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MECANIQUE DES STRUCTURES John BOTSIS, Professeur EPFL/DGM

OJECTIFS Connaître les lois, principes et théorèmes de base concernant le comportement des corps solides déformables, ainsi que les méthodes d’analyse de systèmes simples, statiques et hyperstatiques. Etre en mesure de calculer les composants et structures élémentaires de la construction mécanique. CONTENU 1. Propriétés des matériaux et équilibre intérieur : généralités –

hypothèses fondamentales – propriétés mécaniques des matériaux – efforts intérieurs et contraintes.

2. Traction et compression, cisaillement, torsion circulaire : définitions – calcul des contraintes et des déformations – analyse de l’état de contrainte, cercles de Mohr – énergie de déformation.

3. Flexion des poutres : définition – flexion pure – flexion simple – moments d’une aire plane – contraintes normales et tangentielles – analyse de l’état de contrainte, cercles de Mohr – énergie de déformation – calcul des lignes élastiques et des déformées.

4. Energie de déformation élastique : formes quadratiques de l’énergie élastique – théorèmes de Betti-Rayleigh, Maxwell, Castigliano et Menabrea – application aux systèmes statiques et hyperstatiques.

5. Flambage élastique des poutres droites : notion d’instabilité – cas fondamental et dérivés du flambage d’une poutre – flambement d’Euler – méthode approchée de Timoshenko.

6. Théorie de l’état de contrainte : théorème de Cauchy – matrice des contraintes – tricercles de Mohr – états limites, coefficient de sécurité et contrainte de comparaison – critères de rupture de Tresca, Mohr-Coulomb et von Mises.

FORME DE L’ENSEIGNEMENT:

ex cathedra avec exercices hebdomadaires FORME DU CONTROLE: examen écrit SUPPORT DU COURS:

livre, et fascicules divers LIAISON AVEC AUTRES COURS: Préalable requis: Mécanique générale, Analyse, Algèbre linéaire, Métaux et alliages Préparation pour: Méthodes de conception, mécanique et assemblage, Mécanique vibratoire, Simulation numérique A, Mécanique des solides, Mécanique des milieux continus.

MECANIQUE DES STRUCTURES

Chapitre 1: équilibre intérieur d’un solide

préparé par

John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL

buts du coursla mécanique des structures ou des matériauxse propose deux buts principaux :

le calcul des efforts intérieurs spécifiques ou contraintes, provoqués par les forces extérieures;

le calcul des déformations entraînées par les efforts intérieurs.

objectif essentiellement utilitaire :

assurer la sécurité et le bon fonctionnement des constructions, tout en guidant le choix des solutions les plus économiques.

buts du cours

La théorie de l’élasticité poursuit les mêmes buts que la mécanique des matériaux, mais par un cheminement mathématique rigoureux et sans le recours à des raisonnements qualitatifs basés sur l’expérience.

La théorie de l’élasticité et la mécanique des structures sont fondées toutes deux sur la loi de Hooke qui suppose une proportionnalité parfaite entre contraintes et déformations. Un corps qui suit la loi de Hooke est dit parfaitement élastique.

Malheureusement, les difficultés formelles rencontrées sont généralement si grandes qu’il se révèle impossible de donner une solution utilisable à la plus grande partie des problèmes de l’ingénieur.

Cependant, la théorie de l’élasticité permet seule de donner à certains résultats la généralité nécessaire et de juger de la valeur des hypothèses simplificatrices faites en mécanique des matériaux.

trois hypothèses fondamentales concernant

la constitution de la matière• la continuité, • l’homogénéité et • l’isotropie,

hypothèses fondamentales

deux hypothèses fondamentales relatives à

la nature des déformations• leur proportionnalité avec les contraintes et • leur grandeur très faible par rapport

aux dimensions du solide.

définition d’un milieu continu

Considérons une série d’espacesΩn de volume Vn et de masse Mntelle que Ωn⊂ Ωn-1La suite de Mn/ Vn a une limite ρ(appelèe densité), si

• Le paramètre ρ est appelé densité du matériau au point P. • Si ρ est définie en chaque point du milieu et si elle est une fonction

continue de variables, le milieu est dit continu.• On peut définir la quantité du mouvement, l’énergie, etc.. de la même façon.

ρ→∞→

hypothèse d’homogénéité

On admet que la matière est homogène

les propriétés mécaniques sont les mêmes en tout point de solide qui occupe l’espace 0Ω

Exemple E P1 = E P2 = E Pn

hypothèse d’isotropie

On admet que la matière est isotrope

les propriétés mécaniques sont identiques dans toutes les directions autour d’un point

hypothèse de proportionnalité

Dans un solide continu, les déformations sont liées

en tous points aux contraintes par des relations linéaires.

La mécanique des structures est basée sur la loi énoncée par Hooke en 1678 :

déformation

hypothèse des petites déformations

L’expérience montre que dans les limites normales d’utilisation la Majorité des matériaux subit des déformations relativement faibles par rapport aux dimensions du solide.

C’est - à - direLes déformations ont une influence négligeable sur la position des points d’application ou sur la direction des forces extérieures.

Les conditions d’équilibre établies par la statique rationnelle pour les corps parfaits indéformables sont applicables sans autre aux solides réels.

solide en équilibre en deux parties

Action globale de (B) sur (A) est remplacée par le torseur (R, M)

R = P1 + …+Pj

M = r1∧P1 + …+ rj∧Pj

principe de la coupe

décomposition de torseur (R, M)

N = effort normal = composante de R selon GxT = effort tranchant = projection normale de R dans le plan de FMt = moment de torsion = composante de M selon GxMf = moment de flexion = projection normale de M dans le plan de F

Mf = Mfj+ Mfk

T= Tyj+ Tzk

définition des contraintes

Vecteur de contrainteΔ →∞

P dPp = limF dF

définition des contraintes

Contrainte au point M0 de la section F.

Sens positif des rotations

22 2τ σ= −pτ

principe d’équivalence

∫∫ ∧=

∫∫=

dF)pr(M

L’action des contraintes agissant sur une section d’un solide en équilibre est équivalente à l’action des forces extérieures, appliquées sur l’une ou l’autre des parties du solide séparées par la section considérée.

∫∫−=

∫∫=

∫∫ −=

∫∫=

dF)zy(

On commence par étudier les cas particuliers très simples d’efforts intérieurs, puis on s’attache à des cas plus complexes par combinaison des résultats trouvés.

cas particuliers d’efforts intérieurs

traction ou compression simpleLe torseur (R, M) se réduit à l’effort normal N. cisaillement simpleLe torseur (R, M) se réduit à l’effort tranchant T.torsion simpleLe torseur (R, M) se réduit au moment de torsion Mt.flexion simpleLe torseur (R, M) se réduit à un moment de flexion Mfet un effort tranchant T, perpendiculaires entre eux.

constantes d’élasticité

Module d’élasticité ou module de Young E

ll /Δ=εE σε =

Allongement d’un barreau

Allongement spécifique d’un barreau

barreau en traction

FP =σ

Loi de Hooke

constantes d’élasticité

Coefficient de Poisson

μεε −=Δ

μεε −=t Etσμε −=

Allongement transversal spécifique

dilatation thermique

Les solides se dilatent quand la température augmente

L’allongement thermique relatif est:

θαεθ Δ=

α : coefficient de dilatation thermiqueΔθ : variation de la température

dilatation gênée contraintes

Chapitre 2: traction ou compression simple

préparé par

traction ou compression simple

Le calcul des contraintes est facile si l’on admet les hypothèses suivantes- le solide est prismatique, une section normale F étant invariable selon l’axe x;- la section F' après déformation se déduit de F par simple translation selon l’axe x.

la seconde condition implique que l’hypothèse de Bernoulli soit satisfaite, à savoir

qu’une section plane avant déformation reste plane après déformation.

La section d’un solide travaille en traction simple quand le torseur des efforts intérieurs se réduit à une composante N

traction ou compression simple

σσ =∫∫=N

Pour que l’hypothèse de Bernoulli soitsatisfaite :

0 xy ==ττ.const =σ

∫∫−=

∫∫=

∫∫ −=

∫∫=

dF)zy(0

distribution des contraintes : Principe de St-Venant

Si non : la section doit se trouver à une certaine distance des extrémités pour que l’hypothèse adoptée soit valable dans le cas d’une force concentrée.

principe de St-Venant

la contrainte σ est constante dans toute section d’un barreau si la force extérieure s’applique uniformément sur les extrémités

distribution des contraints : Principe de St-Venant

distribution des contraintes : effet de la section

D ’après la théorie de l’élasticité la différence relative entre la contrainte maximale réelle et σ = N/F est pour α = 10 deg. erreur relative de 1,3 %;

pour α = 30 deg. erreur relative de 13 %.

exemplecontrainte moyenne

AttentionQuand la contrainte σ n’est plus constante dans toute la section, il apparaît des contraintes tangentielles même si l’effort tranchant T et le moment de torsion Mt sont nuls.

exemple: chargement mécanique

2ϕ1ϕ

PDonnées du problèmeL1; L2; H1; E; F

1 2; ; Pϕ ϕ

Configuration initiale ABCConfiguration finale A BC′

exemple: chargement mécanique

1 1 1 2cos ; cosAB ACθ θ= Δ = Δ1 2 1 2θ θ ϕ ϕ+ = +

1 12 1

;sin sin

ACAB PPAB ACFE FEϕ ϕ

= =2 1L L

2ϕ1ϕ

Péquilibre du joint

ABPACP

cos cossin sin

P P PP P

ϕ ϕϕ ϕ

Géométrie de la déformation

Relation entre déformation - charge

Δ = ..

exemple: chargement thermique

2ϕ1ϕ

Données du problèmeL1; L2; H1 1 2; ; Tϕ ϕ Δ

Configuration initiale ABCConfiguration finale A BC′

Solution

1 1 1 2cos ; cosAB ACθ θ= Δ = Δ

1 2 1 2θ θ ϕ ϕ+ = +

1 12 1

;sin sin

AB T AC Tα αϕ ϕ

= Δ = Δ2 1L L

Relation entre déformation - charge

Géométrie de la déformation

Δ = ..

exemples

F(x)0σ

P(x)NF(x)0 +=σÉquilibre

dérivation

F(x)dxdP(x)

dP(x)dF(x)0

dxF(x)

dF(x)0σ

0/0F(x) σγxeF=solution

exemples

1N 2N;

1N P 2N

PNN =+ 21équilibre

==δdéformation

exemples

∫=2/

011 dF)sinp(2Be2

πφσ

)Rd(BdF ϕ=

∫=2/

011 dsinpRB2Be2

πφφσ

pRBBe 22 11 =σ

pRe =11σ

anneau de cuivre

équilibre

pRe =22σanneau d’acier équilibre

RRR σπσπθαππ =−Δ=Δ=Δl

condition de déformation

contraintes principales

plans principauxet les axes correspondants axes principaux ou directions principales

De tels plans sont appelés

Dans le cas tri-dimensionnel,autour d’un point M0quelconque d’un solide

il existe toujours au moins trois plans normaux deux à deux sur lesquels les contraintes tangentielles sont nulles et les contraintes normales extrémales.

1σ3σ

P1P2 P3

état de contrainte mono-dimensionnel

plan π passant par l’axelongitudinal de la poutre

( )0=σ0=τplan π est toujours une plan principal

plans principaux : M0xy ; M0xz ; M0yz

En tout point de F0 la contrainte est

0/ FNx =σ

cos 0sin 0

F FF F

σ σ ϕ

τ σ ϕ

φϕ cos/FF 0=

ϕϕστ

ϕσσ

sincos

=Etant donné que

équilibre des forces selon la direction net selon la direction orthogonale

Fϕ ϕσFϕ ϕτ

0F cosxσ ϕ

sinx0F σ ϕ

ϕστ

ϕσσ

)2cos1(2

ϕϕστ

ϕσσ

sincos

contrainte de cisaillement

ϕστ

ϕσσ

)2cos1(2

+= Pour 2/2 πϕ ±=

maxστ = 2

στ −=

Effet de cisaillement sur certains matériaux ductiles

pour les aciers doux, on constate l’apparition de stries qui sont appeléeslignes de Lüder

énergie de déformation

∫ Δ=∫=ΔΔ ll

)(NddUU

∫ ΔΔ=Δl

)(dEFU

l =ΔLoi de Hooke

Si N ou F sont variables

densité d’énergie de déformation

σε21u =

2E21u ε=

Eσε =Loi de Hooke

énergie de déformation : domaine plastique

21 UUU +=

UU1=λ

énergie totaleénergie élastique

énergie plastique

degré d’élasticitéparfaitement plastique

parfaitement élastique1=λ

énergie de déformation: cas non-linéaire

les densités d’énergie de déformation correspondant àun matériau plastique parfait (λ = 0), un matériau plastique ordinaire (0 < λ < 1) un matériau élastique non linéaire (λ = 1)

Chapitre 3: état de contrainte bidimensionnel

préparé par

1σ3σ

P1P2 P3

Etat de contrainte bidimensionnel

élément infinitésimale

partie de la structure

élément infinitésimalesimplifié

élément infinitésimale

pas de contraintes de cisaillement

Quand l’une des trois contraintes principales est nulle,l’état des contraintes est dit bidimensionnel

élément du volume dxdydz

M0xyz : système des axes quelconqueM0XYZ : système des axes principauxσ1 >σ2 > σ3

contraintes principalesσ1 = σx, σ2 = σy < σx

et σ3 = σz = 0

La conséquence du principe de superposition est:Chaque contrainte entraîne les mêmes déformations que si elle était appliquée seule et la déformation résultante est la somme des déformations partielles.

Hypothèses essentielles

- la loi de proportionnalité (loi de Hooke) est valable- le principe de superposition se tient

principe de superpositiondes déformations

με −=E

σε =

με −=Effet de yσ

xxσε =

yxσμε −=

zxσμε −=Effet de xσ

Somme )(E1

yxx μσσε −= )(E1

xyy μσσε −= )(E xyz σσμε +

énergie de déformation

dV21dxdydz

xxxxxxxσεσεσ ==⋅=

énergie due à σx

dxdydzdU yxxyxxy

σμσεσ −=⋅=

Restitution d’énergie dans x due à la contraction latérale(provoqué par σy)

D’une façon similaire dVE2

= (énergie due à σy)

x yxy x xydU = dydz dx dV

Eμσ σ

σ ε⋅ = −

Restitution d’énergie dans x due à la contraction latérale

Application de σx

Energie dans la direction x xσ

Energie dans la direction y

xσxσ

Application de σy

1dUdUdUdU yx

xyyx ⎟⎟

⎜⎜

⎛−+=++= σμσ

Le travail total est

Densité d’énergie

Et la densité est

⎟⎟

⎜⎜

⎛−+== yx

dVdUu σμσ

Attention : u est une fonction quadratique

Variation relative de volume

Volume avant déformation dxdydzdV =

Volume après déformation

)1(dz)1(dy)1(dxdV zyx εεε +++=

En négligeant les puissances supérieures à 1

)1(dVdV zyx' εεε +++=

dVdVdVv εεε ++=

contraintes en un point M0

1σ3σ

P1P2 P3

Etat de contrainte bidimensionnelAnalyse des contraintes

état de contrainte bidimensionnel

cos sin 0

sin cos 0x x y y

x x y y

F F Fϕ ϕ

σ σ ϕ σ ϕ

τ σ ϕ σ ϕ

− − =

+ − =

cossin

F FF F

ϕϕσστ

ϕσϕσσ

sincos)(

sincos

−−=

étant donné que

équilibre des forces selon la direction net selon la direction orthogonale

Analyse des contraintes

Contraintes sur deux sections parallèles infiniment voisines

ϕσσ

ϕσσσσ

2cos22

−−=

sont de période π

Les contraintes σϕ et τϕprennent des valeurs identiques sur des sections parallèles

les équations

Etat de contrainte bidimensionnelContraintes de cisaillement

sur deux sections perpendiculaires

L’équilibre des moments en Mo donne0' =+ττ 'ττ −=

elles convergent vers une même arête ou divergent d’une même arête.

