Milliman risque de réserve - arthur

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Solvabilité II – Risque de réserve

Mesure de volatilité dans les provisions pour sinistres - Approche à 1 an

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Sommaire

  Risque de réserve dans le cadre du projet Solvabilité II

  Adaptation des méthodes de provisionnement stochastiques

  Résultats et perspectives

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Le principe de l’incertitude à un an

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Le principe de l’incertitude à un an

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Le principe de l’incertitude à un an

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Un peu de formalisme   avec les notations usuelles

Année  de  développement  j  

Exercice  i   1   2   …   I  1  2  …  

I  

Année  de  développement  j  

Exercice  i   1   2   …   I  1  2  …  

I  

augmentation de l’information disponible

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Un peu de formalisme  Mack (1993) a proposé le formalisme suivant, sur la charge cumulée

  i.e. hypothèse de link-ratio, classique dans Chain-Ladder

  i.e. hypothèse d’hétéroscédasticité   Et une hypothèse d’indépendance entre années de survenances

  Alors on peut utiliser les facteurs de développement pour prédire la charge ultime

  Pour prédire la charge ultime, on utilise l’estimateur Chain-Ladder du link-ratio

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Un peu de formalisme   Ces estimateurs sont des estimateurs sans biais, et indépendants,   Aussi

  est un estimateur sans biais, i.e.

  Pour le paramètre de volatilité, on peut considérer

  qui est également un estimateur sans biais du paramètre de volatilité, i.e.

  avec

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Les estimateurs / prédicteurs usuels   Pour quantifier l’incertitude d’un estimateur en statistique, on considère

  Considérons un jeu simple de pile ou face. Le nombre total de lancers est supposé fixé

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Les estimateurs / prédicteurs usuels  On souhaite prédire le nombre de face pour les parties à venir…

  L’estimateur naturel de cette quantité est

 On distingue trois types de mesures d’incertitude

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Les estimateurs / prédicteurs usuels   Pour le mean squared error de prédiction,

  Notons que

  qui peut alors s’écrire

estimation error process error

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Les estimateurs / prédicteurs usuels   Considérons un jeu simple de pile ou face. Le nombre total de lancers est supposé fixé

 On souhaite prédire le nombre de face pour les parties à venir…

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Les estimateurs / prédicteurs usuels  … ou plus précisément, on cherche à comparer la prédiction faite à deux dates différentes

  i.e. avec davantage d’information…

 On s’intéresse alors à quantifier l’erreur associée à

  i.e. on cherche

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Incertitude d’un estimateur / prédicteur   Dans notre modèle de pile ou face, rappelons que

  de telle sorte que

  dont un estimateur naturel est

  En revanche,

  dont une estimateur naturel est

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Incertitude d’un estimateur / prédicteur   Pour le mean squared error de prédiction conditionnelle, rappelons que

  qui peut s’écrire

  Un estimateur naturel de cette quantité est alors

  i.e. on perd l’estimation de la process error. Mack (1993) proposait d’utiliser une information partielle pour estimer le second terme,

  et donc

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Quantifier l’incertitude sans biais   Un des problèmes est que la plupart de ces estimateurs sont biaisés. Si on regarde

  comme

  alors

  qui est un estimateur biaisé (cf. inégalité de Jensen).

 On peut utiliser le bootstrap pour réduire le biais de cet estimateur.

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Les formules de Mack  Mack (1993) a donné des expressions numériques pour ces quantités,

  où

  Une alternative est d’utiliser des méthodes économétriques, en particulier la régression log-Poisson, qui donne la même prédiction de réserve que Mack (1993), mais propose un traitement différent de l’incertitude associée à cette estimation.

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Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs   Rappelons qu’un modèle classique en provisionnement est le modèle log-Poisson

(surdispersé), i.e.

  où

  (avec un effet ligne et un effet colonne). Alors

  (par la Delta méthode, i.e. asymptotiquement). Or comme on utilise un lien logarithmique

 On en déduit

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Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs   Cet estimateur est biaisé, mais en boostrapant les résidus, on peut réduire le biais

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Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs   En reprenant le triangle de Mack (1993), on obtient les scénarios suivants, par années de

survenance

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Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs   En reprenant le triangle de Mack (1993), on obtient les scénarios suivants, par années de

survenance

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De l’incertitude à un an dans les triangles  Merz & Wüthrich (2008) ont proposé d’étendre les formules de Mack en calculant non plus

une incertitude à ultime, mais une incertitude à un an

  avec

  et

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De l’incertitude à un an dans les triangles   Pour obtenir une formule à la Mack, Merz & Wüthrich (2008) font l’hypothèse suivante

  qui permet d’utiliser un développement limité

  alors

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Extension aux modèles GLMs   De même que les GLMs proposaient une alternative intéressante au modèle de Mack

(1993), on peut utiliser ce modèle pour proposer une alternative à Merz & Wüthrich (2008)

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Extension aux modèles GLMs   De même que les GLMs proposaient une alternative intéressante au modèle de Mack

(1993), on peut utiliser ce modèle pour proposer une alternative à Merz & Wüthrich (2008)

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Extension aux modèles GLMs   De même que les GLMs proposaient une alternative intéressante au modèle de Mack

(1993), on peut utiliser ce modèle pour proposer une alternative à Merz & Wüthrich (2008)

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Contacts

  Arthur Charpentier arthur.charpentier@univ-rennes1.fr

  Laurent Devineau – Senior Manager - Responsable du pôle R&D laurent.devineau@milliman.com 06 87 30 44 30