LEMME GÉOMÉTRIQUE

Á PROPOS

DE

DEUX TRIANGLES PARALLÉLOGIQUES

Un point rayonnant un triangle inversement lié à

un autre triangle sous le charme d'un point…

Jean - Louis AYME 1

A

B C

P

B*

C*

A*S*

Dc

Db

Da Da*

Dc*

Résumé. L'auteur présente un résultat remarquable de Joseph Neuberg suivi de cinq exemples.

Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Abstract. The author presents a Joseph Neuberg's remarkable result followed by five examples The figures are all in general position and all cited theorems can all be proved synthetically.

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 11/03/2020 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

2

2

Sommaire

A. Un lemme 3

B. Deux triangles parallélogiques 7 1. Le résultat de Joseph Neuberg 7 2. Une courte biographie de Joseph Neuberg 9

C. Exemples 11

1. Une parallèle à un côté du triangle 11 2. Une parallèle à un côté du triangle 12 3. Another quite unlikely concurrence 15 4. Une proportion 17 5. Deux parallèles 19

D. Appendice 23

1. Un parallélogramme 23 2. Parallèle à une A-gergonnienne 26 3. Un lemme arc-angle 29

E. Lexique Français-Anglais 31

3

3

A. UN LEMME 2

VISION

Figure :

A

B C

P

B'

A'

C'

P'

Dc

Db

DaDa'

Db'

Dc'

Traits : ABC un triangle, P un point, Dc, Da, Db les parallèles à (PC), (PA), (PB) issues resp. de A, B, C, C', A', B' les points d'intersection de Da et Db, Db et Dc, Dc et Da, Dc', Da' les parallèles à (AB), (BC) issue resp. de C', A' et P' le point d'intersection de Dc' et Da'. Donné : (B'P') est parallèle à (AC).

VISUALISATION

A

B C

P

B'

A'

C'

P'

Dc

Db

DaDa'

Dc'

X S

O

2 Neuberg J., Mathesis (1882) 144, question 150 ;

Mathesis (1883) 86

4

4

• Notons X le point d'intersection de (PC) et (C'B'), S le point d'intersection de la parallèle à (BC) issue P avec (AB) et O le point d'intersection de (PA') et (P'S). • D'après Thalès de Milet "Le théorème faible" 3 appliqué au triangles homothétiques SBP et P'C'A', O est sur (C'B').

A

B C

P

B'

A'

C'

P'

Dc

Db

DaDa'

Dc'

X S

O

• D'après Thalès de Milet "Le théorème faible" 4 appliqué au triangles perspectifs P'A'B' et SPX de centre O, (B'P') // (XS).

A

B C

P

B'

A'

C'

P'

Dc

Db

DaDa'

Dc'

X

S O

1

2

3 4

5

6

• D'après Pappus d'Alexandrie "Le petit théorème" 5 appliqué à l'hexagone sectoriel XSPACBX de frontières (XPC) et (ASB), (XS) // (AC) ; par transitivité de //, (B'P') // (AC).

• Conclusion : (B'P') est parallèle à (AC).

3 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie G.G.G. vol. 6, p. 6-10 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 4 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie G.G.G. vol. 6, p. 6-10 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 5 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie G.G.G. vol. 6, p. 3-6 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

5

5

Commentaire :

* nous partons d'un triangle ABC et de trois céviennes concourantes (AP), (BP), (CP)

* nous construisons un triangle A'B'C' circonscrivant ABC tel que ses côtés soient parallèles aux trois céviennes.

Par exemple, A' est le point d'intersection des parallèles aux céviennes issues des sommets autre que A

* nous considérons, pour terminer, pour chaque sommet de A'B'C',

la cévienne parallèle au côté opposé du sommet correspondant de ABC.

Par exemple, pour le sommet A', la cévienne (A'P') est parallèle au côté opposé du sommet A de ABC.

