLNMOQP comme intervalle d'étude
Enfin Sur f X Arc X X02
, , sin sinπLNMOQP = =b g b g permet de terminer l’étude.
(MATH05E05B)
Il faut chercher l’ensemble de définition et démontrer :
D x R x etx x
g = ∈ − ≥ + − ≤RS|T|
UV|W|
= −/ ,1 01
21 1 12
2
Il faut penser au changement de variable :
xArc x
x
=
∈ −LNMOQP
RS|T|
⇔=∈ −RST
sin
,
sin
,
ϕ
ϕ π πϕ
2 21 1
Se ramener à g x Arcb g = +FHGIKJ
FHG
IKJsin sin ϕ π
4 et à l’exercice MATH05E05A avec
X = +ϕ π4
(MATH05E05C)
On démontre que : D x R x et x xg = ∈ − ≥ −FH IK ≤RST
UVW = −1 0 2 1 1 1 12 2 ;
On Effectue ensuite le changement de variable :
xArc x
x
=
∈ −LNMOQP
RS|T|
⇔=∈ −RST
sin
,
sin
,
ϕ
ϕ π πϕ
2 21 1
On se ramène à g Arcsin sin sinϕ ϕb g b g= 2 et à l’exercice MATH05E05A avec
X = 2ϕ
(MATH05E06A)
Si y est une valeur usuelle, on calcule cos y puis Arc y ycos cosb g =
Exemple : Arc Arccos cos cos−FHGIKJ
FHG
IKJ =
FHGIKJ =π π
4
2
2 4
Sinon, il faut appliquer la formule suivante : ∀ ∈ =y Arc y y0; , cos cosπ b gDonc si y ∉ 0;π il faut utiliser la périodicité ou les propriétés de symétrie des
fonctions considérées.
Exemple : Arc Arc Arccos cos cos cos cos cos11
5
11
52
5 5
π π π π πFHG
IKJ = −F
HGIKJ
FHG
IKJ = F
HGIKJ =
(MATH05E06B)
Il faut encadrer Arc Arccos cos1
3
1
4+ et conclure.
(MATH05E06C)
Il faut montrer que 01
3
1
4< + <Arc Arccos cos π donc comme la fonction
x Arc x! cos est strictement décroissante de −1 1 0, ,sur π
L'équation Arc Arc Arc xcos cos cos1
3
1
4+ = admet donc une solution α et une
seule dans l'intervalle −1 1;
En calculant le cosinus des deux membres, et en utilisant les formules :
cos cos cos sin sin sin cosa b a b a b et Arc A A+ = − = −b g b g 1 2
Conclure.
(MATH05E07A)
On peut utiliser les formules de l’angle moitié : coscos2 1 2
2a
a= + et
sincos2 1 2
2a
a= −
(MATH05E07B)
Il faut étudier les fonctions f x Arc x1: cos cos! b g et f x Arc x21
22: cos cos! b gc h
Trouver la période et se placer sur des intervalles où l’on peut conclure.
(MATH05E08A)
Si y est une valeur usuelle, on calcule tan y puis Arc y ytan tanb g =
Exemple : Arc Arctan tan tan4
33
3
π πFHGIKJ
FHG
IKJ = =d i
Sinon, il faut appliquer la formule suivante : ∀ ∈ −OQPLNM =y Arc y y
π π2 2
; , tan tanb g
Donc si y ∉ −OQPLNM
π π2 2
; il faut utiliser la périodicité ou les propriétés de symétrie des
fonctions considérées.
Exemple : Arc Arc Arctan tan tan tan tan tan9
5
9
52
5 5
π π π π πFHGIKJ = −FHG
IKJ
FHG
IKJ = −FHG
IKJ
FHG
IKJ = −
(MATH05E08B)
On pose u Arc Arc= +tan tan1
2
1
3.
Montrer que u ∈ OQPLNM0
2,π
On pourra utiliser : tantan tan
tan tana b
a b
a b+ = +
−b g
1 et ∀ ∈ =x R Arc x x, tan tanb g
(MATH05E08C)
Vous devez trouver ′ =f xb g 0 . En déduire que f est constante et trouver cette
constante en prenant une valeur particulière simple.
