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A THEMA IN PROCESS
LE PRODUIT AB.AC
Jean-Louis AYME 1
A
B C
O
D
Résumé. L'auteur présente A Thema in Process i.e. en construction, partie par partie, concernant ''Le produit AB.AC''. Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.
Abstract. The author presents A Thema in Process i.e. part by part, regarding
"the product AB. AC". The figures are all in general position and all cited theorems can all be shown synthetically.
1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 30/04/2018 ; jeanlouisayme@yahoo.fr
2
2
Sommaire
A. Récapitulation 3
B. Les problèmes 6
1. Hauteur et rayon du cercle circonscrit 6 2. Segment cévien et corde ''isogonaux'' du cercle circonscrit 8 3. A-segment d'Euler et A-cercle de Kosnitza 9 4. Généralisation du Problème 3 11 5. Particularisation du Problème 4 12 6. Symétrie du Problème 1 14 7. Généralisation du Problème 6 16 8. Particularisation du Problème 7 17 9. Le problème 2236 de Toshio Seimiya 19 10. Avec la B-bissectrice intérieure 20 11. Produit de deux segment isogènes 21 12. Le cercle d'Euler et le A-cercle de Mention 22 13. Particularisation du problème 8 23 14. Une relation, un point variable sur un côté 25 15. Une généralisation, deux points variables sur un côté 27
C. Lexique Français-Anglais 32
3
3
A. RÉCAPITULATION
Problème 1 : AB.AC = 2.AO.AD Problème 2 : AB.AC = AD.AA'
Problème 3 : AB.AC = AH.AA'' Problème 4 : AB.AC = AP.AA'' Problème 5 : AI.AIa = AB . AC
A
B C
O
D
H
0
A'
A
B C
P
Q
0
D
A'
A
B C
P Q
A"
1a
A
B C
O
0
1a
A"
H
B C
A
I
Ia
1a
4
4
Problème 6 : AB.AC = AA'.AA+ Problème 7 : AB.AC = AA'.AA+
Problème 8 : AB.AC = AA'.AA''
Problème 9 : AB.AC = PQ²
Problème 10 : AB.AC = AD.(BC+BA) Problème 11 : AP.AR = BP.CQ
A
B C
O
0
H
A'
A+
A
B C
P
Q
0
A'
A+
A
B C
0
A'
A"
Ba
A
B C D
Q
P
1b1c
T'
T
B C
A
I
D
A
B C
P
B'
Q
R
5
5
Problème 12 : AB.AC = 2.AX.AY Problème 13 : AB.AC = AD² + BD.DC
Problème 14 : AB.AC.QR = AD².BC Problème 15 : AD.AD'.BC = AB.AC.QR
A
B C
O
0
1a
X
Y
1
A
B C
0
A'
D
Ba
A
B C D
Q
R
1a
A
B C D' D
Q
R
1a
6
6
B. LES PROBLÈMES
PROBLÈME 1 2
Hauteur et rayon du cercle circonscrit
VISION
Figure :
A
B C
O
D
H
Traits : ABC un triangle, H l'orthocentre de ABC, D le pied de la A-hauteur de ABC et O le centre du cercle circonscrit à ABC, Donné : AB.AC = 2.AO.AD. Commentaire : O est l'isogonal de H relativement à ABC.
VISUALISATION
2 A very simple relation, AoPS du 24/02/2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c4t48f4h1203163_a_very_simple_relation
7
7
A
B C
O
D
0
A'
H
• Notons 0 le cercle circonscrit à ABC et A' l'antipôle de A relativement à 0.
• D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', le triangle CAA' est C-rectangle. • (AD) et (AA') étant deux A-isogonales de ABC, les triangles rectangles CAA' et DAB sont directement semblables ; en conséquence, AB/AA' = DA/CA. • Scolie : AA' = 2.AO. • Conclusion : par ''substitution et produit en croix'', AB.AC = 2.AO.AD.
8
8
PROBLÈME 2 3
Segment cévien et corde ''isogonaux'' du cercle circonscrit
VISION
Figure :
A
B C
P
Q
0
D
A'
Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC P un point, Q l'isogonal de P relativement à ABC, D le pied de (AP) et A' la circumtrace de (AQ). Donné : AB.AC = AD.AA'.
VISUALISATION
A
B C
P
Q
0
D
A'
• D'après ''Angles inscrits'', <CA'A = <CBA. • (AD) et (AA') étant deux A-isogonales de ABC, les triangles CAA' et DAB sont directement semblables ; en conséquence, AB/AA' = DA/CA. • Conclusion : par ''produit en croix'', AB.AC = AD.AA'.