6

6

B. DEUX TRIANGLES PARALLÉLOGIQUES 6

Joseph Jean Baptiste Neuberg (1840-1926)

Mathesis (1882) 144

1. Le résultat de Joseph Neuberg

VISION

Figure :

A

B C

P

B*

C*

A*P*

Dc

Db

Da Da*

Dc*

Traits : ABC un triangle, P un point, Dc, Da, Db les parallèles à (PC), (PA), (PB), C*, A*, B* les points d'intersection de Da et Db, Db et Dc, Dc et Da, Dc*, Da* les parallèle à (AB), (BC) issues resp. de C*, A* et P* le point d'intersection de Dc* et Da*. Donné : (B*P*) est parallèle à (AC).

VISUALISATION

• Revenons à la figure du lemme.

6 Neuberg J., Mathesis (1882) 144, question 150 ; Mathesis (1883) 86

7

7

A

B C

P

B'

A'

C'

P'

Dc

Db

DaDa'

Db'

Dc'

• D'après Thalès de Milet "Le théorème faible" 7 appliqué au triangles homothétiques A'B'C' et A*B*C*, (A'A*), (B'B*) et (C'C*) sont concourantes. • Notons O ce point de concours. • D'après Thalès de Milet "Le théorème faible" 8 appliqué au triangles homothétiques P'C'A' et P*C*A*, (P'S*), (C'C*) et (A'A*) sont concourantes en O. • D'après Thalès de Milet "Le théorème faible" 9 appliqué au triangles perspectifs P'A'B' et P*A*B* de centre O, (B*P*) // (B'P') ; d'après A. le lemme, (B'P') // (AC) ; par transitivité de la relation //, (B*P*) // (AC). • Conclusion : (B*P*) est parallèle à (AC). Scolies : (1) les triangles ABC et A*B*C* sont parallélogiques

(2) P et P* sont les centres de parallélogie.

Commentaire :

* nous partons d'un triangle ABC et de trois céviennes concourantes (AP), (BP), (CP)

* nous construisons un triangle A*B*C* tel que ses côtés soient parallèles aux trois céviennes.

Par exemple, A* est le point d'intersection des parallèles aux céviennes issues des sommets autres que A

* nous considérons, pour terminer, pour chaque sommet de A*B*C*,

la cévienne parallèle au côté opposé du sommet correspondant de ABC.

Par exemple, pour le sommet A*, la cévienne (A*S*) est parallèle au côté opposé du sommet A de ABC.

7 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie G.G.G. vol. 6, p. 6-10 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 8 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie G.G.G. vol. 6, p. 6-10 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 9 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie G.G.G. vol. 6, p. 6-10 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

8

8

Note historique : cette situation étudiée par Joseph Neuberg en 1882 a été revisitée par Léon Ripert 10 en

1901. Les triangles orthologiques ont été étudiés par Émile Lemoine en 1890 11. Rappelons que les triangles parallélogiques et orthologiques ont été généralisés par

Juan Duran-Loriga 12 en 1902 sous le nom de triangles isogonologiques. Une approche basée sur l’algèbre linéaire a été présentée par François Rideau 13

Autres références : Daniel Pedoe, Frère Gabriel-Marie, Georges Papelier, Eugène Rouché

et Charles de Comberousse 14. 2. Une courte biographie de Joseph Neuberg

Son nom est associé à ceux de Lemoine et de Brocard, comme le troisième cofondateur de la géométrie moderne.