(MATH05E04A)
• a Arc= FHGIKJsin sin
π4
∀ ∈ −LNMOQP =y Arc y y
π π2 2
, , sin sinb g
La formule précédente s'applique puisque π4
appartient à l'intervalle −LNMOQP
π π2 2
,
a Arc= FHGIKJ =sin sin
π π4 4
• b Arc= FHGIKJsin sin
3
4
π
on utilise les valeurs des lignes trigonométriques des angles donnés :
b Arc Arc= FHGIKJ =
FHGIKJ =sin sin sin
3
4
2
2 4
π π
on peut aussi utiliser la relation sin sinπ α− =xb g
b Arc Arc Arc= FHGIKJ = −FHG
IKJ
FHG
IKJ = F
HGIKJ =sin sin sin sin sin sin
3
4
3
4 4 4
π π π π π
• c Arc= FHGIKJsin sin
3
5
π
sin sin sin3
5
2
5
2
5
π π π π= −FHGIKJ = et 2
5 2 2
π π π∈ −LNMOQP,
donc c Arc Arc= FHGIKJ = F
HGIKJ =sin sin sin sin
3
5
2
5
2
5
π π π
• d Arc= FHG
IKJsin sin
11
7
π
sin sin sin11
72
3
7
3
7
π π π π= −FHGIKJ = −FHG
IKJ et − ∈ −LNM
OQP
3
7 2 2
π π π,
donc d Arc Arc= FHG
IKJ = −FHG
IKJ
FHG
IKJ = −sin sin sin sin
11
7
3
7
3
7
π π π
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de faire l’exercice ci-dessous.
(MATH05E04B)
La fonction x Arc x! sin est strictement croissante de − −OQPLNM1 1
2 2, ,sur
π π
2
2
4
5
3
2 4
4
5 3< < ⇒ < <π π
Arc sin
05
13
1
20
5
13 6< < ⇒ < <Arc sin
π
et en faisant la somme:
π π4
4
5
5
13 2< + <Arc Arcsin sin
La fonction x Arc x! sin est une bijection de − −OQPLNM1 1
2 2, ,sur
π π
L'équation Arc Arc Arc xsin sin sin4
5
5
13+ = admet une solution α et une seule
dans l'intervalle −11,
Calculons le sinus des deux membres, et utilisons :
∀ ∈ − = = −x Arc x x et Arc x x1 1 1 2, , sin sin cos sinb g b g
α = +FHG
IKJ = F
HGIKJ +
FHG
IKJsin sin sin cos sin cos sinArc Arc Arc Arc
4
5
5
13
4
5
4
5
5
13
5
13
on obtient:
α = − + − = ∈ −4
51
16
25
5
131
25
169
63
651 1avec a ;
Comme nous avons montré l'existence et l'unicité de la solution:
α = 63
65 est la seule solution de l’équation : Arc Arc Arc xsin sin sin
4
5
5
13+ =
Remarque : En prenant le sinus des deux membres, on cherche les solutions de l'une
des équations :
Arc x Arc Arc k k Zsin sin sin= + + ∈4
5
5
132 1 1π
Arc x Arc Arc k k Zsin sin sin= − +FHG
IKJ + ∈π π4
5
5
132 2 2
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de faire l’exercice ci-dessous.
(MATH05E04C)
La fonction x Arc x! sin est strictement croissante de − −OQPLNM1 1
2 2, ,sur
π π
2
2
4
5
3
2 4
4
5 3< < ⇒ < <π π
Arc sin
2
2
5
6
3
2 4
5
6 3< < ⇒ < <π π
Arc sin
et en faisant la somme:
π π2
4
5
5
6
2
3< + <Arc Arcsin sin
Or Arc xsin ,∈ −LNMOQP
π π2 2
Donc l'équation Arc Arc Arc xsin sin sin4
5
5
6+ = n'admet pas de solution
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de consulter votre tuteur.
