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MAT 2300 : devoir 4Geodesique et le theoeme de Gauss-BonnetDate de remise : le 8 decembre au cours ou dans le casier du prof avant 17h00

1. Soit la parametrisation x(u, v) = (coshu cos v, coshu sin v, u) de la catenoıde. Noter quecette parametrisation d’une surface de revolution ne respecte pas l’hypothese simplifica-trice que la courbe generatrice (coshu, u) soit parametree par sa longueur d’arc.

(1) (a) Montrer que la relation de Clairaut et le fait qu’une geodesique est toujours parametreepar (un multiple de) sa longueur d’arc reduisent les equations geodesiques aux deux equations

v ′ cosh2 u = c et (u ′2 + v ′2) cosh2 u = 1

ou c est une constante.(1) (b) Le reste de l’exercice etudie le comportement des geodesiques en fonction de la constante

c. Donner la solution explicite des geodesiques dans le cas c = 0.(1) (c) Monter que, pour c = 1, la fonction u = u(s) satisfait u ′ = ± tanhu/ coshu qui a,

comme une de ses solutions, u(s) = f−1(s) ou f−1 est la fonction inverse de

f(u) = s0 + coshu+ log tanh u2

ou s0 est une constante.(1) (d) Toujours pour c = 1, montrer que la fonction v = v(s) a les comportements asympto-

tiquesv ′ −→

s→−∞ 1 et v −→s→∞ v0

ou v0 est une constante. Justifier la conclusion suivante : les geodesiques avec c = 1 s’en-roulent autour du cercle u = 0 pour les valeurs de s → −∞ et convergent asymptotique-ment vers un meridien pour s→ +∞.

(1) (e) La figure ci-contre represente deuxgeodesiques sur la catenoıde, l’une avec c > 1et l’autre avec c < 1. (En fait, les deux va-leurs de c sont tres voisines de 1.) Repondreaux trois sous-questions en justifiant vosreponses.(i) La geodesique rouge correspond a c < 1

ou c > 1 ?(ii) Quelle est le minimum umin =

mins∈R |u(s)| le long de la geodesiquerouge ? (La reponse devrait etre en fonctionde c.)

(iii) Le devoir 3 a montre que l’helicoıde etla catenoıde sont localement isometriques.Decrivez qualitativement la geodesique surl’helicoıde qui peut etre construite a partirde la geodesique bleu sur la catenoıde.

Out[834]=

1

2. (Variante de l’exercice # 8, p. 90 du manuel) Soit le paraboloıde M parametrise par~x(u, v) = (u cos v, u sin v, u2), 0 < u <∞ et v ∈ (0, 2π). SoitMr le sous-ensemble obtenu enrestreignant le parametre u a 0 < u < r <∞.

(1) (a) Calculer la courbure geodesique ainsi que∫κg ds pour le cercle frontiere ∂Mr deMr.

(1) (b) Calculer χ(Mr).

(1) (c) Calculer la courbure gaussienne K ainsique la courbure totale

∫ ∫MrKdA pour le

sous-ensemble Mr. Verifier le theoreme deGauss-Bonnet pour cette (sous-)surface.

(1) (d) Calculer les limites limr→∞ ∫κg ds et

limr→∞ ∫ ∫KdA. Expliquer la relation entre

la courbure totale de M et l’image de M parl’application de Gauss.

Out[28]=

(2) 3. Les solides platoniciens — Un solide de Platon est un polyedre convexe regulier, c’est-a-dire dont toutes les faces sont des polygones reguliers identiques. On tiendra pour acquisque le centre de masse d’un solide de Platon est a egale distance de tous ses sommets et qu’ilest donc possible de � gonfler � un polyedre platonicien pour qu’il repose sur une sphere :il suffit d’envoyer chaque point x des aretes vers x/||x||. L’image d’une arete est alors un arcde grand cercle. Voici par exemple le � gonflement � du cube :

Out[434]=

Demontrer :Theoreme : Il existe au plus cinq solides platoniciens.Suggestion : soit A le nombre d’aretes, n le nombre de cotes des faces et m le nombre defaces se rencontrant a chaque sommet. Montrer d’abord que

1

n+1

m=1

A+1

2.

Out[438]=

2