3 A very simple relation, AoPS du 24/02/2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c4t48f4h1203163_a_very_simple_relation
9
9
PROBLÈME 3 4
A-segment d'Euler et A-cercles de Kosnitza
VISION
Figure :
A
B C
O
0
1a
A"
H
Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, H l'orthocentre de ABC, 1a le A-cercle de Kosnitza de ABC et A'' le second point d'intersection de (AO) avec 1a. Donné : AB.AC = AH.AA''. Commentaire : O est l'isogonal de H relativement à ABC.
VISUALISATION
4 A very simple relation, AoPS du 24/02/2016 ; b.c= 2.R.ha
http://www.artofproblemsolving.com/community/c4t48f4h1203163_a_very_simple_relation
10
10
A
B C
O
0
1a
A"
H
• Scolie : O et H sont deux points isogonaux de ABC. • Les triangles AHB et ACA'' étant semblables, AB/AA'' = AH/AC. • Conclusion : par ''produit en croix'', AB.AC = AH.AA''.
11
11
PROBLÈME 4 5
Généralisation du Problème 3
VISION
Figure :
A
B C
P Q
A"
1a
Traits : ABC un triangle, P un point, Q l'isogonal de P relativement à ABC, 1a le cercle circonscrit au triangle QBC et A'' le second point d'intersection de (AQ) avec 1a. Donné : AB.AC = AP.AA''.
5
12
12
PROBLÈME 5 6
Particularisation du Problème 4
VISION
Figure :
B C
A
I
Ia
Traits : ABC un triangle, I le centre de ABC et Ia le A-excentre de ABC. Donné : AI . AIa = AB . AC.
VISUALISATION
6
13
13
B C
A
I
Ia
B'
1a
• Notons 1a le A-cercle de Mention de ABC et B' le symétrique de N par rapport à (AI). • Ayant pour centre le milieu de [IIa], (1) B' est sur (AC) (2) B' est sur 1a (3) AB' = AB. • Par ''Puissance d’un point par rapport à un cercle'', AB'.AC = AI.AIa. • Conclusion : par substitution, AB.AC = AI.AIa.
14
14
PROBLÈME 6 7
Symétrie du Problème 1
VISION
Figure :
A
B C
O
0
H
A'
A+
Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, H l'orthocentre de ABC, A' la circumtrace de (AH) et A+ le pied de (AO). Donné : AB.AC = AA'.AA+. Commentaire : O est l'isogonal de H relativement à ABC.
VISUALISATION
A
B C
O
0
H
A'
A+
7
15
15
• D'après ''Angles inscrits'', <AA'B = <ACB (= <ACA+). • Les triangles AA'B et ACA+ étant directement semblables, AB/AA+ = AA'/AC. • Conclusion : par ''produit en croix'', AB.AC = AA'.AA+.
16
16
PROBLÈME 7 8
Généralisation du Problème 6
VISION
Figure :
A
B C
P
Q
0
A'
A+
Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit au triangle ABC, P un point, Q l'isogonal de P relativement à ABC, 0 le cercle circonscrit au triangle PBC, A' la circumtrace de (AP) et A+ le point d'intersection de (AQ) et (BC). Donné : AB.AC = AA'.AA+.
8
17
17
PROBLÈME 8 9
Particularisation du problème 7
VISION
Figure :
A
B C
0
A'
A"
Ba
Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, Ba la A-bissectrice intérieure de ABC, A' la circumtrace de Ba et A'' le point d'intersection de Ba et (BC). Donné : AB.AC = AA'.AA''.
VISUALISATION
A
B C
0
A'
A"
Ba
• D'après ''Angles inscrits'', <AA'B = <ACB
9
18
18
• Les triangles ABA' et AA''C étant semblables, AB/AA'' = AA'/AC. • Conclusion : par ''produit en croix'', AB.AC = AA'.AA''.
19
19
PROBLÈME 9 10
Le Problème 2236 de Toshio Seimiya
VISION
Figure :
A
B C D
Q
P
1b
1c
T'
T
Traits : ABC un triangle, Ba la A-bissectrice intérieure de ABC, D le pied de Ba, 1b, 1c les cercles circonscrits resp. aux triangles BAD, CAD à ABC, T, T' les tangentes extérieures communes à 1b et 1c, et P, Q les points d'intersection de (AD) resp. avec T, T'. Donné : AB.AC = PQ². Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 11 Archive :
12
10 radical axis and tangents, AoPS du 07/08/2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1285629_radical_axis_and_tangents Geometry Problem, AoPS du 08/09/2016/ http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1302683_geometry_problem Angle Bisector and External Tangents., AoPS du 23/06/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1466591_angle_bisector_and_external_tangents
11 Ayme J.-L., AB.AC, G.G.G. vol. 33 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 12 Crux Mathematicorum, vol. 25, n° 3 (1999) 191 ; https://cms.math.ca/crux/
20
20
PROBLÈME 10 13
Avec la B-bissectrice intérieure
VISION
Figure :
B C
A
I
D
Traits : ABC un triangle, I le centre de ABC et D le pied de (BI). Donné : AB.AC = AD.(BC+BA).