(MATH05E05A
La fonction est définie et continue sur R, elle est périodique de période 2π car
∀ ∈ + ∈ + =X R X R et f X f X, 2 2π πb g b g b g
on l'étudie sur un intervalle de longueur 2π
Les fonctions sinus et Arcsinus étant impaires, leur composée est impaire. En effet :
∀ ∈ − = − = − = −
∀ ∈ − ∈ − = −
X D f X Arc X Arc X Arc X
Donc X D X D et f X f X
f
f f
, sin sin sin sin sin sin
,
b g b gc h b g b gb g b g
De plus ∀ ∈ − = − = =X f X Arc X Arc X f X0 , , sin sin sin sinπ π πb g b gc h b g b g
La droite d'équation X = π2
est axe de symétrie, on prendra 02
,πLNMOQP comme
intervalle d'étude
Sur f X Arc X X02
, , sin sinπLNMOQP = =b g b g
La courbe représentative de f s'obtient à partir du segment de la droite
D d équation y X: ' = correspondant à l'intervalle 02
,πLNMOQP et en faisant
successivement la symétrie par rapport à la droite d'équation X = π2
, puis la
symétrie par rapport à l'origine et enfin les translations de vecteur k V→
avec
V i j et k→ → →
∗= + ∈2 0π Z
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de faire l’exercice ci-dessous.
(MATH05E05B
Cherchons l’ensemble de définition de g.
D x R x etx x
g = ∈ − ≥ + − ≤RS|T|
UV|W|
/ 1 01
212
2
La première condition est réalisée si et seulement si x ∈ − 1 1,
La deuxième condition est réalisée si et seulement si
x x x x+ −FH IK ≤ ⇔ − ≤1 2 2 1 122
2
Pour x ∈ − 1 0; , cette condition est satisfaite.
Pour x ∈ 0 1; , elle équivaut à : 4 1 1 2 1 02 2 2 2x x x− ≤ ⇔ − ≥e j e j toujours vraie.
La fonction g x Arcx x
: sin!+ −1
2
2
est définie et continue sur −1 1,
La fonction sinus est une bijection de −LNMOQP = −π π
2 21 1, ,sur Dg
La forme du numérateur doit nous faire penser au changement de variables :
xArc x
x
=
∈ −LNMOQP
RS|T|
⇔=∈ −RST
sin
,
sin
,
ϕ
ϕ π πϕ
2 21 1
12 2
2 2− = = ∈ −LNMOQPsin cos cos ,ϕ ϕ ϕ ϕ π π
car
et l'on obtient
g x g Arc Arcb g b g= = +FHG
IKJ = +FHG
IKJ
FHG
IKJsin sin sin cos sin sinϕ ϕ ϕ ϕ π1
2
1
2 4
On retrouve l'exercice MATH05E05A avec X = +ϕ π4
• Si alors et g xϕ π π ϕ π π π ϕ π∈ −LNMOQP + ∈ −LNM
OQP = +
2 4 4 4 2 4, , b g
soit si x alors g x Arc x∈ −LNM
OQP
= +12
2 4, , sinb g π
• Si alors et g xϕ π π π ϕ π π π π ϕ π∈ OQPOQP − +FHG
IKJ ∈LNMLNM = − +FHG
IKJ4 2 4 4 2 4
, , b g
soit si x alors g x Arc x∈OQPOQP
= −2
21
3
4, , sinb g π
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de faire l’exercice ci-dessous.
(MATH05E05C)
Déterminons l'ensemble de définition :
D x R x et x xg = ∈ − ≥ −FH IK ≤RSTUVW1 0 2 1 12 2
On peut étudier la fonction auxiliaire u x x x: ! 2 1 2−
Du = −1 1, et u est une fonction impaire, dérivable sur −1 1; avec
u xx
x' ( ) = −
−2
1 2
1
2
2, u u et u0 1 0
1
21b g b g= = F
HGIKJ = . La fonction f est croissante sur
01
2;LNMOQP et décroissante sur
1
21;
LNMOQP
Donc ∀ ∈ − ∈ − = −x u x et Dg1 1 1 1 1 1, , ; ,b g
La fonction sinus est une bijection de −LNMOQP = −π π
2 21 1, ,sur Dg
Effectuons le changement de variable :
xArc x
x
=
∈ −LNMOQP
RS|T|
⇔=∈ −RST
sin
,
sin
,
ϕ
ϕ π πϕ
2 21 1
On obtient
g x g Arc Arcb g b g= = −FH IK = FH IKsin sin sin sin sin sin cosϕ ϕ ϕ ϕ ϕ2 1 22 2
comme cos ,ϕ ϕ π π≥ ∈ −LNMOQP0
2 2pour , on a : cos cos2 ϕ ϕ=
Donc : g Arcsin sin sinϕ ϕb g b g= 2
On retrouve l'exercice E05A avec X = 2ϕ
• ϕ π π π ϕ π π ϕ π ϕ∈ − −LNMOQP ⇒ − + ∈ −LNM
OQP = − −
2 42 2
20 2 2; ; sin sinb g b get Arc
Pour x on a g x Arc x∈ − −LNM
OQP
= − −12
22, , sinb g π
• ϕ π π ϕ π π ϕ ϕ∈ −LNMOQP ⇒ ∈ −LNM
OQP =
4 42
2 22 2, , sin sinet Arc b g
pour x on a g x Arc x∈ −OQP
OQP
=2
2
2
22, , sinb g
• ϕ π π π ϕ ϕ π ϕπ∈ LNMOQP ⇒ − ∈ = −
4 22 0 2 22, , sin sinet Arc b g
pour x alors g x Arc x∈OQPOQP
= −2
21 2, , sinb g π
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de consulter votre tuteur.