état de contrainte bidimensionnel : axes principaux

ϕϕσστ

ϕσϕσσ

sincos)(

sincos

−−=

ϕσσ

ϕσσσσ

2cos22

−−=

Cercle de Mohr pour une section tournant autour de Moz

ϕσσ

ϕσσσσ

2cos22

−−=

σ1 = σx, σ2 = σy < σx σ3 = σz = 0

.Plan M0xy a h

e .Plan M0yz

0 σy = σ2

σz= σ3= 0

σ1 = σxσ2 = σy < σxσ3 = σz = 0

Cercle Γyz

σφτφ

Plan M0xz

σz= σ3= 0σφ

0 σx = σ1

σ1 = σxσ2 = σy < σxσ3 = σz = 0

Cercle Γxz

cercles de Mohr(ensemble)

σ1 = σxσ2 = σy < σxσ3 = σz = 0

Etat de contrainte pour une section tournant autourd’un axe autre que l’un des axes principaux

σ1 = σxσ2 = σy < σxσ3 = σz = 0

σx > σy > 0σz = 0

σx = σy > 0σz = 0

σx > 0, σy < 0σz = 0

cercles de Mohr(ensemble)

Axes de référence différents des axes principaux

( cos sin ) ( sin cos ) 0

( sin cos ) ( cos sin ) 0x x x y y x

x x x y y x

F F Fϕ ϕ

σ σ ϕ τ ϕ σ ϕ τ ϕ

τ σ ϕ τ ϕ σ ϕ τ ϕ

− + − + =

+ − − − =

L’équilibre des forces conduit au système suivant

cos ; sinx yF F F Fϕ ϕϕ ϕ= =Etant donné que

Axes de référence différents des axes principaux

cos sin 2 sin cos

( )sin cos (cos sin )x y x

σ σ ϕ σ ϕ τ ϕ ϕ

τ σ σ ϕ ϕ τ ϕ ϕ

= − − + −

ϕτϕσσ

ϕτϕσσσσ

2cos2sin2

2sin2cos22

( cos sin ) ( sin cos ) 0

( sin cos ) ( cos sin ) 0x x x y y x

x x x y y x

F F Fϕ ϕ

σ σ ϕ τ ϕ σ ϕ τ ϕ

τ σ ϕ τ ϕ σ ϕ τ ϕ

− + − + =

+ − − − =

cercle de Mohr

ϕτϕσσ

ϕτϕσσσσ

2cos2sin2

2sin2cos22

2Ryx =+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ +− φϕ τ

σσσ

[ ]ϕϕϕϕ

ϕτϕσσ

ϕτϕσσσσ

2sin2sin2cos2cos

2sin2cos2/)(

2sin2cos22

⎥⎦

⎤⎢⎣

)(2cos2 0 ϕϕ

σσσϕ −=

+− Ryx

[ ]ϕϕϕϕ

ϕτϕσσ

2cos2sin2sin2cos

2cos2sin2/)(

2cos2sin2

00 −−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=

)(2sin 0ϕϕτϕ −−= R

( ) / 2x yσ σ−

( ) 2 ; 24

x y xx

R tgσ σ ττ ϕ

σ σ−

= + =−

)(2sinR

)(2cosR2

ϕϕτ

ϕϕσσ

−−=

2Ryx =+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ +− φϕ τ

σσσ

ϕτϕσσ

ϕτϕσσσσ

2cos2sin2

2sin2cos22

Directions des contraintes principales

ϕϕ τϕ

τϕ = 0 pour σϕ extremum

tg τϕσ σ

Cercle de Mohr (en deux versions)

Construction ducercle de Mohr

σστϕ

τσσ

Cercle de Mohr (en deux versions)

Construction ducercle de Mohr

Fφϕσ

Etat de contrainte bidimensionnel'

cos sinsin cos

x x yy x y

= − +

xσxσ

xyτyxτ

yxτxyτ

'yσ ''xyτ''yxτ

''xyτ 'yσ''yxτ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

σττσ

état de contrainte

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛'''

yxxσττσ

état de contrainte

cos sin 2 sin cos

sin cos 2 sin cos

( )sin cos (cos sin )

x y xyx

x y xyy

x y xx y

= + −

= − − + −

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

ϕϕϕϕ

σττσ

ϕϕϕϕ

σττσ

cossinsincos

yxx'''

cos sinsin cos

ϕ ϕϕ ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

cos sinsin cos

x x yy x y

= − +

cos 2 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

x y x yxyx

x y x yxyy

x yxyx y

σ σ σ σσ ϕ τ ϕ

σ στ ϕ τ ϕ

+ −= + +

+ −= − −

−= − +

yxyx '' σσσσ +=+

σστ

=Directions principales

cos sin 2 sin cos

sin cos 2 sin cos

x y xyx

x y xyy

x y xx y

= + −

= − − + −

Chapitre 4: cisaillement simple

préparé par

cisaillement simple - définition

0≠= Tdx

0=fM Le cisaillement simple ne peut jamais exister dans un solide entier.Il est réalisé de façon presque parfaite

La section normale F d’un solide est soumise au cisaillement simple quand le torseur des efforts intérieurs se réduit à l’effort tranchant T dans le plan de F

exemples

contrainte de cisaillement - hypothèse

Hypothèse : fondée sur l’expérience

L’évaluation des contraintes dans une section soumise au cisaillement simple est basée sur l’hypothèse de Bernoulli:

la section F' après déformation se déduit de F par simple translation dans la direction de l’effort T,

une section plane avant déformation reste plane après déformation

contrainte de cisaillement - évaluation

FdFT yF

y ττ =∫∫=

∫∫=

∫∫−=

∫∫=

∫∫ −=

dF)zy(0

ττFT

y ==ττ

( )0TT zy ==

D’après l’hypothèse de Bernoulli 0z == στ

constante=yτ

cisaillement - déformation

τ⋅= dxG1dy

Gτγ = (loi de Hooke)

o1,0≈γPour un acier

Considérons deux sections F1 & F2 infiniment proches ( )0dx →

faire l’hypothèse: dM = Tdx ≈ 0

cisaillement - analyse de l’état de contrainte

Par définition:0zyx === σσσ

axe principal M0zplan principal M0xy

N’oublions pas que les contraintes de cisaillement sur deux sections perpendiculaires:

convergent vers une même arête ou divergent d’une même arête.

Considérons une section oblique Fϕ perpendiculaire au plan principal M0xy et tournant autour de l’axe M0z, sa normale n formant un angle ϕ avec l’axe M0x.

l’équilibre des forces conduit à:sin cos 0

cos sin 0x y

F F Fϕ ϕ

σ τ ϕ τ ϕ

τ τ ϕ τ ϕ

− − =

− + =

cosxF Fϕ ϕ= sinyF Fϕ ϕ=

Etant donné que

2 sin cos sin 2 cos 2( )

(cos sin ) cos 2 sin 2( )ϕ

σ τ ϕ ϕ τ ϕ τ ϕ ϕ

τ τ ϕ ϕ τ ϕ τ ϕ ϕ

= = = −

= − = = − −

cos 2( )

sin 2( )ϕ

σ τ ϕ ϕ

τ τ ϕ ϕ

= − −

222 ττσ ϕϕ =+

= = = −

= − = = − −

022πϕ⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

cisaillement - contraintes principales

cercles de Mohr état de contrainteautour d ’un point M0

cisaillement - déformation

0)21(E

dVdVdVv

=−−

++=−

μττμσσ

εεε

La variation de volume est nulle (au premier ordre)

variation de volume en cisaillement simple

cisaillement - énergie

1 1 12 2 2

dU Tdy F dx dVτ γ τγ= = ⋅ =

Énergie de déformationen cisaillement simple

Gτγ =

en utilisant la loi de Hooke

2u τγ=

udV/dU =

2u σε=

comparaison avec le cas mono-dimensionnel

relation entre E et G

GdxAA' τγ ==

)1(E12dx

)(E12dxACAA 21

μσσε

'''' AA2AA =

dx μττ+⋅=

)1(2EGμ+

relation entre E et G

cisaillement simple

état de contrainte ‘bidimensionnel’

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= 31

22E1u σμσσσ

( )μτ+= 1

)1(2EGμ+

= et 31 τστσ −==

Chapitre 5: torsion simple

préparé par

torsion circulaireexemple: arbre en torsion

torsion circulaire

zero torque

non-zero torque

barres circulaires en torsion

torsion circulaire

La section normale F d’un solide travaille à la torsion simplequand le torseur des efforts intérieurs se réduit au moment de torsion Mt perpendiculaire à F

torsion circulaire - hypothèseHypothèse : fondée sur l’expérience

adopter une nouvelle fois l’hypothèse de Bernoulli

Pour des barres circulaires en torsion, l’expérience montre qu’une section F' après déformation se déduit de la section originelle Fpar simple rotation dans le sens du moment de torsion Mt

torsion circulaire - contrainte

∫∫=

∫∫−=

∫∫=

∫∫ −=

dF)zy(M

θcosy r=

θθττ

sinsin

−=−=

θθθ

dcosddFc0

dsinddFsin0

∫∫=∫∫=

∫∫−=∫∫−=

rrkosrk

∫∫=

θinrsz =( )θdddF rr=

θcosy r=

θθττ

sinsin

−=−=

θinrsz =

∫∫ −=F

yzt dF)zy(M ττ

∫∫=F

2p dFI r

kr=τ p

∫∫=∫∫ +=F

222t dFdF)sinc(M rkosrk θθ

torsion circulaire

exemple: trouver la contraintes maximale dans l’arbre en torsion ci-dessous

t maxM =25NmR=5mm

IRM max

max =τ

4RI pπ

=t max

max 127, 4MPaτ = =3

torsion circulaire - contrainte kr=τ

drr2dFI

∫=∫∫= r

11 Gγτ =22 Gγτ =

Quand Rc ~ Rb

t3avp R2I π≈

t = Rc - Rb

torsion circulaire - déformation

' rBB dx dγ ϕ= =

rddxϕ γ=

Gτγ = (loi de Hooke)

Mddx GIϕ=

Intégration de 0 à l

Déformation angulaire totaleou angle de torsion quandMt est constant

torsion circulaire - état de contrainte

N’oublions pas que:les contraintes de cisaillement

sur deux sections perpendiculaires:convergent vers une même arête ou divergent d’une même arête.

Par définition:0zyx === σσσ

plan principal M0xt

analye de l’état de contrainte

Considérons une section oblique Fϕ perpendiculaire au plan principal M0xt et tournant autour de l’axe M0r, sa normale n formant un angle ϕ avec l’axe M0x.

sin cos 0cos sin 0

F F FF F Fϕ ϕ

l’équilibre des forces donne:σ τ ϕ τ ϕ

τ τ ϕ τ ϕ

− − =

− + =

= = = −

= − = = − −

cosxF Fϕ ϕ= sintF Fϕ ϕ=

Etant donné que

torsion circulaire - cercle de Mohr

cos 2( )sin 2( )

σ τ ϕ ϕ

τ τ ϕ ϕ

= − −

222 ττσ ϕϕ =+

022πϕ⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

= = = −

= − = = − −

torsion circulaire - cercle de Mohr

= = = −

= − = = − −

torsion circulaire - lignes isostatiquesles trajectoires des contraintes principales, c’est-à-direles courbes continuellement tangentes aux directions principales.Ces courbes, appelées lignes isostatiquessont des hélices à 45 en torsion circulaire

la déformationallonge les hélices selon la directionprincipale σ1 (traction)et raccourcit les hélices selon la direction principale σ3 (compression).

0)21(E

)21(EdV

dVdVv yxzyx

−=−

−= μττμ

σσεεε

La variation relative de volume est nulle (au premier ordre)

variation de volume en torsion circulaire

comme en cisaillement simple

torsion circulaire - énergie

Énergie de déformation (spécifique)

G2G2u ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

τττ

multiplions et divisons par τ2max

( )kr=τ

torsion circulaire - énergieÉnergie de déformation

ϕΔ=Δ tM21U

Mdx dx GIϕ ϕΔ≈ =

ϕtM21U =

GI2MU l

pour deux sections voisines

(Mt (x): constant)

From: E. POPOV, Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall, 1990.

torsion circulaire - exemple

500 mm300 mm200 mm250 mm

Mtb =150 Nm Mtd =1000 Nm

a b c d e

b c d et t t t

p p p pa b c d

M dx M dx M dx M dxGI GI GI GI

ϕ = + + +∫ ∫ ∫ ∫

torsion circulaire : exemple

G1 ; L1; Ip1

G2 ; L2; Ip2

M2 Equilibre M + M1 + M2 = 0

Compatibilité ϕab = ϕbc

2tabIG

LMIGLM

système hyperstatique

torsion circulaire

état de contrainte et rupture

torsion circulaire - exemple

Énergie élastique dans le ressort2

MdUds GI

= ds n Dπ= ≈∫ l

/ 2tM PD≈moment de torsion

8nPDfGd

Travail fourni par la force P:

2 2 2 3

0 8 8p p

P D n P DU dsGI GI

π= =∫

torsion non - circulaire

zero torque non-zero torque

La section ne reste pas planeaprès l’application de MT

L’étude de la torsion de barreaux prismatiques à sectionpleine est basée sur la méthode de St.Venant.

3( )tMd

dx G HBϕθ

Angle de torsion par unité de longueur

max HeM3

tMddx G Heϕθ = =

Remplacer la hauteur H par la longueur Rϕ 2

tmax e

tMddx G eϕθ

section rectangulaire secteur de couronne

16 ( )( )

tM H Bddx G HBϕθ

)HB(M16

max BM20

20,133 ( )tMd

dx G FDϕθ = =

FD217,0Mt

max =τ106

Mddx GIϕθ = =

torsion non – circulaire de faible largeur

max HeM3

tMddx G Heϕθ = =

Remplacer la hauteur H par la longueur 2B

max Be2M3

tMddx G Beϕθ = =

section rectangulaire cornière à ailes égales

torsion non - circulaireProfil en U ou en I

2tmax Be2He

=τ 3 31 2

3( 2 )

tMddx G He Beϕθ = =

torsion - exempleOn considère deux tubes circulaires à paroi mince de mêmes dimensions (longueur l, diamètres extérieur D1 et intérieur D2), mais dont l’un est fendu sur toute la longueur. Sachant que les deux tubes sont soumis au même moment de torsion Mt, calculer les contraintes de cisaillement maximales

maxHeM3

)He(GM3

θ ϕ= =l

)DD(DM16

−===π

32/DI 4p π=

2/)DD(H 21 += π2/)DD(e 21 −=

MPa01,6max =τ MPa127max =τ

Chapitre 6: flexion des poutres droites

préparé par

flexion des poutres droitesHypothèses:

1: l’effort tranchant est nul, la flexion simple est dite flexion pure

2: le moment de flexion Mf ne comporte qu’une composante

Mfz = M

perpendiculaire au plan Gxyappelé plan de flexion;

3: la fibre moyenne de la poutre est une droite et elle est donc confondue avec l’axe Gx.(les axes Gy et Gz sont principaux d’inertie).

flexion des poutres droites

flexion pure : le moment de flexion est constant le long de x

axe neutrepas de déformation

flexion des poutres droites - hypothèse

Hypothèse concernant la déformation de la section.

adopter une nouvelle fois l’hypothèse de Bernoullid’après laquelle une section plane avant déformation reste plane après déformation.