VISUALISATION • D'après ''Le théorème de la bissectrice'', DA/DC = BA/BC ou DC/BC = DA/BA. • Une chasse :
* ajoutons 1 aux deux membres, (DA/DC) + 1 = (BA/BC) + 1 * par réduction, (DA + DC)/DC = (BA + BC)/BC * par addition, CA/DC = (BC + BA)/BC * par permutation, CA/(BA + BC) = DC/BC * par substitution, CA/(BA + BC) = DA/BA. • Conclusion : AB.AC = AD.(BC+BA).
13 Angle bisector in triangle proof, AoPS du 02/02/2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community//c6t48f6h1192888_angle_bisector_in_triangle_proof
21
21
PROBLÈME 11 14
CMO 2015 Problem 4
Produit de deux segments isogènes
VISION
Figure :
A
B C
P Q
R
Traits : ABC un triangle acutangle, P un point de (AB), Q le point d'intersection de la parallèle à (BC) issue de P avec (AC) et R le symétrique de Q par rapport au milieu de [AC]. Donné : AP.AR = BP.CQ
VISUALISATION
• D'après Thalès ''Rapports'', AP/PB = AQ/QC • Q et R étant deux points isotomiques de [AC], AQ/QC = CR/AR ; par transitivité de =, AP/PB = CR/AR • Conclusion : par ''Le produit en croix'', AP.AR = BP.CQ
14 circumcircle and altitudes! CMO 2015 P4, AoPS du 25/04/2015 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1081584_circumcircle_and_altitudes_cmo_2015_p4
22
22
PROBLÈME 12 15
Serbian National Olympiad 2013, Problem 3
Le cercle d'Euler et le A-cercle de Mention
VISION Figure :
A
B C
O
0
1a
X
Y
1
Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, 1 le cercle d'Euler de ABC, 1a la A-cercle de Kosnitza de ABC et X, Y les points d'intersection de 1a et 1. Donné : AB.AC = 2.AX.AY. Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 16
15 Intersection of circumcircles of MNP and BOC, AoPS du 08/04/2013 ;
https://artofproblemsolving.com/community/c6h528741p3009467 Geometry, AoPS du 04/03/2016 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1207028_geometry
16 Ayme J.-L., Serbia 2013 Problem 3, G.G.G. vol. 33 ; http://jl.aym.pagesperso-orange.fr/
23
23
PROBLÈME 13 17
Particularisation du problème 8
VISION
Figure :
A
B C D
Ba
Traits : ABC un triangle, Ba la A-bissectrice intérieure de ABC et D le pied de Ba. Donné : AB.AC = AD² + BD.DC.
VISUALISATION
A
B C
0
A'
D
Ba
• Notons 0 le cercle circonscrit à ABC et A' la circumtrace de Ba. • Une chasse segmentaire : * d'après problème 8, AB.AC = AD.AA'
* par décomposition, AD.AA' = AD.(AD + DA')
17 Makris Ionnis, Problème 2473 ; https://www.facebook. com/groups/parmenides52/ A simple relation, AoPS du 29/11/2018 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1745703_a_simple_relation
24
24
* par développement, AD.(AD + DA') = AD² + AD.DA’ * par puissance, AD² + AD.DA' = AD² + BD.DC.
• Conclusion : par transitivité de =, AB.AC = AD² + BD.DC.
25
25
PROBLÈME 14 18
Une relation
Un point variable sur un côté
19
VISION
Figure :
A
B C D
Q
R
1a
Traits : ABC un triangle, D un point de [BC], 1a le cercle passant par A et tangent à (BC) en D, r le rayon de 1a et Q, R les seconds points d'intersection de 1a resp. avec (AC), (AB). Donné : AD².BC = AB.AC.QR.