(MATH05E06A
∀ ∈ =y Arc y y0 , , cos cosπ b g
Pour a et b, on peut donc utiliser la formule directement.
• a Arc= FHGIKJ =cos cos
π π4 4
et b Arc= =cos(cos )3
4
3
4
π π
• c Arc= FHG
IKJcos cos
7
5
π
cos cos cos cos7
5
7
52
7
5
3
5
π π π π π= −FHGIKJ = −FHG
IKJ =
Or 3
5
π appartient à l’intervalle 0;π
Donc c Arc= FHG
IKJ =cos cos
7
5
3
5
π π
• d Arc= FHGIKJcos
11
7
π
cos cos cos11
72
3
7
3
7
π π π π= −FHGIKJ =
or 3
7
π appartient à l’intervalle 0;π
Donc d Arc= FHG
IKJ =cos cos
11
7
3
7
π π
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de faire l’exercice ci-dessous.
(MATH05E06B
La fonction x Arc x! cos est strictement décroissante de −1 1 0, ,sur π
1
3
1
2
1
3 3< ⇒ >Arccos
π
1
4
1
2
1
4 3< ⇒ >Arccos
π
et donc : Arc Arccos cos1
3
1
4
2
3+ > π
Comme Arc xsin appartient à l’intervalle −LNMOQP
π π2 2
, ,
l'équation Arc Arc Arc xcos cos sin1
3
1
4+ = n'admet pas de solution
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de faire l’exercice ci-dessous.
(MATH05E06C)
La fonction x Arc x! cos est strictement décroissante de −1 1 0, ,sur π
01
3
1
2 3
1
3 2< < ⇒ < <π π
Arccos
01
4
1
2 3
1
4 2< < ⇒ < <π π
Arccos
et donc : 2
3
1
3
1
4
π π< + <Arc Arccos cos
La fonction x Arc x! cos bijective de −1 1 0, ,sur π
l'équation Arc Arc Arc xcos cos cos1
3
1
4+ = admet donc une solution α et une seule
dans l'intervalle −1 1;
En calculant le cosinus des deux membres, et en utilisant les formules :
cos cos cos sin sin sin cosa b a b a b et Arc A A+ = − = −b g b g 1 2
On trouve :
α = +FHG
IKJ = − −FHG
IKJ − FHG
IKJcos cos cos .Arc Arc
1
3
1
4
1
3
1
41
1
31
1
4
2 2
α = −1 2 30
12 est la seule solution de l'équation Arc Arc Arc xcos cos cos
1
3
1
4+ =
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de consulter votre tuteur.
(MATH05E07A)
• La fonction f x Arc x: cos cos! 2 1
2FHG
IKJ est définie pour x ∈ − 1 1;
Utilisons les formules de l’angle moitié : coscos2 1 2
2a
a= +
Donc, on obtient :
∀ ∈ − = + = +x f x Arc x
x1 1
1
21
1
2, , cos cosb g b gc h
• La fonction f x Arc x: sin cos! 2 1
2FHG
IKJ est définie pour x ∈ − 1 1;
Utilisons les formules de l’angle moitié : sincos2 1 2
2a
a= −
Donc, on obtient :
∀ ∈ − = − = −x f x Arc x
x1 1
1
21
1
2, , cos cosb g b gc h
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de faire l’exercice ci-dessous.
(MATH05E07B)
La fonction f x Arc x1: cos cos! b g est définie et continue sur R, de période 2π .
Elle est paire.