Nathan Court-Altshiller

Joseph Jean Baptiste Neuberg est né à Luxembourg, le 30 octobre 1840. Élève de l'Athénée de Luxembourg, puis de l'École normale de la faculté des sciences de Gand en 1859, il en sort diplômé en 1862. Enseignant dans de nombreux collèges, il devient professeur de l'École normale de Nivelle de 1862 à 1865, puis de l'Athénée Royal d'Arlon de 1865 à 1867 et de l'École normale de Bruges de 1868 à 1878. Professeur à l'Athénée royal de Liège de 1878 à 1884, puis professeur à l'Université de Liège de 1884 à 1911, Joseph Neuberg enseigne les mathématiques... En 1906, il prend la nationalité belge et préside, à partir de 1911, l'Académie royale de Belgique. C'est avec Paul Mansion et Eugène Catalan qu'il fonde en 1874 la Nouvelle correspondance de mathématique qui sera publiée entre 1874 et 1880. C'est aussi avec Mansion qu'il édite en 1881, la célèbre revue Mathesis. 10 Ripert L., Association française pour l'avancement des sciences, Ajaccio (1901) 91 11 Lemoine E., Association française pour l'avancement des sciences (1890) 111-146 12 Duran-Loriga J., Association française pour l'avancement des sciences, Montauban (1902) 157-165 13 Rideau F. ; http://numerisation.irem.univ-mrs.fr/PS/IPS92020/IPS92020.pdf Extension parallélogique ; Les-Mathematiques.net ;

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1409608,1412210 Parallélogie, Orthologie, Isogonologie (2012) ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php?8,file=97728,filename=isogonologiepappus.pdf

14 Pedoe D., A Course of Geometry for Colleges and Universities, Cambridge University Press (1970) F. G.-M., Exercices de Géométrie, Maison Alfred Mame et Fils, 8e édition (1907) Papelier G., Exercices de Géométrie Moderne, Tome I , Géométrie Dirigée Vuibert (1953) Papelier G., Exercices de Géométrie Moderne, Tome I-IX, Vuibert (1953) Papelier G., Exercices de Géométrie Moderne, Tome II , Transversales, Vuibert (1953) Iliovici G. and Robert P., Géométrie, Eyrolles (1937) Rouch �e E. and de Comberousse C., Traité de Géométrie

9

9

Très actif et dynamique dans le domaine de la Géométrie du triangle, l'érudit Neuberg influencé par les idées de Möbius, découvre de nombreux résultats mais n'ouvre aucune voie de recherche. Rapidement, il comprend la nécessité de fixer une certaine terminologie; c'est lui qui propose en particulier, le terme de médiatrice, de triangle complémentaire (médian), de contre-parallélogramme, nomme les cercles de Toricelli, introduit les centres isodynamiques, les droites et points isogonaux, le point de Lemoine... Pour la petite histoire, Joseph Neuberg est né luxembourgeois et est devenu belge en 1906. Il décède à Liège, le 22 mars 1926.

10

10

C. EXEMPLES

1. Parallèle à un côté d'un triangle

VISION

Figure :

A

B C

P

C'

P'Z

Y

Traits : ABC un triangle, P un point, Db la parallèle à (PA) issue de B, C' le point d'intersection de Db et (CP), Y le point d'intersection de (CP) et (AB), Z le point d'intersection de la parallèle à (BC) issue de P avec (C'B) et P' le point d'intersection de (BY) et (PZ). Donné : (C'P') est paralléle à (AC).

VISUALISATION

• Scolie : les triangles ABC et BPC' sont parallélogiques. • Conclusion : d'après B. "Deux triangles parallélogiques", (C'P') et (AC) sont parallèles. Scolies : (1) P et P' sont les centres de parallélogie

(2) une autre visualisation

11

11

A

B C

P

C'

P'Z

Y 1

2

3

4

5

6

• Conclusion : d'après Pappus d'Alexandrie "Le petit théorème" 15 appliqué à l'hexagone sectoriel APP'C'BCA de frontières (AYP) et (CPP'), (C'P') est paralléle à (AC).

15 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie G.G.G. vol. 6, p. 3-6 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

12

12

2. Parallèle à un côté d'un triangle 16

VISION

Figure :

A

B C

H

I

D

E

K

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, I le pied de la A-hauteur de ABC, D le symétrique de I par rapport à (BH), E le point d'intersection de la perpendiculaire à (CH) en H avec (AD) et K le point d'intersection de la perpendiculaire à (HD) issue de E avec (AC) Donné : (HK) est paralléle à (BC).