VISUALISATION
18 geometry problem, AoPS du 30/11/2019 ; https://artofproblemsolving.com/community/c4t48f4h1961535_geometry_problem
a hard problem, AoPS du 02/12/2019 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1962022_a_hard_problem Une relation, Les-Mathematiques.net du 04/12/2019 ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1900290
19 Shvetsov D.
There is a Russian proverb
Shouting from a gun to sparrows
which is usually used when one uses an extremely powerful thing to solve
a simple problem
26
26
A
B C D
Q
R
1a
M
0
E
N
• Notons 0 le cercle circonscrit à ABC, R le rayon de 0, E le second point d'intersection de 0 et 1a, et M, N les seconds points d'intersection de (AD), (ED) avec 0. • Les cercles 0 et 1a, les points de base A et E, le smoniennes (MAD) et (NED), conduisent au théorème 1 de Reim ; il s'en suit que (MN) // (BDC). • Par définition, (AM) et (AN) sont deux A-isogonales de ABC. • D'après ''Le produit AB.AC'' 20, AB.AC = AD.AN i.e. AB.AC/AD² = AN/AD.
A
B C D
Q
R
1a
M
0
E
N
• D'après ''La loi des sinus'' appliqué à (1) AN/AD = R/r (2) R/r = BC/QR (3) par transitivité de =, AN/AD = BC/QR. • Conclusion : par substitution et réarrangement, AD².BC = AB.AC.QR.
20 Ayme J.-L., Le produit AB.AC, Problème 2, G.G.G. vol. 17, p. 8 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
27
27
PROBLÈME 15 21
Une généralisation
Deux points variables sur un côté
Jean-Pierre Ehrmann
VISION
Figure :
A
B C D' D
Q
R
1a
Traits : ABC un triangle, D, D' deux points de [BC], 1a le cercle passant par A, D, D',
r le rayon de 1a et Q, R les seconds points d'intersection de 1a resp. avec (AC), (AB). Donné : AD.AD'.BC = AB.AC.QR.
VISUALISATION
A
B C D' D
Q
R
E
N M
1a
0
• Notons 0 le cercle circonscrit à ABC, R le rayon de 0, 21 Ehrmann J.-P.; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1900290
Ayme J.-L., A hard problem, AoPS du 06/12/2019 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1964423_a_hard_problem
28
28
E le second point d'intersection de 0 et 1a, et M, N les seconds points d'intersection de (AD), (ED) avec 0.
• Les cercles 0 et 1a, les points de base A et E, les moniennes (MAD) et (NED'), conduisent au théorème 1 de Reim ; il s'en suit que (MN) // (BD'DC). • Par définition, (AM) et (AN) sont deux A-isogonales de ABC. • D'après ''Le produit AB.AC'' 22, AB.AC = AD.AN i.e. AB.AC/AD.AD' = AN/AD'.
A
B C D' D
Q
R
E
N M
1a
0
• D'après ''La loi des sinus'' appliqué à (1) AN/AD' = R/r (2) R/r = BC/QR (3) par transitivité de =, AN/AD' = BC/QR. • Conclusion : par substitution et réarrangement, AD.AD'.BC = AB.AC.QR Archive :
22 Ayme J.-L., Le produit AB.AC, Problème 2, G.G.G. vol. 17, p. 8 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
29
29
C. LEXIQUE
FRANÇAIS - ANGLAIS A aligné collinear annexe annex axiome axiom appendice appendix adjoint associate a propos by the way btw acutangle acute angle axiome axiom B bissectrice bisector bande strip C centre incenter centre du cercle circonscrit circumcenter cercle circonscrit circumcircle cévienne cevian colinéaire collinear concourance concurrence coincide coincide confondu coincident côté side par conséquence consequently commentaire comment D d'après according to donc therefore droite line d'où hence distinct de different from E extérieur external F figure figure H hauteur altitude hypothèse hypothesis I intérieur internal identique identical i.e. namely incidence incidence L lemme lemma lisibilité legibility M mediane median médiatrice perpendicular bissector milieu midpoint
N Notons name nécessaire necessary note historique historic note O orthocentre orthocenter ou encore otherwise P parallèle parallel parallèles entre elles parallel to each other parallélogramme parallelogram pédal pedal perpendiculaire perpendicular pied foot point de vue point of view postulat postulate point point pour tout for any Q quadrilatère quadrilateral R remerciements thanks reconnaissance acknowledgement respectivement respectively rapport ratio répertorier to index S semblable similar sens clockwise in this order segment segment Sommaire summary symédiane symmedian suffisante sufficient sommet (s) vertex (vertice) T trapèze trapezium tel que such as théorème theorem triangle triangle triangle de contact contact triangle triangle rectangle right-angle triangle
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