L’expérience montre que l’on peut admettre que, mise à part l’influence de la contraction latérale, la section F' après déformation se déduit de F par simple rotation autour du support de M (axe Gz).

flexion des poutres droites

ky=σ∫∫=

∫∫=

∫∫−=

∫∫ −−=

dF)zy(0

axe neutre

flexion pure des poutres droites

∫∫==F

2z dFyII

∫∫=∫∫=F

FdFyydFM kσ

axe neutre

0 ydFk= − ∫∫F

0 yzdFk= − ∫∫

−=σ

y = d1

y = d2

1max W

2min W

M−=σ

I=W1d1

axe neutre

moments de résistance à la flexion

I=W2d2I

convention de signe en flexion

(b) moment de flexion Mfy et trièdre de référence à droite.(a) moment de flexion Mfz et trièdre de référence à gauche;

flexion pure des poutres droites - déformation

on connaît

Eσε =

dxEIMd =θ

dxEIyMdx

Edx ==

θρddx =

θε yddx =

θρddx =courbure

établir la déformation de la poutre (Chapitre 7)

flexion pure des poutres droites - déformationLa déformation latérale due à la flexion entraîne de la contraction ou dilatation latérale due aux contraintes normales. Compte tenu de la distribution des contraintes en flexion pure, il est facile de voir qu’une section rectangulaire par exemple se déforme comme le montre la figure

Un raisonnement semblable au précédent permet de calculer la courbure

μ : désigne le coefficient de Poissondz

dzEIMydz

μσμε

dzEIyMyd

flexion pure des poutres droites - exempleCalculons les contraintes dansune section d’une poutre rectangulaire

MPa208WM

maxmax ===σ

H = 6 cmB = 4 cmM = 5000Nm

MPa208WM

minmin −=−=−=σ

flexion pure des poutres droitesDistribution des contraintes normales

contraintes de cisaillement et de flexion

Contraintes tangentielles en flexion simple

Quand le moment de flexion varie le long de la poutre, il s’accompagne d’un effort tranchant

0)dTT(dxT =+++− p

0)dMM(2

dxdxTdxM =+++−− p

équilibre

dxdMT =

L’effort tranchant provoque des contraintestangentielles dans la section

contraintes tangentielles en flexion simple

contraintes tangentielles(ou de cisaillement)

écoulement descontraintes tangentielles

contraintes tangentielles en flexion simpleConsidérons deux sections infiniment voisineset conservons les deux hypothèses

3: la fibre moyenne de la poutre est une droite et elle est donc confondue avec l’axe Gx.

2: le moment de flexion Mf ne comporte qu’une composante Mfz = M perpendiculaire au plan Gxyappelé plan de flexion;

dσ est le résultat de la variation de M

dτ est le résultat de la variation de T

Considérons l’équilibre de la section F’

TdxIydx

∂∂

+∂∂

=σσσ

=σ )0dy( =

∫∫='F

'ydFIbTτ

dF)d(dF'' F

∫∫ ++∫∫−

σσσ

0dxd →τ

b dx= dσdFτ ∫∫

∫∫='F

'ydFIbTτ

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

+⋅−=∫∫=

)y2/H(21)y2/H(BydFS

3= Bb =

Calculons les contraintes tangentielles

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

moy 2/Hy1

23ττ

contraintes tangentielles

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Distribution descontraintes tangentielles

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

contraintes tangentielles : section circulaire

ψψψπ

'2/ '2'3

cosR32S

dcossinR2dFyS'

∫=∫∫=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

ψττψcosR2b =

∫∫='F

'ydFIbTτψ

πτ 2

2 cosRT

'''' cosRz;sinRy ψψ ==

''22''' dcosR2dyz2dF ψψ==

utilisons les variables

contraintes normales & tangentielles

2211 BHBHF +=

F)2/HH(BH)2/H(BH 2122111

1212 HH ηη −+=

Géométrie de la section

3 32 22 2 1 1 1

1 1 2 2B H B H HI= + +B H ( +H ) - η F

3 12 2

contraintes tangentielles IbTS'

2/)y()y(BS

+⋅−=

−⋅+=

ηη222

yHHyηη

ηη≤≤−−−≤≤−

( )[ ]( )[ ]2

ηητ

IMy)y( =σ

contraintes normales

contraintes normales & tangentiellescontraintes tangentielles : section circulaire

sur la surface, les conditions aux limites ne sont pas satisfaites

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

moy Ry1

34ττφτ cos/

max moy2

4 T 43 R 3

τ τπ

maxτmaxτ

flexion des poutres - contraintes tangentielles

sur ces surfaces, les conditions aux limites

ne sont pas satisfaites

0≠τ

apour satisfaire

l’équilibre

η≈h/2

btF2 2

pour des contraintes on utilise

écoulement descontraintes tangentielles

q tτ=

η≈h/2

flexion simple - état de contrainte

0x =σxy ττ −=

Sur la face Fy

Sur la face Fx

Sur la face perpendiculaire a Gzles contraintes sont nulles

État de contrainte estbidimensionnel

flexion simple - état de contrainte

Considérons une section oblique Fϕ perpendiculaire au plan principal M0xy et tournant autour de l’axe M0z, sa normale n formant un angle ϕ avec l’axe M0x.

l’équilibre des forces conduit à:

Etant donné que

cos sin cos 0

sin cos sin 0x x x x y x

x x x x y x

F F F F

F F F Fϕ ϕ

σ σ ϕ τ ϕ τ ϕ

τ σ ϕ τ ϕ τ ϕ

− − − =

+ − + =

cosxF Fϕ ϕ= sinyF Fϕ ϕ=

cos 2 sin cos

sin cos (cos sin )x x

σ σ ϕ τ ϕ ϕ

τ σ ϕ ϕ τ ϕ ϕ

= − + −

flexion simple - cercle de Mohr

στϕ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1 22τσσσ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

3 22τσσσ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

max 2R τστ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

(1 cos 2 ) sin 22

cos 2( )2

sin 2 cos 22sin 2( )

σσ ϕ τ ϕ

σσ ϕ ϕ

στ ϕ τ ϕ

τ ϕ ϕ

= + −

= − +

= − −

flexion des poutres droites - cercle de Mohr

tg22tg

ϕϕ =

00 2tg1

tg22tg

γγ −=

flexion des poutres droites - lignes isostatiquesles trajectoires des contraintes principales, c’est-à-direles courbes continuellement tangentes aux contraintes principales.Ces courbes, appelées lignes isostatiques

elles débouchent perpendiculairement ou tangentiellement sur les fibres extérieures de la poutre, puisque les contraintes de cisaillement sont en effet nulles en ces endroits;

elles rencontrent l’axe neutre selon un angle de ± π/4 car les points de cet axe sont soumis au cisaillement pur

3: compression 1: traction

flexion des poutres droites - lignes isostatiques

dxdyy ϕ==

tg22tg

ϕϕ =

Équation différentielle régissant les courbes isostatiques

01y4y '

x2' =−−στ

Cette relation est également valable pour les lignes isostatiques en compression, puisque les angles 2ϕ0 et 2ψ0 caractérisant respectivement les contraintes principales σ1 de traction et σ3

de compression, ont la même tangente (2ϕ0 = 2ψ0 + π).

flexion des poutres droites - énergieÉnergie de déformation due au moment de flexion

θMd21dU =

θρddx =

EI2Mu =

flexion des poutres droitesdéformation due à l’effort tranchant

Les sections ne reste pas plane

ne sont que approximatives

flexion des poutres droites - énergieÉnergie de déformation due à l’effort tranchant

dxT21Tdy

21dU T γ==

dxGF2TdU

Gmoy η

τηγ ==

∫∫=∫∫=FF

udFdxudxdFdU

η : coefficient de forme

∫∫=F

GI2dxTdU

∫∫=F

2 dFbS

Chapitre 7: déformée des poutres droitesen flexion simple

préparé par

déformée des poutres droites en flexionéquation différentielle de la déformée

( ) 2/32'

dxdxdy

dsdx)tgyArc(dd1

+⋅⋅

⋅±=±=

''y1±=

Sous l’hypothèse des petites déformations

My '' −=

déformée des poutres droites en flexionInfluence de l’effort tranchant

dxdyT γ=

GFTηγ = GF

Ty'T η=

Si la poutre supporteune charge continue p(x)

dx)x(Md

dx)x(dT)x(p −=−=

GF)x(M

GF)x(p

'''''T ηηη =−==

déformée des poutres droites en flexion

)x(P)x(M −−= lchercher la déformée d’une poutre en console

EIMy '' −=

)x(PEIy '' −= l

2xPxPEIy +−= l

21' C0)0x(yC0)0x(y ====== ;

conditions aux limites

)x3(xEI6Py 2 −= l

EI3P 3l

EI2Ptg

2l=≈ ββ

flèche maximale

rotation maximale

2xPEIy ++−= l

déformée des poutres droites en flexiondéformée due à l ’effort tranchant pour une poutre en console

1T C0)0x(y ===condition aux limites

P)x(T =

1T CxGFPy +=η

xGFPyT η=

flèche maximale GFP

Tlη=f

T ηβ =rotation (constante)

déformée des poutres droites en flexiondéformée totale

flèche maximale

EI2P 2

t ηβ +=l

rotation totale

xGFPyT η=

)x3(xEI6Py 2 −= l

Tt yyy +=

due à l’effort tranchant

due au moment de flexion 'T

''t yyy +=

EI3P 3 ll η+=tf

η = 1,2F=BH=50 cm2

I=417 cm4

P=30 kNl=100 cmE=2,1x1011 PaG=0,8x1011Pa

11,4 mm

0,09 mm

0,005o

déformée des poutres droites en flexiondéformée d’une poutre sur deux appuis

2p)x(M

GFp)xx(

EI)x(My 2''

t ηη −−−=−−= l

t CxC2

EI2py ++−−= ηl

0)x(y0)0x(y tt ==== l ; conditions aux limites

)xx(GF2p)xx2x(

EI24py 2433

t −++−= lll η

)x2(GF2p)x4x6(

EI24py 323'

t −++−= lll η

3845)2/x(y

l η+===f

EI24p 4

ttll ηβα +==

déformée des poutres droites en flexiondéformée d’une poutre sur deux appuis : application

η = 1,2F=BH=50 cm2

I=417 cm4

p=200 kN/ml=100 cmE=2,1x1011 PaG=0,8x1011Pa

mm075,3GF8

t =+=ll ηf 0

tt 567,0GF2p

=+==ll ηβα

0,075 mm3,0 mm

0,017o0,55o

superposition des déformationsprincipe de superposition des efforts intérieurs

le moment total M en tout point de la ligne moyenmed’une poutre soumis à un cas de charge complexe,

comprenant des forces concentréesdes charges réparties et des momentsappliqués, est la somme des momentpartiels dus à chacune des contributions

∑∑ +∑ +====

1ii MMMM

superposition des déformations

p(x)P1 P2

P2p(x)

1 2 ( )P P p xM M M M= + +

1 2 ( )

1 1 1 1

P P p xρ ρ ρ ρ= + +

'' '' '' ''( )P P p xy y y y= + +

superposition des déformationsprincipe de superposition des efforts intérieurs

∑∑ +∑ +====

1ii MMMM

∑∑ +∑ +====

1111ρρρρ

EIMy1 '' =−=

∑∑ +∑ +====

'' yyyy

∑∑ −∑ −−====

Même conditions aux limites

∑∑ +∑ +====

1ii yyyy

superposition des déformations - exemple

La déformée due à la charge concentréeLa déformée due à la charge répartieLa déformée provoquée par Mo

Négliger l’influence de l’effort tranchant et calculer la flèche au centre

)xx98(

EI18Py 32

1 −= l

)xx2x(EI24

py 3342 ll +−=

)xx(EI6

My 3203 −

−= l

En vertu du principe de la superposition, la flèche au centre de la poutre est

129623)2/(y)2/(y)2/(yf

321lll

lll −+=++=

flexion des poutres droites - déformation

EI)x(My '' −=

Si la section de la poutre n’est pas constante, le moment d’inertieest une fonction de la variable x

)x(EI)x(My '' −=

Le plus souvent, la section varie de façon discontinue

L’équation reste valable pour chaque partie avec des conditions aux limites à chaque discontinuité

égalité de la déforméeégalité de la pente

1l 2l 3l

(1) (2) (3)

flexion des poutres droites - déformationexemple: poutre présentant deux tronçons

- séparer la déforméeen deux fonctions- satisfaire les conditions de compatibilité

)x(EI)x(My '' −=

1xMEIy −=

1A11xMxR)x(M ==

01 CxC6xMEIy ++−=l

premier tronçon 0 < x1<l

)x1(MEIy2 20

l−−=

)x1(MxRM)x(M 202B022

l−=−=

02 DxD)6x

2x(MEIy2 ++−−=

deuxième tronçon 0 < x2<l

flexion des poutres droites - déformationexemple: poutre présentant deux tronçons

01 CxC6xMEIy ++−=l

02 DxD)6x

2x(MEIy2 ++−−=

D0)0x(yC0)0x(y====== ;

)2/x(y)2/x(y

=−==

conditions de compatibilité

M3D 01

poutre d’égale résistance à la flexionPoutre d’égale résistance à la flexion : quand la contrainte sur les fibres extrêmesest indépendante de la variable x (le long de l ’axe de la poutre).

)x(W)x(M

)x(M)x(W

)x(H)x(B61)x(W 2=

)x(MHB

M)x(MM6

)x(M6)x(H)x(B ===

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 2

0 HBM6σ

σo: valeur absolue de la contrainte|M(x)|: valeur absolue du momentW(x): le moment de resistance

1max W

MWM −

== σσ ;

poutre d’égale résistance à la flexionDe la dernière relation

)x(MB)x(B =

)x(MH)x(H =

0 M)x(M

B)x(B = 30

0 M)x(M

H)x(H =

1:La section est de hauteur constante H(x)=Ho

)x(MHB

M)x(MM6

)x(M6)x(H)x(B ===

2:La section est de largeur constante B(x)=Bo

3:La largeur et la hauteur sont proportionnelles H(x)=kB(x)

on peut définir les cas suivants:

)x(Ed)x(EI)x(W

)x(EI)x(My 00'' σσ

±=±=−=

poutre d’égale résistance à la flexion À partir des relations

)x(Ed)x(EI)x(W

)x(EI)x(My 00'' σσ

±=±=−=

dIW = )x(W

)x(M0 =σ

L’équation différentielle de la déformée d’une poutre d’egalerésistance prend la forme

La grandeur d(x) désigne la distance entre la fibre moyenneet la fibre extrême de la poutre

poutre d’égale résistance à la flexion

0''EH2y σ

2Px)x(M =

2P)2/x(MM0l

)x(MB)x(B 0

Avec d(x) = Ho/2

0 CxCxEH2y ++−=σ

0)0x(y' ==

)xx2(EH

0 −= lσ

EH)(y ll

000 I4

)2/H(M l==σ

EI4P)(y l

Pour une poutre de I(x) =Io = constant

EI6P)(y l

l ==f ; 50% moins

Chapitre 8: fléxion déviée et flexion composée

préparé par

flexion déviée et flexion composéedéfinitionSi le moment de flexion Mf comporte deux composantes Mfy et Mfzselon les deux axes principaux Gy et Gz de la section, la flexion est dite déviée.

les moments Mfy et Mfz sont des fonctions de x, de sorte que, l’effort tranchant T comporte également deux composantes Ty et Tzqui provoquent des contraintes tangentielles dans la section F.