VISUALISATION

16 Parallel line from orthocenter, AoPS du 25/07/2008 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=216885

13

13

A

B C

H

I

D

E

K

X

1a

• Notons X le point d'intersection de (HD) et (AC). • Le quadrilatère IDAX étant un trapèze isocèle est cyclique. • Notons 1a ce cercle.

A

B C

H

I

D

E

K

X

1a

• D'après ''La droite d'Euler est perpendiculaire…'' 17 (BD)⊥ (DX).

17 Ayme J.-L., La droite d’Euler est perpendiculaire…, vol. 1, p. 1-2 ; https://jl.ayme.pagespesro-orange.fr/

14

14

A

B C

H

I

D

E

K

X

1a

• Considerons * le triangle ADI et le point B

* le triangle EKH et le point A.

• D'après B. Deux triangles parallélogiques, appliqué à ces deux triangles, (HK) // (IB). • Conclusion : (HK) est paralléle à (BC).

15

15

3. Another quite unlikely concurrence 18

VISION

Figure :

A

B C

I

D

F

E

Ca

Ab

Bc

Da

Db

Dc

Traits : ABC un triangle, I le centre de ABC, DEF le triangle de contact de ABC, Ab, Bc, Ca les points d'intersection des parallèles à (FD), (DE), (EF) issues de I

resp.avec (BC), (CA), (AB) et Da, Db, Dc les parallèles à (CA), (AB), (BC) issues resp. de Ab, Bc, Ca. Donné : Da, Db et Dc sont concourantes.

VISUALISATION

A

B C

I

D

F

E

Ca

Ab

Bc

Ge

• D'après Gergonne 19, (AD), (BE) et (CF) sont concourantes. • Notons Ge ce point de concours.

18 Grinberg D., Another quite unlikely concurrence, Message Hyacinthos # 10397 du 06/09/2004 ; http://www.hyacinthos.99on.com/message.php?msg=10397 19 Ayme J.-L., Cinq théorèmes de Christion von Nagel, G.G.G. vol. 3, p. 5-7 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

16

16

A

B C

I

D

F

E

Ca

Ab

Bc

Ge

Da

Db

Dc

• D'après D. 1. Un parallélogramme, (AbBc) // (AD) , (BcCa) // (BE) , (CaAb) // (CF). • Conclusion : d'après B. Deux triangles parallélogiques

appliqué au triangle ABC et au point I ainsi qu'au triangle AbBcCa, Da, Db et Dc sont concourantes. Note historique : les solutions proposées par Darij Grinberg dans le site Mathlinks 20 sont

trigonométrique et angulaire.

20 https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6_geometry

17

17

4. Une proportion 21

VISION

Figure :

A

B C P

M N

Z

X

Y

Da

Db

Dc

Traits : ABC un triangle acutangle, PMN un triangle inscrit dans ABC, Da, Db, Dc les parallèles à (MN), (NP), (PM) issues resp. de A, B, C et X, Y, Z les points d'intersection resp. de Db et Dc, Dc et Da, Da et Db. Donné : AZ/AY = PB/PC.

VISUALISATION

21 Three triangles, AoPS du 22/05/2010 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=350030&p=1882355

18

18

A

B C P

M N

Z

X

Y

Da

Db

Dc

T

• Notons T le point d'intersection de la parallèle à (XZ) issue de Y avec (AB). • Considérons

* le triangle ACT et le point Y * le triangle MPN et le point A.

• D'après B. Deux triangles parallélogiques, appliqué à ces deux triangles, (PA) // (CT). • Une chasse de rapports :

* d'après Thalès de Milet ''Rapports'', AZ/AY = AB/AT * d'après Thalès de Milet ''Rapports'', AB/AT = PB/PC. • Conclusion : par transitivité de =, AZ/AY = PB/PC.

