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Les cristaux apériodiques- Incommensurables
b*
c*
D’après G. Pan, Thèse Orsay 1992
Qhkl+mk, k=0,204 b*+0,406 c*
• Cuprate supraconducteur Bi2,2Sr1,8CuO2
• Phase modulée incommensurable
• Présence de satellites autour des nœuds du RR
b*c*
k
• 4 indices pour indexer
Incommensurable ? Cas de NaNO2
P
Ferroélectrique
Paraélectrique
Diagramme de phase
Variation continue de la
position du satellite :
Incommensurable
Ferro Para
Inc.
D’après Dominique Durand, Thèse, LPS, Orsay
BCCDL’escalier du diable
Uhrig (1989)
Modulation incommensurable
a
un
).sin(0 uvwuvw RkuR
• Propriété locale du cristal possède une périodicité
incommensurable avec celle du cristal
• Exemple : modulation displacive
• NaNO2 (polarisation électrique), alliages (onde de concentration), magnétisme
• ADN, Hélice de Coxeter
ER d’un cristal modulé
incommensurable • Calcul de l’espace réciproque• Espace direct donné par
uvw
uvwuvwS ))).sin((()( 0 RkuRrr
uvw
iii uvwuvweedeSF )).sin(..3. 0)()( RkuqRqrq rrq
im
mm
izsin ezJe )(
uvw
miim
mm
uvw m
imimm
i
uvw
uvwuvw
eeJ
eJeF
Rkq
RkRq
uq
uqq
).(0
.0
.
).(
).()(
hklmhkl
imm meJvF )().(*)( 0 Qkquqq
• F(q) est non nul si q=Qhkl+mk, 4 indices
• Formule de Jacobi-Anger• Jm(z) fonction de Bessel d’ordre m
• J0(z) ~1-z2/2 et Jm(z) ~(z/2)m/m!
ER d’un incommensurable
hklmhkl
imm meJvF )().(*)( 0 Qkquqq
h=0
a*
h=1 h=2
k 2k 3k
m=
0 1 2 3-3 -2 -1
• Espace réciproque• Nœuds du RR bordés de « satellites » situés à ±mk
• F(q) est non nul si q=ha*+k b*+l c*+mk• J0(z) ~1-z2/2 et Jm(z) ~zm/m!
• Notion d’espace de dimension 4
Conséquence macroscopique : la calavérite
G0012
a*
c*
+q
-q
+2q
+3q
+4q
G2012
G2014
-
-
-
(201)-
(001)
q= -0,4095 a* + 0,4492 c*
• Calavérite : Au1-xAgxTe, minerai d’or• Facettes violent la loi d ’Haüy
Cristaux composites
• Enchevêtrement de deux cristaux ayant des paramètres de maille
dans un rapport irrationnel.a
a’
• Modèle simple ER somme des 2 RR
a*
b*=b’*
q=ha*+h’a’*+k b*+l c*4 indices
b=b’
a’*
• Existe une intermodulation des deux réseaux...
Structure du Ba
5.5 GPa 12.6 GPa
Phase ICubique centré
Phase IIHexagonal
Phase IVTétragonal inc.
45 GPa
Phase VHexagonal
Phase IV : Structure composite
Chaînes de Ba dans une matrice de Ba tétragonal I
0.341 nm
R.J. Nelmes, D.R Allan, M.I McMahon, et S.A. Belmonte, Phys. Rev. Lett., 83 (1999) 4081
Ch=0.4696 nm
(Centre terre 360=Gpa)
Cristaux composites
R.J. Nelmes, D.R Allan, M.I McMahon, et S.A. Belmonte, Phys. Rev. Lett., 83 (1999) 4081
ch cg
a
b
• Réseau réciproque• De type I pour la matrice
• De type C pour les canaux
Quasi-cristaux• Diffraction électronique d’un alliage d’Al-Mn
(D’après D. Shechtman et al. Phys. Rev. Lett. 53, 1951 (1984))• Quasicristaux découverts « par hasard » par Schechtman (1982)
qui étudiait des alliages d’Al par trempe ultra rapide.
• Alliages d’Al faiblement conducteurs (I, T) • Fragiles à 300 K, ductiles à HT
• Diamagnétiques• Propriétés tribologiques, anti-adhésives
• AlMn trempé (pas d’ordre à grande distance parfait)• 1986 : AlLiCu, se forme à l ’équilibre (ordre imparfait)• 1988 : Quasicristaux parfait, AlCuFe, AlPgMn, AlPdRe
Cristal dodécaédrique
d’AlCuFe
Photo : Annick Quivy© CNRS - CECM, Vitry-Thiais
Problème des macles...