(les axes Gy et Gz sont principaux d’inertie)

flexion déviéehypothèses : Pour le calcul des contraintes normales σ, nous supposons que :- le déplacement d’un point provoqué par le moment de flexion

est normal à la section;- une section plane avant déformation reste plane après déformation.

la contrainte normale en un point P(y, z) est une fonction linéaire de y et z

CBzAy ++=σ

A, B et C sont des constantes

flexion déviéecalcul des contraintes normales

choisissons un trièdre de référence à gauche

∫∫=

∫∫−=

∫∫ −−=

dF)zy(0

∫∫+∫∫+∫∫=FFF

dFCzdFBydFA0

CBzAy ++=σ0 0

choisissons un trièdre de référence à gauche

∫∫=

∫∫−=

∫∫ −−=

dF)zy(0

BzAy +=σ

∫∫+∫∫=

∫∫−∫∫−=

zydFBdFyAM

dFzByzdFAM

AIdFyAM

BIdFzBM

=∫∫=

−=∫∫−=

BzAy +=σ

AIdFyAM

BIdFzBM

=∫∫=

−=∫∫−=

IMA −==

fz −= yσ

αα sinMMcosMM ffzffy == ;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=σ

αcoszIαsinyM

flexion déviée

définition de l’axe neutre⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

yzfz I

αcoszI

αsinyM0σ

βytgII

ytgαzz

l’angle β entre l’axe neutreGn et l’axe principal Gy

En général l’axe neutre et le support de Mf sont différents. Ils ne coïncident (β = α) que dans les deux cas particuliers suivants :- les moments d’inertie Iy et Iz sont égaux (l’ellipse d’inertie se réduisant à un cercle), de sorte que tout système d’axes orthogonaux passant par G est principal d’inertie;

- le support de Mf est un axe principal, à savoir α = 0 ou α = π/2 (flexion simple).

flexion composée - définitionLa section d’une poutre est soumise à la flexion composéequand le torseur des efforts intérieurs comprend une composante normale Nou/et une composante de torsion Mt, en plus du moment de flexion Mfet de l’effort tranchant T.

On distingue:- la flexion composée de traction ou compression- la flexion composée de torsion;- la flexion composée générale (traction ou compression accompagnée de torsion).

flexion + tension flexion + compression

flexion composée

−= ν

calcul des contraintes

centre de pression

Réduction de N au centre G

yz−+= yσ

fz −= yσ

F/Ii y2y =

F/Ii z2z =

⎟⎟

⎜⎜

⎛++= 2

vziuy1

flexion composée

Recherche de l’axe neutre

=⎟⎟

⎜⎜

⎛++=σ

−=+Équation

de l’axe neutre

ellipse d’inertieL’axe neutre est l’antipolairedu centre de pression A(u,v) par rapport à l’ellipse d’inertie

( )( )22

GBGDGA

−=⋅

ellipse d’inertie de la section

flexion composée

distribution de contrainte sur GA

−=+compression tension

centre de pression

Flexion pure des poutres droites - déformation

G point le par passe n neutre axel':A

∞→Si

la flexion composée devientflexion déviée pure

section)la à (tangent n est neutre axel' :AA

1→Si

section)la à (tangent n est neutre axel' :AA

2→Si

G point le par passe n neutre axel':A

∞−

−∞→Si

flexion composée

noyau central de la section

le noyau central est la partie de la section dans laquelle doit se trouver le centre de pression pour que les contraintes soient toutes de même signe.

Chapitre 10: énergie de déformation élastique

préparé par

énergie de déformation élastique - définitions

Considérons un système statique ou hyperstatique, astreint à un nombre quelconque de liaisons et soumis à n1 forces Fi et n2 moments Mj, tous indépendants.

Quand toutes les forces et tous les moments sont nuls, on dit que

le système se trouve dans son état initial ou naturel.

Soient Di le déplacement de la force Fi et Φºj la rotation du moment Mjentre l’état initial du système et l’état final considéré.

Désignons par di et ϕj leurs projections respectives sur les supports de Fi et Mj

Afin de simplifier l’écriture et de travailler avec des grandeurs scalaires, adoptons pour la suite la convention suivante :

- δi dénote un déplacement généralisé

(déplacement di ou rotation ϕi)

dans la direction de Pi.

- Pi désigne une force généralisée(amplitude de la force Fi

ou du moment Mi);

énergie de déformation élastiqueformule de Clapeyron

∑∑==

⋅==n

1ii dPdUdU λλδ

Pour calculer l’énergie élastique accumulée par le système : on fait croître toutes les forces Pi proportionnellement entre elles, depuis l’état initial jusqu’à l’état final, de sorte que l’équilibre du système reste constamment assuré.

λλδλδλ dPdPdU iiiii ⋅=⋅=

∑ ∫=

10ii dPU λλδ∑=

21U δ

Dans un état intermédiaire, les forces et les déplacements ont pour valeurs λ Pi et λ δi, λ étant un coefficient variant de 0 à 1

(n = n1 + n2)

Formule de Clapeyron

énergie de déformation élastiquecoefficients d’influence

inijii2i1i

ninjijiii22i11ii

.........

Pa...Pa...Pa...PaPa

+++++++=

δδδδδ

coefficients d’influence:

La proportionnalité entre forces et déplacements permet d’appliquer le principe de superposition au système.Les déplacements δi sont donc des fonctions linéaires des forces généralisées

est la contribution de la force Pj au déplacement du point d’application de la force Pi dans la direction de cette dernière.

jijij Pa=δ

énergie de déformation élastiquecoefficients d’influence

Interprétation du coefficient d’influence aij

le coefficient de proportionnalité aij, appelé coefficient d’influence, est égal à la projection, sur la force généralisée Pi agissant au point Ai, du déplacement provoqué en ce point par une force unité appliquée au point Aj dans la direction de Pj

jijij Pa=δ

ji'ji PàdûPdetdéplacemen

énergie de déformation élastiqueformule de Clapeyron

Forme finale de la formule de Clapeyron

21U δj

1ji P∑=

=ijaδ

inijii2i1i

ninjijiii22i11ii

.........

Pa...Pa...Pa...PaPa

+++++++=

δδδδδ

formule de Clapeyron intermédiaire

∑ ∑== =

1jij PPa

notons que c’est une expression quadratique des forces agissant sur le système

Considérons un corps élastique soumis à deux systèmes - de n forces généralisées Pi et- de m forces généralisées Qj,

agissant respectivement aux points Ai et Bj,

énergie de déformation élastiquethéorème de Betti-Rayleigh

)P(n forces

P21)P(U

)Q(m forces Q21)Q(U j

1jjjj ∑=

Supposons d’abord que les forces Pi sont appliquées seules. L’énergie qu’elles fournissent au système élastique est donnée par

la formule de Clapeyron

Appliquons ensuite les m forces Qj, qui provoquent un déplacement λj – dans la direction des forces Qj – des points Bj. Le système étant linéaire, l’énergie correspondante a pour valeur

' P)P(U δ

Ces forces (Qj) provoquent également un nouveau déplacement , selon la direction des forces Pi – des points d’application Ai.

Les forces Pi étant indépendantes des déplacements , le nouveau travail qu’elles fournissent est égal à la somme

Dans l’état d’équilibre final, l’énergie de déformation totale est donnée par la somme des trois contributions

∑+∑+∑=++====

'jiji PQ

21)P(U)Q(U)P(U)Q,P(U δλδ

' Q)Q(U λ

Procédons maintenant de manière inverse, en appliquant d’abord les forces Qj seules.

)P(n forces

P21)P(U

)Q(m forces

P21)Q(U

Les forces Pi, appliquées ensuite, provoquent les mêmes déplacements antérieurs δi des points Ai,

Elles entraînent aussi un nouveau déplacement des points Bj, de telle manière que les forces Qjfournissent le travail supplémentaire

∑+∑+∑=++====

'ijij QP

21)Q(U)P(U)Q(U)P,Q(U λδλ

Dans l’état d’équilibre final, l’énergie de déformation totale est donnée par la somme des trois contributions

)P,Q(U)Q,P(U ijji =

∑=∑==

'i QP λδ

∑+∑+∑=++====

'jiji PQ

21)P(U)Q(U)P(U)Q,P(U δλδ

∑+∑+∑=++====

'ijij QP

21)Q(U)P(U)Q(U)P,Q(U λδλ

L’énergie ne dépend que de l’état final du système

théorème de réciprocité de Betti-Rayleigh :Dans un système élastique et proportionnel, le travail des forces Pi,

lors de la déformation imposée par des forces Qj, est égal au travail des forces Qj lors de la déformation imposée

par des forces Pi.

énergie de déformation élastiqueégalité des coefficients d’influence réciproques

Le théorème de réciprocité de Betti-Rayleigh exprime l’égalité de deux énergies et peut s’énoncer sous la forme plus restreinte de l’égalité des coefficients d’influence réciproques

jiij aa =

intervenant dans les relations

jijij Pa=δ

∑ ∑== =

1jij PPa

énergie de déformation élastiquethéorème de Maxwell

cas particulier du théorème de Betti-Rayleigh

Celui-ci s’énonce de la manière suivante :Le déplacement généralisé provoqué en un point par une force généralisée unité appliquée en un second point est égal au déplacement généraliséprovoqué en ce dernier point par une force généralisée unité agissant au premier point, forces et déplacements étant associés.

1 Ni j

1aiiii =δ 1a jiji =δ1a jjjj =δ1aijij =δ

jiij δδ = jiij aa =

explication

iiiii Pa=δ 2iiiiiiii Pa

21U == δ

jjjjj Pa=δ 2jjjjjjjj Pa

21U == δ

Pour démontrer cette égalité, considérons un système déformépossédant une énergie de déformation U0.

Une nouvelle force Pi appliquée au point Ai provoque selon sa direction un déplacement δii de ce point

( )iii ,P δ

AiA partir de ce nouvel état du système, appliquons au point Aj une force Pj, qui entraîne un déplacement δjj de ce point

( )jjj ,P δ

( )jijij Pa=δ

jiijiijij PPaPU == δ

ijij2jjj

2iii0 PPaPa

21UUU +++Δ+=

Cette force Pj, provoque en outre un nouveau déplacement δij au point Ai

de sorte que la force Pi, fournit un travail supplémentaire

Appelons ΔU le travail des autres forces lors de l’application de la force Pi, puis de la force Pj

L’énergie du système a pour expression

( ) ( )ijiii ,,P δδ

jjj ,P δ

jjjjj Pa=δ

Lorsqu’à partir de l’état initial, on fait agir d’abord Pj au point Aj, le déplacement δjj de ce point et le travail de Pj ont pour valeur

et le travail de Pj est

2jjjjjjjj Pa

21U == δ

La force Pi appliquée ensuite au point Aientraîne un déplacement δii de ce point et fournit un travail Uii

iiiii Pa=δ

2iiiiiiii Pa

21U == δ

( ) ( )jijjj ,,P δδ

( )iii ,P δ

La force Pi entraîne également un nouveau déplacement δji du point Ajet la force Pj fournit un travail supplémentaire Uji

jijijjiji PPaPU == δ

( )ijiji Pa=δ

et l’énergie totale du système vaut

jiji2iii

2jjj0 PPaPa

21UUU +++Δ+=

( ) ( )jijjj ,,P δδ

( )iii ,P δ

jiji2iii

2jjj0 PPaPa

21UUU +++Δ+=ijij

2iii0 PPaPa

21UUU +++Δ+=

L’égalisation des énergies donne

jijiijij PPaPPa =

( )jjj ,P δ ( ) ( )jijjj ,,P δδ

( )iii ,P δ

jiij aa =jijiijij PPaPPa =De cette dernière égalité

théorème de l’égalité des coefficients d’influence Dans un système élastique et proportionnel, les coefficients d’influence réciproques aij et aji relatifs aux déplacements des points d’application de deux forces extérieures Pi et Pj sont égaux.

( )jjj ,P δ ( ) ( )jijjj ,,P δδ

iii ,P δ

énergie de déformation élastique

U∂∂

théorème de CastiglianoLe déplacement δk d’une force généralisée Pk, agissant sur un système élastique et proportionnel, est égal à la dérivée partielle de l’énergie de déformation du système par rapport à cette force

( )kk ,P δ

le déplacement généralisé δk est la composante dans la direction de la force généralisée Pk(force ou moment) du déplacement ou de la rotation provoqué par l’ensemble des forces généraliséesappliquées au système

énergie de déformation élastiquethéorème de Castigliano

∑ ∑== =

1jij PPa

'2kkkj

iik UPa21PPa

21U ++∑+∑=

PaPa21Pa

+∑+∑=∂∂

Pa21Pa

δδδ =+=

∑+∑=

∑+∑=∂∂

démonstrationà partir de la formule de Clapeyron

isolons les 2n-1 termes qui dépendent de la force Pk

En dérivant cette expression par rapport à Pk

Et en réintégrant le troisième terme on obtient

Énergie indépendante de Pk

N ∫=l

dxGI2MU

Mt ∫=l

M dxEI2

dxGF2T

T ∫=lη

dxGF2Tdx

EI2Mdx

GI2Mdx

2∫+∫+∫+∫=llll η

dxGI2MdU

dxGF2T

énergie de déformation due au moment de flexion

énergie de déformation due à l’effort tranchant

rappelons queénergie de déformation due à l’effort normal

énergie de déformation due au moment de torsion

Énergie totale

k0k ∂

∂∫+∫

∂∂

+∂∂

∫+∂∂

∫=llll ηδ

application

dxGF2Tdx

dxGI2Mdx

∫+∫+

∫+∫=

U∂∂

AV =∂∂

= avec δ

applicationpour calculer le déplacementd’un point où il n’y a pas de force

on applique au point dont on désire connaître le déplacement dans une direction donnée,une force Q arbitraire dans cette direction.

Après avoir calculé les efforts intérieurs et les dérivées partielles, il suffit d’annuler la force fictive Q.

BV ∂∂

BH ∂∂

BP ∂∂

application

Déplacement vertical ou horizontald’un point

pour calculer le déplacement vertical ethorizontal d’un point où s’applique une force oblique, on considère séparémentl’influence des deux composantes.

PxM 1f −= 1f x

−=∂

∂11x0:I l≤≤

22x0:II l≤≤

PxM 2f −= 2f x

−=∂

PM 1t l= 1t

1: flexion

2: torsion

dxGIPdxx

EIPdxx

∫+∫+∫=

∫ ∂∂

∂∫=

PEI3P 2

llll ++=δ

( )I2Ip =

exemple : calculer le déplacement vertical δ

énergie de déformation élastique Exemple: calculer pour la poutre encastrée le déplacement vertical δV, le déplacement horizontal δH ainsi que la rotation α au point A.

Pour calculer le déplacement δH et la rotation α, on introduit une force auxiliaire horizontale H et un moment auxiliaire M0

au point A.

0MxHPR2M ++=

=∂∂

∂∂

hx0 ≤≤

0MsinHR)cos1(PRM +−−= ϕϕ

)cos1(RPM ϕ−=

∂∂

ϕsinRHM

−=∂∂

∂∂

πϕ ≤≤0exemple

déplacements

( ))h8R3EI2

dxEIPR4d)cos1(

∫+∫ −=

∂∂

R2hEIPR

dxxEIPR2dsin)cos1(

∫+∫ −−=

∂∂

ϕϕϕ

( )h2REIPR

dxEIPR2d)cos1(

∫+∫ −−=

∂∂

Chapitre 11: systèmes hyperstatiques

préparé par

systèmes hyperstatiques - définitions

Les structures analysées jusqu’à ce stade n’étaient astreintes qu’au nombre de liaisons extérieures strictement nécessairespour définir leur position.