19

19

5. Deux parallèles 22

David Monk's

New Problems in Euclidean Geometry

VISION

Figure :

A

B C

P Q

R

H

0

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, P un point de 0, Q le point d'intersection de la parallèle à (BP) issue de A avec (CH) et R le point d'intersection de la parallèle à (CP) issue de A avec (BH) Donné : (QR) est parallèle à (AP).

VISUALISATION

22 Circle and Parallel Lines in a triangle, AoPS du 28/05/2014 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=591416

20

20

A

B C

P Q

R

H

0

1

• D'après D. Appendice 3 et par ''Angles à côtés parallèles'', <ARH = <AQH. • Conclusion partielle : A, R, Q et H sont cocycliques. 23 • Notons 1 ce cercle.

A

B C

P Q

R

H

0

S

1

• Notons S le point d'intersection de la parallèle à (AB) issue de Q

avec la parallèle à (AC) issue de R. • Scolie : <HRS = <SQH (= 90°). • D'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', H, R, Q et S sont cocycliques.

23 Ayme J.-L., Four concyclic points, AoPS du 12/03/2020 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h2028125_four_concyclic_points

21

21

• Conclusion partielle : S est sur 1.

A

B C

P Q

R

H

0

S

1

R

T

• D'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', <HAS = 90°. • Notons T le point de (AX) dans l'ordre T, A, S. • Une chasse angulaire : * par ''Angles à côtés perpendiculaires'', <TAB = <AHR * par ''Angles à côtés perpendiculaires'', <AHR = <CBH * par transitivité de =, <TAB = <CBH. • Conclusion partielle : par ''Angles alterne-interne'', (AS) // (BC).

22

22

A

B C

P Q

R

H

0

S

1

• Considérons

* le triangle SQR et le point A * le triangle CPB et le point A.

• D'après B. Deux triangles parallélogiques, appliqué à ces deux triangles, (QR) // (AP). • Conclusion : (QR) est parallèle à (AP).

23

23

D. APPENDICE

1. Un parallélogramme

VISION

Figure :

A

B C

I

D

F

E

Ab

BcR

P

Traits : ABC un triangle, I le centre de ABC, DEF le triangle de contact de ABC, Ab, Bc les points d'intersection des parallèles à (FD), (DE) issues I

resp. avec (BC), (CA) et P, R les points d'intersection resp. de (IAb) et (AB), (IBc) et (BC). Donné : le quadrilatère PAbBcR est un parallélogramme.

VISUALISATION

A

B C

I

D

F

E

Ab

Bc

1

P

R

• Notons 1 le cercle inscrit à ABC. • D'après Euclide "Tangentes égales", (1) le triangle CED est C-isocèle (2) (CI) passe par le milieu de [DE].

24

24

• Scolies : (1) le trapèze DEBcP est isocèle. (2) I est le milieu de [BcP].

A

B C

I

D

F

E

Ab

Bc

1

P

R

• Mutatis mutandis, nous montrerions que I est le milieu de [AbR].

A

B C

I

D

F

E

Ab

BcR

P

• Conclusion : la quadrilatère PAbBcR ayant ses diagonales se coupant en leur milieu est un parallélogramme. Scolie : deux autres parallélogramme

A

B C

I

D

F

E

Ca

Ab

BcR

P

Q

• Notons Ca, Q les points d'intersection de la parallèle à (EF) issue de I rsp. avec (AB), (CA). • Conclusions : mutatis mutandis,

nous montrerions que (1) le quadrilatère QBcCaP est un parallélogramme

25

25

(2) le quadrilatère RCaAbQ est un parallélogramme.

26

26

2. Parallèle à une A-gergonnienne

VISION

Figure :

A

B C

I

D

F

E

Ab

Bc

Traits : ABC un triangle, I le centre de ABC, DEF le triangle de contact de ABC et Ab, Bc les points d’intersection des parallèles à (FD), (DE) issues I

resp. avec (BC), (CA). Donné : (AbBc) est parallèle à (AD).