Cliché rayons XMicrocristal décagonal
Al0.63Cu0.175Co0.17Si0.02
D’après P. Launois et al., 1991
Assemblage de microcristauxde symétrie 5
Microscopie et diffraction électronique
Ordre microscopique quasicristallin
Diffraction électronique (10 nm)
Rayons X (1-100 mm)
D’après M. Audier (1990)
72°
...résolu
Pavages de Penrose
• Deux types de « tuiles »• Règles d’accord
Certains quasicristaux modélisés par un pavage de Penrose
alliage Al-Fe-Cu
36° 72°
Principe de l’indexation des QC
• TF du pavage de Penrose
Indexé par 4 vecteursarithmétiquement indépendants
00
ii*i
n
1ii nn a
a1*
a4*
a3*
• 4 indices• Z-module de rang 4
• Comment indéxer un diagramme qui n’est pas périodique ?
a2*
Indexation des QC
• Diagramme des QC icosaédriquesindéxés par 6 indices
• Positions Qhklh’k’l’, forment un Z-module de rang 6
XY
a5*a4*
a1*
a3*
a2*
a6*
Z
)1,,0(
),0,1(
)1,,0(
)0,1,(
)0,1,(
),0,1(
6
5
4
3
2
1
*
*
*
*
*
*
a
a
a
a
a
a
618.136cos22
51
t : nombre d’or
τl'l
τk'k
τh'h
l'k'hklh'Q
Définition du cristalIUCr 1991
‘‘By ‘crystal’ we mean any solid
having an essentially discrete diffraction diagram, and by ‘aperiodic crystal’
we mean any crystal in which three-dimensional lattice periodicity
can be considered to be absent.’’
« Par cristal on désigne un solide
dont le diagramme de diffraction estessentiellement discret
et par cristal apériodiqueon désigne un cristal
dans lequel la périodicité tridimensionnellepeut être considérée absente »
Cas particulier : Z-module
Considérons un « objet » dont la TF est
un Z-module de rang fini:
in
*i
n
1iii nncF )(()( aq)q
• {a*i}i=1..n vecteurs du Z-module de rang n ; {ni}i=1..n indices
• Réseau 3D : {ni}i=1..n=(hkl) indices de Miller; c{hkl}=1• Incommensurable {ni}i=1..n=(hklm); c{hklm}=Jm(Qhkl.u0)eimj
• Quasicristal icosaédrique {ni}i=1..n=(hklh’k’l’)
Superespace
i
*i
n
1ii
n
ni
i
3i
enc
deFS
ra
rq
)
rqr
.
.
(
)()(
i
*i
n
1ii
n
xni
i encxS.
()( )À 1D
i
i
n
1ii
n
yni
in2 encyyyH )(),...,( 1
H fonction périodique d’un superespace de dimension n
H(…y1+2p…)= H(…y1…)
)(),...,( *2
*1 xSxxxH *
n
S(x) : coupe d’un objet périodique d’un superespacepar une « hyper droite » d’équation {yi=a*
ix}
Exemples à 2D Coupe le réseau 2DPar un bande de pente
irrationnelleNombre d’or :
(1+√5)/2=1,618
+
Projection des points sur la droite
=
Pavages de Penrose :Coupe 2D de cristaux 4D
Suite de Fibonacci
Exemples
Réseau 2D +coupe
Cristal 1D
Cristal composite
Incommensurable
Quasi-cristal
Quasi-cristal : coupe et projection
• Motif donne les « surface atomiques »
Quasicristal
• Surface atomiques discontinues
Espace physiquePente : t suite de Fibonacci
Espace perpendiculaire
• Où sont les atomes• Affinement de la densité électronique dans le superespace
• Décorations de pavages de Penrose• Approximants
Pente rationelle :approximant
Phason : déplacement dans l’espace perpendiculaire
• Translation d’un cristal• Glissement des deux cristaux composites l’un par rt à l’autre
• Glissement de la modulation incommensurable• Sauts atomiques dans les quasicristaux
Espace perp.
Edagawa PRL 2000
Phasons dans les quasi-cristaux : sauts atomiques
Ordre apériodique
Si on peut indexer le diagramme de diffraction d’un corps de dimension D
par un nombre fini N d’indices(Cas de tous les « cristaux » connus)
Ce corps est apériodique si N>D.On peut obtenir ce cristal, par une méthode de
« type »coupe et projection
Qu’y a-t-il au-delà du quasi-cristal ?
…la presque-périodicité Si f est une fonction définie continue
sur Rn
T est une ε-pseudo-périodeSi Sup|f(x+T)-f(x)|<ε
F est presque-périodique ssiL’ensemble des ε-pseudo-périodes est
relativement dense (bien-réparti)
Toute fonction périodique est p.p.!sin(x)+sin(√2x)
T=76T=151
Essentiellement discret
Grand théorème de Bohr (Harald) :
F(x) est presque périodique
F(x) est limite d’une série . xi
nn
nec
Le pavage « chaise »est limite-périodique
Z-module de rang infini
Pics en { }l n
http://www.math.uni-bielefeld.de/baake/frettloe/gallery/06-spectr2.jpg
Définitions
« Un ensemble infini de points de l'espace est géométriquement ordonné, s'il est engendré par un algorithme déterministe de complexité finie. » D. Gratias et al., Annu. Rev. Mat. Res. (2003)
« Par cristal on désigne un solidedont le diagramme de diffraction est
essentiellement discret »
Cristal IUCr 1991
Ordre géométrique
Ordre à grande distance
Ordre à grande distance Ordre géométriqueTous les cristaux connus peuvent être construits à partir de règles simples
Ordre géométrique Ordre à grande distance• Certains pavages itératifs n’ont pas d’OGD (?)Exemples : le pavage pinwheel : « moulin », ou le pavage binaire
• Générateurs de nombres pseudo-aléatoires (Mersenne twister : période de 219937 − 1 )
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