Pour des systèmes statiquement déterminés ou isostatiques, les réactions extérieures sont déterminées par les deux conditions d’équilibre suivantes :

Σ Re = 0 (somme des forces extérieures nulle);Σ Me= 0 (somme des moments extérieurs nulle),

correspondant à six conditions scalaires pour un système de l’espace et à trois conditions scalaires pour un système plan.

systèmes statiquement déterminés (isostatiques)

est alors nécessaire de recourir à des équations supplémentaires telles que des conditions de déformation pour définir

le comportement statique du système.

Quand les efforts intérieurs ne peuvent être déterminés en tout point par le simple jeu des équations d’équilibre,

le système est dit hyperstatique.

systèmes hyperstatiques

Quand le nombre p des liaisons extérieures dépasse le nombre des conditions d’équilibre, le système est

hyperstatique extérieurement,

la différencek = p – 6 pour un système de l’espace;k = p – 3 pour un système plan,

constituant l’ordre ou degré d’hyperstaticité extérieure.

systèmes hyperstatiques

Exemples: système hyperstatique extérieurement

k = p – 6 = 4

(p = 6+1+3)

k = p – 3 = 3

(p = 3+1+2)

systèmes hyperstatiques - analysePour calculer un système hyperstatique extérieurement S,

I: on remplace les k liaisons surabondantes par autant de forces généralisées inconnues R1, R2, ..., Rk appelées réactions hyperstatiques – ou hyperstatiques –et choisies arbitrairement parmi les p liaisons du système, de sorte que l’on obtient le système isostatique fondamental S' dérivé du système donné S;

II: on exprime ensuite les conditions d’équilibre du système S' ainsi que les efforts intérieurs en fonction des forces extérieures et des hyperstatiques choisies;on établit k conditions de déformation correspondant aux k liaisons supprimées et constituant les équations permettant de calculer les k hyperstatiques inconnues R1, R2, ..., Rk;

III: avec les valeurs R1, R2, ..., Rk, on obtient les autres réactions et les efforts intérieurs du système S.

systèmes hyperstatiques - définitionsRemarques

Pour qu’un système soit plan au sens de la statique, il ne suffit pas que les fibres moyennes du système matériel soient dans un plan, mais il faut encore que les forces extérieures agissent dans le même plan et que les moments extérieurs soient, vectoriellement, perpendiculaires à ce plan.

En vertu du principe de superposition, il est possible d’appliquer séparément au système S' les forces extérieures et les hyperstatiques, ou même chaque force et chaque hyperstatique séparément. Les conditions de déformation sont ensuite obtenues en ajoutant les effets des forces extérieures et des hyperstatiques.

systèmes hyperstatiques - définitionsLes hyperstatiques pouvant être choisies arbitrairement,

le système isostatique fondamental S' est également arbitraire.

parmi les (6·5·4)/(1·2·3) ou 20 possibilités, deux exemples de choix possible pour la structure de la figure

un système est hyperstatique intérieurement quand la connaissance

de toutes les réactions extérieures n’est pas suffisante pour calculer les efforts intérieurs.

système hyperstatique intérieurement

systèmes hyperstatiques - définitionssystème hyperstatique intérieurementsystème plan de barres articulées en treillis

Un telle structure est hyperstatique intérieurement d’ordre k = m + p – 2n,

- m désigne le nombre de barres, - p est le nombre de liaisons extérieures- n dénote le nombre total de nœuds.

systèmes hyperstatiques - définitionssystème hyperstatique intérieurement

système plan de barres articulées en treillis : on obtient un système isostatique fondamental S' du système donné S, en remplaçant

les k liaisons intérieures surabondantes par des forces hyperstatiques inconnues R1, R2, ..., Rk choisies parmi les efforts intérieurs.

Exemple : ordre k = 6 + 3 – 2(4) = 1

systèmes hyperstatiques - définitionssystème hyperstatique intérieurementSystème fermé, non articulé et comprenant une seule boucle

Une telle structure en forme de cadre ou d’anneau est hyperstatique intérieurement d’ordre 3 dans le plan et d’ordre 6 dans l’espace.

systèmes hyperstatiques - définitionssystème hyperstatique intérieurementsystème fermé, non articulé et comprenant une seule boucle

Pour obtenir un système isostatique fondamental S' du système donné S, il suffit de remplacer les k liaisons intérieures surabondantes par des forces hyperstatiques inconnues R1, R2, ..., Rk en coupant la boucle dans une section arbitraire et en considérant comme hyperstatiques les efforts intérieurs dans cette section (3 efforts intérieurs dans le plan, 6 dans l’espace).

exempleon peut choisir comme hyperstatiques intérieures les efforts NA, TA et MA

Remarques

Il arrive fréquemment qu’un système soit à la foishyperstatique extérieurement et intérieurement.

Tout élément de symétrie abaisse l’ordre d’hyperstaticitéd’une unité par axe de symétrie.

systèmes hyperstatiques - applicationCalculer les réactions aux points A et C du système S

choisissons comme hyperstatique Rla réaction horizontale HA au point A,on obtient le système isostatique S ’

réactions inconnues 2 + 2 = 4

le système S est hyperstatique

extérieurement d’ordre 4 – 3 = 1

k = p – 3

systèmes hyperstatiques - applicationCalculer les réactions aux points A et C du système S

BA HH =

équilibre

PVV BA =+

CC hHVaP += l

La quatrième équation nécessaire pour déterminer les réactions est donnée par la condition que le déplacement

horizontal d du point A est nul dans le système S'.

systèmes hyperstatiques - application

)b(abhh 11l

l +== ϕδ

Déformation du système : deux étapes

aPV 1C =

0H 1C =

bPV 1A =

déplacementéquilibre

)h(EI3hHH

2'22 +=+=+=+= l

lδϕδδδ

Déformation du système : deux étapes

AC2C HHH ==l

hHVV A2C2A ==équilibre

déplacement

)h(EI3hHH

2'22 +=+=+=+= l

lδϕδδδ

Déformation du système : compatibilité

Condition à satisfaire021 =−= δδδ

)b(abhh 11l

l +== ϕδ

P)1(2)1(HA ξξ

βαβ++

/h/b/a

ξβα

systèmes hyperstatiques - applicationDéformation du système : compatibilité

P)1(2)1(HA ξξ

βαβ++

=BA HH =

PVV BA =+

CA hHVaP += l

P)1(2)1(HH BA ξξ

βαβ++

P)1(2)1(1hHaPV CC ⎟⎠

⎞⎜⎝

−=−=ξββα

P)1(2)1()1(VPV CA ⎟⎠

⎞⎜⎝

+−=−=ξβαβα

systèmes hyperstatiques théorème de Menabrea

On a montré que la détermination des réactions d’un système hyperstatique extérieurement d’ordre k nécessite d’établir, en plus des conditions d’équilibre, k équations de déformation.

Rappel du théorème de Castigliano

∂∂

=∂∂

=∂∂ ...., , ,

Le théorème de Castigliano permet de trouver aisément ces conditions pour les systèmes dont les appuis sont invariables.

En effet, les réactions hyperstatiques R1, R2, ..., Rk ne pouvant fournir aucun travail au système, il suffit d’annuler les dérivées partielles de l’énergie de déformation par rapport à ces réactions, ce qui conduit aux relations complémentaires cherchées

systèmes hyperstatiques théorème de Menabrea

Enoncé du théorème de Menabrea

∂∂

=∂∂

=∂∂ ...., , ,

Les relations

traduisent le théorème de Menabrea sous sa forme originale :Les hyperstatiques correspondant aux liaisons surabondantes prennent les valeurs qui rendent stationnaire l’énergie de déformation du système.

Ce théorème a été complété par la suite sous la forme suivante :Les hyperstatiques correspondant aux liaisons surabondantes prennent les valeurs qui rendent minimale l’énergie de déformation du système.

systèmes hyperstatiques - applicationEn ne considérant que l’énergie de flexion, déterminer par le théorème de Menabrea les réactions aux points A et C de l’arc sur lequel s’applique un moment M0 au B.

système avec 5 liaisons

Il est hyperstatique extérieurement d’ordrek = 5 - 3 = 2

systèmes hyperstatiques - applicationChoisissons comme hyperstatiques les réactions

0CA MRV2M −=CA HH = CA VV =équilibre

conditions de déformation

∂∂ 0

∂∂

systèmes hyperstatiques - applicationPour l’énergie de déformation on recourt à l’expression

∂∂

dxGF2Tdx

EI2Mdx

GI2Mdx

2∫+∫+∫+∫=llll η

1 M0= M RdEI H

ϕ∂∂∫

1 M0= M RdEI V

ϕ∂∂∫

M R(1 cos )V

ϕ∂= − −

Sur le tronçon CB de l’arc,

C CM = H Rsin - V R(1-cos )ϕ ϕC

M R(1 cos )V

ϕ∂= − −

Sur le tronçon BA de l’arc,

C C 0M=H R sin V R(1 cos ) Mϕ ϕ− − +C

M R sinH

ϕ∂=

M =R sinH

ϕ∂∂

M R sinH

ϕ∂=

M R(1 cos )V

ϕ∂= − −

1 M0 M RdEI H

ϕ∂=

∂∫

1 M0 M RdEI V

ϕ∂=

∂∫

[ ]π3

R0= H sin -V (1-cos ) sin dEI

R M + sin dEI

ϕ ϕ ϕ ϕ

-R0 H sin -V (1-cos ) (1-cos )dEI

R M (1 cos )dEI

ϕ ϕ ϕ ϕ

− −

M R sinH

ϕ∂=

M R(1 cos )V

ϕ∂= − −

[ ]π3

R0= H sin -V (1-cos ) sin dEI

R M + sin dEI

ϕ ϕ ϕ ϕ

[ ]π3

-R0= H sin -V (1-cos ) (1-cos )dEI

R M - (1-cos )dEI

ϕ ϕ ϕ ϕ

CC −=−π

23H2 0

CCππ +

−=−−

CC −=−π

23H2 0

CCππ +

−=−−

0CA MRV2M −=

CA HH =

CA VV =163

MHH 20

RMVV 2

CA−−+

1634MM 2

0A−−

systèmes hyperstatiques - applicationPar le théorème de Menabrea, trouver le moment hyperstatique intérieur au point B du cadre, puis calculer le déplacement relatif des points A et A'. On ne considérera que l’énergie de flexion.

systèmes hyperstatiques - applicationLe système est plan, mais possède deux axes de symétrie, de sorte que son degré d’hyperstaticité intérieure est ramené à

k = 3 – 2 = 1. La double symétrie permet de ne considérer que le quart du cadre.

On choisit comme hyperstatique intérieure le moment MB en B

∂∂

systèmes hyperstatiques - applicationPour l ’énergie de déformation on recourt à l’expression(seule l’énergie de flexion est prise en compte)

2f∫=

∫∂∂

∫ ∂∂

b)x0 (M)x(M B ≤≤= 0PM, 1

∂∂

=∂∂

moment de flexion et ses dérivées

a)x0 (x2PM)x(M ''

B' ≤≤= -

∂∂

=∂∂

b)x0 (M)x(M B ≤≤=

0PM, 1

∂∂

=∂∂

a)x0 (x2PM)x(M ''

B' ≤≤= -

∂∂

=∂∂

moment de flexion et ses dérivées

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+∫=

2PaaMbM

dxx2PMdxM0

)ba(4PaM

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

EI4δ ba

b4aEI12

déformation

Chapitre 12: flambage des poutres droites

préparé par

flambage des poutres droites - définitions

Dans les chapitres précédents, les déformations provoquées par les forces extérieures étaient très petites.

Sauf pour les systèmes hyperstatiques, elles avaient une influence nulle ou négligeable sur les efforts intérieurs.

Il s’agissait de systèmes élastiquement stables pour lesquels les grandes déformations ne se produisent qu’après le dépassement de la limite élastique du matériau, dans l’ensemble ou dans certaines parties du système.

flambage des poutres droites - définitionsIl arrive cependant qu’un système subisse, tout en restant stable, de grandes déformations sans que les contraintes n’atteignent nulle part la limite élastique

Le système est stable car la déformation a pour conséquence une diminution du moment de flexion. Dans l’exemple de la figure, le moment de flexion au point A passe ainsi de

Pour un tel cas, il est évident que l’influence des déformations sur les efforts intérieurs ne doit plus être négligée.

lPMA =

AHA M)(PM ∠−= δl à

D’autres systèmes sont par contre élastiquement instables.A partir d’un certain niveau des forces extérieures et sans pour autant que les contraintes n’aient encore atteint la limite élastique, ils subissent de grandes déformations entraînant une augmentation des efforts intérieurs et généralement la ruine du système.

A partir d’une certaine valeur des forces N, appelée charge critique, la flèche augmente brusquement, ce qui provoque une augmentation du moment de flexion en B qui passe de MB = N δ0 à M= N δ > MB.Ce phénomène d’instabilité élastique, entraînant la destruction du système, est appelé flambage ou flambement.une poutre élancée ayant une

flèche initiale δ0 au point Bet soumise à deux forces opposées N.

notions de stabilité et d’instabilité élastiques

Pour un petit déplacement horizontal δ , le ressort fournit une force de rappel R = k δ et la barre tourne d’un petit angle ϕ.

Etudions la stabilité du système en calculant le moment des forcesR et N au point C

Pour un petit déplacement horizontal δ , le ressort fournit une force de rappel R = k δ et la barre tourne d’un petit angle ϕ.

)Nkh(NhRMC −=−= δδ

Stabilité du système

)Nkh(NhRMC −=−= δδ

Trois possibilités se présentent:

N < k h (MC > 0); le système revient à sa position initiale;N > k h (MC < 0); le système s’effondre;N = k h (MC = 0); le système est instable,

il s’effondre quand même car la plus petite imperfection géométrique suffit pour le faire quitter sa position initiale(la force N = k h est la charge critique du système).

flambage des poutres droites - définitionsLe résultat précédent, basé sur l’équilibre des moments au point C, peut être retrouvé par comparaison du travail V fourni par la force extérieure à l’énergie U emmagasinée par le système

N)cos1(htNV

kh21)sinh(k

Le système est alors stable, s’effondre ou est instable selon que l’énergie U est supérieure, inférieure ou égale au travail V(théorème de Lejeune-Dirichlet).

flambage des poutres droites Problème d’Euler

Considérons une poutre soumise à une charge de compression excentrée N, comme le montre la figure. Nous supposerons que la longueur l est grande en comparaison des dimensions linéaires de la section.

yz II ≤

flambage des poutres droites Problème d’Euler : cas fondamental

Considérons une poutre soumise à une charge de compression excentrée N, comme le montre la figure. Nous supposerons que la longueur l est grande en comparaison des dimensions linéaires de la section.

yz II ≤

flambage des poutres droitesProblème d’Euler : cas fondamental

Le cas de charge considéré est un cas particulier de la flexion composée examinée au chapitre 8, mais, la poutre étant élancée, il n’est plus possible de négliger la déformation dans l’expression du moment de flexion.

yz II ≤

flambage des poutres droites

)ye(NM −+−= δ

)ye(EINy '' −+= δ

)e(kyky 22'' +=+ δ)e(kxcosCkxsinCy 21 +++= δ

Problème d’Euler : cas fondamentalMoment de flexion

7) (CH EIMy '' −=

EINk2 =

flambage des poutres droitesProblème d’Euler : cas fondamental

)e(kxcosCkxsin 2 +++= δ1Cy

)kcos1)(e(y l−+= δ

)kcos1(kcos

l−=δ)kxcos1(

kcosey −=l

y ( 0) 0y( 0) ( ) 0

x Cx C eδ= = == = + + =

δδ =−+== )kcos1)(e()y(x ll

flambage des poutres droitesFormule d ’Euler : cas fondamental

on remarque que la flèche δ n’est plus une fonction linéaire de la charge N et qu’elle tend même vers l’infini quand le dénominateur du membre droit de l’égalités’annule, c’est-à-dire pour

)kcos1(kcos

l−=δ

0cos k =l

flambage des poutres droitesFormule d ’Euler Charge critique2

C )n21(4

EIN +=l

EINk2 =

0,1,2,..)(n 2

=+= ),n21(kl

0kcos =l

flambage des poutres droitesFormule d ’Euler

C )n21(4

EIN +=l

)kxcos1(kcos

ey −=l

k/0 π=l

(la déformée est une sinusoïdeavec la demi-longueur d’onde)

)n21(k +=l2π

2k0 +==

C 4EINl

Formule d ’Eulercharge critique

n = 0; l0 = 2l , Nc0 = π2EI / 4l2

n = 1; l0 = 2l/3, Nc1 = 9 Nc0

n = 2; l0 = 2l/5,Nc2 = 25 Nc0

Remarques

- Seule la première charge critique Nc0 a une signification physique.Dès qu’elle est atteinte, la poutre subit une très grande déformationet se rompt ou se déforme de façon irréversible car les contraintesdépassent la limite élastique du matériau.

