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La régression quantile et expectile appliquées au modèleavec effets aléatoires

Amadou D. Barry1 Arthur Charpentier 2 Karim Oualkacha 1

1Département de mathématiquesUniversité du Québec à Montréal

2Faculté d’ÉconomieUniversité de Rennes 1

10e Colloque Jeunes Chercheurs du CIQSS, 2017

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Plan de la présentation

1 Données de panelAvantages et Limites des données de panelMéthodes d’ajustement des données de panel

2 Régression Quantile et Régression ExpectileQuantiles et ExpectilesRégression Quantile (RQ) et Régression Expectile (RE)La RQ et la RE appliquées au modèle avec effets aléatoires

3 Application : Coûts de l’obésité sur le système de santé québécoisDonnées et ModèlesRésultats

4 Conclusion

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Données de panel

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Avantages des données de panel

AvantagesMeilleure précision de l’inférence des paramètres ;Meilleure prédiction ;Meilleure étude des relations dynamiques entre variables ;Contrôle l’impact des variables omises.

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Limites des données de panel

LimitesDimension du paramètre individuel (incidental parameter) ;Érosion de l’échantillon ;Modélisation de l’hétérogénéité.

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Méthodes d’ajustement des données de panel

Modèle linéaire

yit = xitTβτ + ui + vit , t ∈ 1, 2 . . . ,T, i ∈ 1, 2 . . . , n,

Modèle avec effets fixes ;Modèle avec effets aléatoires.

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Régression quantile et Régression expectile

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Quantiles et Expectiles

Les quantiles sont plus connus que les expectiles.Les quartiles : le 1er quartile (25%), la médiane (50%) et le 3ièmequartile (75%) sont des quantiles ;La moyenne est l’expectile le plus populaire.

Les quantiles et les expectilessont des fonctions de la distribution d’une variable aléatoire noté Y ;

caractérisent la fonction de distribution ou la fonction de répartition Fde Y .

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Quantiles et ExpectilesDéfinition formelle

Le quantile de niveau α ∈ [0, 1] de la variable aléatoire Y est définit par :

Quantiles

q(α,Y ) =

F−1(α) = infy ;F (y) ≥ αou

argminθ ∈ R E(rQα (Y − θ)).

avec rQα (u) = |α− 1(u ≤ 0)| · |u|.

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Quantiles et ExpectilesDéfinition formelle

L’expectile de niveau τ ∈ [0, 1] de la variable aléatoire Y est quant à luidéfinit par :

Expectiles

µ(τ,Y ) =

argminθ ∈ R E(rEτ (Y − θ))

ou

µ− 1−2τ1−τ E

[(Y − µτ )× 1(Y > µτ )

]avec rEτ (u) = |τ − 1(u ≤ 0)| · u2, µ = µ(0.5) = E(Y )

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Quantiles et Expectiles

DérivationLes quantiles sont obtenus avec la norme L1

rQα (u) = |α− 1(u ≤ 0)| · |u|.

Les expectile sont obtenus avec la norme L2

rEτ (u) = |τ − 1(u ≤ 0)| · u2.

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Quantiles et Expectiles de la loi Normale N (0, 1)

0.25 0.5 0.75 1

−2

−1

0

1

2

α, τ

µ(τ, y)

q(α, y)

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Régression quantile (RQ) et Régression expectile (RE)

La RQ et la RE ont été introduites dans la littérature pratiquement aumême moment.

La RQ en 1978 par Koenker & BassettLA RE en 1976 par Aigner, Amemiya et Poirier

Mais le terme expectile est apparu pour la première fois en 1987 dans lepapier de Newey et Powell.

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Régression Quantile (RQ) et Régression Expectile (RE)

La RQ et la RE ont des rôles similaires dans la modélisation.1 Elles sont des outils pour mesurer l’hétérogénéité des effets ou des

impacts des variables explicatives sur la dépendante ;2 Elles offrent un portrait global de la variabilité d’un phénomène sous

l’influence d’autres facteurs ;3 Elles permettent une analyse plus approfondie et détaillée de

l’influence des facteurs de risques et des déterminants sur ladistribution de la variable d’intérêt.