∀ ∈ = =x f x Arc x x0 1, , cos cosπ b g b g
La fonction f x Arc x21
22: cos cos! b gc h est définie et continue sur R de période π et
paire.
pour x f x Arc x x
pour x f x Arc x x
∈ LNMOQP = =
∈ OQPOQP = = − +
02
1
22
2
1
22
2
2
, , cos cos
, , cos cos
π
π π π
b g b g
b g b g
La fonction f x Arc x Arccoc x: cos cos cos! b g b gc h+ 1
22 est définie et continue sur R
de période π et paire.
Pour x f x x
Pour x f x
∈ LNMOQP =
∈ OQPOQP =
02
2
2
,
,
π
π π π
b g
b g
On trace la courbe représentative de f sur 0 ,π et on effectue la symétrie par
rapport à yOy ′ et les translations de vecteur k V→
avec V i j et k Z→ → →
∗= + ∈2 0π
Représentation graphique:
DESSIN13
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de consulter votre tuteur.
(MATH05E08A)
• a Arc Arc= FHGIKJ = =tan tan tan
π π4
14
• b Arc Arc= FHGIKJ = − = −tan tan tan
3
41
4
π πb g
• c Arc= FHGIKJtan tan
7
11
π
On doit se ramener à l’intervalle −OQPLNM
π π2 2
, , afin d’utiliser Arc y ytan tanb g =
La fonction tangente admet pour période π et donc tan tanα π α− =b g
c Arc Arc Arc= FHGIKJ = −FHG
IKJ
FHG
IKJ = −FHG
IKJ
FHG
IKJtan tan tan tan tan tan
7
11
7
11
4
11
π π π π
Or − ∈ −OQPLNM
4
11 2 2
π π π, donc c Arc= F
HGIKJ = −tan tan
7
11
4
11
π π
• d Arc= FHG
IKJtan tan
11
7
π
La fonction tangente admet pour période π et donc tan tanα π α− =2b g
d Arc Arc Arc= FHG
IKJ = −F
HGIKJ
FHG
IKJ = −FHG
IKJtan tan tan tan tan tan
11
7
11
72
3
7
π π π π
− 3
7
π appartient à − ∈ −OQP
LNM
3
7 2 2
π π π, donc d Arc= F
HGIKJ = −tan tan
11
7
3
7
π π
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de faire l’exercice ci-dessous.
(MATH05E08B
u Arc Arc= +tan tan1
2
1
3
La fonction x Arc x! tan est strictement croissante sur R.
01
21 0
1
2 4< < ⇒ < <Arc tan
π
01
31 0
1
3 4< < ⇒ < <Arc tan
π
et en faisant la somme : 01
2
1
3 4 4 2< + < + =Arc Arctan tan
π π π
Donc u ∈ OQPLNM0
2,π
, on peut calculer tan u
tantan tan
tan tana b
a b
a b+ = +
−b g
1 et ∀ ∈ =x R Arc x x, tan tanb g
tanu =+
− ×=
1
2
1
3
11
2
1
3
1
sur u u Arc02
1 14
, , tan tanπ πOQPLNM = ⇔ = =
Remarque: la formule tanu = 1, déterminerait u à k prèsπ
En utilisant la relation du cours :
Arc x Arcx
avec xtan tan+ = >1
20
π
pour les valeurs x puis x= =2 3
On obtient : u Arc Arc u= −FHGIKJ + −FHG
IKJ = −π π π
2
1
2 2
1
3tan tan
d'où u Arc Arc= + =tan tan2 33
4
π
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de faire l’exercice ci-dessous.
(MATH05E08C)
f est définie et dérivable sur R
f xx
x x
x x
x
x x x x
x x
x
x x x x
x x
x
x x
' ( ) =+
++ + −FH IK
− +
+
FHGG
IKJJ
=+
++ − +
− +
+
=+
++ + −FH IK
− +
+
=+
−+
=
1
12
1
1 1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
10
22
2
2
2
2 2 2
2
2
2 2 2
2
2
2 2
Donc ′ =f xb g 0 ce qui prouve que f est constante sur D.
La valeur de cette constante est obtenue par exemple pour x = 0 : f 02
b g = π
Par conséquent, ∀ ∈ + + −FH IK =x R Arc x Arc x x, tan tan2 12
2 π
L'équation Arc x Arc x xtan tan( )+ + − =2 12
2 π est vérifiée ∀ ∈x R
Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de consulter votre tuteur.