- Les autres charges critiques sont donc inaccessibles.

- Une théorie plus fine du problème permettrait de montrer que seule la première charge critique entre en ligne de compte.

Formule d ’Euler 22

C )n21(4

EIN +=l

Amplitude de la déformation

Quand la charge N est inférieure à la charge critique, la déformation prend la valeur donnée par la relation

)kxcos1(kcos

ey −=l

proportionnelle à l’excentricité, e

C 4EINl

π= la charge critique n’est pas fonction de e

Il est dès lors intéressant de rechercher la charge critique sans faire intervenir l’excentricité.

flambage des poutres droitesAmplitude de la déformationChoisissons, comme poutre, un autre cas, comme celui d’une poutre soumise à deux charges opposées

EIMy '' −=

EINk2 =

kxcosCkxsin 2+= 1Cy0yky 2'' =+

ll ksinC0)x(C0)0x(

======

flambage des poutres droitesAmplitude de la déformation

kxcosCkxsin 2+= 1Cy

ll ksinC0)x(C0)0x( 12 ====== y y

0C1 ≠

)1,2,3,....(n n == πlk

Si la constante C1 s’annule, la déformation est nulle partout et la poutre garde sa position initiale

Si le produit kl est égal à nπ, la charge est critique et satisfait la relation EI

π( )EI/Nk2 =

flambage des poutres droitesLa figure illustre trois allures théoriques de la déformée :

n = 1; l0 = l, Nc adopte la valeur fondamentale Nc1 = π2EI / l2;n = 2; l0 = l/2, la charge critique vaut Nc2 = 4 Nc1;n = 3; l0 = l/3 et la charge critique prend la valeur Nc3 = 9 Nc1.

Comme précédemment – et pour les mêmes raisons –seule la première charge critique Nc1 est à considérer

)n/(EInEIN

πππ===

flambage des poutres droiteskxsinC)x( 1=y2

π=charge critique déformation

)1,2,3,....(n n == πlkProblèmes- Le coefficient C1 est indéterminé- Si la charge critique dépasse légèrement NC on a

π≠lk0ksinC1 =l

C1 = 0 Pas de déformation ???0ksin ≠l

flambage des poutres droiteskxsinC)x( 1=y2

π=charge critique déformation

le problème vient du fait que l’on considère des petites déformationsEI/My '' −=

on peut eviter ce problème en considérant l’équation

( ) 2/32'

remarques au point A, la charge atteint la valeur critique et l’instabilité démarre; sur la partie AB, la charge augmente très lentement, mais l’amplitude

de la déformation s’accroît très rapidement; au point B, la contrainte de flexion dépasse la limite élastique

σe du matériau; au point C, la poutre atteint sa résistance maximale σB; sur le tronçon CD, la charge diminue et la poutre s’effondre.

charge & contrainteaprès le flambage

2k0 +==

cas dérivés du flambagecas dérivés du flambage d’une poutre

2C /EIN lπ= critique charge l0 est la distance entre

deux points d’inflexion de la déformée.

flambage d’une poutre hyperstatiquePoutre encastrée à une extrémité et guidée à l’autre

x)Q(NyM −−= l

EIx)Q(yky 2'' −

( )EI/Nk2 =

)(kcosksinCy 21 xNQxCx −++= l

oskkyy(

cCsinC0)x(N/QC0)0xN/QC0)0x(

+===+===−===

flambage d’une poutre hyperstatique

oskksin0)(y

k0)0(y

cCCxNQCx

−===)()kcoskk(sin

−+−= ll

)lcos(sinNQ kkkk

0 ll −=

Poutre encastrée à une extrémité et guidée à l’autre

)cos(sinNQ

lll kkkk

0 −=

Cette égalité peut être satisfaite de deux manières- l’hyperstatique Q est nulle, entraînant les conditions C1 = C2 = 0;

la déformation s’annule alors partout et la poutre reste droite;- le facteur (sin kl - kl cos kl) est nul, la charge prenant dans ce cas

une valeur critique déterminée par l’équation tg kl = kl.

Intéressons-nous au plus petit produit kl satisfaisant tg kl = kl.

Ce produit, valable pour la première charge critique (qui est la seule significative), vaut kl = 4,4934

)7,0()6992,0()4934,4(

EIEIEIEINCπππ

=≈==

)x(NQ)xx(ksin

kN)k(1Q

2−+−

déformée de la poutre

Elle consiste en la somme d’une droite, passant par le point A,(le point d’inflexion situé en x0)

et d’une sinusoïde dont la demi-longueur d’onde est donnée par la condition

π=0kl lll 7,04934,40 ≈=π4934,4k =l

(qui est la même qu’avant)

flambage en dehors du domaine élastique

Limite de validité de la formule d’Euler

Remarques

- Le phénomène d’instabilité élastique correspond à la rupture d’équilibre d’un système.

- Il ne dépend que du module d’élasticité du matériau et des dimensions géométriques.

- La valeur des contraintes ne joue aucun rôle. - Cette affirmation n’est toutefois vraie qu’en-dessous

de la limite élastique du matériau.

- Il se peut que les contraintes de compression aient déjà dépassécette limite au moment de l’instabilité. Dans ce cas, la charge critique ne peut plus être calculée par la formule d’Euler ou les formules dérivées, valables seulement pour un matériau qui suit la loi de Hooke.

C =σ 2

)i/(EEi

λππππσ ====

i0l=λ

Hyperbole d’Euler

limite de proportionnalité

Droite de Tetmayer

Courbe d’Engesser-Karmann

pp /E σπλ =

)( pBCp

BCC σσλλσσ −−=

Hyperbole d’Euler

Droite de Tetmayer

Courbe d’Engesser-Karmann

Formule de Tetmayer

Matériau [MPa]S 235 (Ac37-2) σc =400 – 2,0λE 295 K (Ac50-2K) σc =720 – 4,7λEN AW-Al Cu4Mg1 T6 σc =630 – 6,6λ

flambage des poutres droites - exemple Calculer l’écart de température Δθ qui provoque le flambage

d’un tube de longueur l en acier S 235, articulé à ses extrémités A, B.

Déterminer les charge et contrainte critiques correspondantes et évaluer ces mêmes valeurs pour un tube encastré à ses extrémités.

Données numériques- Longueur du tube l = 2,5 m- Diamètre extérieur du tube D1 = 5 cm- Diamètre intérieur du tube D2 = 4 cm- Module d’élasticité de l’acier E = 2,1·1011 Pa- Coefficient de dilatation thermique α = 12·10–6 / ˚C

flambage des poutres droites - exemple

) (ii 0

0 llll

=== λ

21 −=

)DD(64

41 −=

F/Ii = 156=λ

104pλ =

Le flambageest

élastique

ECσθα ll =Δ

allongementthermique

Au moment où le flambage démarre

Raccourcissementdû à la compression

22C /E λπσ =

C340=Δθ

kN60EIN 20

MPa85FN

C ==σ

Calculons l’écart de température Δθ

flambage des poutres droites - exemple

Déterminer les charge et contrainte critiques correspondantes et évaluer ces mêmes valeurs pour un tube encastré à ses extrémités.

Si la poutre est encastrée à ses deux extrémités, la longueur de flambage est réduite de moitié (l0 = l/2) et l’élancement devient

0 ===llλ

156p =λ)( pBC

pBCC σσ

λλσσ −−=

Formule de Tetmayer

λσ 2400C −=(pour S235)

MPa244C =σkN173FN CC == σ

flambage des poutres droites - stabilitéNous avons montré au début de ce chapitre que l’on peut étudier la stabilité d’une structure en comparant, pour un déplacement virtuel compatible avec les liaisons, le travail des forces extérieures V à l’énergie U accumulée par le système.

N)cos1(htNV

kh21)sinh(k

Le système est stable, s’effondre ou est instable selon que l’énergie U est supérieure, inférieure ou égale au travail V

Dans le cas particulier d’une poutre droite comprimée par une charge N, la méthode de Timoshenko consiste à :

- choisir une déformée convenable, satisfaisant aux conditions aux limites du problème;

- calculer le déplacement t de la force extérieure N, correspondant à cette déformée;

- déterminer l’énergie de déformation U du système, correspondant également à la déformée choisie.

Le système est alors instable si le travail V = t N de la force extérieure est égal à l’énergie de déformation U,

la charge critique correspondante ayant pour valeur

Méthode de Timoshenko

tUNC =

flambage des poutres droites - Timoshenko

La méthode présente l’avantage principal d’éviter l’intégration de l’équation différentielle du système.

Par contre, la déformée choisie étant arbitraire, la charge critique trouvée n’est qu’approximative. Elle est toujours supérieure à la valeur exacte car la déformée réelle prend spontanément la forme qui rend minimale la charge critique.

Par conséquent, si l’on choisit successivement plusieurs déformées, il faudra retenir celle qui donne la plus faible charge critique.

on néglige le raccourcissement dû à la compression

[ ]1)y1(dxdx)dydx(dxdsdt 2/12'2/122 −+=−+=−=

déformée

[ ]1)y1(dxdx)dydx(dxdsdt 2/12'2/122 −+=−+=−=

dxy211)y

211(dxdt 2'2' =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+≈( )1 22 211 1

2/' 'y y+ ≈ +

déformée

flambage des poutres droites - Timoshenkoénergie

dxy21dt 2'=

2' dxy21t

En négligeantl’influence de la compression et

de l’effort tranchant

2'' dxy2EIU

EI/My '' −=∫

formule de Timoshenko

flambage des poutres droites - TimoshenkoCommentaires- La formule conduit à la charge critique exacte lorsque la fonction ycoïncide avec la solution analytique du problème de flambage donné.- Dès lors que la déformée retenue dans la méthode de Timoshenko est généralement une fonction d’un ou plusieurs paramètresy(x) = y(x, α1, α2, ..., αi, ..., αp) où les αi (i = 1, 2, ..., p) la charge critique résultante est également fonction de ces paramètresNc = Nc(α1, α2, ..., αi, ..., αp)- Comme la meilleure valeur de la charge critique est la plus basse, il est possible d’améliorer la technique de Timoshenko en minimisant Ncpar rapport aux différents paramètres

et en retenant des p extrema de charges critiques tirés de ces conditions celui qui correspond au plus petit minimum.

C =∂∂

=∂∂

=∂∂ ...., , ,

flambage des poutres droites - Timoshenkoapplication

)2xcos1(yl

πδ −=

ll 2xsin

2y' ππδ=

ll 2xcos

2'' πδπ=

2' dxy21t ∫=

2'' dxy2EIU

Choisissons d’abord commedéformée la courbe exacte

22 δππδπ=∫=

64EIdx

l δππδπ=∫=

valeur exacte

flambage des poutres droites - Timoshenkoapplication

Supposons maintenant que la fonction y(x) soit inconnue et prenons comme déformée celle que produit une force horizontale Qappliquée à l’extrémité supérieure de la poutre

)xx3(EI6Qy 32 −= l

)xx2(EI2Qy 2' −= l )x(

EIQy '' −= l

IE15Qdx)xx2(

IE8Qt l

=∫ −=

EI6Qdx)x(

l=∫ −=

application

%3,12/

2/2/5N

C +=−

erreur relative

remarquesIl est connu qu’une dérivation – et à plus forte raison une double dérivation – augmente la différence entre une fonction approchée et une fonction exacte.

On peut dès lors s’attendre à un résultat meilleur en utilisant directement la fonction approchée plutôt que sa dérivée seconde.

Pour cela, il suffit de calculer l’énergie de déformation en recourant à la relation

incluant explicitement le moment de flexion

plutôt qu’à l’expression

2'' dxy2EIU

IE15Qt

52 δ==

EI70N17dx

2 δll=∫=

17EI42

application⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−=−−= )xx3(

EI6QN)y(NM 32lδδ

EI3/Q 3l=δ

%13,0N

C''C''

C +=−

=ε L’approximation est plus finemais les calculs sont plus longs.

erreur relative

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

l2xcos1Cy π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∫=

xsinx2

C41dxy

Déterminons par la méthode de Timoshenko la charge critique de flambage d’une poutre dû au poids propre q [Ν/m]

Supposons une déformée comme

EIC41dxy

2EIU ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∫=l

Energie de déformation

Déplacement vertical du point xy

EI = constant

application

3crEI83,7q

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∫ = 2

qC41dxqt

ππ ll

3crEI29,8

Travail de la charge q

valeur théorique

En égalant l’énergie et le travail on obtient

la charge critique de flambage d’une poutre dû au poids propre q [Ν/m]

EI = constant

application

Chapitre 13: théorie de l’état de contrainte

préparé par

théorie de l’état de contrainte - définitions

Vecteur de contrainte sur l’élément de surface

nn0Fn dF

dPFPlimp

=→Δ

Contrainte tangentielle sur l’élément de surface

Contrainte normale sur l’élément de surface

( )yzyyxy τστ ,,ppn →→

P1P2 P3

1σ3σ

zσ xyτ

xzτyxτ

zxτzyτ

Comment peut-on trouver les contraintes principales &

les directions correspondantes ?

théorie de l’état de contrainte - définitions

npnp 'n

'n ⋅=⋅

Conditions d’équilibre du prisme

La projection d’une contrainte pn, relative à une face de normale n,sur la normale n' d’une autre face passant par le même point M0d’un milieu continu est égale à la projection de la contrainte p'n,relative à la face de normale n', sur la normale n.