VISUALISATION

A

B C

I

D

F

E

Ab

BcR

P

• Notons P, R les points d'intersection de (IAb) et (AB), (IBc) et (BC), • D'après D. 1. Un parallélogramme, (AbBc) // (PR).

27

27

A

B C

I

D

F

E

Ab

BcR

P

X

Y Ca

Z

• Notons X, Y les points d'intersection de (AD) resp. avec (AbR), (BcP),

Z le point d'intersection de la parallèle à (AB) issue de X avec la parallèle à (CA) issue de Y

et Ca le point d'intersection de la parallèle à (EF) issue I avec (AB). • D'après D. 1. Un parallélogramme, (PCa) // (CA) ou encore (PCa) // (YZ).

A

B C

I

D

F

E

Ab

Bc

X

Y

R

P

Z

Ca

• D'après B. 2. Deux triangles parallélogiques appliqué au triangle AEF et au point D ainsi qu'au triangle IXY et au point Z, Z est sur (ICa).

A

B C

I

D

F

E

Ab

Bc

X

Y

R

P

Z

Ca

• D'après Thalès de Milet "Le théorème faible" 24 appliqué aux triangles perspectifs YXZ et PRCa de centre I, (YX) // (PR) i.e. (AD) // (PR). 24 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie G.G.G. vol. 6, p. 6-10 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

28

28

A

B C

I

D

F

E

Ab

Bc

X

Y

R

P

Z

Ca

• D'après D. 1. Un parallélogramme, (PR) // (AbBc) par transitivité de la relation // (AD) // (AbBc). • Conclusion : (AbBc) est parallèle à (AD).

29

29

3. Un lemme arc-angle

VISION

Figure :

A

B C

P

H

0 Q

2

1

3 4

R

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, P un point de l'arc BC ne contenant pas A, Q, R les circumtraces des B, C- hauteurs de ABC et 1, 2, 3, 4 les ''petit arcs'' BR, CQ, BP, CP. Donné : 1 + 2 = 3 + 4.

VISUALISATION

A

B C

P

H

0 Q

2

1

3 4

R

• Nous avons : * par ''Angles à côtés perpendiculaires'', <BAH = <RCB intercepte 1

30

30

* par ''Angles à côtés perpendiculaires'', <HAC = <CBQ intercepte 2

* par addition, <BAC intercepte 3 + 4. • Conclusion : 1 + 2 = 3 + 4.

31

31

E. LEXIQUE

FRANÇAIS - ANGLAIS

A aligné collinear annexe annex axiome axiom appendice appendix adjoint associate a propos by the way btw acutangle acute angle axiome axiom B bissectrice bisector bande strip C centre incenter centre du cercle circonscrit circumcenter cercle circonscrit circumcircle cévienne cevian colinéaire collinear concourance concurrence coincide coincide confondu coincident côté side par conséquence consequently commentaire comment D d'après according to donc therefore droite line d'où hence distinct de different from E extérieur external F figure figure H hauteur altitude hypothèse hypothesis I intérieur internal identique identical i.e. namely incidence incidence L lemme lemma lisibilité legibility M mediane median médiatrice perpendicular bissector milieu midpoint

N Notons name nécessaire necessary note historique historic note O orthocentre orthocenter ou encore otherwise P parallèle parallel parallèles entre elles parallel to each other parallélogramme parallelogram pédal pedal perpendiculaire perpendicular pied foot point de vue point of view postulat postulate point point pour tout for any Q quadrilatère quadrilateral R remerciements thanks reconnaissance acknowledgement respectivement respectively rapport ratio répertorier to index S semblable similar sens clockwise in this order segment segment Sommaire summary symédiane symmedian suffisante sufficient sommet (s) vertex (vertice) T trapèze trapezium tel que such as théorème theorem triangle triangle triangle de contact contact triangle triangle rectangle right-angle triangle

32

32