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Distribution du Salaire

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Effet du retour aux études sur le salaire

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Estimation de la moyenne conditionnelle

De

nsity

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Résultat de l'estimation

De

nsity

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Effet du retour aux études sur le salaire

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Régression quantile et expectile

De

nsity

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Effet du retour aux études sur le salaire

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Régression quantile (RQ) et Régression expectile (RE)

Pourquoi la RE ?1 La RQ est populaire, maintenant il faut explorer d’autres propriétés de

la distribution ;2 La RE généralise la regression classique de la moyenne conditionnelle ;3 La RE donne une solution unique, ce qui n’est pas le cas pour la RQ ;4 La RE est plus facile à estimer alors que la RQ fait appel à la

programmation linéaire.

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Propriétés asymptotiques des estimateurs de RQ et de RE

ModèlesLe modèle linéaire avec effets aléatoire :

y = Xβ + Zu + v = Xβ + ε.

Le modèle de la RQ : q(α, y ,X ) = XβQ ;

Le modèle de la RE : µ(τ, y ,X ) = XβE .

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Propriétés asymptotiques des estimateurs de RQ et de RE

Estimateurs

βQ(α) = argminβ ∈ Rp

1N

n∑i=1

T∑t=1

rQαyit − xitTβ(α)

.

βE (τ) = argminβ ∈ Rp

1N

n∑i=1

T∑t=1

rEτyit − xitTβ(τ)

.

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Propriétés asymptotiques des estimateurs de RQ et de RE

TheoremRQ

√NβQ(α)− βQ(α)

d−→ N(0,(XTΩf X

)−1XTIn ⊗ ΣT×T (α)

X(XTΩf X

)−1).

TheoremRE

√NβE (τ)− βE (τ)

d−→ N(0,(XT E(W )X

)−1XT E(W εεTW )

X(XT E(W )X

)−1).

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Estimation de la matrice de variance covariance

RQ

D1 = N−1n,T∑i ,t

fit(q(α, yit)|xi )xitxitT, D0 = N−1n∑

i=1

T ,T∑t,s

xit σQits(α)xisT.

RE

H = N−1n,T∑i ,t

wit(τ)xitxitT, Σ = N−1n∑

i=1

T ,T∑t,s

xit σEits(τ)xisT.

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Coûts de l’obésité sur le système de santé québécois

Centre d’expertise et de référence

www.inspq.qc.ca

Les conséquences économiques associées à l’obésité et à l’embonpoint au Québec :les coûts liés à l’hospitalisation et aux consultations médicales

FARDEAU DU POIDS CORPOREL

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Enquête Nationale sur la Santé de la Population (ENSP)

ENSP : volet ménageENSP contient des variables sociodémographiques et des variables surla santé ;ENSP a débuté en 1994-1995 et est mené tous les deux ans ;Dernière collecte en 2011 ;ENSP est composée de 9 cycles ;ENSP comprend 17 276 personnes en 1994-1995.

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Mesurer l’impact de l’obésité sur le système de santéquébécois

ModèleVariables dépendantes : Le nombre de Consultations Médicales et lenombre d’Hospitalisations ;Variable indépendante : Indice de Masse Corporelle (IMC) ;Variable de Contrôle : Sexe, Âge, Niveau de scolarité le plus élevé,Statut tabagique et Consommation de fruits et légumes.

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Résultats : Hospitalisations et Consultations médicales parRELa distribution des effets des variables de contrôle

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Résultats : Hospitalisations et Consultations médicales parRELa distribution des effets de l’IMC

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ConclusionLa Régression Quantile

La RQ généralise l’idée de la régression de la médiane ;La RQ est devenue une méthode standard en modélisation ;La RQ est adaptée à plusieurs modèles : données de survie, donnéesde comptage, séries temporelles, modèle non-linéaire.

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ConclusionLa Régression Expectile

La RE est une nouvelle méthode similaire à la RQ ;La RE généralise l’idée de la régression de la moyenne ;La RE a de serieux arguments sur la RQ comme l’efficacitécomputationnelle ;La généralisation de la RE n’est pas encore effective ;

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Conclusion

La RQ et la RE répondent aux défis méthodologiques des données demasses ;La RQ et la RE permettent une meilleure évaluation de l’effet desfacteurs sur la distribution de la variable dépendante ;La RQ et la RE estiment l’effet des facteurs sur les autres points de ladistribution (percentiles) de la dépendante, même s’il n’y a pas d’effetsur la moyenne.

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