Théorème de Cauchy

état de contrainte autour d’un pointétat de contrainte autour du point M0

9 composantes de contrainteautour d’un point

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

στττστττσ

sous forme matricielle

x xy xz

, ,σ τ τ

↓ ( )

yx y yz

, ,τ σ τ

zx zy z

, , ,τ τ σ

( )n n n

X ,Y ,Z ,

état de contrainte autour d’un point

⋅=⋅

npnp 'n

'n ⋅=⋅

( )x x xy xzp , ,σ τ τ→

( )y yx y yzp , ,τ σ τ→

( )z zx zy zp , , ,τ τ σ→

6 composantes des contraintesindépendantes autour d’un point

théorème de Cauchy

état de contrainte autour d’un point

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

στττστττσ

état de contrainte autour du point M0

La matrice de contraintesest symétrique

théorie de l’état de contrainteContrainte sur une surface DFn

( )nnnn ,, p ZYX=( )γβα ,,n =

Par le théorème de Cauchyentre ΔFn et ΔFx

( ) ( )xzxyx

γτβτασ

γβαττσ

⋅=⋅==⋅

,,,, npp nn

( )zzyzxyzyyxxzxyx γσβτατγτβσατγτβτασ ++++++= ,, pn

de la même façon on obtient Yn, Zn

Yn ZnXn

théorie de l’état de contrainte

1σ3σ

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

στττστττσ

zxxzyzzyxyyx ττττττ === ; ; ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=Γ

000000

Etat de contrainte : résumé

zσ xyτ

xzτyxτ

zxτzyτ

( )nnnn ,,p ZYX=

yσyxτ

zxτzyτ

Xn Yn Zn

npn Γ= ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

=γβα

στττστττσ

état de contrainte: forme quadratique

( )γατβγταβτγσβσασγβαψ zyyzxy2

x 22221),,( +++++=

Forme quadratique des contraintes

D’après la relation

la contrainte pn dérive d’un potentiel y(a, b, g) qui s’écrit

( )nnnn ,,p ZYX=∇= ψ

En effet, on vérifie immédiatement l’expression suivante

),,( γβαψ

état de contrainte: forme quadratique

ZYXnpσ222

γβαψ

γατβγταβτγσβσασ

γβα

+++++=

++=⋅=

zyyzxyzyx

Forme quadratique des contraintes

Si l’on passe du système de coordonnées xyzau référentiel XYZ formé des axes principaux M0X, M0Y et M0Zportant les contraintes principales respectives σ1, σ2 et σ3, on a

),,( γβαψ

1),,( γσβσασγβα ++=Ψ

( ) ( )321nnnn ,,,,p γσβσασ==Ψ∇= ZYX

),,(223

21nnnn γβαγσβσασγβασ Ψ=++=++= ZYX

état de contrainte – quadrique de quadrique des contraintes normales

npσ222

γβαψ

γατβγταβτγσβσασ

γβα

+++++=

++=⋅=

zyyzxyzyx

Considérons à nouveau l’expression générale de la contrainte normale σn

et étudions sa variation en fonction du vecteur normal n.

cherchons le lieu de l’extrémité d’un vecteur r dont la direction est celle du vecteur normal n

nσkr =nr r= de sorte que 2

±=nσ

état de contrainte – quadrique des

),,r(r)r,r,()( γβαγβα === x,y,zr

zyyzxyzyx zyyzxyzyx τττσσσ 222 k 2222 +++++=±

On obtient donc l’équation de deux quadriques, appelées quadriques des contraintes normales.

Ces surfaces peuvent être, selon les signes des contraintesσx, σy et σz :

état de contrainte - quadriquequadrique des contraintes normales

deux ellipsoïdes (l’un réel, l’autre imaginaire) la matière étant en traction selon toutes les directions autour du point M0-lorsque l’ellipsoïde réel correspond au signe positif dans l’équation - et en compression quand l’ellipsoïde réel correspond au signe négatif

)( 2k+

)( 2k−

deux hyperboloïdes conjugués –correspondant respectivement aux directions de traction et de compression –le cône asymptotique commun de ces hyperboloïdes donnant les directions pour lesquelles la contrainte normale σnest nulle (l’amplitude r tend vers l’infini lorsque la composante σn tend vers zéro).

état de contrainte – ellipsoïde de Le lieu de l’extrémité d’un vecteur égal à la contrainte pn est également une quadrique, appelée ellipsoïde des contraintes totales.

Pour démontrer cette assertion, choisissons les axes principaux M0X, M0Y et M0Z comme référentiel, de sorte que les composantes du vecteur des contraintes pnsont données par les relations

( )( )321

,, ,,p

γσβσασ== ZYX

1222 =++ γβαavec

γσβσασ

2n =++

σσσZYX

état de contrainte - contraintes principales

Il arrive que les conditions du problème (conditions de symétrie par exemple) permettent de déterminer directement les axes principaux M0X, M0Y et M0Zet de choisir ces axes comme axes de référence.

En général cependant, il faut calculer la direction des axes principauxet l’amplitude des contraintes principales σ1, σ2 et σ3 à partir des contraintes déterminées pour les axes de référence M0x, M0y et M0zet résumées par la matrice

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

στττστττσ

La contrainte pn est principale quand elle est normale à l’élément de surface sur lequel elle s’applique. Appelons σk (k = 1, 2, 3) les valeurs particulières de pn satisfaisant à cette condition et αk, βk et γk les cosinus directeurs correspondants. Les composantes de la contrainte σk sont ainsi

( ) ( )kkkkkkkkkk ,,,,σ σγσβσα== ZYX(σk est une grandeur scalaire)

Pour les mêmes valeurs des coefficients αk, βk et γk, les vecteurs σket pk coïncident, ce qui conduit, d’après la relation

à la condition suivante 0 =− kn σp

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

γβα

στττστττσ

kkk σα=X

Etat de contrainte : résuméAdmettons que le plan

défini par k est un plan principal

kkk σβ=Y

kkk σγ=Z

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

σγσβσα

( )kkkk ,,p ZYX=

yσ yxτyzτ

zxτzyτ

xzτ k

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

σγσβσα

σγτβτα

τγσβτα

τγτβσα

0 =− kn σp Avec la condition

2k =++ γβα

Pour une solution non - triviale

σσττ

τσστ

ττσσ

σσττ

τσστ

ττσσ

03k22k1

3k =+−+− III σσσ

zyx σσσ ++=1I

σττσ

I2 ++=

σττ

τστ

ττσ

I1, I2 et I3 sont les invariantsde la matrice de contraintes

Les trois racines sont les contraintes principales

état de contrainte -exemple 1

σ σ σ

Γ σ σ σσ σ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

σ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σ

− =−

03k22k1

1I 3σ=

σ σ σ σ σ σσ σ σ σ σ σ

= + + =

σ σ σσ σ σσ σ σ

1 2 33 ; 0; 0σ σ σ σ= = =

état de contrainte - exemple 2

τ τΓ τ τ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

σ τ ττ σ ττ τ σ

− =−

03k22k1

0 0 0 I 3

0 0 0τ τ τ

ττ τ τ

= + + = −

0 I 0 2

τ ττ τ ττ τ

1 2 32 ; σ τ σ σ τ= = = −

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=Γ

000000

Remarque: c’est un problème d'algèbre linéaire; c-à-dire c’est le problème de valeurs propres

1σ3σ

zσ xyτ

xzτyxτ

zxτzyτ

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

στττστττσ

théorie de l’état de contrainte - cercles de Mohr

Equations des cercles de MohrDans le système M0XYZ des axes principaux, choisis de manière que les contraintes principales soient classées comme suit

σ1 > σ2 > σ3

21 γσβσασ

γβασ

++= nnnn ZYX

( ) ( ) ( )23

γσβσασ

++=+= ZYXnn

théorie de l’état de contrainte - cercles de MohrEquations des cercles de Mohr

(a) 2n

221 τσγσβσασ +=++

(b) n2

1 σγσβσασ =++

(c) 1222 =++ γβα

éliminons successivement deux des inconnues α, β et γ par des combinaisons linéaires appropriées, en multipliant les relations (b) et (c) respectivement par les facteurs α et β, en sommant les résultats obtenus et en y ajoutant l’équation (a) on arrive à

21 )()()()( τσγσβσασ +=++ ffff

n)1,2,3,( )( 2 =++= ibaf iii σσσ

où la grandeur f désigne une fonction définie de la manière suivante

Equations des cercles de Mohr

Pour que les coefficients β2 et γ2 disparaissent, il suffit de choisir a et b de façon que

n)1,2,3,( ))(()( 32 =−−= if iii σσσσσ

n)1,2,3,( )( 2 =++= ibaf iii σσσ

(a) 2n

221 τσγσβσασ +=++

(b) n2

1 σγσβσασ =++

(c) 1222 =++ γβα

En éliminant semblablement α2 et γ2, puis α2 et β2, on obtient les trois équations ci-après, dans lesquelles l’indice n est supprimépour simplifier l’écriture,

23121 ))(())(( τσσσσασσσσ +−−=−−

21232 ))(())(( τσσσσβσσσσ +−−=−−

22313 ))(())(( τσσσσγσσσσ +−−=−−

Comme les carrés α2, β2 et γ2 sont positifs puisque les cosinus directeurs a, b et g doivent être réels, on établit, en tenant compte des inégalités

σ1 > σ2 > σ3

0))(( 232 ≥+−− τσσσσ

0))(( 213 ≤+−− τσσσσ

0))(( 221 ≥+−− τσσσσ

les conditions suivantes qu’ont à satisfaire les composantes s et t de la contrainte pn

Equations des cercles de Mohr 0))(( 232 ≥+−− τσσσσ

0))(( 213 ≤+−− τσσσσ

0))(( 221 ≥+−− τσσσσ

Dans le plan (s, t), les trois égalités apparaissant dans les relations constituent des équations de cercles, connus sous le nom de cercles de Mohr, de diamètres (σ1 – σ2), (σ1 – σ3) et (σ2 – σ3)

et de centres

(σ1 + σ2)/2, (σ1 + σ3)/2 et (σ2 + σ3)/2 situés sur l’axe des contraintes normales σ.

Les trois inégalités sont dès lors satisfaites pour tout point se trouvant dans la zone hachurée comprise entre ces cercles.

Equations des cercles de Mohr

contrainte de cisaillement maximale

La contrainte tangentielle τ passe par trois valeurs nulles relatives aux plans principaux et par six extrema désignés ± τ12, ± τ23 et ± τ31 dans la figure

Dans le plan (σ, τ), les points représentatifs de ces extrema ont pour coordonnées

σστ

−±=±

);(21 ;)(

32232112

σσσ

σσσσσσ

Amplitudes des contraintes normales correspondant aux contraintes tangentielles maximales

Théorie de l’état de contrainte

Chapitre 15: critères de rupture de l’équilibre élastique

préparé par

critères de rupture de l’équilibre élastique

GénéralitésAprès avoir déterminé le champ des contraintes dans une pièce,

l’ingénieur doit encore calculer la sécurité de cette pièce, compte tenu de la résistance limite du matériau utilisé.

Observations expérimentalesLes matériaux fragiles se cassent brusquement sans écoulement

plastique préalable. La limite d’élasticité et la limite de rupture sont atteintes simultanément.

Pour les matériaux ductiles, la limite de rupture est plus élevée que la limite élastique et il est alors nécessaire de distinguer la sécurité vis-à-vis de l’une ou de l’autre.

critères de rupture : théories de la rupture

théories de la rupture, basées sur certains critères de rupture sont nombreuses.

Parmi les plus connues

- Critère de Mohr-Coulomb- Critère de Tresca- Critére de von Mises- Critère de la plus grande contrainte normale- Critère du plus grand allongement

-Critère basé sur la fracture en supposant des fissures dans le matériau

critères de rupture : définitions

Considérons un élément de matière soumis aux contraintes principales σ1, σ2 et σ3, classées selon l’ordre

On appelle état limite de contrainte toute combinaison (σ1, σ2 et σ3) provoquant le dépassement de la limite élastique dans l’élément.

Généralités

321 σσσ ⟩⟩

Coefficient de sécurité

A partir d’un état non limite (σ1, σ2 et σ3), opérons une homothétie du tenseur des contraintes en multipliant chaque contrainte par un nombre n.

La plus petite valeur de n pour laquelle (n σ1, n σ2, n σ3) est un état limite est appelée coefficient de sécurité.

Les théories de la rupture, basées sur certains critères de rupture de l’équilibre élastique, ont pour but de permettre la prévision d’un état limite sur la base d’un petit nombre d’essais ou même d’un seul.

Rappelons que les essais classiques des matériaux sont la traction, la compression et la torsion .

critères de rupture : contrainte de comparaison

Un état (σ1, σ2 et σ3), présentant un coefficient de sécurité nvis-à-vis de l’état critique correspondant, peut être caractérisé par une contrainte de traction simple σg, offrant le même coefficient de sécurité n vis-à-vis de l’état critique en traction simple.

Cette contrainte est appelée contrainte de comparaisonou contrainte équivalente, sa valeur étant évidemment fonction du critère de rupture choisi.

critères de rupture : Mohr-CoulombCritère de Mohr-Coulomb

La rupture de l’équilibre élastique se produit quand le plus grand des cercles de Mohr, de diamètre (σ1 – σ3), devient tangent à une courbe du plan (σ, τ), appelée courbe intrinsèqueet caractérisant le comportement du matériau.

compression simple cisaillement pur traction simple

état quelconque

critères de rupture : Mohr-CoulombCritère de Mohr-CoulombRemarquesCe critère implique que la contrainte intermédiaire σ2 ne joue aucun rôle.

Dans sa partie centrale, constituant la portion la plus utile de la courbe elle peut être remplacée sans erreur appréciable par une droite tangente aux cercles correspondant à la traction simple et à la compression simple.

critères de rupture : Mohr-CoulombCalcul du coefficient de sécurité de l’état de contrainte

σσσ

−−=

σσσ

(σ1, σ2 et σ3 )

critères de rupture : Mohr-CoulombCalcul du coefficient de sécurité de l’état de contrainte

σσσ

−−=

σσσ

'1 σσσσσσ etececet −=

)( 31 σσσσσσ etececet n −=

(σ1, σ2 et σ3 )

critères de rupture: Mohr-CoulombCalcul du coefficient de sécurité de l’état de contrainte

)( 31 σσσσσσ

n −=

Il s’ensuit que le coefficient de sécurité nselon le critère de Mohr-Coulomb a pour valeur

313131 ασσσ

σσσσ

σσσσσ

σσ−

3131 ασσσσσσσσ −=−==

etetg n

La contrainte de comparaison σg de l’état de contrainte considéré est donnée par l’expression

(σ1, σ2 et σ3 )

critères de rupture : Tresca

Critère de Tresca

Le critère de Tresca, nommé aussi critère du plus grand cisaillement ou critère de la contrainte tangentielle maximale, admet que la rupture survient dès que la plus grande contrainte de cisaillement

τ31 = (σ1 – σ3)/2

dépasse la valeur limite τe déterminée par l’essai de torsion.

Constituant un cas particulier de la théorie de Mohr, il convient bien pour les matériaux ductiles, mais non pour les matériaux fragiles.

Pour les matériaux ductiles, comme la plupart des aciers et des alliages d’aluminium, les contraintes élastiques de traction et de compression sont pratiquement égales σet = σec = σe

Sous cette hypothèse adoptée dans le critère de Tresca, la partie centrale de la courbe intrinsèque caractéristique du critère de Mohr-Coulomb devient une droite parallèle à l’axe des σ.

Critère de Tresca

eecet σσσ ==

313131 ασσσ

σσσσ

σσσσσ

σσ−

ecetn 31 σσσ−

31 σσσσ −==ne

31max ττ

ττ een ==

31max 22 ττσσ ===ne

2/)( 3131max σσττ −==

Critère de Tresca

σσσσσσσσσ

±=−±=−±=−

En s’affranchissant de la séquence, 321

représentation graphique du critère de Tresca

σσσ ⟩⟩on peut étendre la relation

sous les formes suivantes, valables à la limite de la rupture(σg = σe),

31 σσσσ −==ne

repère des contraintes principales six plans formant un

prisme hexagonal

critères de rupture : von Mises

Critère de von Misesle critère dit de von Mises ou critère du plus grand travail de distorsion suppose que la rupture est due à la part de l’énergie de déformation provoquée par les seules déformations angulaires.

Il peut ainsi s’énoncer comme suit:

L’énergie fournie pour augmenter ou diminuer le volume initial ne joue aucun rôle dans la rupture de l’équilibre élastique, seule l’énergie fournie pour déformer le volume entrant en ligne de compte

critères de rupture : von MisesCritère de von Mises

1: Le critère de von Mises a pour avantage, par rapport au critère de Mohr-Coulomb, de ne pas exiger le calcul préalable des contraintes principales, car il se base directement sur les termes de la matrice des contraintes

Remarques

déterminés pour les axes de référence M0xyz.

2: Ce critère tient compte de la contrainte intermédiaire σ2

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

στττστττσ

P1P2 P3

[ ])(1zyxx E

σσμσε +−=

[ ])(1xzyy E

σσμσε +−=

[ ])(1xzyy E

σσμσε +−=

Critère de von Mises : densité de l’énergie de déformation

xyxy Gτγ 1

yzyz Gτγ 1

zxzx Gτγ 1

=( )zxzxyzyzxyxyzzyyxxu γτγτγτεσεσεσ +++++=21densité d’énergie

zσ xyτxzτ

yxτyzτ

zxτzyτ

[ ])(1zyxx E

σσμσε +−=

[ ])(1xzyy E

σσμσε +−=

[ ])(1xzyy E

σσμσε +−=

( )zxzxyzyzxyxyzzyyxxu γτγτγτεσεσεσ +++++=21

xyxy Gτγ 1

yzyz Gτγ 1

zxzx Gτγ 1

( )[ ]( )222

zxyzxy

xzzyyxzyx

τττ

σσσσσσμσσσ

++−++=

( )[ ]( )222

zxyzxy

xzzyyxzyx

τττ

σσσσσσμσσσ

++−++=

( )[ ]13322123

21 σσσσσσμσσσ ++−++=E

Si les contraintes principales sont connues, la densité d’énergie prend la forme simplifiée ci-après

zyxp σσσ ++=

l’état de contrainte peut être considéré comme la superposition d’une pression hydrostatique p et de contraintes

provoquant seulement la distorsion

'1 , , σσσ

dp uuu +=

densité d’énergie correspondant à la variation de volume

densité d’énergie de distorsion

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= pu pp ε

)(31p)21(

zyxp εεεμε ++=−=

( ) ( )( )22 216121

zyxp Ep

Eu σσσμμ ++−=−=

La densité d’énergie de déformation correspondant à la variation de volume est égale au travail des trois contraintes p agissant selon les trois axes M0x, M0y et M0z

zyxp σσσ ++=

[ ]( )222

)()()(6

zxyzxy

xzxyyxpd

τττ

σσσσσσμ

−+−+−+

( )[ ]222222 6)()()(6

1zxyzxyxzxyyxd E

u τττσσσσσσμ+++−+−+−

[ ]213

221d )()()(

E61u σσσσσσμ

−+−+−+

Pour aboutir à la densité d’énergie de distorsion, il suffit de soustraire de la densité d’énergie totale la densité d’énergie correspondant à la seule variation

Si les contraintes principales sont connues, la densité d’énergie prend la forme simplifiée ci-après

1gd EE

u σμσμ +=

Dans l’essai de traction simple, la contrainte de comparaison σgest égale à σ1 et les deux autres contraintes principales σ2 et σ3sont nulles.

devient

[ ]213

221d )()()(

E61u σσσσσσμ

−+−+−+

la relation

( )222222 6)()()(2

1zxyzxyxzxyyxg τττσσσσσσσ +++−+−+−=

221g )()()(

21 σσσσσσσ −+−+−=

2122 τττσ ++=g

Critère de von Mises

La contrainte de comparaison de l’état de contrainte considérése détermine finalement par égalisation des relations

( )[ ]222222 6)()()(6

1zxyzxyxzxyyxd E

u τττσσσσσσμ+++−+−+−

1gd EE

u σμσμ +=

Si l’on connaît σ1 , σ2 , σ3

2/)( jiij σστ −=

( )222222 6)()()(2

Géométriquement, la relation

constitue l’équation du cylindre dit de von Mises, circonscrit au prisme hexagonal de Tresca

Le critère de von Mises est d’un usage commode, puisqu’il suffit d’appliquer l’une des relations

Rappelons qu’il convient bien pour les matériaux ductiles mais non pour les matériaux fragiles, car il est fondé sur le seul essai de traction.

pour calculer σg et trouver le coefficient de sécurité n = σe/σg.

( )222222 6)()()(2

221g )()()(

21 σσσσσσσ −+−+−=

2122 τττσ ++=g

Remarque

Propriétés mécaniques des matériaux

préparé par

éprouvette de traction

Les dimensions exactes de l’éprouvette dépendent du matériau

Ils sont standardisés pour la plupart des matériaux

résultats d’un essai de traction

linéarité

plasticité(écrouissage)

déformation ductile

pour des aciers doux on constate l ’apparition de stries qui sont appeléeslignes de Lüder

phénomène de striction

diagramme d’un matériau non - linéaire

dE ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

εεσσ

−−

Module tangent Module sécant

résultats d’un essai de traction

la limite de proportionnalité σp

la limite conventionnelle de proportionnalité σ0,02

la limite apparente d’élasticité σe ou limite d’écoulementla limite conventionnelle d’élasticité σ0,2

la résistance à la traction σB

la contrainte réelle de rupture σ

Matériau Désignation ρ E μ σe σB εB α

VSM kg/m3 GPa – MPa MPa % 10–6/°C

Aciers deconstruction

S 235 (Ac37-2) 7850 210 0,27 235 400 25 12

E 295 (Ac50-2) 7850 210 0,27 295 540 19 12E 295 K (Ac50-2K) 7850 210 0,27 410 720 8 12

Acier de cémentation C10 7850 210 0,27 340 640 15 12Aciers d’amélioration C35E (Ck35) 7850 210 0,27 400 690 18 12

C45E (Ck45) 7850 210 0,27 460 750 16 12Aciers inoxydables X10CrNiS18 9 7900 200 0,30 200 600 35 16

X20Cr13 7900 200 0,30 550 850 12 16Fonte grise GG-25 7200 100 0,25 – 2001 1 10Fontes malléables GTS-35-10 7200 170 0,30 200 350 10 13

GTS-70-02 7200 170 0,30 530 700 2 13

Aluminium EN AW-Al 99.5 O 2700 69 0,33 25 80 30 24Alliages d’aluminium EN AW-Al MgSi T6 2700 70 0,33 250 280 10 23

EN AW-Al Zn4.5Mg1 T62 2770 73 0,33 320 390 9 23EN AW-Al Cu4Mg1 T63 2790 72 0,33 570 630 9 23

Cuivre recuit – 8900 120 0,35 40 210 50 17Alliages cuivre-zinc4 G-CuZn33Pb2 (coulé) 8500 80 0,34 50 180 55 18

CuZn38Pb2 (demi-dur) 8500 80 0,34 290 460 55 19Alliages cuivre-étain5 G-CuSn10 (coulé) 8800 90 0,30 120 250 15 18Zinc laminé – 7100 85 0,25 60 120 55 261 σBC = 800 MPa 2 Avional 3 Perunal 4 Laiton 5 Bronze

valeurs moyennes des caractéristiques mécaniques des principaux métaux et alliages

Matériau ρ E μ σB σBC α

kg/m3 GPa – MPa MPa 10–6/°C

Résine acrylique (plexiglas) 1180 3,0 0,36 55 701 90Polyamide (nylon) 1140 2,8 0,40 55 711 100Polystyrène 1050 3,5 0,40 48 72 126Polyéthylène 930 0,4 0,45 14 – 225Résine époxyde (araldite) 1120 4,5 0,40 48 210 60Polypropylène (bakélite) 920 1,0 0,37 35 – 100

Pyrocérame (verre polycristallin) 2500 86 0,25 140 – 2Carbure de Tungstène (carboloy) 15300 700 0,24 – 4100 4Céramique d’alumine (cermets) 3700 310 – 280 2400 71 La valeur indiquée correspond à la limite apparente d’élasticité σe

valeurs moyennes des caractéristiques mécaniques de quelques matériaux non métalliques

efforts intérieurs dans les poutres

préparé par

définition de poutre

Fibre : volume engendré par un élément dA

avec la condition

Poutre : volume engendré par une section A

liaisons

liaisons impropres

les réactions sont parallèles

liaisons impropres

les charges extérieures provoquentune moment autour du point O.

liaisons: poutre encastrée

poutre isostatique

nombre de liaisons = nombre de conditions d’équilibre

liaisons: poutre sur deux appuis

poutre isostatique ou statiquement déterminée

nombre de liaisons (réactions) = nombre de conditions d’équilibre

liaisons: poutre sur trois appuis

poutre hyperstatique ou statiquement indéterminée

nombre de liaisons (réactions) > nombre de conditions d’équilibre

principe de la coupeétapes du calcul des efforts intérieurs dans une poutre

1. Remplacer les liaisons par les réactions correspondantes

1* Calculer les réactions correspondantes

2. Effectuer, à l ’abscisse x, une coupe qui sépare la poutre en deux parties

3. Représenter l’effet d’une partie sur l’autre au moyen desefforts intérieurs, N, T et M

4. Déterminer ces efforts intérieurs en exprimant les conditions d’équilibre

principe de la coupe

charges concentrées

charges concentrées: exemple

saut dû à la charge concentrée

charges concentrées: exemple

charge continue

équilibre de moments

charge continue : exemple

équilibre des forces et de moment

relations entre M, T et p(x)

équilibre

diagramme : discontinuité

+ -T - T = - PEquilibre

0MM =− −+x

force concentrée

diagramme : discontinuité

Equilibre MeMM −=− −+x

moment concentré

relations entre M, T et p(x)

dMT = dx

d Mp(x)= - dx

équilibre et Δx vers zéro

dTp(x)= - dx

Moments d’une aire plane

préparé par

moment d’une aire plane F

∫∫=F

rdFS∫∫=F

x ydFS

∫∫=F

y xdFS

moments du 1er ordre

F =∫∫

∫∫=

F ==∫∫

∫∫ξ

F ==∫∫

∫∫η

moment du 1er ordre - exemple

hx xdxxdFb 2ξ= = = b

3hdF xdxb

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫∫

∫∫ ∫

1 h hx xdxydF2 b b 1η= = = h

3hdF xdxb

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫∫∫

∫∫ ∫x

aire triangulaire

x y (x) - y (x) dxxdFξ = =

dF (y (x) - y (x))dx

∫∫∫

∫∫ ∫

( )( )

1 2 1 20F

1 y (x) + y (x) y (x) - y (x) dxydF2

η = =dF y (x) - y (x) dx

∫∫∫

∫∫ ∫

( )1 2y (x) - y (x)

1y (x) 2y (x)(x,y)

( )1 21 y (x) + y (x)2

aire définie par deux fonctions

∫∫

∫∫=

iFi dF

∫∫

∫∫=

iFi dF

2η3η)1(

)2()3(

332211

FFFFFF

=ηηηη

332211

FFFFFF

=ξξξξ

aire plane composite

pour chaque section plane

pour l’aire plane composite

M = xp(x)dx∫

p(x)p(x)dx

P= p(x)dx∫moment autour de A

charge totale

ξ p(x)dx= xp(x)dx∫ ∫

xp(x)dxξ =

p(x)dx

Systèmes statiquement équivalents

∫∫=F

2p dFrI

∫∫=F

2x dFyI

∫∫=F

2y dFxI

moments du 2nd ordre

yxp III +=

∫∫=F

xy yxdFI

222 yxr +=avec

δ+= rr '

axx ' +=

byy' +=

effet d’une translation des axes de coordonnées

F)bSaS(2IdFrI 2xyp

2'p' δ+++=∫∫=

FbbS2IdFyI 2xx

2'x' ++=∫∫=

FaaS2IdFxI 2yy

2'y' ++=∫∫=

abFbSaSIdFyxI yxxyF

''yx '' +++=∫∫=

Quand O coïncide avec le centre d ’inertie

FII 2pp' δ+=

FbII 2xx' +=

FaII 2yy' +=

abFIdFyxI xyF

''yx '' +=∫∫=

cos sincos sin

u x yv y x

ϕ ϕϕ ϕ

= += −

effet d’une rotation des axes de coordonnées

cos sin 2 sin cos

sin cos 2 sin cos

u x y xyF

v x y xyF

uv x y xyF

I v dF I I I

I u dF I I I

I uvdF I I I

ϕ ϕ ϕ ϕ

= = + −

= = + +

= = − + −

∫∫

moment d’une aire plane Feffet d’une rotation des axes de coordonnées

x y x yu xy

x y x yv xy

x yuv xy

I +I I II = + cos2 I sin2

2 2I +I I I

I = cos2 +I sin22 2

I II = sin2 +I cos2

−−

vuxyp IIIII +=+=

cos sincos sin

u x yv y x

ϕ ϕϕ ϕ

= += −

moment d’une aire plane Fmoments principaux d’inertie

uvvu I

)2(ddI

−=−=ϕϕ

Pour les extrema des Iu & Iv

0Iuv =yx

2tg−

−=ϕ

x y x yu xy

x y x yv xy

x yuv xy

2 2I +I I I

I = cos2 +I sin22 2

I II = sin2 +I cos2

−−

moment d’une aire plane Fmoments principaux d’inertie

2tg−

−=ϕIntroduire

I4)II(21)II(

+−−+=

+−++=

Moments principaux d’inertie

x y x yu xy

x y x yv xy

x yuv xy

2 2I +I I I

I = cos2 +I sin22 2

I II = sin2 +I cos2

−−

moment d’une aire plane Fellipse d’inertie au point O

2 21 2cos sinuI I IF F F

ϕ ϕ= +

2 2 2 2 21 2cos sinui i iϕ ϕ= +

1 = FIi 2

2 =FIi u

u =avec

21iiiOP = ϕcos

ϕsiniiiyu

2 21 2cos sinuI I Iϕ ϕ= +

moment d’une aire plane Fellipse d’inertie au point O : exemple

deformation et moment d’inertie

zEIR=M

zPoutre en flexion

E: module d’élasticité

BIBLIOGRAPHIE FRANCAISE :

BAZERGUI, T. BUI-QUOC, A. BIRON, G. MCINTYRE, CH. LABERGE, Résistance des matériaux, 2e édition, Editions de l’Ecole polytechnique de Montréal, Montréal, 1999.

J. COURBON, Résistance des matériaux, Tomes 1 et 2, 3e édition, Dunod, Paris, 1971.

FR. FREY, Analyse des structures et milieux continus – Mécanique des structures, Traité de Génie Civil, Vol. 2, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 1994.

J. P. LARRALDE, Résistance des matériaux – I Sollicitations simples, II Sollicitations composées et systèmes hyperstatiques, III Exercices résolus, 3e édition, Collection des industries mécaniques (FIMTM), Masson, Paris, 1990.

CH. MASSONNET, S. CESCOTTO, Mécanique des matériaux, Bibliothèque des Universités – Génie Civil, De Boeck-Wesmael, Bruxelles, 1994.

W. A. NASH, Théorie et problèmes de résistance des maté-riaux, 4e édition, Série Schaum (Sciences de l’ingénieur), McGraw-Hill International, Londres, 2000.

S. P. TIMOSHENKO, Résistance des matériaux, Tome 1 : Théorie élémentaire et problèmes, Tome 2 : Théorie développée et problèmes, Dunod, Paris, 1990.

BIBLIOGRAPHIE ANGLAISE

R. C. HIBBELER, Mechanics of Materials, 7th edition, PEARSON, 2008.

A. BEDFORD & W. L. FOWLER, Engineering Mechanics,

Statics, Addison-Wesley, 1995.

E. P. POPOV, Engineering mechanics of Solids, PRENTICE HALL, 1998.

G. R. BUCHANAN, Mechanics of Materials, Holt,

Rinehart and Winston, Inc., 1988.

WEB ADDRESS OF THE COURSE

http://lmafsrv1.epfl.ch/botsis/MdS/

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http://lmafsrv1.epfl.ch/botsis/MdS/

MECANIQUE DES STRUCTURES John BOTSIS, Professeur EPFL…livres-ebooks-gratuits.com/pdf/939.pdf · 3...

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